量化线性离散码性能分析

量化线性离散码性能分析1朱治雨，邓单，朱近康中国科学技术大学个人通信与扩频实验室，合肥（230027）摘要：本文首先介绍线性离散码的系统模型，然后研究了量化线性离散码。

通过对线性离散码码字矩阵每一个元素的实部和虚部进行量化，本文试图找到消耗较少存储资源，却又具有与原码字几乎相同的互信息量(Mutual Information, MI)和比特差错率(Bit Error Rate, BER)性能的近似码字。

仿真结果表明：这样的近似码字能够通过对原线性离散码进行适当量化处理得到。

关键词：MIMO；线性离散码；量化中图分类号：TN929.533 文献标识码：A1. 引言空时编码是目前无线通信研究的热点。

线性离散码(Linear Dispersion Codes, LDC)是近年来研究得较多的空时编码技术。

Hassibi and Hochwald[1] 首先提出了线性离散码的概念，并且提出了基于容量最大化准则的码字设计方法。

Robert W. Heath[2] 提出了基于互信息量(MI)和比特差错率 (BER)性能联合优化准则的码字设计方法。

近年来，基于不同的设计准则或系统模型，一系列的作者提出了多种码字设计方法[3-8]。

根据某一准则设计出的LDC，为一个码字矩阵集合。

从理论上说，存在准确满足某一码字设计准则的理想LDC码字矩阵。

但是，实际上，得到的LDC码字矩阵只能是理论解的近似。

这样，应该求取怎样近似程度的解成了一个问题。

在研究中，人们通常会根据某种准则生成尽量准确的码字，以达到尽可能好的性能。

但是，这种码字如果被应用到工程实际中，通常会消耗较多的存储资源，而且也给运算带来了不便。

工程实际中，人们总是希望在保证码字性能的同时节省存储资源。

本文试图找到近似满足某一设计准则的LDC码字，使得存储该码字消耗尽量少的资源，却能保持较好的性能。

本文首先根据文献[2]提出的算法生成接近理论解的LDC码字(例如，本文生成LDC码字矩阵的每一个元素实部和虚部都精确到了万分之一)，称为原始线性离散码(Original Linear Dispersion Codes, OLDC)。

虽然，在性能方面，OLDC能够很好的满足设计准则要求，但是存储OLDC却需要消耗较多的资源。

本文的工作是基于OLDC，找到一个符合本文研究目的的更合理的近似解。

因此，接下来考虑OLDC进行量化处理(量化的实现见第3节)，我们称对OLDC进行量化处理后得到的码字为量化线性离散码(Quantized Linear Dispersion Codes, QLDC)。

鉴于工程实际中，例如FPGA 设计中，数据存储一般采用二进制的方式，本文给出了符合这一特点的量化方式，以便于码字在实际系统中进行存储。

本文通过计算机仿真来比较QLDC和OLDC的互信息量(MI)性能和比特差错率(BER)性能。

仿真结果表明，经过适当量化处理，存储QLDC码字矩阵的每一个元素实部或虚部消耗的资源明显少于存储OLDC的相应元素实部或虚部消耗的资源，而QLDC的MI和BER性能却十分逼近OLDC的相应性能。

本文余下的内容安排如下:第2节介绍线性离散码系统模型；第3节介绍量化线性离散码；第4节给出了仿真结果和分析；最后给出本文的结论。

2. 线性离散码系统模型1本课题得到国家自然科学基金(60572066)和863计划快速启动项目(2005AA123920)的资助。

Fig.1 线性离散码系统模型Fig.1所示是一个M t 根发送天线，M r 根接收天线的线性离散码系统模型。

假设H 是M r ×M t MIMO 信道系数矩阵。

H 各个元素独立，且都服从(0,1)CN 的复高斯分布。

设11{}N n n s −=为待发射的符号集合，10{}N n n −=C 为M t ×T OLDC 码字矩阵，T 为码字持续时间，N 为一个待发送符号块的符号数。

假定n s 的均值为0，方差为1。

如果基矩阵码字满足功率限制条件[2]：{}0,1,,1Hn nTtr n N N==−C C (1)上式中{*}tr 表示矩阵的迹，则发射码字可以表示为：10110(,,,){}N N n nn s s s s −−==∑S C ，在接收天线阵中T 个观测时间间隔组成的接收信号矩阵为：01110(,,,){}N N n n n s s s s −−==+=+∑R W C W(2)其中W 是M r ×T 加性高斯白噪声(AWGN)矩阵，W 中的各元素为独立且均服从0(0,)CN N 分布的复高斯随机变量。

E s 为M t 根发射天线上发射的总功率。

定义线性变换矩阵(Linear Transformation Matrix, LTM)[2]为：011:[(),(),,()]N vec vec vec χ−=C C C (3)将信道系数矩阵表示为：:T =⊗H I H (4)上式中()vec i 是矢量化算子，表示将矩阵的各列按先后顺序构造为一个新的列矢量，⊗为克罗内克(Kronecker)积。

对式(2)的两边进行矢量化操作，得到：=+r s w (5)式中:()vec =r R , 121:[,,,]TN s s s −=s , :()vec =w W 。

3. 量化线性离散码假设x R ∈,A x A −≤≤, R 为实数集，[,]A A −为x 的取值区间。

对每一个Q Z +∈，Z +为正整数集合，将闭区间[,]A A −等分成为2Q 个子区间，这些子区间为：(1)(1)[,(1)0,1,...,2222Q Q Q AA A kA k k −−−+−++=−和(1)[,]2Q A A A −−。

对任何x R ∈,A x A −≤≤,若(1)(1)[,(1)0,1,...,2222QQ Q AA x A kA k k −−∈−+−++=−，则将x 映射为(1)2Q A A k−−+，若(1)[,]2Q A x A A −∈−，则将x 映射为(1)2Q A A −−，这个过程称为对实数x 进行量化，(1)2Q A A k−+，0,1, (22)k =−和(1)2Q A A −−称为量化值，因此上述2Q个子区间对应着2Q个量化值，本文称Q 为量化分辨率。

显然，量化分辨率越高，则量化值越接近原实数值。

量化过程可以用如下的映射规则表示：()()()()(1)(1)(1)(1)22212Q Q Q Q Q A x A x A A f x A x A −−−−⎧⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎪⎪⎩−≤<=−= (6)对每一个x R ∈,A x A −≤≤，按照如下的映射规则Q g 可以将上述量化值映射为一个整数：()()()()()(1)(1)221Q Q Q Q x A x A A g f x x A −−⎧⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎪⎪⎩−≤<=−= (7) 其中y ⎢⎥⎣⎦表示不大于y 的最大整数。

从上式可以看到，每一个x R ∈,A x A −≤≤，按映射规则Q f 得到的近似值()Q f x ，均可以通过映射规则Q g 映射为带符号的Q 比特二进制数。

因此存储()Q f x 需要Q 比特资源。

量化分辨率Q 越大，()Q f x 越接近x ,但存储()Q f x 所需资源越多。

下面考虑对OLDC 码字矩阵10{}N n n −=C 进行量化。

设n C 的第t m 行，第t 列的元素表示为()t n m tc ，()t n m t c 为复数,1t t m M ≤≤,1t T ≤≤,根据(1)给出的码字矩阵功率限制条件可知，2()t n m tTcN≤，其中2表示复数模平方。

因此，可以考虑将A 设为：A = (8) 式中y ⎡⎤⎢⎥表示不小于y 的最小整数。

对某一量化分辨率Q Z +∈，我们对n C ，n=0,1,…N-1的每一个元素的实部和虚部进行如式(6)所示的量化处理，这样，可以得到：()()()()()()()()Re Im t t t Q n n n Q m tQm tM Tc i c f f ×=+•C (9)式中()*tM T ×表示t M T ×的矩阵，()Re *表示复数实部，()Im *表示复数虚部，i 为虚数单位，21i =−。

将 ()Q n C ，n=0,1,…N-1组合为线性变换矩阵：()()()()011:[(),(),,()]Q Q Q Q N vec vec vec χ−=C C C (10)为了满足参考文献[2]中式(8)的条件，对 ()Q χ进行如下处理：())Q Q χ=(11)上式中，()*H表示矩阵的共轭转置。

将(5)式中的χ用()Q χ代替得到：())Q Q =+rs w (12)(12)式即为线性离散码系统中使用量化分辨率为Q 的QLDC 的接收矢量。

4. 仿真和分析本文通过计算机仿真来研究不同量化分辨率下QLDC 码字MI 和BER 性能，并与OLDC 的相应性能进行比较，以找到符合本文研究目的的QLDC 。

本文中将发送天线数设定为3，接收天线固定为2，码字时间长度为T =3，编码块发射符号数设定为N=3，调制方式固定为QPSK ，并且假设发送符号块自相关矩阵为单位矩阵。

互信息量根据文献[2]中(7)式计算；接收端采用迫零(ZF)算法或最小均方误差(MMSE)算法进行解码。

SNR (dB)M I (b i t /s /H z )Fig.2 QLDC 和OLDC 的MI 性能, M t =3， M r =2，T =3首先研究不同量化分辨率下的QLDC 以及OLDC 的MI 性能。

考虑3根发送天线，2根接收天线的线性离散码系统。

Q=2到Q =10的QLDC 以及OLDC 的MI 性能曲线如图Fig.2所示。

从Fig.2中可以看到，Q=2到Q=4，QLDC 的MI 性能与OLDC 的MI 性能相比较差，但是从Q=5到Q=10，QLDC 的MI 性能曲线几乎和OLDC 的MI 性能曲线重合。

仿真结果表明，随着量化分辨率的增加，QLDC 的MI 性能逼近OLDC 的MI 性能， Q 大于4时，QLDC 和OLDC 在MI 性能上几乎没有差别。

这说明，在该系统中，只需要5比特资源存储码字矩阵元素的实部或虚部，即能保证较好的MI 性能。

1010101010SNR (dB)B E RFig.3 QLDC 和OLDC 的BER 性能曲线，M t =3， M r =2，ZF 接收机，T =31010101010SNR (dB)B E RFig.4 QLDC 和OLDC 的BER 性能曲线，M t =3， M r =2，MMSE 接收机，T =3下面研究不同量化分辨率下的QLDC 以及OLDC 的BER 性能。