《弹性力学》试题参考答案

1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d 的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P ，设间距d 很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为

θθϕB A +=2sin ） （13分）

题三（1）图

解：d 很小，Pd M =∴，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M 的情形。

将应力函数),(θϕr 代入，可求得应力分量：

θθϕϕσ2s i n 4112222A r r r r r -=∂∂+∂∂=

； 022=∂∂=r

ϕσθ； )2

c o s 2(1

12B A r

r r r +=⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=θθϕτθ 边界条件：

（1）0 ,00

==≠=≠=r r r θθ

θθ

τσ； 0 ,00

==≠=≠=r r r π

θθ

π

θθ

τσ

代入应力分量式，有

0)2(12

=+B A r 或 02=+B A （1）

（2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：θτσr r ,，和M = Pd

由该脱离体的平衡，得

022

2=+⎰

-M d r r π

π

θθτ

将θτr 代入并积分，有

0)2cos 2(122

22

=++⎰

-M d r B A r π

π

θθ 02sin 22

=++-M B

A ππθ 得 0=+M

B π （2）

联立式（1）、（2）求得：

ππPd M B -=-=，π

2Pd A =

代入应力分量式，得

2

2sin 2r Pd r θπσ-==； 0=θ

σ； 22

sin 2r Pd r θπτθ-=。 结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远

处可适用。 2．图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力x σ由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出y xy στ,，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。

（12分）

题三（2）图

解：（1）求横截面上正应力x σ 任意截面的弯矩为3

06x l q M -

=，截面惯性矩为12

3h I =，由材料力学计算公式有 y x lh

q I My

x 3302-==

σ （1） （2）由平衡微分方程求xy τ、y σ

平衡微分方程： ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂(3) 0(2) 0Y y x X y

x y yx xy

x σττσ

其中，0,0==Y X 。将式（1）代入式（2），有

y x lh

q y xy 2

306=∂∂τ 积分上式，得

)(312

230x f y x lh

q xy +=

τ 利用边界条件：0=±=h

y xy

τ，有

0)(4312230=+x f h x lh q 即 2

23

0143)(h x lh

q x f -=

)41(32

223

0h y x lh q xy -=

τ （4）

将式（4）代入式（3），有

0)41(62230=∂∂+-

y h y x lh q y σ 或 )41(6223

0h y x lh q y y --=∂∂σ 积分得

)()4133(622

3

0x f y h y x lh q y +--

=σ 利用边界条件：

x l

q h

y y

2

-

=-=σ，0=+=h

y y σ

得：

⎪⎩⎪⎨⎧=+---=++--

0)()8124(6)()8124(6233

3002333

0x f h h x lh

q x l q x f h h x lh q

由第二式，得

x l

q x f 2)(0

2-

= 将其代入第一式，得

x l

q

x l q x l q 00022-=--

自然成立。 将)(2x f 代入y σ的表达式，有

x l q

y h y x lh

q y 2)413(602330---=σ （5）

所求应力分量的结果：

y x lh

q I My

x 3302-==

)41(32

223

0h y x lh

q xy -=

τ （6） x l q

y h y x lh

q y 2)413(602330---=σ

校核梁端部的边界条件：

（1）梁左端的边界（x = 0）：

020

=⎰-=h h x x

dy σ，020

=⎰-=h h x xy

dy τ 代入后可见：自然满足。

（2）梁右端的边界（x = l ）：

02223

3022=-=⎰

⎰

-=-=h

h l

x h h l

x x

dy y lh x q dy σ

2)4(3022

223

2022

l

q dy h y lh x q dy h h l

x h h l

x xy

=-=⎰

⎰

-=-=τ M l q y lh l q dy y lh

x q ydy h

h h h l

x h

h l

x x

=-=-=-=--=-=⎰

⎰

6

3222022

3

33

022

33

02

σ

可见，所有边界条件均满足。

检验应力分量y xy x στσ,,是否满足应力相容方程： 常体力下的应力相容方程为

0))(()(22222

=+∂∂+∂∂=+∇y x y x y x σσσσ 将应力分量y xy x στσ,,式（6）代入应力相容方程，有

xy lh q x y x 302212)(-=+∂∂σσ，xy lh q y y

x 3

02212)(-=+∂∂σσ 024))(()(3022222

≠-=+∂∂+∂∂=+∇xy lh q y x y x y x σσσσ

显然，应力分量y xy x στσ,,不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。 3．一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k 。梁受有均匀分布载荷q 作用，如图所示。试：

（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数)(x w ；

（2）用最小势能原理或Ritz 法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系数）。

（13分）

题二（3）图