001导数的概念及导数的计算

数学科学案 序号 001 高二年级 班 教师 王德鸿 学生

001导数定义及导数计算

学习目标

1、会计算平均变化率，了解导数的定义；

2、掌握幂函数、多项式函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式及两个函数的和、差、积、商的导数运算法则及简单复合函数的求导公式，并会运用它们进行求导运算； 学习重点难点：导数的定义，求导公式． 学习过程：

一、学习要点：

1、导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比x

y ∆∆的极限，即)(x f '＝ ＝ ． 2、八个基本求导公式

)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝

)('x e ＝ ， )('x a ＝ )(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝

3、导数的四则运算

)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝ )('uv ＝ ，)('v

u ＝ )

0(≠v

4、复合函数的导数（重点掌握）

设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且)(x f '＝ ，

即x u x u y y '⋅'='.

二、例题分析：

例1、已知f(x)=1＋

1x （1）求f(x)在区间[1

2

，1]上的平均变化率； （2）求f(x)在x=1处的瞬时变化率。

练习：一质点的运动方程为s=5－3t 2

，则在一段时间[1,1+△t]内相应的平均速度为

这一质点在t=1时瞬时速度为

例2、求下列函数的导数：

（1）y=(x ＋2)(x ＋3); （2）y=tanx ； （3）y=1

1

+-x x . （4）ln(12)y x x =-

练习：求下列函数的导数： （1）y=

11

x -； （2）y=xsinx －x cos 2； （3）y=x 3

＋log 3x ；

（4）y=x －sin 2x ·cos 2x . （5）2ln(2)3x

x x y e

--=+

课后作业：

1、已知函数y=x 2

＋1的图象上一点A （1，2）及其邻近一点B （1＋△x,2＋△y ）,则直线AB 的斜率是 （ ） A ．2 B ．2x

C ．2＋△x

D ．2＋(△x)

2

2、函数

2(1)(1)y x x =+-在1x =处的导数等于 （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3、已知)()(,)32ln()(/

5x f x g x x f =-=，则)3

1(g =

4

、设函数

2()f x x =+的导函数为'()f x ，且'

(1)3f =，则a=___ _．

5、求下列函数的导数： （1）y=4

)

31(1x -; （2）y=sin x 2

；

（3）y=21x +. （4）x x

x y +-=321

log

（5）x e x y -⋅=2 （6） 3、x y 2sin 2

=

（7）y=－2sin 2x (1－2cos 24x ) （8）2

2ln )(x x x f x +=;

6、一个物体的运动方程为2

1s t t =++，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求： (1) 物体在2t =到4t =的平均速度； (2) 物体在3秒末的瞬时速度