电动力学第25讲45格林函数法
格林函数
2G(x, x) 1 (x x)
0
代入Green第二公式，有
V
G
xv,
xv 2
xv
xv 2G
xv,
xv dV
Ñ S
G
xv,
xv
xv
n
xv
G xv,
n
xv
dS
因为Green公式中积分，微分都是对变量 x进行
的，由于Green函数关于源点和场点是对称的，
即 G(xr, xr) G，(为xr,方xr )便起见，把变量 换为 ，x
V
V
对于单位点电荷而言，Q=1，其密度为 (xr ) (xr xr)
因此有
2
2、Green函数
一个处在 x 点上的单位点电荷，它所激发的电势方程为
2 1 (x x)
(3)
0
假设有一包含x点 的某空间区域V，在V的边界S上有如下
边界ห้องสมุดไป่ตู้件
0 或者 1
(4)
S
n S 0S
则把满足边界条件（4）式的（3）式的解称为泊松方程
V
S n
6
V
2 dV
ÑS
n
dS
如果令 av ，即将φ和ψ对调，同理可得
V
2
dV
Ñ S
n
dS
将以上两式相减可得
2 2 V
dV
Ñ S
n
n
dS
Green第二公式
（2）边值问题的解
边值问题：给定区域V内电荷分布 (x)，区域V 的边界
面S上各点的电势 或S电势法向偏导数
V内各点的电势值
n
，称为第三
S
类边值问题，也称混合边值问题。
格林函数（ＰＤＦ）
T=0K 的费米子体系的格林函数虽然真实的系统从来也没有达到过零温, 但有很多量对温度并不特别敏感, 特别是低温下. 比如费米子体系, 在远低于费米温度时, 把系统处理为T=0K 是很好的近似.我们常常把系统描述为它的基态加上它的元激发. T=0K 的格林函数就是计算体系的基态和元激发的. 这样的计算适合电子气体和氦3液体.从T=0K 的格林函数中可以得到准粒子的有效质量, 寿命, 以及准粒子之间的散射解面(朗道费米液体理论中相互作用函数).量子统计中的格林函数方法是从粒子物理中处理量子电动力学中费曼—戴逊图形展开方法移植到凝聚态的多体问题中来的. 这个方法是研究有相互作用的多粒子体系的一个基本的强大的工具.;ˆˆˆ0i H H H+=我们知道, 系统的哈密顿量统常可写为如果相互作用部分比较小, 我们可以对它进行微扰展开. 费曼—戴逊图形展开方法就是一种微扰展开的方法. 它在很多问题上取得了很大的成功. 但并非所有问题都能解决. 比如在低能时, 量子色动力学用费曼—戴逊图形展开方法就不行. 再比如, 高温超导中的低掺杂情况, 也不能用微扰论来解决. 不过它是一个理解多体问题的基本框架.t t t a t a >>ΨΨ<+↑↑',|)()'(|00k k T=0K 的格林函数要研究的是形如下式的量这里是系统的基态. 基态动量为零. 上式中表示在时刻在基态上加上一个动量为粒子. 这个态的动量为. 一般地, 它不是系统的本征态.上式是表示时刻, 系统仍然处于这个态的几率. 这个式子是在海森堡绘景中的.0Ψt >Ψ+↑0|)(t a k k k 't 由于并不是系统的本征态, 原则上它可以用系统的总动量为的本征态来展开, 这些本征态的数量是非常巨大的, 而且能量是不同的. 这一点可以用经典粒子系统的类比来理解, 总动量为的组合方式有无限多种, 不同的组合方式动能和势能是不同的. 那么, 这个态可以展开为>Ψ+↑0|)(t a k k k ∑>Ψ>=Ψ+↑ii i c t a k k ||)(0>Ψi k |这里是总动量为的系统的本征态. 到时刻, 这个态演化为k 't )'(0||)'(t t iE ii i i ec t a −−+↑∑>Ψ>=Ψk k ∑−+↑↑>=ΨΨ<it t iE i i i ec c t a t a )'(*00|)()'(|k k 't 时刻, 系统仍然处于这个态的几率准粒子及其寿命>Ψ+↑0|)(t a k);(E c c i →由于这些本征态的数量巨大, 能量可以处理为连续化的, 也就是有∫∑∞∞−−−→dEeE D E c ec c t t iE it t iE i i i )'(2)'(*)(|)(|如果展开系数分布很宽, 比如constE D E c =)(|)(|2我们马上得到)'(2)'(t t dE et t iE −=∫∞∞−−πδ这是说马上系统就不处于开始的态上了.>Ψ+↑0|)(t a k 如果展开系数分布很窄, 比如)'()(|)(|2E E E D E c −=δ我们马上得到)'(')'()'(t t iE t t iE edE eE E −∞∞−−=−∫δ这是说系统以后永远呆在开始的态上了.>Ψ+↑0|)(t a k 如果展开系数分布为1222])'([)(|)(|−−+Δ=E E E D E c 则有)')('()'(1222])'([t t i E i t t iE ei dE eE E −Δ+∞∞−−−=−+Δ∫π也就是说, 这个几率随时间衰减, 寿命为. Δ=/1τ以上讨论其实是把海森堡的不确定性关系具体化了.洛仑兹分布这里的讨论其实很具一般性,适用于所有寿命有限的粒子.能量分布有宽度,寿命就有限.在时, 粒子之间无相互作用, ,以后随着时间的消逝相互作用缓慢地增长, 在时, 增加到实际大小, 这时系统达到真正的基态−∞→t >Φ>=−∞→Ψ0|)(|t I 0=t >Φ−∞>=−∞Ψ−∞>=Ψ00|),0(ˆ)(|),0(ˆ|U UI H此后, 当时, 再让相互作用缓慢地趋于零,,∞→t>Φ>≡Φ−∞∞>=Ψ∞000|ˆ|),(ˆ|)0,(ˆS UU H 这样就有iL H e U−>Φ∞>=Ψ00|)0,(ˆ|>Φ>=Φ−00||ˆiL e S系统又回到无相互作用的基态, 至多差一个相位因子绝热假设。
格林函数
在线性媒质中，任意分布的简谐(或稳恒)源所激励的场，都可以化为单位点源所激励的场的线性组合。
在确定的媒质和边界条件下，单位点源所激励的场矢量或势函数就称为该条件下场或势的格林函数。
它们是场点位置矢径r和源点位置矢径r′的函数。
电磁场边值问题的解可以表示成源函数与格林函数乘积的积分。
标量格林函数在均匀无界媒质中，自由电荷密度ρ所产生的标势φ在洛伦兹规范下满足方程(1)式中k2=ω2εμ，该标势的格林函数G(r，r′)应满足方程(2)式中2对r点的坐标作运算,δ(r－r′)是集中作用在r′点的狄拉克δ-函数。
此方程的解是(3)由此可得标势的解是下列对r′的坐标的积分(4)当媒质为分区均匀时,在分界面上G应满足与φ相同的连续性条件。
设G＝G0+G1,其中G1表示分界面的影响，且在r→r′时应为有限值。
例如在理想导体平表面S的上半空间中的格林函数为(5)式中第一项即为G0，第二项表示导体表面的影响，r媴是r′关于平表面的镜象点。
如果均匀媒质空间V被闭曲面S0所包围,应用格林第二公式，并利用格林函数的对称性G(r′,r)＝G(r,r′)，可得(6)为了消除面积分中的未知项，应当根据φ的已知边界条件来规定G的边界条件，具体来说，当已知φ或或的边界值时，应相应地规定例如，V是无限大平面S的上半空间,已知V内的源分布ρ和S上的φ值，利用格林函数（5）式并注意到以及对于S上的源点r i=r，有和于是(7)并矢格林函数以上的讨论也适合场或矢势的各直角坐标分量。
对于矢量源函数，通常将r′点的源矢量分解为三个正交分量,分别求出在r点的场或势。
于是对于电场和磁场矢量，共有6个矢量格林函数，采用并矢记法，则可合并为两个并矢格林函数。
设在r′点放置的电流源J，它的三个分别沿正交单位矢量e媴(i=1,2,3)的电偶极矩为(8)则体积V中的电流源J(r′)所产生的电场为(9)记电场和磁场的电并矢格林函数分别是(10)则(9)式可写成并矢的形式(11)一般情况下，沿e媴方向的电偶极矩所产生的电场E e(e媴)应满足方程(12)对应有电并矢格林函数的方程(13)和关系式(14)在无界均匀媒质中(15)对应有电并矢格林函数(16)式中是单位并矢，当r→r′时,E e为|r→r′|-3的量级,所以当J(r)厵0时,在数学上不收敛,应当取其主值。
格林函数方法
给定，
（1）V内有电荷分布
求V内
相应格林函数问题
在S上）
常数（
（2）
只要知道
和
，即可马上得到
（1） 的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。电象法是求解格林函数的有效方法之一。
3．格林函数方法求解讨论
（2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的边值问题。由
本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。 它与点电荷解的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。 设V内电荷分布 已知，
—— 第一边值问题
① 给定V边界
求V内各点电势值。
本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重要的工具。
—— 第一类边值问题
—— 第二类边值问题
（1）无界空间中的格林函数
的距离
到
球坐标中
（偶函数）
显然满足点电荷泊松方程。
（2）上半空间的格林函数
（3）球外空间的格林函数
设点电荷Q = 1 坐标为
观察点为
（
相当于题中的 a ）
设假想点电荷在
，它的坐标为
（它在
连线上，题中b对应这里的
）
∵
三、用格林函数求解一般的边值问题
一、点电荷密度的
函数表示
处于
点上的单位点电荷的密度
[一般
]
2．常用公式
点电荷的泊松方程：设电势为
单位点电荷产生的电势
空间区域V上的边界条件
或
常数
格林函数的对称性
（偶函数）
对于静电场的点电荷问题
称为静电场的格林函数
（
格林函数法
第四章格林函数法拉普拉斯方程边值问题的求解方法调和函数： 1 拉普拉斯（Laplace ）方程的基本解§4.1 格林（Green ）公式及其应用具有二阶连续偏导数的调和方程的连续解；或满足Laplace 方程的函数。
三维Laplace 方程的基本解：22200011(,,)()()()MM u x y z r x x y y z z ==-+-+-特点：除 点外，任一点满足Laplace 方程。
0000(,,)M x y z 同学们自己验证。
二维Laplace 方程的基本解：220011(,)lnln()()MM u x y r x x y y ==-+-特点：除 点外，任一点满足Laplace 方程。
000(,)M x y 同学们自己验证。
问题：基本解是否为整个区域内的解？2 Green 公式（1）奥－高公式（高斯公式）：设 是有界区域， 是其边界曲面且足够光滑， 在 上连续，在 内有连续偏导数，则ΩΓΩ+Γ(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z Ω()(cos cos cos )P Q R d P Q R dS x y z αβγΩΓ∂∂∂++Ω=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰推导：令 其中 是 的外法线方向。
{cos ,cos ,cos }n αβγ=Γ（2）第一Green 公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且足够光滑， 及其一阶偏导数在 上连续，在 内有二阶连续偏导数，则ΩΓΩ+Γ(,,),(,,)u x y z v x y z Ω()v u v u v u vu vd u dS d n x x y y z z ΩΓΩ∂∂∂∂∂∂∂∆Ω=-++Ω∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,,v v vP u Q u R ux y z∂∂∂===∂∂∂代入高斯公式，并注意方向导数公式即可得。
（2）第二Green 公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且足够光滑， 及其一阶偏导数在 上连续，在 内有二阶连续偏导数，则ΩΓΩ+Γ(,,),(,,)u x y z v x y z Ω(()v uu v v ud u v dS n n ΩΓ∂∂∆-∆Ω=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰推导：由第一Green 公式，有()v u v u v u v u vd u dS d n x x y y z z ΩΓΩ∂∂∂∂∂∂∂∆Ω=-++Ω∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()u u v u v u v v ud v dS d n x x y y z z ΩΓΩ∂∂∂∂∂∂∂∆Ω=-++Ω∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰两式相减即可得。
格林函数及其应用课件
有限差分法
01
有限差分法是将微分方程或积分 方程转化为差分方程，然后求解 差分方程得到格林函数的数值解 。
02
有限差分法适用于求解偏微分方 程，特别是对于具有周期性或对 称性的问题，有限差分法可以大 大简化计算过程。
有限元法
有限元法是将微分方程或积分方程转化为有限元方程，然后求解有限元方程得到 格林函数的数值解。
对于某些领域，需要高精度的格林函数来保证计 算的准确性。
未来格林函数研究的方向与展望
算法优化
寻求更高效、稳定的算法来计算格林函数。
多领域交叉
加强与其他领域的合作，拓展格林函数的应用范围。
数值稳定性
研究如何提高格林函数计算的数值稳定性。
感谢观看
THANKS
量子力学散射问题的格林函数计算
总结词
介绍了量子力学散射问题中格林函数的 计算方法，以及其在散射理论中的应用 。
VS
详细描述
在量子力学中，格林函数用于描述粒子在 相互作用下的运动行为。通过计算格林函 数，可以研究粒子在散射过程中的能量和 动量变化，进一步理解物质的微观结构和 相互作用机制。
流体动力学波动问题的格林函数计算
工程学
在电路分析、控制理论和信号 处理等领域有广泛应用。
生物学
用于研究神经网络的传播和扩 散过程。
金融学
用于描述资产价格波动和风险 评估。
当前格林函数计算中存在的问题与挑战
高维问题
随着问题维度的增加，格林函数的计算变得极为 复杂。
不适定性
在实际应用中，格林函数的求解可能存在数值不 稳定性。
精度要求
有限元法适用于求解复杂的偏微分方程，特别是对于具有复杂边界条件的问题， 有限元法可以更好地处理边界条件。
25介质格林函数(II)
i r 1 1 1 2 1 1 i ln 1 r ( 1) ln 2 0 1 r r 1 i0 r 1 ( y y0 ) [2( i 1)h]2 ( y y 0 ) 2
(
r
)
2
-h
-
r
3h
-
(
r
ε r-1 ε r+1
)
h+
r
y 2 1+ε
-3h
2 + 1+ε
r
2ε r ε r-1 ( 1+ε r ε r+1 )
-
r
2 1+ε
-5h 2 1+ε 2ε r ε r-1 2 ( ) 1+ε r ε r+1
(
r
ε r-1 ε r+1
)
r
-
2 1+ε 2 1+ε
(
r
ε r-1 ε r+1 ε r-1 ε r+1
(25-7)
注意到h＋符合上述表述，它显然符合
2 Ⅱ 0
同时，反对称组合使Ⅱ|x=0≡0得以满足。
一、三层介质镜像法
3. x=h处Ⅰ=Ⅱ边界条件检验。
Ⅰ | x h
2 r 2 1 [ln 20 1 r ( y y0 ) 2 1 r 1
r 1 2 r 1 ln 1 1 ( x 5h )2 ( y y0 )2 r r r 1 2 r 1 ln 1 1 ( x 2 h ) 2 ( y y0 ) 2 r r
格林函数法详解
V
q (r r') /0
解 u f (r')d ' G 1 V q
4 | r r'|
4 | r r'|
40 | r r'|
基本思路
原问题 点源问题
关系
u f (r ) u | 0
G (r r ' )
G | 0
f (r) f (r') (r r')d '
A JGdV
V
Am J mGdV V
3、格林函数的一般概念
• 定义：纯点源产生的场
– （不计初始条件和边界条件的影响）。
– 例子：
• ΔG = δ(r-r’)，G|Γ=0 • (t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’)， G|Γ= G|t=0=0
– 一般形式
• L G(xi) = δ(xi-xi’) • G|边界= G|初始=0
林函数
• 性质：
– 设数学物理方程为 L u(x) = f (x) – 而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’) – 在相同的齐次定解条件下 – 因为： f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’ – 所以： u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’
• 应用（求解数学物理方程的格林函数法）
格林函数法
• 有源电磁场问题要求解非齐次波动方程，格林函数法 是其中一种重要的求解方法。
• 格林函数表示单位强度的点源的产生的场，是非齐次 波动方程的基本解。
• 在此基础上，可利用叠加原理求得任意分布的源所产 生的场。确定论问题
• 如果源的分布是未知的，也可借助格林函数建立积分 方程，将求解非齐次波动方程转换为求解积分方程， 从而有利于用数值方法对问题进行求解. 边值问题
电势与格林函数静电问题中的拉普拉斯方程与格林函数解法
电势与格林函数静电问题中的拉普拉斯方程与格林函数解法导言：在静电学中，研究电势和格林函数是解决电场分布的重要方法。
本文将讨论电势与格林函数在静电问题中的应用，重点介绍拉普拉斯方程以及格林函数解法。
一、拉普拉斯方程简介拉普拉斯方程是描述电势在无电荷区域中分布的基本方程。
对于一个二维情况下的电势分布问题，拉普拉斯方程可以写作：∇²ψ = 0其中，∇²表示拉普拉斯算子，ψ表示电势。
二、格林函数的概念与意义格林函数是求解拉普拉斯方程问题的关键工具。
格林函数是指满足以下条件的函数G(x,x')：∇²G(x,x') = -1 / ε₀ * δ(x-x')其中，ε₀是真空介电常数，δ(x-x')表示Dirac函数。
格林函数在某一点的值表示在该点放置单位点电荷时在空间中的分布情况。
三、格林函数的求解方法格林函数的求解可以通过使用边值问题的方法，具体步骤如下：1. 确定给定区域的边界条件以及相应的边界值。
2. 根据边界条件和拉普拉斯方程建立复杂变量的边界值问题。
3. 利用复变函数的解析性质求解得到问题的解析解。
4. 根据格林第一定理以及叠加原理，得到最终的格林函数解。
四、拉普拉斯方程与格林函数解法实例在一个有限区域中，假设存在一个带电导体表面，题目要求求解该区域内的电势分布。
根据已知条件，可以将问题建模为一个边值问题，通过求解格林函数来得到电势分布。
结论：在静电学问题中，电势与格林函数是求解电场分布的重要方法。
通过拉普拉斯方程与格林函数的解法，可以得到电势的具体分布情况。
在实际问题中，我们可以根据具体的边界条件和几何形状，使用适当的数值方法或解析方法求解，从而获得准确的电势分布结果。
参考文献：[1] Griffiths D J. Introduction to Electrodynamics[M]. Pearson Education Limited, 2017.[2] Lewin W. Mathematical Methods in Classical Mechanics[M]. Springer Science & Business Media, 2012.。
格林函数.pdf
第4章 格林函数在这一章里,我们介绍数学物理方程中另外一种常用的方法—格林函数法.从物理上看,一个数学物理方程是表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系.例如,热传导方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源被分解成很多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同样边界条件下任意源的场,这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就叫做格林函数.4.1δ函数几何学中的点是没有大小的,它仅仅表示空间的一个位置,因此物理学中的质点、点电荷等点源无法用几何中的点来表示.那么,我们用数学语言如何描述这类具有实际背景的点源呢?考虑一根长为l 的直线,其上任一点的坐标⎦⎤⎢⎣⎡−∈2,2l l x .若总电量为Q 的电荷均匀分布在直线上,则直线上的电荷分布的线密度)(x ρ是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>=2,2,0)(l x lQ lx x ρ (4.1.1) 由定积分的性质可知x x Q d )(∫+∞∞−=ρ (4.1.2)若将上述线段无限缩小,或者说令0→l ,则我们得到了一个物理上常用的点源—点电荷.此时,电荷分布密度用)(0x ρ表示,同时式(4.1.1)变为⎩⎨⎧=∞≠=0,,0)(0x x x ρ (4.1.3) 而此时,电量仍为Q ,则式(4.1.2)仍然成立.为了理解上的方便,我们修改一下问题的叙述:去电量1=Q ,线段长度为ε2,则密度分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=εεεδεx x x ,21,0)(且1d )(d )(===∫∫−+∞∞−εεεεδδx x x x Q由此可见)(x εδ是偶函数,则由积分第一中值定理可得)()(d )()(d )()(εξεξδξδεε<<−==∫∫+∞∞−+∞∞−f x x f x x f x当0→ε时,我们有了新的结果,我们将它定义为δ函数. 我们称符合下述2个条件的函数为δ函数⎩⎨⎧≠=∞=0,00,)(x x x δ (4.1.4)且∫+∞∞−=1d )(x x δ (4.1.5)由极限理论可知,)(x δ是偶函数.∫∫+∞∞−+∞∞−→→===)0(d )()(d )()(lim )(lim 00f x x f x x x f x f δδξεεε (4.1.6))(x δ不是通常意义下的函数,它用来描述集中分布这种常见而又特殊的一类现象的数学工具.δ函数不局限于描述点电荷的分布密度,它可以用来描述任意点量的密度.借助于δ函数,我们可以方便地描述各类点源的分布情况.如电量Q 的点电荷的分布函数为)()(0x Q x δρ=.例1 设有一条张紧静止的无穷长的细弦,其线密度为1=ρ若在0=x 点,在很短的时间内,用大小为F 的力敲一下,使获得的冲量1=∆⋅t F .问弦上的初始速度v 是怎样的?解 若0≠x ,由于时间非常短,扰动尚未传动,所以0=v ;而在0=x 上有∞=v .此外,由于敲打前弦是静止的,所以弦上的动量是1=∆⋅t F ,即∫∫+∞∞−+∞∞−==⋅1d )()(d x x v x v x ρ故初速度)()(x x v δ=.例2 设有一根温度为C 0o度的导热杆,其线密度为ρ,比热为c ,现用火焰在0=x 处以极短的时间烤一下,传给杆的热量为Q ,请分析一下开始一瞬间杆上的温度)(x T 的分布?解 在刚开始一瞬间,我们有⎩⎨⎧=∞≠=0,,0)(x x x T且∫+∞∞−=Q x x T c d )(ρ所以有)()(x c Qx T δρ=通过以上两个例题,我们对)(x δ有了进一步的认识.如果将坐标平移0x ,即集中量出现在点0x x =处,则有⎩⎨⎧=∞≠=−000,,0)(x x x x x x δ且∫+∞∞−=−1d )(0x x x δ这样，我们可以得到δ函数的一个重要性质)(d )(00x f x x x ∫+∞∞−=−δ或者说⎩⎨⎧><<<=−∫bx a x bx a x x x ba0000,0,1d )(或δ⎩⎨⎧><<<=−∫b x a x bx a x f x x x x f b a00000,0),(d )()(或δ4.2 无界域中的格林函数在第1章中,我们推导出了静电场的电势分布u 满足泊松方程ρε1222222−=∂∂+∂∂+∂∂=∆zu y u x u u (4.2.1)式中,ρ是电荷密度,所占区域为Ω,0r 是Ω中任意一个点.如果不考虑其他因素的影响,对于无界空间中的电势u ,可以利用定积分中的微元法的思想求出来.有库仑定律知,位于0r 点的一个正的单位电荷,在无界空间中点r 处产生的电势是041),(r r r r G −=π (4.2.2)则以0r 为中心的小体积Ωd 在r 处产生的电势为Ω=d )(),(d 00r r r G u ρ因此,在r 处产生的电势为∫∫ΩΩΩ−==d 4)(d )(00r r r u r u πρ为了表述上的方便, 0r 处的体积微元Ωd 以后用0d r 表示,则有∫Ω−=000d 4)()(r r r r r u πρ这样,我们没有直接求解方程,而是通过寻找微元,利用积分的方式求出了方程的解.而点源产生的电势),(0r r G 称为泊松方程式(4.2.1)在无界空间中的格林函数,利用它,我们求出了泊松方程在无界空间的解.无界空间中的格林函数又叫做方程的基本解,因此式(4.2.2)又称为泊松方程的基本解.有时也称它为相应的齐次方程(即拉普拉斯方程)的基本解,记为).,(00r r G基本解式(4.2.2)是密度为0ρ的点源在空间产生的电势,因此它在空间除了0r r =点以外,满足方程001ρε−=∆G而在0r r =点有奇异性.由于格林函数是点源函数,因此在空间某一点有奇异性. 在一般的数学物理方程中,我们需要考虑的是满足一定边界条件和初始条件的解,因此相应的格林函数就比刚才所提到的要复杂.在这种情况下,一个点源所产生的场,同时要受到边界条件及初始条件的影响,而这些影响的本身也是待定的. 例如,在一个接地的导体空腔内的点0P 处放置一个正的单位点电荷(如图4-1),则在点P 处的电势不仅是点电荷本身所产生的场41r r −π,并且还要加上这个点电荷在导体内壁上感应电荷所产生的场.而感应电荷在导体内壁上的分布是未知的,我们只知道在边界上电势为零(接地).因此,在一般情况下,格林函数是一个点源在一定的边界条件和(或)初始条件下所产生的场.通过格林函数,我们可以求得任意分布的源所产生的场.4.3 格林公式 有界域上的格林函数为了进一步探讨利用格林公式函数求解数学物理方程,我们先来推出一个重要工具—格林公式,它是曲面积分中高斯公式的直接推论.设Ω是以足够光滑的曲面Γ为边界的有界域,),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Γ+Ω上是连续的,在Ω内具有一阶连续偏导数,则有如下的高斯公式∫∫∑++=Ω⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂ΩS z n R y n Q x n P z R y Q x P d )],cos(),cos(),cos([d (4.3.1) 式中,Ωd 是体积元素;n 是曲面Γ的外法向量;S d 是Γ上的面积元素.设函数),,(),,,(z y x v z y x u 在Γ+Ω上一阶偏导数连续,在Ω内二阶偏导数连续,则在式(4.3.1)中,令z vR yv u Q x v uP ∂∂=∂∂=∂∂=,,则有∫∫∫∫∫∫ΓΩΩΩΩΩ∂∂=Ω⋅+Ω∆=Ω⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+Ω∆=Ω⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂S nvuv u v u z v z u y v y u x v x u v u z R y Q x P d d grad grad d )(d d )(d 或表示为Ω⋅−∂∂=Ω∆∫∫∫ΩΓΩd grad grad d d )(v u S nvuv u (4.3.2)式(4.3.2)称为格林第一公式.在式(4.3.2)中,交换v u ,的位置，则有Ω⋅−∂∂=Ω∆∫∫∫ΩΓΩd grad grad d d )(v u S nuvu v (4.3.3)式(4.3.2)减式(4.3.3)得∫∫ΓΩ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂=Ω∆−∆S n u v n vu u v v u d d ][ (4.3.4) 式(4.3.4)称为格林第二公式.下面,我们以泊松方程第一类边值问题为例,进一步阐明格林函数的概念.⎪⎩⎪⎨⎧=−=∆Γ)6.3.4()5.3.4(1f u u ε式中, f 是在区域Ω上的边界Γ上给定的函数.在介绍格林函数之前,我们要引进空间的δ函数来表示点源的密度分布,有)()()()(0000z z y y x x r r −−−=−δδδδ⎩⎨⎧=∞≠=−000,,0)(r r r r r r δ )),,((1d )(00000Ω∈=−∫Ωz y x r r r r δ∫Ω=−)(d )()(00r f r r f r r δ用),(0r r G 表示位于0r 点的单位强度的正点源在第一类边界条件下产生的场,则),(0r r G 作为r 的函数满足⎪⎩⎪⎨⎧=−−=∆Γ)8.3.4(0)7.3.4()(1),(00G r r r r G δε以),(0r r G 乘式(4.3.5),)(r u 乘式(4.3.7),二式相减后在Ω上对r 积分,以r d 表示r 点处的体积微元,有∫∫∫ΩΩΩ−+−=∆−∆r r r r u r G r G u u G d )()(1d 1d )(0δερε利用格林第二公式及δ函数的性质,有)9.3.4(d ),()(d )(),(d ),()(d )(),(d ),()()(),(d )(),()(00000000∫∫∫∫∫∫ΓΩΓΩΓΩ∂∂−=∂∂−=⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−∂∂+=S nr r G r f r r r r G S nr r G r u r r r r G S n r r G r u n r u r r G r r r r G r u ερερερ但这个表达式中所表示的意义与我们的初衷相矛盾.),(0r r G 表示的是位于0r 点的点源在r 点产生的场.但我们能证明),(),(00r r G r r G =,这样,式(4.3.9)可以改写成)10.3.4(d ),()(d )(),(d ),()(d )(),()(0000000000∫∫∫∫ΓΩΓΩ∂∂−=∂∂−=S nr r G r f r r r r G Snr r G r f r r r r G r u ερερ这样,式(4.3.1)的物理诠释就很清楚了:右方第一个体积分代表在区域Ω中体分布源)(0r ρ在r 点产生的场的总和,第二个面积分则表示了在边界上的源所产生的场. 下面我们来证明),(),(00r r G r r G =,由式(4.3.7)及式(4.3.8),我们有⎪⎩⎪⎨⎧=−−=∆Γ)12.3.4(0),()11.3.4()(1),(111r r G r r r r G δε⎪⎩⎪⎨⎧=−−=∆Γ)14.3.4(0),()13.3.4()(1),(222r r G r r r r G δε×),(2r r G 是式(4.3.11)—×),(1r r G 式(4.3.13),有)(),()(),()],(),(),(),([21122112r r r r G r r r r G r r G r r G r r G r r G −−−==∆−∆δδε两侧同时对r 积分,有∫∫ΩΩ−−−=∆−∆rr r r r G r r r r G r r r G r r G r r G r r G d )(),()(),(d )],(),(),(),([21122112δδε根据格林公式第二公式及δ函数的性质,有),(),(d ),(),(),(),(12212112r r G r r G S n r r G r r G n r r G r r G −=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−∂∂∫Γε 则根据式(4.3.12)及式(4.3.14),有0),(),(),(),(2112=∂∂−∂∂Γnr r G r r G nr r G r r G 所以),(),(1221r r G r r G =这种性质在物理学中称为倒易性,如图4-2所示,即位于1r 点的点源,在一定的边界情况下,在2r 点产生的场等于位于2r 点的同样强度的点源,在相同的边界情况下在1r 点产生的场.我们称这种现象为格林函数的对称性.应当说明，在得式(4.3.9)时,我们利用格林公式把重积分化为曲面积分时,这要求G ∆(及u ∆)在积分区域Ω内连续为前提,由式(4.3.7)可明显看到G ∆不连续,这样的推导请参阅谷超豪等著《数学物理方程》(第二版).4.4 格林函数的应用在第1章里,我们从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布推出了三维拉普拉斯方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂=∆zu y u x u u作为描述稳定或平衡等状态的方程,它与初始状态无关,因而不能提初始条件.对于边界条件,常见的是如下两种现象.第一边值问题 在空间),,(z y x 中某一区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ,要找这样的函数),,(z y x u ,它在闭区域Γ+Ω上连续,且满足⎩⎨⎧==∆Γf u u 0第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问题,或简称为狄氏问题.拉普拉斯方程的连续解,即具有二阶连续偏导数,并且满足拉普拉斯方程的连续函数,称为调和函数.因此, 狄氏问题也可以这样叙述:在区域Ω内找一个调和函数,它在边界Γ上的值是已知的.第二边值问题 在空间在空间),,(z y x 中某一区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ,要找这样的函数),,(z y x u ,它在闭区域Γ+Ω上连续,且满足⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∆Γf nuu 0 式中,n 是曲面Γ的外法向矢量.第二边值问题也称为诺依曼(Neumann)问题.以上两个边值问题都是在边界Γ上给定某些条件,在区域内部求解拉普拉斯方程,这样的问题称为内问题.在应用中,我们还会碰上另一类现象,如确定某物体外部的稳恒温度场时,就归结为在区域Ω的外部求调和函数u 使之满足边界条件f u =Γ,这里Γ是区域Ω的边界,f 表示物体表面的温度分布.这样的问题称为拉普拉斯方程的外问题. 限于篇幅,本书仅讨论如何利用格林函数求解狄利克莱问题⎩⎨⎧==∆Γ)2.4.4()1.4.4(0fu u至于其他的问题,求解的思考方法是想像的,可查阅相关的书籍.由式(4.4.1)知源的分布密度函数0=ρ,所以上节给出的求解公式就变为∫Τ∂∂−=S nr r G r f r u d ),()()(00 (r 在曲面Γ上) 或∫Τ∂∂−=S nr r G r f r u d ),()()(00 (0r 在曲面Γ上) (4.4.3) 此处介电常数1=ε. 这样,对一个由曲面Γ围成的区域Ω来说,只要求出了格林函数),(0r r G ，则这个区域内狄氏问题的解就可以由式(4.4.3)求出.实际上,求解边值问题式(4.3.7)—式(4.3.8)是很困难的,因此有必要对格林函数),(0r r G 作进一步的剖析.在本章中,我们定义了方程的基本解),(00r r G ,它满足方程式(4.3.7))(),(000r r r r G −−=∆δ但不满足边界条件式(4.3.8).于是我们设)(),(),(000r V r r G r r G +=代入式(4.3.7)及边界条件式(4.3.8),则有⎩⎨⎧−==∆ΓΓ00G V V这样,只要找到满足边界条件ΓΓ−=0G V的调和函数V ,那么就可以由基本解得到格林函数),(0r r G .事实上,当区域的边界具有特殊的对称性时,格林函数是用镜像法(静电源像法)求得的.所谓静像法,就是在区域Ω外找出点0M 关于边界Γ的像点(对称点)1M ,然后在1M 上放置适当的负电荷,由它所产生的负电位与点0M 处单位电荷产生的电位在曲面Γ上相互抵消.此时,放置在0M ,1M 两点处的电荷所形成的电场在Ω内的电位就是所要求的格林函数.下面,我们以寻求半空间、球域的格林函数为例来说明镜像法的具体应用.例3 求解上半空间0>z 内的狄利克莱问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<−∞=>=∂∂+∂∂+∂∂=)5.4.4(),(0)4.4.4()0(00222222y x u z z uy u xu z解 先求出格林函数),(0r r G .为此在上半空间0>z 中任意一点),,(0000z y x r 处置一单位正电荷,在点0x 关于平面0=z 的对称点),,(0001z y x r −处置一单位负电荷,如图4-3所示.由它们所形成的静电场的电势在平面0=z 上恰好为零.因此上半空间的格林函数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=1001141),(r r r r r r G π(4.4.6)为了利用式(4.4.3)求解问题式(4.4.4),式(4.4.5)需要计算边界曲面上的nG∂∂值.由于在平面0=z 上的外法线方向是Oz 轴的负向,所以)7.4.4(])()[(210])()()[(])()()[(4123220200232020200232020200000z y y x x z z z z y y x x z z z z y y x x z z z G nG z z +−+−−==⎪⎭⎪⎬⎫++++++−⎪⎩⎪⎨⎧−+−+−−=∂∂−=∂∂=ππ则定解问题式(4.4.4),式(4.4.5)的解为∫∫+∞∞−+∞∞−+−+−=ηξηξηξπd d ])()[(),(21),,(23222z y x zf z y x u (4.4.8)用同样的方法，我们可以求出球域上的格林函数,并给出球域内的狄利克莱问题的解.设有一球心在原点,半径为R 的球面Γ.在球内任取一点),,(0000z y x r ，在0Or 的延长线上截取线段1Or ,令00ρ=Or ,11ρ=Or ,使210R =⋅ρρ,这样的点1r 称为点0r 关于球面Γ的反演点(或对称点),如图4-4所示.我们在点0r 处放置一单位正电荷,在点1r 处放置一q 单位的负电荷,通过选择恰当的q 值,使得这两个点电荷所产生的电势在球面Γ为零.即P r qP r 10441ππ=或 Pr P r q 01=式中,P 为球面Γ上任意一点.由于三角形△P Or 1与△P Or 0在点O 处有公共角,且夹这个角的两条边成比例1ρρRR=,因此这两个三角形相似.于是得到01ρRP r P r =因此ρRq =即只要在点1r 处放ρR单位的负电荷,则由0r 及1r 处点源产生的电势在球面上为零,这样,球域内的格林函数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=10001141),(r r R r r r r G ρπ(4.4.9) 式中,r 为球域内任意一点,记0ρ=Or .下面,我们利用格林函数来求解球域内的狄利克莱问题⎩⎨⎧==∆Γf u u 0Ω∈),,(z y x 由式(4.3.9)得(介电常数)1=εS nr r G r f r u d ),()()(00∫Γ∂∂−=因此,我们要计算Γ∂∂n G,由 γρρρρcos 21102200−+=−r rγρρρρcos 21112211−+=−r r012ρρ⋅=R式中,γ是向量0Or 与Or 的夹角.所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−−−+=40222002200cos 21cos 2141),(R M M G γρρρρργρρρρπ在球面Γ上 2302022022340222002202302020)cos 2(41)cos 2()cos ()cos 2(cos 41γρρρπργρρρργρργρρρργρρπρρR R R R RR R R R RG G −+−−==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−+−−==∂∂=ΓΓ∂∂ 所以狄氏问题的解为S f R R R R r u d )cos 2(41)(23022220∫∫Γ−+−=γρρρπ (4.4.10)为了方便解释物理现象,我们也可以利用格林函数的倒易性,求出球内任一点r 处的电势)(r u .在球面上应用球坐标系,上式变为∫∫−+−=ππθϕϕγρρρθϕπθϕρ202302222000d d sin )cos 2(),,(4),(R R R R f Ru (4.4.11)式中, ),(000θϕρ是点0r 的坐标;),,(θϕR 是球面Γ上点P 的坐标;γcos 是向量0Or 与OP 的余弦.因为向量0Or 与Or 的方向余弦分别是)cos ,sin sin ,sin (cos )cos ,sin sin ,sin (cos 00000ϕϕθϕθϕϕθϕθi所以可得)cos(sin sin cos cos )cos cos sin (sin sin sin cos cos cos 0000000θθϕϕϕϕθϕθθϕϕϕϕγ−+=++=式(4.4.10)及式(4.4.11)称为球的泊松公式.例4 设有一半径为R 的均匀球,球心在坐标原点,上半球面的温度保持为C o0,下半球面的温度保持为C o2,求:(1) 球内温度的稳定分布; (2) 球内z 轴上温度的分布; (3) 球心的温度.解 这个问题的数学描述为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<=<=∆=πϕππϕρρ2,220,0)(0R u R u由泊松公式,球内任一点),(0θϕρ处的温度为∫∫∫∫−+−=−+−=ππππθϕϕγρρρπθϕϕγρρρθϕπθϕρ2023020220220023020222000d d sin )cos 2(2d d sin )cos 2(),,(4),(R R R R R R R R f Ru若只考虑z 轴上的温度,即00=ϕ(上半轴)或πϕ=1(下半轴), 可知:当00=ϕ时,ϕγcos cos =,则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+−===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+−−=−+−=∫∫2020202210202022202230222200112)cos 2(d d sin )cos 2(2),0,(ρρρρπϕπϕϕρρρρθϕϕϕρρρρπθρπππR R R R R R R R R R R Ru当πϕ=0时ϕγcos cos −=,故⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−−=202002020011),,(ρρρρθπρR R R u 当00→ρ时,应用洛必达法则有1),,(lim )0,0,0(00000==→θϕρρu u即球心温度为C o1。
电动力学电动力学二五(格林函数)
a RdR
0
2 0
d1
3 2
R2
2RRcos
R2 z2
15 8
R2
2RRcos
R2 z2 2
2
V0a2 2
R2
z z2
32
1
3 4
a2 R2
z2
15R 2a 2 8 R2 z2
2
21
17
例 在无穷大导体平面上有半径为a 的圆，圆内和圆外用极狭窄的绝缘 环绝缘。设圆内电势为V0，导体板 其余部分电势为0，求上半空间的电 势。
18
解
以圆心为柱坐标系原点，z轴与平板 垂直，R为空间点到z轴的距离。上 半空间的格林函数用柱坐标表出为
G
x,
x
1
1
4 0 R2 z2 R2 z2 2zz 2RRcos -
R2 R2 2RRcos
1
RR R0 2 R02 2RRcos
13
三、格林公式和边值问题的解
先考虑第一类边值问题 ，设V内有电荷分 布ρ，边界S上给定电势|s ，求V内的电势 (x)。
设区域内有两个函数(x) 和 (x) ，有格林公式
2 2 dV dS
x
dS
对第二类边值问题，由于 G(x,x’)是点上单位点电荷 所产生的电势，其电场通 量在边界面S上应等于1/0 ，即
S
n
G x ,
x dS
1
0
满足上式的最简单的 边界条件是
Gx, x 1
n
xS
0S
第二类边值问题的解
x
V
G
x,
x
x
dV
0
S
G
x,
x
关于静电学中的格林函数法
关于静电学中的格林函数法
格林函数法是用于解决静电学问题的理论解析技术，它很大程度上概括了许多
典型对等静电场问题中的解决方案，是静电学研究中一个重要的工具。
格林函数大大提高了计算效率，允许解决许多非定常的、离散的和无界的静电场问题。
格林函数是由列昂·格林于1823年提出的，他为解决理想电容夹层问题提出
一种概括性的解法。
格林函数法可以用来解决具有多个对称性的静电场，包括定常、脉冲、时变高斯信号等。
它可以将复杂的静电问题转化为积分形式，使得静电学研究变得更为清晰和便捷。
在传统的求解方法中，由于静电学问题可能涉及复杂的布置和结构，往往需要
大量有限元分析和积分，耗时耗力又难求得准确结果。
然而，采用格林函数法可以将有限元分析简化为多项式求解过程，大幅度提升了求解效率，并在得到结果时无需大量细分单元，大大节省了空间和时间上的精度。
总之，格林函数法是静电学中不可或缺的重要技术，它不仅具有解决特定静电
问题能力，同时也拥有准确有效的特质，能对静电学研究过程产生良性直接影响。
《格林函数方法》课件
对于流体动力学中的无界问题，例如流体在大气压下的流动，格林函数方法可以提供一种 有效的求解方法，通过引入适当的边界条件来处理无界问题。
流体动力学中的非线性问题
格林函数方法也可以用于求解流体动力学中的非线性问题，例如流体动力学的非线性波动 和湍流等。
结构力学问题中的应用
弹性力学问题
在结构力学中，弹性力学问题是 常见的，格林函数方法可以用于 求解弹性力学中的各种问题，例 如弹性体的应力、应变和位移等 。
结构稳定性问题
结构稳定性问题也是结构力学中 的重要问题，格林函数方法可以 用于求解结构的稳定性，例如结 构的临界载荷和失稳模态等。
结构动力学问题
在结构动力学中，格林函数方法 可以用于求解结构的动态响应和 振动模态等，例如结构的振动频 率、阻尼和响应等。
探究格林函数方法在污染物扩散、水文模型等 领域的应用。
在材料科学中的应用
研究格林函数方法在材料电磁性能、光学性能等领域的应用。
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粒子动力学问题中的应用
描述粒子运动
在粒子动力学问题中，格林函数可以用来描述粒子的运动轨 迹和行为。通过格林函数，可以将粒子动力学问题转化为求 解微分方程或积分方程的问题，从而得到粒子的运动轨迹和 性质。
04
格林函数在工程问题中的应 用
流体动力学问题中的应用
流体力学中的波动和散射问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的波动和散射问题，例如声波在流体中的传播、波 动在流体界面上的反射和折射等。
格林函数方法的优势与局限性
优势
能够将复杂的微分或积分方程问题转 化为简单的代数方程问题，计算效率 高，适用于大规模问题求解。
局限性
格林函数法
格林函数法
格林函数（Green's Function）是描述物理系统状态之间相互转换和
其它类型的转换的一种函数，用来解决系统的边界值问题。
它可以通过物
理系统的差分方程来解释，也可以用来表征物理系统的任意状态之间的相
互作用。
格林函数可以概括地表示为：当系统处于某一特定状态时，其他
状态的影响，及它们之间的相互作用，以及系统当前状态的演变。
格林函数法可以分为两种：一种是无限空间的，这种方法是通过求解
无限空间的格林函数的衍生值来处理边界值问题；另一种是有限空间的，
这种方法是通过求解有限空间的格林函数的衍生值来处理边界值问题。
格
林函数法可以用来研究物理系统中多种形式的边界值问题，包括边界条件、初始条件、响应函数、激励函数、反应函数等。
此外，它还可以用来估计
未知量、估计系统参数、构造信号处理过程和对边界条件进行约束等。
格林函数方法
格林函数方法格林函数方法是一种数值计算方法，它通过求解常微分方程来解决实际问题，并有助于研究工程中的某些物理特性。
格林函数方法以量子力学和热力学的成功应用为基础，现在被广泛用于量子电子学、光学、流体力学、结构力学、能源学等领域，其有效的处理数十亿个基础状态的能力为科学研究提供了无穷的可能性。
格林函数方法的基本思想是将给定的微分方程转换为它的格林函数表示，以便对常微分方程的解或其他数学特性进行分析。
主要特点是，格林函数方法可以用来求解复杂的线性和非线性微分方程组，其中格林函数可以看作是方程组中各元素的描述，而不需要显式地求出它们的解。
这使得格林函数方法得以应用于复杂系统中实际问题的求解，从而在工程实践中节省了大量的时间和精力。
具体来说，格林函数方法一般分为三个步骤：首先，将常微分方程转换为额外的辅助方程和格林函数；其次，解辅助方程，以求出格林函数，并使用它来解决源微分方程；最后，通过使用互补性和通用性特性，求出格林函数方程组的解，并进行可视化分析。
格林函数方法在研究各种量子物理学问题方面表现异常出色，在计算能量谱、场动力学以及其他类似的量子物理问题方面，它具有极大的优势。
如果将格林函数方法与数值模拟技术相结合，就可以更好地描述复杂的物理系统的特性和行为，从而对更复杂的问题有所贡献。
在过去几十年中，随着计算机技术的发展，格林函数方法也取得了巨大的进步。
最近，研究者们发展出了新型的格林函数方法，如蒙特卡洛格林函数方法和一维格林函数方法，它们可以用于更复杂的微分方程组，能够更快地收敛，对于大型系统也更加有效。
此外，现在有一系列的软件可用来帮助研究人员编写格林函数方程组的程序，大大简化了编程的过程，也方便了研究人员使用格林函数方法发掘物理系统的特性。
综上所述，格林函数方法为研究者提供了解决复杂系统的实际问题的独特工具，同时也大大提高了数值计算的效率。
该方法在研究物理学问题方面取得了显著的进展，已经被广泛应用于各个领域；随着科技的进步，格林函数方法也在不断演进，发展出新的计算技术，为科学研究提供无穷的可能性。
格林函数(免费)
§2.4 格林函数法 解的积分公式在第七章至第十一章中主要介绍用别离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。
格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和〔或〕初始条件下所产生的场。
知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。
一、 泊松方程的格林函数法为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。
设u 〔r 〕和v 〔r 〕在区域 T 及其边界 ∑ 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分⎰⎰∑⋅∇Sd v u化成体积积分.)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=∇⋅∇=⋅∇∑TTTvdV u vdV u dV v u S d v u〔12-1-1〕这叫作第一格林公式。
同理，又有.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=⋅∇∑TTvdV u udV v S d u v〔12-1-2〕〔12-1-1〕与〔12-1-2〕两式相减，得,)()(⎰⎰⎰⎰⎰∆-∆=⋅∇-∇∑TdV u v v u S d u v v u亦即.)(⎰⎰⎰⎰⎰∆-∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∑T dV u v v u dS n u v n vu〔12-1-3〕n ∂∂表示沿边界 ∑ 的外法向求导数。
〔12-1-3〕叫作第二格林公式。
现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。
泊松方程是)( ),(T r r f u ∈=∆〔12-1-4〕第一、第二、第三类边界条件可统一地表为),( M u n u ϕβα=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂∑〔12-1-5〕其中 ϕ〔M 〕是区域边界 ∑ 上的给定函数。
α＝0，β ≠0为第一类边界条件，α ≠0，β＝0是第二类边界条件，α、β 都不等于零是第三类边界条件。
泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。
格林函数法
r
0
dS
(5.2.8）
式（5.2.8）称为泊松方程的基本积分公式。但是它
的物理解释很困难，因此我们根据前面的格林函数互易定
理，并利用跟林函数的对称性，将上式改为：
u r0
G r0,r
u r
G
T0
r0,r
f
r0
dV0
0
G
r0,r
u r0 n0
n0 dS0（5.2.9）
G r0,r
u r
G r,r0
T0
f
r0
dV0 r0
0
n0 dS0
（2）第二类边值问题
（5.2.13）
14
对应下列格林函数的解：
u r f r
u
n
|
rp
（5.2.14）
G r, r0 r r0 G r, r0
n | 0
（5.2.15）
代入基本积分公式可得第二类边值问题的解的积
G(r, r0) G(r0, r)
上式表明，在位于r0处的脉冲（或点源）在一 定边界条件下在r处产生的影响（或产生的场）， 等效于把脉冲（或点源）移至r处在同样边界条件 下在r0处算产生的影响（或场），即物理场的互 易性。
10
根据第二格林公式，得到：
u
r
G n
G
u r
n
dS
T
u rG Gr
u
r
0
T
G
r,
r
0
f
r
dV
1
r
G
r,
n
r0
dS
（5.2.19）
利用格林函数的互易性可得到互易后的解的积
格林函数法求解场的问题
格林函数法求解稳定场问题1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系：Heat Eq.：()2222 ,ua u f r t t∂-∇=∂ 表示温度场u 与热源(),f r t 之间关系 Poission ’s Eq.： ()20u f r ρε∇=-=-表示静电场u 与电荷分布()f r 之间的关系场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。
但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。
例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：()''04r dV r rρφπεΩ=-⎰这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。
或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。
所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。
这里就引入Green ’s Functions 的概念。
Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。
普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。
所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions.下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。
实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions 。
2 泊松方程的格林函数静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：()()()()()201 f s u r r u r u r r nρεαβϕ⎧∇=-⎪⎪⎨∂⎡⎤⎪+=⎢⎥⎪∂⎣⎦⎩ 这里讨论的是静电场()u r ， ()f r ρ代表自由电荷密度。
格林函数
稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。 点源问题可以看成接地的导体边界内在 r’ 处有一个电量为 - ε 0 的点电荷。 边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同产生。 在一些情况下，导体中所有感应电荷的作用可以用一个设想的等效电荷来代替，该等效电荷 称为点电荷的电像。 这种方法称为电像法 发展和应用分类 格林函数在地震工程学中的应用 格林函数在地震工程学中是计算震源机制的函数。根据其发展和应用可以分为以下几类。
经验格林函数法
经验格林函数法是运用包含断层上一个点源动力学破裂的复杂效应、震源主场地速度结构的 不均匀性影响的小震记录来叠加合成较大地震的地震动时程。其优点是信度较高、较为可靠；可 是其缺点同样突出，即对小震记录的要求相当苛刻，必须具有与大震相同的震源机制，小震记录 的信噪比要高等等。如果在震源区找不到良好的小震记录，就不能用经验格林函数法。
理论格林函数法
理论格林函数的计算是一个相当复杂的过程，目前只有对水平成层介质推导的解析公式。计 算要借助计算机实现，且介质层数受到很大的限制，很少有多于两覆盖层的结果发表。
数值格林函数法
与实际地震动观测记录的比较表明，这种在时域合成的地震动模拟，对持时、峰值加速度、 短周期 （ 1 秒以下） 反应谱幅值的预测精度都可以在大约 -50% 范围内， 与经验模型的精度大体相当； 对峰值速度和周期大于 1 秒的反应谱幅值，预测的误差要比经验模型的小。
格林函数
姓名：折再兴
学号：201241802027
专业：物理学
电话：15764212022
格林函数
摘 要 ：从物理上看,一个数学物理方程是表示一种特定的"场"和产生这种场的"源"之间的关系.例如,热传 导方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源被分解成很 多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同样边界条件下任意源的场, 这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就叫做格林函数。 关键字：点电荷，函数表示，微分算符。 正文： 格林函数法是数学物理方程中一种常用的方法。 格林函数是又称为源函数或影响函数，是英国人 G. 格林于 1828 年引入的。 一个处于 X ’点上的单位点电荷所激发的电势 Ψ （ x ）满足泊松方程：
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Pn（cosθ ）为勒让德函数，an和bn由边界条件确定。
4
上一讲复习
Pn（cosθ ）为勒让德函数
P0 ( x) 1 P0 (cos( x)) 1 P 1 ( x ) x P 1 (cos( x )) cos( x ) 1 1 P2 ( x) (3 x 2 1) P2 (cos( x)) (3cos 2 ( x) 1) 2 2 1 1 3 P3 ( x) (5 x 3 x) P3 (cos( x)) (5cos 3 ( x) 3cos( x)) 2 2 1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1) 2 l ! dxl
5
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上一讲习题解答：
补充题：用分离变量法求解接地金
属球外一个点电荷的势，和电像
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法相比较，并证明其两个解是完
全相同的。
6
P
上一讲习题解答：
r’ r
由Q和镜像电荷Q‘ 激发的总电场能够满足在导体面上φ= 0 的边界条件。 因此是空间中电场的正确解答。球外任一点P的电势为，式中r为由Q到P点 的距离，r' 为由Q'到P点的距离，R为由球心O到P点的距离，θ 为OP与OQ 的夹角。
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P
上一讲习题解答：
r
考虑到：
2 2
1 1 z 2 z cos( )
z n Pn (cos( ))
n 0
z 1
1 1 r a 2 R0 2 2 R0 a cos( ) 1 a 1 R0 2 R0 1 ( ) 2 cos( ) a a 1 R0 n ( ) Pn (cos( )) a n 0 a
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P
上一讲习题解答：
r
由于电势具有轴对称性，考虑到无穷远处的电势为0，泊松方程的解 为：
bn (an R n1 ) Pn (cos( )) 4 0 r n 0 R Q
n
R 0
bn n 1 Pn (cos( )) 4 0 r n 0 R Q 1 1 r a 2 R 2 2 Ra cos( )
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P
上一讲习题解答：
r
则：
1 12 z 2 2 z cos( ) Q Q
z n Pn (cos( ))
n 0
R0 2 n 1 1 P (cos( )) n 1 n 1 n 4 0 r 4 0 n 0 a R QR0 / a 1 R0 2 n ( ) Pn (cos( )) 4 0 r 4 0 R n 0 aR Q Q QR0 / a 1 4 0 r 4 0 R 1
2 2 R R 12 ( 0 ) 2 2( 0 ) cos( ) aR aR
13
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《电动力学》第13讲
第二章 静电场（5）
§2.5 格林函数法
教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2016年10月25日
上一讲复习
拉普拉斯（Laplace）方程的通解可以用分离变量法求出。
先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由
分离变量法解拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系 和柱坐标系。这里我们写出用球坐标系得出的通解形式
1 Q Q ' 4 0 r r
1 Q Q' 2 2 2 2 4 0 R a 2 Ra cos R b 2 Rb cos
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R0Q Q ' a 2 R b 0 a
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P
上一讲习题解答：
r
在金属球壳表面：
bn n 1 Pn (cos( )) 4 0 r n 0 R Q
RR 0
0
bn n 1 Pn (cos( )) 0 4 0 r n 0 R0 Q 1 1 r a 2 R0 2 2 R0 a cos( )
n
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式中anm,bnm,cnm和dnm为任意常数，在具体问题中有边界条
件定出。Pmn(cosθ )为缔和勒让德(Legendre)函数。
3
上一讲复习
若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势φ 不依赖
于方位角φ ，这情形下通解为
bn (an R n1 ) Pn (cos ), R n
（见附录Ⅱ）。球坐标用（R，θ，φ）表示，R为半径，θ
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为极角，φ为方位角。
2
上一讲复习
拉氏方程在球坐标系中的通解为
bnm m ( R, , ) ( anm R n 1 ) Pn (cos ) cos m R n.m d nm m n (cnm R n 1 ) Pn (cos )sin m R n,m
7
P
上一讲习题解答：
r
如图所示的球坐标系，取球心为坐标原点，球心到点电荷所在位置 的连线为极轴，点电荷到球心的距离为a，空间任意一点P到点电荷 的距离为r，到球心的距离为R，极角为θ 。
r a R 2 Ra cos( )
2 2
2
0
Q
0
( z a)
RR 0 R 0
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P
上一讲习题解答：
r
则：
RR 0
0
bn Q 1 R0 n ( ) Pn (cos( )) n 1 Pn (cos( )) 0 4 0 a n 0 a n 0 R0
R0 2 n 1 bn n 1 4 0 a Q R0 2 n 1 1 P (cos( )) n 1 n 1 n 4 0 r 4 0 n 0 a R Q Q