计量经济学 第六章 自相关

2 依次类推：Cov ( µ t，µt − s ) = ρ sσ µ
第六章 自相关
§6.1 自相关
ρ 1 1 ρ 2 E (UU ′ ) = σ µ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ n −1 ρ ρ n− 2 ρ2 ρ
⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ρ n −1 ⋅ ⋅ ⋅ ρ n− 2 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 1
一、自相关不影响OLS 估计量的线性和无偏性 以一元回归模型为例，设： yi = β 0 + β 1 x i + µ i 而且存在一阶线 性自相关： µt = ρµt −1 + vt ，v t 满足基本假 定。 −1 < ρ < 1
原模型的OLS 估计量为： ˆ β 1 = β 1 + ∑ kt µt ˆ = β + ( 1 − xk )µ β0 ∑n t t 0
第六章 自相关
§6.3 检验自相关的方法
一、图解法 1、按时间顺序绘制残差图 以 时 间 t为 横 轴 ， ε t 为 纵 轴 绘 制 散 点 图 ， 如 果 图 形 有 规 律，则可能存在自相关。
εt
εt
t
t
第六章 自相关
§6.3 检验自相关的方法
2、绘制ε t，ε t −1的三点图 以ε t 为纵坐标，ε t −1为横坐标，因为ε = 0，所以坐标轴 是通 过它们 平均值的 垂线（ 关于原 点对称 ）。 如 果大部 分值落 在一、 三象限 ，则为正 相关， 如果在 二、 四象限 ，则为 负相关。
2
& & xt x j t − j 2 2 t− j 2 )ρ ] = ( n − 1)σ µ − σ µ ∑ ρ − σ µ [1 + 2∑ ( 2 & n t> j t > j ∑ xt
2
& & xt x j t − j 2 2 t− j E( ) = σ µ {1 − [ ∑j ρ + (n − 2) ∑j ( x 2 )ρ ]} n−2 n( n − 2) t > t> ∑ &t
≈ ∑ε
t =1
n
2 t
∴d ≈
2∑ ε
t =2
n
2 t－1 n
− 2∑ ε t ε t − 1
t =2 2 t－1
n
∑ε
t =2
= 2(1 −
∑ε ε
t =2 n t
n
t −1
∑ε
t =2
)
2 t－1
第六章 自相关
§6.3 检验自相关的方法
ˆ Qρ =
∑ε ε
t =2 n t t =2
n
t −1
∴ 可能存在： xt2 ∑&
2 σµ
ˆ < V ( β1 )
第六章 自相关
§6.2 自相关对参数估计的影响
2、低估了µ的方差 ˆ2 在不 存 在自 相关 时， σ µ =
存 在 自 相 关时 ： ˆ ε t2 = ∑ [( yt − y ) − ( yt − y )]2 ∑
ˆ ˆ ˆ ˆ = ∑ {[( β 0 + β 1 xt + µt ) − ( β 0 + β 1 x + µ )] − [( β 0 + β 1 xt ) − ( β 0 + β 1 x )]}
ρ = 0 时 , µ t 为 一 个 没有 自 相 关 的随 即 变 量 ，当 ρ = ± 1 时， 自
相 关 性 最 强。
第六章 自相关
§6.1 自相关
四、µt的方差和协方差
2 V ( µt ) = V ( ρµt −1 + vt ) = ρ 2V ( µt −1 ) + V (vt ) = ρ 2σ µ + σ v2
2
ε t2 ∑
第六章 自相关
§6.2 自相关对参数估计的影响
∴ 如果µ 和x均是正相关，便有： ˆ2 E (σ µ ) = E ( ˆ2 ∴σ µ =
ε t2 ∑
n−2
2 ) < σµ
ε t2 ∑
n−2
2 不再是σ µ的无偏估计量。
第六章 自相关
§6.2 自相关对参数估计的影响
三、 自 相关 对 参数 显 著 性检 验 的影 响 可 能导 致 T 值 增 大， 从 而使 结 果 不准 确 ，同 时 ，t 检 验 和F 检 验 同样 不 准 确。
εt
εt
ε t −1
ε t −1
第六章 自相关
§6.3 检验自相关的方法
二、 杜宾 －沃 森 （D − W ）检 验法 1、 1 、 基本 思想 D − W 检验是通过构造统计量，建立d 和ρ的近似关系， 判断随机项µ的自相关性。
d=
(ε t − ε t −1 )2 ∑
t =2
n
∑ε
t =2
n
2 t
第六章 自相关
§6.3 检验自相关的方法
d的分布同样本有关，但d的实际分布介于两个极限分布 之 间 ， 一 个 为 下 极 限 分 布 ， 其 下 临界 值 用 d L 表 示， 一 个 为 上 极 限 ， 其 下 临 界 值 用 d u 表 示 。 而 下 极 限 分 布的 上 临 界 值 为 )， )。 ( 4 − d u ) ， 上 极 限 分 布 的 上临 界 值 为 ( 4 − d L ) 。
第六章 自相关
Qd = (ε t − ε t −1 )2 ∑
t =2 n
ε t2 ∑
t =2
n
=
ε t2 + ∑ ε t2−1 − 2∑ ε t ε t −1 ∑
t =2 t =2 t =2
n
n
n
ε t2 ∑
t =2
n
对 于大 样本 来说 ，可 以认 为：
∑ε
t =2
n
2 t
≈ ∑ε
t=2
n
2 t－1
ε t2 1 ∑ －
ˆ ∴ d ≈ 2(1 − ρ )
ˆ ∴ 如果ρ = 0，则d ≈ 2 ˆ 如果ρ = 1，则d ≈ 0 ˆ 如果ρ = −1，则d ≈ 4
由此得出： 1）d 值介于0与4之间。 1)； 2）d = 2，µ没有自相关；d = 0，µ 有很强的正自相关(ρ = 1)； d = 4，µ 有很强的负自相关(ρ = −1)
3、经济冲击的延续。 、
4、模型制定不正确。 、
第六章 自相关
§6.1 自相关
三、 自相 关强 度的量 度－ －自 相关 系数 假定µ 存在自相关，若µt的取值仅与前一期µt −1相关， 即µt = f ( µt −1 )，则称这种自相关为一阶自相关。若µt的取 值与前两期µt −1，µt − 2相关，即µt = f ( µt −1，µt − 2 )，则称这 种自相关为二阶自相关。µt的取值与前s期相关，即µt = f ( µt −1，µt − 2，⋅ ⋅ ，µt − s )，则称这种自相关为S阶自相关。两 ⋅ 阶 以上 的自 相关 为高阶 自相 关。
自 相 关 有 正自 相 关 和 负 自 相 关。 正 自 相 关 为 具 有共 同 的 正 负 变化 趋 势 ， 而 负 自 相关 则 有 相 反 的 变 化趋 势 。
第六章 自相关
§6.1 自相关
二、自相关产生的原因 1、许多经济变量之间存在自相关现象。这是产生自相 关的主要原因。
2、未列入模型中的变量具有自相关性。 、
2 σµ
2 当µ 存在自相关时，有E ( µt µ j ) = ρ t − jσ µ，于是
ˆ V ( β1 ) =
2 σµ
& & xt x j ρ t− j + 2σ µ ∑ & & ( ∑ xt2 )2 xt2 t> j ∑
2
2 σµ
& & xt x j t − j [1 + 2∑ ( )ρ ] = 2 2 & & t > j ∑ xt ∑ xt
& t2 = ∑ µt µ t & ∑µ
1 = ∑ µ − ∑ µt ∑ µ j n t j 1 2 2 = (1 − )∑ µt − ∑ µt µ j n n t> j
2 t
第六章 自相关
§6.2 自相关对参数估计的影响
ˆ ˆ & & ∴ ∑ ε t2 = ( β 1 − β 1 )2 ∑ xt2 − 2( β 1 − β 1 )2 ∑ xt2 1 2 2 + (1 − )∑ µt − ∑ µt µ j n n t> j 1 2 2 ˆ & = (1 − )∑ µt − ∑ µt µ j − ( β 1 − β 1 )2 ∑ xt2 n n t> j
ε t2 ∑
n−2
ˆ & & = ∑ [( β 1 − β 1 ) xt + µt ]2
ˆ ˆ & & & & = ( β 1 − β 1 )2 ∑ xt2 + 2( β 1 − β 1 )∑ xt µt + ∑ µt2
第六章 自相关
§6.2 自相关对参数估计的影响
其中 ˆ & & xt µt = ∑ xt µt = − ( β 1 − β 1 )∑ xt2 ∑& &
识记：自相关性和自相关性的后果， 检验法， 识记：自相关性和自相关性的后果，D-W检验法，自 检验法 回归检验法，广义最小二乘法； 回归检验法，广义最小二乘法； 领会：自相关性检验的原理， 领会：自相关性检验的原理，广义最小二乘法的解决 自相关性的原理； 自相关性的原理；
第六章 自相关
§6.1 自相关
一 、 自 相关 的 概 念 如果经典回归的基本假定4遭到破坏，则Cov ( µi，µ j ) = E ( µi µ j ) ≠ 0，i ≠ j，即µ的取值与它的前一期或前几期的取值 相关 ， 则 称µ 存 在序 列 相 关或 自 相 关。