(人教A版)必修1同步练习题：第1章 1.3.1 第1课时 函数的单调性
人教版高中数学必修1同步章节训练题及答案全册汇编
高中数学必修1全册同步练习题目录1.1.1集合的含义与表示同步练习1.1.2集合间的基本关系同步练习1.1.3集合的基本运算同步练习1.2.1函数的概念同步练习1.3.1单调性与最大（小）值同步练习1.3.2奇偶性同步练习2.0基本初等函数同步练习2.1.1指数与指数幂的运算同步练习2.1.2指数函数及其性质同步练习2.2.1对数与对数的运算同步练习2.3幂函数同步练习3.1.1方程的根与函数的零点同步练习3.1.2用二分法求方程的近似解同步练习3.2.1几类不同增长的函数模型同步练习3.2.2函数模型的应用实例同步练习1．1．1集合的含义与表示 同步练习一、选择题1、给出下列表述：1）联合国常任理事国2的实数的全体；3）方程210x x +-= 的实数根4）全国著名的高等院校。
以上能构成集合的是（ ）A 、1）3）B 、1）2）C 、1）3）4）D 、1）2）3）4）2、集合{21,1,2x x --}中的x 不能取得值是（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、53、下列集合中表示同一集合的是（ ） A 、{(3,2)},{(2,3)}M N == B 、{1,2},{(1,2)}M N ==C 、{(,)|1},{|1}M x y x y N y x y =+==+=D 、{3,2},{2,3}M N ==4、下列语句：（1）0与{0}表示同一个集合（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程0)2()1(22=--x x 的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合}54{<<x x 是有限集，正确的是（ ）A 、只有（1）和（4）B 、只有（2）和（3）C 、只有（2）D 、以上语句都不对5、如果3x y ==+，集合{|,}M m m a a b Q ==+∈，则有（ ）A 、x M y M ∈∈且B 、x M y M ∉∈且C 、x M y M ∈∉且D 、x M y M ∉∉且 6、集合A={xZk k x ∈=,2} B={Zk k x x ∈+=,12} C={Zk k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有（ ）A 、（a+b ）∈ AB 、(a+b) ∈BC 、(a+b) ∈ CD 、 (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 7、下列各式中，正确的是（ ） A 、-2{2}x x ∈≤ B 、{12<>x x x 且}C 、{Z k k x x ∈±=,14}},12{Z k k x x ∈+=≠ D 、{Zk k x x ∈+=,13}={Zk k x x ∈-=,23}二、填空题8、由小于10的所有质数组成的集合是 。
人教版高一数学A必修1全册例题讲解及练习题(65页)
（i）若 a = 0 时，得 N = Æ ，此时， N Í M ；
（ii）若 a ¹ 0 时，得 N
1 ={ }.
若N
ÍM
,满足 1
= 2或 1
= -3 ，解得 a =
1 或a = - 1 .
a
a
a
2
3
故所求实数 a 的值为 0 或 1 或 - 1 . 23
点评：在考察“ A Í B ”这一关系时，不要忘记“ Æ ” ，因为 A = Æ 时存在 A Í B . 从而需要分情况讨
第 1～27 练 答案 …………………………（55～65）
《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲
第一章 集合与函数概念
第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示
¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用 数集及其记法、集合元素的三个特征.
A ¹Ì B（或 B ¹É A）.
4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作 Æ ，并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质： A Í A ；若 A Í B ， B Í C ，则 A Í C ；
若 A I B = A ，则 A Í B ；若 A U B = A ，则 B Í A .
={x |
x
=
2n +1,n 2
Î Z} ，易知
B ¹Ì
A，故答案选
A．
{ } 【例 3】若集合 M = x | x2 + x - 6 = 0 , N = {x | ax - 1 = 0} ，且 N Í M ，求实数 a 的值.
《1.3.1函数的单调性(1)》同步练习2
《1.3.1函数的单调性（1）》同步练习2一、选择题1．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( ) A ．f (x 1)＜f (x 2) B ．f (x 1)＞f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2) D ．不能确定[答案] D2．下列函数在区间[0，＋∞)上是增函数的是( ) ①y ＝2x ②y ＝x 2＋2x －1 ③y ＝|x ＋2| ④y ＝|x |＋2 A ．①② B ．①③ C ．②③④ D ．①②③④[答案] D3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x ＜0在R 上是( )A ．减函数B ．增函数C ．先减后增D ．无单调性[答案] B4．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等实数a ，b ，总有f a －f b a －b＞0成立，则必有( )[来源:学.科.网] A ．函数f (x )是先增加后减少 B ．函数f (x )是衔减少后增加 C ．f (x )在R 上是增函数 D ．f (x )在R 上是减函数[答案] C5．已知函数f (x )＝2x 2－ax －1，在[－1，2]上单调，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－4，8] B ．(－∞，－4]C ．[8，＋∞]D ．(－∞，－4]∪[8，＋∞)[答案] D[解析] 由已知得二次函数f (x )＝2x 2－ax －1的对称轴为x ＝a4，若在[－1，2]上单调则满足：a 4≤ －1或a4≥2，∴a ≤－4或9≥8，故选D .6．(2013～2014南阳市一中月考试题)若在[1，＋∞)上函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝ax 都单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0B ．a ＞1C ．0≤a ≤1D ．0＜a ＜1[答案] D[解析] 由于两函数在(1，＋∞)上递减应满足⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0a ＞0∴0＜a ＜1.故选D .二、填空题7．写出下列函数的单调区间． (1)y ＝|x |＋1________________. (2)y ＝－x 2＋ax ________________. (3)y ＝|2x －1|________________. (4)y ＝－1x ＋2________________.[答案] (1)增区间[0，＋∞)，减区间(－∞，0]；(2)增区间(－∞，a 2]，减区间[a2，＋∞)；(3)增区间[12，＋∞)，减区间(－∞，12]；(4)增区间 (－∞，－2)和(－2，＋∞)，无减区间．8．若函数y ＝－2x 2＋mx －3在[－1，＋∞)上为减函数，则m 的取值范围是________． [答案] m ≤－4[解析] 由条件知－m2×－2≤－1，∴m ≤－4.9．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．[答案] f (a 2－a ＋1)≤f (34)[解析] ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34>0，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f(34)． 三、解答题10．证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．[证明] 设x 1，x 2是区间[2，＋∞)上的任意两个实数，且x 2＞x 1≥2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1－1)－(x 22－4x 2－1)＝x 21－x 22－4x 1＋4x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－4(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)．∵x 2＞x 1≥2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞4， 即x 1＋x 2－4＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2b －1x ＋b －1，x ＞0－x 2＋2－b x ，x ≤0在R 上为增函数，求实数b 的取值范围．[分析] 分别考虑两个分段解析式的单调性→再根据整体的单调性求b 的取值范围 [来源:学科网][解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b －1＞02－b ≥0b －1≥f 0，解得1≤b ≤2①[注释] ①本题在列不等式组时很容易忽略b －1≥f (0)，即只考虑到了分段函数在各自定义域上的单调性，忽略了f (x )在整个定义域上的单调性．[方法探究] 解决此类问题，一般要从两个方面思考：一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面要考虑端点处的衔接情况，由此列出另一部分的式子．12．(能力拔高题)(1)写出函数y ＝x 2－2x 的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(2)写出函数y ＝|x |的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(3)定义在[－4，8]上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，y ＝f (x )的部分图象如图所示，请补全函数y ＝f (x )的图象，并写出其单调区间，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(4)由以上你发现了什么结论？(不需要证明)[解析] (1)函数y ＝x 2－2x 的单调递减区间是(－∞，1]，单调递增区间是[1，＋∞)；其图象的对称轴是直线x ＝1；区间(－∞，1]和区间[1，＋∞)关于直线x ＝1对称，函数y ＝x 2－2x 在对称轴两侧的单调性相反．(2)函数y ＝|x |的单调减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)，图象关于直线x ＝0对称，在其两侧单调性相反．.(3)函数y ＝f (x )，x ∈[－4，8]的图象如图所示．函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，[2，5]；单调递减区间是[5，8]，[－1，2]；区间 [－4，－1]和区间[5，8]关于直线x＝2对称．区间[－1，2]和区间[2，5]关于直线x ＝2对称，函数y＝f(x)在对称轴两侧的对称区间内的单调性相反．(4)发现结论：如果函数y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称，那么函数y＝f(x)在直线x＝m两侧对称区间内的单调性相反．。
人教A版高一数学必修1课后习题及答案(全部三章)
高中数学必修1课后习题答案 第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ； （2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ； （3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ． 1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-． （4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-； （2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <． 人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ； 取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ； 取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =； （3）∅______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=． 2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅； （4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以AB ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+， 即B 是A 的真子集，BA ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =． 人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}AB ==．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B ．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=， 方程210x -=的两根为121,1x x =-=， 得{1,5},{1,1}A B =-=-， 即{1},{1,1,5}AB A B =-=-．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形，{|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形．4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==， 求(),()()U U U AB A B 痧?． 4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{1,3,6,7}U A =ð， 则(){2,4}U AB =ð，()(){6}U U A B =痧． 人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ； （2）23______N ； （3）π_______Q ；（4_______R ； （5Z ； （6）2_______N ．1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数； （4R 是实数；（5Z3=是个整数； （6）2N ∈ 2)5=是个自然数．2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空： （1）5_______A ； （2）7_______A ； （3）10-_______A ．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-； 3．用列举法表示下列给定的集合： （1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=； （3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求； （3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求． 4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合； （3）不等式342x x ≥-的解集．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ； （2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ； （3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形； {|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形． 5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； BA ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥； （2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-； （3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,AB A B ．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥， 则{|2}AB x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B ，AC ，()A B C ，()A B C ．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数， 则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =， 而{1,2,3,4,5,6}B C =，{3}B C =， 则(){1,2,3,4,5,6}AB C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定， 并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ． 8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项， 即为()A B C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学； （2）{|}AC x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形，{|}C x x =是矩形，求BC ，A B ð，S A ð．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð， {|}S A x x =是梯形ð．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R AB ð，()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð．10．解：{|210}AB x x =<<，{|37}A B x x =≤<，{|3,7}R A x x x =<≥或ð，{|2,10}R B x x x =≤≥或ð， 得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或ð， (){|3,7}R A B x x x =<≥或ð， (){|23,710}R A B x x x =<<≤<或ð，(){|2,3710}R AB x x x x =≤≤<≥或或ð．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =，则集合B 有 个．1．4 集合B 满足AB A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得DC ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==， 当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅；当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B ==； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}AB A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},AB a A B ==∅．4．已知全集{|010}U AB x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =ð，试求集合B ． 4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =，得U B A ⊆ð，即()U UAB B =痧，而(){1,3,5,7}U A B =ð， 得{1,3,5,7}U B =ð，而()U UB B =痧，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+； （2）()1f x =．1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-，得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值； （2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=， 同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+， 同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-， 则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-； （2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >； （2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠． 人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ， 面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数． 1，y ==050x <<，即(050)y x =<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事． （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 3．画出函数|2|y x =-的图象．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，4．设中元素60相对应与A的B 中的元素是什么？与B相对应的A 中元素是什么？（A ）（B ）（C ）（D ）4．解：因为3sin 60=，所以与A 中元素60相对应的B因为2sin 45=，所以与B 相对应的A 中元素是45． 人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．2函数及其表示 习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域：（1）3()4xf x x =-； （2）()f x =（3）26()32f x x x =-+； （4）()f x =． 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠， 得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，()f x =即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠， 得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且． 2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？（1）2()1,()1x f x x g x x=-=-； （2）24(),()f x x g x ==；（3）2(),()f x x g x =．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()g x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（32x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域． （1）3y x =； （2）8y x=； （3）45y x =-+； （4）267y x x =-+． 3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞； （2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．已知函数2()352f x x x =-+，求(f ，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(3(5(28f =⨯-⨯+=+即(8f =+同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++， 即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++， 即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+， 即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．已知函数2()6x f x x +=-， （1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？ （2）当4x =时，求()f x 的值； （3）当()2f x =时，求x 的值．5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上； （2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =．6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值． 6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根， 即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=， 即(1)f -的值为8．7．画出下列函数的图象： （1）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩； （2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈．7．图象如下：8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d ，即d =(0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x=+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得(0)l d ===>，即(0)l d =>．9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域． 9．解：依题意，有2()2d x vt π=，即24vx t d π=， 显然0x h ≤≤，即240vt h d π≤≤，得204h d t v π≤≤， 得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？ 并将它们分别表示出来．10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．函数()r f p =的图象如图所示． （1）函数()r f p =的定义域是什么？ （2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？ 1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-； （2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象．（1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象上？（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=． 当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．请将t 表示为x 的函数． （2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？4．解：（112x -，得1235xt -=+，(012)x ≤≤，即1235xt -=+，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，12483()355t h -=+=+≈．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，3．解：该函数在[1,0]在[4,5]上是增函数．4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 . 5．最小值．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．判断下列函数的奇偶性：（1）42()23f x x x =+； （2）3()2f x x x =-（3）21()x f x x+=； （4）2()1f x x =+.1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间 上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--； （2）29y x =-.1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.函数在2.证明：（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数； （2）函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数， 令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x 的图象，并求出函数的解析式.6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-， 得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间； （2）求()f x ，()g x 的最小值. 1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =， 则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-， 因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案复习参考题A 组1．用列举法表示下列集合： （1）2{|9}A x x ==； （2）{|12}B x N x =∈≤≤； （3）2{|320}C x x x =-+=.1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ （1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点； （2）{|3}P PO cm =()O 是定点.2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是什么.3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值. 4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==， 当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =； 当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=， 得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求AB ，A C ，()()AB BC .5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y AC x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭；则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6.求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7.已知函数1()1xf x x-=+，求： （1）()1(1)f a a +≠-； （2）(1)(2)f a a +≠-.7．解：（1）因为1()1xf x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8.设221()1x f x x+=-，求证： （1）()()f x f x -=； （2）1()()f f x x=-.8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---， 即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---，即1()()f f x x=-.9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围. 9．解：该二次函数的对称轴为8k x =， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？ （2）它的图象具有怎样的对称性？ （3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？ （4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？ 10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =， 只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围. 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}U A B =ð，(){2,4}U A B =ð，求集合B .3．解：由(){1,3}U A B =ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ð，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =. 4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=； (1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5.证明：（1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？ （2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？ 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算： 某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章 基本初等函数（I ） 2．1指数函数 练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32,(4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a814121-+=a 85; (4)2x31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-. 练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623ba ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m ∙∙∙=4165413121mm m m m ∙∙=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b 31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462rts -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ; (6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R . (3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值； 因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值； 因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值； 因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n . (2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n . 点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35.点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ), 2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x .所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数 练习（P64）1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）21log 12=-； （4）2711log 33=-2.（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =； （2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-； （3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =； （4）设lg 0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-；4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5.练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z=-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）22211lglg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-.4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞； （4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x =(5) 100.3x = (6) xe =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+; (4)3lg lg3lg 22b a =-=-5. (1)x ab =; (2) mx n=; (3) 3n x m =; (4)x c =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x+=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4.8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >. 9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭。
高一数学 必修一 第一章 1.3 1.3.1 第一课时 函数的单调性
3．已知函数y＝f(x)的图象，如图所示．
试写出函数y＝f(x)的单调区间．
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解：观察图象可知，函数y＝f(x)的图象在区间[－2,1] 和[4,6]上均是上升的，在区间[1,4]上是下降的，所以 函数y＝f(x)的单调递增区间是[－2,1]，[4,6]，单调递 减区间是[1,4]．
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4．求下列函数的单调区间． (1)y＝5x； (2)y＝x2－2x－3； (3)y＝3|x|.
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6．若 y＝(2k－1)x＋b 是 R 上的减函数，则有 ( )
A．k>12
B．k>－12
C．k<12
D．k<－12
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解析：若 y＝(2k－1)x＋b 是 R 上的减函数，则必有 2k－1<0，∴k<12. 答案：C
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7．函数 y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则 f(34)与
f(a2－a＋1)的大小关系为 f(34)______f(a2－a＋1)．
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观察下列函数图象：
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问题1：该函数f(x)的定义域是什么？ 提示：[－3,5]． 问题2：该函数f(x)的最高点和最低点的纵坐标分别 是多少？ 提示：2，－1.5. 问题3：函数y＝f(x)的值域是什么？ 提示：f(x)∈[－1.5,2]．
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函数的最大值与最小值
条件
结论
(1)对于任意的x∈I，都有 设函数y＝
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解：(1)函数的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞). (2)函数 y＝x2－2x－3 的对称轴方程是 x＝1，并且图像开口向 上，所以其单调减区间是(－∞，1]，单调增区间是[1，＋∞)． (3)f(x)＝3|x|＝3－x，3x，x≥x0<，0. 由一次函数的单调性可得：f(x)的单调减区间是(－∞，0)，单 调增区间是[0，＋∞)．
第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数
答案:(0,2)
-3-
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【做一做 1-2】
下列区间中,函数
f(x)
=
1+ln ������
������
在其上是单调递增
的是 ( )
A.(0,1) C.(1,e)
B.(0,e)
的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)≥0;若 f'(x)<0,说明f(x)在区间(a,b)内是减函数,只需将所给的区间的右端 点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(b)≥0.
例如:求证:当x>0时,ex>x+1. 证明:令f(x)=ex-(x+1),则f'(x)=ex-1. 因为x>0,所以f'(x)>0,即函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以 f(x)>f(0)=0,故ex>x+1.
试画出函数y=f(x)的大致图象.
分析:根据函数y=f(x)在某个区间上导数f'(x)的符号,可以得到函
数y=f(x)的单调性,即函数y=f(x)图象的“上升下降”趋势,从而画出函
数y=f(x)的大致图象.
-12-
题型一
题型二
题型三
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知识梳理
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典例透析
解:由①②③可知函数 y=f(x)在区间(-∞,-1)和
重难聚焦
典例透析
2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函 数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.
函数及其基本性质-人教A版高中数学必修1课时训练(含答案)
1.2.1函数的概念双基达标 (限时20分钟)1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( )． A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y解析 对A ，由x ＝y 2＋1，得y ＝±x －1，即当给定一个自变量值(如x ＝4)，有两个y 值与之对应，不符合函数定义． 答案 A2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( )． A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1}解析 由⎩⎨⎧1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1，故选D.答案 D3．与y ＝|x |为相等函数的是( )． A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝⎩⎨⎧x (x >0)－x (x <0)D ．y ＝3x 3解析 对A ，定义域不同；对C ，定义域不同；对D ，值域不同． 答案 B4．给出下列函数：①y ＝x 2－x ＋2，x >0；②y ＝x 2－x ，x ∈R ；③y ＝t 2－t ＋2，t ∈R ；④y ＝t 2－t ＋2，t >0.其中与函数y ＝x 2－x ＋2，x ∈R 是相等函数的是________．解析 对①④定义域不同；对②，对应关系不同，对③，虽然表示自变量的字母不同，但函数三要素相同，故③与该函数是相等函数． 答案 ③5．如果函数f ：A →B ，其中A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a ∈A ，在B 中都有唯一确定的|a |和它对应，则函数的值域为________．解析 由题意知，对a ∈A ，|a |∈B ， 故函数值域为{1,2,3,4}． 答案 {1,2,3,4}6．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋5，f (a )＝10，求a 的值． 解 由f (a )＝10，得a 2－4a ＋5＝10， 即a 2－4a －5＝0， ∴(a －5)(a ＋1)＝0， ∴a ＝5或a ＝－1.综合提高 (限时25分钟)7．下列各组函数表示相等函数的是( )． A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析 A 中两函数定义域不同，B 、D 中两函数对应关系不同，C 中定义域与对应关系都相同． 答案 C8．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )．A ．1B ．－1 C.35 D ．－35解析 ∵f (2)＝22－122＋1＝35，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝－35，∴f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－1.答案 B 9．y ＝x ＋4x ＋2的定义域为________．解析 依题意知⎩⎨⎧x ＋4≥0，x ≠－2，∴x ≥－4且x ≠－2.答案 {x |x ≥－4且x ≠－2}10．集合{x |－1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________． 解析 结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]． 答案 [－1,0)∪(1,2] 11．求函数y ＝x ＋26－2x －1的定义域，并用区间表示．解 要使函数式有意义，需满足⎩⎨⎧x ＋2≥06－2x ≥06－2x ≠1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2x ≤3x ≠52⇔－2≤x ≤3，且x ≠52.∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2≤x ≤3，且x ≠52.用区间表示为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，52∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，3.12．(创新拓展)若函数f (x )的定义域为[－2,1]，求g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域． 解 要使g (x )有意义，必须有 ⎩⎨⎧ －2≤x ≤1，－2≤－x ≤1，即⎩⎨⎧－2≤x ≤1，－1≤x ≤2， ∴－1≤x ≤1，∴g (x )的定义域为[－1,1]．1.2.2函数的表示法双基达标 (限时20分钟)1．若g (x ＋2)＝2x ＋3，g (3)的值是( )． A ．9 B ．7 C ．5 D ．3解析 令x ＋2＝3，则x ＝1，∴g (3)＝2×1＋3＝5. 答案 C2．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为( )．A．y＝12x B．y＝24xC．y＝28x D．y＝216x解析正方形的对角线长为24x，从而外接圆半径为y＝12×24x＝28x.答案 C3．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是()．解析对C，当x＝0时，有两个不同的值与之对应，不符合函数概念，故C不可能作为函数图象．答案 C4．已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，则a的值为________．解析∵f(2x＋1)＝3x－2＝32(2x＋1)－72，∴f(x)＝32x－72，∴f(a)＝4，即32a－72＝4，∴a＝5.答案 55．已知f(x)与g(x)分别由下表给出那么f(g(3))＝________.解析∵g(3)＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝1. 答案 16．已知函数f (x )是二次函数，且它的图象过点(0,2)，f (3)＝14，f (－2)＝8＋52，求f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则由题意，得⎩⎨⎧c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝14，2a －2b ＋c ＝8＋52，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝3，b ＝－5.所以f (x )＝3x 2－5x ＋2.综合提高 (限时25分钟)7．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( )． A.B.C.D.解析 A 中，当x ＝0时，y ＝0或y ＝－1；D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x ＝1∈N (Z ，Q )，故y 的值不唯一，故A 、B 、D 均不正确． 答案 C8．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( )． A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝3x ＋1 C ．f (x )＝3x －1 D ．f (x )＝3x ＋4 解析 令x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1，∴f (x )＝3x －1. 答案 C9．下列图形中，可以是函数y ＝f (x )图象的是________．答案：①②③10．若f (2x )＝4x 2＋1，则f (x )的解析式为________． 解析 f (2x )＝4x 2＋1＝(2x )2＋1，∴f (x )＝x 2＋1. 答案 f (x )＝x 2＋111．作出下列函数的图象：(1)f (x )＝x ＋x 0；(2)f (x )＝1－x (x ∈Z ，且－2≤x ≤2)． 解 (1)如图1 (2)如图212．(创新拓展)已知函数f (x )对任意实数a 、b ，都有f (ab )＝f (a )＋f (b )成立． (1)求f (0)与f (1)的值； (2)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )；(3)若f (2)＝p ，f (3)＝q (p ，q 均为常数)，求f (36)的值． (1)解 令a ＝b ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，解得f (0)＝0； 令a ＝1，b ＝0，得f (0)＝f (1)＋f (0)，解得f (1)＝0. (2)证明 令a ＝1x ，b ＝x ，得f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )． (3)解 令a ＝b ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2p ， 令a ＝b ＝3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2q . 令a ＝4，b ＝9，得f (36)＝f (4)＋f (9)＝2p ＋2q .1.2.2分段函数与映射双基达标 (限时20分钟)1．下列对应不是映射的是( )．解析 应满足一对一或多对一，且M 中元素无剩余． 答案 D2．以下几个论断：①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射； ②函数y ＝x －1，x ∈Z 且x ∈(－3,3]的图象是一条线段； ③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； ④若D 1、D 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D 1∩D 2＝∅.其中正确的论断有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 函数是特殊的映射，由此知①正确；②中的定义域为{－2，－1，0,1,2,3}，它的图象是直线y ＝x －1上的六个孤立的点，因此②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确． 答案 C3．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧b (a ≥b )，a (a <b )，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是( )．A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)解析 由题意知f (x )＝⎩⎨⎧2－x (x ≥1)，x (x <1)，当x ≥1时，2－x ≤1；当x <1时，x <1，∴f (x )∈(－∞，1]． 答案 A4．下列图形是函数y ＝⎩⎨⎧x 2， x <0x －1，x ≥0的图象的是________．解析 由于f (0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x <0时，y ＝x 2，则函数是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分．因此只有图形③符合． 答案 ③5．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x <0，x 2，x ≥0，若f (x )＝16，则x 的值为________．解析 当x <0时，2x ＝16，无解；当x ≥0时，x 2＝16，解得x ＝4. 答案 46．作出函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(0<x <1)，x (x ≥1)的图象，并求其值域．解 当0<x <1时，y ＝1x 的图象是反比例函数图象的一部分． 当x ≥1时，图象为直线y ＝x 的一部分． 如图所示，由此可知，值域y ∈[1，＋∞)．综合提高 (限时25分钟)7．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )．解析 f (x )＝|x －1|＝⎩⎨⎧x －1 (x ≥1)，1－x (x <1)，其图象为B.答案 B8．设集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，则下列的对应不表示从P 到Q 的映射的是( )．A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x解析 判断是否是映射，只需判断集合P 中任何一个元素能否在集合Q 中找到唯一确定的元素与它对应．由于是选择题，可直接找出不是映射的对应．通过对比发现，在对应关系f ：x →y ＝23x 的作用下，4×23＝83>2.故选C. 答案 C9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2 (x ≤2)，2x (x >2)，若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析 当x >2时，有2x 0＝8，得x 0＝4；当x ≤2时，有x 20＋2＝8，得x 0＝－6或6(舍去)． 综上x 0＝4或x 0＝－ 6. 答案 4或－ 610．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，点(x ，y )在映射f ：A →B 的作用下对应的点是(x －y ，x ＋y )，则B 中点(3,2)对应的A 中点的坐标为________． 解析 由⎩⎨⎧x －y ＝3，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12，即对应点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12 11．已知f (x )＝⎩⎨⎧x (x ＋4) (x ≥0)，x (x －4) (x <0)，若f (1)＋f (a ＋1)＝5，求a 的值．解 f (1)＝1×(1＋4)＝5， ∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0.当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)，当a ＋1<0，即a <－1时，有(a ＋1)(a －3)＝0，无解． 综上可知a ＝－1.12．(创新拓展)在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v (公里/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数)． 解 根据题意可得d ＝k v 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝k v 2S 中，解得k ＝12 500.∴d ＝12 500v 2S .当d ＝S2时，可解得v ＝25 2. ∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2 (0≤v <252)12 500v 2S (v ≥252)1.3.1函数的单调性双基达标 (限时20分钟)1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( )． A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)解析 画出y ＝－x 2在R 上的图象，可知函数在[0，＋∞)上递减．答案 A2．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )． A ．函数f (x )先增后减 B ．函数f (x )先减后增 C ．函数f (x )是R 上的增函数 D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析 由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数． 答案 C3．下列说法中正确的有( )．①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数； ④y ＝1x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x <0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5而f (－3)>f (5)；④y ＝1x 的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法． 答案 A4．函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m 的取值范围是________．解析 二次函数f (x )的对称轴是直线x ＝m4，又二次函数在对称轴的两侧的单调性相反，则m 4≤1或m4≥4，即m ≤4或m ≥16.答案 (－∞，4]∪[16，＋∞)5．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为________． 解析 y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎨⎧－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0)，作出其图象如图，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，326．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)<f (1－3x )，求x 的取值范围．解由题意可得⎩⎨⎧－1≤x －1≤1，－1≤1－3x ≤1，x －1<1－3x ，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤x ≤23，x <12，∴0≤x <12.综合提高 (限时25分钟)7．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )． A ．必是增函数 B ．必是减函数 C ．是增函数或减函数 D ．无法确定单调性解析 函数在区间(a ，b )∪(b ，c )上无法确定单调性．如y ＝－1x 在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性． 答案 D8．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析 因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3. 答案 C9．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．解析 由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，即－1≤x <12.答案 －1≤x <1210．已知函数y ＝8x 2＋ax ＋5在[1，＋∞)上递增，那么a 的取值范围是________． 解析 函数y ＝8x 2＋ax ＋5的对称轴为－a 16.结合函数图象知－a16≤1，即a ≥－16.答案 a ≥－1611．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，求实数a 的取值范围． 解 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和(a ，＋∞)上分别单调，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上单调，只需a ≤1或a ≥2(其中当a ≤1时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递增；当a ≥2时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递减)，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)． 12．(创新拓展)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；(2)试证明函数y ＝f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数． (1)解 ∵f (1)＝0，f (3)＝0，∴⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3. (2)证明 ∵f (x )＝x 2－4x ＋3， ∴设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1<x 2，由f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 22＋4x 2＋3) ＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)，∵x 1－x 2<0，x 1>2，x 2>2， ∴x 1＋x 2－4>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴函数y ＝f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．1.3.1函数的最值双基达标 (限时20分钟)1．函数y ＝f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )．A ．f (－2)，0B ．0,2C ．f (－2)，2D ．f (2)，2解析 由函数最值的几何意义知，当x ＝－2时，有最小值f (－2)；当x ＝1时，有最大值2. 答案 C2．函数y ＝1x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )．A.14 B ．－1 C ．4 D ．－4解析 显然y ＝x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增，故y ＝1x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递减，∴y max ＝4.答案 C3．函数f (x )＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为( )． A ．42,12 B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值为－14 解析 ∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－14，x ∈(－5,5)，∴当x ＝－32时，f (x )有最小值－14，f (x )无最大值． 答案 D4．函数y ＝2x 2＋1，x ∈N *的最小值为________． 解析 ∵x ∈N *，∴y ＝2x 2＋1≥3. 答案 35．若函数y ＝kx (k >0)在[2,4]上的最小值为5，则k 的值为________．解析 因为k >0，所以函数y ＝k x 在[2,4]上是减函数，所以当x ＝4时，y ＝k4最小，由题意知，k4＝5，k ＝20. 答案 206．画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间，函数最小值．解 f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.综合提高 (限时25分钟)7．函数y ＝2x 在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( )．A ．1，12 B.12，1 C.12，14 D.14，12解析 y ＝2x 在[2,4]上是减函数，∴y max ＝1，y min ＝12. 答案 A 8．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( )．A.45B.54C.34D.43 解析 f (x )＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≤43.答案 D9．已知函数y *f (x )是(0，＋∞)上的减函数，则f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是________．解析 ∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数 ∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34答案 f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3410．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知，f (x )在[1，a ]内是单调递减的，又∵f (x )的单调减区间为(－∞，3]，∴1<a ≤3. 答案 (1,3]11．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费60元． (1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 (1)租金增加了900元．所以未出租的车有15辆，一共出租了85辆．(2)设租金提高后有x 辆未租出，则已租出(100－x )辆，租车公司的月收益为y 元． y ＝(3 000＋60x )(100－x )－160(100－x )－60x ， 其中x ∈[0,100]，x ∈N ，整理得：y ＝－60x 2＋3 100x ＋284 000 ＝－60⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15562＋972 1253，当x ＝26时，y max ＝324 040，此时，月租金为：3 000＋60×26＝4 560元．即当每辆车的月租金为4 560元时，租车公司的月收益最大，为324 040元． 12．(创新拓展)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， ∵x ∈[－5,5]，故当x ＝1时，f (x )的最小值为1. 当x ＝－5时，f (x )的最大值为37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴方程为x ＝－a . ∵f (x )在[－5,5]上是单调的，故－a ≤－5，或－a ≥5. 即实数a 的取值范围是a ≤－5，或a ≥5.1.3.2函数奇偶性的概念双基达标 (限时20分钟)1．已知y ＝f (x )是偶函数，且f (4)＝5，那么f (4)＋f (－4)的值为( )． A ．5 B ．10 C ．8 D ．不确定解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－4)＝f (4)＝5， ∴f (4)＋f (－4)＝10. 答案 B2．对于定义域是R 的任意奇函数y ＝f (x )，都有( )．A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>0解析对任意奇函数f(x)，有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故选C.答案 C3．已知函数f(x)＝1x2(x≠0)，则这个函数()．A．是奇函数B．既是奇函数又是偶函数C．是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数解析∵x≠0，∴f(－x)＝1(－x)2＝1x2＝f(x)，∴f(x)是偶函数．答案 C4．已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝________.解析函数y＝f(x)为奇函数，故f(－x)＝－f(x)，则f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝1.答案 15．如果定义在区间[2－a,4]上的函数y＝f(x)为偶函数，那么a＝________.解析因为奇偶函数的前提是定义域必须关于原点对称，所以2－a＝－4，∴a ＝6.答案 66．如图是偶函数y＝f(x)在x≥0时的图象，请作出y＝f(x)在x<0时的图象．解偶函数的图象关于y轴对称，由对称性可以作出函数y＝f(x)在x<0时的图象，如图中y轴左边的部分．综合提高 (限时25分钟)7．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析 ∵f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．即(－x ＋1)(－x －a )＝(x ＋1)(x －a )， ∴x ·(a －1)＝x ·(1－a )， 故1－a ＝0，∴a ＝1，故选C. 答案 C8．奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必定经过点( )． A ．(a ，f (－a ))B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a )) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a解析 ∵y ＝f (x )是奇函数， ∴f (－a )＝－f (a )．∴选C. 答案 C9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a 的值为________．解析 ∵偶函数的定义域关于原点对称， ∴a －1＝－2a ，a ＝13. 答案 1310．若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)、f (1)、f (－2)从小到大的顺序是________．解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )恒成立， 即(m －1)x 2－6mx ＋2＝(m －1)x 2＋6mx ＋2恒成立． 所以m ＝0，即f (x )＝－x 2＋2.因为f (x )的图象开口向下，对称轴为y 轴， 所以f (2)<f (1)<f (0)，即f (－2)<f (1)<f (0)． 答案 f (－2)<f (1)<f (0) 11．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2x －1＋1－2x ； (2)f (x )＝x 4＋x ；(3)f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋2－x 2－2(x >0)，(x ＝0)，(x <0)；(4)f (x )＝x 3－x 2x －1.解(1)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，不关于原点对称．该函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)定义域为R ，关于原点对称，f (1)＝2，f (－1)＝0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，故其既不是奇函数也不是偶函数． (3)定义域为R ，关于原点对称． 当x >0时，－x <0，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )； 当x ＝0时，f (0)＝0.故该函数为奇函数．(4)函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，不关于原点对称． 所以函数f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数．12．(创新拓展)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，求f (6)的值． 解 ∵f (x ＋2)＝－f (x )．∴f (6)＝f (4＋2)＝－f (4)＝－f (2＋2) ＝f (2)＝f (0＋2)＝－f (0)． ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(6)＝0.1.3.2函数奇偶性的应用双基达标(限时20分钟)1．若点(－1,3)在奇函数y＝f(x)的图象上，则f(1)等于()．A．0 B．－1 C．3 D．－3解析由题知，f(－1)＝3，因为f(x)为奇函数，所以－f(1)＝3，f(1)＝－3.答案 D2．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是()．A．0 B．1 C．2 D．4解析∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称．若y轴右侧的两根为x1，x2，则y轴左侧的两根为－x1，－x2，∴四根和为0.答案 A3．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点，③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)＝0.其中正确命题的个数为()．A．1 B．2 C．3 D．4解析偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如y＝1x2，故①错，③对；奇函数的图象不一定通过原点，如y＝1x，故②错；既奇又偶的函数除了满足f(x)＝0，还要满足定义域关于原点对称，④错．故选A.答案 A4．已知函数y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 解析设x<0，则－x>0，f(－x)＝－x＋1，又函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－－x －1.因此，当x <0时，f (x )的解析式为f (x )＝－－x －1. 答案 －－x －15．若函数f (x )＝－x ＋abx ＋1为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为________．解析 f (x )为[－1,1]上的奇函数，且在x ＝0处有定义，所以f (0)＝0，故a ＝0，则f (x )＝－x bx ＋1.又f (－1)＝－f (1)，所以－－1－b ＋1＝1b ＋1，故b ＝0，于是f (x )＝－x .函数f (x )＝－x 在区间[－1,1]上为减函数，当x 取区间左端点的值时，函数取得最大值1. 答案 16．已知函数f (x )＝ax ＋b1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，求函数f (x )的解析式．解 ∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f (0)＝0，即b1＋02＝0， ∴b ＝0， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12a1＋14＝25，∴a ＝1， ∴f (x )＝x 1＋x 2. 综合提高 (限时25分钟)7．函数y ＝1－x 2＋91＋|x |是( )． A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析 先求定义域，由⎩⎨⎧1－x 2≥01＋|x |≠0⇒－1≤x ≤1.∴定义域为[－1,1]．定义域关于原点对称． 又f (－x )＝1－(－x )2＋91＋|－x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 答案 B8．设偶函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )． A ．f (π)>f (－3)>f (－2) B ．f (π)>f (－2)>f (－3) C ．f (π)<f (－3)<f (－2) D ．f (π)<f (－2)<f (－3)解析 因为当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，所以有f (2)<f (3)<f (π)．又f (x )是R 上的偶函数，故f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，从而有f (－2)<f (－3)<f (π)． 答案 A9．函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且它是减函数，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b )>0，则a ＋b ________0(填“>”“<”或“＝”)． 解析 由f (a )＋f (b )>0，得f (a )＞－f (b ) ∵f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )． ∴f (a )>f (－b )，又f (x )为减函数， ∴a <－b ，即a ＋b <0. 答案 <10．若y ＝f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f (－2)＝0，则不等式x ·f (x )<0的解集为________． 解析 根据题意画出f (x )大致图象：由图象可知－2<x <0或0<x <2时，x ·f (x )<0. 答案 (－2,0)∪(0,2)11．已知奇函数y ＝f (x )在[－1,1]上为增函数，解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)>0.解 ∵f (x )为奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2>f (1－x )．又∵f (x )为定义在[－1,1]上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x2≤1，－1≤1－x ≤1，x 2>1－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，0≤x ≤2，x >23.即23<x ≤2.∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23<x ≤2.12．(创新拓展)已知y ＝f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2. (1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象，并指出f (x )的单调区间． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2－2x ＋2＝－x 2－2x ＋2， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x 2＋2x －2，又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －2－x 2＋2x ＋2(x <0)，(x ＝0)，(x >0).(2)先画出y ＝f (x )(x >0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f (x )(x <0)的图象，其图象如图所示．由图可知，其增区间为(－1,0)及(0,1]，减区间为(－∞，－1]及(1，＋∞)．。
人教A版必修一第一章1.3.1 第1课时单调性与最大(小)值
k≠0)与一次函数(y＝ kx＋b，k≠0)
k＜0
无
R
反比例函数 (y＝kx，k≠0)
k＞0
无
k＜0 (－∞，0)和 (0，＋∞)
(－∞，0)和 (0，＋∞)
无
二次函数 (y＝ax2＋bx＋c，
a≠0)
a＞0 a＜0
[－2ba，＋∞) (－∞，－2ba]
(－∞，－2ba] [－2ba，＋∞)
• 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，
• 『规律方法』 利用函数的单调性解函数值的不等式就是 利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转
化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件， 以防出错．
• 〔跟踪练习3〕 • 已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求
实数t的取值范围．
[解析] ∵g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)， ∴t>1－2t，∴t>13，即所求t的取值范围为(13，＋∞)．
• 『规律方法』 1.函数单调性的证明方法——定义法 • 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
• 2．用定义证明函数单调性时，作差f(x1)－f(x2)后，若f(x)为 多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f(x)是 分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f(x)解析式是 根式，则先“分子有理化”再分解因式．
(2)设x1>x2>－1， 则x1－x2>0，x1＋1>0， x2＋1>0， y1－y2＝x12＋x11－x22＋x21 ＝x12＋x11－xx2＋2 1>0， ∴y1>y2， ∴函数y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．
1.3.1(1)函数的单调性知识点及 例题解析
函数的单调性知识点及例题解析知识点一：基本概念（增减函数、增减区间、最大最小值）知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）（1） 定义法（基本法）；①取值：任取，且；②作差：；③变形：通常是因式分解或配方；④定号：即判断差的正负；⑤下结论：即指出函数在给定区间上的单调性.（2） 利用已知函数的单调性；（现所知道的一次函数，一元二次函数，反比例函数，能够画出图像的函数）（3）利用函数的图像；，，.（4） 依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法；①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；②一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；如果单调性相同，那么是增函数；如果单调性相反，那么是减函数.对于复合函数的单调性，列出下表以助记忆.上述规律可概括为“同增，异减”知识点三：函数单调性的应用利用函数的单调性可以比较函数值的大小；利用函数的单调性求参数的取值范围；附加：①的单调性：增函数，减函数；②的单调性：减区间；增区间；③的单调性：，减区间，增区间；，增区间，减区间；④在区间上是增（减）函数，则时，在上是增（减）函数；时则相反；⑤若、是区间上的增（减）函数，则在区间上是增（减）函数；⑥若且在区间上是增（减）函数，则在上是减（增）函数，在上是增（减）函数；1.函数y=x2+4x﹣1的递增区间是什么？分析：根据二次函数的开口方向和对称轴可判断出在对称轴右侧单调递增解：∵函数y=x2+4x﹣1的图象开口向上，对称轴为x=﹣2，∴y=x2+4x﹣1在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增．故答案为（﹣2，+∞）．2. 函数y=x2﹣6x+5在区间（0，5）上是（ ）A递增函数B递减函数C先递减后递增D先递增后递减分析：本题考察函数单调性的判断与证明，根据二次函数的图象与性质直接进行求解即可解：∵y=x2﹣6x+5⇒y=（x﹣3）2﹣4，∴对称轴为x=3，根据函数y=x2﹣6x+5可知a=1＞0，抛物线开口朝上，∴函数图象在（﹣∞，3]上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，∴在函数在（0，5）上先递减后递增，故选C3.如图，已知函数y=f（x），y=g（x）的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数．分析：本题考察函数单调性的性质，根据函数单调性和图象之间的关系进行求解即可解：（1）由图象知函数在[﹣2，﹣1]，[0，1]上为减函数，则[-1，0]，[1，2]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-1，0]，[1，2]，函数单调递减区间为[-2，-1]，[0，1]2） 由图象知函数在[-3，-1.5]，[1.5，3]上为减函数，则[﹣1.5，1.5]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-3，-1.5]，[1.5，3]，函数单调递减区间为[﹣1.5，1.5]4.已知函数f（x）=x2﹣2ax+1在（-∞，1〕上是减函数，求实数a的取值范围分析：如图，先求出对称轴方程，利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减，比较区间端点和对称轴的大小即可解：因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减；而其对称轴为x=a，又在（-∞，1〕上是减函数，故须a≥15.已知函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1在[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围分析：通过二次函数的解析式观察开口方向，再求出其对称轴，根据单调性建立不等关系，求出a的范围即可解：函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1是开口向上的二次函数，其对称轴为x=2（a﹣1），根据二次函数的性质可知在对称轴右侧为单调增函数，所以2（a﹣1）≤1，解得a≤1.56.若函数y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，6）上递减，求a的取值范围分析：由f（x）在区间（﹣∞，6]上递减知：（﹣∞，6]为f（x）减区间的子集，由此得不等式，解出即可．解：f（x）的单调减区间为：（﹣∞，1﹣a]，又f（x）在区间（﹣∞，6]上递减，所以（﹣∞，6]⊆（﹣∞，1﹣a]，则1﹣a≥6，解得a≤﹣5，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣5]7.如图，分析函数y=|x+1|的单调性，并指出单调区间分析：去掉绝对值，根据基本初等函数的图象与性质，即可得出函数y 的单调性与单调区间．解：∵函数y=|x+1|=；∴当x＞﹣1时，y=x+1，是单调增函数，单调增区间是（0，+∞）；当x＜﹣1时，y=﹣x﹣1，是单调减函数，单调减区间是（﹣∞，0）8.求函数f（x）=x4﹣2x2+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值分析：本题考察二次函数在闭区间上的最值，菁令t=x2，可得0≤t≤4，根据二次函数g（t）=f（x）=x4﹣2x2+5=（t﹣1）2+4 的对称轴为t=1，再利用二次函数的性质求得函数g（t） 在区间[0，4]上的最值．解：令t=x2，由﹣2≤x≤2，可得0≤t≤4，由于二次函数g（t）=f（x）=x4﹣2x2+5=t2﹣2t+5=（t﹣1）2+4 的对称轴为t=1，则函数g（t） 在区间[0，4]上的最大值是g（4）=13，最小值为 g（1）=4，故答案为 13，4．9.证明函数在[﹣2，+∞）上是增函数分析：本题考查的是函数单调性的判断与证明，在解答时要根据函数单调性的定义，先在所给的区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法即可分析获得两数对应函数值之间的大小关系，结合定义即可获得问题的解答证明：任取x1，x2∈[﹣2，+∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=－==，因为x1-x2＜0，+＞0，得f（x1）＜f（x2）所以函数在[﹣2，+∞）上是增函数．10. 函数f（x）=，①用定义证明函数的单调性并写出单调区间；②求f（x）在[3，5]上最大值和最小值分析：①分离常数得到f（x）=，根据反比例函数的单调性便可看出f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞），根据单调性的定义证明：设任意的x1，x2≠﹣1，且x1＜x2，然后作差，通分，说明x1，x2∈（﹣∞，﹣1），或x1，x2∈（﹣1，+∞）上时都有f（x1）＜f（x2），这样即可得出f（x）的单调区间；②根据f（x）的单调性便知f（x）在[3，5]上单调递增，从而可以求出f（x）的值域，从而可以得出f（x）在[3，5]上的最大、最小值．解：①f（x）===2-；该函数的定义域为{x|x≠﹣1}，设x1，x2∈{x|x≠﹣1}，且x1＜x2，则：f（x1）- f（x2）=-=；∵x1＜x2；∴x1﹣x2＜0；∴x1，x2∈（﹣∞，﹣1）时，x1+1＜0，x2+1＜0；x1，x2∈（﹣1，+∞）时，x1+1＞0，x2+1＞0；∴（x1+1）（x2+1）＞0；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增，即f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）；②由上面知f（x）在[3，5]上单调递增；∴f（3）≤f（x）≤f（5）；∴7／4≤f（x）≤11／6；∴f（x）在[3，5]上的最大值为11／6，最小值为7／411.已知f（x）+2f（）=3x．（1）求f（x）的解析式及定义域；（2）指出f（x）的单调区间并加以证明解：（1）由 f(x)+2f()＝3x ①，用代替x，得 f()+2f(x)＝ ②；②×2-①，得 3f(x)＝-3x，所以 f(x)＝-x（x≠0）（2） 由（1），f(x)＝-x（x≠0）其递减区间为（-∞，0）和（0，+∞），无增区间．事实上，任取x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)＝-x1-+x2＝-(x1-x2)＝(x2-x1)• ，∵x1＜x2＜0∴x2-x1＞0，x1x2＞0，2+x1x2＞0，所以 (x2-x1)• ＞0，即f（x1）＞f（x2）故f（x）在（-∞，0）上递减．同理可证其在（0，+∞）上也递减12.证明：f（x）=x+在（3，+∞）上是增函数，在（2，3]上是减函数分析：利用函数单调性的定义证明．证明：设任意的x1，x2∈（3，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1﹣x2）•，∵x1，x2∈（3，+∞），且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1﹣2＞1，x2﹣2＞1，（x1﹣2）（x2﹣2）＞1，∴（x1﹣x2）•＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）=x+在（3，+∞）上是增函数．同理可证，f（x）=x+在（2，3]上是减函数解定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x1、x2，且x1＜x2．∴当0＜x1＜x2≤1或－1≤x1＜x2＜0时，有x1x2－1＜0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x1＜x2或x1＜x2≤－1时，有x1x2－1＞0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)min＝f(1)＝2，当x＜0时，f(x)max＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出图像。
人教A版高中数学第一册(必修1)学案1：3.1.1 函数的概念
第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示3.1.1函数的概念课前自主学习知识点1函数的定义及相关概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)相关概念：x叫做，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的. 显然，值域是集合B的.(3)同一个函数：如果两个函数的相同，并且完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．『微思考』(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？(2)什么样的对应可以构成函数关系？知识点2区间及相关概念(1)一般区间的表示设a，b是两个实数，而且，我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a<x<b}开区间{x|a≤x<b}半闭半开区间{x|a<x≤b}半开半闭区间(2)实数集R可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤b}{x|x<b}『微体验』1．下列区间与集合{x|x<－2或x≥0}相对应的是()A．(－2,0)B．(－∞，－2』∪『0，＋∞)C．(－∞，－2)∪『0，＋∞)D．(－∞，－2』∪(0，＋∞)2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为()①A＝{0,1,5,10}；②{x|2<x≤10，x∈N}；③∅；④{x|x是等边三角形}；⑤{x|x≤0或x≥3}；⑥{x|x>1，x∈Q}．A．2B．3 C．4D．53．{x|x＞1且x≠2}用区间表示为________．课堂互动探究探究一函数关系的判断例1 下列对应中是A 到B 的函数的个数为( ) (1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝『－1,1』，B ＝{0}，f ：x →y ＝0；(4)A ＝{1,2,3}，B ＝{a ，b }，对应关系如下图所示：(5)A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，对应关系如下图所示：A ．1B ．2C ．3D ．4『方法总结』判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断 (1)A ，B 必须是非空数集；(2)A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应； (3)A 中任何一个元素在B 中的对应元素必须唯一． 跟踪训练1 对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( )①y 是x 的函数；②对于不同的x 值，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量；④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个探究二 求函数定义域问题 例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3；(3)y ＝ax －3(a 为常数)．变式探究 将本例(1)改为y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 2，其定义域如何？『方法总结』求函数定义域的常用依据(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； (5)若f (x )是实际问题的『解 析』式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 跟踪训练2 (1)设全集为R ，函数f (x )＝2－x 的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，2』D ．『2，＋∞)(2)函数f (x )＝xx －1的定义域为________．探究三 求函数值和函数值域问题例3 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值； (3)求f (x )，g (x )的值域．『方法总结』求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算确定其值域．(2)常用方法：①逐个求法：当定义域为有限集时，常用此法；②观察法：如y＝x2，可观察出y≥0；③配方法：对于求二次函数值域的问题常用此法；④换元法：对于形如y＝ax＋b＋cx＋d的函数，求值域时常用换元法，令t＝cx＋d，将原函数转化为关于t的二次函数；⑤分离常数法：对于形如y＝cx＋dax＋b的函数，常用分离常数法求值域；⑥图象法：对于易作图象的函数，可用此法，如y＝1x－1.跟踪训练3求下列函数的值域：(1)y＝3x－1，x∈{1,3,5,7}；(2)y＝－x2＋2x＋1，x∈R；(3)y＝x＋1－2x.探究四同一个函数的判定例4 下列各组函数是同一个函数的是________．(填序号)①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x0与g(x)＝1x0；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.『方法总结』判断同一个函数的三个步骤和两个注意点(1)判断函数是否相等的三个步骤．(2)两个注意点．①在化简『解析』式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示变量无关．跟踪训练4下列各组中的两个函数是否为同一个函数？(1)y1＝(x＋3)(x－5)x＋3，y2＝x－5；(2)y1＝x＋1·x－1，y2＝(x＋1)(x－1).随堂本课小结1．对函数概念的五点说明(1)对数集的要求：集合A，B为非空数集．(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．2．求函数的定义域就是求使函数『解析』式有意义的自变量的取值范围，列不等式(组)是求函数定义域的基本方法．3．求函数的值域常用的方法有：观察法、配方法、换元法、分离常数法、图象法等．——★参*考*答*案★——课前自主学习知识点1函数的定义及相关概念(2)自变量定义域函数值值域子集(3)定义域对应关系『微思考』(1)提示：不一定，两个集合必须是非空的数集.(2)提示：两个非空数集之间是一一对应关系或多对一可构成函数关系．知识点2区间及相关概念(1)a<b『a，b』(a，b) 『a，b) (a，b』(2) (－∞，＋∞)(3) 『a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b』(－∞，b)『微体验』1．C『『解析』』集合{ x|x<－2或x≥0}可表示为(－∞，－2)∪『0，＋∞)．2．D『『解析』』用区间表示的集合必须是连续的实数构成的集合，只有⑤是连续实数构成的集合，因此只有⑤可以用区间表示．3．(1,2)∪(2，＋∞)『『解析』』{x|x＞1且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2，＋∞)．课堂互动探究探究一函数关系的判断例1 B『『解析』』(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数；(4)集合B 不是确定的数集，故不是A 到B 的函数；(5)集合A 中的元素3在B 中没有对应元素，且A 中元素2在B 中有两个元素5和6与之对应，故不是A 到B 的函数． 跟踪训练1 B『『解 析』』①③正确，②是错误的，对于不同的x 值，y 的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f (x )表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来． 探究二 求函数定义域问题例2 解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠－1，即函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数的定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}．(3)要使函数有意义，必须使ax －3≥0.当a ＞0时，原函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥3a ； 当a ＜0时，原函数的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤3a； 当a ＝0时，ax －3≥0的解集为∅，不符合函数的定义，故此时不是函数．变式探究 解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x 2≥0，解得{x |－1＜x ≤1}．跟踪训练2 (1)A『『解 析』』由2－x ≥0，解得x ≤2，所以M ＝(－∞，2』，所以∁R M ＝(2，＋∞)． (2){x |x ≥0，且x ≠1}『『解 析』』要使xx －1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －1≠0，解得x ≥0，且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0，且x ≠1}．探究三 求函数值和函数值域问题例3 解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17. (3)f (x )＝11＋x 的定义域为{x |x ≠－1}，∴值域是{y |y ≠0}．g (x )＝x 2＋2的定义域为R ，最小值为2，∴值域是{y |y ≥2}．跟踪训练3 解 (1)(逐个求法)将x ＝1,3,5,7依次代入『解 析』式，得y ＝2，8,14,20.∴函数的值域是{2,8,14,20}．(2)(配方法)∵y ＝－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2≤2， ∴函数的值域是(－∞，2』．(3)(换元法或配方法)令1－2x ＝t ，则x ＝1－t 22，且t ≥0，∴原函数化为y ＝1－t 22＋t ＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1≤1.∴所求函数的值域是(－∞，1』． 探究四 同一个函数的判定 例4 ②③『『解 析』』①f (x )＝－x －2x ，g (x )＝x －2x ，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一个函数；②f (x )＝x 0＝1(x ≠0)，g (x )＝1x 0＝1(x ≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数． 跟踪训练4 解 (1)两函数定义域不同，所以不是同一个函数．(2)y 1＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，而y 2＝(x ＋1)(x －1)的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，定义域不同，所以不是同一个函数．。
人教A版数学必修1练习：第一章 1.3 1.3.1 第1课时 函数的单调性 Word版含解析
[课时作业][A 组 基础巩固]1．若函数f (x )在区间(a ，b ]上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或是减函数D ．无法确定单调性答案：D2．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，＋∞)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，5]D ．[3，＋∞)解析：二次函数开口向上，对称轴为x ＝－2(a －1)2＝1－a ，要使f (x )在(－∞，4]上是减函数，需满足1－a ≥4，即a ≤－3.答案：B3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( )A ．递减B ．递增C ．先减后增D ．先增后减解析：y ＝|x ＋2|的图象是由y ＝|x |图象向左平移2个单位得来，由图可知y ＝|x ＋2|在[－3，－2]上递减，在[－2,0]上递增．答案：C4．函数f (x )＝x －1x 在(0，＋∞)上( )A ．递增B ．递减C ．先增再减D ．先减再增解析：∵y ＝x 在(0，＋∞)上递增，y ＝－1x 在(0，＋∞)上也递增，∴f (x )＝x －1x 在(0，＋∞)上递增．答案：A5．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0”的是( ) A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝－3x ＋1C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x 2－4x ＋3 解析：∵x 1，x 2∈(0，＋∞)时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)是增函数．答案：C6．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.解析：f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 28，由题意m 4＝2，∴m ＝8.∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3.答案：－37．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎨⎧－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0). 作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 8．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：由f (x )在[1,2]上单调递减可得a ≤1；由g (x )在[1,2]上单调递减可得a ＞0 ∴a ∈(0,1]．答案：(0,1]9．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)， 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5.(1)求f (2)的值；(2)解不等式f (m －2)≤3.解析：(1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5，∴f (2)＝3.(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)．∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数．∴⎩⎨⎧m －2≥2，m －2>0解得m ≥4. ∴不等式的解集为{m |m ≥4}．10．求函数f (x )＝|x 2－6x ＋8|的单调区间．解析：先作出y ＝x 2－6x ＋8的图象，然后x 轴上方的不变，x轴下方的部分关于x 轴对称翻折，得到如图f (x )＝|x 2－6x ＋8|的图象，由图象可知f (x )的增区间为[2,3]，[4，＋∞]；减区间为(－∞，2]，[3,4]．[B 组 能力提升]1．已知f (x )＝x 2＋bx ＋4，且f (1＋x )＝f (1－x )，则f (－2)，f (2)，f (3)的大小关系为( )A ．f (－2)<f (2)<f (3)B ．f (－2)>f (2)>f (3)C ．f (2)<f (－2)<f (3)D ．f (2)<f (3)<f (－2) 解析：∵f (x )＝x 2＋bx ＋4，且f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )图象开口向上且关于x ＝1对称，∴f (x )在[1，＋∞)上递增，而f (－2)＝f (1－3)＝f (1＋3)＝f (4)，∴f (2)<f (3)<f (4)＝f (－2)．答案：D2．已知，a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：∵f (0)＝f (4)，∴二次函数图象关于直线x ＝2对称，又f (0)>f (1)，∴f (x )在(－∞，2]上递减，∴二次函数图象开口向上，即a >0.答案：A3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是 [3，＋∞)，则a ＝________.解析：利用函数图象确定单调区间．f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x ≥－a 2，－2x －a ，x ＜－a 2.作出函数图象，由图象知：函数的单调递增区间为[－a 2，＋∞)，∴－a 2＝3，∴a ＝－6.答案：－64．函数f (x )＝⎩⎨⎧(2－a )x ，x ≤1ax ，x >1在R 上是增函数，则a 的取值范围为________． 解析：⎩⎨⎧ 2－a >0，a >0，2－a ≤a ，解得1≤a ＜2. 答案：[1,2)5．若函数f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，求实数a 的取值范围． 解析：f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1. 设x 1<x 2<－1，则f (x 1)－f (x 2)＝(a －a ＋1x 1＋1)－(a －a ＋1x 2＋1)＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 2＋1)(x 1＋1). 又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，所以f (x 1)－f (x 2) >0.由于x 1<x 2<－1，所以x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0，所以a ＋1<0，即a <－1.故a 的取值范围是(－∞，－1)．6．设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：(1)f (xy )＝f (x )＋f (y )；(2)f (2)＝1；(3)在(0，＋∞)上是增函数．如果f (2)＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围．解析：∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，∴令x ＝y ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)．又f (2)＝1，∴f (4)＝2.∵f (2)＋f (x －3)＝f (2(x －3))＝f (2x －6)，∴f (2x －6)≤2＝f (4)，即f (2x －6)≤f (4)．∵f (x )在(0，＋∞)上递增，∴⎩⎨⎧x －3＞0，2x －6≤4解得3＜x ≤5.故x 的取值范围为(3,5]．。
人教A版高中数学必修一1.3.1+函数的单调性和最大小值+教案
函数单调性与最大(小)值（第一课时）一、二、教材分析:《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。
在此之前，学生已经学习了函数的概念、定义域、值域、表示法以及在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数等常见函数，也了解了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数单调性的定义，对于函数单调性的判断也主要根据图像观察得到，而本小节内容，正是对初中有关内容的一个深化和提高，给出了具体的函数在某个区间上是增函数还是减函数的定义，并明确指出函数的单调性是相对于那个区间的，还介绍了判断函数单调性的两种方法，做到将图像与定义证明结合在一起的思想。
函数的单调性是体现了函数研究的一般方法。
这就是加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般。
首先借助对函数图像的观察、分析和归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数学特征，从而进一步用数学语言刻画。
这对研究函数的其他性质，如奇偶性等有借鉴作用。
二、学情分析:学生已经学习了函数的概念、定义域和值域，因此他们具有了一定的抽象概括、类比归纳，符号表达的能力，在此基础上进一步研究函数的性质，对于他们来说不是太难。
但由于函数的图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本次教学时，要充分使用信息技术创设教学情境，这样有利于学生更好地观察和探究函数的单调性、最值等性质，同时还要特别注意让学生经历这些概念形成的过程。
三、教学目标:1、知识与技能：理解增减函数、单调性、单调区间四个概念：能用自己的语言说出定义，并认识它们是如何得出来的。
掌握函数增减性的证明：掌握判断简单函数的单调区间及证明简单函数在给定区间上的单调性的方法和步骤。
2、过程与方法：能从具体实例中得出增函数、减函数的定义，培养观察能力和抽象概括能力。
通过知识的获得提高和发展学生自我学习和自我学习和自我发展能力。
3、情感态度与价值观：借助开放探究的教学方式，张扬学生个性，培养学生科学严谨乐于研究的作风。
2020届高中数学分册同步讲义(必修1) 第1章 1.3.1 第1课时 函数的单调性
§1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.知识点一增函数与减函数的定义设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.思考(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？答案(1)不是.(2)不能.知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.1.如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数.(×)2.函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3).(√)3.若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数.(×)4.若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数.(√)题型一利用图象判断函数单调性例1(1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数. (2)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________.答案 (－∞，1)，(1，＋∞)解析 y ＝1x －1的图象可由y ＝1x 的图象向右平移一个单位得到，如图，∴单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).反思感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.跟踪训练1(1)函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则函数f(x)的所有单调递减区间为()A.[－4，－2]B.[1,4]C.[－4，－2]和[1,4]D.[－4，－2]∪[1,4]答案 C(2)函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性.考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞).题型二函数单调性的证明例2求证：函数f(x)＝x＋1x在[1，＋∞)上是增函数.考点 函数的单调性的判定与证明 题点 定义法证明具体函数的单调性证明 设x 1，x 2是[1，＋∞)上的任意实数，且1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2 ＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2. ∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )＝x ＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数.反思感悟 定义法证明或判断函数单调性的四个步骤跟踪训练2 利用定义判断f (x )＝2xx ＋3在区间(0，＋∞)上的单调性.解 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则 f (x 2)－f (x 1)＝2x 2x 2＋3－2x 1x 1＋3＝2[x 2(x 1＋3)－x 1(x 2＋3)](x 1＋3)(x 2＋3)＝6(x 2－x 1)(x 1＋3)(x 2＋3).因为x 1<x 2，且x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以x 2－x 1>0，x 1＋3>0，x 2＋3>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x )＝2xx ＋3在区间(0，＋∞)上是增函数.题型三 函数单调性的应用例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围. 解 f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的开口方向向上，对称轴为x ＝1－a ， ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数， ∴4≤1－a ， ∴a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－3]. 延伸探究1.若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的单调减区间为(－∞，4]，则a 的值是什么？ 解 ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的单调减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4， ∴a ＝－3.2.若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间[2,4]上单调，则a 的取值范围是什么？ 解 ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间[2,4]上单调， ∴二次函数的对称轴x ＝1－a 一定不在区间(2,4)内， ∴1－a ≤2或1－a ≥4， 即a ≥－1或a ≤－3，∴a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－1，＋∞).3.若y ＝f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围. 解 f (1－a )<f (2a －1)等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |0<a <23.反思感悟 函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.1.函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是( )A.[－2,0]B.[0,1]C.[－2,1]D.[－1,1]考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间 答案 C2.函数y ＝6x 的减区间是( )A.[0，＋∞)B.(－∞，0]C.(－∞，0)，(0，＋∞)D.(－∞，0)∪(0，＋∞)答案 C3.函数y＝x2－6x的单调递减区间是()A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[3，＋∞)D.(－∞，3]答案 D解析y＝x2－6x的开口方向向上，对称轴为x＝3.所以其单调递减区间是(－∞，3].4.下列说法中正确的是()A.定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则f(x)在(a，b)上为增函数B.定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则f(x)在(a，b)上为增函数C.若f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则f(x)在A∪B上也为减函数D.若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)<f(x2)(x1，x2∈I)，则x1<x2答案 D5.若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m)>f(1＋m)，则实数m的取值范围是__________. 答案(－∞，1)解析由2m<1＋m得m<1.1.证明函数的单调性时要注意以下几点(1)用定义证明函数单调性时，易忽视x1，x2的任意性.(2)要证明f(x)在[a，b]上不是单调函数，只要举出一个反例即可.2.判断函数的单调性可用定义法、直接法、图象法，而函数单调性的证明现在只能用定义证明.3.已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识：如f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.二是数形结合意识：如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题.一、选择题1.如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A.函数在区间[－5，－3]上单调递增B.函数在区间[1,4]上单调递增C.函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D.函数在区间[－5,5]上没有单调性答案 C解析单调区间不能用“∪”连接.2.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A.y ＝3－xB.y ＝x 2＋1C.y ＝1xD.y ＝－|x ＋1|答案 B解析 y ＝x 2＋1在(0,2)上是增函数. 3.函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上( )A.递减B.递增C.先减后增D.先增后减答案 C解析 因为y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.作出y ＝|x ＋2|的图象， 如图所示，易知在[－3，－2)上为减函数，在[－2,0]上为增函数.4.已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图象上的两点，那么－1<f (x )<1的解集是( )A.(－3,0)B.(0,3)C.(－∞，－1]∪[3，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)考点 函数单调性的应用题点 利用单调性解抽象函数不等式答案 B解析 由已知f (0)＝－1，f (3)＝1，∴－1<f (x )<1，即f (0)<f (x )<f (3).又∵f (x )在R 上单调递增，∴0<x <3，∴－1<f (x )<1的解集为(0,3).5.函数f (x )＝－x 2＋2(a －3)x ＋1在区间[－2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞) 答案 B解析 二次函数开口向下，对称轴为x ＝a －3，∴a －3≤－2，∴a ≤1.6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－2，＋∞)考点 函数单调性的应用 题点 利用单调性解抽象函数不等式答案 A解析 画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上单调递增，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2.7.已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )考点 函数的单调性的概念题点 函数单调性概念的理解答案 B解析 对于A ，存在x 1∈(0,1)，f (x 1)>f (1)，A 不对；对于C ，存在x 1>1，f (x 1)<f (1)，C 不对；对于D ，存在x 1＝－1，x 2＝1，f (x 1)<f (x 2)，D 不对；只有B 完全符合单调性定义.8.已知函数y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )A.减函数且f (0)<0B.增函数且f (0)<0C.减函数且f (0)>0D.增函数且f (0)>0答案 A 解析 因为y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数， 所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.二、填空题9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________. 答案 (－∞，1)解析 当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1).10.如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________.答案 (－∞，2]解析 因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2. 11.已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________. 考点 函数单调性的应用题点 利用单调性解抽象函数不等式答案 ⎣⎡⎭⎫1，32 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32， 故满足条件的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，32. 三、解答题12.求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递增区间.考点 求函数的单调区间题点 求函数的单调区间解 ∵y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.函数图象如图所示，∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1].13.证明：函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数. 证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－1x 1－x 22＋1x 2＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋1x 1x 2. 因为0<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋1x 1x 2>0. 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数.14.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是____________.考点 函数单调性的应用 题点 已知二次函数单调性求参数范围答案 (0,1]解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得a ≤1.由g (x )＝a x ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0.∴0<a ≤1.15.设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：(1)f (xy )＝f (x )＋f (y )；(2)f (2)＝1；(3)在(0，＋∞)上是增函数.如果f (2)＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围.解 ∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，∴令x ＝y ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2f (2).又f (2)＝1，∴f (4)＝2.∵f (2)＋f (x －3)＝f (2(x －3))＝f (2x －6)，∴f (2x －6)≤2＝f (4)，即f (2x －6)≤f (4).∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＞0，2x －6≤4，解得3＜x ≤5.故x 的取值范围为(3,5].。
1.3.1_第一课时函数的单调性
1.3.1第一课时 函数的单调性1、函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( )A ．－4B ．－8C ．8D ．无法确定2、函数f (x )在R 上是增函数，若a ＋b ≤0，则有( )A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b )B ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b )C ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) 3．下列四个函数：①y ＝xx －1；②y ＝x 2＋x ；③y ＝－(x ＋1)2；④y ＝x1－x ＋2.其中在(－∞，0)上为减函数的是( )A ．①B ．④C ．①④D ．①②④4、函数y ＝－x 2的单调减区间是( )A ．[0，＋∞) B．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)5、若函数f (x )定义在[－1,3]上，且满足f (0)<f (1)，则函数f (x )在区间[－1,3]上的单调性是( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先减后增D ．无法判断6、已知函数y ＝f (x )，x ∈A ，若对任意a ，b ∈A ，当a <b 时，都有f (a )<f (b )，则方程f (x )＝0的根( )A ．有且只有一个B ．可能有两个C ．至多有一个D ．有两个以上7、设函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )A ．f (a )＞f (2a )B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2＋a )＜f (a )D ．f (a 2＋1)＜f (a )8、下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )①y ＝|x |；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x |x |. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④9、下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个10、若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是________．11、若函数y ＝－b x在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．12、已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________． 13、y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．14、若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0.(1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．15、已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)＜f (1－3x )，求x 的取值范围．16、设函数y＝f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．17、（1）请根据下图描述某装配线的生产率与生产线上工人数量间的关系.（2）整个上午（8∶00～12∶00）天气越来越暖，中午时分（12∶00～13∶00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18∶00）才又开始转凉. 画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.（3）根据下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.18、证明函数f (x) = –2x +1在R上是减函数.19、证明函数f (x) =1x在（0，+∞）上是减函数.。
高中数学必修1全册课时训练含答案
人教A版高中数学必修1 全册课时训练目录1.1.1（第1课时）集合的含义1.1.1（第2课时）集合的表示1.1.2集合间的基本关系1.1.3（第1课时）并集、交集1.1.3（第2课时）补集及综合应用1.2.1（第1课时）函数的概念1.2.1（第2课时）函数概念的综合应用1.2.2（第1课时）函数的表示法1.2.2（第2课时）分段函数及映射1.3.1（第1课时）函数的单调性1.3.1（第2课时）函数的最大值、最小值1.3.2（第1课时）函数奇偶性的概念1.3.2（第2课时）函数奇偶性的应用集合与函数的概念-单元评估试题2.1.1（第1课时）根式2.1.1（第2课时）指数幂及运算2.1.2（第1课时）指数函数的图象及性质2.1.2（第2课时）指数函数及其性质的应用2.2.1（第1课时）对数2.2.1（第2课时）对数的运算2.2.2（第1课时）对数函数的图象及性质2.2.2（第2课时）对数函数及其性质的应用2.3幂函数基本初等函数-单元评估试题3.1.1方程的根与函数的零点3.1.2用二分法求方程的近似解3.2.1几类不同增长的函数模型3.2.2（第1课时）一次函数、二次函数应用举例3.2.2（第2课时）指数型、对数型函数的应用举例函数的应用-单元评估试题第1-3章-全册综合质量评估试卷课时提升卷(一)集合的含义（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列各项中,不能组成集合的是( )A.所有的正整数B.等于2的数C.接近于0的数D.不等于0的偶数2.(2013·冀州高一检测)若集合M中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是( )A.1B.0C.-2D.24.已知2a∈A,a2-a∈A,若A只含这2个元素,则下列说法中正确的是( )A.a可取全体实数B.a可取除去0以外的所有实数C.a可取除去3以外的所有实数D.a可取除去0和3以外的所有实数5.下列四种说法中正确的个数是( )①集合N中的最小数为1;②若a∈N,则-a∉N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.A.0B.1C.2D.3二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·天津高一检测)设集合A中含有三个元素2x-5,x2-4x,12,若-3∈A,则x的值为.7.(2013·济宁高一检测)若集合P含有两个元素1,2,集合Q含有两个元素1,a2,且P,Q相等,则a= .8.若a,b∈R,且a≠0,b≠0,则+的可能取值所组成的集合中元素的个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.集合A的元素由kx2-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A中的元素只有一个,求k的值.10.数集M满足条件,若a∈M,则∈M(a≠±1且a≠0),已知3∈M,试把由此确定的集合M的元素全部求出来.11.(能力挑战题)设P,Q为两个数集, P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.答案解析1.【解析】选C.怎样才是接近于0的数没有统一的标准,即不满足集合元素的确定性,故选C.2.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,a,b,c三个数一定全不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.3.【解析】选C.∵-1∈M,∴2×(-1)∈M,即-2∈M.4.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,2a≠a2-a,解得a≠0且a≠3,故选D.5.【解析】选A.①中最小数应为0;②中a=0时,- a∈N;③中a+b的最小值应为0;④中“小的正数”不确定.因此①②③④均不对.6.【解析】∵-3∈A,∴-3=2x-5或-3=x2-4x.①当-3=2x-5时,解得x=1,此时2x-5=x2-4x=-3,不符合元素的互异性,故x≠1;②当-3=x2-4x时,解得x=1或x=3,由①知x≠1,且x=3时满足元素的互异性.综上可知x=3.答案:37.【解析】由于P,Q相等,故a2=2,从而a=±.答案:±8.【解题指南】对a,b的取值情况分三种情况讨论求值,即同正,一正一负和同负,以确定集合中的元素,同时注意集合元素的互异性.【解析】当a>0,b>0时,+=2;当ab<0时,+=0;当a<0,b<0时,+=-2.所以集合中的元素为2,0,-2.即集合中元素的个数为3.答案:39.【解析】由题知A中元素即方程kx2-3x+2=0(k∈R)的解,若k=0,则x=,知A中有一个元素,符合题意;若k≠0,则方程为一元二次方程.当Δ=9-8k=0即k=时,kx2-3x+2=0有两个相等的实数解,此时A中有一个元素.综上所述,k=0或.10.【解析】∵a=3∈M,∴==-2∈M,∴=-∈M,∴=∈M,∴=3∈M.再把3代入将重复上面的运算过程,由集合中元素的互异性可知M中含有元素3,-2,-,.【拓展提升】集合中元素互异性的应用集合中的元素是互异的,它通常被用作检验所求未知数的值是否符合题意.只要组成两个集合的元素是一样的,这两个集合就是相等的,与两个集合中元素的排列顺序无关.11.【解析】∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P+Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.课时提升卷(二)集合的表示（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·临沂高一检测)设集合M={x∈R|x≤3},a=2,则( )A.a∉MB.a∈MC.{a}∈MD.{a}∉M2.集合{x∈N*|x-3<2}的另一种表示方法是( )A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}3.下列集合中,不同于另外三个集合的是( )A.{0}B.{y|y2=0}C.{x|x=0}D.{x=0}4.下列集合的表示法正确的是( )A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}B.不等式x-1<4的解集为{x<5}C.整数集可表示为{全体整数}D.实数集可表示为R5.设x=,y=3+π,集合M={m|m=a+b,a∈Q,b∈Q},那么x,y与集合M的关系是( )A.x∈M,y∈MB.x∈M,y∉MC.x∉M,y∈MD. x∉M,y∉M二、填空题(每小题8分,共24分)6.设A={4,a},B={2,ab},若A=B,则a+b= .7.已知集合A={x|∈N,x∈N},则用列举法表示为.8.已知集合A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},a∈A且a∈B,则a 为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.用适当的方法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数.(2)满足方程x=|x|的所有x的值构成的集合B.10.下面三个集合:A={x|y=x2+1}; B={y|y=x2+1};C={(x,y)|y=x2+1}.问:(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义是什么?11.(能力挑战题)集合P={x|x=2k,k∈Z},M={x|x=2k+1,k∈Z},a∈P,b ∈M,设c=a+b,则c与集合M有什么关系?答案解析1.【解析】选B.(2)2-(3)2=24-27<0,故2<3.所以a∈M.2.【解析】选B.集合中元素满足x<5且x∈N*,所以集合的元素有1,2,3,4.3.【解析】选D.A是列举法,B,C是描述法,而D表示该集合含有一个元素,即“x=0”.4.【解析】选D.选项A中应是xy<0;选项B的本意是想用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x;选项C的“{ }”与“全体”意思重复.5.【解析】选B.∵x==--.y=3+π中π是无理数,而集合M中,b ∈Q,得x∈M,y M.6.【解析】两个集合相等,则两集合的元素完全相同,则有a=2,ab=4,将a=2代入ab=4,得b=2.∴a+b=4.答案:47.【解题指南】结合条件,可按x的取值分别讨论求解.【解析】根据题意,5-x应该是12的正因数,故其可能的取值为1,2,3,4,6,12,从而可得到对应x的值为4,3,2,1,-1,-7.因为x∈N,所以x 的值为4,3,2,1.答案:{1,2,3,4}8.【解析】∵a∈A且a∈B,∴a是方程组的解,解方程组,得∴a为(2,5).答案:(2,5)9.【解析】(1){x|x=3n,n∈Z}.(2)B={x|x=|x|,x∈R}.【变式备选】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y) |y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.集合A为列举法表示集合,集合B,C,D均为描述法表示集合,其中B选项省略了代表元素和竖线.10.【解析】(1)在A,B,C三个集合中,虽然代表元素满足的表达式一致,但代表元素互不相同,所以它们是互不相同的集合.(2)集合A的代表元素是x,满足y=x2+1,故A={x|y=x2+1}=R.集合B的代表元素是y,满足y=x2+1,所以y≥1,故B={y|y=x2+1}={y|y≥1}.集合C的代表元素是(x,y),满足条件y=x2+1,即表示满足y=x2+1的实数对(x,y);也可认为是满足条件y=x2+1的坐标平面上的点.【拓展提升】三种集合语言的优点及应用集合语言包括符号语言、图形语言和自然语言三种.(1)符号语言比较简洁、严谨且内涵丰富有利于推理计算.(2)图形语言能够引起直观的视觉感受,便于理清关系,有利于直观地表达概念、定理的本质及相互关系,使得抽象的思维关系明朗化. (3)自然语言往往比较生动,能将问题研究对象的含义更加明白地叙述出来.集合的三种语言之间相互转化,在解决集合问题时,一般是将符号语言转化为图形语言、自然语言,这样有助于弄清集合是由哪些元素构成的,有助于提高分析问题和解决问题的能力.11.【解析】∵a∈P,b∈M,c=a+b,设a=2k1,k1∈Z,b=2k2+1,k2∈Z,∴c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1,又k1+k2∈Z,∴c∈M.课时提升卷(三)集合间的基本关系（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列四个结论中,正确的是( )A.0={0}B.0∈{0}C.0⊆{0}D.0=∅2.(2013·宝鸡高一检测)如果M={x|x+1>0},则( )A.∅∈MB.0MC.{0}∈MD.{0}⊆M3.(2013·长沙高一检测)已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.设A={a,b},B={x|x∈A},则( )A.B∈AB.B AC.A∈BD.A=B5.(2013·潍坊高一检测)设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围是( )A.a≤2B.a≤1C.a≥1D.a≥2二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·汕头高一检测)已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m= .7.已知集合A={x|x<3},集合B={x|x<m},且A B,则实数m满足的条件是.8.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P 的关系为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠ ,B⊆A,求a,b的值.10.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.(1)若A B,求a的取值范围.(2)若B⊆A,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知A={x||x-a|=4},B={1,2,b},是否存在实数a,使得对于任意实数b(b≠1,且b≠2),都有A⊆B?若存在,求出对应的a的值;若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选B.{0}是含有1个元素0的集合,故0∈{0}.2.【解析】选D.M={x|x+1>0}={x|x>-1},∴{0}⊆M.3.【解析】选C.由题意知,x=-2或2,即A={-2,2},故其真子集有3个. 【误区警示】本题易忽视真子集这一条件而误选D.4.【解析】选D.因为集合B中的元素x∈A,所以x=a或x=b,所以B={a,b},因此A=B.5.【解析】选D.∵A⊆B,∴a≥26.【解析】∵B⊆A,∴m2=2m-1,∴m=1.答案:17.【解析】将数集A标在数轴上,如图所示,要满足A B,表示数m的点必须在表示3的点的右边,故m>3.答案: m>38.【解析】∵xy>0,∴x,y同号,又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P.答案:M=P9.【解析】由B⊆A知,B中的所有元素都属于集合A,又B≠ ,故集合B有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}.当B={-1}时,B={x|x2+2x+1=0},故a=-1,b=1;当B={1}时,B={x|x2-2x+1=0},故a=b=1;当B={-1,1}时,B={x|x2-1=0},故a=0,b=-1.综上所述,a,b的值为或或10.【解题指南】利用数轴分析法求解.【解析】(1)若A B,由图可知,a>2.(2)若B⊆A,由图可知,1≤a≤2.11.【解析】不存在.要使对任意的实数b都有A⊆B,所以1,2是A中的元素,又∵A={a-4,a+4},∴或这两个方程组均无解,故这样的实数a不存在.课时提升卷(四)并集、交集（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·衡水高一检测)若集合A,B,C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C 之间的关系为( )A.C AB.A CC.C⊆AD.A⊆C2.已知M={0,1,2, 4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4,7,9},则(M∩N)∪(M ∩P)等于( )A.{1,4}B.{1,7}C.{1, 4,7}D.{4,7}3.(2013·本溪高一检测)A={x∈N︱1≤x≤10},B={x∈R︱x2+x-6=0},则图中阴影表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}4.(2013·德州高一检测)设集合A={x|x≤1},B={x|x>p},要使A∩B=∅,则p应满足的条件是( )A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤15.(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m=( )A.0或B.0或3C.1或D.1或3二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N= .7.(2013·清远高一检测)已知集合A={x|x≤1},集合B={x|a≤x},且A∪B=R,则实数a的取值范围是.8.(2013·西安高一检测)设集合A={5,a+1},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知集合A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若A∪B={1,2,3,5},求x及A ∩B.10.已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B=∅,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知:A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若A∪B=B,求a的值.(2)若A∩B=B,求a的值.答案解析1.【解析】选D.∵A∩B=A,B∪C=C,∴A⊆B,B⊆C,∴A⊆C.2.【解析】选C.M∩N={1,4},M∩P={4,7},故(M∩N)∪(M∩P)={1,4,7}.3.【解析】选A.A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知,阴影部分即为A∩B,故A∩B={2}.4.【解析】选B.∵A∩B= ,∴结合数轴分析可知应满足的条件是p≥1. 【误区警示】本题易漏掉p=1的情况而误选A.5.【解析】选B.由A∪B=A得B⊆A,所以有m=3或m=.由m=得m=0或1,经检验,m=1时B={1,1}不符合集合元素的互异性,m=0或3时符合.6.【解析】由题意联立方程组得x=3,y=-1,故M∩N={(3,-1)}.答案:{(3,-1)}7.【解析】∵A∪B=R,∴a≤1.答案:a≤18.【解析】∵A∩B={2},∴2∈A,故a+1=2,a=1,即A={5,2};又2∈B,∴b=2,即B={1,2},∴A∪B={1,2,5}.答案:{1,2,5}9.【解析】∵B⊆(A∪B),∴x2-1∈A∪B.∴x2-1=3或x2-1=5.解得x=±2或x=±.若x2-1=3,则A∩B={1,3}.若x2-1=5,则A∩B={1,5}.10.【解题指南】通过数轴直观表示,并结合A∩B=∅分析列不等式(组)求解.【解析】A∩B=∅,A={x|2a≤x≤a+3}.(1)若A=∅,有2a>a+3,∴a>3.(2)若A≠∅,如图所示.则有解得-≤a≤2.综上所述,a的取值范围是-≤a≤2或a>3.【拓展提升】数轴在解含参不等式(组)中的作用数轴是解不等式(组)的重要工具,它是实现数形结合解决数学问题的桥梁,在求解不等式(组)待定字母值或范围时,借助数轴的直观性,很轻松地将各变量间的关系表示出来,进而列出不等式(组),更能显示出它的优越性.11.【解析】(1)A={-4,0},若A∪B=B,则B=A={-4,0},解得a=1.(2)若A∩B=B,则①若B为空集,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,则a<-1;②若B为单元素集合,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8=0, 解得a=-1,将a=-1代入方程x2+2(a+1)x+a2-1=0,得x2=0得,x=0,即B={0},符合要求;③若B=A={-4,0},则a=1,综上所述,a≤-1或a=1.课时提升卷(五)补集及综合应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U={x∈N*|x<6},集合A={1,3},B={3,5},则ð(A∪B)=( )UA.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}2.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(ðB)=( )RA.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤2}3.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,3,5,7},B={3,5},则下列式子一定成立的是( )A.ðB⊆UðA B.(UðA)∪(UðB)=UUC.A∩ðB=∅ D.B∩UðA=∅U4.设全集U(U≠∅)和集合M,N,P,且M=UðN,N=UðP,则M与P的关系是( )A.M=ðP B.M=PUC.M PD.M P5.(2013·广州高一检测)如图,I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.(ðA∩B)∩C B.(IðB∪A)∩CIC.(A∩B)∩ðC D.(A∩IðB)∩CI二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9, 12},则A∩(ðB)= .N7.已知全集为R,集合M={x∈R|-2<x<2},P={x|x≥a},并且M⊆ðP,则Ra的取值范围是.8.设集合A,B都是U={1,2,3,4}的子集,已知(ðA)∩(UðB)={2},(UðA)U∩B={1},且A∩B=∅,则A= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·济南高一检测)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪ðA=R,RB∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},求集合B.R10.已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且AðB,求a的取值范R围.11.(能力挑战题)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(ðA)∩B=∅,求m的值.U答案解析1.【解析】选C.由题知U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5},故ð(A∪B)={2,4}.U2.【解析】选D.∵B={x|x<1},∴ðB={x|x≥1},R∴A∩ðB={x|1≤x≤2}.R3.【解析】选D.逐一进行验证.ðB={1,2,4,6,7},UðA={2,4, 6},显然UðAU⊆ðB,显然A,B错误;A∩UðB={1,7},故C错误,所以只有D正确.U4.【解析】选B.利用补集的性质:M=ðN=Uð(UðP)=P,所以M=P.U【拓展提升】一个集合与它的补集的关系集合与它的补集是一组相对的概念,即如果集合A是B相对于全集U 的补集,那么,集合B也是A相对于全集U的补集.同时A与B没有公共元素,且它们的并集正好是全集,即A∪B=U,A∩B= .5.【解析】选D.由图可知阴影部分是A的元素,且是C的元素,但不属于B,故所表示的集合是(A∩ðB)∩C.I6.【解析】∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},∴ðB={1,2,4,5,7,8,…}.N∴A∩ðB={1,5,7}.N答案:{1,5,7}7.【解析】M={x|-2<x<2},ðP={x|x<a}.R∵M⊆ðP,∴由数轴知a≥2.R答案:a≥28.【解析】根据题意画出Venn图,得A={3,4}.答案:{3,4}9.【解析】∵A={x|1≤x≤2},∴ðA={x|x<1或x>2}.R又B∪ðA=R,A∪RðA=R,可得A⊆B.R而B∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},R∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1或2<x<3}={x|0<x<3}.10.【解题指南】解答本题的关键是利用AðB,对A=∅与A≠∅进行R分类讨论,转化为等价不等式(组)求解,同时要注意区域端点的问题. 【解析】ðB={x|x≤1或x≥2}≠∅,R∵AðB.R∴分A=∅和A≠∅两种情况讨论.(1)若A=∅,则有2a-2≥a,∴a≥2.(2)若A≠∅,则有或∴a≤1.综上所述,a≤1或a≥2.11.【解题指南】本题中的集合A,B均是一元二次方程的解集,其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m,需要对这个参数进行分类讨论,同时需要根据(ðA)∩B=∅对集合A,B的关系进行转化.U【解析】A={-2,-1},由(ðA)∩B=∅,得B⊆A,U∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或m=2.【变式备选】已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|ax-6=0}且ðA⊆RðB,R求实数a的取值集合.【解析】∵A={x|x2-5x+6=0},∴A={2,3}.又ðA⊆RðB,R∴B⊆A,∴有B=∅,B={2},B={3}三种情形.当B={3}时,有3a-6=0,∴a=2;当B={2}时,有2a-6=0,∴a=3; 当B= 时,有a=0,∴实数a的取值集合为{0,2,3}.课时提升卷(六)函数的概念（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U=R,集合A=[3,7),B=(2,10),则ð(A∩B)=( )RA.[3,7)B.(-∞,3)∪[7,+∞)C.(-∞,2)∪[10,+∞)D.2.(2013·西安高一检测)下列式子中不能表示函数y=f(x)的是( )A.x=y2+1B.y=2x2+1C.x-2y=6D.x=3.(2013·红河州高一检测)四个函数:(1)y=x+1.(2)y=x3.(3)y=x2-1.(4)y=.其中定义域相同的函数有( )A.(1),(2)和(3)B.(1)和(2)C.(2)和(3)D.(2),(3)和(4)4.下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数D.A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值5.(2013·盘锦高一检测)函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=( )A.[-2,+∞)B.[-2,2)C.(-2,2)D.(-∞,2)二、填空题(每小题8分,共24分)6.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是.7.函数y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是;其中只与x的一个值对应的y值的范围是.8.函数f(x)定义在区间[-2,3]上,则y=f(x)的图象与直线x=a的交点个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·烟台高一检测)求下列函数的定义域.(1)y=+.(2)y=.10.已知函数f(x)=,(1)求f(x)的定义域.(2)若f(a)=2,求a的值.(3)求证:f()=-f(x).11.(能力挑战题)已知函数y=(a<0且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选B.∵A∩B=[3,7),∴ð(A∩B)=(-∞,3)∪[7,+∞).R2.【解析】选A.一个x对应的y值不唯一.3.【解析】选A.(1),(2)和(3)的定义域都是R,(4)的定义域是{x∈R|x≠0}.4.【解析】选A.按照函数定义,选项B中,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D中,集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A符合函数定义.5.【解析】选B.由题意得M=(-∞,2),N=[-2,+∞),所以M∩N=(-∞,2)∩[-2,+∞)=[-2,2).6.【解析】由题意3a-1>a,则a>.答案:(,+∞)【误区警示】本题易忽略区间概念而得出3a-1≥a,则a≥的错误.7.【解析】观察函数图象可知f(x)的定义域是[-3,0]∪[2,3];只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5].答案:[-3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5]【举一反三】本题中求与x的两个值对应的y值的范围.【解析】由函数图象可知y值的范围是[2,4].8.【解题指南】根据函数的定义,对应定义域中的任意一个自变量x 都有唯一的函数值与之对应.利用此知识可以结合函数图象分析. 【解析】当a∈[-2,3]时,由函数定义知,y=f(x)的图象与直线x=a只有一个交点;当a [-2,3]时,y=f(x)的图象与直线x=a没有交点.答案:0或19.【解析】(1)由已知得∴函数的定义域为[-,].(2)由已知得:∵|x+2|-1≠0,∴|x+2|≠1,得x≠-3,x≠-1.∴函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(-1,+∞).10.【解析】(1)要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.(2)因为f(x)=,且f(a)=2,所以f(a)==2,即a2=,解得a=±.(3)由已知得f()==,-f(x)=-=,∴f()=-f(x).11.【解题指南】由题意得,(-∞,1]是函数y=的定义域的子集. 【解析】函数y=(a<0且a为常数).∵ax+1≥0,a<0,∴x≤-,即函数的定义域为(-∞,-].∵函数在区间(-∞,1]上有意义,∴(-∞,1] (-∞,-],∴-≥1,而a<0,∴-1≤a<0.即a的取值范围是[-1,0).关闭Word文档返回原板块。
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学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图1-3-1是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()
图1-3-1
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
【解析】若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．如0<5，但f(0)>f(5)，故选C.
【答案】 C
2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝1
x D．y＝－|x|
【解析】A．y＝3－x＝－x＋3，是减函数，故A错误；
B．∵y＝x2＋1，y为偶函数，图象开口向上，关于y轴对称，当x＞0时，y 为增函数，故B正确；
C．∵y＝1
x
，当x＞0时，y为减函数，故C错误；
D．当x＞0时，y＝－|x|＝－x，为减函数，故D错误．故选B.
【答案】 B
3．若函数y ＝x 2＋(2a －1)x ＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞
B.⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，－32 C ．(3，＋∞)
D ．(－∞，－3]
【解析】 ∵函数y ＝x 2＋(2a －1)x ＋1的图象是开口方向朝上，以直线x ＝2a －1－2
为对称轴的抛物线，
又∵函数在区间(－∞，2]上是减函数，故2≤2a －1－2
，解得a ≤－3
2，故选B.
【答案】 B
4．f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f (x )＞f (8(x －2))的解集是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(0,2)
C ．(2，＋∞)
D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，167 【解析】
由f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数得，⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，8(x －2)>0，
x >8(x －2)
⇒2＜
x ＜16
7，故选D.
【答案】 D
5．已知函数f (x )＝4x 2－m x ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的范围是( )
A ．f (1)≥25
B ．f (1)＝25
C ．f (1)≤25
D ．f (1)＞25
【解析】 由y ＝f (x )的对称轴是x ＝m 8，可知f (x )在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
m 8，＋∞上递增，由题
设只需m
8≤－2，即m ≤－16，
∴f (1)＝9－m ≥25.故选A. 【答案】 A 二、填空题
6．函数f (x )＝2x 2－3|x |的单调递减区间是________． 【解析】 函数f (x )＝2x 2－3|x |＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x 2－3x (x ≥0)2x 2＋3x (x <0)，
图象如图所示，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，－34和⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，34.
【答案】 ⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，－34和⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，34 7．函数y ＝1－3m
x 在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________.
【解析】 ∵函数y ＝1－3m
x 在区间(0，＋∞)上是增函数，∴1－3m ＜0，解得m ＞13.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13，＋∞
8．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．
【解析】 由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0得f (x )是R 上的单调递增函数，又－3>－π，∴f (－3)>f (－π)．
【答案】 f (－3)>f (－π) 三、解答题
9．证明：函数y ＝x
x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．
【证明】 设x 1>x 2>－1，则 y 1－y 2＝x 1x 1＋1－x 2
x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)
.
∵x 1>x 2>－1，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴
x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)
>0，即y 1－y 2>0，y 1>y 2，
∴y ＝x
x ＋1
在(－1，＋∞)上是增函数．
10．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，求满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12的实数x 的取
值范围．
【解】
由题设得⎩
⎨⎧
－1≤x ≤1，
x <12，即－1≤x <12
.
∴满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围是⎣⎢⎡
⎭
⎪⎫－1，12.
[能力提升]
1．下列有关函数单调性的说法，不正确的是( ) A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数 B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数 C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数 D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数
【解析】 ∵若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )的增减性不确定． 例如：f (x )＝x ＋2为R 上的增函数，当g (x )＝－12x 时，则f (x )＋g (x )＝x
2＋2为增函数；
当g (x )＝－3x ，则f (x )＋g (x )＝－2x ＋2在R 上为减函数．∴不能确定f (x )＋g (x )的单调性．
【答案】 C
2．函数f (x )＝1
x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________.
【解析】 函数f (x )＝
1
x ＋1
的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)， 又f (x )在(a ，＋∞)上单调递减，所以a ≥－1. 【答案】 a ≥－1 3．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
a x
，x ≥1
－x ＋3a ，x <1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为
________．
【解析】 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
a x
，x ≥1
－x ＋3a ，x <1是R 上的单调函数，∴⎩⎨
⎧
a >0
－1＋3a ≥a ，
解得a ≥1
2.
故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫
12，＋∞.
【答案】 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
12，＋∞
4．设函数f (x )的定义域为R ，当x ＜0时，f (x )＞1，且对任意的实数x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )f (y )．
(1)求f (0)的值；
(2)证明：f (x )在R 上是减函数．
【解】 (1)∵x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，当x ＜0时，f (x )＞1，令x ＝－1，y ＝0，则f (－1)＝f (－1)f (0)．
∵f (－1)＞1，∴f (0)＝1. (2)证明：若x ＞0，－x ＜0，
∴f(x－x)＝f(0)＝f(x)f(－x)，
∴f(x)＝
1
f(－x)
∈(0,1)，故x∈R，f(x)＞0.
任取x1＜x2，则f(x2)＝f(x1＋x2－x1)＝f(x1)f(x2－x1)．∵x2－x1＞0，
∴0＜f(x2－x1)＜1，
∴f(x2)＜f(x1)．
故f(x)在R上是减函数．。