5-3 正弦量的相量表示
正弦量的相量表示法教案
《电工学（少学时）》第三章正弦量的相量表示法学习目标： 1. 掌握复数的基本知识。
2 ．掌握正弦量的相量表示法。
重点：正弦量的相量表示法。
难点：相量图一、相量法的引入一个正弦量可以用三角函数式表示，也可以用正弦曲线表示。
但是用这两种方法进行正弦量的计算是很繁琐的，有必要研究如何简化。
由于在正弦交流电路中 , 所有的电压、电流都是同频率的正弦量，所以要确定这些正弦量，只要确定它们的有效值和初相就可以了。
相量法就是用复数来表示正弦量。
使正弦交流电路的稳态分析与计算转化为复数运算的一种方法。
二、复数概述1 ．复数：形如的式子称为复数，为复数的实部，为复数的虚部，、均为实数，为虚数单位。
图 4-3 复数的图示法2 ．复数的图示法式中为复数 A 的模，为复数 A 的辐角。
3 ．复数的表示形式及其相互转换其中代数式常用于复数的加减运算，极坐标式常用于复数的乘除运算。
4 ．复数的运算法则①相等条件：实部和虚部分别相等（或模和辐角分别相等）。
②加减运算：实部和实部相加（减），虚部和虚部相加（减）。
③乘法运算：模和模相乘，辐角和辐角相加。
④ 除法运算：模和模相除，辐角和辐角相减。
三、相量表示法1 ．正弦量与复数的关系= sin( ψ )= [ ]= [ ]正弦电压等于复数函数的虚部，该复数函数包含了正弦量的三要素。
2 ．相量 ---- 分有效值相量和最大值相量① 有效值相量：= / ψ② 最大值相量：= / ψ3 ．相量图在复平面上用一条有向线段表示相量。
相量的长度是正弦量的有效值I ，相量与正实轴的夹角是正弦量的初相。
这种表示相量的图称为相量图。
例 4-4 ：。
写出表示 1 和2 的相量，画相量图。
解： 1 =100 /60 ° V2 =50 /-60 ° V相量图见图 4-4 。
例 4-5: 已知 1 =100 sin A ， 2 =100 sin( -120 ° )A ，试用相量法求 1 + 2 ，画相量图。
正弦量与相量法的基本概念
L
di dt
+
Ri
=
us
当激励uS为正弦量时,方程的特解是与uS同频率的正弦量。
设 i(t) = Im cos(t + i ) = Re( Ime jt ) uS (t) = U Sm cost = Re(U Sme jt )
代入微分方程得：
L
d
•
[Re(I m
e jt )]+
•
R Re(I m
e jt )
N
线性
1
2
N
线性
非
线性
不适用 ③ 相量法可以用来求强迫响应是正弦量的任意常系数线
性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。
18
例 1 如有两个同频率的正弦电压分别为
u1(t) = 2220cos t (V) u2(t) = 2220cos(t 120 ) (V)
求 u1+u2 和 u1u2。
•
T=2π
=2π／T
频率：f
f =1／T
=2πf
频率的单位：HZ，赫兹
其它常用单位：
1KHZ=103HZ
1MHZ=106HZ
1GHZ=109HZ
我国工业用电的频率为50HZ。在工程实际中，常以频率的大小 作为区分电路的标志，如高频电路，低频电路等。
2
正弦电压与电流
3
初相角的单位为弧度(rad)或度(°)。通常在-π≤ φu或φi)≤π的 主值范围内取值。
F1·F2=Fej ej
F逆时针旋转一个角度 ，模不变
ej 称为旋转因子。
j
e2
= cos
+
j sin
=+j
正弦量的相量表示
消去式中各项的公因子，则有
j LI m RI m U sm
由此解出
U sm Im R jL
U sm R 2 ω 2 L2 e
ωL jψu arctan R
稳态响应电流为
i ( t ) Im I me j t
U sm
U Uψu
幅值相量与有效值相量的关系
有效值相量
Um
U m U m ψu
2Uψu 2U
相量图 (phasor diagram)
U
ψu
+1
在复平面上用以表示正弦量的矢量图，称为相量图。
正弦量与相量的关系：
Im
u( t ) Im U me jψu e jω t
ωL sinω t ψu arctan 2 2 2 R R ω L
由此看出，用相量表示正弦量后可以将电路的微分方程转化 为复数代数方程，从而使计算得以简化。能否直接由电路图写出 复数的代数方程呢？要做到这一步还必须介绍基尔霍夫定律的相 量形式和电路元件方程的相量形式 。
下面举例说明 例 求图示电路的正弦稳态响应 电流i (t)。 激励函数
解：
us ( t ) U sm sin( t ψu ) Im U sme jω t ω
设正弦稳态响应电流
பைடு நூலகம்
i ( t ) I m sin( t ψi ) Im[ I me jωt ] ω
电路的微分方程为
di ( t ) L Ri( t ) us ( t ) dt
代入i(t)和us(t)，可得
Im[j LI me j t RI me j t ] Im[U sme j t ]
5-3 正弦量的相量表示法
或
I m Ime
j i
I m i
I Ie
I i
电路原理
§5-3 正弦量的相量表示法 相量 正弦量
j u
Um U m e
u(t ) Im(Ume ) u(t ) Im( 2Ue )
i (t ) Im( I me
j t
j t
U U u
I m Ime
A2 A2e j 2 A2 2 a2 jb2
加减运算 A1 A2 (a1 a2 ) j (b1 b2 )
j ( ) 乘法运算 A1 A2 A1 A2e 1 2 A1 A2( 1 2 )
A1 A1 j ( 1 2 ) A1 除法运算 e ( 1 2 ) jA1 A2 A2 A2 j 1 90o jA1 A1e A1 1 90o
e jt Im 2U e jt ut Im U m
2)相量运算与复数运算相同，但必须是同频率的相 量才能进行运算。 3)已知时间正弦量可唯一确定对应的相量，而相量 只包含了正弦量的两个要素。 、 U U m 、U 4)注意符号区分：ut 、 、U m
正弦量 幅值 有效值 幅值相量 有效值相量
Im(虚部)
b1
A1
A1
a1
A1 j 1 90 o jA1 A1e A1 1 90o j
1
Re(实部)
0
jA1
电路原理
§5-3 正弦量的相量表示法
常用相量表示形式：
Ue j U
U U U (cos j sin ) U
正弦量的三要素及相量表示法基尔霍夫
三 相位差
第五章
正弦电流电路
相位差 ：两个同频率正弦量间的相位之差，即初相位 之差。
i
u
如：
u
t
i
u U m sin t u
i I m sin t i 则相位差为：
t u t i u i
第五章 正弦电流电路 两个正弦量的相位关系
上述相量图是根据平行四边形法则进行加、减获得的。实际上， 可采用三角形法则作图。如下图所示。
I1
0
I2
I I1 I 2
0
I2
I1
I I1 I 2
两相量相加
两相量相减
第五章 正弦电流电路
5.4基尔霍夫定律的相量形式
一 基尔霍夫电流定律（KCL） 瞬时值形式：
i 0
0 相量形式（同频率的正弦量） ： I
◆周期量：每个值在经过相等的时间间隔后循环出现的 时变电压和电流。 ◆交流量：一个循环内波形面积平均值为零的周期量。
u i i
O
t
时变电压
O
t
周期量
O
t
交流量
第五章 正弦电流电路 二 正弦量的三要素
正弦量：按正弦规 律变化的交流量。 设正弦电流
Im
i
O
T
2
t
i I m sin(ωt ψ )
二 基尔霍夫电压定律（KVL）
瞬时值形式：
u 0
相量形式（同频率的正弦量） ： U 0
第五章 正弦电流电路 二 旋转矢量与正弦量 设正弦量: i I m sin(ωt ψ )
j B ω t1
0
i
Im
相量表示法
解:
+1
0
30 -60
i1 和 i2 对应的电流向量 表达式分别为
10 30 A I1 5 60 A I2
I2
I 1的长度是 I 2的二倍。
三、复数
复数的四则运算 加减运算用代数式，实部与实 部，虚部与虚部分别相加减。 乘除运算用指数式或极坐标式， 模相乘或相除，幅角相加或相减。
二、正弦量的相量表示法
一般我们研究的是同频率的正弦量， 用相量表示时,它们同以ω速度旋转,相 对位置保持不变。因此，在同一相量图 中，以t＝0时刻的相量表示正弦量。 相量的写法为:大写字母的上方加一 个“.”。
我们知道一个相量可以用复数表示， 而正弦量又可以用相量表示，因此正弦量 可以用复数表示。 １. 复数表示法： A= a+j b 代数式 j A A= r(cosψ +j sinψ ) 三角式 b 根据欧拉公式: r
这样，表示正弦电压 u U m sin t 的相量为
U e j U Um m m
为了使计算结果能直接表示正弦量的有 效值，通常使相量的模等于正弦量的有效 值，即可以表示为：
Ue j U U
注意！
（１）只有正弦量才能用相量表示；
（２）几个同频率正弦量可以画在同一 相量图上；
0
a
e j= cosψ+ j sinψ A = r e jψ 指数式 +1 A = r∠ψ 极坐标式
其中
a = r cosψ b = r sinψ
r
ψ
a b
2
2
= arctg ( b/a )
2. 正弦量的相量
一个复数的幅角等于正弦量的初相角， 复数的模等于正弦量的最大值或有效值， 该复数称为正弦量的相量.
正弦交流电路的相量表示法
* 该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影为： u(t ) U m sin t u 是正弦量u在t时刻的值 y
u
A
O
ω
u1
x
O
Um
ω t1
ψ
ωt
旋转向量包含了正弦量的三个要素，故可以用它来表示正弦量
在正弦稳态交流电路中，各正弦量的频率与电源 频率相同。通常，该频率是已知的，故只需确定 正弦量的振幅和初相就能将它表达。（用三个要 素中的二个要素来描述即可） 故正弦量可用旋转有向量A的初始有向线段来表示
jψ
相量式
相量的模=正弦量的最大值
相量辐角=正弦量的初相角
【练习与思考】
用有效值相量表示下列正弦量
i1( t ) 10 2 sin( t 60 )
A A
i2 ( t ) 15 2 cos( 314t 57 ) u( t ) 200 sin t
解：
V
＝ I 10 － 60 ( A) 1
A1=a1+jb1 =
r11
·
A2=a2+jb2 = = r1 · r2
r22
A1· A2=
r11
r22
(1 2 )
A1 r11 r1 (1 2 ) A2 r22 r2
正弦量的相量表示法
3) 旋转90度的算子j
j 0 j1 1 90 - j 0 - j1 1 - 90 - 1 j j 1 90 90 1 180
2.1.5
知识链接 正弦电量的相量表示方法
i I m sin t
i
讨论：正弦交流电的表示方法有哪几种？
瞬时值表示
Im
正弦量的基本特征及相量表示法KCLCVL及元件伏安关系的-精选文档
3.1.2 相位、初相和相位差
相位：正弦量表达式中的角度
初相：t=0时的相位 相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其 值等于它们的初相之差。如
u U sin( t ) m u
相位差为：
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i I sin( t ) m i
代数型
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三角函数型
指数型
极坐标型
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复数的四则运算： a ja a 设两复数为： A 1 2 1
B b jb b 1 2 2
(1)相等。若a1=b1，a2=b2，则A=B 。 (2)加减运算： A B ( a b ) j ( a b ) 1 1 2 2
根据有效值的定义有： I
2 T2 RT 0i Rdt
周期电流的有效值为： I
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1 T 2 0 i dt T
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对于正弦电流，因
i ( t ) I sin t ( ) m i
所以正弦电流的有效值为：
I
3.1 正弦量的基本概念及其相量表
示法
Biblioteka 3.2 KCL、KVL及元件伏安关系 的相量形式 3.3 正弦交流电路的一般分析方法 3.4 正弦电路的功率 3.5 电路中的谐振
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3.1 正弦量的基本概 念及其相量表示法
第3章 正弦交流电路 学习要点
正弦量的相量表示
正弦量的相量表示————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：正弦量的相量表示根据欧拉公式，复指数函数可见其虚部和实部都是正弦量，所以一个正弦量就可以表示为与之对应的复指数函数的虚部。
例如一个正弦电流就可以表示为观察式（4-11）的最后一个表达式可发现，该表达式中含有这一因子，而这一因子正是一个相量（复数）的极坐标的表达式，其中I为相量的模，为相量的辐角。
考虑到I和又分别是正弦量的有效值和初相，所以定义：以正弦量的有效值为模，初相为辐角构成的复数就称为该正弦量的有效值相量。
即对于任意一个正弦量，都能找到一个与之相对应的复数，由于这个复数与一个正弦量相对应，把这个复数称作相量。
在大写字母上加一个点来表示正弦量的相量，有效值相量符号分别为、。
设某一正弦电压，则该正弦量的有效值相量为当然，也可以用正弦量的最大值为模，初相为辐角构建出正弦量的最大值相量，如电流、电压，最大值相量符号为、，即作为一个复数，相量也可以在复平面上用有向线段表示，相量在复平面上的图示称为相量图。
如下图所示。
图中相量和是表示同频率正弦量的相量。
例题4-4试用相量表示，，并绘出相量图。
解：温馨提示：相量用大写字母上面加一点来表示、、，以便和普通复数相区别。
但相量运算和普通的复数一样，同样遵守普通复数的加、减、乘、除的运算规则。
相量和普通的复数一样也可以在复平面上用一有向的线段（即相量）来表示，表示这种相量的图称为相量图；只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。
相量只是表示正弦量，而不等于正弦量，它是分析和计算交流电路的一种方法；相量的两种表示形式：相量式、相量图；只有表示同频率正弦量的相量才能画在同一相量图上（可以不画坐标轴，参考相量画在水平方向）。
正弦量的相量表示法正弦量的相量表示方法
正弦量的相量表示法正
弦量的相量表示方法
（1）正弦量的表示法
波形图、瞬时值表达式和相量的表示方法，如图1-15所示。
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
（2）正弦量的旋转矢量表示法
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示称为旋转矢量。
正弦量在各时刻的瞬时值与旋转矢量在对应时刻在纵轴上的投影一一对应。
由于矢量具有了正弦量的三要素，因而正弦量可以用矢量来表示。
只有正弦量才能用矢量表示，非正弦量不可以。
只有同频率的正弦量才能画在一张矢量图上，不同频率不行。
正弦量用矢量表示时，有两种方式：若其幅度用最大值表示，则用符号
；若其幅度用有效值表示，则用符号：
正弦量矢量作图方式，如图1-16所示。
（3）正弦量的复数表示法
正弦量的复数表示方法有四种表达形式：代数形式、三角函数形式、指数形式、极坐标形式。
复数的图示，如图1-17所示。
a，b都是实数，a称为A的实部，b称为A的虚部，j=称为虚数单位（数学中用i表示，电工技术中i已用来表示电流，故改用j表示）。
②三角函数形式：
A=r（cosφ+jsinφ）
式中
③指数形式：
更多：正弦交流电的电压和电流值
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正弦量的相量表示
b| A| sinθ
图解法
复数运算
Im
(1)加减运算——采用代数形式
A2
若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
0
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
则: A 1A 2A 1ej1A 2ej2A 1A 2ej(12)
等于初相位之差
规定： |j | (180°)。
• j >0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
O
wt
yuyi
j
• j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
j = (180o ) ，反相：
j ＝ 0， 同相：
u (t)u 1(t)u 2(t)R e( 2U •1ejwt)R e( 2U •2ejwt)
R e( 2U •1ejwt2U •2ejwt)R e( 2(U •1U •2)ejwt)
可得其相量关系为： U U 1U 2 U
故同频正弦量相加减运算变 成对应相量的相加减运算。
i1 i2 = i3
也可借助相量图计算
Im U2
U
U1
41.9
30 60
Re
首尾相接
U
Im
U2
U1
60
41.9
30
Re
2 . 正弦量的微分，积分运算
wy y i 2 I co t s i) (I I i
微分运算:
di d Re 2 Ie jw t
第六章电路基础
Im b
A
O a Re O a Re 一个复数 A 可以在复平面上表示为从原点到 A 的向量， 此时a 可看作与实轴同方向的向量， b 可看作与虚轴同方向 的向量。由平行四边形法则。则a+jb即表示从原点到A的向 量，其模为|A|，幅角为 。所以复数A又可表示为
A=|A|ej =|A|
简称稳态。
8、周期信号: i O
T
t
f(t)=f(t+nT)
n=0,±1, ±2, …
工程上往往以频率区分电路：工频 50 Hz 中频 400-2000Hz 高频电路
1）周期: T为信号的周期，它是信号重复出现所需的最短时 间间隔，单位为秒(s),
2)频率: 周期T的倒数称为频率,用 f 表示: 频率表明每一秒钟内, 周期信号重复的次数。单位为赫芝 （Hz） 3)周期信号的平均值
① | |
②
即： -
初相位是由f(t)=Fmcos(w t+)确定，若原用sin 表示，求初相位时应先化为cos形式再求
两种形式正弦信号的关系
sint cos(t sin( t
( c .1 ) ( c .2 ) ( c .3 )(t) R I R
Q1 (t ) i 2 (t ) Rdt
0
T
Q2=I 2RT
I RT i 2 (t ) Rdt
2 0
T
I
def
1 T
T
0
i 2 ( t )dt
有效值也称方均根值(root-meen-square，简记为 rms。)
同样，可定义电压有效值：
U
def
1 T
T
正弦量的相量表示法及计算法
则：
U1 U2
U1 U2
1 2
（4）相等运算
设 U1 U2 用极坐标式表示时 U1 U2 , 1 2 用代数式表示时 a1 a2 , b1 b2 （5）相反运算
设 I1 I2 用极坐标式表示时 U1 U2 , 1 2 180 用代数式表示时 a1 a2 , b1 b2
[例3—2]见教材。
解：
I (3 j4) 3+j4=5(53.13 180 ) 5126.87 A
分析：求相反相量 就是将原相量旋转 180o ，相量图上两 相反相量对称于原 点，如图所示。
3.2.4 基尔霍夫定律的相量形式
对于正弦交流电路任一节点，有
i 0,u 0
一、KCL的相量形式： I 0
二、KVL的相量形式： U 0
内容简介
本教材理论推导从简，计算思路交待详细，概念述 明来龙去脉，增加例题数量和难度档次，章节分 “重计 算”及“重概念”两类区别对待，编排讲究逐步引深的 递进关系，联系工程实际，训练动手能力，尽力为后续 课程铺垫。借助类比及对偶手法，语言朴实简练，图文 印刷结合紧密，便于自学与记忆，便于节省理论教学时 数。适用于应用型本科及高职高专电力类、自动化类、 机电类、电器类、仪器仪表类、电子类及测控技术类专 业。
A( 90)
“j”的数学意义和物理意义
旋转 90因子： j
j cos 90 jsin 90
设相量 A r
B +j
• 相量A 乘以 j ，
A
A 将逆时针旋转 90 得到 B
• 相量A 乘以 j ， A o
ψ
+ 1
将顺时针旋转 90，得到 C
C
3. 除法运算
设： U1 U11 U2 U22
正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法在物理学中，正弦量（sine wave）是一种振荡量，它可以以普遍的正弦函数的形式来表示。
它往往用来表示物理或数学模型中的规律性或周期性变化，因此拥有在物理研究中重要的应用价值。
正弦量也是数字信号处理、生物科技、通信和声学中的重要组成部分。
正弦量的相量（phasor）表示法是对正弦量的一种数学表示方式，用一个复数来表示整个正弦波的大小和相位（即时间延迟）。
正弦量的复数表示法可以将其分解成两个部分，一部分用有理解题目中提到的正弦量的大小（模）来表示，另一部分用相应的正弦量的角度（相角）来表示。
弦量的相量表示法可以用工程学中常见的极坐标和/或复平面形式来表示，可以用曲线图和/或数字示意来表示。
正弦量的相量表示法的基本原理是用一个复数来表示正弦量的实部和虚部，采用极坐标和/或复平面形式来表示。
在极坐标中，我们可以用极径（r）和极角（θ）来表示正弦量：在极坐标中，极径表示正弦量的大小，而极角表示正弦量的相位。
在复平面上，我们可以采用复数的形式来表示正弦量，即复数z的实部和虚部：在复平面上，复数的实部表示正弦量的大小，而复数的虚部表示正弦量的角度。
正弦量的相量表示法有几个优点。
首先，正弦量的相量表示法可以用数字的形式来精确地表示正弦量的相位。
其次，正弦量的相量表示法可以用复数的形式来精确表示正弦量的大小。
最后，正弦量的相量表示法使得正弦量的数学操作变得简单、高效。
正弦量的相量表示法在很多情况下都有重要的应用价值。
例如，在电机控制中，正弦量的相量表示法可以用来描述电机的运动，以及与其相关的特性，如频率、相位和相应的电压、功率等。
此外，正弦量的相量表示法在电子学的元件分析和模拟中也有广泛的应用价值。
由于正弦量的相量表示法的众多优点，在现今的工程学研究中，它得到了越来越广泛的应用。
正弦量的相量表示法为物理学、数字信号处理、生物科技、通信和声学等领域的研究提供了一种新的模型来建立物理模型和模拟信号运行行为，从而改善现有系统的性能。
正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法
正弦量是一种重要的物理量，它被广泛用于电路和电子学中，是可以度量和测量电压或电流的一种简单的、可靠的方法。
它也被称为波格拉它。
正弦量以极坐标形式表示，它以每个周期的正弦值表示一个周期的数字。
它的特点是，它的值可以被定义为在指定的时间段内，电压或电流信号所处的极点。
正弦量的相量表示法是一种表示正弦量的计算方式，它可以将正弦量以角度为单位表示出来，而不是以极坐标表示法表示。
正弦量的相量表示法主要具有三种优点：
首先，正弦量的相量表示法比极坐标表示法更有效率、易于理解。
例如，在极坐标表示法中，每个极坐标代表一个振荡周期，这就要求用户记住每个周期的角度、大小和方向，而正弦量的相量表示法可以把每个周期的值表示为一个数字，从而使用户更加容易理解每一个振荡周期。
其次，正弦量的相量表示法比极坐标表示法更容易计算。
例如，在极坐标表示法中，需要计算每个振荡周期的极点，而正弦量的相量表示法可以直接计算每一个振荡周期的值，因此减少了计算的复杂程度。
最后，正弦量的相量表示法也可以作为数据处理或电子设备的一种实现方式，这种方式比极坐标表示法更为清晰。
此外，正弦量的相量表示法可以使用更多的计算机技术进行实现，以提高计算机对正弦量处理能力。
正弦量的相量表示法是一种高效方便的表示方式，它不仅使得表示更加清晰，而且可以明显降低计算机程序的复杂度，是电子行业用来表示正弦量的首选方式。
因此，正弦量的相量表示法应运而生，并迅速得到广泛使用。
它在电子领域的应用越来越广泛，赋予了正弦量表示技术更强的功能性和效率性，实现了正弦量表示技术的完美。
正弦量的三要素及相量表示法基尔霍夫
正弦电流电路导论
内容提要
1.正弦量的相量表示法； 2.两类约束的相量形式； 3.正弦电流电路的分析计算； 4.正弦电流电路的功率。
5.1 正弦量电压和电流的基本概念
一 时变的电压和电流 ◆ 时变电压和电流：随时间变动的电压和电流。
第五章
正弦电流电路
u(t )
◆瞬时值：时变电压和电流在任一时刻的数值，用 和 i (t ) 表示。
2π u2 =100 2sin(100t )V 3
3
0
6
I1
解：
π I1 =50 A 6 π U1 =100 V 3 2π U 2 =100- V 3
2 3
U 2
相量图
第三章 正弦电流电路
四 用相量求正弦量的和与差
i1 (t ) 70.7 2 sin(ωt 45 )A i2 (t ) 42.4 2 sin(ωt 30 )A
③角频率ω：每秒变化的弧度。单位：弧度/秒(rad/s)
第五章 正弦电流电路
三者间的关系：
1 f T
2 2 f T
* 电网频率（工频）：我国：50Hz；美国和日本：60Hz * 无线通信频率： 30 kHz ～ 30GMHz ◆ 相位和初相位 ①相位：正弦波的 (ωt ψ ) 。 ②初相位 ：t =0 时的相位。 ③规定：初相位的绝对值不超过π。
第五章 正弦电流电路
三 用相量表示正弦量
相量：表示正弦量的复数称为相量。
相量表示法：用模值等于正弦量的最大值（或有效值）、
辐角等于正弦量的初相的复数对应地表示相应的正弦量。
即：相量 Im （或 I ）
j
模用最大值表示时，为最 I ψ 大值相量，即 I m m
正弦量的相量表示及运算
A r(cos j sin) r cos jr sin
根据欧拉公式，可得: e j cos j sin
(3) 指数式 A r e j (4) 极坐标式 A r
任意一个正弦量的相量乘以+j后，即在原相量的基础上逆 时针旋转90；乘以-j则顺时针旋转90，故称j为旋转因子。
时值用相量表示即得 I 0 Im 0
上式就是KCL定律的相量形式。它表明，任意瞬间流经 任意节点的电流相量的代数和等于零。
二、相量形式的基尔霍夫定律
2．相量形式的KVL
同理，KVL也适用于交流电路，即同一瞬间，在电路的任 一回路中各电压的瞬时值的代数和恒等于零。即
u 0
将电压瞬时值用相量表示即得
A1 A2
r1 r2
a
b
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复数相
乘、除时用极坐标形式比较方便。
一、正弦量的相量表示
例题： 有两个复数分别为A1 1030，A2 845 试分别 对它们做加、减、乘、除运算。
解：
A1 A2 1030 845 (10cos30 10 j sin 30) (8cos45 8 j sin 45) (8.66 j5) (5.656 j5.656) 14.316 j1示法
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的 投影值来表示，如图所示，在复平面中，把这种反映正弦量大 小和初相位的有向线段称为相量。在大写字母上加一个点来表 示正弦量的相量。如电流、电压的最大值相量符号分别为U m Im
，有效值相量符号分别为U I 。以极坐标表示法为例，复数的
模表示正弦量的大小，复数的幅角表示正弦量的初相位。
一、正弦量的相量表示
一、正弦量的相量表示
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i 2Isin( t Ψ ) A(t ) 2Ie
j( t Ψ )
常复数
旋转因子
jΨ j t
而 A(t ) 2Ie
j( t Ψ )
2Ie e
jΨ
i 2Isin( t Ψ ) I 2Ie
u(t ) U m sin( t ) 2U sin( t )
i1 ( t ) i2 ( t ) 6.65 2 sin(t 112.1 ) A
相量法的提出
+
电路方程是微分方程： R
u
iL
L
+
uC
- C
d uC duC LC RC uC u (t ) dt dt
响应和激励为同频率的正弦量，只是它们的初相 和最大值（或有效值）不同
2
两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：
i1 2 I1 sin( t 1 )
§5-3 正弦量的相量表示法
1. 复数 Im 代数式 b |A| A
A a jb
(j 1 为虚数单位)
ψ
o a Re
A | A | e
j
指数式
A | A | e j | A | (cos j sin ) a jb
三角函数式
e j cos j sin （欧拉公式）
4 5 2)I 2 6
6
)
5 i 2 4 2 sin( 314t ) 6
例4.写出电流
i1 ( t ) 5 sin(t 45 ) A, i2 ( t ) 10 2 sin(t 120 ) A
的相量形式，求解i1(t)+i2(t)。 5 45 A I 2 10120 A I1 解： 2
U U (cos j sin )直角坐标形式 或U m U m (cos j sin )
同理有：
I Ie j I I (cos j sin )
I e j I I (cos j sin ) Im m m m
I 5 45 10120 I1 2 2 5 (cos 45 j sin 45 ) 10(cos 120 j sin 120 ) 2 5 2 1 5 2 3 ( 10 ) j ( 10 ) 2 2 2 2 2 2 2.5 j 6.16 6.65112.1 A
A | A | e | A |
j
极坐标式
2.旋转复数、正弦量、相量
将 A 以ω的角速度逆时针旋转形成旋转复数
A A[cos(t ) j sin(t )] Ae
j (t )
Ae e
j
jt
令ωt=θ，则复数 ej =cos +jsin =1∠ 称之为旋转因子 于是旋转复数就可以表示为一个常复数和一 个旋转因子的乘积。 介绍几个特殊的旋转因子：j，-j，-1
电流相量
u(t ) Ι m[U m e j e jt ] Ι m[ 2Ue j e jt ]
电压的幅值相量： U U e j m m 电压的有效值相量： U Ue j
常用相量表示形式：
Ue j U U e j 指数形式 U 或 m m U U 或U m U m 极坐标形式
i2 2 I 2 sin( t 2 )
iu, i 1
角频率 有效值 初相位
i2
i1 i2 I2
i1+i2 i3
I1 o
I t
3
i3
1
2
3
结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，
所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 正弦量 复数 变换的思想
3. 正弦量的相量表示
1)i 5 sin(t 30 ) 5e
j 30
2)I 1030
3)U 10045 100 2 sin(t 45 )
20e 20 4)I
例2.根据已知正弦量写出对应相量
2 3 2)u2 20 sin(t ) 4
注意：
1.正弦量的相量为复常数，模为对应正弦量的最大 值或有效值，幅角为对应的初相角。 2.已知时间正弦量可唯一确定对应的相量，而相量 只包含了正弦量的两个要素。 3.相量运算与复数运算相同，但必须是同频率的相 量才能进行运算。
3.相量运算
A1 A1 e j 1 A1 1 a1 jb1
造一个复函数
j( t Ψ )
无物理意义
A(t ) 2 Ie 2 Icos(t Ψ ) j 2 Isin( t Ψ )
对 A(t) 取虚部 Im[ A(t )] 2Isin( t Ψ ) i(t )
是一个正弦量 பைடு நூலகம்物理意义
结论 任意一个正弦时间函数都
有唯一与其对应的复数函数。
A e j ( 1 90 ) A ( 90 ) jA1 1 1 1
j为90o旋转因子
A1 j ( 1 90 ) A1 e A1( 1 90 ) j
4.相量图
只有同频率的相量才能在 同一复平面内作相量图
例1.指出下列各表达式那些是正确的，那些 是错误的。
1)u1 10 2 sin(t
)
10 1)U 1 2
20 3 2 ) U 2 4 2
例3.根据已知相量写出对应正弦量，频率为 工频。
1)I 1 2 3 j 2
4 1)I 1 6 i1 4 2 sin( 314t
2)I 2 2 3 j 2
A2 A2 e j 2 A2 2 a 2 jb2
1）
A1 A2 (a1 a 2 ) j(b1 b2 )
1 2)
2） A1 A2 A1 A2 e j (
A1 A2 ( 1 2 )
3）
A1 A1 j ( 1 2 ) A1 e ( 1 2 ) A2 A2 A2