初三数学竞赛试题(集广度、深度于一体)

机密★启用前
九年级数学试题
答卷说明：
1. 本学科试题从第1页至第8页，共8页。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔填涂在答题卡上，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在本卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

5．数学科试题满分120分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1．2014-的绝对值是（ ） A ．-2014
B.2014
C ．2014
1
-
D ．
2014
1 2．马航客机MH370于2014年3月8日1时20分失联，导致26个国家海空力量参与搜寻，马来西亚政府18日说，现阶段搜寻范围总计7700000平方公里，任务艰巨。

数据7700000用科学记数法表示为（ ） A ． 51077⨯
B ．410770⨯
C ．71077.0⨯
D ．6107.7⨯
3．下列运算正确的是（ ） A ．632x x x =⋅
B ．633x x x =+
C ．623)(x x =-
D ．632)(x x =-
4、掷一枚均匀的硬币，前9次都是正面朝上，则第10次朝上的是（ ）
A 、一定是反面
B 、一定是正面
C 、反面朝上的可能性大于正面朝上的可能性
D 、反面朝上的可能性等于正面朝上的可能性 5．点P(3，1)关于原点对称的点的坐标是（ ） A ． （-3，-1）
B ．（-1，-3）
C ． (-3，1)
D ． (3， -1)
6.下图是由几个正方体组合成的几何体，则它的侧视图（左视图）是（ ）
7．数据2，4，5，x ,5,6的平均数是4，则x =（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8、已知点1122(,),(,)A x y B x y 是二次函数c x x y +-=22图像上的点，若121<<x x ，则一定成立的是（ ）
A 、21y y <
B 、 21y y =
C 、 21y y >
D 、不能确定大小 9．某人匀速跑步到书店，在书店里停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人与书店的距离y 与时间x 的关系的大致图象是( )
10．如右图，⊙O 的圆心在原点，半径为3，点
A 是直线y=5上的一个动点， A
B 是⊙O 的切线，
B 是切点，则线段AB 的长度的最小值是（ ） A ．2
B ． 3
C ． 4
D ． 5
A
B C D
二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请你把答案填在横线的上方）． 11．因式分解：a a -5= 。

12.某同学数学科课堂表现为93分、平时作业为88分、期末考试为92分，若这三项成绩分别按2：3：5的比例计入总评成绩，则该生数学科总评成绩是 分。

13．设一个三角形的三边长为3，m ，5，则m 的取值范围是 。

14．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图所示的规律拼成若干个图案，则第10个图案中有白色地面砖 块。

15．已知23+
是一元二次方程072=++bx x 的一个根，则方程的另一个根
是 。

三、用心做一做 （本大题共3小题，每小题7分，共21分）．
16．计算： 25
1
|5|)20145(20
2
⨯-+-⨯--
17.解不等式组：⎩⎨⎧-≥++≥52543x x x x ②①
，并把解集在数轴上表示出来。

18.某海事救援船探测出海面下方点C 处有可疑物体，已知海面上两探测点A 、B 相距300米，探测线与海面的夹角分别是30°和45°(如图)，试确定可疑物体所在点C 的深度(结果保留根号)
四、沉着冷静，缜密思考（本大题共2小题，每小题7分，共14分）．
19. 今年小明为了解自家鱼塘中鱼的情况，他先从鱼塘中捞出200条鱼称得平均每条鱼重2.5千克，分别作上记号，再放回鱼塘，等鱼完全混合于鱼群后，第一次捞出100条鱼，称得平均每条鱼重2.6千克，其中有11条带标记的鱼，放回后，第二次又捞出100条鱼，称得平均每条鱼重2.4千克，其中有9条带标记的鱼。

（1）估计鱼塘中鱼的数量是多少？
（2）若每千克鱼售价为6元，估计小明今年卖鱼可收入多少元？
C
20.2013年10月某国大部分城市遭遇严重雾霾天气，环保监测中心对东部的部分城市的空气质量进行抽样调查．空气质量指数在0~50空气质量为优，空气质量指数在50~100（注：不包含50，包含100）为良好，空气质量指数在100~150为轻度污染，空气质量指数在150~200为中度污染，空气质量指数在200-250为重度污染. 调查的空气质量指数、城市个数绘制成的条形和扇形统计图如图所示。

空气质量指数扇形统计图
空气质量指数条形统计图
/空气质量指数
246810
请根据统计图解答下列问题：
（1）将条形统计图和扇形统计图在图中补充完整；
（2）第一阶段先在中度污染的A 城、B 城和重度污染的C 城、D 城、E 城中抽取2个城
市进行综合治理，求没有抽到中度污染城市的概率（要求用树状图或列表的方法计算概率）。

五、满怀信心，再接再厉 （本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21.如图，已知反比例函数x
m
y =的图象与一次函数2-=kx y 的图象相交于点A 、B 两点，其中A 点坐标为(3，1)。

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求三角形AOB 的面积；
(3) 观察图象，直接写出不等式2-<kx x
m
的解集.。

22.已知：如图， 点E 、F 、G 、H 分别在平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，且四边形EFGH 也是平行四边形。

（1）求证：△AEH ≌△CGF ；
（
2）同学甲说：“BD 把四边形EFGH 的面积平均分成两半”，你认为同学甲的说法正确吗？请证明你的结论。

E
C
22题图
23.某市自来水收费实行阶梯水价，收费标准分为三级：第一级水量核定为每户每月0吨~18吨（含18吨）价格为每吨1元，且后一级比前一级增加的百分率相同，每户每月18吨~25吨（含25吨）按第二级水量收费，每户每月用水量25吨以上的为第三级水量。

五月份乙用户用水27吨，交了水费33元。

(1) 求后一级比前一级增加的相同百分率；
（2）如果五月份甲用户用水31吨，则五月份甲用户应交水费多少元？
六、灵动智慧，超越自我（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
24.如图，三角形OAB中，OA=AB=10
3,OB=6，现以点O为原点OB所在直线为x轴建立直角坐标系。

（1）求A点、B点的坐标；
（2）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（3）若点P是抛物线上的动点，当点P运动到何处时OP⊥AB，并求出P点的坐标。

25.已知:直线4
+
-
=x
y与x轴相交于点N，与y轴相交于点M，过点A（0，3）作直线MN
AD⊥于点D，且交x轴于点F，⊙C以点C（1，0）为圆心，且半径等于2
2。

（1）证明：MN与⊙C相交；
（2）点B是⊙C上的动点，作MN
BE⊥于点E，当点B运到哪个位置时，DE的长最大（不需证明），并求出此时DE的长。

九年级数学试题
参考答案
二、 细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分）．
11.)1)(1)(1(2-++a a a a 12. 91
13. 82<<m 14. 42 15. 23- 三、用心做一做 （本大题共3小题，每小题7
分，共21分）．
16.解：原式=0115
1
5)15(41=+-=⨯+-⨯-…………………7分
17. 解：由①，得2≥x ，………………… 1分
由②，得10≤x ， ………………… 3分
∴不等式组的解集是102≤≤x ． ………………… 5分
不等式组的解集在数轴上表示为：
………7分
18.解：作CE ⊥AB 于E ，设C 的深度为x 米，即CE=x 米，………………… 1分
∵∠CBE=450，∠E=900 ∴BE=CE=x ………………… 2分
∴AE =300+x ∴3
3
30tan 300tan 0=
=+==∠x x AE CE CAE ………………… 4分 解得)31(150+=x ………………… 6分
答：C 点的深度为)31(150+米. ………………… 7分
四、沉着冷静，缜密思考（本大题共2小题，每小题7分，共14分）． 19.解：（1）设鱼塘里约有鱼x 条，依题意得
100
1009
11200++=x ，解得条2000=x ………………… 3分 答：估计鱼塘里约有鱼2000条. ………………… 4分
（2）300006100
1002004
.21006.21005.22002000=⨯++⨯+⨯+⨯⨯
（元） ………………… 6分
答;估计小明今年卖鱼收入约为30000元. ………………… 7分
20.解：（1）∵抽查城市总数为20%102=÷（个）
∴空气质量指数在201-250占的频率为
%15%10020
3
=⨯ ∴空气质量指数在100-150占的频率为1-（10%+10%+25%+15%）=40% ∴空气质量指数在100-150的城市个数为208%40=⨯（个）
空气质量指数扇形统计图
空气质量指数条形统计图
/空气质量指数
246
810
……………………………………………………… 3分（3个空格各1分）
(2)所有可能结果为
E
M
D
C
B
E
C
E
D
B
E
D
C
E
D
C
B
A
A
A
A
D
B
A
开始
共20种不同结果，没有抽到中度污染城市的结果有6种不同结果………………6分
∴P（没有抽到中度污染城市）=
10
3
20
6
=（本题也可用列表法，略）………………7分
五、满怀信心，再接再厉（本大题共3小题，每小题8分，共24分）．
21.解：（1）∵）
，
（
都经过
与1
3
A
2
-
=
=kx
y
x
m
y
∴
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
-
=
1
2
3
1
3
k
m
解得
⎩
⎨
⎧
=
=
1
3
k
m
………………2分
∴所求反比例函数解析式为
x
y
3
=，一次函数解析式为
2
-
=x
y.………3分
(2)设直线AB与x轴交点为C，把0
=
y代入2
-
=x
y得2
=
x
∴OC=2
解不等式组
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
-
=
=
2
3
x
y
x
y
得
⎩
⎨
⎧
-
=
-
=
3
1
1
1
y
x
，
⎩
⎨
⎧
=
=
1
3
1
1
y
x
，则B（-1，-3）………4分
∴4
4
2
2
1
)]
3
(
1[
2
1
=
⨯
⨯
=
-
-
⨯
=
∆
OC
S
AOB
…………………6分
（3）由图可知不等式2
-
<kx
x
m
的解集为3
1>
<
<
-x
x或.……………8分
22. 证明：（1）延长GF交AB的延长线于点M
∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，AB∥CD∴∠CGF=∠M
∵四边形EFGH是平行四边形∴HE=GF ,HE∥GF
∴∠HEA=∠M∴∠HEA=∠CGF ………2分
∵∠A=∠C, HE=GF, ∠HEA=∠CGF∴△AEH≌△CGF……………4分
(2)甲同学的说法正确，理由是：
连接DE、GB、GE，设BD与EG交于点O
∵△AEH≌△CGF ∴AE=CG
∵AB=CD ∴AB-AE=CD-CG即BE=DG
∵AB//CD ∴BE//DG
∴四边形BGDE是平行四边形………6分∴OE=OG ∴点O的对称中心
∴BD的面积. ………………………………8分
23.解：（1）设后一级比前一级增加的相同百分率为x，依题意得
33
)
1(
)
25
27
(
)
1(
)
18
25
(
1
182=
+
⨯
-
+
+
⨯
-
+
⨯x
x…………………4分
即：0
15
)
1(7
)
1(22=
-
+
+
+x
x
解得5.1
1
5
1=
+
-
=
+x
x或
即5.0
(6=
-
=x
x不符合题意）或
∴%
50
=
x
答：后一级比前一级增加的相同百分率为50%…………………6分
（2）42
%
50
1
25
-
31
%
50
1
)
18
25
(
1
182=
+
⨯
+
+
⨯
-
+
⨯）
（
）
（
）
（（元）
答：五月份甲用户应交水费42元.…………………8分
六、灵动智慧，超越自我（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
24. 解：（1）作AC⊥OB于点C
∵OB=6 ∴B（6，0）…………1分
∵OA=AB=10
3∴C是OB的中点
∴OC=3
6
2
1
2
1
=
⨯
=
OB
∴9
3
)
10
3(2
2
2
2=
-
=
-
=OC
OA
AC
∴A （3，9）………………2分
（2）因为抛物线经过原点，所以可设抛物线的解析式为
bx ax y +=2，
∵抛物线经过A （3，9）、B （6，0）两点，则
⎩⎨
⎧=+=+9390636b a b a 解得⎩
⎨⎧=-=61
b a ……4分 ∴所求抛物线的解析式为x x y 62+-=……………5分
（3）作OP ⊥AB 于点D 交抛物线于点P ，作DE ⊥OB 于点E ，设D ),(00y x ，则OE=0x ，DE=0y
∵∠DOE+∠OBD=900，∠BAC+∠OBD=900 ∴∠DOE=∠BAC
∵∠ACB=∠DEO=900
∴△ODE ∽△ABC
∴
BC DE AC OE =即3900y x =∴003
1
x y = ∴点O 、点D 都满足直线x y 31= ∴直线OP 的解析式为x y 3
1
=，………7分
解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==x x y x y 6312得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==9173
17(00y x y x 舍去）或 ∴当点P 运动到)9
17
,317(
时，OP ⊥AB. ……………………………………8分 25. 证明：（1）作CP ⊥MN 于P ，把440=+-==y x y x 得代入，把0=y
44=+-=x x y 得代入，∴OM=ON=4 ……………1分
∵∠MON=900
，∴∠MNO=450
∴ 2
2
322)14(sin45CN =CP 0
=⨯
-=⋅小于⊙C 半径为22 ……………2分 ∴MN 与⊙C 相交；…………………………………3分
（2）过点C 作CG ⊥DF 于点G ，延长GC 交⊙C 于点B ，作BE ⊥MN 于点E ，则此时
BE 与⊙C 相切，且DE 的长度最长。

……………4分
由已知条件可得四边形CPDG 、四边形BEDG 都是矩形， ∴DE=BG=CG+CB=CG+22= PD+22 ……………5分
∵
MD=MAsin450
=2222)34(=
⨯
-,MN=24442222=+=+ON OM ,PN=CP=2
2
3……6分 ∴PD=MN-MD-PN=222
2
32224=--
∴DE= 22+22=24
∴DE 最长为24…………………8分。