最新人教版八年级数学上册 13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质1
13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质
A．BD＝CE C．DA＝DE
图 13-3-8 B．AD＝AE D．BE＝CD
6．[2017·天津]如图 13-3-9，在△ABC 中，AB＝AC，AD，CE 是△ABC 的两
条中线，P 是 AD 上的一个动点，则下列线段的长等于 BP＋EP 最小值的是( B )
A．BCBΒιβλιοθήκη CEC．ADD．AC
图 13-3-9
类型之二 运用方程思想进行等腰三角形的角度计算 如图 13-3-1，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，AD＝BD，AB＝AC＝
CD，求∠BAC 的度数．
图 13-3-1
解：∵AD＝BD，∴设∠BAD＝∠DBA＝x°. ∵AB＝AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA＝∠BAD＋∠DBA＝2x°， ∠C＝∠DBA＝x°，∴∠BAC＝3x°. ∵∠ABC＋∠BAC＋∠C＝180°，∴5x°＝180°， 解得 x°＝36°， ∴∠BAC＝3x°＝108°. 【点悟】 根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，得到各角之间的关 系式，再列方程求解，是解决等腰三角形的角度计算问题的基本方法．
2．运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题．
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开， 得到的△ABC 有什么特点？
1．等腰三角形的概念
知识管 理
定 义：有 两边相等的三角形叫做等腰三角形．
相关定义：(1)相等的两条边叫做等腰三角形的 腰 ，另一条边叫做 底边；
(2)两腰所夹的角叫做等腰三角形的 顶角 ，底边与腰的夹角叫做 底角 ．
9．如图 13-3-12，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，BE⊥AC 于点 E.求证：∠CBE＝∠BAD.
图 13-3-12
新人教版八年级数学上册13.3.等腰三角形
能力目标：
教学重难点
重点
等腰三角形的性质的探索和应用。
难点
等腰三角形的性质的证明。
教学过程：活动1 创设情景，认识等腰三角形
教学过程：活动1 创设情景，认识等腰三角形
1.如何画一个等腰三角形，自己动手画一画。
A
B
C
2.等腰三角形是轴对称图形吗？如果是画出它的对称轴。
教学过程：活动1 创设情景，认识等腰三角形
D
C
做底边的高
教学过程 ：活动3 等腰三角形性质定理的判定证明
方法三：
证明： 作底边BC的中线AD. ∵AD是BC边上的中线 ∴ BD = CD 在△BAD和△CAD中， AB=AC ( 已知 ), BD = CD AD=AD (公共边) , ∴ △BAD ≌△CAD (SSS). 做底边的中线
A
12.3.1等腰三角形（第1课时）
等腰三角形的性质
徐闻县和安中学
林朝清
教学目标
知识目标：理解掌握等腰三角形的性质，会利用等腰三角形的性质，
进行简单的推理、判断和计算。 通过观察等腰三角形的对称性，培养学生观察、分析、 归纳问题的能力， 通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，培养学生 分类讨论的思想，以及添加辅助线解决问题的能力。 通过学生动手实践活动，激发学生的学习兴趣，在实际操 情感目标： 作中感受几何的应用美。
教学过程 ：活动4等腰三角形性质定理的运用
例题:
如图，在三角形ABC中，AB＝AC 点D在AC 上，且BD＝BC＝AD, （1）图中有几个等腰三角形，分别写出 它们的顶角和底角。 （2） 求出△ABC各角的度数。
B
A
D
C
教学过程 ：活动4 等腰三角形性质定理的运用
2024年人教版八年级上册数学第13章第3节第1课时等腰三角形
感悟新知
知3－讲
特别提醒 1.等腰三角形的定义也是一种判定方法. 2.“等角对等边”是我们以后证明两条线段相
等的常用方法，在证明过程中，经常通过 计算三角形各角的度数，或利用角的关系 得到角相等，从而得到所对的边相等.
感悟新知
知3－讲
3. 已知底边及底边上的高作等腰三角形已知：一个等腰三 角形底边长为a，底边上的高为h(如图13 .3 -9). 求作：这个等腰三角形.
感悟新知
几何语言：如图13 .3 -3，在△ ABC 中， (1)∵ AB=AC，AD ⊥ BC， ∴ AD 平分∠ BAC(或BD=CD)； (2)∵ AB=AC，BD=DC， ∴ AD ⊥ BC(或AD 平分∠ BAC)； (3)∵ AB=AC，AD 平分∠ BAC， ∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)．
感悟新知
知2－练
3-1.[中考·宿迁] 如图，已知AB=AC=AD，且AD ∥ BC，求 证：∠ C=2 ∠ D．
感悟新知
证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD. ∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.
知3－讲
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求 证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边” 判定等腰三角形，只需证明三 角形两个内角相等即可.
感悟新知
知3－练
证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F， ∴∠ AED= ∠ CFD=9 0 °. ∵ D 为AC 的中点，∴ AD=DC.
人教版八上数学13.3.1等腰三角形(第1课时)教学设计
13.3.1等腰三角形（第1课时）教学设计一、教材分析1.地位作用：等腰三角形对于学生学习和研究图形的轴对称性具有重要意义，由等腰三角形揭示的“等边对等角”和“等角对等边”的几何事实，是边与角相互联系和转化的基本依据，是平面几何体系中重要定理之一；本节内容起到了重要的承上启下作用，既用它作为运用全等三角形的判定和性质进行推理论证的载体，又由此对三角形的研究呈现出从特殊到一般的过程，随着等腰三角形性质的学习和研究的深入，学生的逻辑推理的能力将有所增强；实验与论证相辅相成，帮助学生从实验几何向论证几何过渡.2、教学目标：1、知识技能：①掌握等腰三角形的性质；②运用等腰三角形的性质进行有关计算和证明.2、数学思考：①观察等腰三角形的对称性，发展形象思维；②通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，发展学生合情推理能力和演绎推理能力.3、解决问题：①通过观察等腰三角形的对称性，培养学生观察、分析、归纳问题的能力.②通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展运用意识.4、情感态度：引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.3、教学重、难点教学重点：①探究等腰三角形的性质；②运用等腰三角形的性质解决简单问题.教学难点：等腰三角形性质的证明.突破难点的方法：通过折叠纸片突破难点.二、教学准备：多媒体课件、导学案、长方形纸片三、教学过程2.等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为------------------------------。
3.等腰三角形有一个外角为100°，它的三个内角分别为---------------------------。
活动3：再探性质证明、渐进升华思考：添加辅助线后，在这两个全等三角形中，1.当作底边BC边上的中线AD 时，由全等，AD是顶角的平分线吗？AD是底边上的高吗？引导学生利用现成的结论继续证明，归纳小结。
人教版八年级上第13章 13.3 .1等腰三角形
13.3.1 等腰三角形知识点一：等腰三角形的性质1——“等边对等角”1、如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC,若∠1=70∘,则∠BAC的大小为( )A. 40∘B. 30∘C. 70∘D. 50∘2、如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50 °，则∠CDE 的度数为（）A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°3、如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC，求证：∠C=2∠D.知识点二：等腰三角形的性质2——“三线合一”4、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35º，则∠C的度数为（）A、35ºB、45ºC、55ºD、60º5、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC上边的中线，BE⊥AC于点E，求证：∠CBE=∠BAD.知识点三：等腰三角形的判定6、如图,在△ABC中,∠ABC=60∘,∠C=45∘,AD是BC边上的高,∠ABC的角平分线BE交AD于点F,则图中共有等腰三角形( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点M、N分别在BC所在的直线上，且AB=AC，BM=CN，试判断△AMN的形状，并说明理由。
综合练习题：一、填空题。
1、如图,在△ABC、△ADE中,C、D两点分别在AE、AB上,BC、DE交于点F,若BD=DC=CE,∠ADC+∠ACD=114∘,则∠DFC为( )A. 114∘B. 123∘C. 132∘D. 147∘2、等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角（）A. 等于顶角B. 等于顶角的一半C. 等于顶角的2倍D. 等于底角的一半3、平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( )A. 5B. 6C. 7D. 84、如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,则下列结论不一定成立的是( )A. AD=BDB. BD=CDC. ∠1=∠2D. ∠B=∠C5、在△ABC中,下列哪个点与△ABC的任意两个顶点,围成的三角形都是等腰三角形( )A. 三条中线的交点B. 三条高线的交点C. 三条角平分线的交点D. 三条垂直平分线的交点6、等腰三角形有一个角是90º，则另两个角分别是（）A. 30º，60ºB. 45º，45ºC. 45º，90ºD. 20º，70º7、如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,已知AB=3,AD=1,则△AED的周长为 ( )A. 2B. 3C. 4D. 58、如图，在△ABC中，∠A=36º，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个9、已知△ABC中,AB=6,AC=8,BC=11,任作一条直线将△ABC分成两个三角形,若其中有一个三角形是等腰三角形,则这样的直线最多有( )A. 3条B. 5条C. 7条D. 8条二、填空题1、等腰三角形的一个内角为70∘，它一腰上的高与底边所夹的度数为___.2、如图,BD,CE分别是△ABC两个外角的角平分线,DE过点A,且DE∥BC.若DE=14，BC=7，则△ABC的周长为___.3、如图,∠BOC=60∘,点A是BO延长线上的一点,OA=10cm,动点P从点A出发沿AB以2cm/s 的速度移动,动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动,如果点P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间，当t=___s时，△POQ是等腰三角形。
人教版八年级数学上册《等腰三角形》(第1课时)课件
底边BC上的高AF，得出AF是顶角∠BAC的
平分线，再证AF∥DE即可. 1
1
2
证明：过点A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC，AF⊥BC于F，
F
∴AF平分∠BAC，∴∠1＝ ∠BAC.
又∵∠BAC＝∠D＋∠AED，AD＝AE， ∴∠D＝∠AED，∴∠AED＝ 1 ∠BAC.
2 ∴∠1＝∠AED， ∴AF∥DE， ∴DE⊥BC.
20cm或22cm
20 36°或90°
70°或40°
解：设∠A＝x， ∵CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝x， 又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2x, ∵CD=CB，∴∠B＝∠BDC＝2x， 在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA＝2x， 又∵∠A＋∠B＋∠BCA＝180°， ∴x＋2x＋2x＝180°，x＝36°， ∴∠A＝36°，∠B＝∠BCA＝72°
13.3.1 等腰三角形
（第一课时）
1.了解等腰三角形的概念. 2.掌握等腰三角形的性质. 3.会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题.
重点：等腰三角形的概念和性质及其应用. 难点：等腰三角形的“三线合一”的性质的理解及 其应用.
阅读课本P75-77页内容，了解本节主要内容.
等腰
轴对称 底边上的高（顶角的平分线或底边上的中线） 所在的直线；
例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD ＝BC＝AD.求△ABC各角的度数. 解析：根据等腰三角形的性质，两底角相 等，利用三角形内角和定理建立方程. 解：设∠A＝x°，
∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x°， ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x°.
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x°.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x°. 在△ABC中, ∵∠A+∠ABC+∠C=180°,x°+2x°+2x°=180°， ∴x＝36°，∴∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°.
人教版数学八年级上册13.3.1等腰三角形的性质课件
证明：等腰三角形的两个底角相等
A
已知： △ ABC中，AB=AC.
12
求证： ∠B= ∠C.
B DC 证明： 作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中，
AB=AC ( 已知 ), ∠ 1= ∠ 2 ( 辅助线作法 )， AD=AD (公共边) , ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
作底边的高线 证明：等腰三角形的两个底角相等
A
已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边高线AD.
B
在Rt△BAD和△RtCAD中，
D
C
AB=AC ( 已知 ),
AD=AD (公共边) , ∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
等腰三角形的性质
如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,然后沿 实线剪开,再把它展开,得到的是什么图形?
C
A
D
B
B A
AB=AC
C
你知道什么是等腰三角形吗?
A
腰 顶角 腰
底角 底角
Ｂ 底边 Ｃ
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
在△ABC中,AB=AC, 则△ABC是等腰三角形。
只有等腰三角形才有底角和底边.
∠ABC=∠ACB=∠BDC ∠ A=∠ABD 3、这两组相等的角之间还有什 么关系？
∠BDC=2∠ A
∠ABC+∠ACB+∠ A=180 °
⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为___4_0_°_.
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 __7_0_°__,4_0_°__或__5_5_°__,_5_5.°
人教版八年级数学上册13.3.1等腰三角形(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《等腰三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否见过两边相等的三角形？”比如，红领巾的一个角就是等腰三角形。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索等腰三角形的奥秘。
3.培养学生的数据分析能力，能够运用等腰三角形的性质解决实际问题，如计算等腰三角形的面积，从而在实际情境中加深对等腰三角形特征的理解。
4.培养学生的数学抽象素养，让学生通过对等腰三角形的学习，抽象出一般性的几何性质，形成对几何图形的深入认识。
5.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论、合作探究等腰三角形的性质和应用，提高沟通与协作能力。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了等腰三角形的定义、性质、判定和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对等腰三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了等腰三角形这一章节，整体来看，学生们对等腰三角形的定义和性质掌握得还不错。但在教学过程中，我也发现了一些问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-等腰三角形的定义：明确等腰三角形两条边相等的特征，理解其基本概念。
-等腰三角形的性质：掌握等腰三角形的底角相等、底边上的中线、高线、角平分线互相重合的性质。
-等腰三角形的判定：学会运用判定定理判断一个三角形是否为等腰三角形。
-等腰三角形的应用：掌握利用等腰三角形性质解决实际问题的方法，如计算面积等。
此外，小组讨论环节，有的小组在讨论过程中并未充分展开，部分学生参与度不高。为了提高学生的参与度，我打算在下次课堂中，对讨论主题进行更明确的分工，让每个学生都有任务和责任，以促使他们更积极地参与到讨论中来。
人教版八上数学13.3.1《等腰三角形》(第一课时)教学设计
13．3．1《等腰三角形》（第一课时）教学设计教学任务的分析教学目标1、理解并掌握“等边对等角”定理，能够运用“等边对等角”定理解决实际问题；2、理解并掌握“三线合一”定理，能够运用“三线合一”定理解决实际问题.重点“等边对等角”“三线合一”定理的探究过程难点“等边对等角”和“三线合一”在实际中的应用教学流程安排活动流程活动内容和目的活动一情景引入活动二复习回顾活动三互动探究活动四猜想论证活动五总结归纳活动六典例解析活动七拓展提升活动八小结梳理由生活中的实物图片引入课题，激发学生学习欲望复习等腰三角形及其相关概念，温故而知新学生通过动手操作、小组交流等活动发现性质，并进行理性思考培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力,发展学生的理性思维归纳提炼性质定理，让学生熟悉“三种语言”的相互转化应用性质解决问题，尝试“用方程计算角度”的思想方法尝试应用所学方法解决问题，在实践中体验数学的应用价值了解学生的学情，让学生逐步养成总结的好习惯.课前准备教具学具补充材料1、多媒体演示文稿.2、直角三角尺、圆规.自制纸质等腰三角形剪刀、直角三角尺实践作业、课后阅读等教学过程教学环节师生活动设计意图【活动一】情景引入出示一组含有等腰三角形的生活图片，让学生感知图片主要部分形状的共同点，引入课题。
从学生感兴趣，并与实际生活相联系的话题入手.激发学生的好奇心和求知欲.【活动二】复习回顾学生回忆等腰三角形的相关定义，进一步提出：“人们在生活中如此的喜欢等腰三角形，它到底还具有那些性质呢？”引出本节课的课题--等腰三角形的性质（板书课题）抛出问题，激发学生的兴趣【活动三】互动探究1.如图13-3-14,把一张长方形纸沿图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开铺平,得到的三角形是什么特殊三角形?它具有哪些性质?它是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？图13-3-142.请同学们拿出剪好的等腰三角形，动手折一折，通过刚才的对折过程，你发现∠B 和∠C 存在怎样的数量关系？由此你发现等腰三角形有什么性质？说说你的猜想.1.借助动手操作的过程，培养学生探究图形性质的基本能力，发展学生合情猜想的数学素养，体现“做中学”的教学理念.同时突破本节课的教学重、难点2.通过观察、思考、描述、证明,鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试,培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力,养成自觉探索几何命题的良好习惯.【活动四】猜想论证①等腰三角形的两个底角相等提问：这是文字语言给出是命题，我们需要先把它转化成数学语言，写出已知、求证，画出图形。
新人教版初中数学八年级上册精品教案13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质1
13．3等腰三角形13．3.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1．理解并掌握等腰三角形的性质．(重点)2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．(难点)一、情境导入探究：如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开得到的△ABC有什么特点？二、合作探究探究点一：等腰三角形的概念【类型一】利用等腰三角形的概念求边长或周长如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是( )A．9cm B．12cmC．15cm或12cm D．15cm解析：当腰为3cm时，3＋3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm 时，6－3＜6＜6＋3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6＋6＋3＝15(cm)．故选D.方法总结：在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．探究点二：等腰三角形的性质【类型一】利用“等边对等角”求角度等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( )A．65°或50° B．80°或40°C．65°或80° D．50°或80°解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．【类型二】 利用方程思想求等腰三角形角的度数如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求△ABC 各角的度数． 解析：设∠A ＝x ，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．解：设∠A ＝x .∵AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝x .∵BD ＝BC ，∴∠BCD ＝∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2x .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠BCD ＝2x .在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x ＋2x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°，∠ABC ＝∠ACB ＝72°.方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x .【类型三】 利用“等边对等角”的性质进行证明如图，已知△ABC 为等腰三角形，BD 、CE 为底角的平分线，且∠DBC ＝∠F ，求证：EC ∥DF .解析：先由等腰三角形的性质得出∠ABC ＝∠ACB ，根据角平分线定义得到∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，那么∠DBC ＝∠ECB ，再由∠DBC ＝∠F ，等量代换得到∠ECB ＝∠F ，于是根据平行线的判定得出EC ∥DF .证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .又∵BD 、CE 为底角的平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，∴∠DBC ＝∠ECB .∵∠DBC ＝∠F ，∴∠ECB ＝∠F ，∴EC ∥DF .方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补．【类型四】 利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC .(1)若AD ＝AE ，求证：BD ＝CE ；(2)若BD ＝CE ，F 为DE 的中点，如图②，求证：AF ⊥BC .解析：(1)过A 作AG ⊥BC 于G ，根据等腰三角形的性质得出BG ＝CG ，DG ＝EG 即可证明；(2)先证BF ＝CF ，再根据等腰三角形的性质证明．证明：(1)如图①，过A 作AG ⊥BC 于G .∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴BG ＝CG ，DG ＝EG ，∴BG －DG ＝CG －EG ，∴BD ＝CE ；(2)∵BD ＝CE ，F 为DE 的中点，∴BD ＋DF ＝CE ＋EF ，∴BF ＝CF .∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC . 方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．【类型五】 与等腰三角形的性质有关的探究性问题如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，垂足为D .(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由．(3)如果BC ＝10，求AB ＋AE 的长．解析：(1)由△ABC 是等腰直角三角形，BE 为角平分线，可证得△ABE ≌△DBE ，即AB ＝BD ，AE ＝DE ，所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形；由∠C ＝45°，ED ⊥DC ，可知△EDC 也符合题意；(2)BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，根据角平分线定理可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，可得出BE ⊥AD ；(3)根据(2)，可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，且△DEC 为等腰直角三角形，可推出AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.解：(1)△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC .(2)AD 与BE 垂直．证明：由BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE ＝∠DBE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90°，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合，∴A 、D 是对称点，∴AD ⊥BE .(3)∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴AE ＝DE .在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DE ，BE ＝BE ，∴Rt △ABE ≌Rt △DBE (HL)，∴AB ＝BD .又∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝45°.又∵ED ⊥BC ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴DE ＝DC ，∴AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.三、板书设计1．等腰三角形的性质．2．解题方法：设辅助未知数法与拼凑法．3．重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想．本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高．。
人教版八年级上册数学13.3.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质课件
探究新知
1.在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.
【课本P77 练习 第1题】
(180°－36°)÷2=72°
(180°－120°)÷2=30°
探究新知
2. 如图，△ABC是等腰直角三角形 （AB=AC，∠BAC=90°）， AD 是底边 BC上的高. 标出∠B，∠C， ∠BAD，∠DAC 的度数，并写出图 中所有相等的线段.
B
D
C
等腰三角形的性质:
性质1： 等腰三角形的两个底角相等 (简写成“等边对等角”)；
性质2： 等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线、底边上的高相互重合 (简写成“三线合一”)．
课后作业
➢ 从课后习题中选取； ➢ 完成练习册本课时的习题。
证明：由（1）可知△BAD ≌△CAD （SSS）
A
∴∠ADB=∠ADC=90° ∠BAD=∠CAD
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC
由（1）可知AD是BC边的中线，
∴AD是底边BC的高，也是底边BC的中线， 也是顶角∠A的角平分线.
B
D
C
探究新知
➢ 等腰三角形底边上的 中线的左右两部分经 翻折可以重合；
【课本P77 练习 第2题】
探究新知
解：∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠B=∠C=45°
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC ∴AD是∠BAC的平分线
45° 45°
∴∠BAD=∠DAC=45°.
45°
45°
图中相等的线段有 BD=CD=AD，AB=AC
探究新知
3.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26° 求∠B和∠C的度数.
∠ADB与∠ADC
C
最新人教版八年级数学上册课件 13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质
若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ A ） A．40° B．30° C．70° D．50°
3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另 外两个角为_7_5_°_ , 30_°_；
(2)等腰三72角°形,72一°个或角36为°3,61°08,°它的另外 两个角为____________________；
C
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关
⌒
系，∠ABC、∠C呢？
A
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD, x
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
D
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
2x
（4）设∠A=x°,请把△ ABC的内
2x
B
C
角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °,
2x+x+26°+x=180°， 解得x=38.5°.
例2 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三
角形的底角的大小是A( )
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是
50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据
三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.
A
求证： ∠B= ∠C.
证明： 作底边的中线AD，
则BD=CD.
在△BAD和△CAD中 AB=AC ( 已知 )，
B DC
BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)，
还有其他的 证法吗？
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
13.3.1 等腰三角形
第1课时等腰三角形的性质
一．选择题（共8小题）
1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）
A． BD=CE B． AD=AE C． DA=DE D． BE=CD
2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）
A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．20°
3．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是
（）
A． 20或16 B． 20 C． 16 D．以上答案均不对
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（）
A．60°B．70°C．75°D．80°
5．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（）
A． 8 B． 9 C． 10或12 D． 11或13
6．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）
A．80° B．70° C．60° D．50°
7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，
则这个等腰三角形的底边长为（）
A． 7 B．11 C． 7或11 D． 7或10
8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）
A．60°B．120° C．60°或150° D．60°或120°
二．填空题（共10小题）
9．已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是_________ ．
10．如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=_________ ．
第10题第11题第12题第13题
11．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外角∠DAC=130°，则∠B=_________ °．12．如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=________°．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=_________ ．
14．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC=_________°．
第14题第15题第16题第17题第18题15．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE=10cm，则AB+BD= _________ cm．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为_________．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C=_________ ．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=_________ 度．
三．解答题（共5小题）
19．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：AD=AE．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
求证：（1）△ABD≌△ACD；
（2）BE=CE．
21．如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．
22．如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，
给出下列四个条件：
①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．
（1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？（用序号写出所有
的情形）
（2）选择（1）小题中的一种情形，说明AB=AC．
23．（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？
（2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想．
13.3.1 等腰三角形
第1课时等腰三角形的性质
一、CBBCDCCD
二、9、50°，50°或80°，20°；10、44；11、65；12、40；13、3；14、69；15、10；
16、72；17、70；18、50
三、19、证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ODB=∠OEC=90°．
∵O是底边BC上的中点，
∴OB=OC，
在△OBD与△OCE中，
∴△OBD≌△OCE（AAS）．
∴BD=CE．
∵AB=AC，
∴AB﹣BD=AC﹣CE．
即AD=AE．
20、证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△A BD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；…（4分）
（2）由（1）知△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，
在△ABE和△ACE中，
∴△ABE≌△ACE （SAS），
∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）．
（其他正确证法同样给分）…（4分）
21、解：OE⊥AB．
证明：在△B A C和△ABD中，，
∴△BAC≌△ABD（SAS）．
∴∠OBA=∠OAB，
∴OA=OB．
又∵AE=BE，∴OE⊥AB．
答：OE⊥AB．
22、（1）答：有①③、①④、②③、②④共4种情形．
（2）解：选择①④，证明如下：
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
又∵∠EBO=∠DCO，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AC=AB．
②④
理由是：在△BEO和△CDO中
∵，
∴△BEO≌△CDO，
∴∠EBO=∠DCO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
23、解：（1）成立；
∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，
∴∠1=∠2，∠5=∠4．
∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6．
∴∠1=∠3，∠6=∠5．
根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CE．∴DE=DF+EF=BD+CE．
故成立．
（2）∵BF分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC．
∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC．
∴∠ABF=∠DFB，
∴BD=DF．
∵CF平分∠AC G，
∴∠ACF=∠FCG．
∵DF∥BC，
∴∠DFC=∠FCG．
∴∠ACF=∠DFC，
∴CE=EF．
∵EF+DE=DF，即DE+EC=BD．。