正弦量的相量表示
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Iy 为正弦量 i(t) 对应的相量。 称 I
Iy i(t ) 2I cos( t y ) I
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
Uθ u( t ) 2U cos( t θ ) U
A e
j
o Im
A Re
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几种不同 值时的旋转因子
2
, e
j
2
cos
2
j sin
2
jA
j
A
Re
- jA
-j 0 - , e 2 cos(- ) j sin( - ) - j 2 2 2 -A j , e cos( ) j sin( ) -1
Im b A |A|
Re
0
a
j
Re
A a jb
A | A | e
| A |
A | A | e j | A | (cos j sin ) a jb
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两种表示法的关系
Im b
0
A |A|
A a jb | A |
| A | a 2 b 2 b θ arctg a
u1 ( t ) 2 U 1 cos( t y 1 ) u2 ( t ) 2 U 2 cos( t y 2 )
u(t ) u1 (t ) u2 (t )
| A1 | ( θ1 - θ2 ) | A2 |
复数除法：模相除，角相减。
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例1
547 10 - 25 ?
解 547 10 - 25 ( 3.41 j 3.657) (9.063 - j 4.226)
12.47 - j 0.569 12.48 - 2.61
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U Um 2
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um 311V； U=380V， Um 537V。
注（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭
牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值 指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时 应按最大值考虑。
例1
已知
解
100 30o A I 220 - 60o V U
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i 141.4 cos(314t 30o )A u 311.1cos(314t - 60o )V
试用相量表示i, u .
例2
5015 A, f 50Hz . 已知 I
试写出电流的瞬时值表达式。
复数运算 (1)加减运算——采用代数形式
a
Re
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
Im A2
图解法
若：A1 a1 jb1 , A2 a2 jb2 则：A1 A2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
A1
0 Re
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(2) 乘除运算——采用极坐标形式
y -
3
i ( t ) 100 cos(10 t 3
3
3
) t1＝
当 10 t1 3 有最大值
3
10
3
＝1.047ms
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3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)
设：u(t ) U mcos(t y u ) , i (t ) I m cos(t y i ) 则相位差：j ui (t y u ) - (t y i ) y u -y i
（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
f ( t ) Ak cos(kt k )
k 1
n
对正弦电路的分析研究具有重要的理 论价值和实际意义。
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2. 正弦量的三要素
i ( t ) I m cos(t y )
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2)角频率(angular frequency)ω 相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
( 2) i1 ( t ) 10 cos(100 t 30) i2 ( t ) 10 sin(100 t - 15)
i2 (t ) 10 cos(100 t - 105) j12 30 - (-105) 135
( 3) u1 ( t ) 10 cos(100 t 30) u2 ( t ) 10 cos(200 t 45) (4) i1 ( t ) 5 cos(100 t - 30) i2 ( t ) -3 cos(100 t 30)
故 ＋j, －j, －1 都可以看成旋转因子。
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3. 正弦量的相量表示
构造一个复函数
A( t ) 2 Ie j ( t y )
2 Icos( t y ) j 2 Isin( t y )
对A(t)取实部：
Re[ A( t )] 2 Icos( t y ) i ( t )
同频正弦量的相位差等于初相位之差。
u, i y u uy O 规定： |j |
i
i
j ui
t
j ui > 0， u 超前于i，或i 落后于u ，u 比i先到达最大值；
j ui < 0， i 超前于u ，或u 滞后i ，i 比 u 先到达最大值。
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特殊相位关系
j = ，反相
例2
(17 j 9) (4 j6) 220 35 ? 20 j 5
19 . 24 27 . 9 7 . 211 56 . 3 解 原式 180.2 j126.2 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
u, i u u i o
j ＝ 0， 同相
u, i
t
i
u, i u i
o
t
j=/2
u 领先 i于/2, 不说 u 落后 i于3/2； i 落后 u于/2, 不说 i 领先 u于3/2。
o
t
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
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例
计算下列两正弦量的相位差。
(1) i1 ( t ) 10 cos(100 t 3 4) j12 3 4 - (- 2) 5 4 j12 -2 5 4 - 3 4 i2 ( t ) 10 cos(100 t - 2)
def
1 T
T
0
u ( t )dt
2
设：i (t ) I m cos( t y )
1 T 2 2 I I m cos ( t y ) dt T 0 Im 0.707 I m Im 2
2I
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i ( t ) I m cos( t y ) 2 I cos( t y )
一般规定：|y |
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例
100
i
50
已知正弦电流波形如图，＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1
t
t1
解 i ( t ) 100 cos(103 t y )
0
t 0 50 100 cosy
y 3
由于最大值发生在计时起点右侧
（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为 有效值。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
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i , Im , I
8.2 正弦量的相量表示
1. 问题的提出
电路方程是微分方程： +i u _ R
L
C
d 2 uC duC LC RC uC u( t ) dt dt
正弦电流电路
激励和响应均为正弦量的电路 （正弦稳态电路）称为正弦电 路或交流电路。
研究正弦电路的意义 （1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。 优点 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 积分运算后仍是同频率的正弦函数； 2）正弦信号容易产生、传送和使用。
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若激励是正弦量，则电路的响应也是同频率的正弦量， 正弦量的各阶微分和积分仍然是同频率的正弦量。所以， 我们只需关心电路响应的有效值和初相位，可以不理睬正 弦量的角频率。
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两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。
i1 2 I1 cos( t y 1 )
i2 2 I 2 cos( t y 2 )
周期电流、电压有效值 (effective value) 定义
直流 I
R
交流 i
R
W RI T
2
W Ri ( t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I i (t )dt T 0
def
有效值也称均方根值 (root-mean-square)
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同样，可定义电压有效值： U 正弦电流、电压的有效值
i3 2 I 3cos(ωt y 3 )
因同频率的正弦量相加减，其结果仍为同频的正弦量， 所以只要确定结果的初相位和有效值 (或最大值)就行了。 一个复数的极坐标形式包含了模和辐角，因此:
正弦量
复数
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2. 复数及运算
复数A的表示形式 Im b 0 a A
A a jb
( j - 1 为虚数单位)
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
i 2 I cos( t+y ) A( t ) 2 Ie j ( t+y )
Re[A( t )] Re[ 2 I e
jy
e
j t
e j t ] ] Re[ 2 I
复常数 A(t)包含了三要素：I、 y 、ω ，复常数只包含了I , y 。
解
相量图
i 50 2cos(314t 15 ) A
在复平面上用向量表示相量的图
j
=Iy i ( t )= 2 I cos( t+y ) I
U
Uθ u( t ) 2U cos( t θ ) U
I
y
1
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4. 相量法的应用
（1）同频率正弦量的加减
180.2 j126.2 2 .238 j 6 .329
182.5 j132.5 225.536
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(3) 旋转因子
e
j
cos j sin 1
相当于A逆时针旋转一个角 度θ ，而模不变。故把 e jθ 称为旋转因子。
Im
A· e jθ
8.1 正弦量的基本概念
1. 正弦量
瞬时值表达式： 波形：
y
O
i
T
i ( t ) I m cos(t y )
正弦量为周期函数
t
f ( t ) f ( t kT )
周期T (period)和频率f (frequency) :
1 f T
单位：Hz，赫(兹)
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周期 T ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒 频率 f ：每秒重复变化的次数。
2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒 i O T 2 Im
(3)初相位(initial phase angle) y 反映正弦量的计时起点， 常用角度表示。
y
t
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同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 i
0
t
y 0 y/2
y - / 2 y
若：A1 A1 1 , A2 A2 2
则:
A1 A2 A1 e
j1
A2 e
j 2
A1 A2 e
j (1 2 )
A1 A2 (1 2 )
复数乘法：模相乘，角相加。
A1 | A1 | θ1 | A1 | j ( θ1-θ2 ) | A1 | e jθ1 e jθ 2 A2 | A2 | θ2 | A2 | e | A2 |
1 2
不能比较相位差
i2 (t ) 3 cos(100 t - 150)
j12 -30 - (-150) 120
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、 同符号，且在主值范围比较。
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4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其 效果，在工程上采用有效值来表示。
Iy 为正弦量 i(t) 对应的相量。 称 I
Iy i(t ) 2I cos( t y ) I
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
Uθ u( t ) 2U cos( t θ ) U
A e
j
o Im
A Re
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几种不同 值时的旋转因子
2
, e
j
2
cos
2
j sin
2
jA
j
A
Re
- jA
-j 0 - , e 2 cos(- ) j sin( - ) - j 2 2 2 -A j , e cos( ) j sin( ) -1
Im b A |A|
Re
0
a
j
Re
A a jb
A | A | e
| A |
A | A | e j | A | (cos j sin ) a jb
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两种表示法的关系
Im b
0
A |A|
A a jb | A |
| A | a 2 b 2 b θ arctg a
u1 ( t ) 2 U 1 cos( t y 1 ) u2 ( t ) 2 U 2 cos( t y 2 )
u(t ) u1 (t ) u2 (t )
| A1 | ( θ1 - θ2 ) | A2 |
复数除法：模相除，角相减。
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例1
547 10 - 25 ?
解 547 10 - 25 ( 3.41 j 3.657) (9.063 - j 4.226)
12.47 - j 0.569 12.48 - 2.61
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U Um 2
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um 311V； U=380V， Um 537V。
注（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭
牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值 指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时 应按最大值考虑。
例1
已知
解
100 30o A I 220 - 60o V U
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i 141.4 cos(314t 30o )A u 311.1cos(314t - 60o )V
试用相量表示i, u .
例2
5015 A, f 50Hz . 已知 I
试写出电流的瞬时值表达式。
复数运算 (1)加减运算——采用代数形式
a
Re
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
Im A2
图解法
若：A1 a1 jb1 , A2 a2 jb2 则：A1 A2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
A1
0 Re
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(2) 乘除运算——采用极坐标形式
y -
3
i ( t ) 100 cos(10 t 3
3
3
) t1＝
当 10 t1 3 有最大值
3
10
3
＝1.047ms
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3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)
设：u(t ) U mcos(t y u ) , i (t ) I m cos(t y i ) 则相位差：j ui (t y u ) - (t y i ) y u -y i
（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
f ( t ) Ak cos(kt k )
k 1
n
对正弦电路的分析研究具有重要的理 论价值和实际意义。
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2. 正弦量的三要素
i ( t ) I m cos(t y )
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2)角频率(angular frequency)ω 相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
( 2) i1 ( t ) 10 cos(100 t 30) i2 ( t ) 10 sin(100 t - 15)
i2 (t ) 10 cos(100 t - 105) j12 30 - (-105) 135
( 3) u1 ( t ) 10 cos(100 t 30) u2 ( t ) 10 cos(200 t 45) (4) i1 ( t ) 5 cos(100 t - 30) i2 ( t ) -3 cos(100 t 30)
故 ＋j, －j, －1 都可以看成旋转因子。
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3. 正弦量的相量表示
构造一个复函数
A( t ) 2 Ie j ( t y )
2 Icos( t y ) j 2 Isin( t y )
对A(t)取实部：
Re[ A( t )] 2 Icos( t y ) i ( t )
同频正弦量的相位差等于初相位之差。
u, i y u uy O 规定： |j |
i
i
j ui
t
j ui > 0， u 超前于i，或i 落后于u ，u 比i先到达最大值；
j ui < 0， i 超前于u ，或u 滞后i ，i 比 u 先到达最大值。
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特殊相位关系
j = ，反相
例2
(17 j 9) (4 j6) 220 35 ? 20 j 5
19 . 24 27 . 9 7 . 211 56 . 3 解 原式 180.2 j126.2 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
u, i u u i o
j ＝ 0， 同相
u, i
t
i
u, i u i
o
t
j=/2
u 领先 i于/2, 不说 u 落后 i于3/2； i 落后 u于/2, 不说 i 领先 u于3/2。
o
t
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
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例
计算下列两正弦量的相位差。
(1) i1 ( t ) 10 cos(100 t 3 4) j12 3 4 - (- 2) 5 4 j12 -2 5 4 - 3 4 i2 ( t ) 10 cos(100 t - 2)
def
1 T
T
0
u ( t )dt
2
设：i (t ) I m cos( t y )
1 T 2 2 I I m cos ( t y ) dt T 0 Im 0.707 I m Im 2
2I
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i ( t ) I m cos( t y ) 2 I cos( t y )
一般规定：|y |
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例
100
i
50
已知正弦电流波形如图，＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1
t
t1
解 i ( t ) 100 cos(103 t y )
0
t 0 50 100 cosy
y 3
由于最大值发生在计时起点右侧
（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为 有效值。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
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i , Im , I
8.2 正弦量的相量表示
1. 问题的提出
电路方程是微分方程： +i u _ R
L
C
d 2 uC duC LC RC uC u( t ) dt dt
正弦电流电路
激励和响应均为正弦量的电路 （正弦稳态电路）称为正弦电 路或交流电路。
研究正弦电路的意义 （1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。 优点 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 积分运算后仍是同频率的正弦函数； 2）正弦信号容易产生、传送和使用。
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若激励是正弦量，则电路的响应也是同频率的正弦量， 正弦量的各阶微分和积分仍然是同频率的正弦量。所以， 我们只需关心电路响应的有效值和初相位，可以不理睬正 弦量的角频率。
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两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。
i1 2 I1 cos( t y 1 )
i2 2 I 2 cos( t y 2 )
周期电流、电压有效值 (effective value) 定义
直流 I
R
交流 i
R
W RI T
2
W Ri ( t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I i (t )dt T 0
def
有效值也称均方根值 (root-mean-square)
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同样，可定义电压有效值： U 正弦电流、电压的有效值
i3 2 I 3cos(ωt y 3 )
因同频率的正弦量相加减，其结果仍为同频的正弦量， 所以只要确定结果的初相位和有效值 (或最大值)就行了。 一个复数的极坐标形式包含了模和辐角，因此:
正弦量
复数
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2. 复数及运算
复数A的表示形式 Im b 0 a A
A a jb
( j - 1 为虚数单位)
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
i 2 I cos( t+y ) A( t ) 2 Ie j ( t+y )
Re[A( t )] Re[ 2 I e
jy
e
j t
e j t ] ] Re[ 2 I
复常数 A(t)包含了三要素：I、 y 、ω ，复常数只包含了I , y 。
解
相量图
i 50 2cos(314t 15 ) A
在复平面上用向量表示相量的图
j
=Iy i ( t )= 2 I cos( t+y ) I
U
Uθ u( t ) 2U cos( t θ ) U
I
y
1
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4. 相量法的应用
（1）同频率正弦量的加减
180.2 j126.2 2 .238 j 6 .329
182.5 j132.5 225.536
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(3) 旋转因子
e
j
cos j sin 1
相当于A逆时针旋转一个角 度θ ，而模不变。故把 e jθ 称为旋转因子。
Im
A· e jθ
8.1 正弦量的基本概念
1. 正弦量
瞬时值表达式： 波形：
y
O
i
T
i ( t ) I m cos(t y )
正弦量为周期函数
t
f ( t ) f ( t kT )
周期T (period)和频率f (frequency) :
1 f T
单位：Hz，赫(兹)
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周期 T ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒 频率 f ：每秒重复变化的次数。
2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒 i O T 2 Im
(3)初相位(initial phase angle) y 反映正弦量的计时起点， 常用角度表示。
y
t
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同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 i
0
t
y 0 y/2
y - / 2 y
若：A1 A1 1 , A2 A2 2
则:
A1 A2 A1 e
j1
A2 e
j 2
A1 A2 e
j (1 2 )
A1 A2 (1 2 )
复数乘法：模相乘，角相加。
A1 | A1 | θ1 | A1 | j ( θ1-θ2 ) | A1 | e jθ1 e jθ 2 A2 | A2 | θ2 | A2 | e | A2 |
1 2
不能比较相位差
i2 (t ) 3 cos(100 t - 150)
j12 -30 - (-150) 120
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、 同符号，且在主值范围比较。
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4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其 效果，在工程上采用有效值来表示。