初三数学竞赛试题及答案

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密 封 线
初三数学竞赛试题
一、 选择题（每小题2分，共10分）
1. 若
1
4
+x 表示一个整数，则整数x 可取值共有( ). （A ）3个 （B ） 4个 （C ） 5个 （D ） 6个
2．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是（ ）
（A ）2,3,1 （B ）2,2,1 （C ）1,2,1 （D ）2,3,2
3、设b>a ，将一次函数y=bx+a 与y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a 、b 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）
4．已知一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是（ ）
（A ）1m >- （B ）1m <- （C ）1m > （D ）1m <
5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(3,3)--，点C 是y 轴上一动点，要使△ABC 为等腰三角形，则符合要求的点C 的位置共有（ ）
（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 二、填空题（每小题3分，共60分）
1、等腰直角三角形斜边上的中线长为4cm ，则其面积为 平方厘米。

2、计算505
1
2-8+
的结果是 .
3、若,10,20==c b b a 则c
b b a ++的值是 ． 4．方程
112
(1)(2)(2)(3)3
x x x x +=++++的解是 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐 标是（1,0），若点A 的坐标为（a ，b ），将 线段BA 绕点B 顺时针旋转90°得
到线段BA '，则点A '的坐标是 ． 6、如果
1-a =1-a ，则a 的取值范围是 ．
7、 如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，AD =AE ，︒=∠60BAD ，则=∠EDC （度）. 8、如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G = n ·90°，则n = .
（第7题图）
9、若x -2+2-x 有意义，则x 的值是 ．
10、一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是 11、当1
4<<x 时，化简：22-1x x +-
1682+-x x 的结果是 ．
12、有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两棵树相距3米。

一只小鸟从一棵树的树梢飞向另一棵树的树
梢，则至少要飞 米。

13、如果实数m ≠n,且
m n n m ++88=1
1
++n m ，则m+n 的值是 ．
14、已知b>a>O,且a 2+b 2=4ab,则
b
a b
a -+的值是 ． 15、已知
x B
x A x
x x ++=+-1322
，其中A 、B 为常数，则A —B 的值是 ． 16、已知：a=1-5,则2a 3+7a 2-2a-12的值是 ． 17、计算231294a a a a ---+--
+的值是 ．
18、一个正数x 的两个平方根分别是a+1和a-3,则a 的值是 ．
19、在Rt ΔABC 中，a 、b 为直角边，c 为斜边，若a+b=14 ，c=10，则ΔABC 的面积是 ．
20、3、当x ＝3时，函数y=px 3＋qx ＋3的值是2005，则当x ＝－3时，函数y=px 3＋qx ＋3的值为
三、解答题 （第1题5分，第2题7分，第3题10分，第4题8分）
1．已知4 5 6.ab ac bc
a b a c b c
===+++，， 求17137a b c +-的值．
D C A'
B A
O
y
x
第5题图
2．如图4，在△ABC中，AD交边BC于点D，∠BAD=15°，∠ADC=4∠BAD，DC=2BD．
⑴求∠B的度数；（2分）
⑵求证：∠CAD=∠B.（5分）
3、如图，P是等边三角形ABC中的一个点，PA=2，PB=2
3，PC=4，试求BC的长？（10分）
4、如图直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）
（1）求k的值．（2分）
（2）若P（x，y）是直线在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变
量x的取值范围．（3分）
（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．（3分）
( 图4 ）
D
C B
A
桑坪初中2012年秋初三数学竞赛试题答案
一、 选择题
1、D ；
2、A ；
3、B
4、C
5、D 选择题第2题 【答】A ．
解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3． 选择题第3题
解：由方程组
的解知两直线的交点为（1，a+b ），而图A 中交点横坐标是负数，故图A 不
对；图C 中交点横坐标是2≠1，故图C 不对；图D 中交点纵坐标是大于，小于
的数，不等于
，
故图D 不对；故选B 。

选择题第4题 【答】C ．
解：一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y 轴的交点位于y 轴的正半轴，且y 随x 的增大而增大，所以10,
10.
m m ->⎧⎨
+>⎩ 解得1m >．
选择题第5题 【答】D ．
解：由题意可求出AB=5，如图，以点A 为圆心AB 的长为半径画弧，交y 轴于C 1和C 2，利用勾股定理可求 出OC 1=OC 2=2
2
5126-=，可得)62,0(),62,0(21-C C ， 以点B 为圆心BA 的长为半径画弧，交y 轴于点C 3和C 4， 可得34(0,1),(0,7)C C -，AB 的中垂线交y 轴于点C 5，利用
三角形相似或一次函数的知识可求出)6
17
,0(5-C ．
二、填空题
1、16；
2、22；
3、11
210
4、【答】120,4x x ==-．
解：
11(1)(2)(2)(3)x x x x +++++1111
1223x x x x =-+-++++
11213(1)(3)
x x x x =
-=++++. ∴22
(1)(3)3
x x =++，解得 120,4x x ==-.
5、【答】(1,1)b a +-+．
解：分别过点A 、A '作x 轴的垂线，垂足分别 为C 、D ．显然Rt △ABC ≌Rt △B A 'D ． 由于点A 的
坐标是(,)a b ，所以OD OB BD =+1OB AC b =+=+，1A D BC a '==-，所以点的A '坐标是
(1,1)b a +-+．
6、0≤a ≤1 ；
7、30°；
解：设α2=∠CAD ，由AB=AC 知
αα-︒=-︒-︒=
∠60)260180(2
1
B ， α+︒=︒-∠-︒=∠6060180B ADB ，
由AD=AE 知，α-︒=∠90ADE ， 所以︒=∠-∠-︒=∠30180ADB ADE EDC .
8、解：
9、2； 10、22
+m ；
11、-5 ；12、5 ；13、7 ；14、-
3；
15、8 ； 16、0；17、0；18、1；19、24；20、-1999。

x
y
O
A
B
C 1
C 2
C 3 C 4
C 5 第5题图
三、解答题： 1、解：1111
444ab a b a b ab a b +=⇒=⇒+=+由
① 同理得：111 5
a c +=②， 111
6b c += ③
将①②③式相加得： 11137
120
a b c ++= ④
④－①得 17120
1207c c =⇒=
④－②得
113120
12013b b =⇒=
④－③得 117120
12017
a a =⇒=
∴17137120120120120a b c +-=+-=
2、解：⑴∵∠BAD=15°，∠ADC=4∠BAD ，
∴∠ADC=60°，
∴∠B=60°－15°=45°，
⑵ 过C 作CE 垂直AD 于E ，连接EB.
∵∠ECD=90°－60°=30° ∴DC=2ED ，
∵DC=2BD ， ∴ED=BD
∴∠DBE=∠DEB=∠ECD=30°， ∴∠EBA=45°－30°=15°=∠BAD ∴AE=EC=EB
∴∠CAD=∠B=45°
3、解：把△APC 绕点A 顺时针旋转60度至△ADB 处，连结PD ，则△APD 可证得为等边三角形，△BPD 为Rt △.
因此，∠APB
为了150度，过点A 作AE 垂直于BP 交BP 延长线于点E ，则∠APE=30°，AE=1，PE=3，BE=33
∴ BC=AB=2
7
4、解答：解：（1）将B （﹣8，0）代入y=kx+6中，得﹣8k+6=0，解得k=； （2）由（1）得y=x+6，又OA=6， ∴S=×6×y=x+18，（﹣8＜x ＜0）； （3）当S=9时，x+18=9，解得x=﹣4， 此时y=x+6=3， ∴P （﹣4，3）．
( 图4 ）
E
A。