2019届高三数学二轮专题训练：专题09 学生版

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(新课标)天津市2019年高考数学二轮复习综合能力训练理

综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于()A.(0,2]B.[-1,0)C.[2,4)D.[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为()A.1B.C.D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.27.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,8.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a,则的值为.10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.12.在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.13.设变量x,y满足约束条件的最小值是.14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n}中,a1=2,且a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{a n-n}是等比数列;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2-x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<e.##综合能力训练1.A解析∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A∩B=(0,2].故选A.2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+, 由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,从而A,B,OA2==5-2,OB2==5+2,△OAB的面积S=|OA||OB|=故选B.3.C解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.4.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.5.B解析由题意得,输出的S为数列的前3项和,而,即S n=故当输入n=3时,S3=,故选B.6.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则=0,即由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,=1,,e2=1+e=故选A.7.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-8.D解析 (举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.9.2解析 (1+i)(1-b i)=1+b+(1-b)i=a,则所以=2.故答案为2.10.-40解析 (2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.11.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-)π.12.2解析∵4ρcos+1=0,展开得2cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.∴圆心到直线的距离d=<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1解析由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2),的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA==1.14.②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解 (1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.16.解 (1)由已知a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.a n-n=2a n-1-2n+2,即a n-n=2[a n-1-(n-1)].=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1,∴{a n-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n-n=(a1-1)·2n-1,即a n=2n-1+n,∴b n==1+设c n=,且前n项和为T n,则T n=+…+, ①T n=+…+, ②①-②,得T n=1++…+=2-故T n=4-,S n=n+4-17.解法一 (1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,所以EQ=FP=,所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.18.解 (1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.19.(1)解依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2∴椭圆C的标准方程为=1.(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为=1, ①直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-,直线MF1的方程为y=-(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2), ②①②联立,解得x=-8,故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,y M),N(-2,y N),点N在切线MP上,由①式得y N=,点M在直线MF1上,由②式得y M=,|NF1|2=,|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+, 故=, ③注意到点P在椭圆C上,即=1,于是,代入③式并整理得,故的值为定值20.(1)解∵f(x)=ln(1+x)+x2-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=>0,当x时,f'(x)<0,则f(x)在区间内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,∴ln+ln+…+ln+…+,即ln…由于n∈N*,则=1.∴ln<1.<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,即x-x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,+…+<ln+ln+…+ln, 即<ln,得<ln由于n∈N*,则<ln<e.。

2019届高三理科数学二轮复习：分类加法计数原理与分步乘法计数原理(知识总结与题型演练)

2019届高三理科数学二轮复习：分类加法计数原理与分步乘法计数原理（知识总结与题型演练）最新考纲1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.知识总结1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.[常用结论与微点提醒]1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行.2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.()解析分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一步，不能完成这件事，所以(1)，(4)均不正确.答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为()A.6B.5C.3D.2解析5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.答案 B3.(选修2－3P28B2改编)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A.24种B.30种C.36种D.48种解析需要先给C块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给B块着色，有2种结果；最后给D块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知共有4×3×2×2＝48(种). 答案 D4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有种(用数字作答).解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法计数原理，总的报名方法共2×2×2×2×2＝32(种).答案325.(2018·西安月考)已知某公园有5个门，从任一门进，另一门出，则不同的走法的种数为(用数字作答).解析分两步，第一步选一个门进有5种方法，第二步再选一个门出有4种方法，所以共有5×4＝20种走法.答案20题型演练考点一分类加法计数原理的应用【例1】(1)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为.(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为.解析(1)当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4；若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3；若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2.由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.(2)当个位数字为2时，十位数字为1，共1个；当个位数字为3时，十位数字为1，2，共2个；当个位数字为4时，十位数字为1，2，3，共3个；……当个位数字为9时，十位数字为1，2，3，4，…，7，8，共8个；由分类加法计数原理可知满足条件的两位数的个数为1＋2＋3＋…＋8＝36.答案(1)13(2)36规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(1)中易漏a＝0这一类.【训练1】(1)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A.3B.4C.6D.8(2)如图，从A到O有种不同的走法(不重复过一点).解析(1)以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9；把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8个.(2)分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O 共2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O共2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.答案(1)D(2)5考点二分步乘法计数原理的应用【例2】(1)(2018·石家庄模拟)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()A.10种B.25种C.52种D.24种(2)(2016·全国Ⅱ卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9解析(1)每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法.(2)分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径.故选B.答案(1)D(2)B规律方法(1)在第(1)题中，易误认为分5步完成，错选B.(2)利用分步乘法计数原理应注意：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.【训练2】(1)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为.(2)(2018·合肥质检)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有种.解析(1)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法，根据分步乘法计数原理，三位数的个数为5×5×4＝100.(2)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性.答案(1)100(2)4554考点三两个计数原理的综合应用(多维探究)命题角度1组数、组点、组线、组对及抽取问题【例3－1】如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A.48B.18C.24D.36解析在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”.答案 D命题角度2涂色、种植问题【例3－2】(一题多解)如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数.解法一按所用颜色种数分类.第一类：5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类：只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；第三类：只用3种颜色，则A与C，B与D必定同色，共有A35种不同的方法.由分类加法计数原理，得不同的染色方法种数为A55＋2×A45＋A35＝420(种).法二以S，A，B，C，D顺序分步染色.第一步：S点染色，有5种方法；第二步：A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步：B点染色，与S，A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步：C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B 也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种).规律方法(1)①注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.②注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.(2)解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.例题中，相邻顶点不同色，要按A，C和B，D是否同色分类处理.【训练3】(1)(一题多解)(2018·大同质检)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A.72种B.48种C.24种D.12种(2)如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有个(用数字作答).解析(1)法一首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法.法二按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B 有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种).(2)把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).答案(1)A(2)40小检测基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2018·郑州调研)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有()A.8种B.9种C.10种D.11种解析设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法.答案 B2.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数的个数是()A.30B.42C.36D.35解析因为a＋b i为虚数，所以b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数.答案 C3.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A.40B.16C.13D.10解析分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面.答案 C4.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则首位为2的“六合数”共有()A.18个B.15个C.12个D.9个解析依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4，0，0组成3个数分别为400，040，004；由3，1，0组成6个数分别为310，301，130，103，013，031；由2，2，0组成3个数分别为220，202，022；由2，1，1组成3个数分别为211，121，112.共计3＋6＋3＋3＝15(个).答案 B5.某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为()A.20B.25C.32D.60解析依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为25＝32.答案 C6.集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A.9B.14C.15D.21解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个).当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y.∴x可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7＋7＝14(个).答案 B7.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法的种数为()A.3B.5C.9D.12解析只用一种币值有2张10元，4张5元，20张1元，共3种；用两种币值的有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，5张1元；2张5元，10张1元；1张5元，15张1元，共5种；用三种币值的有1张10元，1张5元，5张1元，共1种.由分类加法计数原理得，共有3＋5＋1＝9(种).答案 C8.从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有()A.32个B.34个C.36个D.38个解析将和等于11的放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.从每一小组中取一个，有C12＝2种，共有2×2×2×2×2＝32个.答案 A二、填空题9.某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有种.解析因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(种).答案710.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种(用数字作答).解析第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法.第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法.由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种).答案3611.在编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中放入两个不同的小球，每个盒子中最多放入一个小球，且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不同的放小球的方法有种. 解析设两个不同的小球为A，B，当A放入1号盒或者6号盒时，B有4种不同的放法；当A放入2，3，4，5号盒时，B有3种不同的放法，一共有4×2＋3×4＝20种不同的放法.答案2012.如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有种不同的涂色方法(用数字作答).解析区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C 与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法.所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法.答案260能力提升题组(建议用时：10分钟)13.(2018·河南天一大联考)如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有()A.360种B.720种C.780种D.840种解析由题意知2，3，4，5的颜色都不相同，先涂1，有6种方法，再涂2，3，4，5，有A45种方法，故一共有6·A45＝720种.答案 B14.(2018·衡水调研)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279解析0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个).答案 B15.三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数是.解析另两边长用x，y(x，y∈N)表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.当y取11时，x可取1，2，3，...，11，有11个三角形；当y取10时，x可取2，3， (10)有9个三角形；…；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形.所以所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案3616.已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x<y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有个.解析A＝{1}时，B有23－1种情况；A＝{2}时，B有22－1种情况；A＝{3}时，B有1种情况；A＝{1，2}时，B有22－1种情况；A＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B均有1种情况，故满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17个.答案17。

【精品】2019届高三数学年复习专题--立体几何专题训练附参考答案

1 【精品】2019届高三数学年复习专题--立体几何专题训练附参考答案一、解答题 1.如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，E 、F 分别为棱AB 、PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求三棱锥B-EFC 的体积；（3）求二面角P-EC-D 的正切值．2.如图，三棱柱ABF-DCE 中，∠ABC=120°，BC=2CD ，AD=AF ，AF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：BD ⊥EC ；（Ⅱ）若AB=1，求四棱锥B-ADEF 的体积．3.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，AA 1=2，E 为棱CC 1的中点．（1）求证：B 1D 1⊥AE ；（2）求三棱锥A-BDE 的体积．4.如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是边长为2的等边三角形，PC= ，M 在PC 上，且PA ∥面MBD ．（1）求证：M 是PC 的中点；（2）求多面体PABMD 的体积．25.已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，△PAB 是等边三角形，AB=2，PC= ，AB 的中点为E.（1）证明：PE ⊥平面ABCD ；（2）求三棱锥D-PBC 的体积．6.一块边长为10cm 的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．（1）试把容器的容积V 表示为x 的函数.（2）若x =6，求图2的主视图的面积.7.如图，矩形ABCD 中，BC=2，AB=1，PA ⊥平面ABCD ，BE ∥PA ，BE=PA ，F 为PA 的中点．（1）求证：PC ∥平面BDF ．（2）记四棱锥C-PABE 的体积为V 1，三棱锥P-ACD 的体积为V 2，求的值．8.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=2，AB=2 ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD ；（Ⅱ）求锐二面角D-A 1C-E 的余弦值．9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E、F分别为AB和PC的中点，连接EF、BF．（1）求证：直线EF∥平面PAD；（2）求三棱锥F-PBE的体积．10.如图，梯形FDCG，DC∥FG，过点D，C作DA⊥FG，CB⊥FG，垂足分别为A，B，且DA=AB=2．现将△DAF沿DA，△CBG沿CB翻折，使得点F，G重合，记为E，且点B在面AEC的射影在线段EC上．（Ⅰ）求证：AE⊥EB；（Ⅱ）设=λ，是否存在λ，使二面角B-AC-E的余弦值为？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．11.在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E-BD-A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB 上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．12.如图，四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=．（Ⅰ）求证：PD⊥面ABCD；（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．3413.如图在三棱锥A-BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD= ，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形. （1）求证：AD ⊥BC ；（2）求二面角B-AC-D 的余弦值；（3）点E 在直线AC 上，当直线ED 与平面BCD 成30°角若时，求点C 到平面BDE 的距离．14.如图所示，在边长为的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．15.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M 为PC 的中点，点N 在线段AD 上．（I ）点N 为线段AD 的中点时，求证：直线PA ∥BMN ；（II ）若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为，求平面PBC 与平面BMN 所成角θ的余弦值．16.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，求证：（1）AC 1⊥BD ；（2）AC 1∥平面BDE ．17.如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）求证：AC ⊥平面B 1D 1DB ；（2）求三棱锥B-CD 1B 1的体积．18.在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC（2）求证：PB⊥AC．19.如图，已知平面ADC∥平面A1B1C1，B为线段AD的中点，△ABC≈△A1B1C1，四边形ABB1A1为正方形，平面AA1C1C丄平面ADB1A1，A1C1=A1A，∠C1A1A=，M为棱A1C1的中点．（I）若N为线段DC1上的点，且直线MN∥平面ADB1A1，试确定点N的位置；（Ⅱ）求平面MAD与平面CC1D所成的锐二面角的余弦值．20.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1的中点，E为BC的中点．（1）求证：直线AE∥平面BDC1；（2）若三棱柱 ABC-A1B1C1是正三棱柱，AB=2，AA1=4，求平面BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值．21.如图所示，已知长方体ABCD中，AB=4，AD=2，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM；（2）若点E为线段DB的中点，求点E到平面DMC的距离．5622.如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．（1）若正方体的棱长为1，求三棱锥B 1-A 1BE 的体积；（2）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥面A 1BE ？若存在，试确定点F 的位置，并证明你的结论．23.如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC=CA=AA 1=2，∠CAA 1=60°．（1）求证：AC 1⊥A 1B ；（2）求直线A 1B 与平面BAC 1所成角的正弦值．24.在图所示的几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD=AD=2EC=2，N 为线段PB 的中点．（1）证明：NE ⊥平面PBD ；（2）求四棱锥B-CEPD 的体积．25.已知梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE=x ．沿EF 将梯形AEFD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF （如图）．G 是BC 的中点．（1）当x =2时，求证：BD ⊥EG ；（2）当x 变化时，求三棱锥D-BCF 体积的最大值．26.如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=16，BC=10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E=D 1F=4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．727.在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，底面ABFE 为直角梯形，∠ABF 为直角，，，平面ABCD ⊥平面ABFE ．（1）求证：DB ⊥EC ；（2）若AE=AB ，求二面角C-EF-B 的余弦值．28.如图，四棱锥P-ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB ．（1）求证：CD ⊥AP ；（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB ．29.如图所示，四棱锥P-ABCD 的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M 为PC 的中点，PC= ．（Ⅰ）求证：PC ⊥AD ；（Ⅱ）求三棱锥M-PAB 的体积．30.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=2，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD 且PO=6，M 为BD的中点．（1）证明：AD ⊥平面PAC ；（2）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．31.如图，多面体EF-ABCD 中，ABCD 是正方形，AC 、BD 相交于O ，EF ∥AC ，点E 在AC 上的射影恰好是线段AO 的中点．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）若直线AE 与平面ABCD 所成的角为60°，求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值．32.如图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠BCA=90°，且BC=CA=2，PC=PA ．（1）求证：PA ⊥BC ；8 （2）当PC 的值为多少时，满足PA ⊥平面PBC ？并求出此时该三棱锥P-ABC 的体积．33.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1=AB ，AB ⊥BC ，且N 是A 1B 的中点．（1）求证：直线AN ⊥平面A 1BC ；（2）若M 在线段BC 1上，且MN ∥平面A 1B 1C 1，求证：M 是BC 1的中点．34.．如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，点P 为DD 1的中点．（1）求证：直线BD 1∥平面PAC （2）求证：平面PAC ⊥平面BDD 1B 1．35.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD= ．（1）求证：平面MQB ⊥平面PAD ；（2）若二面角M-BQ-C 大小的为60°，求QM 的长．36.如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 、G 分别为 AB 、BB 1、B 1C 1 的中点．（1）求证：A 1D ⊥FG ；（2）求二面角 A 1-DE-A 的正切值．37.四棱锥P-ABCD 的直观图与三视图如图，PC ⊥面ABCD（1）画出四棱锥P-ABCD 的侧视图（标注长度）（2）求三棱锥A-PBD的9 体积．38.如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，点P 为棱DD 1上一点．（1）求证：平面PAC ⊥平面BDD 1B 1；（2）若P 是棱DD 1的中点，求CP 与平面BDD 1B 1所成的角大小．39.如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= ，∠ACB=90°，M 是线段PD 上的一点（不包括端点）．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角D-PC-A 的正切值；（Ⅲ）试确定点M 的位置，使直线MA 与平面PCD 所成角θ的正弦值为．40.已知四棱锥P-ABCD 中，AD=2BC ，且AD ∥BC ，点M ，N 分别是PB ，PD 中点，平面MNC 交PA 于Q ．（1）证明：NC ∥平面PAB（2）试确定Q 点的位置，并证明你的结论．41.一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体10 积．42.如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）证明：BD ⊥CE ．43.如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、G 、H 分别是BC 、C 1D 1、AA 1、的中点．（Ⅰ）求异面直线D 1H 与A 1B 所成角的余弦值（Ⅱ）求证：EG ∥平面BB 1D 1D ．44.如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB=AD=AP=2CD=2，M 是棱PB 上一点．（Ⅰ）若BM=2MP ，求证：PD ∥平面MAC ；（Ⅱ）若平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若二面角B-AC-M 的余弦值为，求的值．45.如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA 1=4点D 是AB 的中点．（1）求证：AC 1∥平面B 1DC ；11 （2）求三棱锥A 1-B 1CD 的体积．46.如图，以正四棱锥V-ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz ，其中O x ∥BC ，O y ∥AB ，E 为VC 中点，正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有cos ＜，＞=-．（1）求的值；（2）求二面角B-VC-D 的余弦值．47.如图1，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD=1，BC=2，E 为CD 上一点，F 为BE 的中点，且DE=1，EC=2，现将梯形沿BE 折叠（如图2），使平面BCE ⊥ABED ．（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）能否在边AB 上找到一点P （端点除外）使平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦值为？若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．48.如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥侧面ABB 1A 1，∠B 1A 1A=∠C 1A 1A=60°，AA 1=AC=4，AB=1．（Ⅰ）求证：A 1B 1⊥B 1C 1；（Ⅱ）求三棱锥ABC-A 1B 1C 1的侧面积．49.在四棱锥中P-ABCD ，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA=PD=AD 、E 、F ，分别为PC 、BD 的中点．（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）若AB=2，求三棱锥E-DFC 的体积．1250.如图，四棱锥P-ABCD 中，△PAD 为正三角形，AB ∥CD ，AB=2CD ，∠BAD=90°，PA ⊥CD ，E 为棱PB 的中点（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（Ⅱ）若直线PC 与平面PAD 所成角为45°，求二面角A-DE-C 的余弦值．51.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△AED ，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于P ．（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BFDE ；（Ⅱ）求四棱锥P-BFDE 的体积．【答案】1.（1）证明：取PD 中点G ，连结GF 、AG ，∵GF 为△PDC 的中位线，∴GF ∥CD 且，又AE ∥CD 且，∴GF ∥AE 且GF=AE ，13 ∴EFGA 是平行四边形，则EF ∥AG ，又EF ⊄面PAD ，AG ⊂面PAD ， ∴EF ∥面PAD ；（2）解：取AD 中点O ，连结PO ，∵面PAD ⊥面ABCD ，△PAD 为正三角形，∴PO ⊥面ABCD ，且，又PC 为面ABCD 斜线，F 为PC 中点，∴F 到面ABCD 距离，故；（3）解：连OB 交CE 于M ，可得R t △EBC ≌R t △OAB ， ∴∠MEB=∠AOB ，则∠MEB+∠MBE=90°，即OM ⊥EC ．连PM ，又由（2）知PO ⊥EC ，可得EC ⊥平面POM ，则PM ⊥EC ，即∠PMO 是二面角P-EC-D 的平面角，在R t △EBC 中，，∴， ∴，即二面角P-EC-D的正切值为．2.（Ⅰ）证明：三棱柱ABF-DCE 中，AF ⊥平面ABCD ．∴DE ∥AF ，ED ⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥BD ，又ABCD 是平行四边形，∠ABC=120°，故∠BCD=60°． ∵BC=2CD ，故∠BDC=90°．故BD ⊥CD ． ∵ED∩CD=D ，∴BD ⊥平面ECD ． ∵EC ⊂平面ECD ， ∴BD ⊥EC ；（Ⅱ）解：由BC=2CD ，可得AD=2AB ，∵AB=1，∴AD=2，作BH ⊥AD于H ，∵AF ⊥平面ABCD ，∴BH ⊥平面ADEF ，又∠ABC=120°， ∴BH=，∴．3.解：（1）证明：连接BD ，则BD ∥B 1D 1， ∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ． ∵CE ⊥面ABCD ， ∴CE ⊥BD ．又AC∩CE=C ， ∴BD ⊥面ACE ． ∵AE ⊂面ACE ， ∴BD ⊥AE ，∴B 1D 1⊥AE ．-----------（6分）（2）S △ABD =2 △．-----------（12分） 4.证明：（1）连AC 交BD 于E ，连ME ．14∵ABCD 是矩形，∴E 是AC 中点．又PA ∥面MBD ，且ME 是面PAC 与面MDB 的交线， ∴PA ∥ME ，∴M 是PC 的中点．解：（2）取AD 中点O ，连OC ．则PO ⊥AD ，由平面PAD ⊥底面ABCD ，得PO ⊥面ABCD ，∴ ，，∴ ， ∴ ，，∴．5.证明：（1）由题可知PE ⊥AB ，CE ⊥AB ． ∵AB=2，∴PE=CE= ．又∵PC= ，∴PE 2+EC 2=PC 2， ∴∠PEC=90°，即PE ⊥CE ．又∵AB ，CE ⊂平面ABCD ， ∴PE ⊥平面ABCD ；解：（2）S △BCD =×22×sin 120°= ，PE= ．由（1）知：PE ⊥平面ABCD ，V P-BCD =•S △BCD •PE=1．∵V D-PBC =V P-BCD ，∴三棱锥D-PBC 的体积为1． 6.解：（1）设所截等腰三角形的底边边长为x cm ．在R t △EOF 中，EF=5cm ，OF=x cm ，所以EO=．于是V=x 2（cm 3）．依题意函数的定义域为{x |0＜x ＜10}．（2）主视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长=AB=6，底边上的高为四棱锥的高=EO==4，S==12（cm 2）7.（1）证明：连结BF ，连接BD 交AC 与点O ，连OF ，依题得O 为AC 中点，又F 为PA 的中点，所以OF 为△PAC 中位线，所以OF ∥PC因为OF ⊂平面BDF ，PC ⊄平面BDF 所以PC ∥平面BDF ． ∴V 1=梯形 =（2）解：设BE=a ，则PA=2BE=2a ， V 2=△ =（a +2a ）×1×2=a ． =． ∴．8.解：（Ⅰ）连结AC 1，交A 1C 于点O ，连结DO ，则O 为AC 1的中点，因为D 为AB 的中点，所以OD ∥BC 1，又因为OD ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，∴BC 1∥平面A 1CD…（4分）（Ⅱ）由，，可知AC ⊥BC ，以C 为坐标原点，方向为x 轴正方向，方向为y轴正。

高三数学专题9.1 直线的方程(讲+练)(原卷版+解析版)

专题9.1 直线的方程1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识点一直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)．知识点二直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ.(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 .知识点三直线方程的五种形式考点一直线的倾斜角与斜率【典例1】（山西平遥中学2019届模拟）(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是__________．【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】(1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3. (2)如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3，所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【方法技巧】直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此求倾斜角或斜率的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2和⎝⎛⎭⎫π2，π三种情况讨论．当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．【变式1】（湖南浏阳一中2019届模拟）直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π【答案】B【解析】因为a 2＋1≠0，所以直线的斜截式方程为y ＝－1a 2＋1x －1a 2＋1，所以斜率k ＝－1a 2＋1，即tan α＝－1a 2＋1，所以－1≤tan α<0，解得3π4≤α<π，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.故选B. 考点二直线方程的求法【典例2】（北京师范大学实验中学2019届模拟）根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1.又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 【方法技巧】求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法：设出所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参数，再把参数的值代入所设直线方程即可．【变式2】（河北正定中学2019届模拟）过点P (3，1)，且比直线l ：x ＋3y －1＝0的倾斜角小30°的直线方程为__________．【答案】 3x ＋y －4＝0【解析】直线l ：x ＋3y －1＝0的斜率为－33，所以其倾斜角为150°，则所求直线的倾斜角为120°，因此所求直线的斜率k ＝－ 3.又直线过点P (3，1)，所以所求直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x＋y －4＝0.考点三直线方程的综合应用【典例3】（辽宁阜新实验中学2019届模拟）(1)已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．(2)已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．故当四边形的面积最小时，实数a 的值为12.(2)依题意知直线l 的斜率k 存在且k <0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，可得A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )，所以S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋－9k ＋4－k ≥ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k4－k ＝12×(12＋12) ＝12，当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立．故△ABO 的面积的最小值为12，此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 【方法技巧】(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．【变式3】（吉林长春市实验中学2019届模拟）当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为__________．【答案】24【解析】因为2x ＋ky －2＝0与x 轴交于点(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝0，2x ＋ky －2＝0，解得y ＝2kk 2＋2，所以两直线kx －y＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积为12×1×2k k 2＋2＝1k ＋2k≤122，故三角形面积的最大值为24.考点四综合考查【典例4】（黑龙江哈尔滨市第六中学2019届质检）若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )A ．－12 B.－12或－2 C.12或2D ．－2【答案】D【解析】∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝15，∴2sin θ cos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.【变式4】（江苏扬州中学2019届模拟）已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋152723．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 24．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞7．（浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝014．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π416．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5 C.52D. 5 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．19．（甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12 D.12- 2．（2019·浙江高三学业考试）直线210x y +-=经过点（）A.（1，0）B.（0，1）C.11,22⎛⎫⎪⎝⎭D.11,2⎛⎫⎪⎝⎭专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°【答案】A【解析】由直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0可得直线l 的斜率为k ＝－33，设直线l 的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－33，所以α＝150°.故选A. 2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋272【答案】B【解析】设z ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，则z 的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方．因为y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以y 1′＝2cos 2x 1.因为函数y 2＝x 2＋3的斜率为1，所以令y 1′＝2cos 2x 1＝1，解得x 1＝π6，则y 1＝0，即函数在⎝⎛⎭⎫π6，0处的切线和直线y 2＝x 2＋3平行，则最短距离为d ＝⎪⎪⎪⎪π6＋32.所以(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪π6＋322＝＋272.故选B.3．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2【答案】D【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.故选D.4．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)【答案】A【解析】因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距为－C B＞0，所以直线不经过第三象限． 6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 【答案】B【解析】易知直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a .因为k MA ＝3－－－2－0＝－52， k MB ＝2－－3－0＝43，由图可知－a ＞－52且－a ＜43，所以a ∈⎝⎛⎭⎫－43，52. 7．（浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．【答案】y ＝23x 【解析】直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3,2)，则直线l ：y ＝23x . 8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．【答案】y ＝－53x 或x －y ＋8＝0 【解析】当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8.即直线方程为x －y ＋8＝0.9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．【答案】16【解析】根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，可得ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时，等号成立．故ab 的最小值为16.10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程．(1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【解析】(1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a .①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)，所以直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0. ②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋y a ＝1.又点(3,4)在直线上，所以3a ＋4a＝1，所以a ＝7.所以直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0.(2)由题意可知所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )【答案】B【解析】由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】D【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12. 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0【答案】C【解析】因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.14．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2] B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)【答案】C【解析】令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]． 15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4【答案】D【解析】由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4，故选D.16．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx－y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5C.52D. 5 【答案】C【解析】由题意可知动直线x ＋my ＝0过定点A (0,0)．动直线mx －y －m ＋3＝0⇒m (x －1)＋3－y ＝0，因此直线过定点B (1,3)．当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P (0,3)，S △P AB ＝12×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．当|P A |＝|PB |时，△P AB 的面积取得最大值．由2|P A |＝|AB |＝12＋32＝10，解得|P A |＝ 5.所以S △P AB ＝12|P A |2＝52.综上可得，△P AB 的面积最大值是52. 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．【答案】4x －3y －4＝0【解析】由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．【答案】(3＋3)x －2y －3－3＝0【解析】由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.19．（甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16. 【解析】(1)由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．【解析】(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2. BC 边的中线AD 经过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y 2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12D.12- 【答案】B【解析】由26y x =-+可知斜率2k =-，本题选B 。

2019年高考数学(理科,天津课标版)二轮复习专题能力训练 Word版含答案6

专题能力训练6　函数与方程及函数的应用一、能力突破训练1.f (x )=-+log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( )1x A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.设函数f (x )的零点为x 1,函数g (x )=4x +2x-2的零点为x 2,若|x 1-x 2|>,则f (x )可以是( )14A.f (x )=2x- B.f (x )=-x 2+x-1214 C.f (x )=1-10x D.f (x )=ln(8x-2)3.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4 m 和a m(0<a<12),不考虑树的粗细.现用16 m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ,设此矩形花圃的最大面积为u ,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f (a )(单位:m 2)的图象大致是( )4.已知M 是函数f (x )=e -2|x-1|+2sin在区间[-3,5]上的所有零点之和,则M 的值为( )[π(x -12)]A.4B.6C.8D.105.已知函数f (x )是奇函数,且满足f (2-x )=f (x )(x ∈R ),当0<x ≤1时,f (x )=ln x+2,则函数y=f (x )在区间(-2,4]上的零点个数是( )A.7B.8C.9D.106.(2018全国Ⅲ,理15)函数f (x )=cos在[0,π]上的零点个数为 . (3x +π6)7.已知e 是自然对数的底数,函数f (x )=e x +x-2的零点为a ,函数g (x )=ln x+x-2的零点为b ,则f (a ),f (1),f (b )的大小关系为 .8.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下:①若一次性购物不超过200元,则不给予优惠;②若一次性购物超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③若一次性购物超过500元,则500元按第②条给予优惠,剩余部分给予7折优惠.甲单独购买A 商品实际付款100元,乙单独购买B 商品实际付款450元,若丙一次性购买A,B 两件商品,则应付款元.9.已知函数f (x )=2x ,g (x )=+2.12|x |(1)求函数g (x )的值域;(2)求满足方程f (x )-g (x )=0的x 的值.10.如图,一个长方体形状的物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速移动,速度为v (v>0),雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R ).E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S 成正比,比例系数为;②其他面的淋雨量之和,其值为.11012记y 为E 移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时,32(1)写出y 的表达式;(2)设0<v ≤10,0<c ≤5,试根据c 的不同取值范围,确定移动速度v ,使总淋雨量y 最少.二、思维提升训练11.如图,偶函数f (x )的图象如字母M,奇函数g (x )的图象如字母N,若方程f (g (x ))=0,g (f (x ))=0的实根个数分别为m ,n ,则m+n=( )A.18B.16C.14D.1212.已知函数f (x )=函数g (x )=3-f (2-x ),则函数y=f (x )-g (x )的零点个数为( ){2-|x |,x ≤2,(x -2)2,x >2,A .2B .3C .4D .513.设函数f (x )={2x -a ,x <1,4(x -a )(x -2a ),x ≥1.(1)若a=1,则f (x )的最小值为 ;(2)若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是 .14.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为R (x )万元,且R (x )={10.8-130x 2,0<x ≤10,108x -1 0003x 2,x >10.(1)写出年利润W (单位:万元)关于年产量x (单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大.(注:年利润=年销售收入-年总成本)15.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润x(单位:元)与年产量q(单位:t)满q足函数关系:x=2 000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润w(单位:元)表示为年产量q(单位:t)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)在乙方年产量为q(单位:t)时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002q2(单位:元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?专题能力训练6　函数与方程及函数的应用一、能力突破训练1.B 解析由题意得f (x )单调递增,f (1)=-1<0,f (2)=>0,所以f (x )=-+log 2x 的零点落在区间(1,2)内.121x 2.C 解析依题意得g-2<0,g =1>0,则x 2若f (x )=1-10x ,(14)=2+12(12)∈(14,12).则有x 1=0,此时|x 1-x 2|>,因此选C .143.B 解析设AD 长为x cm,则CD 长为(16-x )cm,又因为要将点P 围在矩形ABCD 内,所以a ≤x ≤12,则矩形ABCD 的面积S=x (16-x ).当0<a ≤8时,当且仅当x=8时,S=64,当8<a<12时,S=a (16-a ),即f (a )=画出分段函数图形可得其形状与选项B 接近,故选B.{64,0<a ≤8,a (16-a ),8<a <12,4.C 解析因为f (x )=e -2|x-1|+2sin =e -2|x-1|-2cos πx ,所以f (x )=f (2-x ).因为f (1)≠0,所以函数零点有[π(x -12)]偶数个,且两两关于直线x=1对称.当x ∈[1,5]时,函数y=e -2(x-1)∈(0,1],且单调递减;函数y=2cos πx ∈[-2,2],且在[1,5]上有两个周期,因此当x ∈[1,5]时,函数y=e -2(x-1)与y=2cos πx 有4个不同的交点;从而所有零点之和为4×2=8,故选C.5.C 解析由函数f (x )是奇函数且满足f (2-x )=f (x )知,f (x )是周期为4的周期函数,且关于直线x=1+2k (k ∈Z )成轴对称,关于点(2k ,0)(k ∈Z )成中心对称.当0<x ≤1时,令f (x )=ln x+2=0,得x=,由此1e 2得y=f (x )在区间(-2,4]上的零点分别为-2+,-,0,,2-,2,2+,-+4,4,共9个零点.故选C .1e 21e 21e 21e 21e 21e 26.3　解析令f (x )=cos=0,得3x++k π,k ∈Z ,∴x=,k ∈Z .则在[0,π]的零点(3x +π6)π6=π2π9+kπ3=(3k +1)π9有故有3个.π9,4π9,7π9.7.f (a )<f (1)<f (b )　解析由题意,知f'(x )=e x +1>0恒成立,则函数f (x )在R 上是单调递增的,因为f (0)=e 0+0-2=-1<0,f (1)=e 1+1-2=e -1>0,所以函数f (x )的零点a ∈(0,1).由题意,知g'(x )=+1>0,1x 则函数g (x )在区间(0,+∞)上是单调递增的.又g (1)=ln 1+1-2=-1<0,g (2)=ln 2+2-2=ln 2>0,则函数g (x )的零点b ∈(1,2).综上,可得0<a<1<b<2.因为f (x )在R 上是单调递增的,所以f (a )<f (1)<f (b ).8.520　解析设商品价格为x 元,实际付款为y 元,则y={x ,0<x ≤200,0.9x ,200<x ≤500,500×0.9+0.7(x -500),x >500,整理,得y={x ,0<x ≤200,0.9x ,200<x ≤500,100+0.7x ,x >500.∵0.9×200=180>100,∴A 商品的价格为100元.∵0.9×500=450,∴B 商品的价格为500元.当x=100+500=600时,y=100+0.7×600=520,即若丙一次性购买A,B 两件商品,则应付款520元.9.解 (1)g (x )=+2=+2,12|x |(12)|x |因为|x|≥0,所以0<1,(12)|x |≤即2<g (x )≤3,故g (x )的值域是(2,3].(2)由f (x )-g (x )=0,得2x --2=0.12|x |当x ≤0时,显然不满足方程,当x>0时,由2x --2=0整理,得(2x )2-2·2x -1=0,(2x -1)2=2,12x 解得2x =1±因为2x >0,所以2x =1+,2.2即x=log 2(1+).210.解 (1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,故y=(3|v-c|+10)32012100v (320|v -c |+12)=5v (v>0).(2)由(1)知,当0<v ≤c 时,y=(3c-3v+10)=-15;5v 5(3c +10)v 当c<v ≤10时,y=(3v-3c+10)=+15.故y=5v 5(10-3c )v {5(3c +10)v -15,0<v ≤c ,5(10-3c )v +15,c <v ≤10.①当0<c 时,y 是关于v 的减函数.故当v=10时,y min =20-≤1033c 2.②当<c ≤5时,在(0,c ]内,y 是关于v 的减函数;在(c ,10]内,y 是关于v 的增函数.103故当v=c 时,y min =50c.二、思维提升训练11.A 解析由题中图象知,f (x )=0有3个根0,a ,b ,且a ∈(-2,-1),b ∈(1,2);g (x )=0有3个根0,c ,d ,且c ∈(-1,0),d ∈(0,1).由f (g (x ))=0,得g (x )=0或a ,b ,由图象可知g (x )所对每一个值都能有3个根,因而m=9;由g (f (x ))=0,知f (x )=0或c ,d ,由图象可以看出f (x )=0时对应有3个根,f (x )=d 时有4个,f (x )=c 时只有2个,加在一起也是9个,即n=9,∴m+n=9+9=18,故选A .12.A 解析因为f (x )=所以f (2-x )=f (2-x )={2+x ,x <0,2-x ,0≤x ≤2,(x -2)2,x >2,{2+(2-x ),2-x <0,2-(2-x ),0≤2-x ≤2,(2-x -2)2,2-x >2⇒{x 2,x <0,x ,0≤x ≤2,4-x ,x >2,f (x )+f (2-x )={x 2+x +2,x <0,2,0≤x ≤2,x 2-5x +8,x >2,所以函数y=f (x )-g (x )=f (x )-3+f (2-x )={x 2+x -1,x <0,-1,0≤x ≤2,x 2-5x +5,x >2.其图象如图所示.显然函数图象与x 轴有2个交点,故函数有2个零点.13.(1)-1　(2)[2,+∞)　解析 (1)当a=1时,f (x )=[12,1)∪{2x -1,x <1,4(x -1)(x -2),x ≥1,当x<1时,2x -1∈(-1,1);当x ≥1时,4(x-1)(x-2)∈[-1,+∞).故f (x )的最小值为-1.(2)若函数f (x )=2x -a 的图象在x<1时与x 轴有一个交点,则a>0,并且当x=1时,f (1)=2-a>0,所以0<a<2.同时函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1时与x 轴有一个交点,所以a<1.{a <1,2a ≥1.故12≤若函数f (x )=2x -a 的图象在x<1时与x 轴没有交点,则函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1时与x 轴有两个不同的交点,当a ≤0时,函数f (x )=2x -a 的图象与x 轴无交点,函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1上与x 轴也无交点,不满足题意.当21-a ≤0,即a ≥2时,函数f (x )=4(x-a )·(x-2a )的图象与x 轴的两个交点x 1=a ,x 2=2a 都满足题意.综上,a 的取值范围为[2,+∞).[12,1)∪14.解 (1)当0<x ≤10时,W=xR (x )-(10+2.7x )=8.1x--10;x 330当x>10时,W=xR (x )-(10+2.7x )=98--2.7x.1 0003x 故W={8.1x -x 330-10,0<x ≤10,98-1 0003x-2.7x ,x >10.(2)①当0<x ≤10时,由W'=8.1-=0,得x=9.当x ∈(0,9)时,W'>0;当x ∈(9,10]时,W'<0.x 210所以当x=9时,W 取得最大值,即W max =8.1×9-93-10=38.6.130×②当x>10时,W=98-98-2=38,(1 0003x +2.7x )≤1 0003x ×2.7x 当且仅当=2.7x ,即x=时,W 取得最大值38.1 0003x 1009综合①②知:当x=9时,W 取得最大值38.6,故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大.15.解 (1)因为赔付价格为s 元/吨,所以乙方的实际年利润为w=2 000-sq (q ≥0).q 因为w=2 000-sq=-s,q (q -1 000s )2+1 0002s 所以当q=时,w 取得最大值.所以乙方取得最大利润的年产量q= t .(1 000s )2(1 000s )2(2)设甲方净收入为v 元,则v=sq-0.002q 2,将q=代入上式,得到甲方净收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式:(1 000s )2v=1 0002s‒2×1 0003s 4.又v'=-,1 0002s 2+8×1 0003s 5=1 0002(8 000-s 3)s 5令v'=0得s=20.当s<20时,v'>0;当s>20时,v'<0.所以当s=20时,v 取得最大值.因此甲方向乙方要求赔付价格s 为20元/吨时,获最大净收入.。

2019届高三数学下学期二模考试试题文(含解析)

2019届高三数学下学期二模考试试题文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求解不等式可得，据此结合交集、并集、子集的定义考查所给的选项是否正确即可.【详解】求解不等式可得，则：，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误，选项D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则|z|=（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】试题分析：由得，所以，故答案为B．考点：复数的运算．3.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的特点，可知（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关，再由相关性的强弱可比较出大小关系。

【详解】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关；故，；，；又（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故，，因此，．故选：C．【点睛】相关系数：当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关；r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

4.已知向量，若为实数，，则（）A. 2B. 1C.D.【答案】C【解析】和平行，故，解得.5.在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与圆相切，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】符合条件的渐近线方程为，与圆相切，即d=r，代入公式，即可求解【详解】双曲线C的渐近线方程为，与圆相切的只可能是，所以圆心到直线的距离d=，得，所以，故选B。

2019届高三数学(理)二轮复习精品同步：第1部分基础送分题：教师用书：题型专题(4) 不等式(通用版)

题型专题(四) 不等式(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．[题组练透]1．(2019·河北五校联考)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(0，1]解析：选D 由题意可知A ＝{x |1<x <2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <32，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0<x ≤1}，故选D.2．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－32，12C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－12，32 解析：选A 由f (x )>0，得ax 2＋(ab －1)x －b >0，又其解集是(－1，3)， ∴a <0，且⎩⎨⎧1－aba ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13(舍去)，∴a ＝－1，b ＝－3， ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，得4x 2＋4x －3>0，解得x >12或x <－32，故选A.3．(2019·泉州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1），x ≥0，－x 3，x <0，则使得f (x )≤1成立的x 的取值范围是________．解析：由⎩⎨⎧x ≥0，lg （x ＋1）≤1得0≤x ≤9，由⎩⎨⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x ＜0，故f (x )≤1的解集为[－1，9]．答案：[－1，9] [技法融会]1．求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．2．(易错提醒)解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.基本不等式：a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．[题组练透]1．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52解析：选B 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22（x －a ）·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.2．(2019·湖北七市联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( )A ．9 B.92 C ．4 D.52解析：选B 将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，∴a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a ＝2b＝3时等号成立，即ab 的最大值是92，故选B.3．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：选C 设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2 x ·4x＝160⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号. 所以该容器的最低总造价为160元．4．(2019·江西两市联考)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92解析：选C 由x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，得5＝x ＋y ＋x ＋y xy ，∵x >0，y >0，∴5≥x ＋y ＋x ＋y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝x＋y ＋4x ＋y，∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，解得1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.[技法融会]1．利用不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．2．(易错提醒)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.解决线性规划问题的一般步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l .(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要对目标函数l 和可行域边界的斜率的大小进行比较．(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． [题组练透]1．(2019·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选B 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l可知，当直线l 经过A 时，z ＝x －y 取得最小值－1，联立⎩⎨⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，∴m ＝5，故选B.2．(2019·福建质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1 B.92C ．5D ．9解析：选B 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P (－2，－3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92，故选B.3．(2019·全国甲卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析：不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3，4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.答案：－54．(2019·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是________．解析：画出不等式组所表示的可行域，如图所示，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1，1)连线的斜率，∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12.答案：－125．(2019·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产产品A x 件，产品B y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N . 目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点B 时，z 取得最大值，联立⎩⎨⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60，100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．答案：216 000 [技法融会]1．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．2．(易错提醒)解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．1．不等式的可乘性(1)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (2)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .2．不等式的性质在近几年高考中未单独考查，但在一些题的某一点可能考查，在今后复习中应引起关注．[题组练透]1．(2019·河南六市联考)若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D 由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.2．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b解析：选C 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．[技法融会]1．判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．2．利用不等式性质解决问题的注意事项(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．一、选择题1．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B. 2．(2019·北京高考)已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8解析：选C 作出线段AB ，如图所示．作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B(4，1)时，2x －y 取最大值为2×4－1＝7. 3．(2019·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )A.12B.32C ．1D ．2 解析：选C 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C. 4．已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{ x | x >2或x <－2}B ．{ x |－2< x <2}C ．{ x | x <0或x >4}D ．{ x |0< x <4}解析：选C 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)·(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)( x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C. 5．(2019·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ； ②若a > b ，c>d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a > b ，c> d ，则ac >bd ； ④若a > b ，则1a >1b .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ①ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③需满足a ，b ，c ，d 均为正数才成立；④错误，比如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1>－2，但1－1<1－2.故选B.6．(2019·安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2，2] B.⎣⎡⎦⎤－12，2 C ．[－1，2] D.⎣⎡⎦⎤－12，1 解析：选B 作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1，3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2 x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.7．(2019·河北五校联考)若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax 恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x ≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.故选C.8．(2019·河南八市联考)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝3x ＋2y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C.34D ．1 解析：选B 根据约束条件作出可行域(如图中阴影部分所示)，把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线，当直线z ＝3x ＋2y 经过点B 时，截距z2最小，即z 最小，又B 点坐标为(1，－2a )，代入3x ＋2y ＝1，得3－4a ＝1，得a ＝12，故选B.9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B ．C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元，则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2，3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．故选D.10．(2019·湖北七市联考)设向量a ＝(1，k )，b ＝(x ，y )，记a 与b 的夹角为θ.若对所有满足不等式|x －2|≤y ≤1的x ，y ，都有θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则实数k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－1，0)∪(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)解析：选D 首先画出不等式|x －2|≤y ≤1所表示的区域，如图中阴影部分所示，令z ＝a ·b ＝x ＋ky ，∴问题等价于当可行域为△ABC 时，z >0恒成立，且a 与b 方向不相同，将△ABC 的三个端点值代入，即⎩⎨⎧k ＋1>0，k ＋3>0，2＋0·k >0，解得k >－1，当a 与b 方向相同时，1·y ＝x ·k ，则k ＝y x∈[0，1]，∴实数k 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)，故选D. 11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4，1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy ＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y 4≥xy ≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( ) A.6＋2 B.6－2C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝⎛⎭⎫c a －12⎝⎛⎭⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2(当且仅当t ＝62时等号成立)，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.二、填空题13．(2019·湖北华师一附中联考)若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ，所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：214．(2019·河北三市联考)如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝y x ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：115．(2019·江西两市联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2（y ＋1）x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1，5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3，11]．答案：[3，11]16．(2019·湖南东部六校联考)对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2，1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2，1)．参考上述解法，若关于x 的不等式k x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．解析：不等式kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0，可化为ka＋1x＋b＋1xc＋1x<0，故得－1<1x<－13或12<1x<1，解得－3<x<－1或1<x<2，故kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1，2)．答案：(－3，－1)∪(1，2)。

2019届高三理科数学二模试卷.docx

.精品文档 .2019 届高三理科数学二模试卷高三第二轮复习质量检测数学试题 ( 理科 )2019.4一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A．(1 ，2]B． (1，]． [0， 1)D． (1， +∞)2．已知i为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则的值为A．2B．．D．3．设等差数列的前n项和为，若A．8B．9．10D．114．为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为：A．①③B．①④．②③D．②④5．根据如下样本数据：得到的回归方程为，则每增加一个单位，y 就A．增加 1.4个单位B．减少 1.4个单位．增加 1.2个单位D．减少 1.2 个单位6．已知 x ， y 满足约束条件则的取值范围是A．[2 ，4] B ． [4 ， 6]．[2 ，6]D ．( －∞， 2]7．执行如图所示的程序框图，若输入的S=12，则输出的S=A．B．8．已知数列．5D．6的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且A． B ．19 9．设双曲线．20 D ．23的左、右焦点分别为，P 是双曲线上一点，点 P 到坐标原点的距离等于双曲线焦距的一半，且，则双曲线的离心率是A．B．．D．10．已知函数恰有1 个零点，则的取值范围是A．B．．D．11．如图，在下列四个正方体中，P， R， Q，，N， G， H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与 PRQ所在平面平行的是12．若函数上单调递增，则实数的取值范围为A．B．．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．如图，已知正方体ABD—的棱长为1，点 P 为棱上任意一点，则四棱锥P—的体积为▲ ．14．某外商计划在4 个候选城市中投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案有▲ 种．15．抛物线的焦点为F，动点 P 在抛物线上，点取得最小值时，直线AP的方程为▲ .16．如图，在△ AB中，为 D 上一点，且满足的面积为，则的最小值为▲ ．三、解答题：共70 分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤．第17 题~第21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 . 第 22 题 ~第 23 题为选考题，考生根据要求作答．17．( 本小题满分12 分 )3 / 6已知函数 .(1)求函数的单调递增区间；(2) 在△ AB中，内角A， B，的对边分别为，求的值．18．( 本小题满分12 分 )如图，正方形ABD边长为，平面平面ED，．(1)证明：；(2)求二面角的余弦值．19．(本小题满分12 分)某社区为了解居民参加体育锻炼情况，随机抽取18男性居民， 12 名女性居民对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查．现按参加体育锻炼的情况将居民分成 3 类：甲类 (参加体育锻炼 ) ，乙类 ( 参加体育锻炼，但平均每周参加体育名不锻炼的时间不超过 5 个小时 ) ，丙类 ( 参加体育锻炼，且平均每周参加体育锻炼的时间超过 5 个小时 ) ，调查结果如下表：(1)根据表中的统计数据，完成下面列联表，并判断是否有 90％的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关?(2)从抽出的女性居民中再随机抽取 3 人进一步了解情况，记 X 为抽取的这 3 名女性居民中甲类和丙类人数差的绝对值，求X 的数学期望．附：20． ( 本小题满分12 分)已知椭圆的右顶点为A，左焦点为，离心率，过点A 的直线与椭圆交于另一个点B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为点，若．(1)求椭圆的标准方程；(2)过圆上任意一点 P 作圆 E 的切线与椭圆交于， N 两点，以 N 为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．21．( 本小题满分12 分 )已知函数．(1)若函数存在极小值点，求的取值范围；(2)证明：．请考生在第22~23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．( 本小题满分10 分 )在平面直角坐标系xy 中，直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的普通方程；(2)过点 P(1 ，0) 作直线的垂线交曲线于， N 两点，求的值.23．( 本小题满分10 分 )已知函数．(1)当时，解不等式；(2)若不等式有解，求的取值范围．。

2019年高考数学(理科,天津课标版)二轮复习专题能力训练 Word版含答案8

专题能力训练8　利用导数解不等式及参数的取值范围一、能力突破训练1.设f (x )=x ln x-ax 2+(2a-1)x ,a ∈R .(1)令g (x )=f'(x ),求g (x )的单调区间;(2)已知f (x )在x=1处取得极大值,求实数a 的取值范围.2.(2018全国Ⅲ,理21)已知函数f (x )=(2+x+ax 2)·ln(1+x )-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f (x )<0;当x>0时,f (x )>0;(2)若x=0是f (x )的极大值点,求a.3.已知函数f (x )=ax+x ln x 的图象在x=e(e 为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(1)求实数a 的值;(2)若f (x )≤kx 2对任意x>0成立,求实数k 的取值范围;(3)当n>m>1(m ,n ∈N *)时,证明:.nmmn>mn4.设函数f (x )=ax 2-a-ln x ,其中a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性;(2)确定a 的所有可能取值,使得f (x )>-e 1-x 在区间(1,+∞)内恒成立(e =2.718…为自然对数的底数).1x 5.设函数f (x )=a ln x ,g (x )=x 2.12(1)记g'(x )为g (x )的导函数,若不等式f (x )+2g'(x )≤(a+3)x-g (x )在x ∈[1,e]内有解,求实数a 的取值范围;(2)若a=1,对任意的x 1>x 2>0,不等式m [g (x 1)-g (x 2)]>x 1f (x 1)-x 2f (x 2)恒成立.求m (m ∈Z ,m ≤1)的值.6.已知函数f (x )=-2(x+a )ln x+x 2-2ax-2a 2+a ,其中a>0.(1)设g (x )是f (x )的导函数,讨论g (x )的单调性;(2)证明:存在a ∈(0,1),使得f (x )≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f (x )=0在区间(1,+∞)内有唯一解.二、思维提升训练7.已知函数f (x )=x 3+x 2+ax+1(a ∈R ).13(1)求函数f (x )的单调区间;(2)当a<0时,试讨论是否存在x 0∈,使得f (x 0)=f .(0,12)∪(12,1)(12)专题能力训练8　利用导数解不等式及参数的取值范围一、能力突破训练1.解 (1)由f'(x )=ln x-2ax+2a ,可得g (x )=ln x-2ax+2a ,x ∈(0,+∞).则g'(x )=-2a=,1x 1-2ax x 当a ≤0时,x ∈(0,+∞)时,g'(x )>0,函数g (x )单调递增;当a>0时,x 时,g'(x )>0,函数g (x )单调递增,x 时,函数g (x )单调递减.∈(0,12a )∈(12a ,+∞)所以当a ≤0时,g (x )的单调增区间为(0,+∞);当a>0时,g (x )单调增区间为,单调减区间为(0,12a )(12a ,+∞).(2)由(1)知,f'(1)=0.①当a ≤0时,f'(x )单调递增,所以当x ∈(0,1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增.所以f (x )在x=1处取得极小值,不合题意.②当0<a<时,>1,由(1)知f'(x )在区间内单调递增,1212a (0,12a )可得当x ∈(0,1)时,f'(x )<0,x 时,f'(x )>0.∈(1,12a )所以f (x )在区间(0,1)内单调递减,在区间内单调递增,所以f (x )在x=1处取得极小值,不合题(1,12a )意.③当a=时,=1,f'(x )在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,1212a 所以当x ∈(0,+∞)时,f'(x )≤0,f (x )单调递减,不合题意.④当a>时,0<<1,当x 时,f'(x )>0,f (x )单调递增,1212a ∈(12a ,1)当x ∈(1,+∞)时,f'(x )<0,f (x )单调递减,所以f (x )在x=1处取极大值,合题意.综上可知,实数a 的取值范围为a>12.2.解 (1)当a=0时,f (x )=(2+x )ln(1+x )-2x ,f'(x )=ln(1+x )-,x1+x 设函数g (x )=f'(x )=ln(1+x )-,则g'(x )=,x1+x x (1+x )2当-1<x<0时,g'(x )<0;当x>0时,g'(x )>0.故当x>-1时,g (x )≥g (0)=0,且仅当x=0时,g (x )=0,从而f'(x )≥0,且仅当x=0时,f'(x )=0.所以f (x )在(-1,+∞)内单调递增.又f (0)=0,故当-1<x<0时,f (x )<0;当x>0时,f (x )>0.(2)①若a ≥0,由(1)知,当x>0时,f (x )≥(2+x )·ln(1+x )-2x>0=f (0),这与x=0是f (x )的极大值点矛盾.②若a<0,设函数h (x )==ln(1+x )-f (x )2+x +ax22x2+x +ax 2.由于当|x|<min 时,2+x+ax 2>0,故h (x )与f (x )符号相同.{1,1|a |}又h (0)=f (0)=0,故x=0是f (x )的极大值点当且仅当x=0是h (x )的极大值点.h'(x )=11+x ‒2(2+x +ax 2)-2x (1+2ax )(2+x +ax 2)2=x 2(a 2x 2+4ax +6a +1)(x +1)(ax 2+x +2)2.若6a+1>0,则当0<x<-,且|x|<min 时,h'(x )>0,故x=0不是h (x )的极大值点.6a +14a {1,1|a |}若6a+1<0,则a 2x 2+4ax+6a+1=0存在根x 1<0,故当x ∈(x 1,0),且|x|<min 时,h'(x )<0,所以{1,1|a |}x=0不是h (x )的极大值点.若6a+1=0,则h'(x )=x 3(x -24)(x +1)(x 2-6x -12)2.则当x ∈(-1,0)时,h'(x )>0;当x ∈(0,1)时,h'(x )<0.所以x=0是h (x )的极大值点,从而x=0是f (x )的极大值点.综上,a=-16.3.解 (1)∵f (x )=ax+x ln x ,∴f'(x )=a+ln x+1.又f (x )的图象在点x=e 处的切线的斜率为3,∴f'(e)=3,即a+ln e +1=3,∴a=1.(2)由(1)知,f (x )=x+x ln x ,若f (x )≤kx 2对任意x>0成立,则k 对任意x>0成立.≥1+ln xx令g (x )=,则问题转化为求g (x )的最大值,g'(x )==-1+ln xx 1x ·x -(1+ln x )x 2ln x x 2.令g'(x )=0,解得x=1.当0<x<1时,g'(x )>0,∴g (x )在区间(0,1)内是增函数;当x>1时,g'(x )<0,∴g (x )在区间(1,+∞)内是减函数.故g (x )在x=1处取得最大值g (1)=1,∴k ≥1即为所求.(3)证明:令h (x )=,则h'(x )=x ln xx -1x -1-ln x(x -1)2.由(2)知,x ≥1+ln x (x>0),∴h'(x )≥0,∴h (x )是区间(1,+∞)内的增函数.∵n>m>1,∴h (n )>h (m ),即,n ln nn -1>m ln mm -1∴mn ln n-n ln n>mn ln m-m ln m ,即mn ln n+m ln m>mn ln m+n ln n ,∴ln n mn +ln m m >ln m mn +ln n n .整理,得ln(mn n )m >ln(nm m )n .∴(mn n )m >(nm m )n ,∴nm m n >mn .4.解 (1)f'(x )=2ax-(x>0).1x =2ax 2-1x 当a ≤0时,f'(x )<0,f (x )在区间(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x )=0,有x=12a .此时,当x 时,f'(x )<0,f (x )单调递减;∈(0,12a )当x 时,f'(x )>0,f (x )单调递增.∈(12a ,+∞)(2)令g (x )=,s (x )=ex-1-x.1x ‒1ex -1则s'(x )=e x-1-1.而当x>1时,s'(x )>0,所以s (x )在区间(1,+∞)内单调递增.又由s (1)=0,有s (x )>0,从而当x>1时,g (x )>0.当a ≤0,x>1时,f (x )=a (x 2-1)-ln x<0.故当f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当0<a<时,>1.1212a 由(1)有f <f (1)=0,而g >0,(12a )(12a )所以此时f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内不恒成立.当a 时,令h (x )=f (x )-g (x )(x ≥1).≥12当x>1时,h'(x )=2ax--e 1-x >x->0.1x +1x 21x +1x 2‒1x =x 3-2x +1x 2>x 2-2x +1x 2因此,h (x )在区间(1,+∞)单调递增.又因为h (1)=0,所以当x>1时,h (x )=f (x )-g (x )>0,即f (x )>g (x )恒成立.综上,a ∈[12,+∞).5.解 (1)不等式f (x )+2g'(x )≤(a+3)x-g (x ),即a ln x+2x ≤(a+3)x-x 2,12化简,得a (x-ln x )x 2-x.≥12由x ∈[1,e]知x-ln x>0,因而a 设y=,≥12x 2-x x -ln x .12x 2-x x -ln x 则y'=(x -1)(x -ln x )-(1-1x )(12x 2-x)(x -ln x )2=(x -1)(12x +1-ln x)(x -ln x )2.∵当x ∈(1,e)时,x-1>0,x+1-ln x>0,12∴y'>0在x ∈[1,e]时成立.由不等式有解,可得a ≥y min =-,12即实数a 的取值范围是[-12,+∞).(2)当a=1时,f (x )=ln x.由m [g (x 1)-g (x 2)]>x 1f (x 1)-x 2f (x 2)恒成立,得mg (x 1)-x 1f (x 1)>mg (x 2)-x 2f (x 2)恒成立,设t (x )=x 2-x ln x (x>0).m2由题意知x 1>x 2>0,则当x ∈(0,+∞)时函数t (x )单调递增,∴t'(x )=mx-ln x-1≥0恒成立,即m 恒成立.≥ln x +1x 因此,记h (x )=,得h'(x )=ln x +1x -ln xx 2.∵函数在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴函数h (x )在x=1处取得极大值,并且这个极大值就是函数h (x )的最大值.由此可得h (x )max =h (1)=1,故m ≥1,结合已知条件m ∈Z ,m ≤1,可得m=1.6.(1)解由已知,函数f (x )的定义域为(0,+∞),g (x )=f'(x )=2(x-a )-2ln x-2,(1+ax )所以g'(x )=2-2x +2ax2=2(x -12)2+2(a -14)x 2.当0<a<时,g (x )在区间内单调递增,14(0,1-1-4a 2),(1+1-4a2,+∞)在区间内单调递减;(1-1-4a 2,1+1-4a2)当a 时,g (x )在区间(0,+∞)内单调递增.≥14(2)证明由f'(x )=2(x-a )-2ln x-2=0,解得a=(1+ax )x -1-ln x 1+x -1.令φ(x )=-2ln x+x 2-2x-2(x +x -1-ln x 1+x -1)(x -1-ln x 1+x -1)(x -1-ln x 1+x -1)2+x -1-ln x 1+x -1.则φ(1)=1>0,φ(e)=--2<0.e (e -2)1+e -1(e -21+e -1)2故存在x 0∈(1,e),使得φ(x 0)=0.令a 0=,u (x )=x-1-ln x (x ≥1).x 0-1-ln x 01+x -1由u'(x )=1-0知,函数u (x )在区间(1,+∞)内单调递增.1x ≥所以0==a 0<<1.u (1)1+1<u (x 0)1+x -10u (e )1+e -1=e -21+e -1即a 0∈(0,1).当a=a 0时,有f'(x 0)=0,f (x 0)=φ(x 0)=0.由(1)知,f'(x )在区间(1,+∞)内单调递增,故当x ∈(1,x 0)时,f'(x )<0,从而f (x )>f (x 0)=0;当x ∈(x 0,+∞)时,f'(x )>0,从而f (x )>f (x 0)=0.所以,当x ∈(1,+∞)时,f (x )≥0.综上所述,存在a ∈(0,1),使得f (x )≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f (x )=0在区间(1,+∞)内有唯一解.二、思维提升训练7.解 (1)f'(x )=x 2+2x+a ,方程x 2+2x+a=0的判别式为Δ=4-4a ,①当a ≥1时,Δ≤0,则f'(x )≥0,此时f (x )在R 上是增函数;②当a<1时,方程x 2+2x+a=0两根分别为x 1=-1-,x 2=-1+,1-a 1-a 解不等式x 2+2x+a>0,解得x<-1-或x>-1+,1-a 1-a 解不等式x 2+2x+a<0,解得-1-<x<-1+,1-a 1-a 此时,函数f (x )的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞),1-a 1-a 单调递减区间为(-1-,-1+).1-a 1-a 综上所述,当a ≥1时,函数f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞);当a<1时,函数f (x )的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞),单调递减区间为(-1-1-a 1-a 1-a,-1+).1-a (2)f (x 0)-f +ax 0+1--a -1(12)=13x 30+x 2013·(12)3‒(12)2·12=+a 13[x 30-(12)3]+[x 20-(12)2](x 0-12)=13(x 0-12)(x 20+x 02+14)+(x 0-12)·+a +x 0+(4+14x 0+7+12a ).(x 0+12)(x 0-12)=(x 0-12)·(x 203+x 06+11212+a )=112(x 0-12)x 20若存在x 0,使得f (x 0)=f ,则4+14x 0+7+12a=0在内有解.∈(0,12)∪(12,1)(12)x 20(0,12)∪(12,1)由a<0,得Δ=142-16(7+12a )=4(21-48a )>0,故方程4+14x 0+7+12a=0的两根为x 1'=,x'2=x 20-7-21-48a 4-7+21-48a4.由x 0>0,得x 0=x'2=,-7+21-48a4依题意,0<<1,即7<<11,所以49<21-48a<121,即-<a<-,-7+21-48a21-48a 2512712又由得a=-,-7+21-48a 4=1254故要使满足题意的x 0存在,则a ≠-54.综上,当a 时,存在唯一的x 0满足f (x 0)=f ,当a ∈(-2512,-54)∪(-54,-712)∈(0,12)∪(12,1)(12)∈时,不存在x 0满足f (x 0)=f (-∞,-2512]∪(-54)∪[-712,0)∈(0,12)∪(12,1)(12).。

2019届高考数学(文)二轮复习课件：第2部分专题9 选做大题 9.2

3 5 5 -∞, 4 3 2 |��|2
+ ≤ ,且当
5 4
5 4
.
-13-
考向一
考向二
考向三
考向四
解题心得1.解含有两个以上绝对值符号的不等式,一般解法是零点分段法.即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而将绝对值不等式转化为常规不等式. 2.在不等式恒成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离参数,通过求对应函数最值的方法获得.
-7-
2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解法: ①|x|<a⇔-a<x<a; ②|x|>a⇔x>a或x<-a. (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: ①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c. (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法: ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想. ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
9.2
不等式选讲(选修4—5)
-2-
-3-
年份卷别
设问特点涉及知识点题目类型解题思想方法画函数的图绝对值、分段解不等分类讨论思想, 全国Ⅰ 象;求不等式函数、函数图式数形结合思想的解集象、解不等式解不等求不等式解绝对值、分段式,证分类讨论思想, 全国Ⅱ 集;证明不等 2016 函数明不等求差法式式解不等求不等式解函数、绝对式及恒全国Ⅲ 集;求参数的分类讨论思想值、解不等式成立求取值范围参数

2019年9月高三数学第二次模拟考试试题理

2019届高三第二次模拟考试试题数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M ＝{x |x 2＋x －6<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3]2．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )．A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

3. 观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x y ，之间关系最强的是A ．B ．C ．D ． 4.命题:",ln 0"p x e a x ∀>-< 为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≤ B ．1a < C ．1a ≥ D ．1a > 5. 已知x ＝log 23－log 23，y ＝log 0.5π，z ＝0.9－1.1，则( )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜y ＜xC ．y ＜z ＜xD ．y ＜x ＜z 6. 设等差数列{}n a 满足15853a a =，且01>a ，n S为其前n 项和，则数列{}n S 的最大项为( )A ．23S B ．25S C ．24S D ．26S7. 执行如图所示的程序框图，若输出的5k =，则输入的整数p 的最大值为( ) A. 7B. 15C. 31D. 638. 将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本至多两本，则不同的分法种数是（）A.60B.90C.120D.1809.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V 为（）．A ．323B ．163C ． 403 D ． 4010. 已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（） A.6 B.7 C.8 D.911. 设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，双曲线上存在一点P 使得12||||3PF PF b +=，129||||4PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（）（A ）43 （B ）94 （C ）53（D ）3 12. 若关于x 的方程错误！未找到引用源。

2019年高考数学(理科,天津课标版)二轮复习专题能力训练 Word版含答案3

16.已知��
⊥
��,|��|=��,|��|=t.若点
P
是△ABC
所在平面内的一点,且��
=
|��|
+
,则��·��的最
|��|
�� - i
20.已知 a∈R,i 为虚数单位,若2 + i为实数,则 a 的值为 .
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专题能力训练 3 平面向量与复数
一、能力突破训练
11
�� - ��i
1.B 解析 p1:设 z=a+bi(a,b∈R),则�� = �� + ��i = ��2 + ��2 ∈ R,所以 b=0,所以 z∈R.故 p1 正确;
3.D 解析 (1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.
5i
( )
3
A.-2a2
3
B.-4a2
3
C.4a2
3
D.2a2
1
8.已知非零向量 m,n 满足 4|m|=3|n|,cos<m,n>=3.若 n⊥(tm+n),则实数 t 的值为( )
A.4
B.-4
9
9
C.4
D.-4
9.如图,已知平面四边形 ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与 BD 交于点 O,记 I1=��·��,I2= ��·��,I3=��·��,则( )

新课标广西2019高考数学二轮复习专题对点练92.1~2.4组合练201812242120

专题对点练9 2.1~2.4组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.设函数f (x )= x 2+1,x ≤1,ln x ,x >1,则f (f (e))=( )A .0B .1C .2D .ln(e 2+1)2.设a=60.4,b=log 0.40.5,c=log 80.4,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a<b<c B .c<b<a C .c<a<b D .b<c<a3.已知函数y=log a (x+c )(a ,c 为常数,其中a>0,a ≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是 ( )A .a>1,c>1B .a>1,0<c<1C .0<a<1,c>1D .0<a<1,0<c<14.(2018全国Ⅲ,文9)函数y=-x 4+x 2+2的图象大致为( )5.函数y=1+log 0.5(x-1)的图象一定经过点( ) A .(1,1) B .(1,0) C .(2,1) D .(2,0)6.若函数f (x )= cos x ,x ≤a ,1x,x >a 的值域为[-1,1],则实数a 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .(-∞,-1]C .(0,1]D .(-1,0)7.已知函数f (x )=x 12,则( ) A .∃x 0∈R ,使得f (x )<0 B .∀x ∈(0,+∞),f (x )≥0 C .∃x 1,x 2∈[0,+∞),使得f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0 D .∀x 1∈[0,+∞),∃x 2∈[0,+∞),使得f (x 1)>f (x 2)8.已知函数f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )为增函数,则“65<x<2”是“f [log 2(2x-2)]>f log 1223 ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件9.已知f (x )= a x 2+x ,x >0,-x ,x ≤0,若不等式f (x-1)≥f (x )对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的最大值为( ) A .916B .-1C .-12D .1二、填空题(共3小题,满分15分)10.已知x ≥0,y ≥0,且x+y=1,则x 2+y 2的取值范围是 .11.已知二次函数f (x )=ax 2-2x+c 的值域为[0,+∞),则9a +1c的最小值为 .12.(2018天津,文14)已知a ∈R ,函数f (x )= x 2+2x +a -2,x ≤0,-x 2+2x -2a ,x >0.若对任意x ∈[-3,+∞),f (x )≤|x|恒成立,则a 的取值范围是 . 三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.(2018全国Ⅰ,文21)已知函数f (x )=a e x-ln x-1. (1)设x=2是f (x )的极值点,求a ,并求f (x )的单调区间;(2)证明:当a ≥1e时,f (x )≥0.14.已知函数f (x )=e x -ax 2-2x (a ∈R ). (1)当a=0时,求f (x )的最小值;(2)当a<e 2-1时,证明不等式f (x )>e2-1在(0,+∞)上恒成立.15.(2018浙江,22)已知函数f (x )= x -ln x.(1)若f (x )在x=x 1,x 2(x 1≠x 2)处导数相等,证明:f (x 1)+f (x 2)>8-8ln 2;(2)若a ≤3-4ln 2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a 与曲线y=f (x )有唯一公共点.专题对点练9答案1.C 解析 f (e)=ln e =1,所以f (f (e))=f (1)=12+1=2.故选C .2.B 解析 ∵a=60.4>1,b=log 0.40.5∈(0,1),c=log 80.4<0, ∴a>b>c.3.D 解析 ∵函数单调递减, ∴0<a<1,当x=1时,y=log a (1+c )<0,即1+c>1,即c>0,当x=0时,log a (x+c )=log a c>0,即c<1,即0<c<1,故选D .4.D 解析当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=12时,y=- 12 4+ 12 2+2>2.排除C .故选D .5.C 解析 ∵函数y=log 0.5x 恒过定点(1,0),而y=1+log 0.5(x-1)的图象是由y=log 0.5x 的图象向右平移一个单位,向上平移一个单位得到,∴定点(1,0)平移以后即为定点(2,1),故选C .6.A 解析函数f (x )= cos x ,x ≤a ,1x ,x >a 的值域为[-1,1],当x ≤a 时,f (x )=cos x ∈[-1,1],满足题意;当x>a 时,f (x )=1x∈[-1,1], 应满足0<1x≤1,解得x ≥1.∴a 的取值范围是[1,+∞).7.B 解析由函数f (x )=x 12,知在A 中f (x )≥0恒成立,故A 错误,B 正确;又f (x )=x 12在[0,+∞)上是递增函数,故C 错误;在D 中,当x 1=0时,不存在x 2∈[0,+∞)使得f (x 1)>f (x 2),故D 不成立. 故选B .8.D 解析由f (x )是偶函数且当x ≤0时,f (x )为增函数,则x>0时,f (x )是减函数, 故由f [log 2(2x-2)]>f log 1223 ,得|log 2(2x-2)|< log 1223 =log 232, 故0<2x-2<32,解得1<x<74,故“65<x<2”是“1<x<74”的既不充分也不必要条件,故选D .9.B 解析作出函数f (x )和f (x-1)的图象,当a ≥0时,f (x-1)≥f (x )对一切x ∈R 不恒成立(如图1).图1图2当a<0时,f (x-1)过定点(1,0)(如图2),当x>0时,f (x )=ax 2+x 的两个零点为x=0和x=-1a , 要使不等式f (x-1)≥f (x )对一切x ∈R 恒成立,则只需要-1a ≤1,得a ≤-1,即a 的最大值为-1.10. 12,1 解析 x 2+y 2=x 2+(1-x )2=2x 2-2x+1,x ∈[0,1],所以当x=0或1时,x 2+y 2取最大值1;当x=12时,x 2+y 2取最小值12.因此x 2+y 2的取值范围为 12,1 .11.6 解析二次函数f (x )=ax 2-2x+c 的值域为[0,+∞), 可得判别式Δ=4-4ac=0,即有ac=1,且a>0,c>0,可得9a +1c ≥2 9a c=2×3=6,当且仅当9a =1c ,即有c=13,a=3时,取得最小值6. 12. 18,2 解析当x>0时,f (x )≤|x|可化为-x 2+2x-2a ≤x ,即 x -12 2+2a-14≥0,所以a ≥18; 当-3≤x ≤0时,f (x )≤|x|可化为x 2+2x+a-2≤-x ,即x 2+3x+a-2≤0.对于函数y=x 2+3x+a-2,其图象的对称轴方程为x=-32.因为当-3≤x ≤0时,y ≤0,所以当x=0时,y ≤0,即a-2≤0,所以a ≤2.综上所述,a 的取值范围为 18,2 .13.解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=a e x-1x . 由题设知,f'(2)=0,所以a=12e 2.从而f (x )=12e 2e x-ln x-1,f'(x )=12e 2e x-1x .当0<x<2时,f'(x )<0;当x>2时,f'(x )>0.所以f (x )在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.(2)当a ≥1e 时,f (x )≥e xe -ln x-1. 设g (x )=e xe -ln x-1, 则g'(x )=e xe −1x.当0<x<1时,g'(x )<0;当x>1时,g'(x )>0.所以x=1是g (x )的最小值点. 故当x>0时,g (x )≥g (1)=0.因此,当a ≥1e时,f (x )≥0.14.(1)解 a=0时,f (x )=e x -2x ,f'(x )=e x-2, 令f'(x )>0,解得x>ln 2, 令f'(x )<0,解得x<ln 2,故f (x )在(-∞,ln 2)递减,在(ln 2,+∞)递增,故f (x )min =f (ln 2)=2-2ln 2.(2)证明 ∵f'(x )=e x-2ax-2,∴f'(1)=e -2-2a>e -2-2 e2-1 =0,f'(0)=-1<0,故存在x 0∈(0,1),使得f'(x 0)=0,令h (x )=e x -2ax-2,则x ∈(0,+∞)时,h'(x )=e x -2a>e x+2-e >0, 故h (x )在(0,+∞)递增且h (x 0)=0,故x=x 0是h (x )的唯一零点,且在x=x 0处f (x )取最小值f (x 0)=e x0-x 0(ax 0+2), 又h (x 0)=0,即e x 0-2ax 0-2=0, 得ax 0+1=e x 02,故f (x 0)=e x0 1-x 02 -x 0,构造函数g (t )=e t1-t2-t , 则g'(t )=e t12-t 2 -1,[g'(t )]'=e t-t2, 故t ∈(0,1)时,[g'(t )]'<0,g'(t )在(0,1)递减,故t ∈(0,1)时,g'(t )<g'(0)<0,故g (t )在(0,1)递减,故f (x 0)在(0,1)递减, 故f (x )min =f (x 0)>e 11-12 -1=e2-1,原结论成立.15.证明 (1)函数f (x )的导函数f'(x )=12x −1x , 由f'(x 1)=f'(x 2),得2x 1x 1=2x 1x 2, 因为x 1≠x 2,所以x x =12.由基本不等式,得12 x 1x 2= x 1+ x 2≥2 x 1x 24,因为x 1≠x 2,所以x 1x 2>256.由题意得f (x 1)+f (x 2)= x 1-ln x 1+ x 2-ln x 2=12 x 1x 2-ln(x 1x 2).设g (x )=12 x -ln x , 则g'(x )=14x ( x -4), 所以所以g (x )在[256,+∞)上单调递增,故g (x 1x 2)>g (256)=8-8ln 2, 即f (x 1)+f (x 2)>8-8ln 2. (2)令m=e-(|a|+k ),n=|a|+1k2+1,则f (m )-km-a>|a|+k-k-a ≥0,f (n )-kn-a<nn an -k ≤nn<0,所以,存在x 0∈(m ,n ),使f (x 0)=kx 0+a.所以,对于任意的a ∈R 及k ∈(0,+∞),直线y=kx+a 与曲线y=f (x )有公共点. 由f (x )=kx+a ,得k= x-ln x -a x.设h (x )=x-ln x -a x,则h'(x )=ln x - x2-1+ax2=-g (x )-1+ax2.其中g (x )= x 2-ln x.由(1)可知g (x )≥g (16).又a ≤3-4ln 2,故-g (x )-1+a ≤-g (16)-1+a=-3+4ln 2+a ≤0, 所以h'(x )≤0,即函数h (x )在(0,+∞)上单调递减. 因此方程f (x )-kx-a=0至多1个实根.综上,当a ≤3-4ln 2时,对于任意k>0,直线y=kx+a 与曲线y=f (x )有唯一公共点.。

2019高三数学9月第二次阶段考试题(理带答案)精品教育.doc

2019年高三数学9月第二次阶段考试题（理带答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.函数的定义域为( )A. (0,1)B. [0,1)C. (0,1]D.[0,1]2. 函数f(x)=xa的图象过点，则f[f(9)]=( )A. B.3 C. D.3.若f(x)是偶函数，且当x∈[0，+∞)时，f(x)=x-1，则f(x-1)<0的解集是A.(-1,0)B.(-∞,0)∪(1,2)C. (1，2)D.(0，2)4.已知曲线与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为( )A.- 2B.2C.D.15.下列函数图像中，正确的是( )6.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是 ( ) A.f(x)-1是奇函数 B. f(x)-1是偶函数C. f(x)+1是奇函数D.f(x)+1是偶函数11.偶函数f(x)满足f (x-1)=f (x+1)，且当x∈[0，1]时，f (x)=-x+1，则关于x的方程f (x)=lg(x+1)在x∈[0，9]上解的个数是 ( )A.7B.8C.9D.1012. 定义在R上的函数f(x)，当x∈(-1，1]时，f (x)=x2-x，且对任意的x满足f (x-2)=af (x)(常数a>0)，则函数f(x)在区间(5，7]上的最小值是 ( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13.函数的定义域为 .14. 若函数y=x2+(a+2)x+3(x∈[a，b])的图象关于直线x=1对称，则b=___________.15.函数在R上是减函数，则实数a的取值范围是___________.16.已知函数f(x) =x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是____.三、解答题(本大题6小题，共70分。

2019届高三数学二模试题(含解析)

2019高考数学二模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知全集U=Z，集合A={x|0＜x＜5，x∈U}，B={x|x≤1，X∈U}，则A∩（∁U B）= ．2．若复数z的共轭复数满足，则复数z的虚部是．3．双曲线的准线方程是．4．某校共有学生1800人，现从中随机抽取一个50人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于195cm的频率分布直方图如图，由此估计该校身高不小于175的人数是．5．命题“∀x＞2，都有x2＞2”的否定是．6．如图中流程图的运行结果是．7．口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为4的概率是．8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，数列的前n项和为T n，则T2017= ．9．将函数y=sinxcosx的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，则实数m的最小值为．10．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，直线BE与边AC交于点F，若AD=BC=6，则= ．11．已知直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2+y2+2x﹣2y+F=0交于A、C两点，其中A（﹣1，0）、B、D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是．12．已知四面体ABCD的底面BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC=3，则当棱AD长为时，四面体ABCD的体积最大．13．已知函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，且f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则函数f（x）= ．14．已知b≥a＞0，若存在实数x，y满足0≤x≤a，0≤y≤b，（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2，则的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC．，（1）求的值；（2）若M为边BC的中点，，求角B的大小．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面C1CBB1是矩形．（1）D是棱B1C1上一点，AC1∥平面A1BD，求证：D为B1C1的中点；（2）若A1B⊥AC1，求证：平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．17．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2，直线y=kx（x≠0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1，B1两点，记直线A1B1的斜率为k1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在常数λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18．数列{a n}满足，n=1，2，3，…．（1）求a3，a4，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，记F（m，n）=，求证：m＜n，F（m，n）＜4对任意的；（3）设S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+a6+…+a2k，W k=，求使W k＞1的所有k的值，并说明理由．19．某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F（单位：元）与其自重m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v（单位：千米/小时）之间满足关系式：．在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元．若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨．汽车来回的速度为v（单位：千米/小时），且最大车速为80千米，一次进货x千克，而且冰淇淋供不应求．（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w与车速v和进货量x之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润w≥0）？（3）当一次进货量x与车速v分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值．（提示：）20．已知函数（e为自然对数的底数，m∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当时，求证：∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论．2017年高考熟中模拟卷B.选修4-2：矩阵与变换21．已知矩阵M对应的变换将点（﹣5，﹣7）变换为（2，1），其逆矩阵M﹣1有特征值﹣1，对应的一个特征向量为，求矩阵M．C.选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为，（，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，求曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标．【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23．在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关．在闯n关时，转n次，当次转得数字之和大于n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍．假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立．（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；（2）某人参加一次游戏，获得奖金X欧元，求X的概率分布和数学期望．24．（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：．2017年江苏省苏州市常熟中学高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知全集U=Z，集合A={x|0＜x＜5，x∈U}，B={x|x≤1，X∈U}，则A∩（∁U B）= {2，3，4} ．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|0＜x＜5，x∈U}={1，2，3，4}，B={x|x≤1，X∈U}，则∁U B={x|x＞1，X∈U}={2，3，4，5，…}，则A∩（∁U B）={2，3，4}，故答案为：{2，3，4}2．若复数z的共轭复数满足，则复数z的虚部是 3 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出．【解答】解：∵，∴﹣i••i=﹣i（3+4i），∴=4﹣3i．∴z=4+3i．∴复数z的虚部是3．故答案为：3．3．双曲线的准线方程是y=．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线方程求解双曲线的准线方程即可．【解答】解：双曲线，可得a=1，b=，c=2，双曲线的准线方程为：y=±．故答案为：y=．4．某校共有学生1800人，现从中随机抽取一个50人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于195cm的频率分布直方图如图，由此估计该校身高不小于175的人数是288 ．【考点】B8：频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图得样本身高不小于175cm的频率，由此能估计该校身高不小于175cm 的人数．【解答】解：由频率分布直方图得样本身高不小于175cm的频率为：（0.012+0.004）×10=0.16，∴估计该校身高不小于175cm的人数是：1800×0.16=288．故答案为：288．5．命题“∀x＞2，都有x2＞2”的否定是∃x0＞2，x02≤2 ．【考点】2J：命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：命题“∀x＞2，x2＞2”是全称命题，其否定是：∃x0＞2，x02≤2．故答案为：∃x0＞2，x02≤2．6．如图中流程图的运行结果是 6 ．【考点】EF：程序框图．【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：第一次，S=1，i=2，S＞10不成立，第二次，S=1+2=3，i=3，S＞10不成立，第三次，S=3+3=6，i=4，S＞10不成立第四次，S=6+4=10，i=5，S＞10不成立第五次，S=10+5=15，i=6，S＞10成立，输出i=6，故答案为：67．口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为4的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，再由列举法求出取出的两个小球上所标数字之积包含的基本事件个数，由此能求出取出的两个小球上所标数字之积为4的概率．【解答】解：∵口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，基本事件总数n=，取出的两个小球上所标数字之积包含的基本事件有：（1，4），（1，4），（2，2），共3个，∴取出的两个小球上所标数字之积为4的概率p=．故答案为：．8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，数列的前n项和为T n，则T2017= ．【考点】8E：数列的求和．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，化简所求的通项公式，然后求和即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，可得a1+a4=14，解得a1=4，10=4+3d，解得d=2，S n=4n+=n2+3n，==，T n=+…+=，则T2017==．故答案为：．9．将函数y=sinxcosx的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，则实数m的最小值为．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先化简被平移函数的解析式，得到对称轴的表达式以及函数的图象的对称轴，利用对称轴重合得到m的值．【解答】解：将函数y=sinxcosx=sin2x的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，即2（x﹣m）=k，得到x=，k∈Z；，得到x=，k1∈Z；由题意x==，k，k1∈Z所以实数m的最小值为；故答案为：．10．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，直线BE与边AC交于点F，若AD=BC=6，则= ﹣18 ．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】建立坐标系，设∠ADC=α，求出各点坐标，代入向量的数量积运算公式计算即可．【解答】解：以BC为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设∠ADC=α，则A（6cosα，6sinα），E（3cosα，3sinα），C（3，0），B（﹣3，0），设F（a，b），则，解得a=4cosα+1，b=4sinα，∴=（﹣3﹣6cosα，﹣6sinα），=（4cosα﹣2，4sinα），∴=（﹣3﹣6cosα）（4cosα﹣2）﹣24sin2α=﹣24cos2α+6﹣24sin2α=6﹣24=﹣18．故答案为：﹣18．11．已知直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2+y2+2x﹣2y+F=0交于A、C两点，其中A（﹣1，0）、B、D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由已知求出tanα，得到直线l2的斜率，进一步求得方程，由A在圆上求得F，得到圆的方程，求出圆心坐标和半径，利用垂径定理求得|AC|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，将ABCD的面积看成两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，分析可得当BD为AC 的垂直平分线时，四边形ABCD的面积最大．【解答】解：直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，则tanα=，∴直线l2的斜率k=tan2α=．则直线l2的方程为y﹣0=（x+1），即4x﹣3y+4=0．又A（﹣1，0）在圆上，∴（﹣1）2﹣2+F=0，得F=1，∴圆的方程为x2+y2+2x﹣2y+1=0，化为标准方程：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆心（﹣1，1），半径r=1．直线l2与圆M相交于A，C两点，由点到直线的距离公式得弦心距d=，由勾股定理得半弦长=，弦长|AC|=2×=．又B，D两点在圆上，并且位于直线l2的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：S=|AC|×|BE|+|AC|×|DE|=|AC|×|BD|=××2=，故答案为：．12．已知四面体ABCD的底面BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC=3，则当棱AD长为时，四面体ABCD的体积最大．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】当体积最大时，平面ABC与底面BCD垂足，利用勾股定理计算AD．【解答】解：取BC的中点E，连结AE，DE，∵AB=AC，BD=CD，∴BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，∴A到平面BCD的距离d=AE•sin∠AED，显然当∠AED=90°时，四面体体积最大．此时，AE==2，DE==，∴AD==．故答案为：．13．已知函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，且f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则函数f（x）= 2x﹣2﹣x．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据题意，由于f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则f（x）+g（x）=2x+1，同理可得f（﹣x）+g（﹣x）=2﹣x+1，利用函数的奇偶性可得﹣f（x）+g（x）=2﹣x+1，②，联立①②可得f（x）=（2x+1﹣2﹣x+1），对其变形可得答案．【解答】解：根据题意，f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则f（x）+g（x）=2x+1，①，进而有f（﹣x）+g（﹣x）=2﹣x+1，又由函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，则有f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x），即有﹣f（x）+g（x）=2﹣x+1，②，联立①②可得：f（x）=（2x+1﹣2﹣x+1）=2x﹣2﹣x，即f（x）=2x﹣2﹣x，故答案为：2x﹣2﹣x14．已知b≥a＞0，若存在实数x，y满足0≤x≤a，0≤y≤b，（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2，则的最大值为．【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】设A（0，b），B（x，0），C（a，b﹣y），由x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2得△ABC为等边△，设△ABC边长为m，∠OAB=θ，（0）过C作CH⊥x轴与H，则∠ACH=θ﹣，a=mcos（），b=mcosθ即可求解．【解答】解：如图设A（0，b），B（x，0），C（a，b﹣y）∵（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2∴△ABC为等边△，设△ABC边长为m，∠OAB=θ，（0）过C作CH⊥x轴与H，则∠ACH=θ﹣，∴b=mcosθ∴∴当θ=0时，故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC．，（1）求的值；（2）若M为边BC的中点，，求角B的大小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由△ABC的外接圆半径为1，及正弦定理得a=2RsinA=2sinA，⇒sinAcosC﹣cosAsinCsin（A﹣C）=0，即可得a=c，即可．（2）由得⇔⇒⇒b=，即可得cosB=．【解答】解：（1）由△ABC的外接圆半径为1，及正弦定理得a=2RsinA=2sinA，∴sinB=acosC变形为：sin（A+C）=2sinAcosC⇒sinAcosC﹣cosAsinC=0sin（A﹣C）=0，∵A﹣C∈（﹣π，π），∴A﹣C=0，∴a=c，∴的值为1（2）∵M为边BC的中点，∴∴⇔又∵，a=c∴⇒⇒b=∴cosB=，∵B∈（0，π），∴角B的大小为．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面C1CBB1是矩形．（1）D是棱B1C1上一点，AC1∥平面A1BD，求证：D为B1C1的中点；（2）若A1B⊥AC1，求证：平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．【考点】LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AB1交A1B于E，连结DE，由AC1∥平面A1BD可得AC1∥DE，由E为AB1的中点即可得出D是B1C1的中点；（2）证明A1B⊥平面AB1C1，得出A1B⊥B1C1，再结合B1C1⊥BB1得出B1C1⊥平面A1ABB1，于是平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．【解答】证明：（1）连结AB1交A1B于E，连结DE．∵AC1∥平面A1BD，AC1⊂平面AB1C1，平面AB1C1∩平面A1BD=DE，∴AC1∥DE，∵侧面A1ABB1是菱形，∴E是AB1的中点，∴D是B1C1的中点．（2）∵侧面A1ABB1是菱形，∴AB1⊥A1B，又A1B⊥AC1，AB1∩AC1=A，AB1⊂平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥平面AB1C1，又B1C1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，∵侧面C1CBB1是矩形，∴B1C1⊥BB1，又BB1∩A1B=B，BB1⊂平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴B1C1⊥平面A1ABB1．∵B1C1⊂平面C1CBB1，∴平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．17．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2，直线y=kx（x≠0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1，B1两点，记直线A1B1的斜率为k1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在常数λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意c=1，根据椭圆的离心率，即可求得a的值，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆方程；（2）根据椭圆的准线方程，即可求得AM的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得A1及B1，k1==﹣3k，存在λ=﹣3，使得k1=λk恒成立．【解答】解：（1）由椭圆的焦距2c=2，则c=1，双曲线的离心率e==，则a=，则b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：；（2）设A（x0，y0），则2y02=2﹣y02，则B（﹣x0，﹣y0），k=，右准线方程x=2，则M（2，0），直线AM的方程为y=（x﹣2），，整理得：（x0﹣2）2x2+2y02（x﹣2）2﹣2（x0﹣2）2=0，该方程两个根为x0，，∴x0•===•x0，则=， =（﹣2）=，则A1（，），同理可得B1（，﹣），则k1==﹣3k，即存在λ=﹣3，使得k1=λk恒成立．18．数列{a n}满足，n=1，2，3，…．（1）求a3，a4，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，记F（m，n）=，求证：m＜n，F（m，n）＜4对任意的；（3）设S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+a6+…+a2k，W k=，求使W k＞1的所有k的值，并说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）a3=a1+4=4，a4=2a2=4．当n=2k，k∈N*时，a2k+2=2a2k，可得数列{a2k}是首项与公比都为2的等比数列．当n=2k﹣1，k∈N*时，a2k+1=a2k﹣1+4，∴数列{a2k﹣1}是首项为0，公差为4的等差数列．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）b n==，设数列{b n}的前n项和为A n，利用错位相减法可得A n=4﹣＜4．根据b n≥0，可得F（m，n）≤A n，F（m，n）＜4．（3）S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1=2k（k﹣1），T k=a2+a4+a6+…+a2k=2k+1﹣2．W k==，对k分类讨论即可得出．【解答】（1）解：a3=a1+4=4，a4=2a2=4．当n=2k，k∈N*时，a2k+2=2a2k，∴数列{a2k}是首项与公比都为2的等比数列．∴．即n=2k，k∈N*时，a n=．当n=2k﹣1，k∈N*时，a2k+1=a2k﹣1+4，∴数列{a2k﹣1}是首项为0，公差为4的等差数列．∴a2k﹣1=4（k﹣1）．即n=2k﹣1，k∈N*时，a n=2n﹣2．综上可得：a3=4，a4=4．a n=，k∈N*．（2）证明：b n==，设数列{b n}的前n项和为A n，则A n=0+1+++…+，A n=++…++，∴=1++…+﹣=﹣，∴A n=4﹣＜4．∵b n≥0，∴F（m，n）≤A n，故对任意的m＜n，F（m，n）＜4．（3）解：S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1==2k（k﹣1），T k=a2+a4+a6+…+a2k==2k+1﹣2．W k==，∴W1=0，W2=1，W3=＞1，W4=＞1，W5=＞1，W6=＜1．k≥6时，W k+1﹣W k=﹣=＜0，∴当k≥6时，W k+1＜W k．∴当k≥6时，W k+1≤W6＜1．综上可得：使W k＞1的所有k的值为3，4，5．19．某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F（单位：元）与其自重m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v（单位：千米/小时）之间满足关系式：．在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元．若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨．汽车来回的速度为v（单位：千米/小时），且最大车速为80千米，一次进货x千克，而且冰淇淋供不应求．（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w与车速v和进货量x之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润w≥0）？（3）当一次进货量x与车速v分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值．（提示：）【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）用总收入减去来回两次的运行成本和冷藏成本即可；（2）利用基本不等式得出W的最大值，令其最大值大于或等于零解出x，再验证车速是否符合条件即可；（3）利用导数判断W的最大值函数的单调性，即可得出W的最大值，再验证车速即可．【解答】解：（1）汽车来回一次的运行成本为×1300v2×+×v2×=v，冷藏成本为10x×=，∴W=100x﹣v﹣．（2）∵v+≥2=5•，∴W≤100x﹣5•，当且仅当v=即v=40•时取等号．令100x﹣5•≥0，得2≥，解得x≥，当x=时，v=40•=20∈（0，80]，∴每次至少进货千克，才可能使销售后不会亏本．（3）由（2）可知W≤100x﹣5•=5（2x﹣•），x∈[，1000]，设f（x）=2x﹣•，则f′（x）=2﹣（•+）=2﹣（+），∵x∈[，1000]，∴ =∈[，2]，∵函数y=x+在[，2]上单调递增，∴当=2时， +取得最大值，∴f′（x）≥2﹣＞0，∴f（x）在[，1000]上单调递增，∴当x=1000时，f（x）取得最大值f已知函数（e为自然对数的底数，m∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当时，求证：∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）设g（x）=x2lnx，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；（3）设F（x）=f（x）﹣|lnx|，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，根据单调性判断函数的零点即方程根的个数．【解答】解：（1）f′（x）=，由f′（x）=0得x=1，x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1]递增，在递减，在[，+∞）递增，当且仅当x=时，g（x）min=﹣；∴f（x）≤﹣≤g（x），两等号不同时取，故∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；（3）设F（x）=f（x）﹣|lnx|，∴F（x）=f（x）﹣lnx，x≥1，∵f（x），﹣lnx都在递增，∴F（x）在（0，1]递增，∵F（1）=+m，∴m≤﹣时，∀0＜x＜1，F（x）＜F（1）≤0，∴F（x）在（0，1）无零点，当m＞﹣时，F（1）＞0，∀0＜x＜1，F（x）＜＜+m+lnx，显然∈（0，1），∴F（）＜+m+ln=0，∵F（x）的图象不间断，∴F（x）在（0，1）恰有1个零点，综上，m=﹣时，方程|lnx|=f（x）恰有1个实根，m＜﹣时，方程|lnx|=f（x）无实根，m＞﹣时，方程|lnx|=f（x）有2个不同的实根．2017年高考熟中模拟卷B.选修4-2：矩阵与变换21．已知矩阵M对应的变换将点（﹣5，﹣7）变换为（2，1），其逆矩阵M﹣1有特征值﹣1，对应的一个特征向量为，求矩阵M．【考点】OU：特征向量的意义．【分析】根据矩阵的变换求得M=，利用矩阵的特征向量及特征值的关系，利用矩阵的乘法，即可求得M的逆矩阵，即可求得矩阵M．【解答】解：由题意可知：M=，M﹣1=，∴M﹣1=，设M﹣1=，则=，=，则，解得：，则M﹣1=，det（M﹣1）=﹣20+18=﹣2，则M=．∴矩阵M=．C.选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为，（，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，求曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】求出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程，两方程联立，能求出曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标．【解答】解：∵曲线C1的参数方程为，（，α为参数），∴曲线C1的普通方程为y=1﹣2x2，x∈，∵曲线C2的极坐标方程为，∴曲线C2的直角坐标方程为y=﹣，两方程联立：，得2﹣x﹣=0，解得，，∵x∈，∴，y=﹣，∴曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标为（）．【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23．在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关．在闯n关时，转n次，当次转得数字之和大于n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍．假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立．（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；（2）某人参加一次游戏，获得奖金X欧元，求X的概率分布和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记“某人参加一次游戏，恰好获得10欧元”为事件A，由题意他只闯过了第一关，没有过第二关，由此求出所求的概率；（2）根据题意知X的所有可能取值，计算对应的概率，写出随机变量X的概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）记“某人参加一次游戏，恰好获得10欧元”为事件A，由题意知，他只闯过了第一关，没有过第二关，因此，他第一关转得了2、3、4中的一个，第二关转得了（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2）中的一个，∴所求的概率为P（A）=×（5×）=；（2）根据题意，X的所有可能取值为0，10，20，40；计算P（X=0）=，P（X=10）=，P（X=20）=××=，P（X=40）=××=，∴X的概率分布为：数学期望为：E（X）=0×+10×+20×+40×=．24．（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：．【考点】D5：组合及组合数公式．【分析】（1）利用组合数的计算公式可得：（k+1）=（k+1）•=．（2）由（1）可得： =，左边==（﹣1）k+1=，即可证明．（3）==+．由（2）可知：==．设f（n）=，则f（1）=1， =f（n﹣1）．可得f（n）﹣f（n﹣1）=．利用累加求和方法即可得出．【解答】证明：（1）（k+1）=（k+1）•==（n+1）．（2）由（1）可得： =，∴左边==（﹣1）k+1== =右边．∴．（3）==+由（2）可知： ==．设f（n）=，则f（1）=1，=f（n﹣1）．∴f（n）﹣f（n﹣1）=．∴n≥2时，f（n）=f（1）+f（2）﹣f（1）+…+f（n）﹣f（n﹣1）=1++…+．n=1时也成立．∴f（n）=1++…+．n∈N*．即：．。