《电动力学》第29讲

} 4、对于微波或无线电波，反射系数接近于1，只有很小一 部分电磁能量透入导体内部而被吸收掉，绝大部分能量被 反射出去。因此，在微波或无线电波情形下，往往可以把 金属近似地看作理想导体，其反射系数接近于1。
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} 1、有界空间中的电磁波 } 2、理想导体边界条件 } 3、谐振腔 } 4、高频电磁能量的传输 } 5、矩形波导中的电磁波 } 6、截止频率 } 7、TE10波的电磁场和管壁电流
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} 一、有界空间中的电磁波
} 在理想导体（电导率 s ® ¥ ，反射系数 R ® 1 ）这
一极限情形下，电磁波几乎全部被导体反射，进入导体的 穿透深度趋于零。对于良导体，即便有电磁波透入，其能 量也很小，而且只限于表层内。因此，导体表面自然构成 电磁波存在的边界。这种情况常见于高频（微波）技术中 的波导和谐振腔，后者是电磁振荡源，前者为传输这类电 磁波能量的通道。
在所定义的复电容率中，实数部分ε代表位移电流的贡献，
它不引起电磁波功率的耗散，而虚数部分是传导电流的贡
献，它引起能量耗散。
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二、 导体内的电磁波
在一定频率下，对应与绝缘介质的亥姆霍兹方程，在导体内
部有方程，当解满足条件 ▽∙E = 0 时代表导体中可能存
在的电磁波。
rr
ìïïíïïîÑ(uBÑv2=gEEr-+=wki 02Ñ)E
=
E e e -α×x i( β×x-wt ) 0
由此式可见，波矢量k的实部β描述波的传播的相位关系， 虚部α描述波幅的衰减。β称为相位常数，α称为衰减常
数。
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三、平面波从介质入射到导体表面
由
kx
=
bx
+ ia x
=
k
(0) x
k y = b y + ia y = 0
ì
ax = 0
介质中电磁波解所含的ε换作ε' ，即得导体内的电磁波解。
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二、 导体内的电磁波
复电容率的物理意义 Ñ ´ H = -iw(e + i s )E w
右边两项分别代表位移电流和传导电流。传导电流与电场
同相位，它的耗散功率密度为1/2 Re（J*∙E）= σE02/2。
位移电流与电场有90°相位差，它不消耗功率。相应地，
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} 二、理想导体边界条件
} 略去角标2，以E和H表示介质一侧处的场强，由边界条件
ìn´ E = 0
íîn ´ H = a
} 这两条件满足后，另两条件自然满足。
ìngD = s
íîngB = 0
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} 二、理想导体边界条件 } 理想导源自文库界面边界条件可以形象地表述为，在导体表面上，
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} 二、理想导体边界条件 } 实际导体虽然不是理想导体，但是像银或铜等金属导体，
对无线电波来说，透入其内而损耗的电磁能量一般很小， 接近于理想导体。因此，分析实际问题时，在第一级近似 下，可以先把金属看作理想导体，把问题解出来，然后在 第二级近似下，再考虑有限电导率引起的损耗。
Ex = Ez = 0 H y = 0
另一种偏振的平面电磁波（E与导体面相 切）不满足边界条件，因而不能在导体 面间存在。所以在两导体之间只能传播 一种偏振的TEM平面波。
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} 三、谐振腔
} 实践上电磁波是用具有特定谐振频率的线路或元件激发的。
低频无线电波采用LC回路产生振荡。在LC回路中，集中分
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} 二、理想导体边界条件 } 在第二节中我们阐明在一定频率的电磁波情形，两不同介
质（包括导体）界面上的边值关系可以归结为
ìn ´ (E2 - E1) = 0 íîn ´ (H2 - H1) = α
ìíînn××((DB22
-
D1 ) B1 )
= =
s
0
} 这四个式子并不是独立的，通过其中的第一、二两式完全 可以推导出第三、四式来，所以解导体边值问题时只需用 第一、二式即可。
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} 一、有界空间中的电磁波 } 谐振腔是中空的金属腔（例如矩形六面体谐振腔等），
电磁波在腔内以某些特定频率振荡。 } 管壁（边界）制约着管内的电磁波的形态；波导是中
空的金属管，管内以全反射的方式传送电磁波。无论 是谐振腔内产生的电磁波或是波导管内传输的电磁波， 都受到了金属管壁的制约，金属管壁成为电磁场存在 的边界，因而讨论导体界面的边界条件十分重要。波 导和谐振腔问题就是有界空间的电磁波传播问题，它 们属于电磁场的边值问题。
对于一般金属导体，τ的数量级为10−17s。
只要电磁波频率不太高，一般金属导体都可以看作 良导体。
良导体内部没有自由电荷分布，电荷只能分布于导 体表面上。
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二、 导体内的电磁波
导体内部 ρ = 0，J = σE，麦氏方程组为
ì ïÑ ï ï íÑ ï
´ ´
r E
r H r
r
五、导体表面上的反射
反射系数R定义为反射能流与入射能流值比。由上式得
æ
R=
E¢
2
=
ç è
1-
Eæ
ç 1+
è
2we0 s
2we0 s
2
ö
÷ +1
ø ö2
» 1- 2
÷ +1
ø
2we 0 s
由上式可见，电导率愈高，则反射系数愈接近于1。
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} 1、只要电磁波频率不太高，一般金属导体都可以看作良 导体。良导体内部没有自由电荷分布，电荷只能分布于导 体表面上。
布于电容内部的电场和集中分布于电感线圈内部的磁场交
替激发，以一定频率1/2π(LC)1/2振荡。
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} 三、谐振腔
} 如果要提高谐振频率，必须减小L或C的值。频率提高到一 定限度后，具有很小的C和L值的电容和电感不能在使用电
场和磁场集中分布在他们内部，这时向外辐射的损耗随频 率提高而增大；另一方面由于趋肤效应，焦耳损耗亦增大。
¶En = 0 ¶n
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} 二、理想导体边界条件 } 例 证明两平行无穷大导体平面之间只能传播一种偏振
的TEM电磁波。
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} 二、理想导体边界条件 } 例 证明两平行无穷大导体平面之间可以传播一种偏振的TEM
电磁波。
解 设两导体板与y轴垂直。边界 条件为在两导体平面上，
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} 二、理想导体边界条件 } 讨论导体表面边界条件。取角标1代表理想导体，角标2代
表真空或绝缘介质。取法线由导体指向介质中。在理想导 体情况下，导体内部没有电磁场（对实际导体来说，应为 导体内部足够深处，例如离表面几个穿透深度处，该处实
际上已没有电磁场），因此，E1 =0； H1 = 0。
ï í
a y = 0，b y = 0
ïîb x = k x (0) = k (0) sin q0
Þ 沿
r rr
azr 方= 向a z衰ez 减= a）ez
（即
r
a
^ 分界面指向导体内部，波
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三、平面波从介质入射到导体表面
对于良导体情形，这些公式还可以简化。k2的虚部与实部之 比为σ/εω，在良导体情形此值>>1，因而k2的实部可以忽
因此，LC回路不能有效地产生高频振荡。在光学中，也采
用由反射镜组成的光学谐振腔来产生近单色的激光束。
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} 三、谐振腔 } 下面我们分析矩形谐振腔内的电磁振荡。 } 取金属壁的内表面分别为
} x = 0和L1，y = 0和L2 , } z = 0和L3面。
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= - ¶B
=
r J
¶t +
r ¶D
¶t
ïÑ ïîÑ
× ×
Dr B
= =
0 0
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二、 导体内的电磁波
对一定频率ω的电磁波，可令D = εE，B = μH，则有
rr
Dr = e Er B=m H
时谐（定态）
r
r
ì ïïÑ í ï ïî
Ñr´ E = iwm H ´ H = (-riwe + s
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} 一、有界空间中的电磁波 } 第一节研究了在无界空间中，电磁波最基本的存在形式为
平面电磁波，这种波的电场和磁场都作横向振荡，称这种 类型的波为横电磁(TEM)波。 } 在有导体存在的电磁波情形中，由于电磁波与导体的相互 作用，电磁波主要是在导体以外的空间或绝缘介质内传播， 只有很小部分的电磁能量才能透人导体浅表层内。
Ñ × Er = 0 Ñ×H = 0
)
r E
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二、 导体内的电磁波
把这组方程和绝缘介质的方程组比较，差别仅在于第二式右
边多了一项σE，这项是有传导电流引起的。如果形式上
引入导体的“复电容率”
e¢=e +is w
Ñ ´ H = -iwe ¢E
与绝缘介质的相应方程形式上完全一致。因此只要把绝缘
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一．导体内的自由电荷分布
上式表示当导体某处有电荷密度ρ出现时，就有电流从该
处向外流出。从物理上看这是很明显的。因为假如某区域 有电荷积聚的话，电荷之间相互排斥，必然引起向外发散
的电流。由于电荷外流，每一体元内的电荷密度减小。ρ
的变化率由电荷守恒定律确定:
¶r = -ÑgJ = - s r
第5章 电磁波的传播（4） §5.4 波导管、谐振腔
教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院
2012年12月18日
第 5章 电 磁波的 传播
§5.1 介 质 中 的 平 面 电磁波
§5.2 电磁波在 介 质 界 面 的 反射 和折 射
§5.3 电 磁波在 导 体表面 的 反射 和折 射
§5.4 波导 管 、谐振 腔
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} 三、谐振腔 } 腔内电磁波的电场和磁场任一直角分量都满足亥
姆霍兹方程。设 u(x,y,z) 为 E 或 H 的任一直
角分量，有 Ñ2u + k 2u = 0
} 用分离变量法，令
u(x, y, z) = X (x)Y ( y)Z (z)
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} 三、谐振腔 } 分解为三个方程
¶t
e
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一．导体内的自由电荷分布
解此方程得
¶r = -ÑgJ = - s r
¶t
e
-s t
r(t) = r0e e
由上式，电荷密度随时间指数衰减，
衰减的特征时间τ (ρ值由ρ0减小到ρ0/e 的时间)为
t=e s
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一．导体内的自由电荷分布
良导体条件: 只要电磁波的频率满足ω << τ−1 = σ/ε，就可以认为ρ（t）= 0。
略
k 2 » iwms
k » iwms » b + ia
a » b » wms
2
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四、趋肤效应和穿透深度
E = E0e-a zei(b z-wt )
a » b » wms
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波幅降至原值1/e的传播距离称为穿透深度δ。由上式
d=1= 2 a wms
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} 2、导体中电磁波的表示式为
E ( x, t )
=
E e e -α×x i( β×x-wt ) 0
} 波矢量k的实部β描述波的传播的相位关系，虚部α描述 波幅的衰减。β称为相位常数，α称为衰减常数。
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} 3、对于高频电磁波，电磁场以及和它相互作用的高频电 流仅集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应。
电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。我们可以应用 这个规则来分析边值问题中的电磁波图像。
ìn´ E = 0
íîn ´ H = a
ìngD = s
íîngB = 0
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} 二、理想导体边界条件
} 在边界面上，若取x，y 轴在切面上，z 轴沿法线方向， 由于该处Ex = Ey = 0，因此方程 ▽∙E = 0 在靠近边界上 为 ∂Ez/∂z = 0 ，即
ìd2X
ï ï
dx 2
+ k2xX
=0
k
r ´E
=
w
me ¢
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二、 导体内的电磁波 方程形式上也有平面波解
E ( x, t )
=
E ei(k×x-wt ) 0
k为复数，因此k是一个复矢量，即它的分量一般为复数。
k = β + iα
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二、 导体内的电磁波 导体中电磁波的表示式为
E ( x, t )
Ex = Ez = 0 H y = 0
若沿z轴传播的平面电磁波的电 场沿y轴方向偏振，则此平面波 满足导体上的边界条件，因此 可以在导体板之间传播。
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} 二、理想导体边界条件
} 例 证明两平行无穷大导体平面之间可以传播一种偏振 的TEM电磁波。
解 设两导体板与y轴垂直。 边界条件为在两导体平面上，