42-3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(27)

3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（2）
一、【教学目标】
重点: 探讨如何用二元一次不等式（组）表示实际问题. 难点:如何用二元一次不等式（组）表示实际问题． 知识点:二元一次不等式（组）所表示的平面区域.
能力点:从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学方法.
教育点:经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程,提高数学建模的能力.
自主探究点:经历把实际问题抽象为数学问题的过程,体会集合、化归、数形结合的数学思想. 考试点:从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）,为简单的线性规划问题做好基础. 易错易混点:如何设变量,如何用二元一次不等式（组）表示实际问题.
拓展点:结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生创新. 二、【引入新课】
二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）.
判断方法:由于对在直线0Ax By C ++=同一侧的所有点,把它的坐标(,)x y 代入Ax By C ++,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)x y ,从00Ax By C ++的正负即可判断
0Ax By C ++>表示直线0Ax By C ++=哪一侧的平面区域.（特殊地,当0C ≠时,常把原点作为此特殊
点）.
随堂练习1
1、画出不等式260x y +-<表示的平面区域.
2、画出不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域.
【设计意图】通过回顾二元一次不等式（组）所表示的平面区域,为本节课由实际问题抽象出二元一次不等式（组）并画出其表示的平面区域奠定基础． 三、【探究新知】
例1.某人准备投资1200万元兴办一所完全学校,对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表格（以班级为单位）,分别用数学关系式来表示上述限制条件
:
【师生活动】请学生分组讨论, 寻找共同点,汇总结论,互相补充,得到正确解答.
解:设开设初中班x 个,高中班y 个,根据题意,总共招生班数应限制在20到30之间,所以有
2030
x y ≤+≤
考虑到所投资金的限制,得到
265422231200,x y x y ++⨯+⨯≤ 即 240x y +≤ 另外,开设的班数不能为负,则
0,0x y ≥≥
把上面四个不等式合在一起,得到
2030,240,0,0.x y x y x y ≤+≤⎧⎪+≤⎪
⎨
≥⎪⎪≥⎩
画出平面区域,如图所示 例2.要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:
今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块,用数学关系式和图形表示上述要求.
解:设需截第一种钢板x 张
,第二种钢板y 张,则
215,218,327,0,0.
x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪
+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩画出平面区域,如图所示
【设计意图】通过本例使学生体验经历从实际问题中得到二元
一次不等式(组)这一数学模型的抽象过程,了解二元一次不等式(组)这一数学模型产生的实际背景,体现数学问题是客观存在的,是从实际问题中产生和发展的． 四、【理解新知】
例3.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 、硝酸盐18 t;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 、硝酸盐15 t.现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66 t,在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.
解:设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件:
410,181566,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨
≥⎪⎪≥⎩
画出平面区域,如图所示.
用二元一次不等式(组)表示的平面区域来表示实际问题时,可先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示,进而问题中所有的量都用这两个字母表示出来,再由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式,再把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可．
【设计意图】总结归纳例3的解决过程,让学生明白把此类实际问题抽象为数学问题的过程, 为准确地运用新知,作必要的铺垫. 五、【运用新知】
例4、利用区域求不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧<--<-+>--015530632032y x y x y x 的整数解
分析:不等式组的实数解集为三条直线032:1=--y x l ,0632:2=-+y x l ,01553:3=--y x l 所围成的三角形区域内部(不含边界).设12l l A = ,13l l B = ,23l l C = ,求得区域内点横坐标范围,取出x 的所有整数值,再代回原不等式组转化为y 的一元不等式组得出相应的y 的整数值.
解:设032:1=--y x l ,0632:2=-+y x l ,01553:3=--y x l ,
12l l A = ,13l l B = ,23l l C = ∴)43,815(
A ,)3,0(-
B ,)19
12,1975(-C . 于是看出区域内点的横坐标在)19
75
,
0(内,取x ＝1,2,3, 当x ＝1时,代入原不等式组有⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
-><-<512341y y y ⇒1512-<<-y ,得y ＝－2, ∴区域内有整点(1,-2).同理可求得另外三个整点(2,0),(2,-1),(3,-1).
【设计意图】 求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点,它为线性规划中求最优整数解作铺垫.
现在对找整数解的要求有所降低,通过本例让学生了解如何在平面区域内找整数点. 【设计说明】求不等式的整数解即求区域内的整点,常有两种处理方法,一种是通过打出网络求整点;
另一种
是本题解答中所采用的,先确定区域内点的横坐标的范围,确定x 的所有整数值,再代回原不等式组,得出y 的一元一次不等式组,再确定y 的所有整数值,即先固定x ,再用x 制约y . 例5、画出下列不等式表示的区域
(1)0)1)((≤---y x y x ; (2) x y x 2≤≤
分析:(1)转化为等价的不等式组; (2)注意到不等式的传递性,由x x 2≤,得0≥x ,又用y -代y ,不等式仍成立,区域关于x 轴对称. 解:(1)10010≤-≤⇒⎩⎨
⎧≤--≥-y x y x y x 或⎩⎨
⎧≥-≤-1
y x y x 矛盾无解,故点),(y x 在一带形区域内（含边界）. (2) 由x x 2≤,得0≥x ;当0>y 时,有⎩
⎨⎧≥-≤-020
y x y x 点),(y x 在一条形区域内(边界);当0≤y ,由对
称性得出.
指出:把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解.
【设计意图】 通过这两个例题,经学生分组讨论后,对结果进行汇总,老师要对学生展示的成果进行点评,针
对学习过程中出现的常见错误给予指正,帮助学生更好地运用新知. 随堂练习2
（1）1+>x y ; （2）y x >; （3）y x >
六、【课堂小结】
1．知识:(1)如何用二元一次不等式（组）表示实际问题及如何在平面区域内找整数解． (2) 非规范形式等价转化为规范不等式组形式求解问题. 2．思想:集合、化归、数形结合的数学思想． 七、【布置作业】
1.阅读教材P82—86.
2.书面作业 .
必做题:P86 练习4. 自主学习丛书P67 12. 选做题:自主学习丛书P69 11 P70 12. 3.预习教材P87—91.
八、【教后反思】
1.本教案的亮点是可通过多媒体教学形象直观地展示给学生.
2.用二元一次不等式（组）表示实际问题时让学生充分讨论思考,提高了学习兴趣,激发了学生的求知欲.
3.鉴于本堂课课堂容量不大,所以增加了不规则不等式的求解问题.。