九年级(新)人教版上册数学教案：第30课时 垂直于弦的直径(1)
《垂直于弦的直径》教案
《垂直于弦的直径》教案一、教学目标：1. 让学生理解垂直于弦的直径的概念，掌握其性质和判定方法。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学美的感知，培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
二、教学内容：1. 垂直于弦的直径的定义及性质。
2. 垂直于弦的直径的判定方法。
3. 应用垂直于弦的直径解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：垂直于弦的直径的性质和判定方法。
2. 教学难点：垂直于弦的直径在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究垂直于弦的直径的性质和判定方法。
2. 利用几何画板软件，动态展示垂直于弦的直径的特点，增强学生直观感知。
3. 设计具有梯度的练习题，巩固所学知识，提高学生解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：利用几何画板软件，展示一个圆和一条弦，引导学生思考：如何判断一条直径是否垂直于弦？2. 新课讲解：讲解垂直于弦的直径的定义、性质和判定方法。
3. 例题讲解：分析并解决一些关于垂直于弦的直径的例题，让学生掌握解题方法。
4. 课堂练习：设计一些具有梯度的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调垂直于弦的直径在几何学中的重要性。
6. 作业布置：布置一些有关垂直于弦的直径的练习题，让学生课后巩固。
7. 课后反思：对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学评价1. 评价目标：通过评价，检查学生对垂直于弦的直径概念、性质和判定方法的掌握程度，以及运用所学知识解决实际问题的能力。
2. 评价方法：课堂提问：检查学生对垂直于弦的直径的基本概念的理解。
练习题解答：评估学生运用性质和判定方法解决问题的能力。
小组讨论：观察学生在团队合作中是否能有效沟通、共同解决问题。
3. 评价内容：学生是否能准确描述垂直于弦的直径的性质。
学生是否能运用判定方法判断一条直径是否垂直于弦。
学生是否能将垂直于弦的直径的知识应用于解决几何问题。
数学《垂直于弦的直径》教案
数学《垂直于弦的直径》教案
《垂直于弦的直径》教案
一、教学目标
1. 了解垂直于弦的直径的概念及性质。
2. 掌握垂直于弦的直径的相关定理。
3. 能够应用垂直于弦的直径的相关定理解决实际问题。
二、教学重点
1. 垂直于弦的直径的概念及性质。
2. 相关定理的证明和应用。
三、教学难点
1. 单位圆和圆心角的概念。
2. 定理的证明过程。
四、教学方法
1. 讲授法。
2. 演示法。
3. 讨论法。
五、教学过程
1. 导入
教师用一张圆形卡片向学生展示，并询问学生对圆形的认识及性质。
2. 呈现问题
教师引导学生思考：“在圆内部任取一条弦，如何找到一条过
圆心的直径，使其垂直于弦？”
3. 探究证明
教师呈现“垂直于弦的直径定理”并进行证明过程讲解。
4. 案例分析
教师通过案例分析提出练习题目：在一个半径为R的圆内部，一条长为a的弦与圆心的距离为d（d<R），求证明存在一条
距离圆心为R-a/2的直径与该弦垂直。
请以证明的方式演示这
个问题。
5. 总结与归纳
教师对本节内容进行总结，重点强调垂直于弦的直径的概念、性质及相关定理的应用，加深学生的理解、记忆。
六、教学反思
垂直于弦的直径是圆的重要性质之一，具有广泛的应用，但是学生对单位圆和圆心角这些概念的理解可能会有困难，需要教师耐心讲解。
另外，在教学中要注意将证明思路讲清，让学生理清证明的逻辑，加深对相关定理的理解和应用。
《垂直于弦的直径》教案
《垂直于弦的直径》教案一、教学目标1. 让学生理解垂直于弦的直径的性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的观察能力、推理能力和表达能力。
二、教学内容1. 垂直于弦的直径的性质。
2. 应用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：垂直于弦的直径的性质及应用。
2. 教学难点：理解并证明垂直于弦的直径的性质。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生观察、思考、推理。
2. 利用几何画板或实物模型，直观展示垂直于弦的直径的性质。
3. 组织小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对垂直于弦的直径性质的思考。
2. 新课导入：介绍垂直于弦的直径的性质，引导学生观察、推理。
3. 实例讲解：利用几何画板或实物模型，展示垂直于弦的直径的性质。
4. 证明过程：引导学生尝试证明垂直于弦的直径的性质。
5. 练习巩固：布置一些相关练习题，让学生巩固所学知识。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容和垂直于弦的直径的性质。
7. 课后作业：布置一些拓展性作业，培养学生的应用能力。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对垂直于弦的直径性质的理解程度。
2. 练习反馈：收集学生的练习作业，评估其掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解其合作能力和解决问题的能力。
七、教学拓展1. 引导学生思考：垂直于弦的直径性质在实际问题中的应用。
2. 推荐相关阅读材料：为学生提供一些关于垂直于弦的直径性质的深入研究文章或书籍。
八、教学反思1. 总结本节课的教学效果：回顾教学过程，评估学生的学习成果。
2. 发现问题与改进措施：分析教学中存在的问题，提出改进措施。
九、课后作业1. 巩固练习：布置一些关于垂直于弦的直径性质的练习题，让学生巩固所学知识。
2. 拓展应用：让学生尝试解决一些实际问题，运用垂直于弦的直径性质。
十、课程资源1. 教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
数学教案-垂直于弦的直径
数学教案－垂直于弦的直径一、教案简介本教案主要讲解关于垂直于弦的直径的概念及应用。
其中包括理论知识的讲解、实例分析以及解题技巧的训练。
通过本教案的学习，学生将能够深入理解垂直于弦的直径的概念，并能够在实际问题中灵活运用所学知识。
二、教学目标1.理解垂直于弦的直径的定义及性质。
2.能够判断弦与半径的关系，找出垂直于弦的直径。
3.能够在实际问题中运用垂直于弦的直径的相关概念解决问题。
4.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学重点1.垂直于弦的直径的定义及性质。
2.判断弦与半径的关系，找出垂直于弦的直径。
四、教学内容与方法1. 教学内容（1）理论知识•定义垂直于弦的直径的概念；•解释垂直于弦的直径的性质。
（2）实例分析•分析示例题目，引导学生找出垂直于弦的直径的方法；•分析应用题，引导学生利用垂直于弦的直径解决实际问题。
2. 教学方法•讲解法：通过教师对理论知识的讲解，帮助学生理解垂直于弦的直径的概念和性质。
•对话式讨论法：引导学生参与讨论，共同分析实例题目中的解题思路和方法。
•实践操作法：通过学生解决实际问题的练习题，帮助他们熟悉并灵活运用所学知识。
五、教学步骤步骤一：引入教师通过提问的方式引入教学内容，例如：“大家知道什么是垂直吗？什么是弦？什么是直径？”以此引导学生了解相关概念。
步骤二：教学理论知识1.讲解垂直于弦的直径的定义，即通过弦上任何一点做的直线都垂直于该弦，且经过圆心。
2.解释垂直于弦的直径的性质，即垂直于弦的直径等于弦的中点。
步骤三：示例分析1.展示一个示例题目，通过讲解解题方法，引导学生找出垂直于弦的直径。
2.让学生分组讨论，互相解释解题思路，激发学生思考。
步骤四：应用练习1.分发练习题，让学生独立完成。
2.学生完成后，进行讲评，讨论解题思路。
步骤五：总结与拓展教师对本节课的内容进行总结，并引导学生思考更多实际问题中运用垂直于弦的直径的可能性。
六、教学评价与反思1. 对学生的评价•能否准确理解垂直于弦的直径的概念及性质；•在实例分析中，能否准确找出垂直于弦的直径；•在应用练习中，能否独立解决问题，正确应用垂直于弦的直径的相关概念。
九年级数学上册《垂直于弦的直径》教案、教学设计
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固垂径定理的相关知识。
2.教师巡回指导，针对学生的疑问进行解答，帮助他们找到解题思路。
3.选取部分学生的解答进行展示，分析解题过程中的关键点和易错点，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握垂直于弦的直径的定义，能够准确判断一个直径是否垂直于弦。
2.熟练运用垂径定理及其推论解决相关问题，特别是弦中点、弦心距和弦长之间的关系。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力，提高他们解决实际问题的能力。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
-通过展示生活中的实例，如桥的拱形、圆形桌面等，引导学生观察并思考其中蕴含的几何原理，为新课的学习做好铺垫。
-通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的知识点，形成体系。
-提出拓展性问题，激发学生思考，为后续学习打下基础。
7.课后作业，反馈评价
-布置适量的课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
-对学生进行及时的反馈评价，指导他们调整学习方法，不断提高。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的圆形物体，如硬币、圆桌、车轮等，引导学生观察并思考：为什么这些物体都是圆形的？圆有哪些特殊的性质？
4.实践应用，巩固提高
-设计具有层次性的练习题，让学生在解决问题中巩固所学知识，提高解题能力。
-针对不同学生的认知水平，给予个别指导，使他们在实践中不断提高。
5.小组合作，交流分享
-鼓励学生分组讨论，共同解决难题，培养团队协作精神。
-组织学生进行课堂展示，分享解题心得，提高他们的表达能力和自信心。
《垂直于弦的直径》教案数学教案模板范文
《垂直于弦的直径》教案-数学教案模板范文一、教学目标：知识与技能：1. 让学生理解垂直于弦的直径的性质。
2. 学会运用垂径定理及其推论解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察、分析、归纳，培养学生探索几何图形的性质的能力。
2. 利用几何画板软件，让学生直观地感受垂直于弦的直径的性质。
情感态度价值观：1. 激发学生学习数学的兴趣，培养学生的观察能力。
2. 培养学生合作、交流、归纳的能力，提高学生的几何素养。
二、教学内容：1. 垂直于弦的直径的定义。
2. 垂径定理及其推论。
3. 垂直于弦的直径在几何中的应用。
三、教学重点与难点：重点：1. 垂直于弦的直径的性质。
2. 垂径定理及其推论。
难点：1. 垂直于弦的直径的证明。
2. 运用垂径定理解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生观察、分析、归纳。
2. 利用几何画板软件，直观演示垂直于弦的直径的性质。
3. 小组讨论，合作探索，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程：1. 导入：利用几何画板软件，展示一个圆和一条弦，引导学生观察垂直于弦的直径的性质。
2. 新课导入：介绍垂直于弦的直径的定义，引导学生理解并掌握。
3. 课堂讲解：讲解垂径定理及其推论，结合实际例子，让学生学会运用。
4. 例题解析：分析并解答几个关于垂直于弦的直径的例题，让学生巩固所学知识。
5. 课堂练习：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决实际问题。
6. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
7. 课后作业：布置一些课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问学生，了解他们对垂直于弦的直径性质的理解程度。
2. 练习题解答：检查学生是否能正确运用垂径定理解决实际问题。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估他们的合作和交流能力。
七、教学反思：在课后，对整个教学过程进行反思，分析教学方法的effectiveness，学生的参与度，以及学生对知识点的掌握情况。
30垂直于弦的直径教案
30垂直于弦的直径教案第一章：垂直于弦的定义1.1 引入垂直于弦的概念，让学生了解垂直于弦的含义。
1.2 讲解垂直于弦的性质，引导学生理解垂直于弦的重要性质。
第二章：垂直于弦的判定2.1 引入垂直于弦的判定方法，让学生了解如何判断一条直径是否垂直于弦。
2.2 讲解判定方法的证明过程，帮助学生理解并掌握判定方法。
第三章：垂直于弦的应用3.1 引入垂直于弦的应用场景，让学生了解垂直于弦在几何问题中的应用。
3.2 讲解实例，引导学生运用垂直于弦的性质解决实际问题。
第四章：垂直于弦的综合练习4.1 提供一些综合练习题，让学生运用垂直于弦的性质和判定方法解决问题。
4.2 引导学生思考问题，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
第五章：垂直于弦的拓展知识5.1 介绍垂直于弦的拓展知识，让学生了解垂直于弦在其他数学领域的应用。
5.2 提供一些拓展问题，激发学生的学习兴趣和探索精神。
第六章：垂直于弦的直径性质的证明6.1 回顾垂直于弦的定义，引导学生思考垂直于弦的直径的性质。
6.2 讲解垂直于弦的直径性质的证明过程，让学生理解并掌握证明方法。
第七章：垂直于弦的直径在圆的性质中的应用7.1 引入圆的性质，让学生了解圆的基本性质。
7.2 讲解垂直于弦的直径在圆的性质中的应用，引导学生理解并掌握相关性质。
第八章：垂直于弦的直径在解三角形中的应用8.1 引入解三角形的基本概念，让学生了解解三角形的方法。
8.2 讲解垂直于弦的直径在解三角形中的应用，帮助学生掌握解三角形的新方法。
第九章：垂直于弦的直径的综合练习题9.1 提供一些综合练习题，让学生运用垂直于弦的直径的性质和判定方法解决问题。
9.2 引导学生思考问题，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
第十章：垂直于弦的直径的拓展研究10.1 引导学生思考垂直于弦的直径的拓展问题，激发学生的学习兴趣和探索精神。
10.2 提供一些拓展问题，鼓励学生进行深入研究和思考，培养学生的创新能力。
九年级数学垂直于弦的直径教案人教新课标版
《垂直于弦的直径》第1课时教案新人教版初中九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学过程1让学生体会到运用时要注.学生独立判断，个3直径和直径垂直于弦这意： 别回答。
两个条件缺一不可。
2.说一说：引导学生归纳圆的性质（垂径定理） 并且平分垂直于弦的直 径平分弦，弦所对的两条弧； 3 .辨一辨： ，在图中是否有AE=BE2用心 爱心 专心.【活动3】 探一探1.思考：如图AB是。
0的一条弦，作直E 。
CD 径CD 使 丄AB垂足为（1）这个图形是轴对称图 形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 2）你能发现图中有哪些相等的线段（和 弧？ 1 •通过课件演示，在学 生分析、观察的基础上， 弧BC 得出（EA=EB 弧 AC= 弧 AD=I BD ）.在探 一探的基础上2引导学生 归纳垂直定理。
寻练学生数学文字语言 与符号语言之间的互换。
培养学生归纳、概括能力。
教师通过课件引导学生思考不断变换已知条件, 从而可以得出相应的结论。
探索能够变换命题的条件，加深对垂直定得到的结论，并由垂直定理可理的认识。
BD弧弧BC,弧AD=M AC=D ,，得到直径平分ABCD使CD1AB于E O E AB。
并且平分弧ACB及平分弧ABC观察图形，并思考：,CD是直径，且平分弦AB已知（1）ACB能否得到CD，且平分弧丄AB ? AB及平分弧（不是平分弦学生讨论，并归纳得到：并且平分弦所直径）的直径垂直于弦，对的两条弧. 且平分弦直线CDAB垂直于弦）（2经过圆心，且CDAB能否得到ACB平分弧及平分弧AB?吗？）如图（3AB弧，你能平分弧AB .组织反思对比5 4的设计是让学生在】【活动例1 11 .讲解例探究过程中，进一步把实际.师生共同完成例题的1已知排水一条排水管的截面如图所示。
讲解，教师求解。
例1掌握问题转化为数学问题，。
求截AB=16OB=1管的半径，水面宽应重点关注学生能否到水面的距离。
面圆心O通过作辅助线构造垂径定会利用垂径定理及推进而发展理的基本结构图，。
垂直于弦的直径(初三数学教案)
24．1．2 垂直于圆的直径授课题目：垂直于圆的直径课型：新授课授课对象：九年级学生授课学时：1课时（45分钟）参考教材：义务教育课程标准实验教材书数学九年级上册（人民教育出版社）一、教材分析1、作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。
2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的作用。
二、教学目标1、知识目标：（1）充分认识圆的轴对称性。
（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。
（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。
三、教学关键圆的轴对称性的理解四、教学重点垂直于弦的直径的性质及其应用。
五、教学难点1、垂径定理的证明。
2、垂径定理的题设与结论的区分。
六、教学辅助多媒体、可折叠的圆形纸板。
七、教学方法本节课采用的教学方法是“主体探究式”。
整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。
令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。
学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。
八、教学过程：情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（ppt）把一些实际问题转化为数学问题探求新知（5分钟）板书及电脑显示>垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂直于弦的直径(一)数学教案
垂直于弦的直径（一）数学教案
标题：垂直于弦的直径（一）数学教案
I. 教学目标
1. 理解并掌握垂直于弦的直径的性质。
2. 能够运用所学知识解决相关问题。
3. 培养学生的观察力、分析能力和解决问题的能力。
II. 教学重点和难点
1. 重点：理解垂直于弦的直径的性质。
2. 难点：运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
III. 教学过程
1. 导入新课：通过回顾圆的基本性质，引出今天的主题——垂直于弦的直径。
2. 新知探究：
a) 定义讲解：在圆中，如果一条直线与某条弦相交并且垂直，那么这条直线就叫做这条弦的垂线。
b) 性质讲解：在一个圆中，如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径将把这条弦平分，并且这条直径是这条弦的垂线。
3. 实例解析：通过具体的实例，让学生理解并掌握垂直于弦的直径的性质。
4. 练习巩固：设计一些相关的练习题，让学生自己尝试解答，从而加深对知识点的理解。
5. 小结：回顾本节课的学习内容，强调垂直于弦的直径的性质的重要性。
IV. 作业布置
设计一些与垂直于弦的直径的性质相关的习题，供学生回家后进行复习和巩固。
V. 教学反思
在教学过程中，要注意观察学生的学习情况，及时调整教学方法和策略，确保学生能够理解和掌握所学的知识。
(九年级数学教案)垂直于弦的直径教案
垂直于弦的直径教案九年级数学教案一、教材分析（一）本课教学内容分析本节课要研究的是圆的轴对称性与垂径定理及简单应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。
（二）教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标1、知识和技能：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
2、过程和方法：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3、情感态度和价值观：激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望，以及对学生进行数学美的教育。
（三）教学重点、难点重点：垂径定理及其应用难点：垂径定理的证明与垂径定理的理解及灵活应用.●二、学习者特征分析一般特征：学生是农村校的九年级学生，班级学生在学习方面之间存在一定的差异；但学生对生活中隐含的数学问题兴趣浓厚。
初始能力：学生在小学学习“圆的认识”和“轴对称图形”时，已经对圆的轴对称性有了基本的认识与了解。
但对对称轴及轴对称的性质应用理解不足。
信息素养：大部分学生的信息素养一般。
●三、教学策略阐述1.情景创设策略：通过生活中的图片，有效激发学生学习的兴趣和求知欲，创设宽松活泼的课堂教学气氛，维持学生学习的动机。
2．类比启发策略：在完成教学要求的基础上，通过设置与生活实际紧密联系的问题情境，巩固提高学生运用知识解决生活问题的能力。
3．引导探究策略：学生通过小组合作，探索出垂径定理，充分发挥学生的主体作用。
●四、教学过程教学环节教师的活动学生的活动教学媒体（资源）设计意图、依据●一、情景导入，激疑引趣1介绍和展示中国石拱桥中由隋代工匠李春建造的赵州桥（如挂图）。
人教新课标九年级数学上册垂直于弦的直径教案
人教新课标版初中九上垂直于弦的直径教案【学习目标】1.理解垂径定理并灵活运用垂径定理解决一些实际问题．2.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．3.通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．【学习重点】垂径定理及其运用．【学习难点】探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．【学习过程】1、创设情境，引入新课：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？2、新授：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．请同学按下面要求完成下题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．点评:（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．（2）AM=BM ，AC BC =，AD BD =，即直径CD 平分弦AB ，并且平分AB 及ADB ．这样，我们就得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M求证：AM=BM ，AC BC =，AD BD =.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB在Rt △OAM 和Rt △OBM 中 OA OB OM OM=⎧⎨=⎩ ∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ∴AM=BM ∴点A 和点B 关于CD 对称∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合．∴AC BC =，AD BD =3、例题：例1、如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m ，求赵洲桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）？解：如图(见课件)，用弧AB 表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为O ，半径为R ．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与AB 相交于点D ，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C 是弧AB 的中点，CD 就是拱高．在图中 AB=37，CD=7.23，在Rt △OAD 中，由勾股定理，得 18.53721AB 21AD =⨯==OA2 = AD2 + OD2即 R2=18.52+（R－7.23）2解得：R≈27.3（m）∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.归纳：（1）两条辅助线：半径、圆心到弦的垂线段.（2）一个Rt△：半径、圆心到弦的垂线段、半弦.（3）两个定理：垂径定理、勾股定理.4、练习：（1）判断：①垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧.（）②平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧．（）③经过弦的中点的直径一定垂直于弦．（）④圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．( )⑤弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．( )（2）已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．（3）在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D 两点．求证：AC＝BD．5、小结：通过本节课的学习，你有什么收获？。
30垂直于弦的直径教案
30垂直于弦的直径教案教学目标：1. 理解垂径定理的概念，掌握垂直于弦的直径的性质。
2. 能够运用垂径定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和观察能力。
教学重点：1. 垂径定理的概念及性质。
2. 运用垂径定理解决实际问题。
教学难点：1. 理解并掌握垂径定理的推导过程。
2. 灵活运用垂径定理解决复杂问题。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 几何图形道具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入话题：回顾上一节课的内容，复习直径的定义和性质。
2. 提问：直径与弦有什么特殊的关系？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解垂径定理的概念：直径垂直于弦，并且平分弦。
2. 展示垂径定理的推导过程：通过几何图形的操作，引导学生观察和思考，得出垂径定理的结论。
3. 解释垂径定理的性质：直径垂直于弦，且直径将弦平分成两段相等的部分。
三、实例讲解（10分钟）1. 给出实例：展示一些实际问题，如在几何图形中找到垂直于弦的直径，并解释如何运用垂径定理解决这些问题。
2. 引导学生思考：让学生自己尝试解决一些类似的实例问题，并讨论解题思路和方法。
四、练习与讨论（10分钟）1. 布置练习题：让学生独立完成一些关于垂直于弦的直径的练习题，巩固所学知识。
2. 小组讨论：学生分组讨论练习题的解答过程，分享解题思路和方法。
五、总结与反思（5分钟）1. 总结垂径定理的概念和性质。
2. 引导学生反思自己在学习过程中的理解和掌握情况，提出疑问和建议。
教学延伸：1. 进一步研究垂径定理的应用，如在圆的切割和镶嵌问题中的应用。
2. 探索垂径定理的推广情况，如在非圆几何中的适用性。
教学反思：本节课通过讲解垂径定理的概念和性质，以及实例讲解和练习，帮助学生理解和掌握垂直于弦的直径的性质。
在教学过程中，注意引导学生观察和思考，培养学生的逻辑思维能力和观察能力。
通过练习和讨论，巩固所学知识，并引导学生运用垂径定理解决实际问题。
在教学延伸中，可以进一步研究垂径定理的应用和推广，激发学生的学习兴趣和探索精神。
九年级上册数学教案《垂直于弦的直径》
九年级上册数学教案《垂直于弦的直径》教材分析垂直于弦的直径是在学生学习了轴对称图形、直角三角形和圆的有关概念的基础上进行的。
在教学本节课的内容之前，学生已经通过折纸、对称、平移、旋转、推理、证明等方式，认识了许多图形的性质，积累了一定的空间与图形的经验。
垂径定理是圆的一个重要的性质定理，它对线段的计算、证明线段相等、弧相等的问题提供了十分简便的方法。
同时通过“实验——观察——猜想——证明”的途径，培养学生的动手、分析、联想能力，利用圆的轴对称的性质，还可以对学生进行图形感知的教育。
因此，本节课无论从知识上，还是从学生能力的培养及情感教育方面，都起着重要的作用。
学情分析学生在生活中经常遇到与圆有关的图形，对本节课的知识会比较感兴趣，并且学生前面已经学习过轴对称图形的相关知识。
同时，九年级的同学好奇心强，好动、好表现，因此本节课通过动手操作进行学习。
由于垂径定理的题设与结论比较复杂，学生容易混淆，并且对定理的证明方法“叠合法”，学生不常用到，所以本节课学生的学习障碍在于对垂径定理的题设与结论的区分，以及对证明方法的理解。
教学目标1、通过观察实验，理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，理解其证明。
2、通过定理探究，培养观察、分析、思维、概括能力，渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3、结合本节课的教学特点，渗透美育教育，激发学生探究、发现数学问题的兴趣。
教学重点垂径定理及其应用。
教学难点垂径定理的证明。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、复习导入1、前面我们已经探究了轴对称图形，什么是轴对称图形？如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
2、剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次。
圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任何一条直径所在的直线。
二、探究新知1、证明结论分析：要证明圆是轴对称图形，需要证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上。
数学人教版九年级上册教案垂直于弦的直径
垂直于弦的直径(一)一、教学目标知识技能：１.通过观察实验，使学生理解圆的对称性２.掌握垂径定理的理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题数学思想与问题解决经历探索垂径定理的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法情感态度１.结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透２.激发学生探究，发现数学问题的兴趣和欲望重点难点重点：垂径定理难点：发现并证明垂径定理二、教学设计教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境引入⋂２分钟⋃你知道赵州桥吗？它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度为37.4m,拱高为7.2m，你能求出主桥拱的半径吗？教师利用多媒体出示赵州桥图片，介绍赵州桥资料：世界上现存最早、保存最好的石拱桥，被誉为”华北四宝之一”，充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧．学生观察、分析、体会，初步感知．结合赵州桥资料的介绍，向学生进行爱国主义教育和美育浸透．自主探索⋂３分钟⋃活动一：实验用纸剪一个圆(课前布置学生做好)，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．教师用电脑演示折叠的过程，引导学生发现结论．学生进行折叠实验，观察分析，总结结论，合作交流．让学生亲自动手，进行实验，探究，得出结论，激发学生的求知欲望．A OB CDEA OB CDE教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图自主探究⋂１０分钟⋃活动二：探索请同学按下面要求完成上题：如下图，AB是圆O的一条弦，作直径CD，使CD垂直AB，垂足为M，(１)如下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(２)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由．得到：垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．引导，点拨教师点评：(１)是轴对称图形，其对称轴是CD所在直线．(2)AM=BM,AC=BC,AD=BD,即直径CD平分弦AB，并且平分AB及ACB先自主探索，再小组合作，分析，总结，交流．通过该问题引导学生探究，发现垂径定理，初步感知．活动三：验证已知：如下图，直径CD，CD⊥AB，垂足为M求证：AM=BM,AC=BC,AD=BD分析：如图，连接OA,OB，则OA=OB，可通过证明两个三角形全等，结合轴对称证明．教师引导，点拨，分析，要证AM=BM，只要证明AM,BM所在的两个三角形全等，因此，只要连接OA,OB或AC,BC.学生先自主，再合作，完成证明过程．养成良好的分析问题，解决问题的能力和习惯．老师通过引导学生自主，合作，探究，验证，培养学生分析问题，解决问题的意识和能力．巩 固 练 习 ⋂２２分钟 ⋃活动四：利用垂径定理解决问题 １.求赵州桥主拱桥的半径问题如图，是赵州桥的几何示意图，若其中AB 是桥的跨度为37.4米,桥拱高CD 为7.2米,你能求出它所在的圆的主桥拱半径吗?提示：此中直角三角形AOD 中只有AD 是已知量，但可以通过弦心距、半径、拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列出方程．２.你能设计一背景情节吗？并解决其中问题．教师组织练习，点拨方法，总结规律，重点问题进行强化，共性问题做好补教．对于好的做法加以鼓励表扬．学生独立完成练习后，集体交流，评价．让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题．活动五： １.变式练习 ２.课本中练习总 结 提 高 ⋂ ８ 分 钟 ⋃ 活动六：师生小结 １.垂径定理及其应用２.将垂径定理和勾股定理有机结合， 化圆中问题为三角形问题．３.圆中经常作辅助线－－半径，弦的垂线．解决有关弦，半径(直径)，圆心到弦的距离等问题时，通常是构造直角三角形将垂径定理和勾股定理结合起来． 学生归纳，总结，发言，体会，反思．加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯． 布置作业：１.课本第83页1.2 ２.练习册第55-56页 ３.背诵:垂径定理教师布置说明作业要求．学生按要求课外完成．加深认识，深化提高，形成体系．板书设计：垂直于弦的直径(一) 一． 圆－－轴对称图形 二．垂径定理 1. 文字语言：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 2. 几何语言：CD ⊥AB ，且CD 直径∴AE=BE ，AC=BC ，AD=BDDCBOA练习１：探究圆的性质练习２：创设背景情节练习３：变式练习１.如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆于 C ，D ，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？２.若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论AC=BD 还成立吗？3.继续下移，连接OA,OB ，并设OA=OB,4.连接OC,OD ，并设OC=OD, 求证：AC=BD. 求证：AC=BD.练习４：课本练习1. 如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径．2. 如图，在⊙O 中，AB ，AC 为互相垂直且相等垢两条弦， OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，求证四边形ADOE 是正方形．练习５：课时小结圆的性质 弦 弧D O C A B D OC A B。
九年级数学上册 垂直于弦的直径教案人教新课标版
作课类别课题24.1.2 垂直于弦的直径课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.通过观察实验，使学生理解圆的对称性.2.掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题. 过程方法1.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．2.经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.情感态度激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.教学重点垂径定理及其运用．教学难点发现并证明垂径定理教学课时2课时教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图第一课时：一、导语：直径是圆中特殊的弦，研究直径是研究圆的重要突破口，这节课我们就从对直径的研究开始来研究圆的性质.二、探究新知(一)圆的对称性沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复做几次，看看你能发现什么结论？得到：把圆沿着它的任意一条直径所在直线对折，直径两旁的两个半圆就会重合在一起，因此，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.（二）、垂径定理完成课本思考分析：1.如何说明图24.1-7是轴对称图形？2.你能用不同方法说明图中的线段相等，弧相等吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．即：直径CD垂直于弦AB则CD平分弦AB，并且平分弦AB 所对的两条弧．推理验证：可以连结OA、•OB，证其与AE、BE构成的两个全等三角形，进一步得到不同的等量关系.分析：垂径定理是由哪几个已知条件得到哪几条结论？教师从直径引出课题，引起学生思考学生用纸剪一个圆，按教师要求操作，观察，思考，交流，尝试发现结论.学生观察图形，结合圆的对称性和相关知识进行思考，尝试得出垂径定理，并从不同角度加以解释.再进行严格的几何证明..师生分析，进一步理解定理，析出定理的题设和结论.通过学生亲自动手操作发现圆的对称性，为后续探究打下基础通过该问题引起学生思考，进行探究，发现垂径定理，初步感知培养学生的分析能力，解题能力.为继续探究其。
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（2）利用什么知识可以解得半径。
（3）从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？
生活中的应用
如图，是赵州桥的几何示意图，若其中AB是桥的跨度为37.4米,桥拱高CD为7.2米,你能求出它所在的圆的主桥拱半径吗?
提示：此中直角三角形AOD中只有AD是已知量，但可以通过弦心距、半径、拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列出方程。
1这个图形是对称图形吗
2你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。
3你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
4你能用几何方法证明这些结论吗？
5你能用符号语言表达这个结论吗？
3．垂径定理的推论
如上图，若直径CD平分弦AB则
1直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？
（2）家庭作业练习册
课
后
反
思
教学
重点
垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。
教学
难点
垂径定理及其推论的运用。
教学
过程
教学内容
一、情境导入
赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？
二、探究新知
1.圆的对称性
（探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？
2.垂径定理
（思考）如图：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。
利用垂径定理进行的几何证明
三、巩固练习
教材第82练习第2题。
四、小结
（1）本节课你学到了哪些数学知识？
（2）在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？
（3）这些方法中你又用到了哪些数学思想？
五、作业布置
（1）教材82页练习第1题88页第11题
分层作业
如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是多少？
总课题
圆的有关性质
总课时数
第30课时
课题
垂直于弦的直径（1）
主备人
课型
新授
时间
教
学
目
标
1.研究圆的对称性,掌握垂径定理及其推论.
2.学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题。
3.经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。
4.在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。
2你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）
3如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
灵活应用
提高能力
简单应用
如图，在⊙O中，直径MN⊥AB于C，则下列结论错误的是（）
A、 AC=BC B、AN=BN C、OC=CN D、AM=BM
典型应用
如图。在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OD=3cm，则⊙O的半径为cm