电动力学第一讲
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将s分成许多足够小的面元ds ，
v
θ
于是通过
08:52
ds
16
曲面s的通量N即为每一面元通量之积
N v ds
s
对于闭合曲面s，通量N为
N v ds
s
2、散度
设封闭曲面s所包围的体 积为V，则
A ds / V
s
08:52
17
就是矢量场
A( x )
在V中单位体积的平均通量，或者
平其均内发某散 点M量(。x) 当收闭缩合时曲，面若s平及均其发所散包量围的的极体限积值存V 向在，
08:52
11
p
nˆ
0
θ
p
p2
l
1
等值面 等值面 c2
c1
nˆ是等值面
增长 的方向。
表上c示p11l过点p法2线点方的向任单一位方矢向量。。它指向
显见， 当p1 p2 0 , p1 p0 0时 ,
p1 p2
p1 p0
cos
.
08:52
12
该式表明：
cos
nˆ
l
grad
l
l
n n
3、斯托克斯定理（Stoke’s Theorem）
A dl
( A) ds
L
s
wk.baidu.com
它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合
曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。
08:52
23
§0-4 正交曲线坐标系中 运算
的表达式
08:52
24
1、度量系
设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1, x2, x3是这点的 正交曲线坐标，长度元的平方表示为
08:52
8
2、方向导数
方向导数是标量函数(x在) 一点处 沿任意方向
对l
距离的变化率，它的数值与所取 的l方向有关，
一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但
它并不是矢量。如图所示， l为l 场Pl 中的任意方向，P1
是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的
一点。
P2
l
P1
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9
其中
dl2 dx2 dy2 dz2 h12dx12 h22dx22 h32dx32
hi
( x )2 ( y )2 ( z )2
xi
xi
为l p2和p1之间的距离，从p1沿 l到p2的增量为
若下列极限
( p2 ) ( p1 )
lim lim ( p2 ) ( p1)
l0 l l0
l
存在，则该极限值记作 沿 的方l 向导数。
(x，) 称之为标量场
3、梯度
在l pPl 1处
由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 (x在) 一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过
即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投
影。
梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场
(x)
在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。
4、算符（哈密顿算符）
算 符既具有微分性质又具有方向性质。在任
意方向l 上移动线元距离dl， 的增量d 称为方向微
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13
分，即
d
dl
dl
l
显然，任意两点值差为
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4
预备知识—矢量场论复习
08:52
5
主要内容
标量场的梯度 算符 矢量场的散度 高斯定理 矢量场的旋度 斯托克斯定理 在正交曲线坐标系中 运算的表达式 二阶微分算符 格林定理
08:52
6
§0-1 标量场的梯度， 算符
08:52
7
1、场的概念
场是用空间位置函数来表征的。在物理学中， 经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。 如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物 理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势 场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一 点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。 如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时 间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。
向 nˆ ，且通常L的正方向与 nˆ 规定要构成右手螺旋法
则，为此定义
rotA A
lim
LA dl
nˆ
s0 s
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22
称为矢量场
A( x )
的旋度（rot是rotation缩写）。
旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附
近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot
A
0
称为无旋场。
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10
该点沿某一确定方向取得(x在) 该点的最大方向导数， 则可引进梯度概念。记作
grad nˆ
n
称之为(x在) 该点的梯度（grad 是gradient 缩写），
它是一个矢量，其大小
|
grad
|
n
， (其l方)max
向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即 nˆ
表示。
方向导数与梯度的关系：
电动力学
Electrodynamics
主讲教师： 李 盛（教授、博士）
08:52
1
电动力学特别重要的意义所在
物理学
电动力学
近代数学
08:52
经典物理
电动力学
量子物理
2
08:52
3
学习参考书：
1、经典电动力学 蔡圣善 朱 耘 编著 复旦大学出版社
2、Classical Electrodynamics J.D.Jackson (经典电动力学 J.D.杰克逊 著） 人民教育出版社
称为 A沿该曲线L的循环量或流量。
2、旋度
设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么
08:52
21
以渐减闭小合，曲线一L般为说界来的，面这积两者S逐的渐比缩值小有，一L极A 限dl值也，将记逐
作
lim LA dl
s0 s
即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状
无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方
B
B A
dl
A
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14
§0-2 矢量场的散度 高斯定理
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15
1、通量
场
v
一方个向矢 通量 过d场s 空的间流中量，是在dN单，位而时dN间是内以，ds沿为着底矢，量以
v cosθ为高的斜柱体的体积，即
称为dN矢量vv通c过os面d元sds的v通 d量s 。
nˆ
对于有向曲面s，总可以
便记作
A ds
divA A lim s
V 0 V
称为矢量场
A( x )
在该点的散度(div是divergence的缩
写)。
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场 发08散:52 的强弱程度，当div A 0，表示该点有散发通1量8
的正源；当div A 0 ，表示该点有吸收通量的负源； 当div A 0 ，表示该点为无源场。
3、高斯定理
A ds AdV
s
V
它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围
体积的体积分，反之亦然。
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19
§0-3 矢量场的旋度 斯托克斯定理
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20
1、矢量场 的环流
在数学上，将矢量场 A(x沿) 一条有向闭合曲线L
（即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分
c LA dl
v
θ
于是通过
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ds
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曲面s的通量N即为每一面元通量之积
N v ds
s
对于闭合曲面s，通量N为
N v ds
s
2、散度
设封闭曲面s所包围的体 积为V，则
A ds / V
s
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就是矢量场
A( x )
在V中单位体积的平均通量，或者
平其均内发某散 点M量(。x) 当收闭缩合时曲，面若s平及均其发所散包量围的的极体限积值存V 向在，
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11
p
nˆ
0
θ
p
p2
l
1
等值面 等值面 c2
c1
nˆ是等值面
增长 的方向。
表上c示p11l过点p法2线点方的向任单一位方矢向量。。它指向
显见， 当p1 p2 0 , p1 p0 0时 ,
p1 p2
p1 p0
cos
.
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12
该式表明：
cos
nˆ
l
grad
l
l
n n
3、斯托克斯定理（Stoke’s Theorem）
A dl
( A) ds
L
s
wk.baidu.com
它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合
曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。
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23
§0-4 正交曲线坐标系中 运算
的表达式
08:52
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1、度量系
设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1, x2, x3是这点的 正交曲线坐标，长度元的平方表示为
08:52
8
2、方向导数
方向导数是标量函数(x在) 一点处 沿任意方向
对l
距离的变化率，它的数值与所取 的l方向有关，
一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但
它并不是矢量。如图所示， l为l 场Pl 中的任意方向，P1
是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的
一点。
P2
l
P1
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9
其中
dl2 dx2 dy2 dz2 h12dx12 h22dx22 h32dx32
hi
( x )2 ( y )2 ( z )2
xi
xi
为l p2和p1之间的距离，从p1沿 l到p2的增量为
若下列极限
( p2 ) ( p1 )
lim lim ( p2 ) ( p1)
l0 l l0
l
存在，则该极限值记作 沿 的方l 向导数。
(x，) 称之为标量场
3、梯度
在l pPl 1处
由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 (x在) 一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过
即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投
影。
梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场
(x)
在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。
4、算符（哈密顿算符）
算 符既具有微分性质又具有方向性质。在任
意方向l 上移动线元距离dl， 的增量d 称为方向微
08:52
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分，即
d
dl
dl
l
显然，任意两点值差为
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4
预备知识—矢量场论复习
08:52
5
主要内容
标量场的梯度 算符 矢量场的散度 高斯定理 矢量场的旋度 斯托克斯定理 在正交曲线坐标系中 运算的表达式 二阶微分算符 格林定理
08:52
6
§0-1 标量场的梯度， 算符
08:52
7
1、场的概念
场是用空间位置函数来表征的。在物理学中， 经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。 如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物 理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势 场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一 点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。 如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时 间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。
向 nˆ ，且通常L的正方向与 nˆ 规定要构成右手螺旋法
则，为此定义
rotA A
lim
LA dl
nˆ
s0 s
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称为矢量场
A( x )
的旋度（rot是rotation缩写）。
旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附
近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot
A
0
称为无旋场。
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10
该点沿某一确定方向取得(x在) 该点的最大方向导数， 则可引进梯度概念。记作
grad nˆ
n
称之为(x在) 该点的梯度（grad 是gradient 缩写），
它是一个矢量，其大小
|
grad
|
n
， (其l方)max
向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即 nˆ
表示。
方向导数与梯度的关系：
电动力学
Electrodynamics
主讲教师： 李 盛（教授、博士）
08:52
1
电动力学特别重要的意义所在
物理学
电动力学
近代数学
08:52
经典物理
电动力学
量子物理
2
08:52
3
学习参考书：
1、经典电动力学 蔡圣善 朱 耘 编著 复旦大学出版社
2、Classical Electrodynamics J.D.Jackson (经典电动力学 J.D.杰克逊 著） 人民教育出版社
称为 A沿该曲线L的循环量或流量。
2、旋度
设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么
08:52
21
以渐减闭小合，曲线一L般为说界来的，面这积两者S逐的渐比缩值小有，一L极A 限dl值也，将记逐
作
lim LA dl
s0 s
即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状
无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方
B
B A
dl
A
08:52
14
§0-2 矢量场的散度 高斯定理
08:52
15
1、通量
场
v
一方个向矢 通量 过d场s 空的间流中量，是在dN单，位而时dN间是内以，ds沿为着底矢，量以
v cosθ为高的斜柱体的体积，即
称为dN矢量vv通c过os面d元sds的v通 d量s 。
nˆ
对于有向曲面s，总可以
便记作
A ds
divA A lim s
V 0 V
称为矢量场
A( x )
在该点的散度(div是divergence的缩
写)。
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场 发08散:52 的强弱程度，当div A 0，表示该点有散发通1量8
的正源；当div A 0 ，表示该点有吸收通量的负源； 当div A 0 ，表示该点为无源场。
3、高斯定理
A ds AdV
s
V
它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围
体积的体积分，反之亦然。
08:52
19
§0-3 矢量场的旋度 斯托克斯定理
08:52
20
1、矢量场 的环流
在数学上，将矢量场 A(x沿) 一条有向闭合曲线L
（即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分
c LA dl