2019高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十三直线与圆锥曲线文
2019届高三数学课标一轮复习单元质检 九解析几何 含解
单元质检九解析几何(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线l1:mx+y-1=0与直线l2:(m-2)x+my-1=0,则“m=1”是“l1⊥l2”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A.2条B.3条C.4条D.6条3.已知点P(x,y)为曲线y=x+上任一点,点A(0,4),则直线AP的斜率k的取值范围是()A.[-3,+∞)B.(3,+∞)C.[-2,+∞)D.(1,+∞)4.(2017浙江金丽衢模拟)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则△OAB外接圆的方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x-4)2+(y-2)2=20C.(x+2)2+(y+1)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=205.(2017辽宁沈阳期末)已知直线x-y+4=0与圆x2+y2=16交于A,B两点,则在x轴正方向上投影的绝对值为()A.4B.4C.2D.26.(2017江苏盐城模拟)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.=1B.=1C.=1D.=17.(2017浙江绍兴一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点M(p,0)的直线交抛物线于A,B两点,若=2,则=()A.2B.C.D.与p有关8.如图,已知椭圆C:=1(a>0),点A,F分别为其右顶点和右焦点,过F作AF的垂线交椭圆C于P,Q两点,过P作AP的垂线交x轴于点D,若|DF|=-,则椭圆C的长轴长为()A.2B.4C.2D.49.已知F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M,若∠F1MF2为锐角,则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,)B.(,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)10.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设坐标原点为O,若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.(2017浙江联考)已知直线l1:2x-2y+1=0,直线l2:x+by-3=0,若l1⊥l2,则b=;若l1∥l2,则两直线间的距离为.12.(2017浙江镇海模拟)已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l:x+my+1=0对称,经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,则m=;|MP|=.13.(2017浙江温州期末)若△OAB的垂心H(1,0)恰好为抛物线y2=2px的焦点,O为坐标原点,点A,B在此抛物线上,则此抛物线的方程是,△OAB面积是.14.(2017浙江杭州模拟)已知抛物线y=x2和直线l:y=kx+m(m>0)交于两点A,B,当=2时,直线l 过定点;当m=时,以AB为直径的圆与直线y=相切.15.(2017浙江绍兴)已知圆O1和圆O2都经过点A(0,1),若两圆与直线4x-3y+5=0及y+1=0均相切,则|O1O2|=.16.双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一点,且=0,△F1PF2的内切圆半径r=2a,则双曲线的离心率e=.17.从抛物线y2=2x上的点A(x0,y0)(x0>2)向圆(x-1)2+y2=1引两条切线分别与y轴交于B,C两点,则△ABC的面积的最小值是.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)(2017浙江名校联考)已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B 两点.(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;(2)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.19.(15分)(2017课标Ⅲ高考)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.20.(15分)已知椭圆C1:=1,直线l1:y=kx+m(m>0)与圆C2:(x-1)2+y2=1相切且与椭圆C1交于A,B 两点.(1)若线段AB的中点的横坐标为,求m的值;(2)过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C,D两点,设|AB|=λ|CD|,求λ的最小值.21(15分)已知抛物线C:x2=4y,过点P(0,m)(m>0)的动直线l与C相交于A,B两点,抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q,直线AQ,BQ与x轴分别相交于点E,F.(1)写出抛物线C的焦点坐标和准线方程;(2)求证:点Q在直线y=-m上;(3)判断是否存在点P,使得四边形PEQF为矩形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.22.(15分)(2017浙江四模)设x,y∈R,向量i,j分别为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若向量a=(x+)i+y j,b=(x-)i+y j,且|a|+|b|=4.(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;(2)设椭圆E:=1,P为曲线C上一点,过点P作曲线C的切线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,试证:△OAB的面积为定值.答案：1.A当m=0时,两条直线方程分别化为y-1=0,2x+1=0,此时两条直线相互垂直,∴m=0.当m≠0时,若l1⊥l2,则-m--=-1,解得m=1.综上可得m=0或m=1.故“m=1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件,故选A.2.C过原点与圆x2+(y-2)2=1相切的直线有2条;斜率为-1且与圆x2+(y-2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.3.A由题意知k AP=-=1---3≥-3.4.A由题意知,O,A,B,P四点共圆,所以所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1).又圆的半径r=|OP|=,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.5.C因为圆x2+y2=16的圆心到直线x-y+4=0的距离为d==2,所以|AB|=2-=4,由于直线x-y+4=0的倾斜角为 ,所以在x轴正方向上投影的绝对值为||cos =4=2,故选C.6.D设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,∴M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为=1,故选D.7.B设直线方程为x=my+p,代入y2=2px,可得y2-2pmy-2p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-2p2,=2,∴(p-x1,-y1)=2(x2-p,y2),∴x1=-2x2+p,y1=-2y2,可得y2=p,y1=-2p,∴x2=p,x1=2p,,故选B.8.B由题意可得A(a,0),F(c,0),即有c=-,令x=c,可得y=±-=±,可得P-,由AP⊥PD,可得k AP·k PD=-1,即-----=-1,解得x D=---,由|DF|=-,可得--x D=---,即为a2[a2-(a2-2)]=8,即a2=4,解得a=2.则椭圆C的长轴长为4.故选B.9.D由于图形的对称性,不妨联立--解得-M-,F1(-c,0),F2(c,0), -,由题意可得>0,即>0, 化简可得b2>3a2,即c2-a2>3a2,故可得c2>4a2,c>2a,可得e=>2.故选D.10.B不妨令A,B-,由=m+n可得P-,代入双曲线方程得-=1,化简得4mn=1,∵mn=,,,故双曲线的渐近线方程为y=±x,故选B.-=-1,解得b=1.11.1①∵l1⊥l2,则--②若l1∥l2,则-=-,解得b=-1.∴两条直线方程分别为x-y+=0,x-y-3=0.---则两直线间的距离为12.-13∵圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l:x+my+1=0对称,∴直线l:x+my+1=0过圆心C(1,2),∴1+2m+1=0.解得m=-1.圆C:x2+y2-2x-4y+1=0,可化为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),半径r=2,∵经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,∴|MP|=-=3.13.y2=4x10本题考查抛物线的标准方程与几何性质.因为焦点为H(1,0),所以抛物线的方程是y2=4x.设A(a2,2a),B(b2,2b),由抛物线的对称性可知,b=-a.又因为AH⊥OB,得=-1,解得a=(不妨取正值),从而可得△OAB面积是10-14.(0,2)设A(x1,y1),B(x2,y2),整理得x2-kx-m=0,则x1+x2=k,x1x2=-m,y1y2=(x1x2)2=m2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=k2+2m,由=2,则x1x2+y1y2=m2-m=2,即m2-m-2=0,解得m=-1或m=2,由m>0,得m=2,直线l:y=kx+2,∴直线l过定点(0,2),设以AB为直径的圆的圆心M(x,y),圆M与y=相切于点P,由x=,则P-,由题意可知=0,即--=0,整理得x 1x 2- (x 1+x 2)++y 1y 2+ (y 1+y 2)+=0,代入整理得m 2-=0,解得m=,∴当m= ,以AB 为直径的圆与直线y=相切. 15 如图,∵原点O 到直线4x-3y+5=0的距离d= - =1,到直线y=-1的距离为1,且到(0,1)的距离为1,∴圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ,不妨看作是圆O 1, 设O 2(a ,b ),则由题意得- - 解得∴|O 1O 2|=16.5 可设P 为第一象限的点,由双曲线的定义可得|PF 1|-|PF 2|=2a ,① =0,可得PF 1⊥PF 2, 由勾股定理可得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2,② 由①②可得2|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2,由三角形的面积公式可得r (|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|)=|PF 1|·|PF 2|, 即有c+2a= ,两边平方可得c 2+4a 2+4ac=c 2+b 2=c 2+c 2-a 2, 即c 2-4ac-5a 2=0,解得c=5a (c=-a 舍去), 即有e==5.17.8 设B (0,y B ),C (0,y C ),A (x 0,y 0),其中x 0>2, 所以直线AB 的方程化简得(y 0-y B )x-x 0y+x 0y B =0,直线AB 与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,两边平方化简得(x 0-2)+2y 0y B -x 0=0,同理可得(x 0-2)+2y 0y A -x 0=0,故y C ,y B 是方程(x 0-2)y 2+2y 0y-x 0=0的两个不同的实根,所以y C+y B=-,y C y B=-,所以S=|y C-y B|x0=-=(x0-2)+-+4≥8,所以当且仅当x0=4时,S取到最小值8,所以△ABC的面积的最小值为8.18.解(1)已知圆C:(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),∵直线过点P,C,∴k PC=--=2,直线l 的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0;(2)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0,圆心C 到直线l的距离为圆的半径为3,∴弦AB的长为19.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为-=-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=由于圆M过点P(4,-2),因此=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M 的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为-,圆M的半径为,圆M的方程为-20.解(1)将l1:y=kx+m代入C1:=1得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-4)=0,Δ>0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),则--所以-,①又d==1,得k=-,②联立①②得m4-m2-2=0,解得m=(2)由(1)得|x1-x2|=-,所以|AB|=-,把l2:y=kx代入C1:=1得x2=,所以|CD|=,所以λ=--=--=----,当m=k=-时,λ取最小值21.(1)解焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1.(2)证明由题意,知直线l的斜率存在,故设l的方程为y=kx+m.由方程组得x2-4kx-4m=0,由题意,得Δ=16k2+16m>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以抛物线在点A处的切线方程为y-x1(x-x1),化简,得y=x1x-, ①同理,抛物线在点B处的切线方程为y=x2x-②联立方程①②,得x1x-x2x-,即(x1-x2)x=(x1-x2)(x1+x2),因为x1≠x2,所以x=(x1+x2),代入①,得y=x1x2=-m,所以点Q-,即Q(2k,-m).所以点Q在直线y=-m上.(3)解假设存在点P,使得四边形PEQF为矩形,由四边形PEQF为矩形,得EQ⊥FQ,即AQ⊥BQ,所以k AQ·k BQ=-1,即x1x2=-1.由(2),得x1x2=(-4m)=-1,解得m=1.所以P(0,1).以下只要验证此时的四边形PEQF为平行四边形即可.在①中,令y=0,得E-,直线FQ的斜率同理得F所以直线EP的斜率为k EP=---,k FQ=---所以k EP=k FQ,即EP∥FQ.同理PF∥EQ.所以四边形PEQF为平行四边形.综上所述,存在点P(0,1),使得四边形PEQF为矩形.22.(1)解∵a=(x+)i+y j,b=(x-)i+y j,且|a|+|b|=4,-=4.∴点M(x,y)到两个定点F1(-,0),F2(,0)的距离之和为4.∴点M的轨迹C是以F1,F2为焦点的椭圆,设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),则c=,a=2,故b2=a2-c2=1.其方程为+y2=1.(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx+m代入椭圆E的方程,消去x可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,显然直线与椭圆C的切点在椭圆E内,故Δ>0,由韦达定理可得x1+x2=-,x1x2=--所以|x1-x2|=因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|=-=-=2-设=t,将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.由Δ=0,可得m2=1+4k2,即t=1,又因为S=2-=2-,故S=2为定值.。
2019年高考数学(理)一轮复习精品课时练习：第九章 解析几何 Word版含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品课时练习第九章解析几何第一节直线与方程本节主要包括3个知识点：1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系；2.直线的方程；3.直线的交点、距离与对称问题.突破点(一)直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系[基本知识]1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．2．直线的斜率公式(1)定义式：若直线l的倾斜角α≠π2，则斜率k＝tan_α.(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1.3．两条直线平行与垂直的判定[基本能力]1．判断题(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )(4)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (5)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 2．填空题(1)若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则m ＝________. 答案：－2(2)如图中直线l1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为________．解析：设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3.由题图易知0<α3<α2<90°<α1<180°，∴tan α2>tan α3>0>tan α1，即k 2>k 3>k 1.答案：k 2>k 3>k 1(3)已知直线l 1：x ＝－2，l 2：y ＝12，则直线l 1与l 2的位置关系是________．答案：垂直(4)已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 解析：由题意，得a a －3＝－2，解得a ＝2.答案：2[全析考法]1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：2.tan α的单调性，如图所示：(1)当α取值在⎣⎡⎭⎫0，π2内，由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷大；(2)当α取值在⎝⎛⎭⎫π2，π内，由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0. 解决此类问题，常采用数形结合思想．[例1] (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π (2)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．[解析] (1)因为直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1.设直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m .∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－23，12. [答案] (1)B (2)⎣⎡⎦⎤－23，12 [易错提醒]直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．两直线的位置关系两直线位置关系的判断方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．[例2] (1)已知直线l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．－16B ．6C ．0D ．0或－16(2)已知经过点A (－2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为________．[解析] (1)由l 1∥l 2，得－3a －2a (3a －1)＝0，即6a 2＋a ＝0，所以a ＝0或a ＝－16，经检验都成立．故选D.(2)l 1的斜率k 1＝3a －01－(－2)＝a .当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －(－1)a －0＝1－2aa .因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2aa＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0,0)，这时直线l 2为y 轴，A (－2，0)，B (1,0)，直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0. [答案] (1)D (2)1或0 [方法技巧]已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．[全练题点]1.[考点一]设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，即切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 2.[考点一]直线l 过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．[0,1] C ．[0,2]D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 因为直线过点A (1,2)，且不经过第四象限，作出图象，如图所示，当直线位于如图所示的阴影区域内时满足条件，由图可知，当直线l 过A 且平行于x 轴时，斜率取得最小值，k min ＝0；当直线l 过A (1,2)，O (0,0)时，斜率取得最大值，k max ＝2，所以直线l 的斜率的取值范围是[0,2]．故选C.3.[考点二]若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C ∵直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋(2－m )＝0，m ＋2(2－m )≠0，解得m ＝1.故选C. 4.[考点二]直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( )A ．－12B ．－14C ．10D ．8解析：选A 由直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，得2m －20＝0，m ＝10，直线10x ＋4y －2＝0过点(1，p )，有10＋4p －2＝0，解得p ＝－2，点(1，－2)又在直线2x －5y ＋n ＝0上，则2＋10＋n ＝0.解得n ＝－12.故选A.5.[考点二](2018·温州五校联考)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________.解析：因为直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，所以a ·1＋2·(a －1)＝0，解得a ＝23.答案：23突破点(二) 直线的方程[基本知识]直线方程的五种形式[基本能力]1．判断题(1)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )(3)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb ＝1表示．( )答案：(1)× (2)√ (3)× 2．填空题(1)直线l 经过点(0,1)且倾斜角为60°，则直线l 的方程为________________． 解析：∵k ＝tan 60°＝3，又直线l 过点(0,1)， ∴由点斜式方程得，y －1＝3(x －0)． 即3x －y ＋1＝0. 答案：3x －y ＋1＝0(2)经过点A (2，－3)，倾斜角等于直线y ＝x 的2倍的直线方程为________________． 解析：直线y ＝x 的斜率k ＝1，故倾斜角为π4，所以所求的直线的倾斜角为π2，则所求的直线方程为x ＝2.答案：x ＝2(3)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝____________. 解析：显然a ＝0不符合题意，当a ≠0时，令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－2[全析考法]求直线方程[例1] (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程； (3)求过A (2,1)，B (m,3)两点的直线l 的方程．[解] (1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程， 解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2， 解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (3)①当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； ②当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，代入方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2， 所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0.[易错提醒](1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．与直线方程有关的最值问题[例2] (1)已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．(2)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．[解析] (1)由题得A (2,0)，B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1， 且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝⎛⎭⎫b －122＋12. 由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.(2)易求定点A (0,0)，B (1,3)． 当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ， 所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.[答案] (1)12 (2)5[方法技巧]与直线方程有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y 表示x 或用x 表示y . (2)将问题转化成关于x (或y )的函数． (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．[全练题点]1.[考点一]直线3x －y ＝0绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得直线的方程为( )A ．x ＋3y －3＝0B ．x ＋3y －1＝0C ．3x －y －3＝0D ．x －3y ＋3＝0解析：选B 直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得y ＝－13x ，再向右平移1个单位长度，得y ＝－13(x －1)，即x ＋3y －1＝0.2.[考点二]已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8B ．2 2 C. 2 D ．16解析：选A ∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.3.[考点二]当k >0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为________．解析：直线2x ＋ky －2＝0与x 轴交于点(1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝0，2x ＋ky －2＝0，解得y ＝2kk 2＋2，所以两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形的面积为12×1×2k k 2＋2＝1k ＋2k ，又k ＋2k≥2k ·2k ＝22，故三角形面积的最大值为24. 答案：244.[考点二](2018·苏北四市模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)－2b ＝0，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋2 6a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：255.[考点一]△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程． 解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点， 由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.突破点(三) 直线的交点、距离与对称问题[基本知识]1．两条直线的交点2．三种距离[基本能力]1．判断题(1)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (2)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( ) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )(4)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB的中点在直线l 上．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．填空题(1)两条直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋4＝0的交点为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，x －2y ＋4＝0，可解得⎩⎨⎧x ＝－25，y ＝95.所以两直线交点坐标为⎝⎛⎭⎫－25，95. 答案：⎝⎛⎭⎫－25，95 (2)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是________． 解析：d ＝|0＋0－5|5＝ 5.答案： 5(3)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________. 解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1. 答案：2－1(4)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.答案：2[全析考法]交点问题[例1] (1)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，所以交点坐标为(－9，－8)，代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2，所以a ＝23.[答案] (1)B (2)23[方法技巧]1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．2．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．距离问题[例2] (1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为_____________________________．[解析] (1)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)设所求直线的方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y －3k ＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，解得k ＝2或k＝－23，即所求直线的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. [答案] (1)C (2)2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0[易错提醒](1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |； (2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x ，y 的系数化为对应相等．对称问题1若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得{ x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解2．轴对称问题的两种类型及求解方法若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎨⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2) (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，由已知 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上， 所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.[方法技巧]解决两类对称问题的关键解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．[全练题点]1.[考点一]过点⎝⎛⎭⎫65，－25且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －⎝⎛⎭⎫－25＝－2⎝⎛⎭⎫x －65，即2x ＋y －2＝0.故选C. 2.[考点三]点P (2,5)关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标是( )A ．(5,2)B ．(2，－5)C ．(－5，－2)D ．(－2，－5)解析：选C 设P (2,5)关于直线x ＋y ＝0的对称点为P 1，则PP 1的中点应在x ＋y ＝0上，可排除A ，B ；而(－2，－5)与P (2,5)显然关于原点对称，而不关于直线x ＋y ＝0对称．故选C.3.[考点二]若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 B. 2 C ．3 2D ．2 3解析：选C 点M 在直线x ＋y －6＝0上，到原点的最小距离等价于原点O (0,0)到直线x ＋y －6＝0的距离，即d ＝|0＋0－6|12＋12＝62＝3 2.故选C.4.[考点二]已知A (－2,1)，B (1,2)，点C 为直线y ＝13x 上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( )A ．2 2B ．2 3C ．2 5D ．27解析：选C设B 关于直线y ＝13x 的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0－1＝－3，y 0＋22＝13×x 0＋12，解得B ′(2，－1)．由平面几何知识得|AC |＋|BC |的最小值即是|B ′A |＝(2＋2)2＋(－1－1)2＝2 5.故选C.5.[考点二]已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为__________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.答案：－13或－796.[考点一]经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________________．解析：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．∵l ⊥l 3，直线l 3的斜率为34，∴直线l 的斜率k 1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，则其可化为(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋(4－2λ)＝0，因为直线l 与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，解得λ＝11.则直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0.答案：4x ＋3y －6＝0[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.2．(2013·全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－b a ，y N ＝a ＋b a ＋1.由已知条件得：⎝⎛⎭⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝1，∴a ＝b 21－2b .∵点M 在线段OA 上，∴－1<－ba <0，∴0<b <a .∵点N 在线段BC 上，∴0<a ＋b a ＋1<1，∴b <1.由⎩⎪⎨⎪⎧b 21－2b>b ，b21－2b >0，b >0，解得13<b <12.(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示． 设MC ＝m ，NC ＝n ，则S △MCN ＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >22.又0<m ≤2且m ≠n .∴22<m ≤2且m ≠1. 设D 到AC ，BC 的距离为t ，则t m ＝DN MN ，t n ＝DM MN ，∴t m ＋t n ＝DN MN ＋DM MN＝1. ∴t ＝mn m ＋n ，∴1t ＝1m ＋1n ＝1m ＋m .而f (m )＝m ＋1m ⎣⎡⎭⎫22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝⎛⎦⎤2，322， 即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12.∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－22＜b ≤13. 综合(1)、(2)可得：1－22<b <12. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b.∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B.[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系 1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.2．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1解析：选C 由l 1∥l 3得k ＝5；由l 2∥l 3得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.故若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10.故选C.3．(2018·山东省实验中学月考)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C 的位置关系是________．解析：由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·bsin B ＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y＋sin C ＝0垂直．答案：垂直4．若直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)， 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解得k <－1或k >12.故其斜率的取值范围为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞对点练(二) 直线的方程1．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym ＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号，故选B.2．过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2解析：选A ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为34π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴其方程为x ＝2.3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 设点B 的坐标为(a,0)(a >0)，由OA ＝AB ，得12＋32＝(1－a )2＋(3－0)2，则a ＝2. ∴点B (2,0)．易知k AB ＝－3，由两点式，得AB 的方程为y －3＝－3(x －1)．4．(2018·北京西城区月考)已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝05．已知直线l 过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b .则直线l 的方程为__________________．解析：①若a ＝3b ＝0，则直线过原点(0,0)， 此时直线斜率k ＝－12，直线方程为x ＋2y ＝0.②若a ＝3b ≠0，设直线方程为x a ＋y b ＝1，即x 3b ＋yb ＝1.因为点P (2，－1)在直线上，所以b ＝－13.从而直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0. 答案：x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0对点练(三) 直线的交点、距离与对称问题1．若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则直线l 的倾斜角α为( ) A ．135° B ．45° C ．30°D ．60°解析：选B 由题意知，PQ ⊥l ，∵k PQ ＝a ＋1－bb －1－a ＝－1，∴k l ＝1，即tan α＝1，∴α＝45°.故选B.2．已知点A (1，－2)，B (m,2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 因为线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3.3．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)．4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：选B 直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2)．5．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析：由题意得，63＝a－2≠c －1，∴a ＝－4，c ≠－2.则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0.∴21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c2＋113，∴c ＋2＝±4，∴c ＋2a ＝±1. 答案：±16.如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)， ∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)7．过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为_________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴l 1与l 2交点为(1,2)，设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43，∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝0[大题综合练——迁移贯通]1．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)． (2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大． 又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，所以直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.3．过点P (4,1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解：设直线l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)， 因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1. (1)因为4a ＋1b ＝1≥24a ·1b ＝4ab， 所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时，S △AOB ＝12ab 最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a≥5＋2 a b ·4ba＝9， 当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.第二节 圆的方程本节主要包括2个知识点： 1.圆的方程； 2.与圆的方程有关的综合问题.突破点(一) 圆的方程[基本知识]1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)，圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.[基本能力]1．判断题(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )(4)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2．填空题(1)圆x 2＋y 2－4x ＋8y －5＝0的圆心为________，半径为________． 解析：圆心坐标为(2，－4)， 半径r ＝12(－4)2＋82－4×(－5)＝5.答案：(2，－4) 5(2)圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________________．解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．半径r ＝12|AB |＝12[1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.∴圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2.答案：x2＋(y－3)2＝2(3)若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4.即a2＜1，故－1＜a＜1.答案：(－1,1)[全析考法]1．求圆的方程的两种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[例1](1)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________________．(2)已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________．(3)若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值为________．[解析](1)依题意，设圆心坐标为C(a,0)，则|CA|＝|CB|，即(a－5)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，则a＝2.故圆心为(2,0)，半径为10，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.(2)过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22， 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(3)法一：设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 分别代入A ，B ，C 三点坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.所以A ，B ，C 三点确定的圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.因为D (a,3)也在此圆上，所以a 2＋9－4a －25－5＝0. 所以a ＝7或a ＝－3(舍去)．即a 的值为7.法二：由题易知AB ∥CD ，所以圆的一条对称轴既是AB 的垂直平分线又是CD 的垂直平分线，而AB 的垂直平分线方程为x ＝2，故－3＋a2＝2，解得a ＝7.[答案] (1)(x －2)2＋y 2＝10 (2)(x －1)2＋(y ＋4)2＝8 (3)7 [方法技巧]1．确定圆的方程必须有三个独立条件不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b ，r 或D ，E ，F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r (或D ，E ，F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．2．几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．与圆有关的对称问题1．圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． [例2] (2018·河南六市模拟)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4[解析] 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(1，3)， 从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4. [答案] D[全练题点]1.[考点一]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 解析：选D 圆的半径r ＝(1－0)2＋(1－0)2＝2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.2.[考点一](2018·福建厦门质检)圆C 与x 轴相切于T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B ，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4解析：选A 由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A.3.[考点二]已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ 解析：选A 将圆的方程化成标准形式得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，若圆关于已知直线对称，则圆心(－1,2)在直线上，代入整理得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，故选A. 4.[考点二]圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为________________．解析：圆心(1,0)关于直线y ＝－x 对称的点为(0，－1)，所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.答案：x 2＋(y ＋1)2＝15.[考点二]若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上的相异两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为________．解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx ＋2y －4＝0过圆心，则k ×(－1)＋2×3－4＝0，解得k ＝2.答案：26.[考点一、二](2018·湖北襄阳四中模拟)已知点C (－1,0)，以C 为圆心的圆与直线x －3y －3＝0相切．(1)求圆C 的方程；(2)如果圆C 上存在两点关于直线mx ＋y ＋1＝0对称，求m 的值． 解：(1)因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离即为半径长．由题意，得圆心到直线的距离d ＝|－1－3|1＋3＝2，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)因为圆C 上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心C ，所以－m ＋1＝0，解得m ＝1.突破点(二) 与圆的方程有关的综合问题 (对应学生用书P148)圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题.解决此类问题的关键是数形结合思想的运用.[全析考法]与圆有关的轨迹问题[例1] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )． 在R t △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.[方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法[例2] (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝±3. 所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看成是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，x 2＋y 2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值，最大值．因为圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， 最小值是(2－3)2＝7－4 3.[方法技巧] 与圆有关最值问题的求解策略。
2019版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 课时跟踪检测54 理 新人教A版
2019版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 课时跟踪检测54 理 新人教A 版1．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则点Q 的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0答案：D解析：由题意知，M 为PQ 的中点，设Q (x ，y )，则P 的坐标为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.2．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 答案：B解析：设P (x ，y )，则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0， 又D 2＋E 2－4F ＝16>0， 所以动点P 的轨迹是圆．3．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 作垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线答案：D解析：由已知，得|MF |＝|MB |.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线．4．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3x C ．x 2＝2y D ．y 2＝4x答案：A解析：设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)．因为QP →·QF →＝FP →·FQ →，所以(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y .5．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2答案：D解析：如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1， 又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2， 即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.6．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 答案：D解析：∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|M Q |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5， 故点M 的轨迹为椭圆．∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.7．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1)B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1D ．x 2－y 248＝1答案：A解析：由题意，得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14， 又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |， ∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支． ∵c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．8．直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线答案：A解析：设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1， 所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5 ，所以点C 的轨迹是直线，故选A.9．动点P (x ，y )到定点A (3,4)的距离比P 到x 轴的距离多一个单位长度，则动点P 的轨迹方程为________．答案：x 2－6x －10y ＋24＝0(y ＞0)解析：由题意知，动点P 满足|PA |＝|y |＋1， 即x －2＋y －2＝|y |＋1，当y ＞0时，整理得x 2－6x －10y ＋24＝0； 当y ≤0时，整理得x 2－6x －6y ＋24＝0， 变形为(x －3)2＋15－6y ＝0，此方程无轨迹．10．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，则顶点A 的轨迹方程为________．答案：x 22－y 22＝1(x >2)解析：以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，E ，F 分别为两个切点．则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |. ∴|AB |－|AC |＝22＜|BC |＝4，∴点A 的轨迹为以B ，C 的焦点的双曲线的右支(y ≠0)且a ＝2，c ＝2， ∴轨迹方程为x 22－y 22＝1(x >2)．11．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任意一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．答案：x 2＋y 2＝4解析：由题意，延长F 1D ，F 2A 并交于点B ， 易证Rt △ABD ≌Rt △AF 1D ， ∴|F 1D |＝|BD |，|F 1A |＝|AB |， 又O 为F 1F 2的中点，连接OD ， ∴OD ∥F 2B ，从而可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，设点D 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝4.12．设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且AB 的中点为M ，则点M 的轨迹方程是________．答案：y 2＝2(x －1)解析：由题意知，F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )， 则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 后两式相减并将前两式代入，得 (y 1－y 2)y ＝2(x 1－x 2)． 当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2y ＝2， 又A ，B ，M ，F 四点共线， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝yx －1， 代入上式，得y 2＝2(x －1)；当x 1＝x 2时，M (1,0)也满足这个方程，即y 2＝2(x －1)是所求的轨迹方程．[冲刺名校能力提升练]1．[2017·辽宁葫芦岛调研]在△ABC 中，已知A (2,0)，B (－2,0)，G ，M 为平面上的两点且满足GA →＋GB →＋GC →＝0，|MA →|＝|MB →|＝|MC →|，GM →∥AB →，则顶点C 的轨迹为( )A ．焦点在x 轴上的椭圆(长轴端点除外)B ．焦点在y 轴上的椭圆(短轴端点除外)C ．焦点在x 轴上的双曲线(实轴端点除外)D ．焦点在x 轴上的抛物线(顶点除外) 答案：B解析：设C (x ，y )(y ≠0)，则由GA →＋GB →＋GC →＝0，即G 为△ABC 的重心，得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y3. 又|MA →|＝|MB →|＝|MC →|， 即M 为△ABC 的外心， 所以点M 在y 轴上， 又GM →∥AB →，则有M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 3.所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 32＝4＋y 29，化简得x 24＋y 212＝1，y ≠0.所以顶点C 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴端点)．2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A －B －C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )A BC D答案：D解析：当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y2(0≤y ≤1)，∴y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2,0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，∴y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 所示，故选D.3．[2017·浙江杭州模拟]坐标平面上有两个定点A ，B 和动点P ，如果直线PA ，PB 的斜率之积为定值m ，则点P 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线．试将正确的序号填在横线上：________.答案：①②④⑤解析：设A (a,0)，B (－a,0)，P (x ，y )， 则yx －a ·yx ＋a＝m ，即y 2＝m (x 2－a 2)．①当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆； ②当m ＞0时，点P 的轨迹为双曲线； ③当m ＜0且m ≠－1时，点P 的轨迹为椭圆； ④当m ＝0时，点P 的轨迹为直线． 故选①②④⑤.4.△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．答案：x 29－y 216＝1(x ＞3)解析：如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支， 故轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：(1)依题意，得c ＝5，e ＝c a ＝53， 因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0，x 29＋y24＝4，得x 29＋[k x －x 0＋y 0]24＝1，即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0， Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0， 整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0. 又所引的两条切线相互垂直， 设两切线的斜率分别为k 1，k 2，于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在，则易得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2，经检验知均满足x 20＋y 20＝13.因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13.6．在平面直角坐标系xOy 中，动点P (x ，y )到F (0,1)的距离比到直线y ＝－2的距离小1.(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)过点E (0，－4)的直线与轨迹W 交于两点A ，B ，点D 是点E 关于x 轴的对称点，点A 关于y 轴的对称点为A 1，证明：A 1，D ，B 三点共线．(1)解：由题意可得，动点P (x ，y )到定点F (0,1)的距离和到定直线y ＝－1的距离相等， 所以动点P 的轨迹是以F (0,1)为焦点，以y ＝－1为准线的抛物线． 所以动点P 的轨迹W 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx －4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 1(－x 1，y 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx ＋16＝0. 则Δ＝16k 2－64＞0，即|k |＞2.x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝16.直线A 1B ：y －y 2＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)， 所以y ＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋y 2， 即y ＝x 22－x 21x 1＋x 2(x －x 2)＋14x 22，整理得y ＝x 2－x 14x －x 22－x 1x 24＋14x 22，即y ＝x 2－x 14x ＋x 1x 24.直线A 1B 的方程为y ＝x 2－x 14x ＋4，显然直线A 1B 过点D (0,4)．所以A1，D，B三点共线．。
(北京专用)2019版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第九节直线与圆锥曲线的位置关系课件理
x+3与双曲线
x2 a2
y2
-b2
=1(a>0,b>0)的交点个数是
(A
)
A.1 B.2 C.1或2 D.0
答案
A
因为直线y=b
a
x+3与双曲线的渐近线y=ba
x平行,所以它与双
曲线只有1个交点.
7
3.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点的直
线的斜率为 3 ,则 a 的值为(A )
|AB|=⑦ |x21-x1|k 2
=
|y2-y1|
1
1 k2
.
5
1.直线y=kx-k+1与椭圆
x2
+
y
2
=1的位置关系为
(
A)
94
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
答案 A 由于直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),又(1,1)在椭圆内,故直线 与椭圆相交.
6
2.直线y= b
1-1
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:
x2 + y2
a2 b2
=1(a>b>0)的左焦点
为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.
解析 (1)由题意得a2-b2=1,b=1,则a= 2,
kx m
假设在x轴上存在定点满足条件,不妨设定点为点A(x1,0),
则由已知条件知AS⊥AT,即 AS· =AT0对满足③式的m,k恒成立.
易知 AS=(-4-x1,-4k+m),
(新人教B版)2019届高考一轮复习第九章解析几何9.8直线与圆锥曲线课件文(数学)
-3知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
如消去y后得ax2+bx+c=0. ①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行; 当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合). ②若a≠0,设Δ=b2-4ac. 当Δ > 0时,直线和圆锥曲线相交于不同的两点; 当Δ = 0时,直线和圆锥曲线相切于一点; 当Δ < 0时,直线和圆锥曲线没有公共点.
-7知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
(7)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点, 分别是两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线. (8)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点, 分别是一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线. (9)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点, 该直线是一条与对称轴平行或重合的直线.
=
2 3 . 3
关闭
2
2 3 或 3
解析
答案
-11知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
5
4.已知斜率为
������2 2 1 的直线过椭圆 4 +y =1
的右焦点,交椭圆于 A,B
关闭
两点,则弦 AB 的长为 . 右焦点( 3,0),直线 AB 的方程为 y=x- 3, ������ = ������- 3, 2 由 ������2 得 5 x -8 3x+8=0. 2 + ������ = 1
2 2
−
������2 ������
2 =1
中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜
������ ������ 率 k=������2 ������0 ;在抛物线 y2=2px(p>0)中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线 0 ������ 的斜率 k= . ������0
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 课时跟踪检测(四十五)直线与圆锥曲线 文
课时跟踪检测（四十五） 直线与圆锥曲线一保高考，全练题型做到高考达标1．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．解析：由{ y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则错误!解得－153＜k ＜－1.即k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－153，－1 2．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 上，且直线PN 的斜率是－14，则直线PM 的斜率为________．解析：设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，直线PM 的斜率k PM ＝y 0x 0＋2，直线PN 的斜率k PN ＝y 0x 0－2，可得k PM ·k PN ＝y 20x 20－4＝－34，故k PM ＝－34·1k PN＝3. 答案：33．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与椭圆16x 2＋25y 2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK ＝2AF ，则点A 的横坐标为________．解析：16x 2＋25y 2＝400可化为x 225＋y 216＝1，则椭圆的左焦点为F (－3,0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，所以p2＝－3，即p ＝－6，即y 2＝－12x ，K (3,0)．设A (x ，y )，则由AK ＝2AF 得(x －3)2＋y 2＝2[(x ＋3)2＋y 2]，即x 2＋18x ＋9＋y 2＝0， 又y 2＝－12x ，所以x 2＋6x ＋9＝0，解得x ＝－3. 答案：－34．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m＝________.解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2， 所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上， 所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)， 不妨设x 1＜x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1， 故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－14， y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上， 所以54＝－14＋m ，解得m ＝32.答案：325．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是__________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减并化简得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2.又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0. 答案：x ＋2y －8＝06．(2018·海门中学检测)如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB ―→·DC ―→＝________.解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎨⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB ―→＝(1,0)，DC ―→＝(－1,0)，所以AB ―→·DC ―→＝－1.答案：－17.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．解析：由题图可知，AF ＝a ＋c ，BF ＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a a ＋c .又13<k <12，所以13<a 2－c 2a a ＋c <12，化简可得13<1－e 21＋e <12，解得12<e <23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，238．已知直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且AB ＝12，若M 为抛物线C 的准线上一点，则△ABM 的面积为________．解析：由题意知，抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，对称轴为x 轴，准线为x ＝－p2.因为直线l 与x 轴垂直，所以AB ＝2p ＝12，p ＝6，又点M 在抛物线C 的准线上，所以点M 到直线AB 的距离为6，所以△ABM 的面积S ＝12×6×12＝36.答案：369．(2018·镇江期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点，且OH ＝1，求△POQ 面积的最大值．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，3a 2＋14b2＝1，解得{ a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设l 与x 轴的交点为D (n,0)，直线l ：x ＝my ＋n ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 2＝1消去x ，整理得(4＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－4＝0，所以y 1＋y 2＝－2mn 4＋m 2，y 1y 2＝n 2－44＋m 2，故y 1＋y 22＝－mn 4＋m 2，x 1＋x 22＝my 1＋y 2＋2n2＝4n4＋m2， 即H ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 4＋m 2，－mn 4＋m 2， 由OH ＝1，得n 2＝＋m 2216＋m2， 则S △POQ ＝12OD |y 1－y 2|＝12|n ||y 1－y 2|.令T ＝n 2(y 1－y 2)2＝n 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝＋m2＋m22，设t ＝4＋m 2(t ≥4)，则4＋m2＋m22＝t t 2＋24t ＋144＝1t ＋144t＋24≤12t ·144t＋24＝148， 当且仅当t ＝144t，即t ＝12时，S △POQ ＝1，所以△POQ 面积的最大值为1.10．(2018·淮安高三期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左顶点A 作直线l ，与椭圆C 和y 轴正半轴分别交于点P ，Q .(1)若AP ＝PQ ，求直线l 的斜率；(2)过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M ，N ，求证：AP ·AQMN 2为定值． 解：(1)依题意，椭圆C 的左顶点A (－2,0)， 设直线l 的斜率为k (k >0)，点P 的横坐标为x P ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，则－2·x P ＝16k 2－44k 2＋1，从而x P ＝2－8k21＋4k 2.因为AP ＝PQ ，所以x P ＝－1.所以2－8k 21＋4k 2＝－1，解得k ＝32(负值舍去)． (2)证明：设点N 的横坐标为x N .结合(1)知，直线MN 的方程为y ＝kx .联立⎩⎨⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，得x 2N ＝41＋4k2. 从而AP ·AQMN 2＝x P ＋x N2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋24×41＋4k2＝12(定值)．二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程．(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上得，1a 2＋94b 2＝1，①依题设知a ＝2c ，则a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，② 将②代入①得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)存在．理由如下： 由题意可设AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，③代入椭圆方程并整理得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝k 2－4k 2＋3，④ 在方程③中令x ＝4，得M (4,3k )．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.因为A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ， 即y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1，⑤将④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k24k 2＋3－2k 2－4k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1. 又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．2．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦距为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)如图，动直线l ：y ＝k 1x －32交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为k 2，且k 1k 2＝24，M 是线段OC 延长线上一点，且MC ∶AB ＝2∶3，⊙M 的半径为MC ，OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S ，T .求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．解：(1)由题意知e ＝ca ＝22，2c ＝2， 所以a ＝2，b ＝1，因此椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x22＋y 2＝1，y ＝k 1x －32消去y ，得(4k 21＋2)x 2－43k 1x －1＝0， 由题意知Δ>0，且x 1＋x 2＝23k 12k 21＋1，x 1x 2＝－1k 21＋，所以AB ＝1＋k 21|x 1－x 2|＝2·1＋k 21·1＋8k 211＋2k 21. 由题意可知圆M 的半径r 为 r ＝23AB ＝223·1＋k 21·1＋8k 212k 21＋1. 由题设知k 1k 2＝24，所以k 2＝24k 1， 因此直线OC 的方程为y ＝24k 1x .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24k 1x ，得x 2＝8k 211＋4k 21，y 2＝11＋4k 21，因此OC ＝x 2＋y 2＝1＋8k 211＋4k 21. 由题意可知sin ∠SOT 2＝rr ＋|OC |＝11＋|OC |r， 而OCr ＝1＋8k 211＋4k 21223·1＋k 21·1＋8k 211＋2k 21＝324·1＋2k 211＋4k 21·1＋k 21， 令t ＝1＋2k 21，则t >1，1t∈(0,1)，因此OC r ＝32·t 2t 2＋t －1＝32·12＋1t －1t2＝32·1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122＋94≥1，当且仅当1t ＝12，即t ＝2时等号成立，此时k 1＝±22，所以sin ∠SOT 2≤12，因此∠SOT 2≤π6，所以∠SOT 的最大值为π3.综上所述，∠SOT 的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为k 1＝±22.。
2019版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第八节直线与圆锥曲线夯基提能作业本文
第八节直线与圆锥曲线A组基础题组1.直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是( )A.至多一个B.2C.1D.02.已知经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q,则k的取值范围是( )A.B.∪C.(-,)D.(-∞,-)∪(,+∞)3.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线( )A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条4.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·等于( )A.-3B.-C.-或-3D.±5.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是( )A.4B.3C.4D.86.已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为.7.已知椭圆C:+=1(a>b>0),F(,0)为其右焦点,过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为.8.设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为.9.椭圆C:+=1(a>b>0)过点,离心率为,左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)当△F2AB的面积为时,求直线的方程.10.在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.B组提升题组11.设抛物线E:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与E交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为( )A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)。
高考数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第九章 解析几何 9.9 直线与圆锥曲线 Word版含答案
§9.9 直线与圆锥曲线考纲展示►1.掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的思想方法． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．考点1 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C ________；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C ________； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C ________.(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是________；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是________．答案：(1)相交 相切 相离 (2)平行 平行或重合[典题1] (1)[2017·甘肃兰州检测]若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0 [答案] B[解析]∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4.∴m 29＋n 24＜m 29＋4－m 24＝1－536m 2＜1， ∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个．(2)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎪⎫－153，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 [答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－－k2－，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，解得－153＜k ＜－1. 即k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1. [点石成金] 直线与圆锥曲线的位置关系的两种判定方法及两个关注点 (1)判定方法①代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．②几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． (2)关注点①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况． ②判断直线与圆锥曲线的位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．考点2 弦长问题圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.[典题2] [2017·贵阳摸底]如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与C D.当直线AB 斜率为0时，AB ＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．[解] (1)由题意知，e ＝c a ＝12，2a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当两条弦中的一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知，|AB |＋|CD |＝7，不满足条件．②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线AB 的方程代入椭圆方程中并整理，得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝k 2＋1·x 1＋x 22－4x 1x 2＝k 2＋3＋4k2.同理，|CD |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋13＋4k2＝k 2＋3k 2＋4.所以|AB |＋|CD |＝k 2＋3＋4k2＋k 2＋3k 2＋4＝k 2＋2＋4k2k 2＋＝487， 解得k ＝±1，所以直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. [点石成金] 处理弦长问题的两个注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长；(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________．答案：y 2＝3x解析：分别过点A ，B 作AA 1，BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1，B 1，由|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|， ∴∠BCB 1＝30°， 又|AA 1|＝|AF |＝3， ∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3， ∴F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .考点3 中点弦问题[考情聚焦] 弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点． 主要有以下几个命题角度： 角度一由中点弦确定直线方程[典题3] [2017·江西九校联考]已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦交椭圆于A ，B 两点，且此弦被点P 平分，则此弦所在的直线方程为________．[答案]x ＋2y －3＝0[解析] 解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y －1＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －，x 24＋y22＝1消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k k －2k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2，∴4kk －2k 2＋1＝2，解得k ＝－12.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.解法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1，①x 224＋y 222＝1，②①－②得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 角度二由中点弦确定曲线方程[典题4] [2017·福建福州质检]抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2x C ．x 2＝2y D ．y 2＝－2x [答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，解得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x . 角度三由中点弦解决对称问题[典题5] [2015·浙江卷]已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． [解] (1)由题意知m ≠0， 可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0.①将线段AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2.② 由①②得m <－63或m >63. 故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，＋∞. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤ 22，当且仅当t 2＝12时等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. [点石成金] 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.[方法技巧] 求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x 或y )成为二次方程之后，结合韦达定理，建立等式关系或不等式关系．(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．[易错防范] 判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线也相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外，易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．真题演练集训1．[2013·新课标全国卷Ⅰ]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A. x 245＋y 236＝1B. x 236＋y 227＝1 C. x 227＋y 218＝1 D. x 218＋y 29＝1 答案：D解析：直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y 22b 2＝1，②①－②，得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.即k ＝－b 2a 2×2－2，∴b 2a 2＝12.③ 又a 2－b 2＝c 2＝9，④ 由③④得a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1，故选D.2．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938 C.6332D.94答案：D解析：易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝33，故直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212.由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，结合图象可得O 到直线AB 的距离d ＝p 2sin 30°＝38，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝94.3．[2016·江苏卷]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．(1)解：抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)解：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)．因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点， 所以y 1≠y 2，从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0， 化简得p ＋2b >0.方程(*)的两根为y 1,2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②解：因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p . 由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0， 所以p <43.因此，p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.4．[2016·山东卷]平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．(1)解：由题意知，a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2，因为抛物线E 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)①证明：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22(m >0)．由x 2＝2y ，可得y ′＝x ， 所以直线l 的斜率为m .因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5), (*)且x 1＋x 2＝4m34m 2＋1，因此x 0＝2m34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 2m 2＋，因为y 0x 0＝－14m，所以直线OD 的方程为y ＝－14mx . 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．②解：由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22.令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎝⎛⎭⎪⎫0，－m 22. 又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m34m 2＋1，－m2m 2＋， 所以S 1＝12·|GF |·m ＝m 2＋m4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m m 2＋2m 2＋.所以S 1S 2＝m 2＋m 2＋m 2＋2.设t ＝2m 2＋1.则S 1S 2＝t －t ＋t 2＝2t 2＋t －1t2＝－1t2＋1t＋2，当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取得最大值94， 此时m ＝22，满足(*)式， 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，14， 因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.课外拓展阅读 忽视讨论二次项系数致误[典例] 已知点A (0,2)和双曲线x 2－y 24＝1，过点A 与双曲线只有一个公共点的直线的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 设过点A (0,2)的直线为y ＝kx ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 24＝1，得(4－k 2)x 2－4kx －8＝0.当k 2＝4，即k ＝±2时，方程只有一解，即只有一个交点． 当k 2≠4时，方程有一解时Δ＝(－4k )2－4×(4－k 2)×(－8)＝0， ∴k 2＝8，∴k ＝±22k ，k 为切线的斜率． 综上，共有4条直线．故选D.[易错分析] 得出方程(4－k 2)x 2－4kx －8＝0后，不考虑k 2＝4，直接由Δ＝0，得k ＝±22，错选B.[答案] D 温馨提醒直线与双曲线只有一个公共点时，该直线可与双曲线相切(Δ＝0)，也可也其渐近线平行，故只有一个公共点不一定是相切关系，注意数形结合法的应用．提醒 完成课时跟踪检测(五十五)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时达标检测（四十三） 直线与圆锥曲线
[小题常考题点——准解快解]
1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x2a2－y2
b2＝1的交点个数是( )
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
解析：选A 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b
a x 平行，所以它与双曲线只有1
个交点．
2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA ―→·MB ―→
＝0，则m ＝( )
A. 2
B.22
C.12
D ．0 解析：选B 由⎩⎨
⎧
y ＝22－
，
y2＝4x ，
得A (2,22)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－2，又∵M (－1，m )且MA ―→·MB ―→＝0，∴2m 2
－22m ＋1＝0，解得m ＝22
.
3．斜率为1的直线l 与椭圆x24
＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.45
5 C.410
5
D.810
5
解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧
x24＋y2＝1，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2
－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85
t ，x 1x 2＝
－5
.
∴
|AB |
＝
1＋k2|x 1－x 2|＝1＋k2·＋－4x1x2＝
2·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－85t 2－4×－5
＝
425·5－t2，故当t ＝0时，|AB |max ＝410
5
. 4．已知双曲线x2a2－y2
b2＝1(a >0，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，
若抛物线y ＝ax 2
上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12
，则m
的值为( )
A.32
B.52 C ．2
D ．3
解析：选A 由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2
.因为点
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 2，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1
－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1＜x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y1－y2x1－x2
＝－1，故x 1＋
x 2＝－1
2，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12
，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，
则x 0＝x1＋x22＝－14，y 0＝y1＋y22＝2x21＋2x222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以5
4＝
－14＋m ，解得m ＝3
2
. 5．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2
＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．
解析：直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎨
⎧
y ＝3x ＋1，
x2＝4y ，
得y 2
－14y ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14，∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.
答案：16
6．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2
＋1只有一个公共点，
则双曲线的离心率为________．
解析：双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线为y ＝b a
x ，由方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝b a x ，y ＝x2＋1，
消去y ，得
x 2－b a
x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a
2
－4＝0，b a ＝2，所以e ＝c a ＝
a2＋b2
a
＝ 1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2＝5.
答案： 5
7．已知抛物线C ：y 2
＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA ―→·MB ―→
＝0，则k ＝________.
解析：如图所示，设F 为焦点，易知F (2，0)，取AB 的中点P ，过
A ，
B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA ―→·MB
―→。