北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元检测试题(无答案)
北师大版九年级上册数学单元测试卷(第四章 图形的相似)
2019年秋北师九上数学单元测试卷班级 姓名第四章 图形的相似 [时间：120分钟 分值：150分]一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)1．2018· 如果x ∶(x ＋y )＝3∶5，那么xy＝( )A.32B.38C.23D.852．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝2，则EF 的长为( )A ．4B ．5C ．6D ．83．能说明△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( ) A.AB A ′B ′＝AC A ′C ′或BC B ′C ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠C ′C.AB A ′B ′＝BCB ′C ′且∠B ＝∠B ′D.AB A ′B ′＝BCA′C′且∠B ＝∠A ′ 4．[2018·滨州]在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，8)，B (10，2)．若以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩短为原来的12后得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为( )A ．(5，1) ．(4，3) C ．(3，4)．(1，5)5．[2018·贵港]如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AB ＝3AE .若S 四边形BCFE＝16，则S △ABC ＝( )B.18D.246．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC ∽△EPD ，则点P 所在的格点为( )A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 48．如图，已知AB ，CD ，EF 都与BD 垂直，垂足分别是点B ，D ，F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( )A.13B.23C.34D.459．[2018·厦门一模]我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度．比如，通过下列步骤可测量山的高度PQ (如图)：(1)测量者在水平线上的A 处竖立一根竹竿，沿射线QA 方向走到M 处，测得山顶P 、竹竿顶端B 及M 在一条直线上；(2)将该竹竿竖立在射线QA 上的C 处，沿原方向继续走到N 处，测得山顶P 、竹竿顶端D 及N 在一条直线上；(3)设竹竿与AM ，CN 的长分别为l ，a 1，a 2，可得公式PQ ＝d la 2－a 1＋l.则上述公式中，d 表示的是( )A ．QA 的长 ．AC 的长C ．MN 的长D ．QC 的长10．[2018·包头]如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F .若BC ＝4，∠CBD ＝30°，则DF 的长为( )A.235B.233C.334D.435二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 11．已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝2 cm ，b ＝3 cm ，d ＝6 cm ，则c ＝____ ____ cm.12．[2018·上海]如图，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是__ __．,13．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，且AD ＝2.5 cm ，DB ＝0.9 cm ，则CD ＝__ __cm ，S △ACD ∶S △CBD ＝__ __．14．[2018·包头]如图，在ABCD 中，AC 是一条对角线，EF ∥BC ，且EF 与AB 相交于点E ，与AC 相交于点F ，3AE ＝2EB ，连接DF .若S △AEF ＝1，则S △ADF 的值为__ __．15．如图，等边△ABC 的边长为3，点P 为BC 上一点，且BP ＝1，点D 为AC 上一点．若∠APD ＝60°，则CD 的长为__ __.16．[2018秋·金牛区期末]如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，点E 是BC 边上的一动点，连接OE ，将△BOC 分成了两个三角形，若BE ＝OB ，且OC 2＝CE ·BC ，则∠BOC 的度数为__ __．三、解答题(本大题共9个小题，共96分)17．(10分)若a b ＝c d ＝e f ＝25.求：(1)a －c b －d； (2)2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f； (3)比较(1)(2)的结论能发现什么规律？18．(10分)[2018秋·宜宾县期中]已知，如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是点F，E，试证明：(1)△BAF∽△BCE；(2)△BEF∽△BC A.19．(10分)[2018·青海]如图，在平行四边形ABCD中，E为AB 边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F.(1)求证：AD＝BF；(2)若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．20．(10分)将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标．(1)沿y轴正方向平移2个单位；(2)关于y轴对称；(3)以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍．21．(10分)如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EA D.22．(10分)如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A ＝∠B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．23．(12分)[2018·金华、丽水节选]在ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝12.点D 在直线CB 上，直线AB 与直线CE ，DE 的交点分别为点F ，G .如图，点D 在线段CB 上，四边形ACDE 是正方形．(1)若点G 为DE 的中点，求FG 的长． (2)若DG ＝GF ，求BC 的长．,24．(12分)如图，已知Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线交于点F ，求证：(1)△ABD ∽△CAD ； (2)AB AC ＝DF AF.25．(12分)[2018·淮安节选]如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝__ __ ；(2)如图，在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E(异于点D)，使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．参考答案一、1．A 【解析】 由xx ＋y ＝35得5x ＝3x ＋3y ，即x y ＝32.2．C 【解析】 ∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB BC ＝DE EF ，即13＝2EF，得EF ＝6. 3．C 【解析】C 项满足三角形两边对应成比例且夹角相等，其他选项都不满足三角形相似的条件．4．C 【解析】 根据题意点C 的坐标为(6×12，8×12)，即C (3，4)．5．B 【解析】 设△AEF 的面积为S ，则△ABC 的面积为16＋S ，由于在△ABC 中，EF ∥BC ，AB ＝3AE ，所以S 16＋S ＝(AE AB )2＝(13)2＝19，解得S ＝2，所以S △ABC ＝16＋2＝18，故选．6．B 【解析】 ∵DE ∥AB ，∴△DEF ∽△ABF .∵AD ∥BC ，∴△EDF ∽△ECB ，因此与△DEF 相似的三角形有2个．7．C 【解析】 ∵∠BAC ＝∠PED ，而AB AC ＝32，∴EP ED ＝32时，△ABC ∽△EP D.∵DE ＝4，∴EP ＝6，∴点P 落在P 3处．8．C 【解析】 ∵AB ∥EF ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ，∴EC BE ＝DCAB ＝3，同理△BEF ∽△BCD ，∴EF CD ＝BE BC ＝BE BE ＋EC ＝14，∴EF ＝34.9．B 【解析】 ∵AB ∥PQ ，∴PQ AB ＝MQ AM ，∴PQ l ＝a 1＋AQ a 1，∴AQ ＝PQl ·a 1－a 1.∵CD ∥PQ ，∴PQ CD ＝NQ CN ，∴PQ l ＝a 2＋AC ＋AQ a 2，∴AQ ＝PQl ×a 2－a 2－A C.∴PQ ＝AC·la 2－a 1＋l ，∴d＝A C.10．D【解析】 连接DE ，∵∠BDC ＝90°，∴DE ＝BE ＝12BC ＝2，∴∠CBD ＝∠EDB ＝30°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°， ∴AB ∥DE ，∴△DEF ∽△BAF ，∴DE AB ＝DF BF， 易求得AB ＝3，∴DE AB ＝DF BF ＝23，∴DF ＝25BD ＝25×23＝45 3.二、11．4. 12． 127．答图【解析】 如答图，作AH ⊥BC 于点H ，交GF 于点I .设正方形的边长是x ，∵△ABC 的面积是6，∴12×BC ×AH ＝6.又∵BC ＝4，∴AH＝3，AI ＝3－x .∵正方形DEFG ，∴GF ∥BC ，∴GF BC ＝AI AH ，3－x 3＝x4，解得x ＝127，∴正方形的边长是127.13． 1.5 25∶9．【解析】 ∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°. 又∵CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B ＝90°， ∴∠A ＝∠BC D.又∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴△ACD ∽△CBD ，∴AD CD ＝CD DB，∴CD 2＝AD ·DB ＝2.5×0.9＝2.25， ∴CD ＝1.5 cm ，∴S △ACD S △CBD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD CD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2.51.52＝259. 14．52 【解析】 ∵3AE ＝2EB ，∴AE EB ＝23.∵EF ∥BC 易证得△AEF ∽△ABC ，∴S △AEF S △ABC ＝425，又∵S △AEF ＝1，∴S △ABC ＝254，∵AC 是对角线，∴S △ADC ＝254，又∵AF FC ＝AE EB ＝23， ∴S △ADF ＝25S △ADC ＝25×254＝52.15．23 【解析】 ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝3，∠B ＝∠C ＝60°， ∴∠BAP ＋∠APB ＝180°－60°＝120°. ∵∠APD ＝60°，∴∠APB ＋∠DPC ＝180°－60°＝120°， ∴∠BAP ＝∠DP C.又∵∠B ＝∠C ，∴△BAP ∽△CPD ，∴AB CP ＝BPCD.∵AB ＝BC ＝3，BP＝1，∴CP ＝BC －BP ＝2，即32＝1CD ，解得CD ＝23. 16．108°解：∵OC 2＝CE ·BC ，∴OC CE ＝BCOC，∵∠OCE ＝∠OCB ， ∴△OCE ∽△BCO ， ∴∠COE ＝∠CBO . ∵四边形ABCD 是矩形， ∴OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝∠COE ，设∠OBC ＝∠OCB ＝∠COE ＝x ，∵BE ＝BO ，∴∠BOE ＝∠BEO ＝∠COE ＋∠ECO ＝2x ， ∵∠OBC ＋∠OCB ＋∠BOC ＝180°， ∴x ＋x ＋3x ＝180°， ∴x ＝36°， ∴∠BOC ＝3x ＝108°.三、17．解：(1)∵a b ＝c d ＝25，∴a ＝25b ，c ＝25d∴a －c b －d ＝25b －25d b －d ＝25（b －d ）b －d ＝25. (2)∵a b ＝c d ＝e f ＝25，∴2a 2b ＝3c 3d ＝－4e －4f ＝25，同(1)可知， 2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f ＝25（2b ＋3d －4f ）2b ＋3d －4f ＝25.(3)a －c b －d ＝2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f ＝a b. 18．证明：(1)∵AF ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴∠AFB ＝∠CEB ＝90°. ∵∠B ＝∠B ， ∴△BAF ∽△BCE . (2)∵△BAF ∽△BCE ，∴BF BE ＝BA BC，∴BFBA＝BEBC，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BC A.19．(1)证明：∵点E是AB中点，∴AE＝BE.1分∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥B C.又∵点F在CB，DE的延长线上，∴AD∥BF，∴∠ADE＝∠BFE，又∵∠AED＝∠BEF，∴△AED≌△BEF，∴AD＝BF；(2)解：∵EB∥CD，∴△EFB∽△FD C.∵△AED≌△BFE，∴ED＝EF，S△AED＝S△BFE，∴EFDF＝12，∴S△BEFS△DCF＝14，设S△BFE为x，S四边形EBCD为3x，则4x＝32，x＝8，S四边形EBCD＝3×8＝24.20．解：图略．(1)△ABC沿y轴正方向平移2个单位后所得△A1B1C1的三个顶点坐标为A1(0，0)，B1(3，1)，C1(2，3).(2)△ABC关于y轴对称的△A2B2C2的三个顶点坐标分别为A2(0，－2)，B2(－3，－1)，C2(－2，1).(3)将△ABC以点C为位似中心，放大为原来的2倍后所得△A3B3C3的三个顶点坐标分别为A3(6，7)，B3(0，5)，C3(2，1)或A3(－2，－5)，B3(4，－3)，C3(2，1).21．证明：∵AD＝DB，∴∠B＝∠BA D.又∵∠AED＝∠B＋∠2，∠BAC＝∠BAD＋∠1，∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠AED，∴△ABC∽△EA D.22．解：图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM.以下证明△AMF∽△BGM.∵∠AFM＝∠DME＋∠E，∠DME＝∠A＝∠B，∴∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG.又∵∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM.23．答图解：(1)在正方形ACDE 中，有DG ＝GE ＝6. 在AEG 中，AG ＝AE 2＋EG 2＝122＋62＝6 5.∵EG ∥AC ，∴△ACF ∽△GEF . ∴FG AF ＝EG AC ，∴FG AF ＝612＝12. ∴FG ＝13AG ＝2 5.(2)如答图，在正方形ACDE 中，AE ＝ED ，∠AEF ＝∠DEF ＝45°， 又EF ＝EF ，∴△AEF ≌△DEF . 设∠1＝∠2＝x .∵AE ∥BC ，∴∠B ＝∠1＝x . ∵GF ＝GD ， ∴∠3＝∠2＝x .在△DBF 中，∠3＋∠FDB ＋∠B ＝180°， ∴x ＋(x ＋90°)＋x ＝180°，解得x ＝30°， ∴∠B ＝30°.∴在ABC中，AB＝2AC＝24，BC＝AB2－AC2＝242－122＝12 3.24．证明：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠ACD＝90°，∴∠BAD＝∠AC D.又∵∠ADB＝∠ADC，∴△ABD∽△CA D.(2)∵△ABD∽△CAD，∴ABCA＝BDAD.∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，∴ED＝EC，∴∠ACD＝∠ED C.∵∠EDC＝∠BDF，∠ACD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠BDF.又∵∠AFD＝∠DFB，∴△AFD∽△DFB，∴ADDB＝AFDF，∴ABAC＝DFAF.25．【解析】 (1)由“准互余三角形”定义可知：若△ABC是“准互余三角形”，又∠C ＞90°，则有2∠A ＋∠B ＝90°或2∠B ＋∠A ＝90°， 又∵∠A ＝60°，∴2∠A ＋∠B ＝90°不成立，即代入2∠B ＋∠A ＝90°；可得∠B ＝15°. 解：(2)存在，BE ＝95.∵点E 在BC 边上， ∴∠AEB ＞90°，∴2∠BAE ＋∠B ＝90°或2∠B ＋∠BAE ＝90°， ∵点E (异于点D )，∴2∠BAE ＋∠B ＝90°不成立． 在ABC 中，可得∠BAE ＋∠EAC ＋∠B ＝90°，又由“准互余三角形”定义可知：2∠B ＋∠BAE ＝90°， ∴∠B ＝∠EAC ， ∴△ABC ∽△EAC ，∴AC EC ＝BC AC， ∵AC ＝4，BC ＝5， ∴EC ＝165，∴BE ＝BC －EC ＝95.。
北师大九年级上册数学第四章 图形的相似 单元测试卷(无答案)
北师大九年级上册数学第四章 图形的相似 单元测试卷一、选择题〔每题3分，共30分〕1、假设a 、b 、c 、d 是互不相等的正数，且a b =cd ，那么以下式子错误的选项是〔 〕A 、a b c d b d --=B 、a b c d a b c d --=++C 、2222a c b d= D 、1111a c b d ++=++ 2、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，假如AD ∶BC =1∶3，那么以下结论正确的选项是〔 〕A.S △COD =9S △AODB.S △ABC =9S △ACDC.S △BOC =9S △AODD.S △DBC =9S △AOD3、假设△ABC 与△A ′B ′C ′相似，∠A =55°,∠B =100°，那么∠C ′的度数是〔 〕A.55°B.100°C.25°4、矩形ABCD 中，AB =1，在BC 上取一点E ， 沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，假设四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，那么AD =〔 〕A 、B 、C 、D 、25、如图，在△ABC 中，AB =8，BC =7，AC =6，延长边BC 到点P ，使得△PAB 与△PCA 相似.那么PC 的长是( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)10〔第4题图〕 〔第5题图〕 〔第6题图〕 6、如图,在△ABC 中,BC >AC ,点D 在BC 上,且DC =AC ,∠ACB 的平分线交AD 于E ,点F 是AB 的中点,连接EF ,那么S △AEF ∶S 四边形BDEF 为 ( )A.3∶4B.1∶2C.2∶3D.1∶37、如图7，6BC =，E ，F 分别是线段AB 和线段AC 的中点，那么线段EF 的长是〔 〕A ．6B ．5 D ．38、如图10，梯形ABCD 的对角线交于点O ，有以下四个结论：④AOD BOC S S =△△．其中始终正确的有〔 〕A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个 9、如图，平行四边形ABCD 中，AB ∶BC =3∶2，∠DAB =60°，E 在AB 上，且AE ∶EB =1∶2，F是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，那么DP ∶DQ 等于〔 〕A．3∶4 B．13∶25 C ．13∶26 D．23∶1310、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上〔与B、C不重合〕，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CEFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是〔〕A、1B、2C、3D、4〔第7题图〕〔第8题图〕〔第9题图〕〔第10题图〕二、填空题〔每题8分，共24分〕11、如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．假设AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．那么△EBF的周长是________cm．12、如下图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AB、AD的中点，点G是CF上的一点，使得3 CG＝2 GF，那么三角形BEG的面积为13、如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝12FD，EF交AC于G，那么AG︰AC ＝______．14、如图10，Rt△DEF是由Rt△ABC沿BC方向平移得到的，假如AB=8，BE=4，DH=3，那么△HEC的面积为 .〔第11题图〕〔第12题图〕〔第13题图〕〔第14题图〕15、如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．假设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．那么y与x的函数关系式为．16、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6 cm,动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1 cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设点Q运动的时间为t s，假设四边形QPCP′为菱形，那么t的值为 .17、如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．假设CD＝CF，那么AE AD．18、如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别是PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,假设S=2,那么S1+S2= .〔第15题图〕〔第16题图〕〔第17题图〕〔第18题图〕三、解答题〔共66分〕19、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．〔1〕证明：△ACD∽△CBD；〔2〕AD=2，BD=4，求CD的长．20、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元检测试题
单元检测试题：《图形的相似》一．选择题1．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°2．如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是（）A．B．C．D．3．已知＝，那么的值为（）A．B．C．D．4．如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P 的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．在△ABC中，边BC＝6，高AD＝4，正方形EFGH的顶点E、F在边BC上，顶点H、G分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．26．如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．167．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（）A．B．C．D．8．如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8．正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G 分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝4．则点F到BC的距离为（）A．1 B．2 C．4﹣4 D．8﹣49．如图，某学生利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为2 m，并测得BC＝3 m，CA＝1 m，那么树DB的高度是（）A ．6mB ．8mC ．32mD ．0.125m10．下列各组图形中一定相似的图形是（ ） A ．有一个角相等的两个等腰三角形 B ．两邻边之比相等的两个平行四边形 C ．有一个角为60°的两个菱形 D ．两个矩形11．如图，已知∠ACD ＝∠B ，若AC ＝6，AD ＝4，BC ＝10，则CD 长为（ ）A ．B ．7C ．8D ．912．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE ＝1：4，则S △BDE ：S △ACD ＝（ ）A ．1：16B ．1：18C ．1：20D ．1：24二．填空题 13．若，则＝ ．14．如图，点B 在AD 上，AB ＝1，AD ＝4，且△ABC ∽△ACD ，则AC ＝ ．15．如图，在▱ABCD 中，AC 是一条对角线，EF ∥BC ，且EF 与AB 相交于点E ，与AC 相交于点F ，3AE ＝2EB ，连接DF ．若S △AEF ＝1，则S △ADF 的值为 ．16．如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，若AB＝2，CD＝3，则EF＝．17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长都是1）．△A1B1C1是以B为位似中心的△ABC的位似图形，且△A1B1C1与△ABC位似比为2，则点C1的坐标是，△A1B1C1的面积是．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于点E，下列结论：①AD2＝AE．AB；②1.8≤AE＜5；③当AD＝时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形，BD为4或6.25．其中正确的结论是．（把你认为正确结论序号都填上）三．解答题19．如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F．（1）写出图中的三对相似三角形（注意：不添加辅助线）；（2）请在你所找出的相似三角形中选一对，说明相似的理由．20．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．21．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）．按下列要求画图：以O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：（1）顶点A1的坐标为，B1的坐标为，C1的坐标为；（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形），写出符合要求的变换过程．22．如图，在矩形ABCD中，点M是CD的中点，MN⊥BM交AD于N，连BN；（1）求证：BM平分∠NBC；（2）若＝，求的值．23．已知：矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴上，且OA＝3cm，OC＝4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当点N运动1秒时，求点N的坐标；（2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；（3）t为何值时，以△OAN的一边所在直线为对称轴翻折△OAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？24．某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在个、个、个大小不同的内接正方形．乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．任务：（1）填充甲同学结论中的数据；（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明．参考答案一．选择题1．解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，∴∠B＝42°，∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E．∴∠E＝42°．故选：C．2．解：∵△ABC∽△ADE，∴．故选：D．3．解：∵＝，∴设a＝2k，则b＝3k，则原式＝＝．故选：B．4．解：∵点P的纵坐标为，∴点P在直线y＝上．①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，b＝2，则P（1，）；②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA，∴PA2＝AB•OA，∴＝b﹣1，∴（b﹣8）2＝48，解得b＝8±4，∴P（1，2+）或（1，2﹣）．综上所述，符合条件的点P有3个．故选：D．5．解：设AD交GH于M．∵四边形EFMN是正方形，∴HG∥BC，∴△AGH∽△ABC，又∵AD⊥BC，∴AD⊥BC，EH＝HG＝MD，∴＝，设EH＝x，则AM＝4﹣x，∴＝，解得：x＝2.4，∴EH＝2.4．答：这个正方形的边长为2.4．故选：C．6．解：∵A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，D（1，2），∴位似比为：2：1，∵△DEF的面积为4，∴△ABC的面积为：4×4＝16．故选：D．7．解：由题意得，A中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；C，D中正方形，菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；而B中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B中矩形不是相似多边形故选：B．8．解：如图，作AN⊥BC于N，交DG于M，交EF于H．∵AB＝AC＝12，AN⊥BC，∴BN＝CN＝4，∴AN＝＝＝8，∵AD＝AG，AB＝AC，∴∠ADG＝∠AGD，∠B＝∠C，∵∠A+2∠ADG＝180°，∠A+2∠B＝180°，∴∠ADG＝∠B，∴DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AM＝4，∵四边形MHFG是矩形，∴MH＝GF＝DG＝4，∴HN＝MN﹣MH＝4﹣4，∴点F到BC的距离为4﹣4，故选：C．9．解：由题意可得，CE∥BD，在△ABD中，，即，解得BD＝8m．故选：B．10．解：A、一个角可以是顶角也可以是底角，不能确定，所以不一定形似，故A不正确；B、两邻边之比相等，如果夹角不相等，两平行四边形也不相似，所以不一定相似，故B不正确；C、菱形的四条边相等，如果一个角都为60°，则四个角等对应相等，且各边对应成比例为1，所以一定相似，故C则正确；D、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故D不正确．故选：C．11．解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴，∵AC＝6，AD＝4，BC＝10，∴，∴CD＝．故选：A．12．解：∵S△BDE ：S△CDE＝1：4，∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a，∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，∴＝，∴＝，∵DE∥AC，∴△DBE∽△ABC，∴S△DBE ：S△ABC＝1：25，∴S△ACD＝25a﹣a﹣4a＝20a，∴S△BDE ：S△ACD＝a：20a＝1：20．故选：C．二．填空题（共6小题）13．解：∵，∴＝＝．故答案为．14．解：∵△ABC∽△ACD，∴＝，∵AB＝1，AD＝4，∴AC2＝4，则AC＝2．故答案为：2．15．解：∵3AE＝2EB，∴可设AE＝2a、BE＝3a，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵S△AEF＝1，∴S△ABC＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ADC ＝S△ABC＝，∵EF∥BC，∴＝＝＝，∴＝＝，∴S△ADF ＝S△ADC＝×＝，故答案为：．16．解：∵AB∥CD∥EF，∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB＝2，CD＝3，∴，∴，∴解得：EF＝．故答案为：1.217．解：如图所示：△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（1，0），△A1B1C1的面积是：4×6﹣×2×6﹣×2×4﹣×2×4＝10．故答案为：（1，0），10．18．解：如图，在线段DE上取点F，使AF＝AE，连接AF，则∠AFE＝∠AEF ∵AB＝AC∴∠B＝∠C∵∠ADE＝∠B＝a，∴∠C＝∠ADE＝a，∵∠AFE＝∠DAF+∠ADE，∠AEF＝∠C+∠CDE∴∠DAF＝∠CDE∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD∴∠CDE＝∠BAD∴∠DAF＝∠BAD∴△ABD∽△ADF∴＝，即AD2＝AB•AF∴AD2＝AB•AE，故①正确；由①可得：AE＝＝，当AD⊥BC时，由勾股定理可得：AD＝＝＝3 ∴3≤AD＜5∴≤AE＜5，即1.8≤AE＜5故②正确；如图2，作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝5∴BH＝CH＝BC＝4∴AH＝＝＝3∵AD＝AD′＝，∴DH＝D′H＝＝＝1∴BD＝3或BD′＝5，CD＝5或CD′＝3，∵∠B＝∠C∴△ABD≌△DCE（SAS），△ABD′与△D′CE不是全等形故③不正确；如图3，AD⊥BC，DE⊥AC∴∠ADE+∠DAE＝∠C+∠DAE＝90°∴∠ADE＝∠C＝∠B∴BD＝4如图4，DE⊥BC于D，AH⊥BC于H，∵∠ADE＝∠C∴∠ADH＝∠CAH∴△ADH∽△CAH∴＝，即＝，∴DH＝，∴BD＝BH+DH＝4+＝＝6.25，故④正确；综上所述，答案为：①②④．三．解答题（共6小题）19．解：（1）△EAF∽△EBC，△CDF∽△EBC，△CDF∽△EAF．（2）选△EAF∽△EBC，理由如下：在ABCD中AD∥BC，∴∠EAF＝∠B．又∵∠E＝∠E，∴△EAF∽△EBC．20．解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴＝，即＝，解得BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即树高5.5m．21．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形，A 1（﹣2，0）B1（﹣6，0）C1（﹣4，﹣2）；（2）如图，把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向下平移1个单位，使B2C2与DE重合，或者：把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向上平移3个单位，使A 2C2与EF重合，都可以拼成一个平行四边形．22．（1）证明：延长BM交AD的延长线于H，在△BMC和△HMD中，，∴△BMC≌△HMD，∴BM＝MH，又MN⊥BM，∴NB＝NH，∴∠NBM＝∠NHM，∵AH∥BC，∴∠MBC＝∠NHM，∴∠MBC＝∠NBM，即BM平分∠NBC；（2）解：设DN＝a，则DC＝AB＝4a，∴DM＝MC＝2a，由勾股定理得，MN＝＝a，由（1）得，∠BNM＝∠MND，∠BMN＝∠MDN，∴△BMN∽△MDN，∴＝＝，∴BM＝2a，由勾股定理得，BN＝＝5a，则AN＝＝3a，∴＝＝．23．解：（1）∵t＝1∴CN＝1，AM＝1过N作NE⊥y轴，作NF⊥x轴∴△CEN∽△COA，∴，即，∴EN＝．（1分）由勾股定理得：，，∴．（2分）（2）由（1）得，∴∴N点坐标为．∵多边形OAMN由△ONA和△AMN组成∴＝（3分）＝（4分）∴多边形OAMN的面积S＝．（0≤t≤4）（5分）（3）①直线ON为对称轴时，翻折△OAN得到△OA′N，此时组成的四边形为OANA′，当AN＝A′N＝A′O＝OA，四边形OANA’是菱形．即AN＝OA，∴5﹣t＝3∴t＝2．（6分）②直线OA为对称轴时，翻折△OAN得到△OAN′，此时组成的四边形为ONAN′，连接NN′，交OA于点G．当NN′与OA互相垂直平分时，四边形ONAN′是菱形．即OA⊥NN′，OG＝AG＝，∴NG∥CO，∴点N是AC的中点，∴CN＝，∴（7分）③直线AN为对称轴时，翻折△OAN得到△O′AN，此时组成的四边形为ONO′A，连接OO’，交AN于点H．当OO′与AN互相垂直平分时，四边形ONO’A是菱形．即OH⊥AC，AH＝NH＝，由面积法可求得OH＝，在Rt△OAH中，由勾股定理得，AH＝．∴，∴．（8分）综上所述，t的值为．24．解：（1）1，2，3．（2）乙同学的结果不正确．例如：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝1，则．如图①，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形．设它的边长为a，则依题意可得：，∴，如图②，四边形DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形．设它的边长为b，则依题意可得：，∴．∴a＞b．（3）丙同学的结论正确．设△ABC的三条边分别为a，b，c，不妨设a＞b＞c，三条边上的对应高分别为h a，h b，h，内接正方形的边长分别为x a，x b，x c．c依题意可得：＝，∴x a＝．同理x b＝．∵x a﹣x b＝﹣＝﹣＝2S（﹣）＝（b+h b﹣a﹣h a）．＝（b+﹣a﹣）．＝•（b﹣a）（1﹣）．＝•（b﹣a）（1﹣）．又∵b＜a，h a＜b，∴（b﹣a）（1﹣）＜0，∴x a＜x b，即x a2＜x b2．∴在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．。
北师大版九年级数学上册第四章：图形的相似 单元测试卷( 含解析)
2020年秋北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试卷一、选择题（共10题；共30分）1.若x3＝y2，则x+yx−y的值是（）A. 5B. 4C. 3D. 22.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则HE：AH等于（）A. 1：1B. 1：2C. 2：1D. 3：23.如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A. 2 cm2B. 4 cm2C. 8 cm2D. 16 cm24.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且DE与BC不平行．下列条件中，能判定△ADE与△ACB相似的是（）A. ADAC =AEABB. ADAE=ABACC. DEBC=AEABD. DEBC=ADAC5.如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，ΔABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（）A. ∠DAE =30∘B. ∠BAC =45∘C. EF FB =12D. AD AB =√32 6.路边有一根电线杆AB 和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A 的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G 处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E 点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB 的高度是（ ）A. 6.75米B. 7.75米C. 8.25米D. 10.75米7.如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心.已知OA ：OD ＝1：2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ）A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：58.如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ， 交AD 于点F ， 交CD 的延长线于点G ， 若AF ＝2FD ， 则 BE EG 的值为（ ）A. 12B. 13C. 23D. 349.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC 是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE （不含△ABC ），使得△ADE ∽△ABC （同一位置的格点三角形△ADE 只算一个），这样的格点三角形一共有（ ）。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试(含解析)
1北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试（含解析）一、选择题1.已知x∶y=5∶2,则下列各式中不正确的是( ) A.=B.- =C.=D.- =答案 D A.由合比性质,得=,故A 正确;B.由分比性质,得- =,故B 正确;C.由反比性质,得y∶x=2∶5,由合比性质,得 = ,再由反比性质,得 =,故C 正确;D.由反比性质,得y∶x=2∶5,由分比性质,得- =- ,再由反比性质,得 - =-,故D 错误.故选D.2.如图,直线l 1∥l 2∥l 3,直线AC 分别交l 1,l 2,l 3于点A,B,C.直线DF 分别交l 1,l 2,l 3于点D,E,F,AC 与DF 相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则的值为( )A.B.2C.D.答案 D 由直线l 1∥l 2∥l 3,得 =.因为AH=2,HB=1,所以AB=3.因为BC=5,所以 =.所以 =. 3.如图,△ABC 中,点D 在线段BC 上,且△ABC ∽△DBA,则下列结论一定正确的是( )A.AB 2=BC ·BD B.AB 2=AC ·BD2C.AB ·AD=BD ·BCD.AB ·AD=AD ·CD答案 A 因为△ABC ∽△DBA,所以 = =,所以AB 2=BC ·BD,AB ·AD=AC ·DB.4.在比例尺为1∶10 000的地图上,一块面积为2 cm 2的区域表示的实际面积是( ) A.2 000 000 cm 2B.20 000 m 2C.4 000 000 m 2D.40 000 m 2答案 B 设实际面积是x cm2,则 =,解得x=200 000 000,∵1 m 2=10 000 cm 2,∴200 000 000 cm 2=20 000 m 2.故选B.5.如图,在△ABC 中,D 、E 分别为AB 、AC 边上的点,DE ∥BC,BE 与CD 相交于点F,则下列结论一定正确的是( )A. =B. =C. =D. =答案 A ∵DE∥BC,∴△ADE ∽△ABC, ∴ = = ,故选项A 正确,故选A.6.如图,点P 是▱ABCD 边AB 上的一点,射线CP 交DA 的延长线于点E,则图中相似的三角形有( )A.0对B.1对C.2对D.3对 答案 D ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥DC,AD ∥BC,∴△EAP ∽△EDC,△EAP ∽△CBP,∴△EDC ∽△CBP,故有3对相似三角形.故选D.7.如图,在△ABC 中,中线BE 、CD 相交于点O,连接DE,下列结论:① = ;② △ △= ;③ = ;④ △ △=.其中正确的个数是( )3A.1B.2C.3D.4答案 C 由中线BE 、CD 知,DE 为△ABC 的中位线,所以DE= BC,DE ∥BC,所以 =,①正确;由DE ∥BC 可得△DOE ∽△COB,则△ △= =,②错误;由DE ∥BC 易得 = , = ,所以 = ,③正确;④△ △= =,设△DOE 的高为h,则△BOC 的高为2h,△ABC 的高为6h,则△ △ = = , △ △ = ,所以 △ △ =,④正确.故选C.8.如图,点E,点F 分别在菱形ABCD 的边AB,AD 上,且AE=DF,BF 交DE 于点G,延长BF 交CD 的延长线于H,若=2,则的值为( )A.B.C.D.答案 B 设菱形ABCD 的边长为3a.因为四边形ABCD 是菱形,=2,AE=DF,所以AE=DF=a,AF=BE=2a,AB ∥CD,所以 = = =,所以HD= AB= a,HF=HB.因为AB ∥CD,所以 = ==,所以BG= HB.所以 == . 9.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点,且CF=CD.下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△AEF,③AE⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 B ∵在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点,且4CF=CD,∴∠B=∠C=90°,AB∶EC=BE∶CF=2∶1.∴△ABE ∽△ECF,∴AB∶EC=AE∶EF,∠AEB=∠EFC.∵BE=CE,∠FEC+∠EFC=90°,∴AB∶AE=BE∶EF,∠AEB+∠FEC=90°. ∴∠AEF=∠B=90°.∴△ABE ∽△AEF,AE ⊥EF.∴②③正确. 由已知条件推不出①④正确.故选B.10.如图,△ABC 中,AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG 的顶点E,F 在△ABC 内,顶点D,G 分别在AB,AC 上,AD=AG,DG=6,则点F 到BC 的距离为( )A.1B.2C.12 -6D.6 -6答案 D 如图,过点A 作AM ⊥BC 于点M,交DG 于点N,延长GF 交BC 于点H.∵AB=AC,AD=AG,∴AD∶AB=AG∶AC, ∵∠BAC=∠DAG,∴△ADG ∽△ABC, ∴∠ADG=∠B,∴DG∥BC,∴AN⊥DG.∵四边形DEFG 是正方形,∴FG⊥DG,∴FH⊥BC, ∵AB=AC=18,BC=12,∴BM=BC=6, ∴AM= - =12 .∵△ADG ∽△ABC,∴ =,∴=,∴AN=6 ,∴MN=AM-AN=6,∴FH=MN-GF=6-6.即点F到BC的距离为6-6.故选D.二、填空题11.若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16,则△ABC与△DEF的周长之比为.答案5∶4解析相似三角形的面积比等于相似比的平方,相似三角形的周长比等于相似比.因为△ABC与△DEF相似且面积比为25∶16,所以△ABC与△DEF的周长比为5∶4.12.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶,点A的坐标为(1,0),则点E的坐标为.答案(,)解析∵点A的坐标为(1,0),∴点B的坐标为(1,1).又∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶,∴点E的坐标为(,).13.如图,矩形ABCD中,F是DC上一点,BF⊥AC,垂足为E,=,△CEF的面积为S1,△AEB的面积为S2,则的值等于.答案解析∵BF⊥AC,∴∠CFB+∠FCE=90°,又∠CFB+∠CBF=90°,∴∠FCE=∠CBF.5∵AB∥CD,∴∠FCE=∠BAE.∴∠EAB=∠CBF.∵∠BCF=∠ABC,∴△FCB∽△CBA.∴CF∶CB=CB∶AB=1∶2.∴FC∶AB=1∶4.∵FC∥AB,∴△FCE∽△BAE.∴==.14.如图,小明把手臂水平向前伸直,手持小尺竖直,瞄准小尺的两端E、F,不断调整站立的位置,使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A,设小明的手臂长l=45cm,小尺长a=15cm,点D到铁塔底部的距离AD=42m,则铁塔的高度是m.答案14解析作CH⊥AB于H,交EF于P,如图,则CH=DA=42m,由题意知,CP=45cm=0.45m,EF=15cm=0.15m.∵EF∥AB,∴△CEF∽△CBA,∴=,即=,∴AB=14m,即铁塔的高度为14m.15.如图,直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E,C,F.若BC=2,则EF的长是.答案56解析∵直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,∴=,∵BC∥EF,∴△ABC∽△AEF,∴==,又∵BC=2,∴EF=5.16.如图,E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点,若四边形AEFB与四边形ABCD相似,AB=4,则AD 的长度为.答案4解析设AE=x(x>0),则AD=2x,∵四边形ABCD与四边形ABFE相似,∴=,∴AB2=2x2,∴AB=x=4,∴x=2,∴AD=4.17.如图,平面内有16个格点,每个格点小正方形的边长为1,则图中阴影部分的面积为.答案解析如图,∵GF∥HC,∴△AGF∽△AHC,∴==,∴GF=HC=,7∴OF=OG-GF=2-=.同理,MN=,∴ON=,∴S阴影=1-××=.18.如图,矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,点D在边AB上,点G在边AC上,△ADG的面积是40,△ABC 的面积是90,AM⊥BC于M交DG于N,则AN∶AM=.答案2∶3解析∵四边形DEFG是矩形,∴DG∥BC,∴△ADG∽△ABC.∵△ADG的面积是40,△ABC的面积是90,==,∴△△∴=,∵AM⊥BC于M交DG于N,DG∥BC,∴AN⊥DG,∴==.三、解答题19.如图,在平面直角坐标系内有两点A(-2,0),B,CB所在直线的方程为y=2x+b,连接AC,求证:△AOC∽△COB.8证明∵C、B在直线y=2x+b上,∴把点B的坐标代入,求得直线方程为y=2x-1,∴C(0,-1),易证OC∶OB=OA∶OC=2∶1,又∠AOC=∠COB=90°,∴△AOC∽△COB.20.如图,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,4)、B(-3,1)、C(-1,1),以坐标原点O为位似中心,2为相似比,在第二象限内将△ABC放大,放大后得到△A'B'C'.(1)画出放大后的△A'B'C',并写出点A'、B'、C'的坐标;(点A、B、C的对应点分别为A'、B'、C')(2)求△A'B'C'的面积.答案(1)如图所示,△A'B'C'即为所求.910A'(-4,8),B'(-6,2),C'(-2,2). (2)∵S △ABC =×2×3=3,又∵△A'B'C'与△ABC 的相似比为2∶1,∴△ △=4,∴S △A'B'C'=4S △ABC =12.21.如图,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,沿直线MN 对折,使A 、C 重合,直线MN 交AC 于O. (1)求证:△COM ∽△CBA; (2)求线段OM 的长度.答案 (1)证明:由题意知A 与C 关于直线MN 对称, ∴AC⊥MN,∴∠COM=90°.在矩形ABCD 中,∠B=90°, ∴∠COM=∠B,又∵∠ACB=∠MCO,∴△COM ∽△CBA. (2)∵在Rt △CBA 中,AB=6,BC=8, ∴AC=10,∴OC=5,∵△COM ∽△CBA,∴ =, ∴OM=.22.如图,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB边以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA边以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时停止运动,Q点随之停止运动.设运动的时间为x s.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能,说明理由.答案(1)由题意得AP=4x cm,CQ=3x cm,AQ=(30-3x)cm,0≤x≤5.当PQ∥BC时,有=,即=-,解得x=,∴当x=时,PQ∥BC.(2)能.∵AB=CB,∴∠A=∠C,分两种情况讨论.①若△APQ∽△CBQ,则=,即=-,解得x=5或x=-10(舍去),此时AP=20cm.②若△APQ∽△CQB,则=,即=-.解得x=,此时AP=cm.综上,当AP=20cm或AP=cm时,△APQ与△CQB相似.23.请你认真阅读下面的小探究系列,完成所提出的问题.(1)如图,将角尺放在正方形ABCD上,使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合,角尺的一边交CB于点F,另一边交BA的延长线于点G.求证:EF=EG;(2)如图,移动角尺,使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上,其余条件不变,请你思考后直接回答EF和EG的数量关系:EF EG(用“=”或“≠”填空);11(3)运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识,完成下题:如图,将(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”,使角尺的一边经过点A(即点G、A重合),其余条件不变,若AB=4,AD=3,求的值.答案(1)证明:∵∠AEF+∠AEG=90°,∠AEF+∠CEF=90°,∴∠AEG=∠CEF,又∵EA=EC,∠GAE=∠C=90°,∴△EAG≌△ECF(ASA),∴EG=EF.(2)=.(3)过点E作EM⊥AB于点M,作EN⊥BC于点N,则∠MEN=90°,EM∥BC,EN∥AB,∴==,∴==,∵∠GEM+∠MEF=90°,∠FEN+∠MEF=90°,∴∠FEN=∠GEM,又∠FNE=∠GME=90°,12∴Rt△FNE∽Rt△GME,∴==.13。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似测试卷
北师大版九年级数学测试卷（考试题）第四章 图形的相似周周测3一、选择题(每小题5分，共30分)1．(贵阳中考)如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是( )A ．2∶3 B.2∶ 3 C ．4∶9 D ．8∶272．如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )A ．点PB ．点OC ．点MD ．点N3．如图，测得BD ＝120 m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，则河宽AB 为( )A ．120 mB ．100 mC ．75 mD ．25 m4．(武汉中考)如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到CD ，则C 的坐标为( ) A ．(2，1) B ．(2，0) C ．(3，3) D ．(3，1)5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，C D ⊥AB 于D ，且AD ∶BD ＝9∶4，则AC ∶BC 的值为( )A ．9∶4B ．9∶2C ．3∶4D ．3∶26．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度，测量时，使直角边DF 保持水平状态，其延长线交AB 于点G ；使斜边DE 所在的直线经过点A.测得边DF 离地面的高度为1 m ，点D 到AB 的距离等于7.5 m ．已知DF ＝1.5 m ，EF ＝0.6 m ，那么树AB 的高度等于( )A ．4 mB ．4.5 mC ．4.6 mD ．4.8 m二、填空题(每小题5分，共20分)7．若两个相似三角形的面积之比为1∶9，则它们的周长之比为________．8．如图，在平面直角坐标系中，△A′B′C′是△ABC的以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶2，若A的坐标为(－3，4)，则A′的坐标为________．9．两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20 cm，光屏在距小孔30 cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2 cm，则光屏上火焰所成像的高度为________cm.10．如图，小明在墙上挂了一面镜子AB，调整好标杆CD，正好通过标杆顶部在镜子上边缘A处看到旗杆的顶端E的影子，已知AB＝2 m，CD＝1.5 m，BD＝2 m，BF＝20 m，则旗杆EF的高度为________．三、解答题(共50分)11．(10分)(漳州中考改编)如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2，在图中画出四边形AB′C′D′.12．(12分)已知△ABC∽△DEF，DEAB＝23，△ABC的周长是12 cm，面积是30 cm2.(1)求△DEF的周长；(2)求△DEF的面积．13．(14分)在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处(如图)，然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．14．(14分)(镇江中考改编)某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他(CD)在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子(MF)仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他(GH)在同一灯光下的影长为BH(点C，E，G在一条直线上)．求小明原来的速度．参考答案 1．C 2.A 3.B 4.A 5.D 6.A 7.1∶3 8.(32，－2) 9.3 10.7 m 11.图略． 12.(1)∵DE AB ＝23，∴△DEF 的周长为12×23＝8(cm)．(2)∵DE AB ＝23，∴△DEF 的面积为30×(23)2＝1313(cm 2)． 13.这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高AB ＝x.过F 作FG ⊥AB 于G ，交CE 于H.所以△AGF ∽△EHF.因为FD ＝1.5，GF ＝27＋3＝30，HF ＝3，所以EH ＝3.5－1.5＝2，AG ＝x －1.5.由△AGF ∽△EHF ，得AG EH ＝GF HF ，即x －1.52＝303.解得x ＝21.5.答：旗杆的高为21.5米． 14.设小明原来的速度为x m/s ，则CE ＝2x m ，AM ＝AF －MF ＝(4x －1.2)m ，EG ＝2×1.5x ＝3x(m)，BM ＝AB －AM ＝12－(4x －1.2)＝13.2－4x ，∵点C ，E ，G 在一条直线上，CG ∥AB ，∴△OCE ∽△OAM ，△OEG ∽△OMB.∴CE AM ＝OE OM，EG BM ＝OE OM .∴CE AM ＝EG BM ，即2x 4x －1.2＝3x 13.2－4x.解得x ＝1.5，经检验，x ＝1.5为方程的解．∴小明原来的速度为1.5 m/s.答：小明原来的速度为1.5 m/s.附赠材料：怎样提高答题效率直觉答题法相信自己的第一感觉厦门英才学校彭超老师说,“经验表明,从做题的过程来看,同学们要相信自己的第一感觉,不要轻易改动第一次做出的选择,第一感觉的正确率在80%以上。
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 4.3 相似多边形 同步测试题(无答案)
4.3 多边形相似同步测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 下列各组图形中一定相似的图形是（）A.底角对应相等的两个等腰梯形B.有一个角为的两个菱形C.两邻边之比相等的两个平行四边形D.两个矩形2. 如果两个相似多边形的面积比为，那么这两个相似多边形的相似比为（）A. B. C. D.3. 下列各组图形中相似的图形是（）A.对应边成比例的多边形B.四个角都对应相等的两个梯形C.有一个角相等的两个菱形D.各边对应成比例的两个平行四边形4. 下列两个图形一定相似的是（）A.两个菱形B.两个矩形C.两个正方形D.两个等腰梯形5. 已知两个相似五边形的一组对应边分别是和，如果它们的面积之差是，则较大的五边形的面积是（）A. B. C. D.6. 下列说法正确的是（）A.对应边都成正比例的多边形相似B.对应角都相等的多边形相似C.等边三角形都相似D.矩形都相似7. 如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（）D.A. B. C.8. 下列说法中，错误的是（）A.所有的等边三角形都相似B.和同一图形相似的两图形相似C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的矩形都相似9. 下列各组图形不一定相似的是（）A.两个等边三角形B.各有一个角是的两个等腰三角形C.两个正方形D.各有一个角是的两个等腰三角形10. 如图，矩形中，，，若矩形与矩形相似，则矩形的面积是（）A. B. C. D.二、填空题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）11. 如图，在矩形中，、分别是、的中点．若矩形与矩形是相似的矩形，则________．12. 已知一个矩形的长和宽分别为和，另一个矩形的一组邻边的长为和，若这两个矩形是相似的，则的值为________．13. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的变成了，这次复印的放缩比例是________．14. 如图所示，，分别为平行四边形的边，中点，且，则等于________．15. 下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是________．16. 如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于________．17. 若两个相似多边形的对应边的比是，则这两个多边形的周长比是________．18. 如图，在长为，宽为的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形与截去的矩形相似，则所截取的线段的长度可以是________．三、解答题（本题共计8 小题，共计66分，）19. 如图，在矩形中，点、分别是、上一点，若矩形与矩形相似，且，，求的长．20. 小林在一块长为米，宽为米，一边靠墙的矩形小花园周围栽种了一种花做装饰，这种花所占的边框宽为厘米，请问边框内外缘所围成的两个矩形相似吗？21. 已知四边形与四边形相似，如图所示，求、的长和的大小．22. 将一张矩形纸片，以它的一条宽为边长剪去一个正方形，将剩下的矩形再以一条宽为边长剪去一个正方形，若第二次剪裁后所留下的矩形与原来的矩形相似，则矩形的宽与长的比值是多少？23. 如图，矩形的花坛宽米，长米．现计划在该花坛四周修筑小路，使小路四周所围成的矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽相等，试问小路的宽与的比值是多少，说出你的理由．24. （1）观察下面两组图形，图中的两个图形相似吗？为什么？图中的两个图形呢？与同伴交流．24.（2）如果两个多边形不相似，那么它们的对应角可能都相等吗？对应边可能都成比例吗？25. 如图是一个由个相似（形状相同，大小不同）的直角三角形所组成的图案，它是否有点像一个商标图案？你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案？最好再给你设计的图案取一个名字．26. 学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 单元测试题(无答案)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1、如果线段a=4，b=16，c=8，那么a、b、c的第四比例项d为（）A.8B.16C.24D.322、如图，∆ABC中，ADDBAEEC==12，则OE OB:=（）A. 12B.13C.14D.15AD EOB C3、在矩形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形EFCB，那么它们的相似比为（）A．2 B．22C．2 D．214、已知，则下列等式中不成立的是（）A. B. C. D.5、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（）A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC. BE=CD，AB=ACD. AD∶AC=AE∶ABdcba=cdab=ddcbba-=-dccbaa+=+bacbda=++6、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ） A AC AE AB AD = B FB EA CF CE = C BDAD BC DE = D CB CF AB EF =7、三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21cm,则其余两边之和为( )A.32cmB.24cmC.18cmD.16cm8、如图，正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上，其余两个顶点A 、D 分别在PQ 、PR 上，则PA ∶AQ ＝（ ）．A ．1∶B ．1∶2 C ．1∶3 D ．2∶39、如图，若点D 为△ABC 中AB 边上的一点，且∠ABC ＝∠ACD ，AD ＝3cm ，AB ＝4cm ，则AC 的长为（ ）A ．12cmB ．32cmC ．3cmD ．2cm10、按如下方法将△ABC 的三边缩小为原来的二分之一，如图所示，任取一点O ，连结OA 、2。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似测试卷(全章)
北师大版九年级数学测试卷（考试题）第四章图形的相似周周测6一、单选题（共10题；共30分）1、如图，在△ABC中．∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）A、1对B、2对C、3对D、4对2、如果线段a、b、c、d满足ad=bc，则下列各式中不成立的是（）A、 B、C、D、3、如图，身高为1.6米的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是（）A、6.4米B、7.0米C、8.0米D、9.0米4、一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，且最短边长为6，则最长边长为（）A、18B、12C、24D、305、线段4cm、16cm的比例中项为（）.A、20cmB、64cmC、±8cmD、8cm6、如果两个相似三角形的相似比是1：7，则它们的面积比等于（）A、1：B、1：7C、1：3.5D、1：497、比例尺为1：1000的图纸上某区域面积400cm2，则实际面积为（）A、4×B、4×C、1.6×D、2×8、如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若AD=3，则AE的长为（）A、 B、C、D、9、（2015•黄陂区校级模拟）如图△ABC与△DEF是位似图形，位似比是1：2，已知DE=4，则AB的长是（）A、2B、4C、8D、110、如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（）A、△PAB∽△PCAB、△PAB∽△PDAC、△ABC∽△DBAD、△ABC∽△DCA二、填空题（共8题；共24分）11、把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为________12、如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE=2，EB=4，FD=1.5，那么AD=________ ．13、若，则的值等于________14、（2016•临沂）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB=8，BD=3，BF=4，则FC的长为________．15、如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于________16、如图，直线a∥b∥c，度量线段AB≈1.89，BC≈3.80，DE≈2.02，则线段EF的长约为________．17、如图，在△ABC中，EF∥BC，= ，EF=3，则BC的值为________．18、在比例尺为1：2000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为4.5厘米，则其实际距离为________米．三、解答题（共5题；共36分）19、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB 的度数．20、已知a、b、c是△ABC的三边长，且==≠0，求：（1）的值．（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．21、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．22、如图，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=117°，△ABC∽△DAC．（1）求∠ACB的度数；（2）求CD的长．23、已知a：b：c=3：2：5，求的值．四、综合题（共1题；共10分）24、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F．(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)若∠ABD=45°，AC=3时，求BF的长．附赠材料：怎样提高答题效率直觉答题法相信自己的第一感觉厦门英才学校彭超老师说,“经验表明,从做题的过程来看,同学们要相信自己的第一感觉,不要轻易改动第一次做出的选择,第一感觉的正确率在80%以上。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 综合单元测试卷(无答案)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似综合单元测试卷姓名：___________考号：__________班级：___________得分：_________________一、选择题(每小题3分，共36分）1.下列各组线段(单位:cm)中，成比例线段的是（）A.1,2,3,4B.1,2,2,4C.3,5,9,13D.1,2,6,32.两个三角形的一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们对应角平分线的比（）A.23B.32C.49D.943.如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若1,2AEBC FBDE＝则＝（）A.23B.12C.13D.14.如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD:DB=3:5，那么CF:CB等于（）A.5:8B.3:8C.3:5D.2:55.如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感.已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为( )A.6cmB.10cmC.4cmD.8cm7.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIKL，相似比为2:1，则下列结论正确的是( )A.∠E＝2∠K B BC=2HI C.C六边形ABCDEF ＝C六边形GHIJKLD.S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL8.如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△AEC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )9.阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离EC＝8.7米，窗口高AB＝1.8米，则窗口底边离地面的高BC为( )A.4米B.3.8米C.3.6米D.3.4米10.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则S△ABC:S△DCA=( )A.2:3B.2:5C.2:3D.4:911.如图，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分別是B，D，F，且AB＝1，CD ＝3，那么EF的长是( )A.23B.34C.13D.4512.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P个数是( )A.1B.2C.3D.4二、填空题(每小题4分，共24分)13.上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1:5000000的地图上，它们的图上距离约__________厘米.14.一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则它的最长边长是___________15已知a:b:c＝4:3:2，则2a b cc＋－=_________16.如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是__________(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)17.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝14CD，下列结论:①∠BAE＝30°②△ABE∽△AEF;③AE⊥EF;④△ADF∽△ECF.其中正确的是_______(填序号)18.如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是________三、解答题(共60分)19.(6分)如图，在△ABC中，D，E分別是AC，AB边上的点，∠AED＝∠C，AB＝6，AD＝4，AC＝5，求AE的长?20.(8分)如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形(2)求证:OA2＝OE・OF.21.(8分)如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，3)，C(3，0)，(1)以点O为位似中心画三角形，使它与△ABC位似，且相似比为2;(2)在(1)的条件下，若M(a，b)为△ABC边上的任意一点，则(1)中所画三角形的边上与点M对应的点M的坐标为________22.(8分)如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E(1)求证:AG＝CG;(2)求证:AG2＝GE・GF23.(8分)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步.小聪问小军:“你有多高?＂小军一时语塞小，小聪思考片刻提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N 点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长;当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长，已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长.(结果精确到0.01米)24.(10分)某高中学校为高一新生设计的学生板発的正面视图如图所示，其中BA ＝CD，BC＝20cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm，8cm，为使板発两腿底端A，D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长?(材质及其厚度等暂忽略不计)25.(12分)如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC 的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连接MF，NF.(1)判断△BMN的形状，并证明你的结论;(2)判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由？。
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元检测卷(无答案)
第四章图形的相似单元检测试卷（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、1. 已知ab =52，那么下列等式中，不一定正确的是（）A.2a＝5bB.a5=b2C.a+b＝7D.a+bb =722. 在某幅地图上，AB两地距离8.5cm，实际距离为170km，则比例尺为（）A.1:20B.1:20000C.1:200000D.1:20000003. 如图，把一个长方形划分成二个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形长和宽之比为（）A.2:1B.3:1C.√2:1D.√3:14. 如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A.1B.2C.4D.85. 如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC // PQ，AB:AP=2:5，AQ= 20cm，则CQ的长是（）A.8cmB.12cmC.30cmD.50cm6. 在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列条件中不能判定△AED∽△ABC是（）A.∠ADE＝∠CB.∠AED＝∠BC.AD AE =ACABD.ADAC=DEBC7. 如图，将平行四边形AEFG变换到平行四边形ABCD，其中E，G分别是AB，AD的中点，下列叙述正确的是（）A.这种变换是相似变换B.这变换是轴对称变换C.这变换是旋转变换D.这变换是平移变换8. 用一个放大镜看一个四边形ABCD，该四边形的边长放大10倍后，下列结论正确的是（）A.∠A是原来的10倍B.周长是原来的10倍C.面积是原来的10倍D.四边形的形状发生了改变9. 将一副三角板按图叠放，则△AOB与△COD的面积之比为（）A.1:√3B.1:3C.1:√2D.1:210. 已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：(1)∠B+∠DAC=90∘；(2)∠B=∠DAC；(3)CDAD =ACAB；(4)AB2=BD⋅BC．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如图，AC⊥BC，BD⊥BC，AC>BC>BD，请你添加一个条件，使△ABC∽△CDB，那你添加的条件是________．12. 如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙脚1.4m，梯上点D距墙1.2m，BD长0.5m，则梯子的长为________m．13. 如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD:DE=3:5，AE=8，BD=4，则DC的长等于________．14. 如图，DE // BC，若AD=4，DB=6，BC=12，则DE的长为________．15. 两个相似三角形对应中线的比为1:4，它们的周长之差为27cm，则较大的三角形的周长为________cm．16. 已知△ABC∽△A1B1C1的面积比为1:9，则△ABC与△A1B1C1的周长之比为________．17. 在△ABC中，AB=5，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，那么AF=________．18. 一个三角形改变为它的相似三角形，若边长扩大为原来的4倍，则面积扩大为原来的________倍．19. 设x3=y5=z7，则y+3z3y−2z=________．20. 如图，已知李明的身高为1.8m，他在路灯下的影长为2m，李明距路灯杆底部为3m，则路灯灯泡距地面的高度为________m．三、解答题（本题共计5小题，共计60分，）21. 如图，已知O是原点，B、C两点的坐标分别为(3, −1)、(2, 1)．（1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大两倍（即新图与原图的位似比为2），画出图形并写出点B、C的对应点的坐标；（2）如果△OBC内部一点M的坐标为(x, y)，写出M的对应点M′的坐标．22. 如图所示，已知D为△ABC的边AC上的一点，E为CB的延长线上的一点，且EFFD =ACBC．求证：AD=EB．23. 已知x:y:z=3:4:5．求：（1）x+y+zz．（2）x+yy+z．（3）4x+3y−2zx−y+z．24. 已知．如图，点D、E分别是在AB，AC上，ADAB =AEAC．求证：DE // BC．25. 如图，已知B′C′ // BC，C′D′ // CD，D′E′ // DE．（1）求证：四边形BCDE位似于四边形B′C′D′E′；（2）若AB′B′B=3，S四边形B′CD′E′=20，求S四边形BCDE．。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试卷(不包含答案)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试卷（本试卷满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分、在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1 .下列说法正确的是A.菱形都相似B. 正六边形都相似C.矩形都相似D. 有一个内角为80°的等腰三角形都相似2 .在比例尺是1:8000的地图上，中山路的长度约为25cm,该路段的实际长度约为A.3200mB.3000mC.2400mD.2000m3 .如图,已知AB// CD EF,它们依次交直线l 1, 12于点A, D, F 和点B, C E,如果AD:D 已3:1 , BE=1Q 那么CE 等于4 .若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AB= 2(AC> BC),则AC 等于A. V5-1B.3- 娓C. ^5:1D. V5-1 或 3-755 .如图，D 是4ABC 的边BC 上一点，连接 AD,使z\AB64DBA 的条件是A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB 2=CD? BCD.AB 2= BD? BC6 .如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （4,2）, 将△AOEtZ 坐标原点0为位似中心缩小为原图形的是过点A 作ABlx 轴，垂足为B. 1 -,得到△ COD 则OC 的长度A.1B.2C. .5D.257 .如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗框 AB 在地面上的影长D £ 1.8m,窗户 下到地面的距离BO 1m, EO 1.2m,那么窗户的高 AB 为A.1.5mB.1.6mC.1.86m D216m9 .如图，在△ABCt , DE// BC 若 S>A AD ES Z \BD 『 l:2 ,Sk ADE= 3 ,则 S A ABC 为A.9B.12C.24D.2710 .如图，等边三角形 ABC 的边长为5,点D, E, F 分别在三边AC, AB, BC 上, 且 AE= 2, DF±DE / DE 已60° ,贝U CD 的长为A.3B.3.5C.4D.4.5二、填空题（本题6小题，每小题3分，共18分，把最后答案直接填在题中的横 线上）8.如图，在AABC 中，D, E 分别是BC AC 上的点, AM BE 相交于点C,若AC:CD = 4:1 , BD:DC= 2:3 , 则EC:AE 的值是11.若a = 2 ,则史上二.b 3 2bCE 1 CF 12.如图，在ABCDK 点E在CD上，CE = - , BE父对角线AC于点F,则上二ED 2 AF13.矩形的长和宽分别为6和x(x <6),把它按图中方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x的值为.14.如图,以点C(0, 1)为位似中心,将△ABC1小为原来的得到△ DEC则点A(1, -1)的对应点D的坐标为.D SA15.如图，由边长为1的小正方形组成的虚线网格中，点A, B, C, D为格点(即小正方形的顶点)，AB, CD相交于点P,则PC的长为.16.如图，在钝角三角形ABC中，AB= 3cm, AO 6cm,动点D从点A出发到点B 停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cmk,点B运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A, D, E为顶点的三角形与△ ABC相似时，运动的时间是三、解答题（72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（5分）如图，一块直角三角尺的直角顶点P放在正方形ABCD勺边BC上，并且使一条直角边经过点D,另一条直角边与AB交于点请写出一对相似三角形，并加以证明.B p C18.（7分）如图，在平面直角坐标系中，点A（-2 , -3） , B（2, -1）请以点0为位似中心，在x轴的上方将△ OABftt大为原来的2倍，得到4 0A' B'（1）在平面直角坐标系中画出△ 0A' B'；（2）直接写出4 0A' B'的面积为.19.（7分）如图，在△ ABC中,D E分别是A8, AC上的点，△ AD9 AACB相似..AD 2比为——=—.4ABC的角平分线AF父DE于点G 父BC于点F,求AG与CF的AC 3比.20.（7分）如图，M N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量，必须计算M, N两点之间的直线距离，选择测量点A, B, C,点B, C分别在AM AN上，现测得AM =1千米，AN= 1.8千米，AB= 54米，BO 45米，AO 30米，求M N两点之间的直线距离.21.（7分）如图，在△ ABC中,BD, CE是4ABC的高，连接DE.（1）求证：4AD歆AAEC; （2）若/ BAC= 60° , BO 6”，求DE的长.22.（8分）如图，4ABC的面积为12, BC与BC边上的高AD之比为3:2 ,矩形EFCH 的边EF在BC上，点H, G分别在边AB, AC上，且H氏2GF.（1）求AD的长；⑵求矩形EFCH勺面积23.(8 分)如图，在RtAABO^, / ACB= 90° , AO BC P 为△ ABC内部一点, 且/APB= /BPC= 135° .(1)求证：z\PAB^APBC⑵求证:PA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB, BG CA的距离分别为hl, h2, h3,求证:hh2.h324.(11 分)如图，在RQABC中，/ AC由90° , AC= 12, BO 8.E 是边AC上任意一点，过E作直线EF，AC交边AB于点F,将△ AEF沿EF翻折，点A的对称点落在直线AC上点D处，连接BD.设A已x(x >0)(1)用含x的代数式表示EF的长为(直接写出结果)(2)当x为何值时，△ BDF是直角三角形？25.(12分*^^ABC绕点A按逆时针方向旋转0度，并使各边长变为原来的n倍，得4ABAB， B'C， AC，'C',即如图①，/ BAB =0, ^B- = BC = ^C=n,我们将这种变换记作:[e, n]AB BC AC⑴如图①，对△ ABC作变换［60 ° , 3］得^AB' C ,则&AB C\ △ ABC=,直线BC与直线B' C所夹白锐角为.(2)如图②，在△ ABC中，/ BAC= 30° , Z ACB= 90° ,对△ ABC 作变换［0, n］得4AB , 使点B, C, C'在同一条直线上，且四边形ABB C'为矩形，求0和n的值；(3)如图③，在△ ABC 中，AB= AC /BAC= 36° ,对△ ABC 作变换［0, n］得^AB' C',使得点B, C, B'在同一条直线上，且四边形ABB C'为平行四边形，求0和n的值.。
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元测试卷 (Word版无答案)
第四章图形的相似单元测试卷一、选择题（本大题共11小题，共33分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，l1//l2//l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若ABBC =54，则DEDF的值为( )A. 59B. 49C. 54D. 452.下列说法正确的( )A. 若ac =bc，则a=b B. 若−12x=4y，则x=−2yC. 若ax=bx，则a=bD. 若a2=b2，则a=b3.如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是( )A. 2B. 3C. 4D. 54.如图，△OA1B1与△OAB的形状相同，大小不同，△OA1B1是由△OAB的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况是( )A. 横坐标和纵坐标都乘以2B. 横坐标和纵坐标都加2C. 横坐标和纵坐标都除以2D. 横坐标和纵坐标都减25.已知4x=7y(y≠0)，则下列比例式成立的是( )A. x4=y7B. x7=y4C. xy=47D. x4=7y6.下列各组中的四条线段成比例的是( )A. a=3cm，b=4cm，c=5cm，d=6cmB. a=3cm，b=2cm，c=6cm，d=4cmC. a=1cm，b=2cm，c=3cm，d=4cmD. a=3cm，b=2cm，c=5cm，d=4cm7.已知ab =23，那么下列式子错误的是( )A. a+ba =52B. bb−a=3 C. b+3a+2=32D. b−aa+b=238.给出下列四个判断，其中正确的判断有( ) ①全等三角形是相似三角形； ②顶角相等的两个等腰三角形相似； ③所有的等边三角形都相似； ④所有的直角三角形都相似．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是( )A. BCDF =12B. ∠A的度数∠D的度数=12C. △ABC的面积△DEF的面积=12D. △ABC的周长△DEF的周长=1210.如图所示，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①AFFD =12；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF∽△ACD.其中一定正确的是( )A. ①②③④B. ①④C. ②③④D. ①②③11.如图，已知“人字梯”的顶端离地面的高度AD是180cm，ADCD =52，则“人字梯”的底部宽度BC的长是( )A. 36cmB. 72cmC. 108cmD. 144cm二、填空题（本大题共7小题，共21分）12.若ab =20,bc=10，则a+bb+c的值为．13.如图，平面直角坐标系中，已知点A(8,0)和点B(0,6)，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=√3，F、E分别为直线BC、AC上的点，沿直线EF将∠C折叠，点C落在D处，当点D恰好在AB上，且△DEF与原△ABC相似时，EF的长为．15.若x2=y3=m4≠0，则2x+3ym=．16.如图，在矩形ABCD中，作DF⊥AC，垂足为F，延长DF交边AB于点E，在图中一定和△DFC相似的三角形个数是个．17.如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为(−8,6)，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为．18.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是．三、解答题（本大题共8小题，共66分。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似综合达标单元测试试题(无答案)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似综合达标单元测试题一、选择题(本大题共10小题，毎小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列四组线段中，不成比例线段的是( )A.2cm,5cm,10cm,25cmB.4cm,7cm,4cm,7cmC.2cm,12cm,12cm,4cm D.2cm,5cm,25cm,52cm2如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E,F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为( )A.4B.5C.6D.83.如图所示的四边形，与选项中的一个四边形相似，这个四边形是( )4.如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE 的是( )A.ABAD=ACAEB.=ABADBCDEC.∠B＝∠DD.∠C＝∠AED5.在△ABC中，BC＝15cm，CA＝45cm，AB＝63cm，另一个和它相似的三角形的最短边长是5cm，则最长边长是 ( )A.18cB.21cmC.24cmD.19.5cm6.中午12点，身高为150cm的小冰的影长为20cm，同学小雪此时在同地点的影长为22cm ，那么小雪的身高为( )A.150cmB.155cmC.160cmD.165cm7.如图，△A´B ´C ´是△ABC 在以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若 △ABC 的面积与△A´B ´C ´的面积比是16:9，则OA:OA ´为( )A.4:3B.3:4C.9:16D.16:98.在平面直角坐标系中，已知△ABE 和△CDE 是以点E(1，0)为位似中心的位似图形，点A(3，4)，点C(2，2)，点D(3，1)，则点D 的对应点B 的坐标是( )A.(4,2)B.(4,1)C.(5,2)D.(5,1)9.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且满足BF=BE ，连接CF ，过点B 作BG⊥CF，垂足为点G ，连接DG ，则下列说法不正确的是( )A.∠GBE＝∠GCDB.GE=BEC.2)GBE GCD S BE SDC＝( D.DG⊥GE 10.已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E 和F ，把这两点分别与底边中点连接，并沿着这两条线毁剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分(四边形)的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为( ) A.43 B.245 C.42435或 D.21235或二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.已知x:y ＝2:3，则(x+y):y=_________12.△ABC 三个顶点的坐标分别是A(3，4)，B(1，1)，C(4，1)，将△ABC 以点O为位似中心相似比为12缩小后，点A 对应点A ´的坐标是_________ 13.如图所示，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE∥AC，若S △BDE :S △CDE ＝1:3，则S △BDE :S 四边形DECA 的值为_________14.如图，等边△ABC 的边长为3，点P 为BC 上一点，且BP ＝1，点D 为AC 上一点，若∠APD＝60°，则CD 的长为_________15.在△ABC 中，AB ＝24，AC ＝18，D 是AC 上一点，AD ＝6，在AB 上取一点E ，使A 、D 、E 三点组成的三角形与△ABC 相似，则AE 的长_________16.如图，在边长为的正方形ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线上一点，BE＝DC，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH.若BH ＝8，则FG＝_________三、解答题(本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(6分)如图，已知 ABCD，AE与BC的延长线相交于点E，与CD相交于点F.求证:△AFD∽△EAB.18.(6分)如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，若AC=3，AD ＝1，求BD的长.19.(7分)如图1是一种广场三联漫步机，其侧面示意图如图2所示，其中AB＝AC＝120cm，BC＝80cm，AD＝30cm，∠DAC＝90°.求点D到地面的高度.20.(7分)已知:如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(O,3)、B(3，4)、C(2，2)(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度)(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标;(2)以点B为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2:1，并直接写出C2点的坐标及△A2B2C2的面积.21.(8分)如图，∠C＝90°，BC＝8cm，AC:AB＝3:5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分別从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似?22(8分)在AB＝30m，AD＝20m的矩形花坛四周修筑小路.(1)如果四周的小路的宽均相等，都是x，如图1，那么小路四周所围成的矩形ABCD和矩形ABCD相似吗?请说明理由;(2)如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x、y，如图2，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A´B´C´D´和矩形ABCD 相似?请说明理由.23.(9分)如图，已知Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于D ，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线交于点F ，求证；(1)△ABD∽△CAD;（2）F AB AC DF A ＝24.(9分)有一块三角形土地，它的底边BC ＝48米，高AH ＝16米，某单位要沿着底边BC 修座底面积是矩形DEFG 的大楼.当这个大楼地基面积为192平方米时，这个矩形的长和宽各是多少?25.(12分)【提出问题】(1)如图1，在等边△ABC 中，点M 是BC 上的任意一点(不含端点B,C)，连接AM ，以AM 为边作等边△AMN，连接CN.求证:∠ABC＝∠ACN【类比探究】(2)如图2，在等边△ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN 还成立吗?请说明理由;【拓展延伸】(3)如图3，在等腰△ABC 中，BA ＝BC ，点M 是BC 上的任意一点(不含端点B ，C)，连接AM ，以AM 为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连接CN.试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系,并说明理由?。
北师大版九年级数学上册第四章图形相似(单元测试)
新北师大版九年级数学上册第四章图形的相像单元测试一、选择题1、【根基题】在 比率尺为 1：5000 的地图上，量得甲，乙两地的距离为 25 cm ，那么甲、乙两地的实质距离是( )A. 1250 千米B.125 千米 C. 12.5 千米 D. 1.25 千米2、【根基题】b ＝ 5 ，那么 a － b的值是〔〕★a 13 a ＋ b2 B.3 9 4A.2C.D.3493、【根基题】 如右图，在△ ABC 中，看 DE ∥ BC ，AD1)BD，DE ＝ 4 cm ，那么 BC 的长 为 (2A ． 8 cmB ．12 cmC ．11 cmD ． 10 cm4、【根基题】如右图， DE 是ABC 的中位线，那么ADE 与 ABC 的面积之比是〔〕A ．1:1B ．1:2C ． 1:3D ． 1:45、【根基题】如以下列图，小正方形的边长均为 1，那么图中三角形〔暗影局部〕与△ ABC 相像的 是 ()★★★ABC6、【根基题】以下结论不正确的选项是()★A. 全部的矩形都相像B. 全部的正方形都相像C. 全部的等腰直角三角形都相像D. 全部的正八边形都相像7、【根基题】以下说法中正确的选项是 (A. 位似图形能够经过平移而互相获得 C. 位似图形的位似中心不仅有一个)★B. 位似图形的对应边平行且相等D. 位似中心到对应点的距离之比都相等8、【综合题Ⅰ】如左以下列图，ABCD 是正方形，E 是 CD 的中点， P 是BC边上的一点，以下条件中，不可以推出△ ABP 与△ ECPA. ∠ APB ＝∠ EPCBC ＝ 2︰ 3相像的是〔〕B. ∠ APE ＝90° ★★★C. P 是BC的中点D. BP ︰9、【综合题Ⅱ】〔 2021 山东潍坊〕如右上图 ,Rt△ ABC 中， AB⊥ AC， AB=3， AC=4 ，P 是BC 边上一点，作 PE⊥AB于E， PD⊥ AC于D，设BP＝ x，那么PD+PE＝〔〕A.xB. 4x712x12x 2 35C. D.25 52510、【综合题Ⅲ】如图，在Rt△ ABC 内有边长分别为a， b，c 的三个正方形．那么a、 b、c知足的关系式是〔〕A.b a cB. b acC.b2a2c2D. b 2a2c二、填空题11、【根基题】在同一时辰，高为 1.5m 的标杆的影长为，一古塔在地面上影长为50m，那么古塔的高为．12、【根基题】两个相像三角形面积比是9∶ 25，此中一个三角形的周长为36cm，那么另一个三角形的周长是．13、【综合题Ⅰ】如左以下列图，在△ABC 中， AB ＝ 5， D、 E 分别是边AC 和 AB 上的点，且∠ADE ＝∠ B，DE＝ 2，那么 AD ·BC ＝.★★★14、【根基题】如右上图，在△ABC和△ DEF中， G、H分别是边BC和EF的中点，AB＝2DE ，AC ＝2DF ，∠BAC＝∠EDF .那么AG：DH ＝，△ ABC与△ DEF的面积比是.★★★15、【根基题】把一个三角形改做成和它相像的三角形，假如面积减小到本来的1倍，边长应减小到本来的 ____ 倍.216、【综合Ⅱ】如左以下列图在Rt△ ABC 中 , ∠ AC B＝ 90°,CD⊥ AB 于 D ，假定 AD ＝ 1，BD ＝ 4，那么CD＝.★17、【根基题】如右上图，一人拿着一支厘米小尺，站在距电线杆约前挺直，小尺竖直，看到尺上12 厘米的长度恰巧遮住电线杆，手臂长约为.★★★30 米的地方，把手臂向60 厘米，那么电线杆的高18、【根基题】一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是_____cm.〔结果保留根号〕19、【综合Ⅲ】顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在△1，∠ A ＝ 36°，BD 是三角形ABC 的角均分线，那么AD ＝.★2 0 cm，那么它的宽为ABC 中，AB ＝AC ＝20、【提升题】如图，点A1，A2， A3， A4在射线OA上，点 B1， B2， B3在射线OB上，且A1 B1∥ A2 B2∥ A3 B3， A2 B1∥ A3 B2∥ A4 B3．假定△ A2 B1B2、△A3B2 B3的面积分别为1、4，那么图中三个暗影三角形面积之和为．BB3B24B11OA1 A2A3A4 A〔第 20 题图〕三、解答题21、【根基题】如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点， BF⊥ AE 于点 F，求证△ ABF ∽△EAD ．22、【综合Ⅰ】如图27－ 106 所示， E 为ABCD 的边 CD 延伸线上的一点，连结BE 交 AC于 O，交 AD 于 F．求证 BO2＝ OF · OE．23、如图，在平面直角坐标系中，OA=12 cm ， OB=6 cm ，点 P 从 O 点开始沿 OA 边向点A 以 1cm/s 的速度挪动，点Q从点 B开始沿BO边向点O 以1cm/s 的速度挪动，假如P、Q 同时出发，用t 〔单位：秒〕表示挪动的时间〔0〔 1〕当t为什么值时，t 6 〕，那么：△POQ 与△ AOB相像？〔 2〕设△ POQ的面积为y ，求y 对于t 的函数分析式。
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似单元测试卷
A．6.6 B．7.6 C．8.6 D．9.6
2、填空题（每小题3分，共18分)
11．某地图的比例尺为1：1 000 000，如果某人在图上量得 、 两城距离为1 ，
请推测 、 两城实际距离应为 .（用科学记数法表示）
（3）解： 与 相似，
证明：同（1），可证 ∽ ，
得 ，
而 ，
因此 ．
又因为 ，
所以 ∽ ．
的值．
19.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼 的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离 =25米．当她与镜子的距离 =2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端 ．已知她的眼睛距地面高度 =1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度 是多少米（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）．
答案
一,选择题
1.B 2.D3.C 4.D 5.A 6.B 7.C 8.C9.D 10.D
1、填空题
11. 12. 或 或 13. 14. 1:3 ; 2:3 15.(30-10 ) , (20 -40) 16. ,
三、解答题
17.（1）∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ∽
∴ ，
（2）由（1） ∽
7.如图，点 是□ 的边 延长线上的一点， 和 交于点 ， 是□ 的对角线，则图中相似三角形共有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
8．如图，在 中， 、 、 分别是边 、 、 上的点，且满足 ，则四边形 占 面积的（ ）
A. B. C. D.
9． 中， ，且 =1：2，则 的值是（ ）
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元检测试题
）A.3
12. 如图，
A'B'
13. 如图，，
15. 清晨，当你和你的母亲在晨光下跑步，你母亲身高
△OAB△ODC O OB=2OC=4 22. 如图，与是以为位似中心的位似图形，如果，，OD=3.5△OA△△ODC OA
，试求与的相似比及的长．
△ABC△ADE∠C=∠E∠1=∠2AC=AD=2AB=6AE 23. 如图，在与中，，，，求的长．
307590
24. 一个钢筋三角架三边长分别是厘米、厘米、厘米，现在再做一个与其相似的
4575
钢筋三角架，而只有长为厘米和厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．
F
△DEF
分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把（图乙）第一次顺次连接各边中点1114
所进行的分割，称为阶分割（如图）；把阶分割得出的个三角形再分别顺次连接它的
22n
各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）…依次规则操作下去．阶分割后得到的每
n S N
一个小三角形都是全等三角形（为正整数），设此时小三角形的面积为．△DEF10000n2<S n<3
①若的面积为，当为何值时，？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）
n>1S n‒1S n S n+1
②当时，请写出一个反映，，之间关系的等式．（不必证明）。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似单元测试
第四章 图形的相似 第一卷 (选择题 共30分)一、选择题(每题3分，共30分)1．以下各组中的四条线段是成比例线段的是( )A ．1 cm ，2 cm ，20 cm ，40 cmB ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmC ．6 cm ，4 cm ，1 cm ，3 cmD ．5 cm ，10 cm ，15 cm ，20 cm2．如图1，两条直线分别被三条平行直线l 1，l 2，l 3所截，假设AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，那么DF 的长为( )图1A ．4B ．5C ．6D ．73．假设a b ＝35，那么a ＋bb的值是( )A.58B.35C.85D.324．如图2，△ABC 中，AC ＝BC ，在边AB 上截取AD ＝AC ，连接CD ，假设点D 恰好是线段AB 的一个黄金分割点，那么∠A 的度数是( )图2A ．22.5°B ．30°C ．36°D ．45°5．如图3所示，将△ABO 的三边分别扩大为原来的2倍得到△A 1B 1C 1(顶点均在格点上)，它们是以点P 为位似中心的位似图形，那么点P 的坐标是( )A ．(－4，－3)B ．(－3，－3)C ．(－4，－4)D ．(－3，－4)图36．如图4，矩形ABCD ，AB ＝2，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处，假设四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，那么AD 的长为( )图4A. 5B.5＋1 C ．4 D ．2 37．在小孔成像问题中，光线穿过小孔，在屏幕上形成倒立的实像，如图5所示，假设点O 到AB 的间隔 是18 cm ，点O 到CD 的间隔 是6 cm ，那么像CD 的长是AB 长的( )图5A ．3倍 B.12C.13D ．不知AB 的长度，故无法判断 8．为了测量校园程度地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探究：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图6所示的测量方案，把一面很小的镜子程度放置在离树底(BE 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ，观察者目高CD ，那么树(AB )的高度为( )图6A ．米B ．米C ．米D ．米9．如图7，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 边的中点B ′重合，假设AB ＝2，BC ＝3，那么△FCB ′与△B ′DG 的面积之比为( )A ．9∶4B ．3∶2C ．4∶3D ．16∶9图710．如图8，在△ABC 中，AB ＝6 cm ，AC ＝12 cm ，动点D 从点A 出发到点B 停顿，动点E 从点C 出发到点A 停顿．点D 的运动速度为1 cm/s ，点E 的运动速度为2 cm/s.假如两点同时运动，那么当以点A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是( )图8A ．3 s 或4.8 sB ．3 sC ．4.5 sD ．4.5 s 或4.8 s 请将选择题答案填入下表：第二卷 (非选择题 共90分)二、填空题(每题3分，共18分)11．如图9，D 是等边三角形ABC 中边AB 上的点，AD ＝2，DB ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，那么CFCE＝________．图912．如图10，△ABC 中，AB ＝6，DE ∥AC ，将△BDE 绕点B 顺时针旋转得到△BD ′E ′，点D 的对应点D ′落在边BC 上．BE ′＝5，D ′C ＝4，那么BC 的长为________．图1013．假设a b ＝c d ＝e f ＝12，那么3a －2c ＋e3b －2d ＋f(3b －2d ＋f ≠0)＝________．14．如图11所示，Rt △DEF 是由Rt △ABC 沿BC 方向平移得到的，假设AB ＝8，BE ＝4，DH ＝3，那么△HEC 的面积为________．图1115．如图12，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 的同侧，且∠ACD ＝∠B ，CD ＝2，E 是线段BC 延长线上的动点，当△DCE 和△ABC 相似时，线段CE 的长为________．图1216．如图13，直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B ′O ′C ′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，那么点B 的对应点B ′的坐标为________．图13三、解答题(共72分)17．(6分)a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a ＋43＝b ＋32＝c ＋84，a ＋b ＋c ＝12，试求a ，b ，c 的值，并判断△ABC 的形状．18．(6分)如图14，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点分别是O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(－3，3)．(1)以原点O 为位似中心，在点O 的异侧画出四边形OABC 的位似图形四边形OA 1B 1C 1，使它与四边形OABC 的相似比是2∶3；(2)写出点A 1，B 1，C 1的坐标； (3)求四边形OA 1B 1C 1的面积．图1419．(8分)：在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB(如图15①)或线段AB 的延长线(如图15②)于点P.(1)当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC ； (2)当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．图1520．(8分)如图16①，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且AD AB ＝AEAC .(1)求证：DE ∥BC ；(2)如图②，在△ABC 中，D 为边AC 上任意一点，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE 并延长CE 交边AB 于点F ，求证：BF AF ＝CDAC；(3)在(2)的条件下，假设AB ＝AC ，AF ＝CD ，求BFAF的值．图1621．(10分)如图17是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入?世界遗产名录?．小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的间隔 不易测量，因此经过研究需要进展两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进展测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端D 处竖直立一根木棒CD ，并测得此时木棒的影长DE ＝2.4米；然后，小希在BD 的延长线上找出一点F ，使得A ，C ，F 三点在同一直线上，并测得DF ＝2.5米．图中所有点均在同一平面内，，AB ⊥BF ，CD ⊥BF ，试根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB.图1722．(10分)如图18，在平面直角坐标系中，OA ＝12厘米，OB ＝6厘米，点P 从点O 开场沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度挪动，点Q 从点B 开场沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度挪动．假如点P ，Q 同时出发，用t(秒)表示挪动的时间(0≤t ≤6)．(1)设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数表达式； (2)当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似？图1823．(12分)如图19，在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝2，D 是BC 边上的一个动点(不与点B ，C 重合)，在AC 上取一点E ，使∠ADE ＝30°.(1)求证：△ABD ∽△DCE ；(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； (3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．图1924．(12分)如图20①，点C 将线段AB 分成两局部，假如AC AB ＝BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某数学兴趣小组在进展研究时，由“黄金分割点〞联想到“黄金分割线〞，类似给出“黄金分割线〞的定义：一条直线将一个面积为S 的图形分成两局部，这两局部的面积分别为S 1，S 2，假如S 1S ＝S 2S 1，那么称这条直线为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，请问直线CD 是不是△ABC 的黄金分割线？并证明你的结论；(2)如图③，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边BC 上一点，假设直线AE 是正方形ABCD 的黄金分割线，求BE 的长．图20详解详析1．A2．C [解析] ∵两条直线分别被三条平行直线l 1，l 2，l 3所截，∴AB BC ＝DEEF. ∵AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，∴EF ＝4，∴DF ＝DE ＋EF ＝2＋4＝6.应选C. 3．C4．C [解析] ∵点D 是线段AB 的一个黄金分割点，∴AD 2＝BD ·AB . ∵AD ＝AC ＝BC ，∴BC 2＝BD ·AB ， 即BC ∶BD ＝AB ∶BC .而∠ABC ＝∠CBD ，∴△BCD ∽△BAC ， ∴∠A ＝∠BCD .设∠A ＝x °，那么∠B ＝x °，∠BCD ＝x °，∴∠ADC ＝∠BCD ＋∠B ＝2x °. 而AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ＝2x °， ∴x ＋2x ＋2x ＝180，解得x ＝36， 即∠A ＝36°.应选C. 5．A6．B [解析] 由折叠知AF ＝AB ＝2，设AD ＝x ，那么FD ＝x －2，EF ＝2， ∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似， ∴EF FD ＝AD AB ，即2x －2＝x 2，解得x 1＝1＋5，x 2＝1－5(不合题意，舍去)，即AD 的长为5＋1.应选B.7．C [解析] 过点O 作OM ⊥AB 于点M ，交CD 于点N ，如图，那么OM ＝18 cm ，ON ＝6 cm.∵AB ∥CD ，∴△ODC ∽△OAB ，∴CD AB ＝ON OM ＝618＝13，即CD 的长是AB 长的13.应选C.8．A [解析] 如图，过点E 作EF ⊥BD 于点E ，那么∠1＝∠2.∵∠DEF ＝∠BEF ＝90°，∴∠DEC ＝∠AEB .∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∴∠CDE ＝∠ABE ＝90°，∴△CDE ∽△ABE ，∴DE BE ＝CD AB.∵DE ＝，CD ，BE ，∴错误!＝错误!，解得AB ＝4.2米．9．D [解析] 此题运用方程思想，设CF ＝x ， 那么BF ＝3－x ，易得CF 2＋CB ′2＝FB ′2，即x 2＋12＝(3－x )2，解得x ＝43.由可证得Rt △FCB ′∽Rt △B ′DG ，所以S △FCB ′S △B ′DG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CF DB ′2＝169.10．A [解析] 此题运用分类讨论的思想，分△ADE ∽△ABC 和△ADE ∽△ACB 两种情况分别求解．11.54 [解析] ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝AD ＋DB ＝6.由折叠的性质可知∠EDF ＝∠C ＝60°，EC ＝ED ，FC ＝FD ，∴∠AED ＝∠BDF ， ∴△AED ∽△BDF ，∴DF DE ＝BD ＋DF ＋BF AE ＋AD ＋DE ＝108＝54，∴CF CE ＝DF DE ＝54. 12．2＋34 [解析] 由旋转可得BE ＝BE ′＝5，BD ＝BD ′. ∵D ′C ＝4，∴BD ′＝BC －4，即BD ＝BC －4. ∵DE ∥AC ，∴BD BA ＝BE BC ，即BC －46＝5BC，解得BC ＝2＋34(负值已舍)，即BC 的长为2＋34.13.12 [解析] 由a b ＝c d ＝e f ＝12，得a ＝12b ，c ＝12d ，e ＝12f ，所以3a －2c ＋e3b －2d ＋f ＝错误!＝错误!. 14.503 [解析] 设CE ＝x ，由△CEH ∽△CBA ，得EH AB ＝CE CB ，即8－38＝x x ＋4，∴x ＝203，∴S△HEC＝12×203×5＝503. 15.43或 3 [解析] ∵∠ACD ＋∠DCE ＝∠B ＋∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴∠DCE ＝∠A ，∴∠A 与∠DCE 是对应角，∴△DCE 和△ABC 相似有两种情况： (1)当△BAC ∽△ECD 时，AB CE ＝AC CD ，∴4CE ＝62，∴CE ＝43； (2)当△BAC ∽△DCE 时，AB CD ＝ACCE， ∴42＝6CE，∴CE ＝3. 综上所述，CE 的长为43或3.故答案为：43或3.易错警示△DCE 和△ABC 相似有两种情况，注意不要漏解．16．(4，3)或(－8，－3) [解析] 由直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，得点A (－2，0)，点B (0，1)．画△BOC 的位似图形△B ′O ′C ′如下图．∵△BOC 与△B ′O ′C ′的相似比为1∶3，∴点B ′(x ，3)或(x ，－3)．∵点B ′(x ，3)或(x ，－3)在直线y ＝12x＋1上，∴点B ′的坐标为(4，3)或(－8，－3)．故答案为(4，3)或(－8，－3)． 17．解：设a ＋43＝b ＋32＝c ＋84＝k (k ≠0)，∴a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8. ∵a ＋b ＋c ＝12，将a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8代入上式， 得3k －4＋2k －3＋4k －8＝12， ∴9k ＝27，即k ＝3. ∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.∵b 2＋c 2＝9＋16＝25，a 2＝52＝25， ∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 是直角三角形．18．解：(1)如下图，四边形OA 1B 1C 1即为所求．(2)由图形可得A 1(－4，0)，B 1(－2，－4)，C 1(2，－2)．(3)四边形OA 1B 1C 1的面积为12×2×4＋12×(3＋4)×2＋12×3×2＝14.19．解：(1)证明：∵∠A ＋∠APQ ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°， ∴∠APQ ＝∠C . 在△AQP 和△ABC 中， ∵∠APQ ＝∠C ，∠A ＝∠A ， ∴△AQP ∽△ABC .(2)在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理，得AC ＝5. ①当点P 在线段AB 上时． ∵△PQB 为等腰三角形，∴PB ＝PQ . 由(1)可知，△AQP ∽△ABC ，∴PA AC ＝PQ BC，即3－PB 5＝PB 4，解得PB ＝43， ∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53；②当点P 在线段AB 的延长线上时． ∵△PQB 为等腰三角形， ∴PB ＝BQ ，∴∠BQP ＝∠P .∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°， ∴∠AQB ＝∠A ，∴BQ ＝AB ， ∴AB ＝BP ，即B 为线段AP 的中点， ∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.20．解：(1)证明：∵∠A ＝∠A ，AD AB ＝AEAC， ∴△ADE ∽△ABC ，∴∠ADE ＝∠B ， ∴DE ∥BC .(2)证明：如图，过点D 作DG ∥AB 交CF 于点G ，那么△CDG ∽△CAF ，∴DG AF ＝CD AC. ∵E 是BD 的中点，∴BE ＝ED . ∵DG ∥AB ，∴∠FBE ＝∠EDG .在△BEF 和△DEG 中，∠FBE ＝∠EDG ，∠FEB ＝∠GED ，BE ＝ED ，∴△BEF ≌△DEG (ASA)， ∴BF ＝DG ，∴BF AF ＝CDAC .(3)由(2)可得BF AF ＝CDAC.∵AB ＝AC ，AF ＝CD ，∴BF AF ＝AFAF ＋BF，∴BF 2＋BF ·AF －AF 2＝0，∴(BF AF)2＋BF AF －1＝0，解得BF AF ＝－1±52，而BE AF >0，∴BF AF ＝5－12.21．解：由题意得∠ABD ＝∠CDE ＝90°， ∠ADB ＝∠CED ，∴△CDE ∽△ABD ，∴CD AB ＝DE BD.∵由题意得∠CDF ＝∠ABF ＝90°，∠CFD ＝∠AFB ，∴△CDF ∽△ABF ，∴CD AB ＝DF BF，∴DE BD ＝DF BF，即错误!＝错误!，∴BD ＝60， ∴错误!＝错误!，∴AB ＝43. 答：小雁塔的高度AB 是43米．22．解：(1)由题意，得BQ ＝t 厘米，OP ＝t 厘米． 因为OB ＝6厘米， 所以OQ ＝(6－t )厘米．所以y ＝12OP ·OQ ＝12t ·(6－t )＝－12t 2＋3t (0≤t ≤6)．(2)当△POQ 与△AOB 相似时，①假设OQ OB ＝OP OA ，即6－t 6＝t 12，解得t ＝4；②假设OQ OA ＝OP OB ，即6－t 12＝t 6，解得t ＝2.所以当t ＝4或t ＝2时，△POQ 与△AOB 相似．23．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°. 又∵∠ADE ＝30°，∴∠B ＝∠ADE .又∵∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠B ＋∠DAB ，∴∠EDC ＝∠DAB ，∴△ABD ∽△DCE .(2)如图①，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴∠AFB ＝90°.∵AB ＝2，∠ABF ＝30°，∴AF ＝12AB ＝1， ∴BF ＝3，∴BC ＝2BF ＝23，那么CD ＝23－x ，CE ＝2－y .∵△ABD ∽△DCE ，∴AB BD ＝CD CE ，∴2x ＝23－x 2－y ，化简得y ＝12x 2－3x ＋2(0＜x ＜23)． (3)当AD ＝DE 时，如图②，由(1)可知：此时△ABD ∽△DCE ， 那么AB ＝CD ，即2＝23－x ，x ＝23－2，将其代入y ＝12x 2－3x ＋2，解得y ＝4－23， 即AE ＝4－23；当AE ＝ED 时，如图③，∠EAD ＝∠EDA ＝30°，∠AED ＝120°，∴∠DEC ＝60°，∠EDC ＝90°，那么DE ＝12CE ，即y ＝12(2－y )，解得y ＝23，即AE ＝23； 当AD ＝AE 时，∠AED ＝∠ADE ＝30°，∠EAD ＝120°，此时点D 与点B 重合，不符合题意，故此种情况不存在．综上，当△ADE 是等腰三角形时，AE 的长为4－23或23. 24．解：(1)直线CD 是△ABC 的黄金分割线．证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝12∠ACB ＝36°， ∴∠BDC ＝72°＝∠B ，∠A ＝∠ACD ，∴BC ＝CD ，AD ＝CD ，∴BC ＝AD .∵∠B ＝∠B ，∠BCD ＝∠A ，∴△BCD ∽△BAC ，∴BD BC ＝BC AB ，∴BD AD ＝AD AB. 又∵S △BCD S △ADC ＝BD AD ，S △ADC S △ABC ＝AD AB， ∴S △BCD S △ADC ＝S △ADC S △ABC， ∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)设BE ＝x ，∵正方形ABCD 的边长为1，∴S △ABE ＝12AB ·BE ＝12x ，S 正方形ABCD ＝12＝1， ∴S 四边形ADCE ＝1－12x . ∵直线AE 是正方形ABCD 的黄金分割线， ∴S △ABES 四边形ADCE ＝S 四边形ADCE S 正方形ABCD ， ∴S 四边形ADCE 2＝S △ABE ·S 正方形ABCD ，即(1－12x )2＝12x ·1， 整理，得x 2－6x ＋4＝0，解得x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5.∵E 是边BC 上一点，∴x ＜1，∴x ＝3－5，∴BE 的长为3－ 5.。
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第四章图形的相似单元检测试题
（满分120分；时间：120分钟）
真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！
题号一二三总分
得分
一、选择题（本题共计9小题，每题3 分，共计27分，）
1. 已知a
2=b
3
=c
4
，若a−b=6，则c=()
A.−24
B.−12
C.6
D.24
2. 若3a＝4b，则a
b
=()
A.3 4
B.4
3
C.3
2
D.2
3
3. 下列各组线段是成比例线段的是()
A.0.2cm，0.1cm，0.4cm，0.2cm
B.1cm，2cm，3cm，4cm
C.4cm，7cm，8cm，3cm
D.√2cm，√6cm，√7cm，√8cm
4. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且AE
AB =AD
AC
=1
2
，则
S△ADE:S
四边形BCED
的值为()
A.1:√3
B.1:2
C.1:3
D.1:4
5. 如图，AB // EF // CD，BC、AD相交于点O，F是AD的中点，则下列结论中错误的是（）
A.AO AD =BO
BC
B.OB
CE
=OA
DF
C.EF CD =OE
BE
D.2BE
AD
=OE
OF
6. 下列判断正确的是（）
A.菱形都相似
B.任意两个直角三角形相似
C.任意两个等腰三角形相似
D.任意两个等腰直角三角形相似
7. 已知△ABC∽△DEF，且相似比为1:2，S△DEF=8，则S△ABC=()
A.2
B.4
C.16
D.32
8. 如图，在△ABC中，AF:FC=1:2，G是BF的中点，AG的延长线交BC于E，那么
BE:EC的值为（）
A.1:4
B.1:2
C.2:5
D.1:3
9. 四边形ABCD的四条边长分别为54cm，48cm，45cm，63cm，另一个和它相似的四
边形最短边长为15cm，则这个四边形的最长边为（）
A.18cm
B.16cm
C.21cm
D.24cm
二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）
10. 在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在CD上，若点E将CD分成1:2两部分，连接BE交AC于点F，则OF:FC=________．
11 已知：a
2=b
3
=c
4
，且a+b−c=6，则a−b+c的值为________．
12 如图，梯形ABCD中，AD // BC，AB＝DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC，且AB2＝AP⋅PD，则图中有________对相似三角形．
13 如图，在△ABC中，若DE // BC，AD
DB =3
2
，则AE
EC
=________.
14 在相同时刻的物高与影长成正比例，如果一棵树在地面上的影长为50米，同时高度为1.5米的测竿的影长为2.5米，则这棵树的高度是________米．
15. 如图，在△ABC中，若DE//BC，AD
DB =2
3
，DE=4，则BC的长是________.
16 已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′关于点O成位似关系，且OA:O′A′=1:2，则五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的周长之比为________，面积之比为________．
17. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm，6cm，7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，则△DEF的另外两边的长度是________．
18 如图，已知AD // BE // CF，若AB＝3，AC＝7，EF＝6，则DE的长为________．
19 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1使它与△ABC的相似
比为2，则点B的对应点B1的坐标是________．
三、解答题（本题共计6 小题，共计63分，）
20 若2
x =3
y
=5
z
，且3x+2y−z=14，求x的值．
21. 在△ABC中，点D是AB边上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，求AC的长
22. 如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−6, 0)，B(−2, 4)，
C(0, 2)．画出△ABC的两个位似图形△A′B′C′，△A″B″C″，同时满足下列两个条件：
(1)以原点O为位似中心；
(2)△A′B′C′，△A″B″C″与△ABC的面积比都是1:4．（作出图形，保留痕迹，标上相应字母）
23 如图，△ABC的高AD，BE交于点F．写出图中所有与△AFE相似的三角形，并选择一个进行证明．
24. 如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米．如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）．
25 已知矩形ABCD中，AD=3，AB=1．
（1）若EF把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩形ABEF与矩形ABCD相似．求AF:AD的值；
（2）若在矩形ABCD内不重叠地放两个长是宽的3倍的小长方形，且每个小长方形的每条边与矩形ABCD的边平行，求这两个小长方形周长和的最大值．。