北师大版高中数学必修二单元测试四

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北师大版高中数学必修二习题1-4 课件

2.当你感到痛苦时，就去学习点什么吧，学习可以使我们减缓痛苦。 1.只要路是对的，就不怕路远。 3.未来是美好的，但也许它只是跟今天一样，不一定有我们想要的一切。每一个今天，都是我们想要的全部世界，别把所有的希望和约定都寄放在明天，过好每一个今天，明天才会更有价值。
12、只要不放弃努力和追求，小草也有点缀春天的价值。 11、人若有志，万事可为。 18.没有斗争就没有功绩，没有功绩就没有奖赏，而没有行动就没有生活 4. 即使赚得了全世界，却失去了自己，又有什么意义呢？
A
6
C
0
和余弦A 1 值B 的为夹角1
2
.
例2 .如图，正方体 A B C D -A B C D 中，正方体的棱长为2.求下列异面直线的夹角的余弦值.
（2）A 1 C 和 A D 1 .
例2 .如图，正方体 A B C D -A B C D 中，正方体的棱长为2.求下列异面直线的夹角的余弦值.
（2）A 1 C 和 A D 1 .
法一：
例2 .如图，正方体 A B C D -A B C D 中，正方体的棱长为2.求下列异面直线的夹角的余弦值.
（2）A 1 C 和 A D 1 .
法二：
例2 .如图，正方体 A B C D -A B C D 中，
正方体的棱长为2.求下列异面直线的夹角的余弦值.
（1）A 1 B 和 A C ；
解：连接 A 1 C 1 和 C 1 B ，因为 AA1∥BB1 ，
BB1∥CC1 ，所以 A C ∥A 1 C 1 ，
所以 A 1 B
和
A1C
的夹角
1
即为 A C 和 A 1 B 的夹角.
因为 AB 1BC 1A 1C 1，

北师大版高中数学必修二同步练习题第4章半角公式(含答案)

3.2 半角公式必备知识基础练1.若cos θ=13,且270°<θ<360°,则cos θ2=( ) A.√33B.√63C.±√63D.-√632.已知cos(π+θ)=13,若θ是第二象限角,则tan θ2=( ) A.2√2B.√2C.-√2D.√223.设5π<θ<6π,cos θ2=a ,则sin θ4等于( ) A.-√1+a2 B.-√1-a2 C.-√1+a 2D.-√1-a 24.cos25°√1-sin40°的值为( ) A.1B.√3C.√2D.25.设函数f (x )=2cos 2x+√3sin 2x+a (a 为实常数)在区间0,π2上的最小值为-4,那么a 的值等于( ) A.4B.-6C.-4D.-36.已知180°<α<270°且sin(α+270°)=45,则sin α2= ,tan α2= . 7.化简:2sin (π-α)+sin2αcos 2α2= .关键能力提升练8.化简sin α2+cos α22+2sin 2π4−α2得( ) A.2+sin α B.2+√2sin α-π4 C.2D.2+√2sin α+π49.已知sin α=35,cos(α+β)=513,α,β均为锐角,则cos β2=( ) A.-11√130130B.11√130130 C.3√130130D.-3√13013010.已知cos θ=-725,θ∈(π,2π),则sin θ2+cos θ2的值为 . 11.某同学在一次研究性学习中发现以下规律: ①sin 60°=2tan30°1+tan 230°;②sin 120°=2tan60°1+tan 260°,请根据以上规律写出符合题意的一个等式 .(答案不唯一)学科素养创新练12.我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理,成为了我国古代数学的骄傲,后人称之为“赵爽弦图”.如图,它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH 拼成的一个大正方形ABCD ,设直角三角形AFB 中AF=a ,BF=b ,较小的锐角∠FAB=α.若(a+b )2=196,正方形ABCD 的面积为100,则cos 2α= ,sin α2-cos α2= .答案1.D 因为270°<θ<360°,所以135°<θ2<180°, 所以cos θ2=-√1+cosθ2=-√1+132=-√63.2.B 因为cos(π+θ)=13,所以cos θ=-13. 又θ是第二象限角,所以sin θ=2√23,所以tan θ2=1-cosθsinθ=√2.3.D 若5π<θ<6π,则5π2<θ2<3π,5π4<θ4<3π2,则sin θ4=-√1-cos θ22=-√1-a 2. 4.C 原式=cos 220°-sin 220°cos25°(cos20°-sin20°)=cos20°+sin20°cos25°=√2cos25°cos25°=√2.5.C f (x )=2cos 2x+√3sin 2x+a=1+cos 2x+√3sin 2x+a=2sin 2x+π6+a+1. 当x ∈0,π2时,2x+π6∈π6,7π6,∴f (x )min =2×-12+a+1=-4. ∴a=-4. 6.3√1010-3 ∵sin(α+270°)=-cos α=45,∴cos α=-45.又90°<α2<135°,∴sin α2=√1-cosα2=√1+452=3√1010,tan α2=-√1-cosα1+cosα=-√1+451-45=-3.7.4sin α2sin (π-α)+sin2αcos 2α2=2sinα+2sinαcosα12(1+cosα)=4sinα(1+cosα)1+cosα=4sin α.8.C 原式=1+2sin α2cos α2+1-cos 2π4−α2=2+sin α-cosπ2-α=2+sin α-sin α=2.9.B 因为0<α<π2,0<β<π2,所以0<α+β<π. 因为sin α=35,所以cos α=√1-sin 2α=45. 因为cos(α+β)=513,所以sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=1213.所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=513×45+1213×35=5665. 因为0<β2<π4, 所以cos β2=√1+cosβ2=11√130130.故选B .10.15 因为θ∈(π,2π),所以θ2∈π2,π,所以sin θ2=√1-cosθ2=45,cos θ2=-√1+cosθ2=-35,所以sinθ2+cosθ2=15.11.sin 30°=2tan15°1+tan215°只要符合公式sin α=2tanα21+tan2α2且有意义即可。

北师大数学必修二测试题附标准答案

x y O x y O x y O xyO高一年级数学学科必修2第二章质量检测试题试卷学校：卧龙寺中学命题人：吴亮李丰明第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列命题中为真命题地是（）A ．平行直线地倾斜角相等B ．平行直线地斜率相等C ．互相垂直地两直线地倾斜角互补D ．互相垂直地两直线地斜率互为相反 2. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确地是（）A ．B ．C ．D ．3．已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 地垂直平分线l 地方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x4．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，那么系数a 为（） A ．23-B ．6-C ．3-D ．325．过直线013=-+y x 与072=-+y x 地交点，且与第一条直线垂直地直线l 地方程是（）A ．073=+-y xB ．0133=+-y xC ．072=+-y xD ．053=--y x 6．与圆02422=+-+y y x 相切，并在x 轴、y 轴上地截距相等地直线共有（） A.6条 B.5条 C.4条 D.3条7．直线2x =被圆422=+-y a x ）（所截得地弦长等于32，则a 地值为（）A 、-1或-3B 、22-或C 、1或3D 、3 8．已知1O ：06422=+-+y x y x 和2O ：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 地垂直平分线地方程是（）Ａ.30x y ++= Ｂ.250x y --= Ｃ.390x y --=Ｄ.4370x y -+=9．两点)2,2(++b a A 、B ),(b a b --关于直线1134=+y x 对称，则（）Ａ.2,4=-=b a Ｂ.2,4-==b a Ｃ.2,4==b a Ｄ.2,4a b ==10.空间直角坐标系中,点(3,4,0)A -和点(2,1B -地距离是( )A ．B ．C ．9 D二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)把答案填第Ⅱ卷题中横线上11．直线x y 2=关于x 轴对称地直线方程为.12．已知点)1,1(P 和直线l ：02043=--y x ，则过P 与直线l 平行地直线方程是，过点P 与l 垂直地直线方程是.13．直线l 经过直线0623=++y x 和0752=-+y x 地交点，且在两坐标轴上地截距相等，则直线l 地方程是______.14.圆心在直线270x y --=上地圆C 与y 轴交于两点(0,4)A -，(0,2)B -，则圆C 地方程为．15．已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +地最小值为16．经过)1,2(-A 和直线1x y +=相切，且圆心在直线x y 2-=上地圆地方程为________________________________.金台区高一年级数学学科必修2第二章质量检测试题参赛试卷第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上)11.________________________12._______________________13._________________________14.______________________15._________________________16._______________________三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(12分)求经过点)2,1(A且到原点地距离等于1地直线方程.18.(14分)已知一曲线是与两个定点(0,0)O 、(3,0)A 距离地比为21地点地轨迹，则求此曲线地方程.19.(14分) 求垂直于直线0743=--y x ，且与两坐标轴构成周长为10地三角形地直线方程20.(15分) 自点A(-3，3)发出地光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线地方程.21（15分）圆822=+y x 内有一点(1,2)P -，AB 为过点P 且倾斜角为α地弦，（1）当α＝135０时，求AB ;（2）当弦AB 被点P 平分时，求出直线AB 地方程;（3）设过P 点地弦地中点为M ，求点M 地坐标所满足地关系式.高一年级数学学科必修2第二章质量检测试题试卷试卷说明学校：卧龙寺中学命题人吴亮李丰明一、命题意图解析几何是新课标中方程与几何部分地重点内容，其中既有一些几何图形基础，也蕴含了丰富地数形结合地思想方法，新课程标准要求重视数学之间地联系应用，培养和发展数学联系意识，所以本章内容一定会成为高考中地热点与重点.本套试题依据“重视基础，考察能力，体现导向，注重发展”地命题原则.注重学生地基础能力，同时考察学生地应用能力，体现了新课程标准数学应用地理念，更考察了学生在数学方面地运用能力以及核心知识地掌握情况，难度中等，对数学学科在新课程地理念下有很好地检测作用.二、试卷结构特点本试题是对高一数学必修2第二章“解析几何”地单元检测，满分150分，时间120分钟，分为Ⅰ卷和Ⅱ卷，共有试题21道，其中10道选择题，共50分；6道填空题，共30分；5道解答题，共70分.难度为中等水平，既有基础能力题，也有拔高扩展题.用基础题考察学生对知识地掌握能力，也同时用拔高题来提高学生地应变能力，为学生对数学意识地培养和在数学方面地应用打好一个基础.三、典型试题例说1.解答第17题：求经过点)2,1(A 且到原点地距离等于1地直线方程.【分析】此题看似简单，但学生极易做错，因为学生只考虑到斜率存在情况，而没有考虑到斜率不存在地情况，因此此题入手容易，得满分难.解：（1）当过点)2,1(A 地直线与x 轴垂直时，则点)2,1(A 到原点地距离为1，所以1=x 为所求直线方程.（2）当过点)2,1(A 且与x 轴不垂直时，可设所求直线方程为)1(2-=-x k y ，即：02=+--k y kx ，由题意有11|2|2=++-k k ，解得43=k ，故所求地直线方程为)1(432-=-x y ，即0543=+-y x . 综上，所求直线方程为1=x 或0543=+-y x .2. 解答第21题：圆822=+y x 内有一点(1,2)P -，AB 为过点P 且倾斜角为α地弦，（1）当α＝135０时，求AB ;（2）当弦AB 被点P 平分时，求出直线AB 地方程;（3）设过P 点地弦地中点为M ，求点M 地坐标所满足地关系式.【分析】此题意在使学生理解数形结合地应用思想，要在几何图中勾画函数方程地思想，用函数方程来解决各种问题，正是体现了新课程标准下地“学有价值地数学”地理念.仍要留意不要被斜率不存在所蒙蔽.解：（1）过点O 做OG AB ⊥于G ，连结OA ，当α=1350时，直线AB 地斜率为-1，故直线AB 地方程x+y-1=0，∴OG=d=222100=-+，又∵r=22,∴2OA ===，∴2AB OA == （2）当弦AB 被P 平分时，OP AB ⊥，此时K OP =21-， ∴AB 地点斜式方程为0521212=+-+=-y x x y ），即（.（3）设AB 地中点为(,)M x y ，AB 地斜率为K ，OM AB ⊥，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-x k y x k y 112）（, 消去K ，得：0222=+-+x y y x ，当AB 地斜率K 不存在时也成立，故过点P 地弦地中点地轨迹方程为：0222=+-+x y y x .参考答案及评分标准一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 11.x y 2-=. 12.0143=+-y x 或0734=-+y x .13. 340x y +=或10x y ++= 14.22(2)(3)5x y -++= 15.316.22(1)(2)2x y -++=三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(12分)（1）当过点)2,1(A 地直线与x 轴垂直时，则点)2,1(A 到原点地距离为1，所以1=x 为所求直线方程. …………5分（2）当过点)2,1(A 且与x 轴不垂直时，可设所求直线方程为)1(2-=-x k y ，即：02=+--k y kx ，由题意有11|2|2=++-k k ，解得43=k ， …………10分故所求地直线方程为)1(432-=-x y ，即0543=+-y x .综上，所求直线方程为1=x 或0543=+-y x . …………12分18.(14分)解：在给定地坐标系里，设点(,)M x y 是曲线上地任意一点，则||1.||2OM AM =…………4分由两点间地距离公式，点M 所适合地条件可以表示为21)3(2222=+-+y x y x ，…………8分两边平方，得41)3(2222=+-+yx y x ，化简整理有：22230x y x ++-=，化为标准形式：22(1)4x y ++=， …………12分所以，所求曲线是以C （－1，0）为圆心，2为半径地圆…………14分19.(14分)解：由所求直线能与坐标轴围成三角形，则所求直线在坐标轴上地截距不为0，故可设该直线在x 轴、y 轴上地截距分别为b a ,，又该直线垂直于直线0743=--y x ，且与两坐标轴构成周长为10地三角形，故有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=10||||3422b a b a a b ， …………9分解得：52103a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或52103a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，…………12分所以所求直线方程为0103y 4x =-+或0103y 4x =++. …………14分20.（15分）解法一：,已知圆地标准方程是：(x-2)2+(y-2)2=1，它关于x 轴地对称圆地方程是(x-2)2+(y+2)2=1. …………5分设光线L 所在地直线地方程是y-3=k(x+3)（其中斜率k 待定），由题设知对称圆地圆心C ′（2，-2）到这条直线地距离等于1，即…………10分整理得：12k 2+25k+12=0，解得k= -34或k= -43. …………13分故所求直线方程是y-3= -43(x+3)，或y-3= -43(x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0. …………15分解法二：已知圆地标准方程是：(x-2)2+(y-2)2=1，设光线L 所在地直线地方程是：y-3=k(x+3)（其中斜率k 待定），由题意知k ≠0，则L 地反射点地坐标是（-3(1)k k +，0），因为光线地入射角等于反射角，所以反射光线L '所在直线地方程为y= -k(x+3(1)k k+)，即y+kx+3(1+k)=0.这条直线与已知圆相切，故圆心到直线地距离为1，即以下同解法一21（15分）解：（1）过点O 做OG AB ⊥于G ，连结OA ，当α=1350时，直线AB 地斜率为-1，故直线AB 地方程x+y-1=0，∴OG=d=222100=-+， …………2分又∵r=22,∴OA ===2AB OA = …………5分（2）当弦AB 被P 平分时，OP AB ⊥，此时K OP =21-， ∴AB 地点斜式方程为0521212=+-+=-y x x y ），即（. …………10分（3）设AB 地中点为(,)M x y ，AB 地斜率为K ，OM AB ⊥，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-x k y x k y 112）（, 消去K ，得：0222=+-+x y y x ，当AB 地斜率K 不存在时也成立，故过点P 地弦地中点地轨迹方程为：0222=+-+x y y x . …………15分版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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(常考题)北师大版高中数学必修二第二章《解析几何初步》测试题(含答案解析)(4)

一、选择题1．已知直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，且10ax by ++=在y 轴上的截距为13，则+a b 的值为（） A ．7-B ．1-C ．1D ．72．已知圆22:(3)(4)4C x x -+-=和两点(,0)A m -，(,0)(0)B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的取值范围是（） A ．[5,9]B ．[4,8]C ．[3,7]D ．[2,6]3．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（）A ．2B ．4C ．7D ．94．已知12,F F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任意一点，过一焦点引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则动点Q 的轨迹为（ ▲ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．直线l 经过()2,1A ，()23,B t ，(t ≤点，则直线l 倾斜角的取值范围是（） A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．0,C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD ．30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（） A ．43-B ．54-C ．35D ．53-7．已知AB 是平面α外的一条直线，则下列命题中真命题的个数是（） ①在α内存在无数多条直线与直线AB 平行； ②在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直； ③在α内存在无数多条直线与直线AB 异面； ④一定存在过AB 且与α垂直的平面β. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．大摆锤是一种大型游乐设备(如图)，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.假设小明坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.设4OB AB =，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（）A ．点A 在某个定球面上运动；B ．β与水平地面所成锐角记为θ，直线OB 与水平地面所成角记为δ，则θδ+为定值；C ．可能在某个时刻，AB //α；D ．直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为1717. 9．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120224BAC AP AB AC ∠====，，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（） A ．18πB ．36πC ．40πD ．72π10．已知正三棱柱111ABC A B C -，的体积为163，底面积为43，则三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为（）A ．1123π B ．563π C ．2243π D ．28π11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π12．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD =，12AA =，点E 为11C D的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（） A ．3-B ．3-C ．3 D ．3 二、填空题13．已知直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行，则直线1l ，2l 之间的距离为__________.14．已知直线():0l x ay a R +=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的一条对称轴，过点()1,P a -的直线m 与圆C 交于,A B 两点，且AB 4=，则直线m 的斜率为____.15．已知点(1,0),(3,0)M N .若直线:0l x y m +-=上存在一点P 使得0PM PN ⋅=成立，则m 的取值范围是_____________.16．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．17．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.18．已知A 是直角坐标平面内一定点，点(0,0)O ，若圆22()(–12)3x y -+=上任意一点M 到定点A 与点(0,0)O 的距离之比是一个定值λ，则这个定值λ的大小是________． 19．在边长为3的菱形ABCD 中，对角线3AC =，将三角形ABC 沿AC 折起，使得二面角B AC D --的大小为2π，则三棱锥B ACD -外接球的体积是_________________．20．如图所示，Rt A B C '''∆为水平放置的ABC ∆的直观图，其中AC B C ''''⊥，2B O O C ''''==，则ABC ∆的面积是________________.21．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,22ACB AC BC A B CC ∠=︒====11AA B B ⊥平面ABC ，则该三棱台外接球的表面积为___________.22．二面角a αβ--的大小为135A AE a E α︒∈⊥，，，为垂足，,B BF a F β∈⊥，为垂足，2,31AE BF EF P ===，，是棱上动点，则AP PB +的最小值为_______． 23．已知扇形的面积为56π，圆心角为6π，则由该扇形围成的圆锥的外接球的表面积为_________．24．如图，已知正四面体P ABC -的棱长为2，动点M 在四面体侧面PAC 上运动，并且总保持MB PA ⊥，则动点M 的轨迹的长度为__________.三、解答题25．如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，11,2AB AA ==，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）求异面直线1BD 与1CC 的距离；（2）求直线1BD 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）求点F 到平面BDE 的距离．26．如图1，在梯形ABCD 中，//BC AD ，4=AD ，1BC =，45ADC ∠=︒，梯形的高为1，M 为AD 的中点，以BM 为折痕将ABM 折起，使点A 到达点N 的位置，且平面NBM ⊥平面BCDM ，连接NC ，ND ，如图2.（1）证明：平面NMC ⊥平面NCD ；（2）求图2中平面NBM 与平面NCD 所成锐二面角的余弦值. 27．如图，AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点.（1）证明：BC ⊥面PAC ；（2）若PA =AC =1，AB =2，求直线PB 与平面PAC 所成角的正切值.28．在四棱台1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，90ACD ∠=︒，26BC ==，1CD =，1AM CC ⊥，垂足为M .（1）证明：平面ABM ⊥平面11CDD C ；（2）若二面角B AM D --正弦值为217，求直线AC 与平面11CDD C 所成角的余弦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【详解】分析：根据两条直线平行，得到,a b 的等量关系，根据直线在y 轴上的截距，可得b 所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.详解：因为直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，所以43b a =，又直线10ax by ++=在y 轴上的截距为13，所以1103b +=，解得3b =-，所以4a =-，所以7a b +=-，故选A.点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y 轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.2．C解析：C 【分析】设点P 的坐标为(),x y ，可得出点P 的轨迹方程为222x y m +=，进而可知圆222x y m +=与圆C 有公共点，可得出关于正数m 的不等式，由此可求得正数m 的取值范围. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，90APB ∠=，且坐标原点O 为AB 的中点，所以，12OP AB m ==，则点P 的轨迹方程为222x y m +=，由题意可知，圆222x y m +=与圆C 有公共点，且圆心()3,4C ，半径为2 则22m OC m -≤≤+，即252m m -≤≤+，0m >，解得3m 7≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]3,7. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用圆与圆的位置关系求参数的取值范围，解题的关键在于由90APB ∠=求得点P 的轨迹方程222x y m +=，进而将问题转化为圆222x y m +=与圆C 有公共点问题，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.3．D解析：D 【分析】求出P 点到两圆心的距离，圆1C ：22(1)(1)1x y -++=的圆心(11)E -，，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=的圆心(45)F ，，由()PF R PE r +--为最大值．再求得E 关于x 轴的对应点E '，PF PE -＝PF PE '-FE '≤，由此可得最大值．【详解】圆1C ：22(1)(1)1x y -++=的圆心(11)E -，，半径为r =1，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=的圆心(45)F ，，半径是R =3，要使||||PN PM -最大，需||PN 最大，且||PM 最小，||PN 最大值为3PF +，||PM 的最小值为1PE -，故||||PN PM -最大值是(3)(1)4PF PE PF PE +--=-+，(45)F ，关于x 轴的对称点(45)F '-，，5PF PE PF PE EF -=-≤='='，故4PF PE -+的最大值为549+=，故选：D . 【点睛】结论点睛：设P 是圆C 外一点，圆C 半径为r ，则P 到圆上点的距离的最大值为PC r +，最小值为PC r -，直线PC 与圆的两个交点为最大值点和最小值点．4．A解析：A 【详解】不妨设过焦点1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，延长F 1Q 交F 2P 与M 点,连OQ ，则21211()=22OQ F M F P PF a ==+,所以动点Q 的轨迹为圆，选A. 5．A解析：A 【分析】求出斜率的取值范围，然后可得倾斜角的范围．【详解】由已知直线的斜率为221132t k t -==--，∵t ≤≤11k -≤≤，记直线l 的倾斜角为θ,[)0,θπ∈，即1tan 1θ-≤≤，所以3[0,][,)44ππθπ∈．故选：A ．【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，直线的倾斜角的范围是[0,]π，斜率为正时，倾斜角为锐角，斜率为负时，倾斜角为钝角，因此一般要分类讨论．6．A解析：A 【分析】化圆C 的方程为22(4)1x y -+=，求出圆心与半径，由题意，只需22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点即可．【详解】解：圆C 的方程为228150x y x +-+=，整理得：22(4)1x y -+=，即圆C 是以(4,0)为圆心，1为半径的圆；又直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆22:(4)4C x y '-+=与直线2y kx =+有公共点即可．设圆心(4,0)C 到直线2y kx =+的距离为d ，则2d =，即234k k -，403k ∴-． k ∴的最小值是43-．故选：A ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．7．C解析：C 【分析】根据线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义即可判断．【详解】对于A ，若直线AB 与平面α相交，则在α内不存在直线与直线AB 平行，错误；对于B ，若直线AB 与平面α相交且不垂直，设AB M α=，过平面α外直线AB 上一点P 作PC α⊥，垂足为C ，则在平面α内过点C 一定可以作一条直线CD ，使得CD CM ⊥，所以CD AB ⊥，而在平面α内，与直线CD 平行的直线有无数条，所以在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，若直线AB 与平面α垂直，显然在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，当直线AB 与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，正确；对于C ，若直线AB 与平面α相交，设AB M α=，根据异面直线的判定定理，在平面α内，不过点M 的直线与直线AB 异面，所以在α内存在无数多条直线与直线AB 异面，当直线AB 与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB 异面，正确；对于D ，若直线AB 与平面α相交且不垂直，设AB M α=，过平面α外直线AB 上一点P 作PC α⊥，垂足为C ，所以平面ABC 与平面α垂直，若直线AB 与平面α垂直，则过直线AB 的所有平面都与平面α垂直，当直线AB 与平面α平行时，在直线AB 上取一点P 作PC α⊥，垂足为C ，所以平面ABC 与平面α垂直，正确．故真命题的个数是3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义的理解和应用，熟记定义，定理和有关结论是解题的关键，属于中档题．8．C解析：C 【分析】利用已知条件确定OA 是定值，即得A 选项正确；作模型的简图，即得B 正确；依题意点B 在平面α内，不可能AB //α，得C 错误；设AB a ，结合题意知ABα⊥时，直线OA与平面α所成角最大，计算此时正弦值，即得D 正确.【详解】因为点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，所OA =又因为OB ，AB 为定值，所以OA 也是定值，所以点A 在某个定球面上运动，故A 正确；作出简图如下，OB l ⊥，所以2πδθ+=，故B 正确；因为B α∈，所以不可能有AB //α，故C 不正确；设ABa ，则4OB a =，2217OA AB OB a =+=，当AB α⊥时，直线OA 与平面α所成角最大，此时直线OA 与平面α所成角的正弦值为1717a=，故D 正确. 故选:C. 【点睛】本题解题关键在于认真读题、通过直观想象，以实际问题为背景构建立体几何关系，再运用立体几何知识突破难点.9．D解析：D 【分析】先找出ABC 的外接圆的半径，然后取ABC 的外接圆的圆心N ，过N 作平面ABC 的垂线NG ，作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心， OA 为外接球半径，求解半径并求表面积即可. 【详解】如图所示，1204BAC AB AC ∠===，，取BC 中点M ，连接AM 并延长到N 使AM =MN ，则四边形ABNC 是两个等边三角形组成的菱形，AN =BN =CN ，点N 是ABC 的外接圆圆心，过N 作平面ABC 的垂线NG ，则球心一定在垂线NG 上，因为PA ⊥平面ABC ，则PA //NG ，PA 与NG 共面，在面内作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心，半径R =OA ，Rt AON 中，122ON AP ==4AN =，故()224232R =+2441872S R πππ==⨯=.【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.本题使用了定义法.10．A解析：A 【分析】由面积和体积可得三棱柱的底面边长和高，根据特征可知外接球的球心为上下底面中心连线的中点，再由勾股定理可得半径及球的表面积. 【详解】依题意，1163443AA ==，而213sin 4324ABCS AB AC A AB =⨯⨯==，解得4AB =，记ABC 的中心为О，111A B C △的中心为О1，则114O A O A ==，取1OO 的中点D ，因为AO CO =，90AOD COD ∠=∠=，由勾股定理得AD CD =，同理可得111AD BD A D B D C D ====，所以正三棱柱的外接球的球心为即D ，AD 为外接球的半径，由正弦定理得432sin 603AB AO ==，故2221628433A O D D O A =+=+=，故三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积2281124433S R πππ==⨯=，故选：A ．本题考查了正三棱柱外接球的表面积的求法，关键点是确定球心的位置和球的半径的长度，考查了学生的空间想象力和计算能力.11．C解析：C 【分析】由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积．【详解】由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DC PC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==，表面积为2414S ππ=⨯=．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．12．C解析：C 【分析】取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，可证EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角，通过计算可得结果.【详解】取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，因为,E F 分别为1111,C D A B 的中点，所以11//EF A D ，在长方体1111ABCD A BC D -中，因为11A D ⊥平面11ABB A ，所以EF ⊥平面11ABB A ，因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以1EF A B ⊥，因为1FG A B ⊥，且FGEF F =，所以1A B ⊥平面EFG ，因为EG ⊂平面EFG ，所以1A B EG ⊥，所以EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角，因为12AB AA ==，所以14FA G π∠=，因为11A F =，所以12222FG A F ==，在直角三角形EFG 中，221612EG EF FG =+=+=，所以cos FGEGF EG ∠==2326=. 所以二面角11B A B E --3. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据二面角的定义作出其中一个平面角是解题关键.二、填空题13．【分析】利用直线平行与斜率之间的关系点到直线的距离公式即可得出【详解】解：因为直线与直线平行所以解得当时则故答案为：【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系点到直线的距离公式是解题关键 5 【分析】利用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出．【详解】解：因为直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行，所以22(1)b =⨯-，解得1b =-，当1b =-时，1:220l x y -+=，2:210l x y -+=，则d ==【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式，是解题关键．14．1【分析】由直线是圆的一条对称轴得到直线过圆心求得得到再根据得到点的直线必过圆心利用斜率公式即可求解【详解】由题意圆的圆心坐标半径为因为直线是圆的一条对称轴则直线过圆心即解得此时点又由直线与圆交于两解析：1 【分析】由直线l 是圆C 的一条对称轴，得到直线l 过圆心，求得2a =-，得到(1,2)P --，再根据4AB =，得到点P 的直线必过圆心(2,1)C ，利用斜率公式，即可求解.【详解】由题意，圆22:4210C x y x y +--+=的圆心坐标(2,1)C ，半径为2r，因为直线():0l x ay a R +=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的一条对称轴，则直线l 过圆心(2,1)C ，即210a +⨯=，解得2a =-，此时点(1,2)P --，又由直线m 与圆C 交于,A B 两点，且4AB =，可得过点P 的直线必过圆心(2,1)C ，所以直线m 的斜率为1(2)12(1)k --==--.故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15．【分析】根据可确定点轨迹为以为圆心为半径的圆利用直线与圆有交点可知由此构造不等式求得结果【详解】点轨迹是以为圆心为半径的圆上存在点与以为圆心为半径的圆有交点圆心到直线距离解得：即的取值范围为：故答案解析：[2【分析】根据PM PN ⊥可确定P 点轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的圆，利用直线l 与圆有交点可知d r ≤，由此构造不等式求得结果. 【详解】0PM PN ⋅=，PM PN ∴⊥，P ∴点轨迹是以()2,0为圆心，1为半径的圆.:0l x y m +-=上存在点P ，l ∴与以()2,0为圆心，1为半径的圆有交点，∴圆心()2,0到直线l 距离1d =≤，解得：22m ≤≤即m 的取值范围为：2⎡⎣.故答案为：2⎡+⎣.【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题；关键是能够根据平面向量数量积得到垂直关系，进而确定动点轨迹，从而将问题转化为直线与圆位置关系的求解问题.16．【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结合思想以【分析】先确定D 轨迹，再根据射线上点与圆的位置关系求最值，即得结果. 【详解】2222222(1)1,111,y x c a a c a a =+∴=--=∴=-，所以D 为以(1,0)F -为圆心，1a +为半径的圆及其内部，设射线()02x y x =≥－的端点为(2,2)A ，所以PQ 的最小值为||(1),12,AF a a a a -+===【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系，考查数形结合思想以及基本分析求解能力，属中档题.17．【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】本题考查【分析】将y y =，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则y AC BC ==+即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值；【详解】解：()22222291041354y x x x x x =++-+=++-+，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，()22153474BA =+--=min 74y ∴=故答案为：74【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题.18．【分析】设按距离之比为定值求出点的轨迹方程它就是方程比较后可得【详解】设则整理得：易知方程化为已知圆的一般式方程为所以解得故答案为：【点睛】本题考查平面轨迹方程解题时由点到两点距离之比为常数求出的轨 15【分析】设(,)A m n ，(,)M x y ，按距离之比为定值求出M 点的轨迹方程，它就是方程22()(–12)3x y -+=，比较后可得λ．【详解】设(,)A m n ，(,)M x y，则MA MOλ==，整理得：222222(1)(1)220x y mx ny m n λλ-+---++=，易知210λ-≠，方程化为2222222220111m n m n x y x y λλλ++--+=---，已知圆22()(–12)3x y -+=的一般式方程为222420x y x y +--+=，所以2222222124121mn m n λλλ⎧=⎪-⎪⎪=⎨-⎪⎪+=⎪-⎩，解得25455m n λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查平面轨迹方程，解题时由M 点到,A O 两点距离之比为常数λ，求出M 的轨迹方程，它就是已知圆，比较系数可得结论．19．；【分析】分析菱形的特点结合其翻折的程度判断其外接球球心的位置放到相应三角形中利用勾股定理求得半径利用球的体积公式求得外接球的体积【详解】根据题意画出图形根据长为的菱形中对角线所以和都是正三角形又因；【分析】分析菱形的特点，结合其翻折的程度，判断其外接球球心的位置，放到相应三角形中，利用勾股定理求得半径，利用球的体积公式求得外接球的体积. 【详解】根据题意，画出图形，3ABCD 中，对角线3AC = 所以ABC 和DBC △都是正三角形，又因为二面角B AC D --的大小为2π，所以分别从两个正三角形的中心做面的垂线，交于O ，则O 是棱锥B ACD -外接球的球心，且11,2GD OG GE ===，所以球的半径225R GD OG =+=，所以其体积为3344555(3326V R ππ==⋅=，故答案为：556π. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关几何体外接球的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，判断菱形的特征，得到两个三角形的形状；（2）根据直二面角，得到两面垂直，近一倍可以确定其外接球的球心所在的位置；（3）利用勾股定理求得半径；（4）利用球的体积公式求得结果；（5）要熟知常见几何体的外接球的半径的求解方法.20．【分析】根据直观图和原图的之间的关系由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形直接求解其面积即可【详解】由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形则有所以故答案为：【点睛】关键点点睛：根解析：82【分析】根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形，直接求解其面积即可．【详解】由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形,则有2BO OC B O O C ''''====，242AO A O ''==所以114428222ABCSBC AO =⋅=⨯⨯=故答案为：82【点睛】关键点点睛：根据斜二测画法的规则，可得出三角形的直观图，并求出对应边长，根据面积公式求解．21．【分析】取与中点根据平面平面可知平面球心必在直线上设球心为D 则可求得球心恰好为点O 从而求得外接球的半径代入球的表面积公式计算【详解】在三棱台中可得都是等腰三角形四边形为等腰梯形即如图取与中点连接则可解析：32π【分析】取AB 与11A B 中点,O O '，根据平面11AA B B ⊥平面ABC ，可知'⊥O O 平面ABC ，球心必在直线O O '上，设球心为D ，则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+，可求得球心恰好为点O ，从而求得外接球的半径R ，代入球的表面积公式计算. 【详解】在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,22ACB AC BC A B CC ∠=︒====111,A A C C B B 都是等腰三角形，11112AC B C ==，四边形11A ABB 为等腰梯形即11AA BB =，如图，取AB 与11A B 中点,O O '，连接1,,CO OO C O ''，则可得122,2CO C O '=，O O AB '⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，两面交线为AB ，所以'⊥O O 平面ABC .因为OA OB OC ==,111O A O BO C '''==,面//ABC 面111A B C , 所以球心必在直线O O '上.所以在直角梯形1C O OC '中可求得6O O '=由题意可知，该三棱台外接球的外接球的球心必在直线O O '上，设球的半径为R ，球心为D ，则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+，得6O D '=O ，所以球的半径为2224(22)32ππ=.故答案为：32π【点睛】方法点睛：定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助面面垂直的性质，找到线面垂直，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.22．【分析】首先将二面角展平根据两点距离线段最短求最小值【详解】如图将二面角沿棱展成平角连结根据两点之间线段最短可知就是的最小值以为邻边作矩形由可知三点共线则故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查立体几何解析：26【分析】首先将二面角展平，根据两点距离线段最短，求AP PB +最小值. 【详解】如图，将二面角沿棱a 展成平角，连结AB ，根据两点之间线段最短，可知AB 就是AP PB +的最小值，以,AE EF 为邻边，作矩形AEFC ，由,CF a BF a ⊥⊥可知,,C F B 三点共线，则()222213226AB AC BC =+=++=26【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的折线段和的最小值，一般都是沿交线展成平面，利用折线段中，两点间距离最短求解，本题与二面角的大小无关.23．【分析】由扇形的面积及圆心角可得扇形的半径再由扇形的弧长等于圆锥的底面周长可得底面半径再由外接球的半径与圆锥的高和底面半径的关系求出外接球的半径进而求出球的表面积【详解】设扇形的长为l 半径为R 则解得解析：36π【分析】由扇形的面积及圆心角可得扇形的半径，再由扇形的弧长等于圆锥的底面周长可得底面半径，再由外接球的半径与圆锥的高和底面半径的关系求出外接球的半径，进而求出球的表面积.【详解】设扇形的长为l ，半径为R ，则22111656222S lR R R παπ===⨯=，解得30R =，扇形弧长l 为锥底面周长2r π，∴底面的半径5r =，∴圆锥的高为225R r -=．设外接球的半径为1R ，∴()222115(5)R R =-+，解得13R =， ∴该外接球的表面积为21436R ππ=，故答案为：36π.【点睛】本题考查扇形的弧长与圆锥的底面周长的关系及外接球的半径和圆锥的高及底面半径的关系，和球的表面积公式的应用，属于中档题. 24．【分析】取PA 的中点E 连接EBEC 推出PA ⊥平面BCE 故点M 的轨迹为线段CE 解出即可【详解】取PA 的中点E 连接EBEC 因为几何体是正四面体P ﹣ABC 所以BE ⊥PAEC ⊥PAEB∩EC ＝E ∴PA ⊥平面解析：3【分析】取PA 的中点E ，连接EB ，EC ，推出PA ⊥平面BCE ，故点M 的轨迹为线段CE ，解出即可．【详解】取PA 的中点E ，连接EB ，EC ，因为几何体是正四面体P ﹣ABC ，所以BE ⊥PA ，EC ⊥PA ，EB ∩EC ＝E ，∴PA ⊥平面BCE ，且动点M 在正四面体侧面PAC 上运动，总保持MB PA ⊥，∴点M 的轨迹为线段CE ，正四面体P ﹣ABC 的棱长为2，在等边三角形PAC 中求得CE ＝3232⨯=. 故答案为：3【点睛】本题考查了正四面体的性质和线面垂直与线线垂直的判定，判断轨迹是解题的关键，属于中档题．三、解答题25．（12；（3 【分析】（1）取BD 中点G ，连接GC ，FG ，根据线面垂直的判定定理及性质，先证明EF 为1BD 与1CC 的公垂线，再由题中数据，计算出EF 的长，即可得出结果；（2）连接1ED ，由（1）得到EF ⊥平面1BDD ，设1D 到平面BDE 的距离为d ，根据等体积法，由11E DBD D DBE V V --=求出d ，记直线1BD 与平面BDE 所成角为θ，由1sin d BD θ=即可得出结果；（3）由（2）得到1D 到平面BDE 的距离d ，根据题中条件，得到F 到平面BDE 的距离为2d ，即可得出结果. 【详解】（1）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，取BD 中点G ，连接GC ，FG ，∵F ，G 分别为1,BD BD 的中点，∴1//FG D D 且112FG D D =，又1//CE D D ，112CE D D =，所以//FG CE 且FG CE =，则四边形EFGC 为平行四边形，又CE ⊥平面ABCD ，CG ⊂平面ABCD ，∴CE CG ⊥，∴四边形EFGC 为矩形，∴1EF CC ⊥，∵11//D D C C ，∴1EF DD ⊥，又CG BD ⊥，//EF CG ，BD ⊂平面1BDD ，1D D ⊂平面1BDD ，1BD D D D ⋂=， ∴EF ⊥平面1BDD ，又1BD ⊂平面1BDD ，∴1EF BD ⊥，∴EF 为1BD 与1CC 的公垂线，且1E CC ⊂，1F BD ⊂，∴异面直线1BD 与1CC 的距离为||2EF =．（2）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，连接1ED ，则11E DBD D DBE V V --=，由（1）知EF ⊥平面1BDD ，设1D 到平面BDE 的距离为d ，∵12AA =，1AB =，∴BD BE ED ===EF =1BD =∴1122DBD S ==212DBE S =⨯=从而1DBE DBD S d S EF ⨯=⨯，∴2223233d⨯==，记直线1BD 与平面BDE 所成角为θ，则12323sin 6d BD θ===， ∴直线1BD 与平面BDE 所成角的正弦值为23．（3）由（2）知，1D 到平面BDE 的距离23d =，∵F 是1BD 的中点，且B ∈平面BDE ，∴F 到平面BDE 的距离为32d =．【点睛】方法点睛：立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.26．（1）证明见解析；（23 【分析】(1)用分析法：要证平面NMC ⊥平面NCD ，只需证明CD ⊥平面NMC ，只需CM CD ⊥和NM CD ⊥；。

高中北师大版数学必修2：第2章单元测试四

单元测试四本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系是()A．相离B．外切C．相交D．内切★答案☆：C解析：⊙O1：(x－1)2＋y2＝1，⊙O2：x2＋(y＋2)2＝4，|O1O2|＝5<1＋2＝3.2．已知直线l与直线y＝x＋1垂直，且与圆x2＋y2＝1相切，切点位于第一象限，则直线l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋2＝0★答案☆：A解析：由题意设直线l的方程为x＋y＋c＝0(c<0)．圆心(0,0)到直线x＋y＋c＝0的距离为|c|2＝1，得c＝－2或2(舍去)，即直线l的方程为x＋y－2＝0.3．直线l：(k＋1)x－ky－1＝0(k∈R)与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是() A．相交B．相切C．相离D．相交或相切★答案☆：D解析：∵直线l：k(x－y)＋(x－1)＝0过定点(1,1)，且点(1,1)在圆上，∴直线l与圆至少有一个公共点，∴l与圆相切或相交．4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1★答案☆：A解析：考查圆的方程的求法．∵圆心在y轴上，且半径为1，∴可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，又∵过(1,2)点，∴有12＋(2－b)2＝1，∴b＝2，∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.5．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k＝()A．0 B．1C．2 D．3★答案☆：A解析：解法一：将两方程联立消去y，得(k2＋1)x2＋2kx－9＝0，由题意此方程两根之和为0，故k＝0.解法二：直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，所以圆心在y轴上，因此k＝0.6．两圆相交于点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为( )A ．－1B ．2C ．3D ．0★答案☆：C解析：据题意知，直线AB 与直线l ：x －y ＋c ＝0垂直．∴k AB ·k l ＝3－(－1)1－m×1＝－1，解得m ＝5.又∵点A (1,3)，B (5，－1)到直线x －y ＋c ＝0的距离相等，∴|1－3＋c |2＝|5－(－1)＋c |2，解得c ＝－2，(或由A (1,3)，B (5，－1)的中点坐标为M (3,1)，而M (3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，可知c ＝－2)∴m ＋c ＝5－2＝3.7．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥2 3，则k 的取值范围是( )A ．[－34，0] B ．(－∞，－34]∪[0，＋∞) C ．[－ 33， 33] D ．[－23，0] ★答案☆：A解析：圆心(3,2)到直线的距离d ＝|3k ＋1| k 2＋1，则|MN |＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋1|k 2＋12 ＝2 －5k 2－6k ＋3k 2＋1≥2 3，解得－34≤k ≤0，故选A. 8．圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8上与直线x ＋y ＋1＝0的距离等于 2的点共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个★答案☆：C解析：圆心到直线的距离d ＝||－1－2＋12＝ 2，r ＝2 2，所以直线与圆相交．又r －d ＝ 2，所以劣弧上到直线的距离等于 2的点只有1个，在优弧上到直线距离等于 2的点有2个．9．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．5 2 B ．10 2C ．15 2D ．20 2★答案☆：B解析：本题主要考查圆的弦的性质．由圆的弦的性质可知，最长弦为过点E 的直径，最短弦为过点E 且与直径垂直的弦， ∴|AC |＝2 10，|BD |＝2 10－5＝2 5，∴S ABCD ＝12|AC |·|BD |＝10 2，∴选B. 10．当曲线y ＝1＋ 4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是( )A ．(512，＋∞)B ．(512，34] C ．(0，512) D ．(13，34) ★答案☆：B解析：曲线表示半圆，而直线恒过点(2,4)，画出示意图即可．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把★答案☆填在题中横线上．11．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线l ：3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. ★答案☆：3解析：∵圆心C 的坐标为(1,2)，∴d ＝|3×1＋4×2＋4| 32＋42＝3. 12．若直线y ＝x ＋t 被圆x 2＋y 2＝8截得的弦长不大于423，则实数t 的取值范围为________．★答案☆：⎝⎛⎦⎤－4，－823∪⎣⎡⎭⎫823，4 解析：设圆的半径为r ，直线被圆截得的弦长为l .圆心(0,0)到直线y ＝x ＋t 的距离d ＝|t |2.由题意，得d <r ＝22，所以－4<t <4.又⎝⎛⎭⎫l 22＋d 2＝r 2＝8，则l 2＝32－2t 2≤⎝⎛⎭⎫4232，所以t ≤－823或t ≥823，结合－4<t <4，可知－4<t ≤－823或823≤t <4. 13．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.★答案☆：22解析：由已知，得当直线l 与过圆心(2,0)和点(1，2)的直线垂直时，直线l 截圆所得的劣弧最短，此时劣弧所对的圆心角最小，可求得k ＝22. 14．由直线y ＝x ＋1上一点P 向圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，切点为Q ，则|PQ |的最小值为________．★答案☆：7解析：将圆C 的方程化为标准方程，得(x －3)2＋y 2＝1.设P (x 0，y 0)，则|PQ |＝|PC |2－12＝(x 0－3)2＋y 20－1＝2x 20－4x 0＋9＝2(x 0－1)2＋7≥7，故|PQ |min ＝7.15．将直线x ＋y ＝1先绕点(1,0)顺时针旋转90°，再向上平移1个单位后，与圆x 2＋(y －1)2＝r 2相切，则半径r ＝________.★答案☆：22解析：x ＋y ＝1――→绕(1，0)转90°y ＝x －1――→向上平移1个单位y ＝x .已知圆心为(0,1)，∴r ＝12＝22. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(13分)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程．解：解法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径 r ＝|MP |＝ (2－0)2＋(0－2)2＝2 2，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.解法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2.依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2. 所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.17．(13分)已知点P (0,5)，圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦AB 的长为43，求l 的方程．解：由题意，知C (－2,6)，圆C 的半径为4.如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则D 是AB 的中点．由题意，知|AB |＝43，|AC |＝4，|AD |＝23，在Rt △ADC 中，可得|CD |＝2.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点到直线的距离公式，得|－2k －6＋5|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝34. 此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.当直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时直线l 的方程为x ＝0.所以直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0.18．(13分)已知圆M 过点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 的面积S 的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2a ＋b －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1r 2＝4，故圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题意，S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |. 又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |.而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此，要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值．又|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以S min ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.19．(13分)为适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 向正东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ，从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8. 作直线l 与直线BC 平行，当l 与圆O 相切时，距BC 较近的一条切线与圆的切点即为满足题意的点D ，当DE ⊥BC 时，DE 最短，最短距离为|0＋0－8|2－1＝(42－1)(km)． 20．(14分)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2,3)．(1)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求直线PQ 的方程；(2)若M 是圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值；(3)若点N (a ，b )满足关系a 2＋b 2－4a －14b ＋45＝0，求u ＝b －3a ＋2的最大值和最小值．解：将圆C 的方程变形，得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 为(2,7)．(1)因为点P (m ，m ＋1)在圆C 上，所以将点P 的坐标代入圆C 的方程，得(m －2)2＋(m ＋1－7)2＝8，解得m ＝4.∴点P 的坐标为(4,5)，∴经过P 、Q 两点的直线方程为y －5＝5－34－(－2)(x －4)，即x －3y ＋11＝0. (2)经过Q 、C 两点的直线方程为y －3＝7－32－(－2)[x －(－2)]，即y ＝x ＋5. M 是圆C 上任一点，要使点M 到点Q 的距离达到最大或最小，点M 必是直线QC 与圆C 的交点，因此解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋5，(x －2)2＋(y －7)2＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝9. 所以，得到M ′(0,5)，M ″(4,9)．故|MQ |min ＝|M ′Q |＝ (0＋2)2＋(5－3)2＝2 2，|MQ |max ＝|M ″Q |＝(4＋2)2＋(9－3)2＝6 2.(3)由题意可得，点N 在圆C 上，因此求u 的最大值与最小值，就是求直线NQ 的斜率的最大值与最小值，也就是求过点Q ，且与圆C 相切的直线的斜率．设直线NQ 的斜率为k ，则直线NQ 的方程为：y ＝kx ＋2k ＋3，将y ＝kx ＋2k ＋3代入圆C 的方程，并化简得(1＋k 2)x 2＋(4k 2－8k －4)x ＋4k 2－16k ＋12＝0，令Δ＝(4k 2－8k －4)2－4(1＋k 2)(4k 2－16k ＋12)＝0，解得k ＝2± 3，所以u max ＝2＋ 3，u min ＝2－ 3.21．(14分)设平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .求：(1)实数b 的取值范围；(2)圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．解：(1)令x ＝0，得二次函数与y 轴交点是(0，b )；令f (x )＝0，得x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0且Δ>0，解得b <1且b ≠0.(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b . 令x ＝0得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝－b －1.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 必过定点(0,1)和(－2,1)．证明如下：将(0,1)代入圆C 的方程，左边＝02＋12＋2×0－(b ＋1)＋b ＝0，右边＝0.所以圆C 必过定点(0,1)．同理可证圆C 必过定点(－2,1)．。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(答案解析)(2)

一、选择题1．已知函数2(1),10()01x x f x x ⎧+-≤≤⎪=<≤则11()d f x x -=⎰（） A ．3812π- B ．4312π+ C ．44π+ D ．4312π-+ 2．计算211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（）A ．34B ．3ln 22+ C ．55ln 22+ D ．3ln 2+3．0xdx +=( )A ．2π B ．12π+ C ．4π D ．π4．若函数()31f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ) A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 5．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π-6．设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是（）A ．240B ．240-C ．60-D ．607．曲线22y x x =-与直线11x x =-=，以及x 轴所围图形的面积为（） A ．2 B ．83 C ．43 D ．238．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（） A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰9．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（）A ．163B ．83C ．43D ．2310．设曲线e x y x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e --B ．2e 2e 4e -C ．2e e 14e --D ．2e 14e-11．定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积（）A ．12ln 26+ B ．12ln 24+ C ．1ln 24+ D ．1ln 26+ 12．已知11e m dx x=⎰，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（） A ．1a < B ．10a -<< C ．1a >或0a <D ．01a <<或0a <二、填空题13．02114edx x dx x-+-=⎰⎰______________.14．若2211S x dx =⎰，2211S dx x =⎰，231x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___．15．设函数2y nx n =-+和1122y x n =-+（*n N ∈，2n ≥）的图像与两坐标轴围成的封闭图形的面积为n S ，则lim n n S →∞=________ 16．()12012x x dx -=⎰__________．17．计算()32sin x x dx π+⎰＝_________________．18．已知函数()xxf x e =，在下列命题中，其中正确命题的序号是_________. （1）曲线()y f x =必存在一条与x 轴平行的切线；（2）函数()y f x =有且仅有一个极大值，没有极小值；（3）若方程()0f x a -=有两个不同的实根，则a 的取值范围是1()e-∞，；（4）对任意的x ∈R ,不等式1()2f x <恒成立；（5）若1(0,]2a e∈，则12,x x R +∃∈,可以使不等式()f x a ≥的解集恰为12[,]x x ； 19．二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．20．π4cos xdx =⎰______．三、解答题21．已知函数31()ln 2f x x ax x =--()a R ∈.（1）若()f x 在(1,2)上存在极值，求(1)f 的取值范围；（2）当0x >时，()0f x <恒成立，比较a e 与232a e+的大小. 22．已知函数()()2log 3a f x x =-++（0a >且1a ≠），()112x g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）函数()y f x =的图象恒过定点A ，求A 点坐标；（2）若函数()()()F x f x g x =-的图象过点()1,5--，证明：方程()0F x =在()1,5x ∈上有唯一解.23．如图计算由直线y ＝6－x ，曲线8y x =以及x 轴所围图形的面积．24．已知函数()121f x x x a =+--+ （1）当0a =时，解不等式()0f x ≥；（2）若二次函数2814y x x =-+-的图象在函数()y f x = 的图象下方，求a 的取值范围·25．已知函数()x ae f x x x=+．（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值 26．已知()ln f x x x mx =+，2()3g x x ax =-+-（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若当0m =时，对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据积分的性质将所求积分化为()0211x dx -++⎰⎰，根据微积分基本定理和定积分的求法可求得结果. 【详解】()()22321100011112100101111333x dx x x dx x x x --+=++=++=++-++=---⎰⎰，0⎰表示以原点为圆心，1为半径的圆在第一象限中的部分的面积，4π∴=⎰，()()121114313412f x dx x dx ππ--+∴=++=+=⎰⎰⎰.故选：B . 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的性质、微积分基本定理和定积分的求解等知识，属于基础题.2．B解析：B 【分析】根据牛顿莱布尼茨公式，即可代值求解. 【详解】根据牛顿莱布尼茨公式211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰2211()2x lnx =+1142122ln ln ⎛⎫=⨯+-+ ⎪⎝⎭ 322ln =+. 故选：B. 【点睛】本题考查牛顿莱布尼茨公式的直接应用，属基础题.3．A解析：A 【分析】分别根据积分的运算法则和几何意义求得两个积分的值，进而得到结果. 【详解】22200112xdx x ==⎰ 2224x dx -⎰表示下图所示的阴影部分的面积S2OA =，2OC =4AOC π∴∠=12221422S ππ∴=⨯-=- 2220241122x dx ππ+-∴=+-=⎰故选：A 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的运算法则和几何意义的应用.4．D【解析】由题意得()22130f x x a x =+-≥'在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即22max 13a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，因为2213y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以2213131334,444y x a x =-<-=≥，选D. 点睛：已知函数单调性求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数单调区间取法，根据单调区间与定义区间包含关系，确定参数值或取值范围；（2）利用导数转化为导函数非正或非负恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.5．A解析：A【解析】由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=，则函数()y f x =是周期为2π的奇函数，画出函数()[],0,2y f x x π=∈的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数(),0,2y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。

北师大版2018-2019学年高中数学必修2全册习题含解析

北师大版高中数学必修二全册同步习题含解析目录第1章立体几何初步 1.1.1习题第1章立体几何初步 1.1.2习题第1章立体几何初步 1.2习题第1章立体几何初步 1.3.1习题第1章立体几何初步 1.3.2习题第1章立体几何初步 1.4.1习题第1章立体几何初步 1.4.2习题第1章立体几何初步 1.5.1.1习题第1章立体几何初步 1.5.1.2习题第1章立体几何初步 1.5.2习题第1章立体几何初步 1.6.1.1习题第1章立体几何初步 1.6.1.2习题第1章立体几何初步 1.6.2习题第1章立体几何初步 1.7.1习题第1章立体几何初步 1.7.2习题第1章立体几何初步 1.7.3习题第1章立体几何初步习题课习题第1章立体几何初步检测习题第2章解析几何初步 2.1.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.2习题第2章解析几何初步 2.1.3习题第2章解析几何初步 2.1.4习题第2章解析几何初步 2.1.5.1习题第2章解析几何初步 2.1.5.2习题第2章解析几何初步 2.2.1习题第2章解析几何初步 2.2.2习题第2章解析几何初步 2.2.3.1习题第2章解析几何初步 2.2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.1-2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.3习题第2章解析几何初步检测习题模块综合检测习题北师大版2018-2019学年高中数学必修2习题01第一章立体几何初步§1简单几何体1.1简单旋转体1.下列说法正确的是()A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心答案:D2.下面左边的几何体是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析:选项B中的图形旋转后为两个共底面的圆锥;选项C中的图形旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体;选项D中的图形旋转后为两个圆锥与一个圆柱的组合体.答案:A3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面一定是圆面,则这个几何体是()A.圆锥B.圆柱C.球D.圆台答案:C4.AB为圆柱下底面内任一不过圆心的弦,过AB和上底面圆心作圆柱的一截面,则这个截面是()A.三角形B.矩形C.梯形D.以上都不对解析:如图所示,由于圆柱的上下底面相互平行,故过AB和上底面圆心作圆柱的一截面与上底面的交线CD 必过上底面圆心,且CD∥AB,在圆柱的侧面上,连接A,C(或B,D)两点的线是曲线,不可能是直线.故这个截面是有两条边平行、另两边是曲线的曲边四边形.故选D.答案:D5.以钝角三角形的较短边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得的几何体是()A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析:如图所示.旋转一周后其他两边形成的几何体为在圆锥AO的底部挖去一个同底的圆锥BO.答案:D6.点O1为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点,过O1与底面平行的截面面积是底面面积的()A.13B.23C.14D.19解析:如图所示,由题意知SO1∶SO=1∶3,∴O1B∶OA=1∶3,∴S☉O1∶S☉O=1∶9,故选D.答案:D7.下列说法中错误的是.①过圆锥顶点的截面是等腰三角形;②过圆台上底面中心的截面是等腰梯形;③圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个.答案:②8.若过轴的截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r,则其轴截面的面积为.解析:由圆锥的结构特征,可知若过轴的截面为直角三角形,则为等腰直角三角形,其斜边上的高为r,所以S=12×2r2=r2.答案:r29.已知圆锥的母线与旋转轴所成的角为30°,母线的长为2,则其底面面积为.解析:如图所示,过圆锥的旋转轴作截面ABC,设圆锥的底面半径为r,底面圆心为O.∵△ABC为等腰三角形,∴△ABO为直角三角形.又∠BAO=30°,∴BO=r=1AB=2.∴底面圆O的面积为S=πr2=π2.答案:π10.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面的半径比是1∶4,母线长是10 cm,求这个圆锥的母线长.分析:处理有关旋转体的问题时,一般要作出其过轴的截面,在这个截面图形中去寻找各元素之间的关系.解:设圆锥的母线长为y cm,圆台上、下底面的半径分别为x cm,4x cm.作圆锥过轴的截面如图所示.在Rt△SOA中,O'A'∥OA,则SA'SA =O'A'OA,即y-10y =x4x,解得y=403.故圆锥的母线长为40cm.11.圆锥的底面半径为r,母线长是底面半径的3倍,在底面圆周上有一点A,求一个动点P自点A出发在侧面上绕一周回到点A的最短路程.解:沿圆锥的母线SA将侧面展开,如图所示.则线段AA1就是所求的最短路程.∵弧A1A的长为2πr,SA=3r,设弧A1A所对的圆心角为α,∴απ·3r=2πr,∴α=120°.∴AA1=SA·cos30°×2=3r×3×2=33r,即所求最短路程是33r.1.2简单多面体1.关于棱柱,下列说法正确的是()A.只有两个面平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行,侧棱也互相平行解析:正方体可以有六个面平行,故选项A错误;长方体并不是所有的棱都相等,故选项B错误;三棱柱的底面是三角形,故选项C错误;由棱柱的概念知,两底面平行,侧棱也互相平行,故选项D正确.答案:D2.一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是()A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥解析:由于正六边形的中心到顶点的距离与边长都相等,故正六棱锥的侧棱长必大于底面边长.答案:D3.棱台不一定具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点解析:由棱台的定义可知,棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥而得到的,所以A,B,D选项都成立,只有选项C不一定成立.答案:C4.下列图形中,不是三棱柱的展开图的是()解析:根据三棱柱的结构特征知,A,B,D中的展开图都可还原为三棱柱,但是C中展开图还原后的几何体没有下底面,故不是三棱柱的展开图.答案:C5.下列说法正确的个数为()①存在斜四棱柱,其底面为正方形;②存在棱锥,其所有面均为直角三角形;③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直;④矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱.A.1B.2C.3D.4解析:①存在斜四棱柱,其底面为正方形,正确.②正确.如图所示.③不正确,圆锥轴截面的顶角小于90°时就不存在.④不正确,矩形绕其对角线所在直线旋转,不能围成圆柱.故答案为B.答案:B6.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥,截得的棱台上、下底面的面积之比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是()A.12 cmB.9 cmC.6 cmD.3 cm解析:棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,则截去的棱锥的高与原棱锥的高的比为1∶2,棱台的高是3cm.答案:D7.有下列四个结论:①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥;②底面是正多边形的棱锥是正棱锥;③三棱锥的所有面可能都是直角三角形;④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形.其中正确的有(填正确结论的序号).答案:③④8.如图所示,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.解析:如图所示,假设以AB边固定进行倾斜,则几何体BB2C2C-AA2D2D一定为棱柱.答案:棱柱9.在侧棱长为23的正三棱锥P−ABC中,∠APB=40°,E,F分别是PB,PC上的点,过点A,E,F作截面AEF,则△AEF周长的最小值是.解析:将正三棱锥的三个侧面展开,如图所示.则当E,F为AA1与PB,PC的交点时,△AEF的周长最小,最小值为2AP·cos30°=2×23×3=6.答案:610.把右图中的三棱台ABC-A1B1C1分成三个三棱锥.解:如图所示,分别连接A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成了三个三棱锥,即三棱锥A-A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.(本题答案不唯一)11.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥.(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.(3)三棱柱.解:(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).★12.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上的一点,且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线的长为设这条最短路线与CC1的交点为N.求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长;(2)求PC和NC的长.解:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为92+42=97.(2)如图所示,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,则点P旋转到点P1的位置,连接MP1交CC1于点N,则MP1的长等于由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线的长.设PC=x,则P1C=x.在Rt△MAP1中,由勾股定理,得(3+x)2+22=29,解得x=2,所以PC=P1C=2,又NCMA =P1CP1A=25,所以NC=45.§2直观图1.关于用斜二测画法所得的直观图,以下说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析:根据斜二测画法的规则知,正方形的直观图为平行四边形.答案:B2.水平放置的△ABC,有一条边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形解析:根据斜二测画法的规则,可知△ABC中有一个角是钝角,所以△ABC是钝角三角形.答案:C3.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是()答案:C4.对于一条边在x轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的()A.2倍B.2C.2D.1解析:由于平行于y轴的线段其平行性不变,长度变为原来的一半,又直观图中∠x'O'y'=45°,设原三角形的面积为S,其直观图的面积为S',则S'=1×2S=2S.答案:B5.一个水平放置的三角形的直观图是等腰直角三角形A'B'O',如图所示,若O'B'=1,那么原△ABO的面积是()A.12B.22C.2D.22解析:由斜二测画法,可知原三角形为直角三角形,且∠AOB=90°,OB=1,OA=2O'A'=22,∴S△AOB=12×1×22= 2.故选C.答案:C6.已知△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图,如图所示,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC解析:由斜二测画法,可知原图形为直角三角形.AC为斜边,D为BC的中点,故AC>AD,故最长线段为AC.答案:D7.一个平面图形的斜二测直观图是腰长为2的等腰直角三角形,如图,则其平面图形的面积为.答案:48.已知正三角形ABC的边长为a,则水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为.解析:图①、图②分别为实际图形和直观图.由图可知A'B'=AB=a,O'C'=1OC=3a,在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'=2O′C′=6a.所以S△A'B'C'=12A′B′·C'D'=12×a×68a=616a2.答案:616a29.在等腰梯形ABCD中,上底边CD=1,AD=CB=2,下底边AB=3,按平行于上、下底边取x轴,则直观图A′B′C′D′的面积为.解析:等腰梯形ABCD的高为1,且直观图A'B'C'D'仍为梯形,其高为1sin45°=2,故面积为1×(1+3)×2= 2.答案:2210.画出如图所示放置的直角三角形的直观图.解:画法:(1)画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°(如图②所示);(2)在原图中作BD⊥x轴,垂足为D(如图①所示);(3)在x'轴上截取O'A'=OA,O'D'=OD,在y'轴上截取O'C'=12OC,过D'作B'D'∥y'轴,使D'B'=1BD;(4)连线成图(擦去辅助线)(如图③所示).11.用斜二测画法得到一水平放置的Rt△ABC,AC=1,∠ABC=30°,如图所示,试求原三角形的面积.解:如图所示,作AD⊥BC于点D,令x'轴与y'轴的交点为E,则DE=AD,在Rt△ABC中,由∠ABC=30°,AC=1,可知BC=2,AB= 3.由AD⊥BC,AD=DE,可知AD=32,AE=62,由斜二测画法可知,原三角形A'B'C'中,B'C'=BC=2,A'E'=2AE=6,且A'E'⊥B'C',所以S△A'B'C'=1B′C′·A'E'=1×2×6= 6.★12.画水平放置的圆锥的直观图.分析用斜二测画法画水平放置的圆锥的直观图,由于圆锥底面可以看作是水平放置的,因此,只需先画轴,再画底面和高即可.解:(1)画轴,如图所示,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°;(2)画圆锥的底面,画出底面圆的直观图,与x轴交于A,B两点;(3)画圆锥的顶点,在Oz上截取点P,使得PO等于圆锥的高;(4)连线成图,连接P A,PB,并加以整理(擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得圆锥的直观图.§3三视图3.1简单组合体的三视图1.用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是()解析:截去的平面在俯视图中看不到,故用虚线,因此选B.答案:B2.下列各几何体的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()A.①②B.①③C.①④D.②④解析:①中正方体的三视图均相同;②中圆锥的主视图和左视图相同;③中三棱台的三视图各不相同;④中正四棱锥的主视图和左视图相同.答案:D3.某几何体的主视图和左视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()解析:D选项的主视图为,故不可能是D选项.答案:D4.如图所示,若△A'B'C'为正三角形,与底面不平行,且CC'>BB'>AA',则多面体的主视图为()解析:因为△A'B'C'为正三角形,面A'B'BA向前,所以主视图不可能是A,B,C三个选项,只能是D.答案:D5.“牟台方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和左视图完全相同时,它的俯视图可能是()答案:B6.如图所示,画出四面体AB1CD1三视图中的主视图,若以面AA1D1D为投影面,则得到的主视图为()解析:显然AB1,AC,B1D1,CD1分别投影得到主视图的外轮廓,B1C为可见实线,AD1为不可见虚线.故A正确.答案:A★7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,若用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为()设过点A,E,C1的截面与棱DD1相交于点F,且F是棱DD1的中点,该正方体截去上半部分后,剩余几何体如图所示,则它的左视图应选C.答案:C8.如图所示,图①②③是图④表示的几何体的三视图,其中图①是,图②是,图③是(填写视图名称).解析:由三视图可知,①为主视图,②为左视图,③为俯视图.答案:主视图左视图俯视图9.如图(a)所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方体的中心,则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是图(b)中的(把可能的序号都填上).图(a)图(b)解析:要考虑△P AC在该正方体各个面上的射影,在上、下两个面上的射影是①,在前后左右四个面上的射影是④.答案:①④10.(1)画出如图①所示组合体的三视图;(2)图②所示的是一个零件的直观图,试画出这个几何体的三视图.图①图②解(1)该组合体是由一个四棱柱和一个圆锥拼接而成,其三视图如图所示.(2)作出三视图如图所示.★11.如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体,数据如图所示(单位:cm).试画出它的三视图.解这个几何体是由一个长方体挖去一个圆柱体构成的,三视图如图所示.3.2由三视图还原成实物图1.若一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆,则这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.圆锥D.棱台答案:B2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()A.棱台B.棱柱C.棱锥D.以上均不对解析:由相似比,可知几何体的侧棱相交于一点.答案:A3.如图所示是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,则该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析:由俯视图排除B,C选项;由主视图、左视图可排除A选项,故选D.答案:D4.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析:因为主视图和左视图为三角形,可知几何体为锥体.又俯视图为四边形,所以该几何体为四棱锥,故选B.答案:B5.如图所示,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析:由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B.答案:B6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4解析:由三视图画出直观图如图所示,判断这个几何体是底面边长为6,8,10的直角三角形,高为12的躺下的直=2,这就是做成的最大球的半径.三棱柱,直角三角形的内切圆的半径为r=6+8-102答案:B7.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起,连接AC,得到三棱锥C-ABD,其主视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示),其左视图的面积为.解析:如图所示,根据两个视图可以推知折起后∠CEA=90°,其侧视图是一个两直角边长为1的等腰直角三.角形,所以左视图的面积为12答案:18.用n个体积为1的正方体搭成一个几何体,其主视图、左视图都是如图所示的图形,则n的最大值与最小值之差是.解析:由主视图、左视图可知,正方体个数最少时,底层有3个小正方体,上面有2个,共5个;个数最多时,底层有9个小正方体,上面有2个,共11个.故n的最大值与最小值之差是6.答案:69.下图是一个几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画出该几何体的形状.解由于俯视图中有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体构成的组合体,结合左视图和主视图,可知该几何体是由上面一个圆柱、下面一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图所示.★10.已知几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.解由三视图可知其几何体是底面边长为2,高为3的正六棱锥,其直观图如图所示.§4空间图形的基本关系与公理第1课时平面性质1.两个平面重合的条件是()A.有四个公共点B.有无数个公共点C.有一条公共直线D.有两条相交公共直线解析:由两条相交直线确定一个平面知D选项正确.答案:D2.与“直线l上两点A,B在平面α内”含义不同的是()A.l⫋αB.直线l在平面α内C.直线l上只有这两个点在平面α内D.直线l上所有的点都在平面α内答案:C3.有下列说法:①梯形的四个顶点在同一平面内;②三条平行直线必共面;③有三个公共点的两个平面必重合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,故①正确;两条平行直线确定1个平面,三条平行直线确定1个或3个平面,故②错误;三个公共点可以同在两个相交平面的交线上,故③错误.答案:B4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()①P∈a,P∈α⇒a⫋α;②a∩b=P,b⫋β⇒a⫋β;③a∥b,a⫋α,P∈b,P∈α⇒b⫋α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④答案:D5.三棱台ABC-A'B'C'的一条侧棱AA'所在直线与平面BCC'B'之间的关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内解析:棱台就是棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥得到的,所以延长棱台各侧棱可以恢复成棱锥的形状,由此可知三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.答案:A6.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,且C∉l,则平面ABC与平面β的交线是()A.直线ACB.直线BCC.直线ABD.直线CD解析:由题意知,平面ABC与平面β有公共点C,根据公理3,这两平面必定相交,有且只有一条经过C的交线,由于两点确定一条直线,所以只要再找到两平面的另一个公共点即可.显然点D在直线AB上,从而它在平面ABC内,而点D又在直线l上,所以它又在平面β内,所以点D也是平面ABC与平面β的公共点.因此平面ABC 与平面β的交线是直线CD.答案:D7.已知点P在平面α外,点A,B,C在平面α内且不共线,A',B',C'分别在P A,PB,PC上,若A'B',B'C',A'C'与平面α分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点()A.成钝角三角形B.成锐角三角形C.成直角三角形D.在一条直线上解析:本题考查三点关系,根据两平面公共点在其交线上,知D,E,F三点共线,故选D.答案:D8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么,正方体的过P,Q,R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析:如图所示,作GR∥PQ交C1D1于G,延长QP与CB延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE.同理延长PQ交CD延长线于点N,连接NG交DD1于F,连接QF.所以截面PQFGRE为六边形.故选D.答案:D9.四条线段首尾相接得到一个四边形,当且仅当它的两条对角线时,能得到一个平面图形.解析:由公理1,2知当两条对角线相交时为平面图形,当两条对角线不共面时为空间四边形.答案:相交10.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系是.解析:当三点在另一个平面同侧时,这两个平面平行,当三点不在另一个平面同侧时,这两个平面相交.答案:平行或相交11.过已知直线a外的一点P,与直线a上的四个点A,B,C,D分别画四条直线,求证:这四条直线在同一平面内.证明:如图所示,因为点P在直线a外,所以过直线a及点P可作一平面α,因为A,B,C,D均在a上,所以A,B,C,D均在α内,所以直线P A,PB,PC,PD上各有两个点在α内,由公理2可知,直线P A,PB,PC,PD均在平面α内,故这四条直线在同一平面内.12.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体下底面相交于直线l.试画出直线l的位置,并说明理由.解:如图所示,连接DM并延长,交D1A1的延长线于点P',连接NP',则直线NP'即为所求直线l.理由如下: 如图所示,连接DN,∵P'=DM∩D1A1,且DM⫋平面DMN,D1A1⫋平面A1B1C1D1,∴P'∈平面DMN∩平面A1B1C1D1.又N∈平面DMN∩平面A1B1C1D1,∴由公理3知,直线NP'为平面DMN与平面A1B1C1D1的交线.第2课时异面直线所成的角1.若直线a ∥b ,b ∩c=A ,则直线a 与c 的位置关系是( ) A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交答案:D2.在三棱锥A-BCD 中,E ,F ,G 分别是AB ,AC ,BD 的中点,如果AD 与BC 所成的角是60°,那么∠FEG 为( ) A .60° B .30°C .120°D .60°或120° 解析:异面直线AD 与BC 所成的角可能等于∠FEG ,也可能等于∠FEG 的补角.答案:D3.若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2∥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( ) A .l 1⊥l 4 B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定解析:因为l 2∥l 3,所以l 1⊥l 3,l 3⊥l 4.实质上就是l 1与l 4同垂直于一条直线,所以l 1⊥l 4,l 1∥l 4,l 1与l 4既不垂直也不平行都有可能成立,故l 1与l 4的位置关系不确定. 答案:D4.如图,在某个正方体的表面展开图中,l 1,l 2是两条面对角线,则在正方体中,l 1与l 2( ) A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为60° D.相交且夹角为60°解析:将表面展开图还原成正方体如图所示,则B ,C 两点重合.故l 1与l 2相交,连接AD ,△ABD 为正三角形,所以l 1与l 2的夹角为60°. 答案:D5.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若点E ,F 分别在AB ,AC 上,且AE=13AB ,AF=13AC ,则下列说法正确的是( ) A.EF ⊥BB 1 B.EF ∥A 1B 1 C.EF ∥B 1C 1D.EF ∥AA 1解析:∵AE=1AB ,AF=1AC ,∴EF ∥BC.又ABC-A1B1C1为棱柱,∴BC∥B1C1.∴EF∥B1C1.答案:C6.下列说法正确的是()A.空间中没有交点的两条直线是平行直线B.一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条也相交C.空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥cD.分别在两个平面内的直线是平行直线解析:A,B选项中,两直线可能异面,D选项中两直线可能相交,也可能异面.答案:C7.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.解析:将图形还原成正方体,观察有AB与CD,AB与GH,EF与GH共3对异面直线.答案:38.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.答案:90°9.如图所示,在四棱锥C-ABED中,底面ABED是梯形.若AB∥DE,DE=2AB,且F是CD的中点,P是CE的中点,则AF与BP的位置关系是.解析:连接PF,∵P,F分别是CE,CD的中点,∴PF∥ED,且PF=1ED.2又AB∥ED,且DE=2AB,∴AB∥PF,且AB=PF,即四边形ABPF是平行四边形,∴BP∥AF.答案:平行10.如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E是PC上不重合的两点,F,H分别是P A,PB上的点,且与点P不重合.求证:EF和DH是异面直线.证明∵P A∩PC=P,∴P A,PC确定一个平面α.∵E∈PC,F∈P A,∴E∈α,F∈α,∴EF⫋α.∵D∈PC,∴D∈α,且D∉EF.又PB∩α=P,H∈PB,且点H与点P不重合,∴H∉α,DH∩α=D,且DH与EF不相交,于是直线EF和DH是异面直线.★11.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且AE=BF=1,EF=5,求AB和CD所成的角的大小.解如图所示,过点E作EO∥AB,交BD于点O,连接OF,所以AEED =BOOD,所以BOOD=BFFC,所以OF∥CD.所以∠EOF或其补角是AB和CD所成的角.在△EOF中,OE=2AB=2,OF=1CD=1,又EF=5,所以EF2=OE2+OF2,所以∠EOF=90°.即异面直线AB和CD所成的角为90°.★12.在梯形ABCD中(如图①所示),AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面CDFE沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,G,H分别为AD'和BC'的中点,得到如图②所示的立体图形.求证:四边形EFGH为平行四边形.。

新北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(含答案解析)(4)

一、选择题1．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（）A．5B．2 C．3D．22．已知三棱锥A BCD的各棱长都相等，E为BC中点，则异面直线AB与DE所成角的余弦值为（）A．13B．3C．33D．1163．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm）为（）A．43B．2C ．4D ．64．如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为4，底面边长为43，D 是11B C 的中点，P 是线段1A D 上的动点，过BC 作截面AP α⊥于E ，则三棱锥P BCE -体积的最小值为（）A ．3B ．23C ．43D ．125．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．24B ．30C ．47D ．676．如图正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，O 是1AA 中点，P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC ，则直线OP 与平面ABC 所成角正弦值的最大值为（）A ．2 B ．255C ．32D ．2777．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.其中3AB =，2AD =，PAD △是以A ∠为直角的等腰直角三角形，若60PAB ∠=︒，则异面直线PC 与AD 所成角的余弦值是（）A ．2211B ．2211-C ．77D ．211118．已知球O 的半径为5，球面上有,,A B C 三点，满足214,27AB AC BC ===，则三棱锥O ABC -的体积为（） A ．77B ．142C ．714D ．1479．在正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1CC 的中点．则下列说法正确的是（） A ．异面直线AM 与BC 5B ．BDM 为等腰直角三角形C ．直线BM 与平面11BDD B 10D ．直线1AC 与平面BDM 相交10．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是AB ，B C 的中点，将ADE ，EBF △，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若点G 及四面体A DEF '的四个顶点都在同一个球面上，则以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为（）A ．263+B ．463+C ．4263-D ．2263- 11．在四棱锥P -ABCD 中，//AD BC ，2AD BC =，E 为PD 中点，平面ABE 交PC 于F ，则PFFC=（） A ．1B ．32C ．2D ．312．如图，长、宽、高分别为2、1、1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B ，则它爬行的最短路程是（）A ．10B ．5C ．22D ．3二、填空题13．如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面,ABC AD PB ⊥，垂足为,D DE PC ⊥，垂足为E ，若23,2PA AC ==，则三棱锥P ADE -体积的最大值是_________．14．如图，点E 是正方体1111ABCD A BC D -的棱1DD 的中点，点M 在线段1BD 上运动，则下列结论正确的有__________． ①直线AD 与直线1C M 始终是异面直线②存在点M ，使得1B M AE ⊥ ③四面体EMAC 的体积为定值④当12D M MB =时，平面EAC ⊥平面MAC15．正方体1111ABCD A BC D -棱长为点1，点E 在边BC 上，且满足2BE EC =，动点P 在正方体表面上运动，满足1PE BD ⊥，则动点P 的轨迹的周长为__________． 16．在三棱锥P ABC -中，4PA PB ==，42BC =，8AC =，AB BC ⊥．平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为_________．17．在三棱锥P ABC -中，P 在底面ABC 的射影为ABC 的重心，点M 为棱PA 的中点，记二面角P BC M --的平面角为α，则tan α的最大值为___________. 18．在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，3AC =，17BC =，1cos 3BAC ∠=，若三棱锥D ABC -的体积为27，则此三棱锥的外接球的表面积为______19．如图，在三棱锥A BCD -，,AB AD BC ⊥⊥平面ABD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD 、BD 上，且EF AD ⊥.则下列结论中：正确结论的序号是______.①//EF 平面ABC ；②AD AC ⊥；③//EF CD20．将底面直径为8，高为23为______.三、解答题21．在所有棱长均为2的直棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，O ，M 分别为1,BD B C 的中点．（Ⅰ）求证：直线//OM 平面11DB C ；（Ⅱ）求二面角1D AC D --的余弦值．22．如图（1）在ABC 中，AC BC =，D ､E ､F 分别是AB ､AC ､BC 边的中点，现将ACD △沿CD 翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .如图（2）（1）求证：//AB 平面DEF ；（2）求证：BD AC ⊥.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，32,3,PB PD PA AD ====点,E F 分别为线段,PD BC 的中点.（1）求证://EF 平面ABP ; （2）求证:平面AEF ⊥平面PCD ;（3）求三棱锥C AEF -的体积24．如图，圆柱的轴截面ABCD 是长方形，点E 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AF DE ⊥，F 是垂足.（1）证明：AF DB ⊥；（2）若2AB =，3AD =，当三棱锥D ABE -体积最大时，求点C 到平面BDE 的距离. 25．如图，在平面四边形A ABC '中，90CAB CA A '∠=∠=，M 在直线AC 上，A A A C ''=，AB AM MC ==，A AC '绕AC 旋转．（1）若A AC '所在平面与ABC 所在平面垂直，求证：A C '⊥平面A AB '．（2）若二面角A AC B '--大小为60，求直线A B '与平面ABM 所成角的正弦值． 26．如图，四边形ABCD 为矩形，且4=AD ，22AB =PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E 为BC 的中点.（1）求证：PC DE ⊥；（2）若M 为PC 的中点，求三棱锥M PAB -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，设底面边长为2x ，表示出2522x AO OE -===1333xOE CE ==，即可求出x ，进而求出腰长. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，则底面中心O 在CE 上，连接AO ，可得AO ⊥平面ABC ，由三视图可知5AB AC AD ===45AEC ∠=，设底面边长为2x ，则DE x =，则25AE x =-则在等腰直角三角形AOE 中，2522xAO OE -===O 是底面中心，则133xOE CE ==，则253 23x x-=，解得3x=，则1AO=，底面边长为23，则正视图（等腰三角形）的腰长为()22312+=.故选：B.【点睛】本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.2．B解析：B【分析】取AC中点F，连接,EF DF，证明FED∠是异面直线AB与DE所成角（或其补角），然后在三角形中求得其余弦值即可得．【详解】取AC中点F，连接,EF DF，∵E是BC中点，∴//EF AB，12EF AB=，则FED∠是异面直线AB与DE所成角（或其补角），设1AB=，则12EF=，32DE DF==，∴在等腰三角形DEF中，11324cos3EFFEDDE∠===．所以异面直线AB与DE3故选：B．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．3．B解析：B 【分析】根据三视图判断出几何体的结构，利用椎体体积公式计算出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示四棱锥，该棱锥满足底面是直角梯形，且侧棱ED ⊥平面ABCD ，所以其体积为11(12)22232V =⨯⨯+⨯⨯=，故选：B. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）首先根据题中所给的几何体的三视图还原几何体；（2）结合三视图，分析几何体的结构特征，利用体积公式求得结果.4．C解析：C 【分析】因为P BCE P ABC E ABC V V V ---=-则当E ABC V -取最大值时，三棱锥P BCE -体积有最小值，建立坐标系求得当点E 的高为3时，问题得解. 【详解】以点O 为原点，,,OA OD OB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设点(),0,E x z ，依题意得()6,0,0A ，则()6,0,AE x z =- ，(),0,OE x z = 因为过BC 作截面AP α⊥于E ，所以AE OE ⊥则0AE OE ⋅=，故()2600x x z -++= 所以()6z x x =-3x =时max 3z =又()143P BCE P ABC E ABC ABCV V V S z ---=-=-因为max 3z =所以三棱锥P BCE -体积的最小值()1114343643332P BCE ABC V S-=-=⋅⋅=故选：C 【点睛】关键点点晴：本题的解题关键是将问题转化为求E ABC V -的最大值，通过建系求得三棱锥E ABC -的高的最大值即可.5．D解析：D 【分析】先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解.【详解】由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -，由题得22437AD =-=，所以几何体的高为7. 所以几何体的体积为11(24)676732⋅+⋅⋅=. 故选：D 【点睛】方法点睛：通过三视图找几何体原图常用的方法有：（1）直接法；（2）拼凑法；（3）模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解.6．D解析：D 【分析】先找到与平面11A BC 平行的平面OEFG ,确定点P 在直线FG 上，作出线面角，求出正弦，转化为求AP 的最小值. 【详解】分别取1,,CC BC BA 的中点，连接,,,OE EF FG GO ,并延长FG ，如图，由中位线性质可知11//OE AC , 1//EF BC ,且OEEF E =,故平面11//A BC 平面OGFE ，又P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC 则点P 在直线FG 上，OA ⊥平面ABC ,OPA ∴∠是直线OP 与平面ABC 所成角，sin OAOPA OP∴∠=, OA 为定值，∴当OP 最小时，正弦值最大，而OP所以当AP 最小时，sin OPA ∠最大，故当AP FG ⊥时，sin OPA ∠最大，设棱长为2，则1212AG =⨯=，而30GAP ∠=︒,AP ∴=, 又1212OA =⨯=,sin OAOPA OP∴∠===故选：D 【点睛】关键点点睛：由P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC ，转化为找过O 的平面与平面11A BC 平行，P 在所找平面与平面ABC 的交线上，从而容易确定出线面角，是本题解题的关键所在.7．D解析：D 【分析】在图形中找到（并证明）异面直线所成的角，然后在三角形中计算．【详解】因为//AD BC ，所以PCB ∠是异面直线PC 与AD 所成角（或其补角），又PA AD ⊥，所以PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥．由已知2PA AD ==，所以PB==cos11BCPCBPC∠===，所以异面直线PC与AD所成角的余弦值为11．故选：D．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8．A解析：A【分析】利用正弦定理求出ABC的外接圆半径，则可求出三棱锥的高，进而求出三棱锥体积.【详解】设ABC的外接圆的圆心为D，半径为r，在ABC中，cos ABC∠==sin4ABC∴∠=，由正弦定理可得28sinACrABC==∠，即4r=，则3OD==，11133324O ABC ABCV S OD-∴=⨯⨯=⨯⨯=故选：A.【点睛】本题考查球内三棱锥的相关计算，解题的关键是利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，利用勾股关系求出高.9．C解析：C 【分析】A 通过平移，找出异面直线所成角，利用直角三角形求余弦即可. B.求出三角形的三边，通过勾股定理说明是不是直角三角形.C.求出点M 到面11BB D D 的距离，再求直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦.D.可通过线线平行证明线面平行. 【详解】设正方体棱长为2A. 取1BB 的中点为N ，则//BC MN ，则AM 与BC 所成角为AMN ∠ 由BC ⊥面11ABB A ，故MN ⊥面11ABB A ，故MN AN ⊥，在Rt ANM △中，5tan AMN ∠=，故2cos 3AMN ∠=B. BDM 中，5BM =22BD =5DM =C. AC BD ⊥，1AC BB ⊥，故AC ⊥面11BB D D ，1//CC 面11BB D D ，故M 到面11BB D D 的距离等于C 到面11BB D D 的距离，即为122d AC =直线BM 与平面11BDD B 所成角为θ210sin 5d BM θ===直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦值等于105D.如图ACBD O =OM 为1ACC △的中位线，有1//OM AC故直线1AC 与平面BDM 平行故选：C 【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.10．A解析：A 【分析】先求出'A FDE -外接球的半径和外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的球心到外接圆的圆心的距离，可得高h 的最大值. 【详解】因为A ，B ，C 三点重合于点A '，原来A B C ∠∠∠、、都是直角，所以折起后三条棱'''A F A D A E 、、互相垂直，所以三棱锥'A FDE -可以看作一个长方体的一个角，它们有相同的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，即为2R==R=，DE DF====EF=在DFE△中，222cos2DE EF DFDEFDE EF+-∠===⨯，所以DEF∠为锐角，所以sin DEF∠==，DEF的外接圆的半径为2sinDFrDEF===∠则球心到DEF23，以FDE为底面的三棱锥G-DEF的高h的最大值为1R OO+23.故选：A.【点睛】本题考查了翻折问题和外接球的问题，关键点翻折前后量的变化及理解外接球和三棱锥的关系，考查了学生的空间想象力和计算能力.11．C解析：C【分析】首先通过延长直线,DC AB，交于点G，平面BAE变为GAE，连结PG，EG交于点F，再根据三角形中线的性质，求PFFC的值.【详解】延长,DC AB，交于点G，连结PG，EG交PC于点F，//AD BC，且2AD BC=，可得点,B C分别是,AG DG的中点，又点E是PD的中点，PC∴和GE是△PGD的中线，∴点F是重心，得2PFFC=故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到PC 与平面BAE 的交点，即将平面BAE 转化为平面GAE 是关键.12．C解析：C 【分析】小虫有两种爬法，一种是从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行，另一种是从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，将两种情况下的两个面延展为一个面，计算出平面图形的对角线长，比较大小后可得结果. 【详解】由于长方体ACDE FGBH -的长、宽、高分别为2、1、1，则小虫从点A 沿着侧面AEHF 和上底面FHBG 爬行，以及小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，这两条线路的最短路程相等.①若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行，将侧面ACGF 和上底面BHFG延展为一个平面，如下图所示：则2AC BC ==，最短路程为2222AB AC BC +=②若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，将面ACGF 和侧面BDCG 延展为一个平面，如下图所示：则3AD AC CD =+=，1BD =，最短路程为2210AB AD BD =+因为2210，因此，小虫爬行的最短路程为22 故选：C. 【点睛】方法点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.二、填空题13．【分析】由已知证明再由三角形相似列比例式可得证明利用基本不等式求得的最大值可得三棱锥体积的最大值【详解】由平面得又平面得又平面得而平面可得在中由得由得则由得又得即（当且仅当时等号成立）三棱锥体积的最解析：34【分析】由已知证明AE PC ⊥，再由三角形相似列比例式可得PE ，证明AD DE ⊥，利用基本不等式求得AD DE ⋅的最大值，可得三棱锥P ADE -体积的最大值．【详解】由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PAAB A =，BC ∴⊥平面PAB ，得BC AD ⊥，又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=， AD ∴⊥平面PBC ，得AD PC ⊥，而DE PC ⊥，AD DE D ⋂=，PC ∴⊥平面ADE ，可得AE PC ⊥．在Rt PAC △中，由23,2PA AC ==，得4PC =．由Rt PEA Rt PAC ∽，得PE PA PA PC =，则21234PA PE PC ===，由3PE =，23PA =23AE =，又AD DE ⊥，2223AD DE AE ∴+==，得2232AD DE AD DE =+≥⋅，即32AD DE⋅（当且仅当AD DE =时等号成立）， ∴三棱锥P ADE -体积的最大值是1111333323224AD DE PE ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．故答案为：34．【点睛】方法点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理．14．②③④【分析】取点为线段的中点可判断①建立空间直角坐标系假设存在点使得利用解出的值即可判断②；连接交于点证明线段到平面的距离为定值可判断③；求出点的坐标然后计算平面和平面的法向量即可判断④【详解】对解析：②③④. 【分析】取点M 为线段1BD 的中点可判断①，建立空间直角坐标系假设存在点M ，使得1B M AE ⊥，利用()1110AE B M AE B B BD λ⋅=⋅+=解出λ的值即可判断②；连接AC 、BD 交于点1O ，证明11//EO BD ，线段1BD 到平面AEC 的距离为定值，可判断③；求出点M 的坐标，然后计算平面AEC 和平面MAC 的法向量，即可判断④. 【详解】对于①：连接1AC 交1BD 于点O ，当点M 在O 点时直线AD 与直线1C M 相交，故①不正确，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()2,2,0B ，()12,2,2B ，对于②：()2,0,1AE =-，假设存在点M ，使得1B M AE ⊥，()()()1110,0,22,2,22,2,22B M B B BD λλλλλ=+=-+--=---，[]0,1λ∈，所以14220AE B M λλ⋅=+-=，解得13λ=，所以当12D M MB =时1B M AE ⊥，故②正确；对于③：连接AC 、BD 交于点1O ，因为点E 是棱1DD 的中点，此时11//EO BD ，故线段1BD 到平面AEC 的距离为定值，所以四面体EMAC 的体积为定值，故③正确；对于④：当12D M MB =时，442,,333M ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,0,1AE =-，()2,2,0AC =-，设平面AEC 的法向量为()111,,m x y z =，由111120220m AE x z m AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令12z =，可得11x =，11y =，可得()1,1,2m =，设平面MAC 的法向量为()222,,n x y z =，242,,333MA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由222222202420333n AC x y n MA x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩解得:20y =，令 21x =可得22z =，所以1,1,1n ，因为1111120m n ⋅=⨯+⨯-⨯=，m n ⊥所以平面EAC ⊥平面MAC ，故④正确；故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；（2）利用性质：//,αββγαγ⊥⇒⊥（客观题常用）；（3）面面垂直的定义（不常用）；（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于0.15．【分析】根据题意得平面在上取使得连接证得平面平面将空间中的动点轨迹的周长问题转化为求三角形边周长问题又代入计算即可【详解】解：如图正方体中连接：易得平面在上取使得连接易得根据线面平行判定定理证得平面【分析】根据题意得1BD ⊥平面1ABC ，在1,BB AB 上取,F G使得12,2BF FB AG GB ==连接,,GE EF GF 证得平面1//AB C 平面EFG ，将空间中的动点P 轨迹的周长问题转化为求三角形EFG 边周长问题，又GE EF GF ===，代入计算即可. 【详解】解：如图正方体中连接11,,AC B C B A ：易得1BD ⊥平面1ABC ，在1,BB AB 上取,F G 使得12,2BF FB AG GB ==连接,,GE EF GF ，易得1//,//GE AC EF BC根据线面平行判定定理证得平面1//AB C 平面EFG所以1BD ⊥平面EFG所以线段,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹，因为1223GE EF GF ==== 所以动点P 的运动轨迹周长为232GE EF GF ++==2【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直，面面平行的概念，解题的关键是借助图形将空间问题转化为平面问题.本题中根据1BD ⊥平面1ABC 及平面1//ABC 平面EFG 得到线段,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹，代值计算即可.16．4【分析】取中点连接再根据题意依次计算进而得球的球心即为（与重合）【详解】解：因为所以又因为所以所以因为平面平面平面平面平面所以平面取中点连接所以所以平面所以此时所以即球的球心球心即为（与重合）半径解析：4【分析】取,AB AC 中点,D E ，连接DE ，DP ，再根据题意依次计算4EA EB EC EP ====，进而得球O 的球心O 即为E （O 与E 重合）【详解】解：因为42BC =8AC =，AB BC ⊥，所以42AB =4PA PB ==，所以222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面PAB ，取,AB AC 中点,D E ，连接DE ，DP所以//DE BC ，22DE =，22DP =所以DE ⊥平面PAB ，所以DE PD ⊥，此时，142EB AC EA EC ====， 224EP DP DE =+=，所以4EA EB EC EP ====，即球O 的球心球心O 即为E （O 与E 重合），半径为4EA =.故答案为：4.【点睛】本题解题的关键在于寻找球心，在本题中，,PAB ABC △△均为直角三角形，故易得AC 中点即为球心.考查空间思维能力，运算求解能力，是中档题.17．【分析】取中点为过分别作底面的垂线根据题中条件得到；过分别作的垂线连接由二面角的定义结合线面垂直的判定定理及性质得到为二面角的平面角；为二面角的平面角得出令进而可求出最值【详解】取中点为过分别作底面解析：34【分析】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，根据题中条件，得到AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，由二面角的定义，结合线面垂直的判定定理及性质，得到MHN ∠为二面角M BC A--的平面角；PGO ∠为二面角A BC P --的平面角，得出tan 4tan PGO MHN ∠=∠，()23tan tan tan 14tan MHN PGO MHN MHNα∠=∠-∠=+∠，令tan 0x MHN =∠>，进而可求出最值.【详解】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，则O 为ABC 的重心，MN ⊥平面ABC ；PO ⊥平面ABC ；由于点M 为棱PA 的中点，所以有AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，因为BC ⊂平面ABC ，所以MN BC ⊥，同理PO BC ⊥；又MN NH N ⋂=，MN ⊂平面MNH ，NH ⊂平面MNH ，所以BC ⊥平面MNH ；因为MH ⊂平面MNH ，所以BC MH ⊥，所以MHN ∠为二面角M BC A --的平面角；同理BC PG ⊥，所以PGO ∠为二面角A BC P --的平面角，所以tan PO PGO OG ∠=，tan MN MHN HN∠=，因为NO OE =，//OG NH ，所以12OG NH =；因此2tan 4tan 12PO MN PGO MHN OG HN ∠===∠，所以()2tan tan 3tan tan tan 1tan tan 14tan PGO MHN MHN PGO MHN PGO MHN MHN α∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+∠，令tan 0x MHN =∠>，则2333tan 1444x x x x α=≤=+，当且仅当214x =，即12x =时，等号成立. 故答案为：34. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于确定二面角M BC A --、A BC P --以及P BC M --三者之间的关系，由题中条件得出二面角A BC P --是二面角MBC A --的4倍，进而可求得结果. 18．【分析】设出外接球的半径球心的外心半径r 连接过作的平行线交于连接如图所示在中运用正弦定理求得的外接圆的半径r 再利用的关系求得外接球的半径运用球的表面积公式可得答案【详解】设三棱锥外接球的半径为球心为解析：20π【分析】设出外接球的半径R 、球心O ，ABC 的外心1O 、半径 r , 连接1AO ，过O 作的平行线OE 交AD 于 E ，连接OA ，OD ，如图所示，在ABC 中，运用正弦定理求得 ABC 的外接圆的半径r ,再利用1,,R r OO 的关系求得外接球的半径，运用球的表面积公式可得答案.【详解】设三棱锥外接球的半径为R 、球心为O ，ABC 的外心为1O 、外接圆的半径为r ，连接1AO ，过O 作平行线OE 交AD 于E ，连接OA ，OD ，如图所示，则OA OD R ==，1O A r =，OE AD ⊥，所以E 为AD 的中点.在ABC中，由正弦定理得2sin BC r BAC ==∠r =. 在ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，可得2117963AB AB =+-⋅⋅，得4AB =.所以11sin 34223ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△因为11333D ABC ABC V S AD AD -=⋅⋅=⨯=△，所以4AD =.连接1OO ，又1//OO AD ，所以四边形1EAOO 为平行四边形，1128EA OO AD ===，所以R ===所以该三棱锥的外接球的表面积()224π4π520πS R ===.故答案为：20π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球，及球的表面积计算公式，解决问题的关键在于利用线面关系求得外接球的球心和球半径，属于中档题.19．①②【分析】采用逐一验证法根据线面平行线面垂直的判定定理以及线面距离判断可得结果【详解】由共面所以因为平面平面所以平面；故①正确；平面平面所以又因为平面平面所以故②正确；若则平面或EF 在平面ACD 内解析：①②【分析】采用逐一验证法，根据线面平行，线面垂直的判定定理，以及线面距离，判断可得结果.【详解】由AB AD ⊥，,,EF AD AD EF AB ⊥，共面，所以//EF AB ,因为EF ⊄平面ABC ，AB 平面ABC ，所以//EF 平面ABC ；故①正确； BC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥，又因为AB AD ⊥，AB BC B ⋂=，AD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥，故②正确；若//EF CD ，则//EF 平面ACD ，或EF 在平面ACD 内，如图EF 与平面ACD 相交于点E ，显然不成立，故③不正确，故答案为：①②【点睛】本题主要考查了线线、线面之间的位置关系，考查了线面平行的判断以及由线面垂直证明线线垂直，属于中档题. 20．【分析】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥设圆柱的高为h 底面半径为r 用r 表示h 从而求出圆柱侧面积的最大值【详解】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h 底面半径为r 则解得；所以；当时取解析：43π【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，用r 表示h ，从而求出圆柱侧面积的最大值.【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 23423h r -=，解得323h =；所以()23222334S rh r r r πππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭圆柱侧；当2r 时，S 圆柱侧取得最大值为43π 故答案为：43π.【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ5 【分析】（Ⅰ）由中位线定理证明1//OM C D ，即可得线面平行；（Ⅱ）连1D O ，证明1D OD ∠为二面角1D AC D --的平面角，在直角1D DO △中计算可得．【详解】解：（Ⅰ）连1BC ，则M 也为1BC 的中点，又M 为BD 的中点，所以1//OM C D ，因为OM ⊄平面11DB C ，1C D ⊂平面11DC B ，所以直线//OM 平面11DB C ；（Ⅱ）连1D O ，因为ABCD 是菱形，所以DO AC ⊥，又1111ABCD A BC D -为直棱柱，底面为菱形，所以11D A D C =，而O 为AC 中点，所以1D O AC ⊥，所以1D OD ∠为二面角1D AC D --的平面角，因为ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，所以1DO =，又12DD =，由直棱柱知1DD DO ⊥，所以15DO =，所以115cos DO D OD D O ∠==．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，考查求二面角角，求二面角常用方法：（1）定义法：作出二面角的平面角并证明，然后在三角形中计算可得；（2）向量法：建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量夹角的余弦即可得二面角的余弦（注意判断二面角是锐角还是钝角）．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据三角形中位线的性质，得到//EF AB ，利用线面平行的判定定理证得结果；（2）根据面面垂直的性质定理，得到BD ⊥平面ACD ，进而证得BD AC ⊥.【详解】证明：（1）如图（2）：在ABC 中，E ､F 分别是AC ､BC 中点，得//EF AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，//AB ∴平面DEF .（2）∵平面ACD ⊥平面BCD 且交线为CD ，BD CD ⊥，且BD ⊂平面BCD ， ∴BD ⊥平面ACD ，又AC ⊂平面ACD∴BD AC ⊥.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关空间关系的证明问题，解题方法如下：（1）熟练掌握线面平行的判定定理，在解题过程中，一定不要忘记线在面内、线在面外的条件；（2）根据面面垂直的条件，结合线线垂直，利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而证得线线垂直.23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）98. 【分析】（1）取PA 的中点G ，连接,BG EG ，证明四边形EFBG 为平行四边形，得出//EF BG ，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）先证明PA ⊥平面ABCD ，从而得出PA CD ⊥，再由等腰三角形的性质得出AE PD ⊥，最后由面面垂直的判定定理证明即可；（3）以AFC △为底，12PA 为高，由棱锥的体积公式得出答案. 【详解】（1）如图，取PA 的中点G ，连接,BG EG .因为点,E G 分别为,PD PA 的中点，所以1//,2EG AD EG AD = 又因为F 是BC 的中点，四边形ABCD 是正方形，所以//BF EG 且BF EG = 故四边形EFBG 为平行四边形，所以//EF BG因为BG ⊂平面,ABP EF 不在平面ABP 内，所以//EF 平面ABP .（2）由条件知32,3PB PD PA AD AB =====，所以PAB △和PAD △都是等腰直角三角形，,PA AB PA AD ⊥⊥又因为,,AB AD A AB AD =⊂平面,ABCD 所以PA ⊥平面ABCD因为CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥又因为,,AD CD PA AD A ⊥⋂=所以CD ⊥平面PAD ，所以CD AE ⊥因为E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥又因为,,PD CD D PD CD ⋂=⊂平面PCD ，所以AE ⊥平面PCD因为AE ⊂平面,AEF 所以平面AEF ⊥平面PCD .（3）由图可知C AEF E ACF V V --=，1111319333232228E ACF ACF V S PA -=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=△，即三棱锥C AEF -的体积为98 【点睛】关键点睛：在证明线线平行时，关键是证明四边形EFBG 为平行四边形，从而得出//EF BG .24．（1）证明见解析；（232211【分析】。

北师大版2017课标高中数学必修第二册第四章综合测试试卷-含答案01

第四章综合测试一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.55 cos cos sin sin 8888ππππ+=（）A .1B .0C .1-D .122.若 sin 4cos 0αα-=，则3tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A .53B .53-C .35D .35-3.若()()4tan 114tan 17αβ+-=，则()tan αβ-的值为（）A .14B .12C .4D .124.已知3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2sin 4απα⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A .715B .715-C .4315D .4315-5.已知 tan 2α=，则22sin 1cos 24απα+⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭的值是（）A .53B .134-C .135D .1346.已知4sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，且β是第三象限角，则cos 2β的值等于（）A .55±B .255±C .55D .255-7.函数()22cos 2()f x x x x =⋅∈R 的最小正周期和最大值分别是（）A .2π，3B .2π，1C .π，3D .π，18.化简2222sin 1sin 2sin 3sin 89︒++++︒︒ 的结果是（）A .89B .892C .45D .452二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.下列各式中，值为12的是（）A .2tan15cos 15︒︒B .2233312312ππ-C .2tan 301tan 30︒︒⋅-D 10.下列各式与tan α不相等的是（）A B .sin 1cos αα+C .21cos sin 2αα--⋅D .sin 1cos 2aα-11.有下列四个函数，其中在2π上为递增函数的是（）A .sin cos y x x =+B .sin cos y x x=-C .sin cos y x x=D .sin cos x y x=12.关于函数()()2sin cos cos f x x x x =-有下列四个结论，其中正确的有（）AB .把函数() 21f x x =-的图象向右平移4π个单位长度后可得到函数()()2sin cos cos f x x x x =-的图象C .递增区间为711 ,88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （）D .图象的对称中心为,1()28k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.14.已知tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan tan 2x x 的值为________.15.已知s 1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3παπ<<，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________.16.ABC △的三个内角为A ，B ，C ，当A 为________时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，且这个最大值为________.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知1sin 0,tan 523a παβ⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭，，.（1）求tan α的值；（2）求tan(2)αβ+的值.18.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点21,cos 2P θ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，点()2sin ,1Q θ-在角β的终边上，且12OP OQ ⋅=- .求：（1）cos 2θ的值；（2）sin()αβ+的值.19.从圆心角为120︒，半径为20 cm 的扇形铁片上截出一块矩形OPMN ，如图，让矩形的一边在扇形的一条半径OA 上，点M 在弧AB 上，求此矩形面积的最大值.20.已知函数()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）设0,4a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若2cos 22f αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，求α的大小.21.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数a .①22sin 13cos 17sin13cos17︒︒︒+-︒；②22sin 15cos 15sin 15cos15︒︒︒+-⋅︒；③22sin 18cos 12sin 18cos12︒︒︒+-⋅︒；④()()22sin 18cos 48sin 18cos48︒︒︒-+--︒；⑤()()22sin 25cos 55sin 25cos55︒︒︒-+--︒.（1）从上述五个式子中选择一个，求出常数a ；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.22.已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x '=⋅+-∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若()06 5f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.第四章综合测试答案解析一、1.【答案】B 【解析】55 cos cos sin sin cos 088882πππππ+==，故选B .2.【答案】A【解析】由已知得sin tan 4cos ααα==，于是31tan 5tan 41tan 3πααα--⎛⎫-== ⎪-⎝⎭，故选A .3.【答案】C【解析】由已知得()()tan tan 161tan tan h αβαβ-=+，即tan tan 41tan tan αβαβ-=+，tan()4αβ∴-=，故选C .4.【答案】A【解析】因为3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以273sin 2cos 212cos ,sin cos 2425445ππππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以27sin 725 315sin 54απα⋅==⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选A .5.【答案】D【解析】22222222sin 13sin cos 3sin cos 3tan 132113sin 22sin cos 2tan 224cos 24ααααααπααααα++++⨯+=====⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D .6.【答案】A【解析】由已知，得4sin[()]sin()5αβαβ--=-=，4sin 5β∴=-，β 是第三象限角，3cos 5β∴=-，5cos25β∴=±，故选A .7.【答案】C【解析】13 ()cos 2122cos 2212cos 21223f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=-+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，T π∴=，max ()3f x =，故选C .8.【答案】B【解析】222222222 sin 1sin 2sin 3sin 89sin 1sin 2sin 45cos 44cos 1︒︒︒︒︒︒︒︒++++=++++++ ()()()2222222189sin 1cos 1sin 2cos 2sin 44cos 44sin 454422=+++++++=︒︒︒︒︒︒=︒+，故选B .二、9.【答案】BD【解析】A 中，2tan15cos 15sin15cos15︒︒︒︒=11sin 3024==︒⋅，A 不正确；B 中，221cos 312312362πππ-===，B 正确；C 中，2tan301tan 601tan 3022=︒-︒=︒，C 不正确；D12=，D 正确，故选BD .10.【答案】ABD【解析】A|tan |α=，A 不符合；B 中22sincos sin 22tan 1cos 22cos 2αααααα==+，B 不符合；C 中，21cos 22sin tan sin 22sin cos αααααα-==，C 符合；D 中，2sin sin 11cos 22sin sin ααααα==-，D 不符合，故选ABD .11.【答案】BD【解析】A中，sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由图象可知，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为递减函数，A 不符合；B中，4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，由图象可知，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为递增函数，B 符合；C 中，1sin cos sin 22y x x x ==，由图象知函数在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上先增后减，C 不符合；D 中，tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增，D 符合，故选BD .12.【答案】CD【解析】因为2 ()2sin cos 2cos sin 2cos 21214f x x x x x x x π⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，所以最大值为1-，A错误；将()21f x x =-的图象向右平移4π个单位长度后得到()214f x x π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦212x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，B 错误；由222,()242k x k k πππππ--+∈Z ，答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

(北师大版)北京市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(答案解析)

(3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
5．D
解析：D
【解析】
根据微积分定理，，，，所以，故选择D。
6．B
解析：B
【解析】
设底面边长为，依据题设可得棱锥的高，底面中心到顶点的距离，由勾股定理可得，解之得，所以正四棱锥的体积，故应选答案B．
11．B
解析：B
【解析】
试题分析：由题意得，因为幂函数图像过点，所以，解得，所以幂函数，则阴影部分的面积为，故选B.
考点：幂函数的解析式；定积分的应用.
12．D
解析：D
【解析】
∵（x2﹣2x）′=2x﹣2，
∴若 =t2﹣2t=8，又t＞0，解得t=4．选D.
二、填空题
13．108m【分析】令速度为0求出t的值0和6求出速度函数在上的定积分即可【详解】由得或当时质点运动的路程为故答案为：108m【点睛】本题主要考查了定积分定积分在物理中的应用属于中档题
【解析】
试题分析：解：因为
＝＝，所以，所以，故选A.
考点：定积分.
4．D
解析：D
【解析】
(-sinx+cosx)dx (sinx-cosx)dx=2 (cosx－sinx)dx,选D.
点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
解析：108m.
【分析】
令速度为0求出t的值0和6，求出速度函数在上的定积分即可.

(北师大版)北京市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(答案解析)

一、选择题1．给出以下命题：（1）若()0haf x dx >⎰，则()0f x >；（2）20|sin |4x dx π=⎰；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰其中正确命题的个数为（）． A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( ) A ．ln 2 B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-3．已知()22214a x ex dx π-=--⎰，若()201620121ax b b x b x -=++ 20162016b x ++（x R ∈），则12222b b + 201620162b ++的值为（） A ．1-B ．0C ．1D ．e4．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（） A ．23 B ．923- C ．323 D ．3535．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（） A ．83B ．73C ．53D ．436．如图，设D 是途中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为（）A ．ln 2B ．1ln 2-C ．2ln 2-D ．1ln 2+7．曲线22y x x =-与直线11x x =-=，以及x 轴所围图形的面积为（）A ．2 B．83 C ．43 D ．238．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3230S x dx =⎰，则公比q 的值是（）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-9．函数()325f x x x x =+-的单调递增区间为（） A ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,B ．5,3⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭1,C ．(),1-∞-和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-⋃5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（） A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰11．设函数2e ,10()1,01xx f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，计算11()d f x x -⎰的值为（） A ．1e πe 4-+ B ．e 1πe 4-+ C ．e 12πe 4-+D ．e 1πe 2-+ 12．定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积（）A ．12ln 26+ B ．12ln 24+ C ．1ln 24+ D ．1ln 26+ 二、填空题13．如图所示，直线y kx =分抛物线2y x x 与x 轴所围图形为面积相等的两部分，则k的值为__________．14．定积分211dx x⎰的值等于________. 15．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______．16．在平面直角坐标系中，角α的始边落在x 轴的非负半轴，终边上有一点是()1,3-，若[)0,2απ∈，则cos xdx αα-=⎰______．17．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________． 18．()1||214x e x dx -+-=⎰__________________19．已知函数2()2ln f x x x =-，若方程()0f x m +=在1[,]e e内有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围是__________．20．已知等差数列{}n a 中， 225701a a x dx +=-⎰，则468a a a ++=__________．三、解答题21．计算：（1）781010C C +；（2）222(24)x x dx -+-⎰.22．现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点C 、D ，作DE OA 、CF OB 分别交弧AB 于点E 、F ，且BD AC =，现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的养殖区域.已知1km OA =，2AOB π∠=，EOF θ∠=（02πθ<<）.（1）若区域Ⅱ的总面积为21km 4，求θ的值；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？23．已知函数()3269f x x x x =-+-．若过点()1,P m -可作曲线()y f x =的切线有三条，求实数m 的取值范围．24．已知函数()121f x x x a =+--+ （1）当0a =时，解不等式()0f x ≥；（2）若二次函数2814y x x =-+-的图象在函数()y f x = 的图象下方，求a 的取值范围·25．利用定积分的定义，计算221(2)d x x x -+⎰的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．26．设函数()ln h x x x =，()()()h x a h x f x x a+-=+，其中a 为非零实数.（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）是否存在a 使得()f x a ≤恒成立？若存在，求a 的取值范围，若不存在请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】(1)根据微积分基本定理,得出()()()0haf x dx F h F a =->⎰,可以看到与()f x 正负无关.(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰求解判断即可.(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0haf x dx F h F a =->⎰,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.(2)()22200|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰()()20cos |cos |11114x x πππ=-+=--+--=,(2)正确.(3)()()0()0af x dx F a F =-⎰,()()()()()0a TTf x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰；故()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；(3)正确.所以正确命题的个数为2, 故选：B.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.2．A解析：A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.3．A解析：A 【解析】因为22x -表示的是以原点为圆心、半径为2的上半圆的面积，即22πx -=，222221e d (e )|02x x x --==⎰，所以)221e d 2a x x π-==⎰，则()2016201212x b b x b x -=++ 20162016b x ++，令0x =，得01b =，令12x =，得1202022b b b =++ 201620162b ++，则12222b b + 2016201612b ++=-；故选A. 点睛：在处理二项展开式的系数问题要注意两个问题：一是要正确区分二项式系数和各项系数；二要根据具体问题合理赋值（常用赋值是1、-1、0）.4．C解析：C 【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示，所以围成的面积为()13122333232333x x x dx x x --⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭⎰.考点：定积分.5．A解析：A 【解析】试题分析：()'323x x=,所以切线方程为13(1),32y x y x -=-=-,所以切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积()2238323S x dx =-=⎰.考点：1、切线方程；2、定积分.【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程；第二个错误是看成与y 轴围成的面积,()()22320328103232333S x dx x dx =--+-=+=⎰⎰；第三个是没有将切线与x 轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程；另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握.6．D解析：D 【解析】试题分析：由题意，阴影部分E 由两部分组成，因为函数1(0),y x x=>当2y =时，1,2x =所以阴影部分E 的面积为1111221121ln |1ln 2,2dx x x ⨯+=+=+⎰故选D ．考点：利用定积分在曲边形的面积．7．A解析：A 【解析】试题分析：在抄纸上画出图像，可根据图像列出方程1221(20)(2)x x dx x x dx---+-+⎰⎰=320321111()33x x x x --+-+=110(1)(1)33---+-+=4233+=2考点：区间函数的运用8．C解析：C 【分析】先由微积分基本定理得到327S =，再由等比数列的求和公式以及通项公式，即可求出结果. 【详解】23312333133|2727003S x dx x a a a =⎰=⋅=∴++=，，即333227a a a q q ++=，解得1q =或1-2q =．【点睛】本题主要考查定积分的就算，以及等比数列的公比，熟记微积分基本定理，以及等比数列的通项公式及前n 项和公式即可，属于常考题型.9．C解析：C 【解析】由题意得，2'()325f x x x =+- ，令5'()013f x x x >⇒><-或，故选C. 10．C解析：C 【解析】如图，由直线y=x ，y=−x+1，及x 轴围成平面图形是红色的部分，它和图中蓝色部分的面积相同，∵蓝色部分的面积()121S x x dx ⎡⎤=--⎣⎦⎰，即()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰.本题选择C 选项.11．B解析：B 【解析】因为函数2e ,10()1,01x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以102110()d e d 1d x f x x x x x --=+-⎰⎰⎰，其中01101e 1e d e e e 11e e x x x ---==-=-=-⎰，201d x x -表示圆221x y +=在第一象限的面积，即2π1d 4x x -=⎰，所以11e 1π()d e 4f x x --=+⎰，故选B ．12．B解析：B 【解析】由31x x=，得1x =±，则图象的交点为(1,1)--，(1,1) ∵()31min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∴根据对称性可得函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积为143401141111|ln |ln 42ln 201444x dx dx x x x +=+=+=+⎰⎰ 故选B二、填空题13．【分析】根据题意求出直线与抛物线的交点横坐标再根据定积分求两部分的面积列出等式求解即可【详解】联立或由图易得由题设得即即化简得解得故答案为：【点睛】本题主要考查了定积分的运用需要根据题意求到交界处的解析：341【分析】根据题意求出直线与抛物线的交点横坐标,再根据定积分求两部分的面积,列出等式求解即可. 【详解】联立2y x x y kx⎧=-⇒⎨=⎩ 0x =或1x k =-.由图易得1,11x k k由题设得()()112212kx xkx dx x x dx ---=-⎰⎰, 即232123100111111||232223k x x kx x x -⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即()()()232111111123212k k k k -----= 化简得()3112k -=. 解得341k = 故答案为：3412- 【点睛】本题主要考查了定积分的运用,需要根据题意求到交界处的点横坐标,再根据定积分的几何意义列式求解即可.属于中档题.14．ln2【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可【详解】故答案为：ln2【点睛】本题考查了定积分的计算关键是求出原函数属于基础题解析：ln 2【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可．【详解】22111|2dx lnx ln x==⎰，故答案为：ln2．【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．15．【分析】首先求得两个函数交点的坐标然后利用定积分求得封闭图形的面积【详解】根据解得画出图像如下图所示封闭图像的面积为【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积考查运算求解能力属于基础题解题过程解析：16【分析】首先求得两个函数交点的坐标，然后利用定积分求得封闭图形的面积. 【详解】根据2y x y x⎧=⎨=⎩解得()()0,01,1,.画出图像如下图所示，封闭图像的面积为()12x x dx -⎰2310111|23236x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积，考查运算求解能力，属于基础题.解题过程中首先求得两个函数图像的交点坐标，然后画出图像，判断出所要求面积的区域，然后利用微积分基本定理求得封闭图形的面积.16．【解析】【分析】可得再利用微积分基本定理即可得出【详解】则故答案为【点睛】本题考查了微积分基本定理三角函数求值考查了推理能力与计算能力属于基础题 3【解析】【分析】tan 3α=-，[)0,2απ∈，可得2.3πα=再利用微积分基本定理即可得出．【详解】tan 3α=-，[)0,2απ∈，23πα∴=．则()23232233cos sin |sin sin 33322xdx x αππαππ--⎛⎫⎛⎫==--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．故答案为3 【点睛】本题考查了微积分基本定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．2【解析】与轴所围成的封闭区域的面积故答案为2解析：2 【解析】sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积ππsin d cos cos πcos020S x x x==-=-+=⎰，故答案为2.18．【解析】由定积分的几何意义知：是如图所示的阴影部分曲边梯形的面积其中故故故故答案为解析：22233e π+-+【解析】11221424x dx x dx --=-⎰⎰,由定积分的几何意义知：1204x dx -⎰是如图所示的阴影部分曲边梯形OABC 的面积，其中()1,3,30B BOC ∠=，故1223π-==+11101022|22xx x e dx e dx e e -===-⎰⎰，故(112223xe dx e π-=+-⎰2223e π+-19．【解析】当时在为增函数当时在为减函数当时有极大值也为最大值又因此本题正确答案是:解析：21(1,2]e +．【解析】2(1)(1)'()x x f x x-+=,∴当1[,1)x e∈时, '()0f x >,()f x 在1[,1)e 为增函数,当(1,)x e ∈时, '()0f x <,()f x 在(1,)e 为减函数,∴当1x =时, ()f x 有极大值,也为最大值, (1)1f =-,又2211()2,()2f f e e e e=--=-, 2121m e --≤-<-, 2112m e ∴<≤+. 因此，本题正确答案是: 21(1,2]e +. 20．3【解析】由题意得即则解析：3【解析】由题意，得()()()()21222221220101111||2x dx x dx xdx x x x x -=-+-=-+-=⎰⎰⎰，即57622a a a +==，则468633a a a a ++==.三、解答题21．（1）165（2）2π 【分析】（1）直接根据组合数公式计算即可；（2）直接利用牛顿—莱布尼茨公式，定积分的几何意义计算即可. 【详解】（1）78831010111111109165321C C C C ⨯⨯===⨯⨯+=.（2）(2222222x dx xdx ---=+⎰⎰⎰，其中222222|440xdx x --==-=⎰，2-⎰表示的是半径为2的圆的面积的12，即22π-=⎰，所以(222022x dx ππ-=+=⎰.【点睛】本题考查组合数公式的计算，定积分的计算，解题的关键是理解定积分的几何意义，考查学生的运算能力，属于基础题. 22．（1）3πθ=（2）6πθ=【解析】试题分析：（1）本问考查解三角函数的实际应用，由OB OA =及BD AC =可知OD OC =，根据条件易证Rt Rt ODE OCF ≌，所以DOE COF ∠=∠= 122πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由cos OC OF COF =⋅∠可以求出12COFS OC OF =⋅⋅⋅ 1sin cos 4COF θ∠=，所以区域Ⅱ的总面积为11cos 24θ=，则1cos 2θ=，可以求出θ的值；（2）本问考查函数的最值问题，区域Ⅰ的面积可以根据扇形面积公式求得，区域Ⅱ的面积第（1）问中已经求出，区域Ⅲ的面积可以用1/4圆的面积减去区域Ⅰ、Ⅱ的面积，于是得到年收入函数，利用导数求函数的最大值即可得出年收入的最大值. 试题（1）因为BD AC =，OB OA =，所以OD OC =. 因为2AOB π∠=，DE OA ，CF OB ，所以DE OB ⊥，CF OA ⊥.又因为OE OF =，所以Rt Rt ODE OCF ≌. 所以DOE COF ∠=∠= 122πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又cos OC OF COF =⋅∠ 所以12COFSOC OF =⋅⋅⋅ 1sin cos 4COF θ∠= 所以1cos 2S 区域Ⅱθ=（02πθ<<）. 由11cos 24θ=得1cos 2θ=，02πθ<<，3πθ∴=. （2）因为12S θ=区域Ⅰ，所以S S S S =--=区域Ⅲ总区域Ⅰ区域Ⅱ 11cos 422πθθ--.记年总收入为y 万元，则113040cos 22y θθ=⨯+⨯120(42πθ+⨯- 1cos )2θ- 5510cos πθθ=++（02πθ<<），所以()512sin y θ=-'，令0y '=，则6πθ=.当06πθ<<时，0y '>；当62ππθ<<时，0y '<.故当6πθ=时，y 有最大值，即年总收入最大.考点：1.三角函数的实际应用；2.利用导数研究函数的最值.23．1116m -<<【解析】【分析】首先写出切线方程，然后将问题转化为方程有三个实数根的问题，利用导函数研究函数的极值即可确定m 的取值范围. 【详解】设过P 点的切线切曲线于点()00,x y ,则切线的斜率2003129k x x =-+-.所以切线方程为()()20031291y x x x m =-+-++，故()()23200000003129169y x x xm x x x =-+-++=-+-，要使过P 可作曲线()y f x =的切线有三条，则方程()()2320000003129169x x xm x x x -+-++=-+-有三解0032023129,m x x x ∴=--+()3223129g x x x x =--+令则()()()26612612g x x x x x =--=+-'易知1,2x =-为()g x 的极值大、极小值点，又()()11,16,g x g x =-=极小极大故满足条件的m 的取值范围1116.m -<< 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线，导函数研究函数的极值，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 24．（1）1{x |x 3}3≤≤；（2）13a 4>．【解析】【分析】()1a 0=时，将不等式移项平方分解因式可解得；()2根据题意，只需要考虑x 1>时，两函数的图象位置关系，利用抛物线的切线与抛物线的位置关系做．【详解】() 1当a 0=时，不等式()f x 0≥化为：x 12x 10+--≥，移项得x 12x 1+≥-，平方分解因式得()()3x 1x 30--≤，解得1x 33≤≤，解集为1{x |x 3}3≤≤． ()2化简得()x 3a,x 1f x 3x 1a,1x 1x 3a,x 1-+≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪-++>⎩，根据题意，只需要考虑x 1>时，两函数的图象位置关系，当x 1>时，()f x x 3a =-++，由2y x 8x 14=-+-得y'2x 8=-+，设二次函数与直线y x 3a =-++的切点为()00x ,y ，则02x 81-+=-，解得09x 2=，所以07y 4=，代入()f x x 3a =-++，解得13a 4=，所以a 的取值范围是13a 4>．【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，以及导数的几何意义的应用问题，其中解答中熟记含绝对值不等式的求解方法，合理分类是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．25．由直线1x =，2x =，0y =与曲线2()2f x x x =-+所围成的曲边梯形的面积．【分析】利用定积分的定义在区间[]1,2进行分割，后近似代替、作和，取极限，可得()2212xx dx -+⎰的值，与其表示的几何意义.【详解】解：令()22f x x x =-+．（1）分割：在区间[]1,2上等间隔地插入1n -个分点，将它等分成n 个小区间()1,1,2,,n i n i i n n n +-+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其长度为11n i n i x n n n++-∆=-=．（2）近似代替、作和：取()11,2,,i ii n nξ=+=，则2111(1)121nn n i i i i i S f x n n n n==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅∆=-+++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()()2223212122122n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=-+++++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()32221411211212662n n n n n n n n n n n ⎡⎤++++++=--+⋅⎢⎥⎣⎦11111112412336n n n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（3）取极限：()221111111122lim lim 24123363n n n x x dx S n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+==-+++++++= ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰．()221223xx dx -+=⎰的几何意义：由直线1x =，2x =，0y =与曲线()22f x x x =-+所围成的曲边梯形的面积．【点睛】本题主要考查利用定积分的定义求定积分,并求其几何意义，属于中档题型. 26．(1)()f x 有极大值(1)ln 2f =，无极小值；(2)见解析. 【解析】试题分析：（1）由题意，利用导数法进行求解，通过导数研究函数()f x 的单调性，从而求出该函数的极值，问题得于解决；（2）由题意，可将问题转化为()max f x a ≤，利用导数法，对参数a 进行分段讨论()f x '的符号，经过逐层深入研究，由此求出函数()f x 的最大值，从而问题得于解决. 试题（1）∵()()ln ln x f x x a x x a =+-+ ()ln 1ln a x a x x a=+--+， ∴()()21'ln 1a f x x x a x a =--++ ()21ln a ax x a x x a -=-++，当1a =时，()()2ln '01xf x x =->+ 01x ⇔<<，()'01f x x ⇔，∴()f x 有极大值()1ln2f =，无极小值；（2）当0a >时，()'001f x x >⇔<<，()'01f x x ⇔，∴()()()1ln 1f x f a ≤=+，设()()()ln 10u a a a a =+->，则()1'1011a u a a a=-=-<++， ∴()()00u a u <=，故()f x a ≤恒成立，当0a <时，()()ln 1a a xf x ln x a x x a⎛⎫=++>- ⎪+⎝⎭，由于2ln 112a a a a e x x ⎛⎫+>⇔+> ⎪⎝⎭ 21a a x e ⇔>-，ln ln 22a x a x a x x a +>⇔<+，()*设()ln x v x x e =-，则()'e xv x ex-=， ()'00v x x e >⇔<<，()'0v x x e ⇔，∴()()0v x v e ≤=，即ln xx e≤，则只需2x x a e +<，()*⇒成立，而22x x a ea x e e +-⇔-，∴2ea x e ->-时，ln 2a x ax a >+，故取02max ,21a a ea x e e ⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪-⎩⎭，显然0x a >-，由上知当0x x >时，ln 12a a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，ln 2a x ax a >+，∴()f x a >，综上可知，当0a >时，()f x a ≤恒成立.。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(答案解析)

一、选择题1．已知函数22(1),10()1,01x x f x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则11()d f x x -=⎰（） A ．3812π- B ．4312π+ C ．44π+ D ．4312π-+ 2．计算211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（）A ．34B ．3ln 22+C ．55ln 22+ D ．3ln 2+3．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78544．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（）A ．1-B ．1C ．3-D ．35．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(0,1),(,1),(,1),0,1A B C D ππ--，正弦曲线f xsinx 和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）A ．B ．C ．D ．6．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( )A ．-1B ．2C ．1D ．-27．等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为（）A ．1-或12-B ．1或12-C ．12-D ．18．使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（） A ．8B ．6C ．4D ．29．由直线y= x - 4，曲线y =x 轴所围成的图形面积为（）A ．15B ．13C ．252D ．40310．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（） A ．2ln3- B ．4ln3+C ．4ln3-D ．32911．20sin xdx π=⎰（）A ．4B ．2C ．-2D ．012．已知11em dx x =⎰，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（）A ．1a <B ．10a -<<C ．1a >或0a <D ．01a <<或0a <二、填空题13．(22sin x dx -+=⎰______.14．曲线,,0x y e y e x ===围成的图形的面积S =______15．在直线0x =，1x =，0y =，1y e =+围成的区域内撒一粒豆子，则落入0x =，1y e =+，e 1x y =+围成的区域内的概率为__________．16．若二项式6215x x ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，则21mx dx =⎰__________． 17．已知()[](]21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则()21f x dx -=⎰______．18．设函数2()f x ax b =+（0a ≠），若300()3()f x dx f x =⎰，00x >，则0x =__________．19．若()()4112ax x -+的展开式中2x 项的系数为4，则21aedx x =⎰________________20．若，则的值是__________．三、解答题21．如图所示，抛物线21y x =-与x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD 作为工业用地，其中A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上已知工业用地每单位面积价值为3a 元()0a >，其它的三个边角地块每单位面积价值a 元．（Ⅰ）求等待开垦土地的面积；（Ⅱ）如何确定点C 的位置，才能使得整块土地总价值最大． 22．已知函数2()11xf x x =++，2()e (0)ax g x x a =<．（1）求函数()f x 的单调区间．（2）若对任意1x ，2[0,2]x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．23．设函数()32,0{,0xx x x f x axe x ->=≤，其中0a >. （1）若直线y m =与函数()f x 的图象在(]0,2上只有一个交点，求m 的取值范围；（2）若()f x a ≥-对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.24．已知函数()3269f x x x x =-+-．若过点()1,P m -可作曲线()y f x =的切线有三条，求实数m 的取值范围． 25．求曲线6y x =-和8y x =y ＝0围成图形的面积．26．计算由直线4,y x =-曲线2y x =x 轴所围图形的面积S 。

北师大版高中数学必修第二册期末质量检测试卷(含答案)

北师大版高中数学必修第二册期末质量检测试卷本试卷共150分，考试时长120分钟一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.2－i 1＋2i＝()A ．1B ．－1C ．iD ．－i2．已知OA →＝(－1，2)，OB →＝(3，m)，若OA →⊥OB →，则m 的值为()A ．1B ．32C ．2D ．43．现有四个函数：①y ＝x·sin x ；②y ＝x·cos x ；③y ＝x·|cos x|；④y ＝x·2x 的图象(部分)如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是()A .①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①4．已知a ，b 为直线，α，β为平面，给出下列四个命题：①若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ；②a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β；④若b ∥α，b ∥β，则α∥β.其中真命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．35．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为()A ．32B ．22C ．12D ．－126．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝()A ．14a ＋12bB ．12a ＋14bC ．23a ＋13bD ．13a ＋23b 7．下列命题中正确的是()A ．y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝sin x 的图象B ．y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝cos x 的图象C．当φ<0时，y＝sin x的图象向左平移|φ|个单位长度可得y＝sin(x＋φ)的图象D．y＝sin(2x＋π3)的图象是由y＝sin2x的图象向左平移π3个单位长度得到的8．在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝3，则该三棱锥外接球的表面积为()A．5πB．2πC．20πD．4π二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．设a，b是两个非零向量，则下列说法不正确的是()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|10．在△ABC中，下列命题正确的是()A．若A>B，则cos A>cos BB．若sin2A＝sin2B，则△ABC一定为等腰三角形C．若a cos B－b cos A＝c，则△ABC一定为直角三角形D．若三角形的三边的比是3∶5∶7，则此三角形的最大角为钝角11．对于函数f(x)x，sin x≤cos x，x，sin x＞cos x，下列四个结论正确的是()A．f(x)是以π为周期的函数B．当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值－1 C．f(x)图象的对称轴为直线x＝π4＋kπ(k∈Z)D．当且仅当2kπ<x<π2＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤2 212．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱DD1，AB上的点．下列命题中正确的是()A．A1C⊥平面B1EFB．在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线C．△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形D．当E，F为中点时，平面B1EF截该正方体所得的截面图形是五边形三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知tanθ＝2，则cos2θ＝__________，tan＝________．14．已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．15．设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________．16．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点－35，，以角α的终边为始边，逆时针旋转π4得到角β.(1)求tan α的值；(2)求cos (α＋β)的值．18．(12分)在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积．条件①：c ＝7，cos A ＝－17；条件②：cos A ＝18，cos B ＝916.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19．(12分)在①函数f为奇函数；②当x ＝π3时，f (x )＝3；③2π3是函数f (x )的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数f (x )＝2sin (ωx＋φ>0，0<φ，f (x )的图象相邻两条对称轴间的距离为π，________．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[0，2π]上的单调递增区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20．(12分)在①ac＝3，②c sin A＝3，③c＝3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝3sin B，C＝π6，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．(12分)如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，F是BB1的中点，M 是线段AC1的中点．(1)求证：直线MF∥平面ABCD；(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.22．(12分)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形．(1)求证：AD∥平面PBC；(2)若PB＝PD，求证：BD⊥平面PAC；(3)下面两问任选一问作答．①E、F分别是AB、PD上的点，若EF∥平面PBC，AE＝2EB，求PFPD的值；②若∠DAB＝60°，平面PAD⊥平面ABCD，PB⊥PD，判断△PAD是不是等腰三角形，并说明理由．参考答案与解析1．解析：解法一：2－i 1＋2i ＝（2－i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2－2－5i5＝－i ，选D.解法二：利用i 2＝－1进行替换，则2－i 1＋2i ＝－2×（－1）－i 1＋2i ＝－2i 2－i 1＋2i＝－i （1＋2i ）1＋2i ＝－i ，选D.答案：D2．解析：由OA →⊥OB →，得OA →·OB →＝－3＋2m ＝0，故m ＝32.答案：B 3．解析：①y ＝x ·sin x 为偶函数，y 轴对称，②y ＝x ·cosx 上的值为负数，故第三个图象满足；③y ＝x ·|cos x |为奇函数，当x >0时，f (x )≥0，故第四个图象满足；④y ＝x ·2x ，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，故选A.答案：A4．解析：由“垂直于同一平面的两直线平行”知①是真命题；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②是假命题；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③是真命题；在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，易知A 1B 1∥平面DCC 1D 1，A 1B 1∥平面ABCD ，但以上两平面却相交，故④是假命题．答案：C5．解析：由余弦定理的推论，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab≥12，当且仅当a ＝b 时取“＝”．答案：C6．解析：如图，∵AC →＝a ，BD →＝b ，∴AD →＝AO →＋OD →＝12AC →＋12BD →＝12a ＋12b .∵E 是OD 的中点，∴DE EB ＝13.∴DF ＝13AB ，∴DF →＝1AB →＝13(OB →－OA →)＝13－12→－12AC ＝16AC →－16BD →＝16a －16b ，AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b ，故选C.答案：C7．解析：y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝cos ＝sin x 的图象，故A 正确；y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝sin ＝－cos x 的图象，故B 错误；y ＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位长度得到y ＝sin (x ＋|φ|)＝sin (x －φ)的图象，故C错误；y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到y ＝sin 2＝sin x 的图象，故D 错误．答案：A 8．解析：如图，取PC 的中点O ，连接OA ，OB ，∵PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC .∴PA ⊥AC ，PA ⊥BC .在Rt △PAC 中，∵O 为PC 的中点，∴OA ＝12PC ，又PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ，在Rt △PBC 中，可得OB ＝12PC ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OP ，∴O 是三棱锥P ABC 的外接球的球心，∵Rt △PAC 中，AC ＝2，PA ＝3，∴PC ＝5，∴三棱锥P ABC 的外接球的半径R ＝12PC ＝52，∴该三棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝5π.答案：A9．解析：若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 反向共线，且|a |>|b |，即存在实数λ，使得b ＝λa ，故A 不正确，C 正确；若a ⊥b ，显然在以a ，b 对应的线段为邻边的长方形中|a ＋b |＝|a |－|b |不成立，故B 不正确；若λ>0，则a ，b 为同向的共线向量，显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立，故D 不正确．故选ABD.答案：ABD10．解析：在△ABC 中，若A >B ，则a >b ，sin A >sin B ，但cos A >cos B 不正确，A 错误；若sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，B 错误；若a cos B －b cos A ＝c ，则sin A ·cos B －sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )，所以sin B cos A ＝0，即cos A ＝0，A ＝π2，所以△ABC 定为直角三角形，C 正确；三角形的三边的比是3∶5∶7，设最大边所对的角为θ，则cos θ＝32＋52－722×3×5＝－12，因为π3<θ<π，所以θ＝2π3，D 正确．故选CD.答案：CD11．解析：函数f (x )x ，sin x ≤cos x ，x ，sin x ＞cos x的最小正周期为2π，画出f (x )在一个周期内的图象，可得当2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 时，f (x )＝cos x ，当2k π＋5π4<x ≤2k π＋9π4，k ∈Z 时，f (x )＝sin x ，可得f (x )的对称轴方程为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，当x ＝2k π＋π或x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最小值－1；当且仅当2k π<x <π＋2k π(k ∈Z )时，f (x )>0.f (x )的最大值为＝22，可得0<f (x )≤22，综上可得，正确的有CD.答案：CD 12．解析：连接AB 1，B 1D 1，AD 1，由正方体的性质可得A 1C ⊥平面AB 1D 1，而平面AB 1D 1与平面B 1EF 不可能平行，所以显然有A 1C 与平面B 1EF 不垂直，故A 错误；由题图可知，平面A 1B 1C 1D 1与平面B 1EF 相交，则一定有一条交线，所以在平面A 1B 1C 1D 1内一定存在直线与此交线平行，则此直线与平面B 1EF 平行，故B 正确；点F 在侧面BCC 1B 1上的投影为点B ，点E 在侧面BCC 1B 1上的投影在棱CC 1上，所以投影三角形的面积为S ＝12BB 1·BC ＝12，为定值，故C 正确；在D 1C 1上取点M ，使D 1M ＝14D 1C 1，在AD 上取点N ，使AN ＝23AD ，连接B 1M ，EM ，EN ，FN ，则五边形B 1MENF 即为截面，故D 正确，故选BCD.答案：BCD13．解析：解法一：因为tan θ＝2，所以sin θ＝2cos θ，由22θ＝1可知，sin 2θ＝45，cos 2θ＝15，所以cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝15－45＝－35，＝tan θ－11＋tan θ＝2－11＋2＝13.解法二：因为tan θ＝2，所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35，＝tan θ－11＋tan θ＝2－11＋2＝13.答案：－351314．解析：解法一：设该圆锥的母线长为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，所以12πl 2＝2π，解得l ＝2，所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R ，则2πR ＝2π，解得R ＝1.解法二：设该圆锥的底面半径为R ，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR .因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r ，则πr ＝2πR ，即r ＝2R ，所以侧面展开图的面积为12·2R ·2πR ＝2πR 2＝2π，解得R ＝1.答案：115．解析：设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，又z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ＝3＋i ，∴a ＋c ＝3，b ＋d ＝1，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝4，∴8＋2ac ＋2bd ＝4，即2ac ＋2bd ＝－4，∴|z 1－z 2|＝（a －c ）2＋（b －d ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－（2ac ＋2bd ）＝8－（－4）＝23.答案：2316．解析：依题意得AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，由AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos ∠BAD ＝－32|AD →|＝－32，得|AD →|＝1，因此λ＝|AD →||BC →|＝16.取MN 的中点E ，连接DE ，则DM →＋DN→＝2DE →，DM →·DN →＝14[(DM →＋DN →)2－(DM →－DN →)2]＝DE →2－14NM →2＝DE →2－14.注意到线段MN 在线段BC 上运动时，DE 的最小值等于点D 到直线BC 的距离，即AB ·sin ∠B ＝332，因此DE →2－142－14＝132，即DM →·DN →的最小值为132.答案：1613217．解析：(1)∵角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点－35，，∴tan α＝45－35＝－43.(2)以角α的终边为始边，逆时针旋转π4得到角β，∴β＝α＋π4.由(1)利用任意角的三角函数的定义可得cos α＝－35，sin α＝45.∴sin 2α＝2sin αcos α＝－24，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.∴cos(α＋β)＝cos α＝cos 2αcosπ4－sin 2αsin π4＝22(cos 2α－sin 2α)＝17250.18．解析：方案一：选条件①(1)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b ＝11－a ，c ＝7，得a 2＝(11－a )2＋49－2(11－a )×7，∴a ＝8.(2)∵cos A ＝－17，A ∈(0，π)，∴sin A ＝437.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝7×4378＝32，由(1)知b ＝11－a ＝3，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×3×32＝63.方案二：选条件②(1)∵cos A ＝18，∴A，sin A ＝378.∵cos B ＝916，∴B ，sin B ＝5716.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a378＝11－a 5716，∴a ＝6.(2)sin C ＝sin (π－A －B )＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝74.∵a ＋b ＝11，a ＝6，∴b ＝5.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×5×74＝1574.19．解析：∵函数f (x )的图象相邻对称轴间的距离为π，∴T ＝2πω＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin (x ＋φ).方案一：选条件①∵＝＋φ为奇函数，∴＝2sin ＝0，解得：φ＝π3＋k π，k ∈Z .(1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ；(2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z .∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6，∴函数f (x )在[0，2π]上的单调递增区间为[0，π6]，[76π，2π]；方案二：选条件②＝2sin ＝3，∴sin ＝32，∴φ＝2k π，k ∈Z 或φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，(1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ；(2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z .∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6，∴函数f (x )在[0，2π]上的单调递增区间为[0，π6]，[76π，2π]；方案三：选条件③∵23π是函数f (x )的一个零点，∴＝2sin ＋＝0.∴φ＝k π－2π，k ∈Z .(1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ；(2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z .∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6，∴函数f (x )在[0，2π]上的单调递增区间为[0，π6]，[76π，2π].20．解析：方案一：选条件①.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab＝32.由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b .于是3b 2＋b 2－c 223b2＝32，由此可得b ＝c .由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1.方案二：选条件②.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab＝32.由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b .于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ，B ＝C ＝π6，A ＝2π3.由②c sin A ＝3，所以c ＝b ＝23，a ＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c ＝23.方案三：选条件③.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab＝32.由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b .于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c .由③c ＝3b ，与b ＝c 矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．21．证明：(1)连接BD ，设AC ，BD 相交于点O ，连接MO ，因为M 是线段AC 1的中点，所以在△ACC 1中，MO 綊12CC 1.又F 是BB 1的中点，所以BF 綊12CC 1，所以BF 綊MO ，故四边形MOBF 是平行四边形，所以MF∥BO.又MF⊄平面ABCD，BO⊂平面ABCD，所以MF∥平面ABCD.(2)由(1)知OB∥MF，在菱形ABCD中，OB⊥AC，所以MF⊥AC.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，所以BO⊥CC1，即MF⊥CC1.又MF⊥AC，CC1∩AC＝C，AC⊂平面ACC1A1，CC1⊂平面ACC1A1，所以MF⊥平面ACC1A1.因为MF⊂平面AFC1，所以平面AFC1⊥平面ACC1A1.22．解析：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC.因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.(2)证明：设AC、BD交于点O，连接PO.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，DO＝OB.因为PB＝PD，所以PO⊥BD.因为AC∩PO＝O，PO，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.(3)①过F作FG∥DC交PC于G，连接BG.在菱形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，所以FG∥AB.所以E，F，G，B共面．因为EF∥平面PBC，平面FEBG∩平面PBC＝BG，所以EF∥BG.所以四边形FEBG为平行四边形，所以EB＝FG.所以AE＝2EB，所以PFPD＝FGDC＝EBAB＝13.②△PAD不是等腰三角形，理由如下：作BQ⊥AD交AD于点Q，连接PQ.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BQ⊂平面ABCD，所以BQ⊥平面PAD.所以BQ⊥PD.因为PD⊥PB，PB∩BQ＝B.所以PD⊥平面PBQ.所以PD⊥PQ.所以AD>PD，AD>PA，QD>PD，∠PQD<90°.所以∠PQA>90°.所以PA>AQ.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以△ABD是等边三角形．所以Q为AD的中点．所以AQ＝QD.所以PA>PD.所以△PAD不可能为等腰三角形．。

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