高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

第一部分：椭圆

1．椭圆的概念

在平面与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

(1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2＋

y2

b2＝1 (

a>b>0)

y2

a2＋

x2

b2＝1(

a>b>0)

图形

性质

围

－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b

焦距|F1F2|＝2c

离心率e＝

c

a

∈(0,1)

a，b，c的关系c2＝a2－b2

典型例题

例1.F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段

例2. 已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )

(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(125

1622≠=+y y x

例3. 若F (c ，0)是椭圆22

221x y a b

+=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F

点的距离等于

2

M m

+的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a ±) 2

()(,)b B c a

-± (C)(0，±b ) (D)不存在

例4. 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +2

2y b

=1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,

若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( )

例5 P 点在椭圆120

452

2=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 .

例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; .

(2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的3

1

; ____. (4)离心率为

2

3

，经过点(2，0); . 例7 12F F 、是椭圆2

214

x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ⋅的最大值是 ．

第二部分：双曲线

1．双曲线的概念

平面动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：

(1)当a

(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当a>c时，P点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2－

y2

b2＝1 (

a>0，b>0)

y2

a2－

x2

b2＝1(

a>0，b>0)

图形

性质

围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线y＝±

b

a

x y＝±

a

b

x 离心率e＝

c

a，

e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的

虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚

轴长

a、b、c

的关系

c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

典型例题

例8.命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2a (a >0)；命题乙： 点P 的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( )

(A ) 充要条件 (B ) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件

例9. 过点(2，-2)且与双曲线1222

=-y x 有相同渐近线的双曲线的方程是( ) (A)12422=-y x (B)12422=-x y (C)14222=-y x (D)1422

2=-x y

例10. 双曲线2

21(1)x y n n

-=>的两焦点为12,,F F P 在双曲线上,且满足12PF PF +=则12

F PF 的面积为( )

()1A 1

()2

B ()2

C ()4D

例11. 设ABC ∆的顶点)0,4(-A ，)0,4(B ，且C B A sin 2

1

sin sin =-，则第三个顶点C 的轨迹方程是________.

例12. 连结双曲线12222=-b y a x 与122

22=-a

x b y (a ＞0，b ＞0)的四个顶点的四边形面积为1S ，连结四个焦点的四

边形的面积为2S ，则

2

1

S S 的最大值是________． 例13.根据下列条件，求双曲线方程:

⑴与双曲线

22

1916x y -=有共同渐近线，且过点(-3，32)；

⑵与双曲线

22

1164

x y -=有公共焦点，且过点(2).

例14 设双曲线2

2

12

y x -=上两点A 、B ，AB 中点M （1，2） ⑴求直线AB 方程；

⑵如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 是否共圆，为什么？