电动力学第25讲45格林函数法
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山东大学物理学院 宗福建 9
P
上一讲习题解答：
r
在金属球壳表面：
bn n 1 Pn (cos( )) 4 0 r n 0 R Q
RR 0
0
bn n 1 Pn (cos( )) 0 4 0 r n 0 R0 Q 1 1 r a 2 R0 2 2 R0 a cos( )
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P
上一讲习题解答：
r
由于电势具有轴对称性，考虑到无穷远处的电势为0，泊松方程的解 为：
bn (an R n1 ) Pn (cos( )) 4 0 r n 0 R Q
n
R 0
bn n 1 Pn (cos( )) 4 0 r n 0 R Q 1 1 r a 2 R 2 2 Ra cos( )
n
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式中anm,bnm,cnm和dnm为任意常数，在具体问题中有边界条
件定出。Pmn(cosθ )为缔和勒让德(Legendre)函数。
3
上一讲复习
若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势φ 不依赖
于方位角φ ，这情形下通解为
bn (an R n1 ) Pn (cos ), R n
1 Q Q ' 4 0 r r
1 Q Q' 2 2 2 2 4 0 R a 2 Ra cos R b 2 Rb cos
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R0Q Q ' a 2 R b 0 a
7
P
上一讲习题解答：
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r
如图所示的球坐标系，取球心为坐标原点，球心到点电荷所在位置 的连线为极轴，点电荷到球心的距离为a，空间任意一点P到点电荷 的距离为r，到球心的距离为R，极角为θ 。
r a R 2 Ra cos( )
2 2
2
0
Q
0
( z a)
RR 0 R 0
（见附录Ⅱ）。球坐标用（R，θ，φ）表示，R为半径，θ
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为极角，φ为方位角。
2
上一讲复习
拉氏方程在球坐标系中的通解为
bnm m ( R, , ) ( anm R n 1 ) Pn (cos ) cos m R n.m d nm m n (cnm R n 1 ) Pn (cos )sin m R n,m
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P
上一讲习题解答：
r
则：
1 12 z 2 2 z cos( ) Q Q
z n Pn (cos( ))
n 0
R0 2 n 1 1 P (cos( )) n 1 n 1 n 4 0 r 4 0 n 0 a R QR0 / a 1 R0 2 n ( ) Pn (cos( )) 4 0 r 4 0 R n 0 aR Q Q QR0 / a 1 4 0 r 4 0 R 1
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P
上一讲习题解答：
r
则：
RR 0
0
bn Q 1 R0 n ( ) Pn (cos( )) n 1 Pn (cos( )) 0 4 0 a n 0 a n 0 R0
R0 2 n 1 bn n 1 4 0 a Q R0 2 n 1 1 P (cos( )) n 1 n 1 n 4 0 r 4 0 n 0 a R Q Q
2 2 R R 12 ( 0 ) 2 2( 0 ) cos( ) aR aR
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5
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上一讲习题解答：
补充题：用分离变量法求解接地金
属球外一个点电荷的势，和电像
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法相比较，并证明其两个解是完
全相同的。
6
P
上一讲习题解答：
r’ r
由Q和镜像电荷Q‘ 激发的总电场能够满足在导体面上φ= 0 的边界条件。 因此是空间中电场的正确解答。球外任一点P的电势为，式中r为由Q到P点 的距离，r' 为由Q'到P点的距离，R为由球心O到P点的距离，θ 为OP与OQ 的夹角。
《电动力学》第13讲
第二章 静电场（5）
§2.5 格林函数法
教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2016年10月25日
上一讲复习
拉普拉斯（Laplace）方程的通解可以用分离变量法求出。
先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由
分离变量法解拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系 和柱坐标系。这里我们写出用球坐标系得出的通解形式
n
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Pn（cosθ ）为勒让德函数，an和bn由边界条件确定。
4
上一讲复习
Pn（cosθ ）为勒让德函数
P0 ( x) 1 P0 (cos( x)) 1 P 1 ( x ) x P 1 (cos( x )) cos( x ) 1 1 P2 ( x) (3 x 2 1) P2 (cos( x)) (3cos 2 ( x) 1) 2 2 1 1 3 P3 ( x) (5 x 3 x) P3 (cos( x)) (5cos 3 ( x) 3cos( x)) 2 2 1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1) 2 l ! dxl
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P
上一讲习题解答：
r
考虑到：
2 2
1 1 z 2 z cos( )
z n Pn (cos( ))
n 0
z 1
1 1 r a 2 R0 2 2 R0 a cos( ) 1 a 1 R0 2 R0 1 ( ) 2 cos( ) a a 1 R0 n ( ) Pn (cos( )) a n 0 a
P
上一讲习题解答：
r
在金属球壳表面：
bn n 1 Pn (cos( )) 4 0 r n 0 R Q
RR 0
0
bn n 1 Pn (cos( )) 0 4 0 r n 0 R0 Q 1 1 r a 2 R0 2 2 R0 a cos( )
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P
上一讲习题解答：
r
由于电势具有轴对称性，考虑到无穷远处的电势为0，泊松方程的解 为：
bn (an R n1 ) Pn (cos( )) 4 0 r n 0 R Q
n
R 0
bn n 1 Pn (cos( )) 4 0 r n 0 R Q 1 1 r a 2 R 2 2 Ra cos( )
n
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式中anm,bnm,cnm和dnm为任意常数，在具体问题中有边界条
件定出。Pmn(cosθ )为缔和勒让德(Legendre)函数。
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上一讲复习
若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势φ 不依赖
于方位角φ ，这情形下通解为
bn (an R n1 ) Pn (cos ), R n
1 Q Q ' 4 0 r r
1 Q Q' 2 2 2 2 4 0 R a 2 Ra cos R b 2 Rb cos
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R0Q Q ' a 2 R b 0 a
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如图所示的球坐标系，取球心为坐标原点，球心到点电荷所在位置 的连线为极轴，点电荷到球心的距离为a，空间任意一点P到点电荷 的距离为r，到球心的距离为R，极角为θ 。
r a R 2 Ra cos( )
2 2
2
0
Q
0
( z a)
RR 0 R 0
（见附录Ⅱ）。球坐标用（R，θ，φ）表示，R为半径，θ
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为极角，φ为方位角。
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拉氏方程在球坐标系中的通解为
bnm m ( R, , ) ( anm R n 1 ) Pn (cos ) cos m R n.m d nm m n (cnm R n 1 ) Pn (cos )sin m R n,m
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r
则：
1 12 z 2 2 z cos( ) Q Q
z n Pn (cos( ))
n 0
R0 2 n 1 1 P (cos( )) n 1 n 1 n 4 0 r 4 0 n 0 a R QR0 / a 1 R0 2 n ( ) Pn (cos( )) 4 0 r 4 0 R n 0 aR Q Q QR0 / a 1 4 0 r 4 0 R 1
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上一讲习题解答：
r
则：
RR 0
0
bn Q 1 R0 n ( ) Pn (cos( )) n 1 Pn (cos( )) 0 4 0 a n 0 a n 0 R0
R0 2 n 1 bn n 1 4 0 a Q R0 2 n 1 1 P (cos( )) n 1 n 1 n 4 0 r 4 0 n 0 a R Q Q
2 2 R R 12 ( 0 ) 2 2( 0 ) cos( ) aR aR
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上一讲习题解答：
补充题：用分离变量法求解接地金
属球外一个点电荷的势，和电像
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法相比较，并证明其两个解是完
全相同的。
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P
上一讲习题解答：
r’ r
由Q和镜像电荷Q‘ 激发的总电场能够满足在导体面上φ= 0 的边界条件。 因此是空间中电场的正确解答。球外任一点P的电势为，式中r为由Q到P点 的距离，r' 为由Q'到P点的距离，R为由球心O到P点的距离，θ 为OP与OQ 的夹角。
《电动力学》第13讲
第二章 静电场（5）
§2.5 格林函数法
教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2016年10月25日
上一讲复习
拉普拉斯（Laplace）方程的通解可以用分离变量法求出。
先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由
分离变量法解拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系 和柱坐标系。这里我们写出用球坐标系得出的通解形式
n
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Pn（cosθ ）为勒让德函数，an和bn由边界条件确定。
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上一讲复习
Pn（cosθ ）为勒让德函数
P0 ( x) 1 P0 (cos( x)) 1 P 1 ( x ) x P 1 (cos( x )) cos( x ) 1 1 P2 ( x) (3 x 2 1) P2 (cos( x)) (3cos 2 ( x) 1) 2 2 1 1 3 P3 ( x) (5 x 3 x) P3 (cos( x)) (5cos 3 ( x) 3cos( x)) 2 2 1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1) 2 l ! dxl
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上一讲习题解答：
r
考虑到：
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1 1 z 2 z cos( )
z n Pn (cos( ))
n 0
z 1
1 1 r a 2 R0 2 2 R0 a cos( ) 1 a 1 R0 2 R0 1 ( ) 2 cos( ) a a 1 R0 n ( ) Pn (cos( )) a n 0 a