赵常菊 15.4.2平方差公式
八年级数学上册 15.4.2平方差公式学案 新人教版
八年级数学上册 15.4.2平方差公式学案新人
教版
15、4、2平方差公式
一、学习目标：
1、会运用平方差公式对比较简单的多项式进行因式分解、
2、在运用公式法进行因式分解的同时提高观察、比较和判断能力以及运算能力，会用不同的方法分解因式，提高综合运用知识的能力、
3、进一步体验“整体”的思想，养成“换元”的意识、学习重点：运用平方差公式法进行因式分解、学习难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解、
二、预习内容：三自主学习
1、因式分解：（1）；（2）；
2、回忆：
从左到右，进行了__________的运算反之: 从左到右,叫做____________运算
四、合作探究：例
1、利用公式将进行因式分解。
分析：对比公式，其中解：（）（） ( + )
( － )
题目是逆用，这种方法我们称为。
五、展示自我
1、用公式法把下列多项式分解因式：（1） =（）=（）
（）（2） =（）=（）（）(3)
=（） =（）（） (4)
=（）（） =（）（）（5） =（）（）=（）（）(6) ）=（）（）（）六、自我检测
1、填空（1） =（） =（）（）（2）=（）=（）（）（3）（）=（）（）（4）=（）（）=（）（）
2、分解因式（1）（2）（3）（4） (5)
(6)
(7)
3、试说明：若是整数，则能被8整除。
北师大版七年级下册数学说课稿：1.5.2《平方差公式》
北师大版七年级下册数学说课稿：1.5.2《平方差公式》一. 教材分析《平方差公式》是北师大版七年级下册数学的一节重要内容。
本节课主要学习了平方差公式的推导和应用。
平方差公式是代数学习中一个基本的公式，它在解决一些特定的数学问题中起着重要的作用。
在教材中，平方差公式是通过具体的例子引入的。
学生先是通过计算一些简单的平方差，发现其中的规律，然后通过教师的引导，归纳出平方差公式。
接下来，教材通过一些例题和练习题，帮助学生理解和掌握平方差公式的应用。
二. 学情分析在七年级的学生中，他们对代数知识已经有了一定的了解，掌握了有理数的乘法运算。
但是，对于平方差公式的推导和应用，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生通过实际操作，发现平方差公式的规律，并能够运用到实际问题中。
三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生理解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式的应用，并能够解决一些实际问题。
具体来说，学生需要能够：1.理解平方差公式的含义和推导过程；2.掌握平方差公式的应用，能够解决一些实际问题；3.培养学生的观察能力、思维能力和解决问题的能力。
四. 说教学重难点本节课的重难点是平方差公式的推导和应用。
对于平方差公式的推导，学生需要通过具体的例子，发现其中的规律，并能够归纳出平方差公式。
对于平方差公式的应用，学生需要能够将公式运用到实际问题中，解决一些特定的数学问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用启发式教学法和小组合作学习法。
启发式教学法可以帮助学生主动思考，发现平方差公式的规律；小组合作学习法可以促进学生之间的交流与合作，提高他们解决问题的能力。
此外，我还将利用多媒体教学手段，如PPT和数学软件，来辅助教学。
通过直观的演示和动画，可以帮助学生更好地理解和掌握平方差公式。
六. 说教学过程1.导入：通过一些简单的平方差例子，引导学生计算并观察其中的规律。
2.探索：让学生分组合作，通过实际操作，尝试推导出平方差公式。
人教版八年级数学上册14.2.1《平方差公式》说课稿
（二）媒体资源
我将使用以下教具、多媒体资源或技术工具辅助教学：
1.教具：平方差公式推导过程中，我将使用实物模型、卡片等教具，帮助学生直观地理解平方差公式的推导过程。
2.引发疑问：提出问题“如何简便地计算两个数的平方差？”让学生产生求知欲望，为新课的学习做好铺垫。
3.游戏互动：设计一个简单的数学游戏，让学生在游戏中体验平方差的概念，为新课的学习营造轻松愉快的氛围。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
1.平方差公式推导：通过实物模型、动画演示等方式，让学生直观地理解平方差公式的推导过程，掌握其内涵。
2.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决实际问题，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3.竞赛活动：开展数学竞赛，激发学生的学习积极性，提高他们运用平方差公式解决问题的速度和准确度。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将采取以下措施：
1.自我评价：让学生对自己的学习过程和成果进行评价，反思在学习过程中遇到的问题和解决方法。
2.知识点讲解：结合具体实例，讲解平方差公式的表达形式和应用方法，让学生明白如何运用公式解决实际问题。
3.互动提问：在讲解过程中，适时提问，了解学生对知识点的掌握情况，并及时解答学生的疑问。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.课堂练习：设计不同难度的练习题，让学生独立完成，检验他们对平方差公式的掌握程度。
1.启发式教学：这种方法能够激发学生的思维，引导学生主动探究问题，培养学生的创新意识。依据建构主义学习理论，学生通过自主探究和思考，能够更好地理解和掌握知识。
平方差公式赵
平方差公式【目标导航】1．知道平方差公式的结构特征；2．知道平方差公式是多项式乘法的特殊情况；3．会正确运用平方差公式进行计算．【问题探究】一．探究计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1)(x+1)(x- 1)= ;(2)(m+2)(m- 2)= ;(3)(2x+1)(2x- 1)= ;(4)(a+b)(a-b)= .语言表述（4）式：．这个公式叫做（乘法的）平方差公式二．平方差公式的几何解释：bbaba三．例题例１先判断下列各式满足平方差公式的结构特征，然后运用平方差公式计算：(1) (3x+2)(3x-2);(2) (b+2a)(2a-b);(3) (-x+2y)(-x-2y).例２运用平方差公式计算：(1) 102×98(2)511512⨯例3计算：(1)(2x-y)(y+2x)-2(3x-2y)(-2y-3x)-(11x-3y)(2x-3y)(2)))()((22yxyxyx++-(3))161)(41)(21)(21(42aaaa+++-(4)1584221)211)(211)(211)(211(+++++【课堂操练】一.填空1．=+-)31)(31(22cabcab2．(-a-b)(a-b)=3．=+-)2143)(2143(nmnm4．=+---)21)(21(bb5．(x-1) =21x-6．(a+b) =22ab-二.判断:７.(0.5a-0.1)(0.5a+0.1)=1.025.02-a（）８.(a-b)(a+b)4422)(baba-=+（）９.2222)1()1()1(-=--aaa（）10.yxyxyxyxyx--=+++884422))()((（）11.22)())((cbacbacba-+=+--++（）12.5523233333)()())((babababa-=-=-+（）三.选择13.下列各式:①(x-2y)(2y+x)②(x-2y)(-x-2y)③(-x-2y)(x+2y)④(x-2y)(-x+2y)其中能用平方差公式计算的是( )A.①②B. ①③C. ②③D. ②④14.等式)43(22yx--( )=44916xy-中括号内应填入下式中的( )A.2243yx- B.2234xy-C.2243yx-- D.2243yx+15.若52022-=+=-yxyx且,则x-y的值是( )A.5B.4C.-4D.以上都不对16.计算)())()((4422babababa+-++-等于( )A.42a B.42b C.42a- D.42b-17.))((nmnm baba+-等于( )A.nm ba22- B.22nm ba-C.nm ba22+ D.mn ab22-18.)43)(34()23)(32(yxxyxyyx+--+-的计算结果为( )A221325xy- B.22213yx+C.222513yx- D.222513yx+四.应用平方差公式计算:19. 59.8×60.220. 2001×199921.74197320⨯22. (1-mn)(mn+1)23. )5675)(752.1(xyyx---24. )32)(23(2552cabyxyxcab+-25.)])(())()][()((2[2zyzyzxxzyxyxx+-++--+-21 22【课后巩固】五.运用平方差公式计算： （1）2004×2002-22003（2）1.03×0.97（3）2222482521000-（4）20062004200520052⨯-六．计算：（5）)14)(21)(12(2++-a a a（6）)214)(214(22+-y x y x（7）)237)(237(22y x y x ---（8）)9)(3)(3(2+-+x x x（9）)2)(2())((y x y x y x y x +-++-+（10）(x +2y )(x -2y )-(x -4y )(x +4y )+(6y -5x )(6x -5y )七．先化简,再求值: （11）。
平方差公式_公式总结
平方差公式_公式总结表达式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式公式运用可用于某些分母含有根号的分式：1/（3-4倍根号2）化简：1×（3+4倍根号2）/（3-4倍根号2)^2;=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2）/-23[解方程]x^2-y^2=1991[思路分析]利用平方差公式求解[解题过程]x^2-y^2=1991(x+y)(x-y)=1991因为1991可以分成1×1991，11×181所以如果x+y=1991，x-y=1，解得x=996，y=995如果x+y=181，x-y=11，x=96，y=85同时也可以是负数所以解有x=996，y=995，或x=996，y=-995，或x=-996，y=995或x=-996，y=-995或x=96，y=85，或x=96，y=-85或x=-96，y=85或x=-96，y=-85有时应注意加减的过程。
常见错误平方差公式中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难以掌握。
三角平方差公式三角函数公式中，有一组公式被称为三角平方差公式：(sinA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(cosA)^2=sin(A+B)sin(A-B)(cosA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(sinA)^2=cos(A +B)sin(A-B)这组公式是化积公式的一种，由于酷似平方差公式而得名，主要用于解三角形。
注意事项1、公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
2、右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
3、公式中的a.b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
15.2乘法公式(第1课时)平方差公式
6 4
(5)、 +2a )( a −b ) =4a −b (b 2
(6)、4a −1)(4a −1) (−Biblioteka = 1 −16a2
1、计算：1996×2004 、计算： ×
）（2000+4） 解：1996×2004 =（2000-4）（ × （ ）（ ） =2000 2 - 4 2 =4000000-16 = 3999984
2、王敏捷同学去商店买了单价是9.8元/ 、王敏捷同学去商店买了单价是 元 千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算 千克， 千克的糖果 千克 王敏捷就说出应付99.96元， 器，王敏捷就说出应付 元
(不能) (第一个数不完全一样 ) 不能) (不能) 不能) (不能) 不能) (能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ; (不能) 不能)
(1)(5+6 )(5− (1)(5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n). )(−
第一数a 第一数a 第二数b 第二数b 平方
两数的和乘以它们的差 ——平方差公式 平方差公式
(a + b)(a − b) = a
公式的基本变形 : 2-b2 (a-b)（a+b）=a （ ）
2
−b
2
两个数的和与这两个数的差的积等 于这两个数的平方差． 于这两个数的平方差．
初识平方差公式
(a+b)(a−b)=a2−b2
特征
（1）两个二项式相乘时，有一项相同， 两个二项式相乘时，有一项相同， 另一项符号相反， 另一项符号相反，积等于相同项的平方 减去相反数项的平方。 减去相反数项的平方。
观察以上算 式及其运算结果， 你发现了什么规律？ 式及其运算结果， 你发现了什么规律？ 用式子表示， 用式子表示，即： 两数和与这两数差的积, 两数和与这两数差的积, (a+b)(a−b)= a2−b2. )(a 这两数的平方的差. 等于 这两数的平方的差.
最新人教版八年级数学平方差公式
看谁算的又快又准 32² -31² 68² -67² 5.5² -4.5² 2002² -2001²
（四）当堂检测： 下列能用平方差公式分解因式的是（） Ａ －a² -b² B -a² +b²C –(-a² )-b²D a² -b² -4 分解因式a³ -a的结果（ ） A a(a² -1) B a(a-1) ² C a(a+1)(a-1) D (a² +1)(a1) 计算73×145² -105² ×73的结果（ ） A 730000 B 73oo C 105000 D 145000 分解因式 4x³ -xy² -(x+2) ² +16(x-1) ²
教学策略:
采用了探究式的教学方法，指导学生运用观察分 析，类比的学习方法，并运用练习法以达到巩固 熟练知识的目的。
（一）复习提问 1.什么叫因式分解，它与整式乘法什么 关系？ 判断下列各式那些是因式分解？ (1) (x-2)(x-2)=x2- 4 (2) x24+3x=(x+2)(x-2)+3x (3) 7m-7n7=7(m-n-1) 2.你学过什么方法分解因式？ 把下列各式分解因式。 (1) ax - ay (2) 9a2 - 6ab+3a (3) 3a(a+b)-5(a+b)
（五）反思小节： 本节课你学到了什么？有什么收获？
本节课我们学习了运用平方差公式分解因 式： 平方差公式：a² -b² =(a+b)(a-b) 分解因式的一般步骤：一提二套 多项式的因式分解要分解到不能再分解为 止。
（六）作业 必做题：课本119页2题 选做题：求证：当n是正整数时，两个连续 奇数的平方差一定是8的倍数 。 计算 2014² -2013×2014×2015
人教版数学八年级上册15.2.1《平方差公式》教案
人教版数学八年级上册15.2.1《平方差公式》教案一. 教材分析《平方差公式》是人教版数学八年级上册第15章第二节第一小节的内容。
平方差公式是基本的代数公式之一，对于学生理解和掌握代数知识有着重要的意义。
本节课的内容对于学生来说比较抽象，需要通过具体例子让学生理解公式的含义，并能够熟练运用公式进行计算。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的乘法、乘方等基础知识，对于代数知识有一定的了解。
但是，对于平方差公式的理解和运用还需要通过具体的例子来引导学生。
另外，学生对于抽象的代数公式的理解可能存在一定的困难，需要通过具体的情境和操作来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握平方差公式的含义，能够熟练运用平方差公式进行计算。
2.过程与方法目标：通过具体例子和操作，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的理解和运用。
2.难点：对于平方差公式的理解和运用，特别是对于公式的推导和证明。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的情境和例子，引导学生理解和掌握平方差公式。
2.问题驱动法：通过提问和引导，激发学生的思考和解决问题的能力。
3.小组合作学习法：通过小组合作学习和讨论，培养学生的团队合作精神和自主学习能力。
六. 教学准备1.准备相关的例子和练习题，用于引导学生理解和运用平方差公式。
2.准备课件和黑板，用于展示和推导平方差公式。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的例子，引导学生思考如何计算两个平方数的差。
例如，计算(2+3)(2−3)的结果。
2.呈现（10分钟）呈现平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)。
解释公式的含义和推导过程。
3.操练（10分钟）让学生通过计算具体的例子，运用平方差公式进行计算。
例如，计算(4+5)(4−5)的结果。
人教版数学八年级上册14.2.1平方差公式教案
4.练习与巩固：设计不同难度的习题，使学生掌握平方差公式的运用，并能解决一些实际问题。
5.总结与反思：对本节课的学习内容进行总结，引导学生反思学习过程中的收获和不足，为后续学习打下基础。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过平方差公式的推导和应用，使学生掌握逻辑推理方法，提高数学思维能力。
同学们，今天我们将要学习的是《平方差公式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算两个数的平方差的情况？”（如计算长方形和正方形的面积差）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方差公式的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
- (2)教师应通过例题展示平方差公式在因式分解、二次方程等领域的应用，如将a²-b²分解为（a+b）（a-b），或解决形如x²-4=0的方程。
- (3)对于实际问题，如计算长方形和正方形的面积差，教师需要引导学生发现这个问题可以转化为平方差公式的应用，从而突破难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平方差公式的概念。平方差公式是指（a+b）（a-b）=a²-b²。它可以帮助我们简化计算，解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算长方形和正方形的面积差，展示平方差公式在实际中的应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平方差公式的推导和应用这两个重点。对于难点部分，如理解“相同项”和“相反项”，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式教案
一、教学内容
人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式
1.平方差公式：
- (a+b)(a-b)=a²-b²
- (a+b)²=(a-b)²+4ab
- (a-b)²=(a+b)²-4ab
2.完全平方公式：
- (a+b)²=a²+2ab+b²
- (a-b)²=a²-2ab+b²
- (a±b)²=a²±2ab+b²
3.应用平方差公式与完全平方公式进行因式分解：
- a²-b²=(a+b)(a-b)
- a⁴-b⁴=(a²+b²)(a²-b²)
பைடு நூலகம்- a⁶-b⁶=(a³+b³)(a³-b³)
4.典型例题：
-利用平方差公式与完全平方公式解决实际问题
-利用平方差公式与完全平方公式进行因式分解
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平方差公式与完全平方公式的基本概念。平方差公式是指(a+b)(a-b)=a²-b²这一规律，它在简化计算和因式分解中起着重要作用。完全平方公式则是指(a±b)²=a²±2ab+b²，它帮助我们快速计算某些特定形式的乘方。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。计算(3x+4)²，通过完全平方公式的应用，我们可以得到3x²+2*3x*4+4²，从而简化计算过程。
今天的学习，我们了解了平方差公式与完全平方公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这两个公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
湘教版数学七年级下册_平方差公式的运用技巧
平方差公式的运用技巧平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2是恒等式，是初中数学中的重要公式，公式中的字母可以表示数字，也可以表示单项式、多项式等代数式.在多项式的乘法计算过程中，只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式.在灵活运用平方差公式解答有关问题时，应注意以下三种技巧：一．正用技巧1.直接运用平方差公式例1 计算：(－3a+2b)( －2b－3a) .分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用，通过模仿可以培养类比的思维能力，从而达到熟悉掌握平方差公式的目的.解：原式=(－3a)2－(2b)2=9a2－4b2.2．连续运用平方差公式例2 计算：(x+2)(x2+4)(x－2) .分析：此题若从左向右依次运算计算很繁，若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两次运用平方差公式，就可以求到结果.解：原式=(x2－4) (x2+4)=x4－16.3．综合运用乘法公式例3计算：(2a+b－c+6)(2a－b+c+6).分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项，然后再合并同类项，但是若能把(2a+6)、(b－c)看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解，避免合并同类项的运算.解：原式=[(2a+6) +(b－c)][(2a+6)－(b－c)]=(2a+6)2－(b－c)2=4a2+24a+36－b2+2bc－c2.二．逆用技巧灵活正确掌握好平方差公式的逆用，对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事半功倍的作用.1．直接逆用平方差公式例4 计算：(a+2)2－(a－2)2.分析：此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁，若根据题目的特点，直接逆用平方差公式，便可化繁为简，迅速求解.解：原式=[(a+2)+(a －2)][ (a+2)－(a －2)]=2a×4=8a.例5 计算：(1－221)(1－231)(1－241)…(1－220081).分析：此题若直接先算出括号内的结果，将会出现2007个分数相乘的运算，但如果每个括号内都先逆用平方差公式，那么除了首尾两数以外，其余每相邻两数均互为倒数，正好约分，可以减少运算量.解：解：原式=(1－21)(1+21)(1－31)(1+31)(1－41)(1+41)·…·⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-200811200811 =2008200920082007454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =20082009200820072007200854454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅）（）（）（）（ =2008200921⋅=40162009.2.提公因式后逆用平方差公式例6计算： 6.98×512－492×6.98.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先提取提公因式6.98，再逆用平方差公式求解.解：原式=6.98×（512－492）=6.98×（51+49）×（51－49）=6.98×100×2=1396；3.分组后逆用平方差公式例7计算：12－22+32－42+…+20032－20042+20052－20062+20072.分析：此题的数据较多，中间带有省略号，直接先算乘方再求代数和运算量太大，且不易求到结果，根据题目的特点，将1后面的2006个数据两两分组，逆用平方差公式，在利用求和公式求得结果.解：原式=1+(32－22)+(52－42)+…(20032－20022)+(20052－20042)+（20072－20062） =1+(3+2)+(5+4)+…+(2003+2002)+(2005+2004)+（2007+2006）=2007220071⋅+=2015028.4.指数变形后逆用平方差公式例8证明38－46能被17整除.分析：此题若按常理应先算出38－46的结果，再看是不是17的整倍数，但这样做计算量较大，不如根据题目的特点，先逆用()mnnm aa=把38、46进行指数变形，再逆用平方差公式，可以快速求证.证明：38－46=（34）2－（43）2=（34+43）（34－43）=145×17. ∴38－46能被17整除.5. 结合积的乘方性质逆用平方差公式例9 计算：1.2222×9－1.3332×4.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先逆用()mmm baab=对原式进行变形，再逆用平方差公式，可以快速求解.解：原式=1.2222×32－1.3332×22=(1.222×3)2－(1.333×2)2=(3.666+2.666)(3.666－2.666)=6.332.6. 逆用平方差公式后约分例10 计算：(16a2－9b2)÷(4a－3b).分析：此题根据题目的特点，先逆用平方差公式后发现可约分，则可化繁为简，迅速得解.解：原式=(4a+3b)×(4a－3b)÷(4a－3b)=4a+3b.三．创造条件运用技巧一些题目看似无法运用平方差公式运算，但若能认真审题，发现其中的规律，把题目进行适当的转化，便可适用平方差公式进行计算.1. 拆数(项)后运用平方差公式例11 计算：(1)2008×1992，(2)(a+3)(a－1).分析：此题直接计算也行，但是若能恰当拆数(项)后运用平方差公式，则更计算为简单，更能快速求得结果.解：(1) 原式=(2000+8)×(2000－8)=20002－82=3999936.(2)原式=[(a+1)+2][(a+1)－2]=(a+1)2－22=a2+2a+1－4= a2+2a－3.2 .添项后运用平方差公式例12计算：（1）99982，（2）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1).分析：本题若直接计算很繁，但添上一个数后，便能发现运用平方差公式进行巧算，不难求得结果.解：（1）原式=99982-22+22=（9998+2）（9998-2）+4=99960000+4=99960004. （2）原式=1×(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2512－1)·(2512+1)=21024－1；3.结合积的乘方性质运用平方差公式例13 计算：(x－y)2(x+y)2(x2+y2)2.分析：根据题目的特点，可以先逆用()mmm baab=对原式进行变形，再两次运用平方差公式，就可以求到结果.解：原式=[(x－y)(x+y)(x2+y2)] 2=[(x2－y2)(x2+y2)] 2=(x4－y4)2=x8－2x4y4+y8.4.结合乘法分配律运用平方差公式例14 计算：(1)(a－b)(a+b+2).分析：本题若直接计算可得到六项式后再合并同类项，但若根据题目的特点，把a+b看为整体，先用乘法分配律展开，再运用平方差公式，更为简单.解：原式==(a－b)[(a+b)+2]=(a－b)(a+b)+2(a－b)=a2－b2+2a－2b.。
平方差公式的推导过程用代数法
平方差公式的推导过程用代数法
假设我们要求解两个数的平方之差，假设这两个数分别为a和b，即我们要求a^2-b^2
首先，我们可以将a^2-b^2进一步分解成(a+b)(a-b)。
这是平方差公式的核心思想之一
我们来证明一下：
展开(a+b)(a-b)得到 a^2 - ab + ab - b^2，简化后得到 a^2 - b^2所以，我们证明了a^2-b^2可以分解成(a+b)(a-b)。
接下来，我们将对上述证明进行代数推导，具体如下：
1.已知a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
2.先展开右边的乘法：
(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)。
= a^2 - ab + ab - b^2
=a^2-b^2
所以，(a+b)(a-b)=a^2-b^2
通过上述代数推导过程，我们证明了平方差公式的正确性。
即a^2-b^2可以分解成(a+b)(a-b)。
总结起来，平方差公式的推导过程可以通过代数法来完成，将a^2-b^2分解为(a+b)(a-b)。
通过代数推导可以证明平方差公式的正确性。
完全平方差公式的讲解
完全平方差公式的讲解完全平方差公式，这可是初中数学里的一个重要知识点呢！咱今天就来好好唠唠。
先给您瞅瞅完全平方差公式长啥样：(a - b)² = a² - 2ab + b²。
那这公式咋来的呢？咱们可以这样想。
假设我有一个边长为 a 的正方形，现在我要从这个正方形的一角裁去一个边长为 b 的小正方形，那剩下的图形面积不就是 (a - b)²嘛。
咱们再换个角度算，原来大正方形的面积是 a²，裁去的小正方形面积是 b²，那裁去的部分和剩下的部分挨着的那两条边的长度都是 b ，这两条边组成的长方形面积就是 2ab ，所以剩下的图形面积也可以表示成 a² - 2ab + b²。
您瞧，这不就得出完全平方差公式了嘛。
那这公式有啥用呢？我给您说个事儿。
有一次我去逛商场，看到一件衣服，标价是 200 元。
售货员说现在打八折，然后再减 30 元。
那这衣服实际价格是多少呢？咱就可以用完全平方差公式来算。
假设原价是 a ，折扣是 b ，那实际价格就是 (a - b)²。
这里 a = 200 ，b = 40 （200 的 20% ），所以实际价格就是 200² - 2×200×40 + 40² = 40000 - 16000 + 1600 = 25600 元，算出来实际价格是160 元。
再比如，计算 (3 - 2x)²。
咱就把 3 当成 a ，2x 当成 b ，那就是 3² -2×3×2x + (2x)² = 9 - 12x + 4x²。
在解题的时候，可得注意别弄混了完全平方差公式和完全平方和公式。
好多同学一不小心就记错啦，这可不行。
做练习题的时候，要认真分析题目，看看是不是要用完全平方差公式。
比如，已知一个长方形的长是 x + 3 ，宽是 x - 3 ，求面积。
重庆市开县南雅初级中学七年级数学《平方差公式》课件
（4）(x2－y)(x+y2)； （6）(c2－d2)(d2+c2).
1 利用平方差公式计算：
2
(1)(5+6x)(5－6x);
(2)(x－2y)(x+2y);
(3)(－m+n)(－m－n).
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
(5)(x－3) (－3－x).
(2)(a+5)(5－a)； (4)(c－a) (a+c)；
活动5 知识应用，加深对平方差公式的理解
1
下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ):
（1）(x+1)(1+x)；
（2）(a+b)(b－a) ；
2
（3）(－a+b)(a－b)； （5）(－a－b)(a－b)；
15.2.1平方差公式
(a+b)(a－ b)= a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2 . 平方差公式:
(a+b)(a－ b)= a2－ b2. 即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
新疆石河子市第八中学八年级数学上册《15.4.1分解因式
新疆石河子市第八中学八年级数学《1541 分解因式（平方差公式）》教案教学目标 （一）教学知识点运用平方差公式分解因式． （二）能力训练要求1．能说出平方差公式的特点．2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．3．初步会用提公因式法与公式法分解因式．•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．（三）情感与价值观要求培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法教学重点应用平方差公式分解因式．教学难点灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．教学过程一、情景导入问题情景1：看谁算得最快：①982-22 ②已知x+y=4，x-y=2，则x 2-y 2=______问题情景2：你能将多项式x 2-4与多项式y 2-25分解因式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗?这两个多项式都可写成两个数的平方差的形式。
二、回顾与思考1、什么叫因式分解？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。
2、计算：①(x+2)(x-2)=___________②(y+5)(y-5)=___________3、 x 2-4= (x+2)(x-2）叫什么？三、导入新课问题4 你能将多项式x 2－16和多项式m 2－4n 2因式分解吗？这两个多项式有着什么共同特点？学生活动设计学生观察上述两个多项式的特点，可以发现上述两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式，而整式乘法公式中的平方差公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2，反过来就是a2－b2＝(a＋b)(a－b)，这样的变形就是因式分解，从而可以对上述多项式因式分解．x2－16＝x2－42＝(x－4)(x＋4)，m 2－4n2＝m 2－(2n)2＝(m－2n)(m＋2n)．教师活动设计经过学生的自主探索，引导学生进行归纳：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．例3 分解因式（1）4x2－9；（2）(x+p)2－(x+q)2．分析：在（1）中，4x2 = (2x)2，9=32，4x2－9 = (2x )2－32，即可用平方差公式分解因式．解：（1）4x2－9= (2x)2－32 = (2x+3)(2x－3)；（2）(x+p)2－(x+q)2= [(x+p)+(x+q)] [(x+p)－(x+q)]=(2x+p+q)(p－q)．例4 分解因式（1）x4－y4；（2）a3b－ab．分析：（1）x4－y4可以写成(x2)2－(y2)2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解．（2）a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解．解：（1）x4－y4= (x2+y2)(x2－y2)= (x2+y2)(x+y)(x－y)；（2）a3b－ab = ab(a2－1)= ab(a+1)(a－1)．练习1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式?为什么?(1) x 2+y2; (2) x2-y2; (3)-x2+y2; (4)-x2-y2.2.分解因式:(1) a 2- b 2; (2)9a 2-4b 2;(3) x 2y – 4y ; (4) –a 4 +16.巩固练习 思维延伸1．观察下列各式：32－12=8=8×1；52－32=16=8×2；72－52=24=8×3；…… 把你发现的规律用含n 的等式表示出来．2．对于任意的自然数n ，(n +7)2－(n －5)2能被24整除吗?为什么?125。
山东省东营市第二中学八年级数学上册《1542因式分解-平方差公式》学案
1 / 115.4.2因式分解---平方差公式学习目标：能说出平方差公式的特点、能较熟练地应用平方差公式分解因式． 学习重点; 应用平方差公式分解因式．学习难点：灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式、理解因式分解的要求。
学习过程： 一、情景导入问题情景1：看谁算得最快：①982 -22= = = 。
②已知x+y=4，x-y=2，则x 2-y 2= = 。
问题情景2：你能将多项式x 2-4与多项式y 2-25分解因式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗? x 2-4= ； y 2-25= 。
这两个多项式都可写成两个数的 的形式。
二、探究新课：平方差公式(a ＋b )(a －b )=a 2－b 2从左边到右边是 ，反过来，从右边到左边公式为:= , 它是 。
用语言表示为：两个数的 ，等于这两个数的 与这两个数的 的 。
三、公式运用：1、练习一：1、下列多项式中，能否用平方差分解因式？(1) x -xy (2) x +xy (3) x 2+y 2 (4) x 2-y 2 (5) - x 2+y 2 (6) - x 2-y 2 (7) x 3-y 2 (8)x 4-y 42、例题学习 例：分解因式(1) 4x 2－9； (2)(x +p )2－(x +q )2．解:原式=( )2- 2解:原式=[( )+( )][( )-( )]=( )( ) =( )( )(3) x 4－y 4； (4) a 3b －ab（5）36(x+y)2－49(x-y ）2(6) （x-1)+b 2(1-x ）四、课堂小结：(1) 因式分解 平方差公式: a 2－b 2=(a ＋b )(a －b )(2) 分解因式时一定要分解到每一个都不能再分解为止;(3)分解因式,有公因式时,应先提出公因式,再进一步分解因式.四、当堂练习：1、填空: (1)4a 2=（ )2(2)49b 2=（ ）2 (3) 0.16a 4=（ )2(4) 1.21a 2b 2=（ )2 (5) 214x 4=（ )2 (6) 549x 4y 2=（ )22、下列多项式能否用平方差公式进行因式分解2201.021.1-b a + 226254b a + 454916y x - 22364-y x +3、分解因式：(1) 22251a b - ; (2)9a 2-4b 2; (3) x 2y – 4y ;(4) –a 4+16. (5) 2xy x - (6)2220951b a -(7) 22)23()32(y x y x --+ (8) 424255b m a m - (9) xy xy 333-(10) b a b a 2422--- (11) a ax ax ax -+-234、简便计算：（1） 22171429- （2）244852451522⨯-⨯。
七年级数学下册121平方差公式“四抓”帮你学好平方差公式素材青岛版
“四抓”帮你学好平方差公式平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2是乘法运算中的一个重要公式，同学们一定要熟练掌握好它，要想学好、用好平方差公式，学习中应抓住以下四点．一、抓住公式的结构特点公式的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项是完全相同，另一项互为相反数；右边是完全相同项的平方减去符号相反项的平方．为了帮助大家记忆，可以编成如下“口诀”：求同存异平方差，全靠符号分两家；同平方，异平方，再把同方减异方．二、抓住公式中字母的广泛性公式中字母a、b具有广泛性，它们可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．抓住了字母的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．三、抓住几种常用的变换将所给式子进行适当变换，是灵活使用公式的前提，常用的变换有以下几种：1．位置变换：如计算(2b+3a) (3a－2b)= (3a +2b) (3a－2b) = (3a)2－(2b)2=9a2－4b2．2．系数变换：如计算(2x+4y) (3x－6y)=2 (x+2y)·3 (x－2y)=6(x2－4y2)= 6x2－24y2．3．符号变换：如计算(－2a－3b) (2a－3b)=－(2a+3b) (2a－3b)=－(4a2－9b2)=－4a2+9b2．4．指数变换：如计算(a+b)2(a－b)2=[(a+b) (a-b)]2=(a2－b2)2= a4－2a2b2+b4．5．分组变换：如计算(3－a +2b+c) (3+a－2b+c)=[ (3+c)－(a－2b)] [ (3+c)+(a－2b)]= (3+c) 2－(a－2b)2=9+6c+c2－a2+4ab－4b2．6．拆项变换：如计算20062－2008×200420062－(2006+2)( 2006－2) =20062－( 20062－22) =20062－20062+22 =4．四、抓住公式的正逆应用学习平方差公式时，我们不但要掌握其正向应用，还要适当地逆向公式，有时正逆联手使用可以达到变繁为简，变难为易的效果．如计算(a+b)2(a－b)2－(2a+b)2(2a－b)2=[(a+b) (a－b)]2－[(2a+b) (2a－b)]2=(a2－b2)2－(4a2－b2)2=(a2－b2－4a2+b2) (a2－b2+4a2－b2)=－3a2 (5a2－2b2)=－15a4+6a2b2．1。
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学案编号：15.4.2主备人：赵常菊
学习目标毛1．能说出平方差公式的特点．
2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
3．知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．
教学重点应用平方差公式分解因式．
教学难点灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
五、当堂检测
1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式?为什么?
(1)x2+y2; (2)x2-y2; (3)-x2+y2; (4)-x2-y2.
2.分解因式:
(1)a2-b2; (2)9a2-4b2;
(3)x2y– 4y; (4) –a4+16.
六、作业名师点津150-152页（批改151页3题）
随堂思注
过程与方法
一．前置作业（阅读教材167—168页，回答下列问题，5分钟）
1、观察平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？
（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
（3）由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．
2、填空：
（1）4a2=（）2（2） b2=（）2；
（3）0.16a4=（）2（4）1.21a2b2=（）2；
（5） x4=（）2；（6） x4y2=（）2．
．
二、合作探究（先在组内小展，然后在班级大展示）
例3分解因式
（1）4x2-9（2）（x+p）2-（x+q）
例4分解因式
（1）x4-y4（2）a3b-ab
三、归纳提高：
（1）多项式分解因式的结果要化简：
（2）在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项．
（3）因式分解必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止．
四、学以致用
把下列各式分解因式
（1）36（x+y）2-49（x-y）2（2）（x-1）+b2（1-x）
（3）（x2+x+1）2-1．（4） - ．