26.2.4二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 - 副本
二次函数y=a(x-h)2图像与性质
3、不画出图象，你能说明抛物线 y 3x 2
与 y 3(x 2)2 之间的关系吗?
4、已知函数y＝4x2，y＝4(x＋1)2和y＝4(x－1)2。 (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、
同；函数y＝ 1 (x一2)2的图象可以看作是函数
y＝
1 2
2
x2的图象向右平移2个单位得到的，它
的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，0)。
1 2、1 你(x＋能2由)2的函图数象y与＝性2质x吗2的? 图象与性质，得到函数y＝
2
问题小结
一般地,由y=ax²的图象通过平移便 可得到二次函数y=a(x-h)²的图 象:y=a(x-h)²(a≠0) 的图象可以看成 y=ax²的图象沿x轴整体向左(右)平 移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当 h<0时,向左平移)。
探究二
探究二次函数y=a(x-h)² 的性质。
y=a(x-h)²
a>o
a<o
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 直线x=h （h，0）
向下
直线x=h （h，0）
增减性
当x>h时，y随x增大而增 大；当x<h时，y随x增大 而减小
当x>h时，y随x增大而 减小；当x<h时，y随x 增大而增大
最值
最小值0
当a<0时，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x 增大而增大。
⑤当a>0时，有最小值0；当a<0时，有最大值0.
二次函数y=a(x-h)2 k的图象及其性质 PPT课件 5 人教版
（2）何时 y=3？
（3）根据图象回答：
当x
时，y>0。
3论( .二m)上次为函何数实y数=a,图(x象-m的)2+顶2m点,必无在活你用学答活对了
A)直线y=-2x上
B)x轴上 吗?
C)y轴上 y=2x上
D)直线
3.D 4. y3> y1 > y2
4.对于抛物线y=a(x-3)2+b其中
a>0,b 为常数,点( 3 ,y1) 点 ( 5 ,y2)点(8,y3)在该抛物线上, 试比较y1,y2,y3的大小
a<0 向下 x=h (h,k) x=h时, x<h时, y随x的增大而增 有最大 大; x>h时, y随x的增大而 值y=k 减小.
|a|越大开口越小.
返回
指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口 对称轴 顶点坐标
1y2x325 向上 直线x=3 (3,–5)
2 y 0.5x 12 向下 直线x= –1
4.如图所示的抛物线： 当x=_0_或__-2_时，y=0； 当x<－2或x>0时， y__<___0； 当x在－_2_<__x_<0范围内时，y>0； 当x=___-1__时，y有最大值___3__.
3
5、试分别说明将抛物线的图象通 过怎样的平移得到y=x2的图象：
(1) y=(x-3)2+2 ；
•
17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。
•
18、励志照亮人生，创业改变命运。
•
19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。
•
20、当你能飞的时候就不要放弃飞。
•
21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。
人教版初三数学上册二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质.4二次函数图像与性质(4)
6 y 3 x 32
4
向下 直线x=3
(–1,0) (0,–1) (2, 5) (– 4,2) (3,0)
各种形式的二次函数的关系
|k| |h|
左 个右 单平 位移
y = ax2 + k
y = a( x - h )2 + k
上 个下 单平 位移
y = a(x - h )2
上下平移 |k|个单位
左右平移
y = ax2 |h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状 相同，位置不同。
及时总结
顶点式
y=a(x-h)2+k 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上
a<0 向下
(h ,k)
(h ,k)
直线 x=h
直线 x=h
当x<h时，
当x<h时,
2
-7
-8 -9
平移方法2:
-1x0=－1
y
1 2
x
2向1个左向下平移 1个单位
y1(x1)2 1 2
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下;
(2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口 对称轴 顶点坐标
二次函数图象及其性质
ya(xh)2k
y
4. 3. 2. 1.
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
1)y=ax2 2)y=ax2+k 3)y=a(x-h)2
华东版九年级数学下册第26章26.226.2.2第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
4. 在函数 y＝(x－3)2 中，当 x ＞3 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x ＜3 时，函数值 y 随 x 的增大 而减小； 当 x＝ 3 时， 函数值 y 取最 小 值， 是 0 ．
1 2的开口向 5. 抛物线 y＝－3x－2 1 1 直线 x＝ ， 0 2 ，顶点坐标为 是 2
．
9. 若二次函数 y＝x2－mx＋1 的图象顶点在 x 轴上， 则 m 的值是( D ) A．2 C．0 B．－2 D．±2
10. 在平面直角坐标系中，函数 y＝－x＋1 与 y＝－ 3 (x－1)2 的图象大致是( D ) 2
11. 抛物线 y＝3(x－1)2 的图象上有三点 A(－1，y1)， B( 2，y2)，C(2，y3)，则 y1，y2，y3 的大小关系是( D ) A．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
16. 如图所示，二次函数 y1＝a(x－h)2 的图象与直线 y2＝kx＋b 交于 A(0，－1)，B(1，0)两点．
(1)确定二次函数与一次函数的解析式； (2)当 y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2 时，根据图象分别确定 自变量 x 的取值范围．
解：(1)y1＝－(x－1)2， y2＝x－1； (2)当 y1＜y2 时， x＜0 或 x＞1， 当 y1＝y2 时，x＝0 或 x＝1， 当 y1＞y2 时，0＜x＜1.
18. 如图，抛物线的顶点 M 在 x 轴上，抛物线与 y 轴交于点 N，且 OM＝ON＝4，矩形 ABCD 的顶点 A、B 在抛物线上，C、D 在 x 轴上．
(1)求抛物线的解析式； (2)设点 A 的横坐标为 t(t>4)， 矩形 ABCD 的周长为 l， 求 l 与 t 之间的函数关系式． 1 解：(1)y＝4(x－4)2；
26.2.4二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
y 1 (x 1)2 1
2
1个单位
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 x2 1 2
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
-8
-9
y 1 (x 1)2 1
-10
2
河南淮阳羲城中学
怎样移动抛物线 y 1 x2就可以得到抛物线 y 1 (x 1)2 1？
向下
直线x=h （h,k）
当x＞h时，y随x 当x=h时， 的增大而减小；
y最大值=k x＜h时，y随x的 增大而增大.
河南淮阳羲城中学
顶点式
y a x h2 k a 0
h 0, k 0 y ax2 h 0, k 0 y ax2 k
k 0, h 0 y a x h2
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
y = a(x - h )2
简记为：
上加下减常数项， 左加右减自变量。
上下平移
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y = ax2 左右平移
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平 移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的. 2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2 形状相
3
同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式. 中考链接：
抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到y=-3x2 .
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课堂小结
二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质
华师版九年级下册数学第26章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
当点 B 与 O 重合时，－12m2＋4＝0， 解得 m＝2 2或 m＝－2 2， 当点 B 与点 D 重合时，如图②， 顶点 A 也与 B、D 重合，点 B 到达最高点， ∴点 B(0，4)，∴－12m2＋4＝4，解得 m＝0.
当抛物线从图②的位置继续向左平移 时，如图③，点 B 不在线段 OD 上， ∴B 点在线段 OD 上时，m 的取值范 围是 0≤m＜1 或 1＜m＜2 2.
(1)当m＝5时，求n的值；
解：当 m＝5 时，y＝－12(x－5)2＋4， 当 x＝1 时，n＝－12×42＋4＝－4.
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2 时，自变量x的取值范围；
解：当 n＝2 时，将 C(1，2)的坐标代入函数表达式 y＝－12(x－m)2＋4，得 2＝－12(1－m)2＋4， 解得 m＝3 或 m＝－1(舍去)， ∴此时抛物线的对称轴为 x＝3， 根据抛物线的对称性可知，当 y＝2 时，x＝1 或 x＝5， ∴x 的取值范围为 1≤x≤5.
7 ∴tan ∠ABC＝OOCB＝37＝13.
12．把二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象先向左平移 2 个单位 长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 y＝12(x ＋1)2－1 的图象．
(1)试确定 a、h、k 的值； 解：a＝12，h＝1，k＝－5.
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标．
【答案】①②④
10．【中考·舟山】二次函数 y＝－(x－1)2＋5，当 m≤x≤n 且
mn<0 时，y 的最小值为 2m，最大值为 2n，则 m＋n 的
值为( )
A．52
二次函数y=a(x-h)2 k的图像和性质__教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校二次函数y=a(x-h)2+k 的图像和性质执教者：付义成教学目标：1、 会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k 的图像，并通过图像认识函数的性质。
2、 能运用二次函数的知识解决简单的实际问题。
重点难点：1、 二次函数y=a(x-h)2+k 的性质2、 把实际问题转化为数学问题情境引入：1、 由前面的知识我们知道，函数y=12 x 2的图像，向下平移1个单位，可以得到函数y=12 x 2-1的图象；函数y=12 x 2的图像，向左平移1个单位，可以得到函数y= 12（x+1）2的图象，那么函数y=12 x 2的图象，如何平移，才能得到函数y= 12（x+1）2-1的图象呢？2、 引出课题：二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质及实际应用。
自主探究： 1、探究在同一坐标系中画出y=—12 x 2，y=—12 x 2-1，y=— 12（x+1）2-1的图象，指出它们的开口方向、对称轴、及顶点。
通过观察图象探究下列问题：1、 抛物线y=—12 x 2经过怎样的变换可以得到抛物线y=— 12（x+1）2-1？ 2、 对于抛物线y=— 12（x+1）2-1，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数值取得最 值，最 值y= 。
2. 观察归纳观察：（1）抛物线y=—12 x 2，y=—12 x 2-1，y=— 12（x+1）2-1的开口方向、对称轴以及顶点坐标，猜想抛物线y=a(x-h)2+k 的开口方向、对称轴以及顶点坐标。
（2）由y=— 12 （x+1）2-1与y=—12x 2的关系，推广到抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系。
归纳：（1）抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同，位置不同。
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》教案、教学设计、导学案、同步练习
《第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质》教案【教学目标】1．会用描点法画出y＝a(x－h)2＋k的图象．2．掌握形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系．【教学过程】一、情境导入对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，你能说出它的顶点坐标、对称轴和开口方向吗？你能再说出一个和这个函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向一致的二次函数吗？二、合作探究探究点一：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质【类型一】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象求二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标、对称轴及其最值．解析：把二次函数y＝x2－2x－1化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，就会很快求出二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标及对称轴．解：y＝x2－2x－1＝x2－2x＋1－2＝(x－1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)，对称轴是直线x＝1.当x＝1时，y最小值＝－2.方法总结：把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)形式常用的方法是配方法和公式法．【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y 1)，(32，y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是( )A．①②③ B．①③④C．①②④ D．②③④解析：∵－b2a＝－1，∴b＝2a，即b－2a＝0，∴①正确；∵当x＝－2时点在x轴的上方，即4a－2b＋c>0，②不正确；∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，∵b＝2a，∴a－b＋c＝a－b－4a－2b＝－3a－3b＝－9a，∴③正确；∵抛物线是轴对称图形，点(－3，y1)到对称轴x＝－1的距离小于点(32，y2)到对称轴的距离，即y1>y2，∴④正确．综上所述，选B.方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a、b、c的符号确定：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；抛物线的对称轴是x＝－b2a；当x＝2时，二次函数的函数值为y＝4a＋2b＋c；函数的图象在x轴上方时，y>0，函数的图象在x轴下方时，y<0.【类型三】利用平移确定y＝a(x－h)2＋k的解析式将抛物线y＝13x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )A．y＝13(x－2)2－1 B．y＝13(x－2)2＋1C．y＝13(x＋2)2＋1 D．y＝13(x＋2)2－1解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝13x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝13x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝13x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝13(x－2)2－1，故选A.探究点二：二次函数y＝a(x－h)2＋k的应用【类型一】y＝a(x－h)2＋k的图象与几何图形的综合如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________．(用含a的式子表示)解析：如图，∵对称轴为直线x＝－2，抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，∴OB＝4，∵由抛物线的对称性知AB＝AO，∴四边形AOBC的周长为AO ＋AC＋BC＋OB＝△ABC的周长＋OB＝a＋4.故答案是：a＋4.方法总结：二次函数的图象关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质，将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用．【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的实际应用心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数y＝－110(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？解：(1)0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；13≤x≤30时，学生的接受能力逐步降低．(2)当x＝10时，y＝－110(10－13)2＋59.9＝59.故第10分钟时，学生的接受能力是59.(3)当x＝13时，y值最大，是59.9，故第13分钟时，学生的接受能力最强．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x －h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质《第3课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质》教案【教学目标】：1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2015开学北师大版九年级数学下26.2 (第3-1课时 二次函数y=a(x-h)2 的图像与性质)
3 2 y ( x 1) 4
倍 速 课 时 学 练
3 2 y ( x 3) 4
3 2 y ( x 5) 4
不画图直接填空
抛物线 y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2
倍 速 课 时 学 练
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下 向下
直线x=-3
直线x=1 直线x=3
( -3 , 0 )
1 y
即:
倍 速 课 时 学 练
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 2 y ( x 1 ) -3 2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 2 1 y x -10 y ( x 1) 2
2
2
一般地,抛物线y=a(x－h)2 有如下 特点:
h<0
h>0
h<0
对称性
顶点 增减性
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
例1. 填空题 （1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 抛物线 ，开 口 向上 ，对称轴是直线x= -5 ，当x= -5 时，y有最 小 值， 是 0 . （2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x2 向 右 平移 4 个单位得到的；开口 向下 ，对称轴 4 是直线x= ，当 x= 4 时，y有最 大 值，是 0 . 倍 速 课 时 学 练
… -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 … … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 华东师大版九年级数学下册课时练习(含答案)
26.2.2 第2课时 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质【基础练习】知识点 1 二次函数y =a (x -h )2的图象与y =ax 2的图象的关系1.将抛物线y=x 2向 平移 个单位得到抛物线y=(x+5)2;将抛物线y=x 2向 平移 个单位得到抛物线y=(x -5)2.2.要得到函数y=x 2的图象,只要把函数y=(x -3)2的图象 ( )A .向左平移3个单位B .向右平移3个单位C .向上平移3个单位D .向下平移3个单位3.顶点是(-2,0),开口方向、形状与抛物线y=12x 2相同的抛物线是 ( )A .y=12(x -2)2B .y=12(x+2)2C .y=-12(x -2)2D .y=-12(x+2)2知识点 2 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质4.二次函数y=13(x -3)2的图象开口 ,对称轴是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大;当x 时,y 随x 的增大而减小.当x= 时,y 有最 值,是 .5.下列抛物线中,对称轴是直线x=3的是 ( ) A .y=-3x 2-3B .y=3x 2-3C .y=-12(x+3)2 D .y=3(x -3)26.抛物线y=x 2-4x+4的顶点坐标为 ( ) A .(-4,4)B .(-2,0)C .(2,0)D .(-4,0) 7.比较抛物线y=x 2,y=2x 2-1,y=12(x -1)2的共同点,其中说法正确的是 ( )A .顶点都是原点B .对称轴都是y 轴C .开口方向都向上D .开口大小相同8.二次函数y=-(x -2)2的图象不经过第 象限.9.已知函数y=-(x -1)2的图象上的两点A (2,y 1),B (a ,y 2),其中a>2,则y 1与y 2的大小关系是 y 1 y 2.(填“<”“>”或“=”)10. 在平面直角坐标系中画出函数y=-12(x -3)2的图象. (1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2)说明该函数图象与二次函数y=-12x 2的图象的关系; (3)根据图象说明,何时y 随x 的增大而减小.【提升训练】11.同一坐标系中,抛物线y=(x-a)2与直线y=a+ax的位置可能是()图1312.将抛物线y=a(x+2)2平移后与抛物线y=a(x-1)2重合,抛物线y=a(x+2)2上的点A(2,3)同时平移到点A'的位置,那么点A'的坐标为()A.(5,3)B.(-1,3)C.(2,0)D.(3,4)13.已知二次函数y=-(x-h)2,当x<-3时,y随x的增大而增大;当x>-3时,y随x的增大而减小,则当x=0时,y的值为()A.-1B.-9C.1D.914.已知抛物线y=a(x-h)2的形状及开口方向与抛物线y=-2x2相同,且顶点坐标为(-2,0),则a+h=.15.二次函数y=a(x-h)2的图象如图14所示,若A(-2,y1),B(-4,y2)是该图象上的两点,则y1y2.(填“>”“<”或“=”)图14x2+3的顶点A和抛物线y=3(x-2)2的顶点B,求该直线的16.已知直线y=kx+b经过抛物线y=-12函数关系式.17.已知二次函数y=(x-3)2.(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值.(2)若点A(x1,y1),B(x2,y2)位于对称轴右侧的抛物线上,且x1<x2,试比较y1与y2的大小关系.(3)抛物线y=(x+7)2可以由抛物线y=(x-3)2平移得到吗?如果可以,请写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.第2课时 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质1.左 5 右 52.A3.B4.向上 直线x=3 >3 <3 3 小 05.D6.C [解析] 因为y=x 2-4x+4=(x -2)2, 所以抛物线的顶点坐标为(2,0). 故选C .7.C [解析] 抛物线y=x 2的顶点为原点,对称轴是y 轴,开口向上;抛物线y=2x 2-1的顶点坐标为(0,-1),对称轴是y 轴,开口向上;抛物线y=12(x -1)2的顶点坐标为(1,0),对称轴是直线x=1,开口向上.综合判断开口方向都向上,故选C . 8.一、二9.> [解析] 因为二次项系数为-1,小于0,所以在对称轴直线x=1的左侧,y 随x 的增大而增大;在对称轴直线x=1的右侧,y 随x 的增大而减小.因为a>2>1,所以y 1>y 2.故答案为>. 10.解:图略.(1)该函数图象的开口向下,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0).(2)二次函数y=-12(x -3)2的图象是由二次函数y=-12x 2的图象向右平移3个单位得到的.(3)当x>3时,y 随x 的增大而减小. 11.D 12.A13.B [解析] 由题意知二次函数y=-(x -h )2的图象的对称轴为直线x=-3,故h=-3.把h=-3代入二次函数y=-(x -h )2可得y=-(x+3)2,当x=0时,y=-9.故选B . 14.-415.= [解析] 由图象可知抛物线的对称轴为直线x=-3,所以点A 和点B 关于对称轴对称,所以y 1=y 2.16.解:抛物线y=-12x 2+3的顶点A 的坐标为(0,3),抛物线y=3(x -2)2的顶点B 的坐标为(2,0). 因为直线y=kx+b 经过点A ,B , 所以{b =3,2k +b =0,解得{k =-32,b =3, 所以该直线的函数关系式为y=-32x+3.17.解:(1)因为a=1>0,所以该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0);当x=3时,y 最小值=0,没有最大值.(2)因为当x>3时,y 随x 的增大而增大, 又因为3<x 1<x 2,所以y 1<y 2.(3)可以.将抛物线y=(x -3)2向左平移10个单位可以得到抛物线y=(x+7)2.。
华师版九年级下册数学第26章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
26.2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)²
的图象与性质
1 课堂讲解 y=a（ x-h） 2 的图象与性质
二次函数y＝a(x-h)2与y＝ax2之间的关系
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
通过上节课的学习我们知道，抛物线y=ax2+c可 以通过沿y轴平移y=ax2得到，那么y=a(x-h)2型的抛物 线能否通过平移得到呢？
A．y1＜y2＜0
B．0＜y1＜y2
C．0＜y2＜y1
D．y2＜y1＜0
知3－讲
知识点 3 二次函数y=a(x-h)2+c与y=ax2之间的关系
知3－讲
例2 将抛物线y＝－x2向左平移2个单位后，得到的抛
物线对应的函数关系式是( A )
A．y＝－(x＋2)2
B．y＝－x2＋2
C．y＝－(x－2)21, 2来自所以应选D.总结
知1－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
知1－练
1 抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( )
A．(－2，0)
B．(2，0)
C．(0，－2)
D．(0，2)
2 (中考·兰州)在下列二次函数中，其图象的对称轴为
直线x＝－2的是( )
D．y＝－x2－2
导引：本题依据“左加右减”解题，即抛物线向左平移几
个单位，x就加几，抛物线向右平移几个单位，x
就减几．
总结
知3－讲
y＝ax2的图象左右平移时，顶点的横坐标发生变 化．平移的方向决定加减，平移的距离决定加减的数 值．
知3－练
1 试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y =
26.2.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 (2) 公开课一等奖课件
三、解答题(共 32 分) 17．(10 分)已知抛物线 y＝a(x＋2)2＋k 过点(1，－3)，且 其顶点的纵坐标为 3. (1)求抛物线的解析式； (2)画出函数的图象，写出抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)从图象上观察当 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大？
解：(1)由题意有 k＝3，把(1，－3)代入 y＝a(x＋2)2＋3 2 2 2 得：－3＝a(1＋2) ＋3，a＝－ ，∴y＝－ (x＋2)2＋3 (2)图 3 3 象略．对称轴：直线 x＝－2，顶点坐标是(－2，3) (3)从图 象可以看出当 x＜－2 时，y 随 x 的增大而增大
二、填空题(每小题 4 分，共 16 分) 1 13．抛物线 y＝ (x－2)2＋5，当 x＝__2__时，y 有最__小 2 __值为__5__． 14．二次函数 y＝－3(x－2)2，当 x__＞2__时，y 随 x 的 增大而减小；当 x__＜2__时，y 随 x 的增大而增大． 15．将抛物线 C1 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单 位，得到抛物线 C2：y＝2(x＋2)2－6，则原抛物线 C1 的表达 式为__y＝2(x＋1)2－3__． 16．把二次函数 y＝(x－1)2＋2 的图象绕原点旋转 180° 后得到的图象的解析式为__y＝－(x＋1)2－2__．
【综合运用】 19．(12 分)如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将 球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高 度 y(m)与运行的水平距离 x(m)满足关系式 y＝a(x－6)2＋h.已 知球网与 O 点的水平距离为 9 m，高度为 2.43 m，球场的边 界距 O 点的水平距离为 18 m. (1)当 h＝2.6 时，求 y 与 x 的关系式；(不要求写出自变量 x 的取值范围) (2)当 h＝2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说 明理由．
27.2.4二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质___课件
例2.按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0）求该抛物 线的解析式； （2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点 坐标是（1，0）的抛物线解析式； （3）已知二次函数图像的顶点坐标（1，-8），且图像经过点（2， -2）。求此函数解析式；
9
例1：根据箭头叙述下列函数的平移关系
3 2 y ( x 1) 4
向上平移 3个单位 向右平移 4个单位 向下平移
向上平移
2个单位
3 2 y ( x 1) 2 4
向右平移 4个单位
3 2 y ( x 3) 3 4
5个单位
向左平移 8个单位
3 2 y ( x 5) 2 4
向左(右)平移 2 向上(下)平移y=a(x－h)2+k |h|个单位 y=a(x－h) |k|个单位 向上(下)平移 y=ax2+k 向左(右)平移 y=a(x－h)2+k |h|个单位 |k|个单位
思考：抛物线y=a(x－h)2+k开口、对称轴、顶点、极值有何特点？ (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k). (4)当x=h时,y极值=k;（a>0,有最小值；a<0有最大值）
5
1.完成下列表格: 二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向 向上 对称轴 顶点坐标
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1 , －2 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
向下
向上 向下
直线x=3
直线x=2
2.2.4二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
7．二次函数y＝－5(x＋m)2中，当x<－5时，y随x的增
大而增大，当x>－5时，y随x的增大而减小，则m
5 ＝________ ．此时，二次函数的图象的顶点坐标
(－5，0) ，当x＝________ －5 时，y取最________ 大 为________
0 值，为________ ．
返回
8．关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法正确的是 ( D ) A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴是直线x＝3 C．其图象的顶点坐标是(0，3)
第二章 二次函数
2.2
二次函数的图象与性质
第4课时
二次函数y＝a(x－h)2的图 象与性质
1 6 11 16
2 7 12 17
3 8 13
4 9 14
5 10 15
知识点
1
二次函数y＝a(x－h)2的图象
抛物线 ，它与 1．二次函数y＝a(x－h)2的图象是__________ 位置 不同； 抛物线y＝ax2的形状相同，只是________
点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个
单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方
向平移1个单位长度后得△AA1B1.
(1)求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的函数表达式；
(2)若(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点
D，C的坐标．
【思路点拨】(1)由几何知识先求B1的坐标，再设抛 物线的函数表达式为 y ＝ a(x － 1)2 即可求出； (2) 先 求直线 OB 的函数表达式，而 C 为直线与抛物线的 交点，其坐标为直线、抛物线的函数表达式组成 的方程组的解．
解： (1)易知A(1，0)，B1(2，1)． 设抛物线的函数表达式为y＝a(x－1)2，将B1(2，1)
2.2.4二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质wyc
复习引入
y=ax2
左加 右减
上加 下减
y=ax2+k
左加 右减
y=a(x－h)2
上加 下减
y=a(x－h)2+k
温故知新 二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口 对称轴
顶点 增减性
最值
h>0
h<0
h>0
的增大而小
y (x 2)2 3
当x= - 1时， y最大值= - 2
练习
1.已知二次函数 y (x 2)2 3， 当x_____2______时，y随x的增大而减小。 2.抛物线 y 4(x 3)2 12 的对称轴是____x_____3___，顶点是___(_-3__，__1_2__)_______. 3.抛物线 y 2(x 5)2 4 的对称轴是___x______5___，当_______x_____5______时，
y 1 (x 1)2 2 2
向下
当x≤1时， y随x的
x=1
(1，2)
增大而增大； 当x＞ 1时， y随x
当x= 1时， y最大值=2
的增大而减小
y 1 (x 1)2 2 2
向下
y 2(x 5)2 4 y 4(x 3)2 12
x=-1
当x≤-1时， y随x的
(-1，-2)
增大而增大； 当x＞ - 1时， y随x
直线x=1 (1,2)
当x≤0时， y随x的增大而减小； 当x≤1时， y随x的增大而减小； 当x＞0时， y随x的增大而增大 当x＞1时， y随x的增大而增大
二次函数y=a(x-h)2 k图象和性质课件
C组
10. 对于二次函数y=
+1，有下列说法：
①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x=
－ ；③其图象的顶点坐标为
；④当x<
时，y随x的增大而减小.其中正确的说法有
（B ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
直线x=1 (1,2)
y轴
(0,0)
直线x=－2 (－2,－4)
9. 已知二次函数y=－3(x－3)2+2． （1）写出该函数图象的顶点坐标； （2）判断点(1,－12)是否在这个函数的图象上．
解：（1）∵二次函数的解析式为 y=－3(x－3)2+2， ∴顶点坐标是(3,2). （2）当x=1时，y=－3×4+2=－10≠-12． ∴点(1,－12)不在这个函数的图象上.
向上平移3个单位 y=-2x2+3 3.把y=-2x2的图像
向左平移2个单位 y=-2(x+2)2 4.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可 以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？
y
y2x223 3
y
y2x223
3
-2 O
X
-2 O
X
y2x23
y 2 x2y 2x22
A. (－3,2)
B. (3,2)
C. (－3,－2)
D. (3,－2)
5. 将抛物线y=－x2向右平移1个单位，再向上平移2 个单位后，得到的抛物线的解析式为 _____y_=_－__(_x_－__1_)_2+_2________．
6. 将抛物线y=－ (x－5)2+3向左平移5个单位， 再向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式为 _____y_=_－____x_2_+_6__________．
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2
1个单位
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 x2 1 2
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
-8
-9
y 1 (x 1)2 1
-10
2
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怎样移动抛物线 y 1 x2就可以得到抛物线 y 1 (x 1)2 1？
课堂小结
二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质
图象特点 平移规律
当a>0,开口向上；当 a<0,开口向下. 对称轴是x=h, 顶点坐标是（h,k).
左右平移：括号内左 加右减； 上下平移：括号外上 加下减.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
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方法总结：
已知函数图象上的点，则这点的坐标 必满足函数的表达式，代入即可求得函数 解析式．
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3、 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水 管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形 水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为 3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
3
同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式. 中考链接：
抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到y=-3x2 .
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达标检测
1.完成下列表格: 二次函数
y=2(x+3)2+5
开口方向
y=－3(x－1)2－2
对称轴
顶点坐标
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1 个单位，得到抛物线的解析式为-------------------_2_.把___抛__物__线__y_=_-_3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单 位，那么所得抛物线是___________________.
2
2
平移方法2
y 1 (x 1)2 2
向左平移 1个单位
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 (x 1)2 1 2
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
-8
-9
y 1 (x 1)2 1
-10
2
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要点归纳
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
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达标检测
1.完成下列表格:
二次函数
y=2(x+3)2+5
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线x=－3 (－3, 5 )
向下
直线x=1 ( 1, －2 )
向上
直线x=3 ( 3 , 7)
向下 直线x=2 ( 2 , －6 )
(0≤x≤3)
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
河南淮阳羲城中学函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
探究归纳
怎样移动抛物线 y 1 x2就可以得到抛物线 y 1 (x 1)2 1 ？
2
2
平移方法1
y 1
向左平移
y 1 (x 1)2 1
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解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. y
因此可设这段抛物线对应的函数是 3
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
A 2
∵这段抛物线经过点(3,0)， 1
∴ 0=a(3－1)2＋3.
B(1，3)
解得:
a=－
3 4
O 12
因此抛物线的解析式为:
y=
－3 4
(x－1)2＋3
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华师大版《义务教育教科书》 九年级数学
26.2.3二次函数y=a(x-h)2+k的 图象与性质
单位：河南省淮阳羲城中学 数学教研组
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26.2 .3 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
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可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
简记为： 上下平移， 括号外上加下减；
y = a(x - h )2 左右平移，
上下平移
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y = ax2 左右平移
括号内左加右减. 二次项系数a不变.
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平 移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的. 2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2 形状相
h 0, k 0 y ax2 h 0, k 0 y ax2 k
k 0, h 0 y a x h2
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巩固训练
1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则 一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( )
2. 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两 点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系．
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学习目标
1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象. 2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应 用.(重点） 3.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间 的联系.（难点）
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2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1
个单位，那么所得抛物线是__y_____3_(_x___1_)_2___2__.
3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平
移1个单位，得到抛物线的解析式为___y____3__x___2_2_ 3
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2
再描点、连线
y 1 (x 1)2 1 2
开口方向向下； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-1)
-1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
直线x=－1
-8 -9
-10
y 1 (x 1)2 1 2
向上平移3个单位 y=-2x2+3 3.把y=-2x2的图像
向左平移2个单位 y=-2(x+2)2 4.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可 以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？
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讲授新课
探究一 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
例1 画出函数
y 1 (x 1)2 1的图像.指出它的开口
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=h
直线x=h
顶点坐标
（h,k）
（h,k）
最值 增减性
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当x=h时，y最小值=k
当x=h时，y最大值=k
当x＜h时，y随x的增大 当x＞h时，y随x的增大
而减小；x＞h时，y随x 而减小；x＜h时，y随x
的增大而增大.
的增大而增大.
顶点式
y a x h2 k a 0
2
方向、顶点与对称轴.
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解: 先列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
2
再描点、连线
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解: 先列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 … -5.5 -3
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试一试 画出函数y= 2（x+1）2-2图象，并说出抛物线的
开口方向、对称轴、顶点.
y
开口方向向下； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-2)
8
6
4
2
-4 -2 O 2 4
x
-2
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知识要点 二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质
y=a(x-h)2+k
导入新课
复习引入
1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和
增减变化情况:
y
y
(1)y=ax2 (2)y=ax2+c
Ox
y
y
O
x
y
O xO x
Ox
y
Ox
(3)y=a(x-h)2
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y
y
Ox O x
yy
Ox O
x
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2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值？