2.3信号分析基础
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第2章 信号分析基础 题库-答案
（1）傅里叶级数实数形式的幅值谱、相位谱；
（2）傅里叶级数复数形式的幅值谱、相位谱；
（3）幅值谱密度。
解：（1）实数形式
傅里叶级数三角形式的展开式：
x(t)
a0 2
n1
(an
cos n0t
bn
sin
n0t )
x(t)
2 2
Acos(0t)
2 2
A sin(0t )
得： a0
0 ， an
形脉冲。
x(t)
t
x1 (t )
x2 (t )
图2-31
解：矩形脉冲信号
x(t
)
E 0
| t | T1 的频谱密度 | t | T1 t
t
X ()
T1 T1
Ee
jt dt
2ET1
sinc(T1)
所以
X1
(
)
sinc(
1 2
)
，
X
2
(
)
3
sinc(
3 2
)
x(t)
1 2
x1 (t
2.5)
x2 (t
过程： T 0
A2
T 1 cos 2t dt
T0
2
A2 2
18.求正弦信号 xt Asin( t ) 的概率密度函数 p(x)。
解：
公式： p(x) lim P(x x(t) x x)
x0
x
过程：
在一个周期内Tx0 t1 t2 P[x x(t) x x] lim Tx Tx0
答：充分条件：绝对可积
充要条件：
（D） a X a f
6．判断对错：1、 随机信号的频域描述为功率谱。（ V ）
(3)第2章 信号分析基础
2.3 非周期信号与连续频谱
•
图2-5 非周期信号
2.3 非周期信号与连续频谱
• 2.3.1傅立叶变换
• 当周期T趋于无穷大时，相邻谱线的间隔 趋 近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱 。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小， 不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系 。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密 度的概念。令
• 对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得 的信号功率相等。
2.3 非周期信号与连续频谱
• 2.3 非周期信号与连续频谱 • 非周期信号包括准周期信号和瞬态信号两种，其频谱
各有独自的特点：周期信号的频谱具有离散性，各谐波分 量的频率具有一个公约数——基频。但几个简谐具有离散 频谱的信号不一定是周期信号。只有各简谐成分的频率比 是有理数，它们才能在某个时间间隔后周而复始，合成的 信号才是周期信号。若各简谐信号的频率比不是有理数， 合成信号就不是周期信号，而是准周期信号。因此准周期 信号具有离散频谱，例如多个独立激振源激励起某对象的 振动往往是这类信号对于瞬态信号，不能直接用傅立叶级 数展开，而必须应用傅立叶变换的数学方法进行分解。
第2章 信号分析基础
2.1 信号的分类与描述
• 2.1 信号的分类与描述
• 2.1.1 信号的分类
• 信号是反映被测对象状态或特性的某种物理量。以信 号所具有的时间函数特性分类，信号主要分为确定性信号 与随机信号、连续信号与离散信号等。
• 1. 确定性信号与随机信号
• 确定性信号是指可以用精确的数学关系式来表达的信 号。确定性信号根据它的波形是否有规律地重复又可进一 步分为周期信号和非周期信号两种。
•
（2-21） F( j) lim Fn T 1 / T
3信号分析基础2(时域相关分析)
因此，有
T
0
x (t )dt S x ( f )df
2
1 2 S x lim X f T T
信号的频域分析
自功率谱密度函数是偶函数,它的频率范围 (,) ， 又称双边自功率谱密度函数。它在频率范围 (,0) 的函数值是其在 (0, ) 频率范围函数值的对称映射， 因此 Gx ( f ) 2Sx ( f ) 。
x(t - τ)
自相关函数的性质 自相关函数为实偶函数
Rx ( ) Rx ( )
1 T 证明： Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt T T 0 1 T lim x(t ) x(t )d (t ) T T 0 Rx ( )
波形变量相关的概念（相关函数 ）
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
x(t)
y(t)
2.4信号的时差域相关分析 这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为 函数的相关系数，简称相关函数，并有：
x ( t ) y ( t ) dt xy ( ) 2 [ x ( t ) dt y 2 ( t ) dt ]1/ 2
2 2 x x
自相关函数的性质
周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数
1 Rx ( nT ) lim T T 1 lim T T
T 0 T 0
x(t nT ) x(t nT )d (t nT ) x(t ) x(t )d (t ) Rx ( )
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。
x(t) y(t) y(t) y(t) y(t)
2.2.2 自相关(self-correlation)分析
T
0
x (t )dt S x ( f )df
2
1 2 S x lim X f T T
信号的频域分析
自功率谱密度函数是偶函数,它的频率范围 (,) ， 又称双边自功率谱密度函数。它在频率范围 (,0) 的函数值是其在 (0, ) 频率范围函数值的对称映射， 因此 Gx ( f ) 2Sx ( f ) 。
x(t - τ)
自相关函数的性质 自相关函数为实偶函数
Rx ( ) Rx ( )
1 T 证明： Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt T T 0 1 T lim x(t ) x(t )d (t ) T T 0 Rx ( )
波形变量相关的概念（相关函数 ）
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
x(t)
y(t)
2.4信号的时差域相关分析 这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为 函数的相关系数，简称相关函数，并有：
x ( t ) y ( t ) dt xy ( ) 2 [ x ( t ) dt y 2 ( t ) dt ]1/ 2
2 2 x x
自相关函数的性质
周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数
1 Rx ( nT ) lim T T 1 lim T T
T 0 T 0
x(t nT ) x(t nT )d (t nT ) x(t ) x(t )d (t ) Rx ( )
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。
x(t) y(t) y(t) y(t) y(t)
2.2.2 自相关(self-correlation)分析
工程测试技术 第2章 信号分析基础-3
第二章、信号分析基础
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2.5 信号的频域分析
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为 频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特 征。
傅里叶 变换
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
第二章、信号分析基础
2.5 信号的频域分析
频域分析
Page 25 华中科技大学机械学院
吉布斯现象(Gibbs)
• 吉布斯现象是由于展开式在间断点邻域不能均匀收敛 引起的。
• 例：方波信号
x(t)
T
T
t
2.5 信号的频域分析
频域分析
Page 26 华中科技大学机械学院
N=1
2.5 信号的频域分析
Page 27 华中科技大学机械学院
用线性叠加定理简化
X1(f)
+Page 38 华中科技大学机械学院
5、频谱分析的应用
频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析 中最常用的一种手段。
在齿轮箱故障诊断中，可
以通过齿轮箱振动信号频谱分 析，确定最大频率分量，然后 根据机床转速和传动链，找出 故障齿轮。
2 T
T /2
T /2 x(t) sin n0tdt;
ω0―基波圆频率； f0 ―基频：f0= ω0/2π
An an2 bn2 ;
n
arctan bn an
;
2.5 信号的频域分析
傅里叶级数的复数表达形式：
x(t) Cne jn0t , (n 0,1,2,...) n
Page 9 华中科技大学机械学院
2.5 信号的频域分析
【复习笔记】信号分析基础
第二章 信号分析基础1、信号分析中常用函数包括：δ函数、sinc(t)函数、复指数函数e st① δ函数具有“抽样（乘积）、筛选（积分）、卷积”特性，其拉氏变换和傅氏变换的值均为1。
② 卷积特性的表达式为)()()()()(t f d t f t t f =-=*⎰+∞∞-ττδτδ，τ为两信号之间的时差。
③ sinc(t)函数又称为闸门函数、滤波函数或内插函数，分别对应其用处：闸门（或抽样）、低通滤波、采样信号复原时sinc(t)函数叠加构成非采样点波形。
④ 复指数函数e st 中出现的“负频率”是与负指数相关联的，是数学运算的结果，并无确切的物理含义。
2、一个信号不能够在时域或频域都是有限的。
3、信号的时域统计分析：均值x μ、均方值ψ2x 、方差σ2x 。
三者具有如下关系：2x2x 2x μσψ+= 式中，ψ2x （又称平均功率，平均能量的一种表达）表达了信号的强度； σ2x 描述了信号的波动量； μ2x 描述了信号的静态量。
4、各态历经过程：此过程中的任一个样本函数x(t)都经历了过程的各种状态，从它的一个样本函数x(t)中可以提取到整个过程统计特征的信息。
5、相关函数的性质：① 自相关函数R x (τ)是τ的偶函数，满足：)()(ττ-=x x R R 。
② 互相关函数R xy (τ)是τ的非奇非偶函数，满足：)()(ττ-=yx xy R R 。
③ 当τ=0时，自相关函数具有最大值。
对于功率信号，若均值μx =0，则在τ=0点处，有ψ2x =σ2x =R x (τ)。
④ 周期信号的R x (τ)仍然是与原信号同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息。
⑤ 两周期信号（同频）的R xy (τ)仍然是与原信号同频率的周期信号，但保留了原信号的相位信息。
⑥ 两个不同频的周期信号互不相关，其互相关函数R xy (τ)=0。
⑦ 随机信号的R x (τ)将随|τ|值增大而很快趋于0。
有限带宽白噪声信号的R x (τ)是一个sinc(τ)型函数，即可说明。
工程测试技术基础 第二部分 信号分析基础
a)能量信号 在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称
为能量信号，满足条件：
x2 (t)dt
一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。
瞬态信号
2.1 信号的分类与描述
b)功率信号 在所分析的区间（-∞，∞），能量不是有限值．此时，
研究信号的平均功率更为合适。
T
lim
数学期望，称为相关性，表征了x、y之间其的中一关个联可程以度测。量的量
cxy xy x y
E[(xx )( y的 的y )变变] 化化来。表示另一个量
E[(xx )2 ]E[( y y )2 ]1/ 2
y
y
y
y
x
x
xy 1
xy 1
x
0 xy 1
b) sinc 函数
sin c(t) sin t , or, sint , ( t )
t
t
性质：
波形
偶函数；
闸门(或抽样)函数；
滤波函数；
内插函数。
2.1 信号的分类与描述
c) 复指数函数
est et e jt
t
et cost et sint ; s j
瞬态信号
瞬态信号:持续时间有限的信号，如 x(t)= e-Bt . Asin(2*pi*f*t)
2.1 信号的分类与描述
c)非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化 不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。
噪声信号(平稳)
噪声信号(非平稳)
统计特性变异
2.1 信号的分类与描述 2 能量信号与功率信号
（3）卷积特性
f (t) * (t) f ( ) (t )d f (t)
为能量信号，满足条件：
x2 (t)dt
一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。
瞬态信号
2.1 信号的分类与描述
b)功率信号 在所分析的区间（-∞，∞），能量不是有限值．此时，
研究信号的平均功率更为合适。
T
lim
数学期望，称为相关性，表征了x、y之间其的中一关个联可程以度测。量的量
cxy xy x y
E[(xx )( y的 的y )变变] 化化来。表示另一个量
E[(xx )2 ]E[( y y )2 ]1/ 2
y
y
y
y
x
x
xy 1
xy 1
x
0 xy 1
b) sinc 函数
sin c(t) sin t , or, sint , ( t )
t
t
性质：
波形
偶函数；
闸门(或抽样)函数；
滤波函数；
内插函数。
2.1 信号的分类与描述
c) 复指数函数
est et e jt
t
et cost et sint ; s j
瞬态信号
瞬态信号:持续时间有限的信号，如 x(t)= e-Bt . Asin(2*pi*f*t)
2.1 信号的分类与描述
c)非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化 不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。
噪声信号(平稳)
噪声信号(非平稳)
统计特性变异
2.1 信号的分类与描述 2 能量信号与功率信号
（3）卷积特性
f (t) * (t) f ( ) (t )d f (t)
工程测试技术 信号分析基础 掌握信号时域波形分析方法
2.2 信号的时域波形分析
实验：
12
2.2 信号的时域波形分析
5、波形分析的应用
信号类型识别
信号基本参数识别
Pp-p
超门限报警
2.2 信号的时域波形分析
案例：汽车速度测量:
T
14
2.2 信号的时域波形分析
案例：旅游索道钢缆检测
超门限报警
15
2.2 信号的时域波形分析 实验：声音信号有效值报警：
应用： （1）信号中的直流分量消除 （2）仪器的智能调零
2.3 信号的时域统计分析
2、均方值
信号的均方值E[x2(t)]，表达了信号的强度；其正平 方根值，又称为有效值(RMS)，也是信号平均能量的一种 表达。
2 x
E[x2 (t)]
lim
1 T
T x 2 (t)dt
0
T
工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值。 应用：局部异常信号识别（钢丝绳断丝检测）
2.4 信号的时差域相关分析
发火周期
1
0.5
Healthy #1 Misfire #1&2 Misfire
Correlation
0
-0.5
自相关分析的主要应用：
用来检测混肴在干扰信号中的确定 性周期信号成分。
-1
0
120
240
360
480
600
720
Crank Angle (degCA)
作一个循环内转速信号的的自相关函数，其周期为发火周期。
16
第二章、信号分析基础 2.3 信号的时域统计分析
1. 均值 2. 均方值 3. 方差 4. 概率密度函数 5. 概率分布函数 6. 直方图
第2章 信号分析的基本方法
15
图2.3 复合信号与信号频带
A
0
带宽
16
• 考察某个信号的所有单色成分，这些成分覆盖 的频率范围，被形象地叫做“频带”。这个范 围的大小，就是“带宽”——即频带宽度，如 图2.3所示。带宽是衡量信号特性的一个重要 指标。
17
• 频率和幅度对信号而言通常比相位具有更重要的意义。以 声波信号为例：
35
图2.5 复频谱(a)
Fn
两条谱线对应于 cos 0t
－20－0 0 0 20 30 40
(a) 幅度谱
n0
36
图2.5 复频谱(b)
n
－20－0
0 0 20 30 40
n0
(b) 相位谱
37
• 频谱分幅（度）谱和相（位）谱两部分 • 前者呈偶对称，所有谐波分量的幅度 （ Fn , n 0 ）都降为对应实幅谱（ C） n 的一半；后者呈奇对称，复谱与实谱的 相位谱值相等。 • 复指数形式的傅里叶级数（对应于复频 谱）是周期信号频域分析的最基本方法。
25
• 在信号理论中，时域和频域之间存在着 “对称性关系”——时限信号在频域上 是无限信号，而频限信号又对应于时域 无限信号。这种关系意味着一个信号不 可能同时在时域和频域上都是有限的。
26
2.2.1 傅里叶级数与傅里叶变换
1. 傅里叶级数
2. 傅里叶变换
27
傅里叶级数 形式一
• 周期（为）信号可以表示为余（正）弦 分量之和，即可记作如下（三角函数形 式的）傅里叶级数：
（2.6）
Fn 1 T
f t e
jn0 t
dt
33
• 需注意的是，各分量的系数是复数，可表 示成如下形式：
信号分析基础
确定性信号又可分为周期信号和非周期信号 随机信号又可分平稳和非平稳的信号两种
周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号， 满足条件：
x(t)=x(t+Nt) 式中：T——周期，T＝2π／ω0；
ω0——基频 N＝0，十1…
确定信号与随机信号
• 当信号是一确定的时间函数时，给定某一时 间值，就可以确定一相应的函数值。这样的 信号称为确定信号。
x(t)x(t) x(t )x(t ) 2x(t)x(t )
两边取时间T的平均值并取极限
lim 1
T
x(t)x(t)dt lim
1
T
x(t )x(t )dt
lim
1
T
2x(t)x(x )dt
T T 0
T T 0
T T 0
R(0) R( )
这个性质极为重要，它是相关技术 确定同名点的依据
3、数字相关
数字相关是利用计算机对数字影像进 行数值计算的方式完成影像的相关 二维相关
搜 索 区
目标区
测相 度似
性
c,r
maxij
i j
i0 j0
l
2 k
2
n 2
, , i0
l 2
n 2
m 2
, , i0
k 2
m 2
4．工程应用
2.4 信号的频域分析
确定信号的时间特性
• 表示信号的时间函数，包含了信号的全部 信息量，信号的特性首先表现为它的时间 特性。
R( ) lim 1
T
x(t)x(t )dt
T 2T T
lim 1
T
x(t )x(t)dt
T 2T T
lim
T
第二章信号分析基础
2.1.2 能量信号与功率信号 a)能量信号
在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称量，可作如下解释：对于电信号，通常是电压或电流， 电压在已知区间（t1；，t2 ）内消耗在电阻上的能量
对于电流，能量
在上面每一种情况下，能量都是正比于信号平方的积分．讨论消耗 在IQ电阻上的能量往往是很方便的，因为当R—IQ时，上述两式具有相 同形式，采用这种规定时，就称方程
2．地下输油管道漏损位置的探测 下图表示利用互相关分析方法，确定深埋在地下的输油管漏 报位置的示意图．在输油管表面沿轴向放置传感器（例如拾音器、 加速度计或 AE传感器等） 1和 2，油管漏损处 K可视为向两侧传 播声波的声源，因放置两传感器的位置距离漏损处不等，则油管 漏油处的声波传至两传感器就有时差，将两拾音器测得的音响信 号X l（t）和X2（t）进行互相关分析，找出互相关值最大处的延 时cc，即可由τ m确定油管漏报位置． S=vτ /2 式中，S——两传感器的中心至漏报处的距离； V——声波通过管 道的传播速度．
第二章
本章学习要求
信号分析基础
完成本章内容的学习后应能作到： 1.了解信号分类方法 2.掌握信号波形分析方法 3.掌握信号相关分析方法 4.掌握信号频谱分析方法 5.了解其它信号分析方法
2.1 信号的分类与描述
为了深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是非常必 要的。以不同的角度来看待信号，我们可以将信号分为
如果 x(t)=y(t)，
则称为自相关函数，即
若 x(t)与y(t)为功率信号，则其相关函数为：
计算时，令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差τ，再相乘和积分，就可 以得到τ时刻二个信号的相关性。连续变化参数τ，就可以得到x(t)、y(t) 的相关函数曲线。下图显示了计算正弦波信号自相关函数时，在τ＝0、 τ=T/4和τ=T/2三个不同时刻的自相关函数值的计算情况。
信号分析基础
二、信号旳描述
信号旳描述是揭示信号本身旳特征旳基础，是我们获取分析 问题、处理问题所需要旳信息旳基础。
根据实际测控系统旳不同要求，信号需要从不同旳角度描 述——时域描述和频域描述。
1.信号旳时域描述
信号旳时域描述是指以时间为独立变量来描述信号，反应信 号幅值随时间变化旳情况，描述信号幅值与时间旳相应关系，是 信号旳自然体现形式，是实际系统响应过程旳一种直观描述。
1.自有关
信号 f t旳自有关函数定义为
R
lim 1 T T
T
0
f
t f
t
dt
(1－17)
实际应用时采用有限长样本，即自有关函数旳估计值为：
⑵频限信号 频限信号分：频域有限信号，频域无限信号。 频域有限信号是指信号在有限频率区间内存在不全为零旳函数值， 而区间外恒为零； 频域无限信号是指信号出目前无限旳频率区间上。
例如，窗函数是时域有限信号，其傅立叶变换是频域无限信号， 如图1－5(a)所示；sinc(t)函数是时域无限信号，其傅立叶变换， 是频域有限信号，如图1－5(b)所示。
式中：
T — —周期，T 2 0 0 — —基频
(1－1)
周期信号又可分为：简谐周期信号，复杂周期信号。 简谐周期信号即单一频率旳正弦信号； 复杂周期信号是由若干正弦信号合成，各正弦信号旳频率比为有 理数。 如图1－1所示。
x(t) x(t)
0
t
0
(a)
t (b)
(a)简谐周期信号 (b)复杂周期信号 图1－1 周期性信号
总时间； 如图1－13所示。
f(t)
△t1
△t2
f+△f f
△t3 △t4
t 0
T
第2章 信号分析基础 题库-答案
11．概率密度函数提供的信号的信息是（ ）。 A. 沿频率轴分布 B. 沿时域分布 C. 沿幅值域分布 D. 沿强度分布
12.判断对错：（用√或×表示） 1） 互相关函数是偶实函数。（ X ） 13．求同周期的方波和正弦波的互相关函数。
解：
按方波分段直接计算：
Rxy
(
)
1 T
T
x(t ) y(t)dt
0
1 [
T /4
(1) sin(t )dt
3T /4
1sin(t )dt
T
(1) sin(t )dt
1
1 j2
a j a j a2 2
求极限得到 F() lim
j2
2
=
2
e
j 2
a0 a2 2 j | |
| F() | 2 | |
arctan
2 / 0
/ 2
/
2
0 0
8. 求被截断的余弦函数 x(t) 0cos0t 解：
| t | T 的傅立叶变换。 | t | T
X ( f )
3.信号的时域描述，以 时间 为独立变量；而信号的频域描述，以 频率 为
独立变量。
4. 描述随机信号的时域特征参数有 均值 、 均方值 、 方差 。
5.周期信号的频谱具有三个特点： 离散型 、 谐波形 、 收敛性 。
6.非周期信号包括 准周期 信号和 瞬态 信号。
7.信号 x(t)的均值μx 表示信号的 直流 分量，方差 x 2 描述信号的 波动程度 。
A.指数衰减信号 B.正弦信号、C.三角脉冲信号 D.矩形脉冲信号
13.周期信号 x(t) = sin(t/3)的周期为（ ）。
A. 2π/3 B. 6π C. π/3
12.判断对错：（用√或×表示） 1） 互相关函数是偶实函数。（ X ） 13．求同周期的方波和正弦波的互相关函数。
解：
按方波分段直接计算：
Rxy
(
)
1 T
T
x(t ) y(t)dt
0
1 [
T /4
(1) sin(t )dt
3T /4
1sin(t )dt
T
(1) sin(t )dt
1
1 j2
a j a j a2 2
求极限得到 F() lim
j2
2
=
2
e
j 2
a0 a2 2 j | |
| F() | 2 | |
arctan
2 / 0
/ 2
/
2
0 0
8. 求被截断的余弦函数 x(t) 0cos0t 解：
| t | T 的傅立叶变换。 | t | T
X ( f )
3.信号的时域描述，以 时间 为独立变量；而信号的频域描述，以 频率 为
独立变量。
4. 描述随机信号的时域特征参数有 均值 、 均方值 、 方差 。
5.周期信号的频谱具有三个特点： 离散型 、 谐波形 、 收敛性 。
6.非周期信号包括 准周期 信号和 瞬态 信号。
7.信号 x(t)的均值μx 表示信号的 直流 分量，方差 x 2 描述信号的 波动程度 。
A.指数衰减信号 B.正弦信号、C.三角脉冲信号 D.矩形脉冲信号
13.周期信号 x(t) = sin(t/3)的周期为（ ）。
A. 2π/3 B. 6π C. π/3
2.3-1 信号及其描述-瞬变非周期信号分析
lim x ( t ) =
T0 → ∞
lim ∑ T →∞
0
∞
n = −∞ ∞
C n e j nω 0 t
傅里叶变换系数
傅里 叶变 换的 指数 形式
1 T0 2 j nω 0 t − j nω 0 t x (t ) e dt e = lim ∑ ∫ − T0 2 T0 → ∞ n = −∞ T 0 ∞ d ω ∞ x ( t ) e − jω t dt e jω t ⇒ ∫ −∞ 2 π ∫ −∞ X (ω) 1 ∞ ∞ x ( t ) e − jω t dt e jω t d ω x(t ) = 2π ∫−∞ ∫−∞
x(t ) = sin(t ) + sin( 2t )
只有两个频率成分，具有离散频谱 离散频谱， 只有两个频率成分， 具有 离散频谱 ，但不是周期 准周期信号。 信号，故称为准周期信号 信号，故称为准周期信号。 → 准周期信号的频谱分析可以参照周期信号 的分析方法。 的分析方法。
第一章 信号分析基础
第一章 信号分析基础
华中科技大学机械学院
测试技术与信号处理
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱
周期信号的频谱具有离散性 并且各谐波分量 周期信号的频谱具有 离散性并且各谐波分量 离散性 的频率具有一个公约数——基频 公约数——基频。 的频率具有一个 公约数 —— 基频 。 但几个简谐信 号的叠加，不一定是周期信号， 准周期信号— 号的叠加， 不一定是周期信号 ， 如 准周期信号— 由两个以上周期信号合成， — 由两个以上周期信号合成， 但各信号频率不成 公倍数。 公倍数。 如：
jω t x(t ) = 1 X (ω )e d ω 2π ∫−∞ ∞ − jω t X (ω ) = ∫ x(t )e dt −∞ ∞
信号分析基础(非周期信号频域分析)
非周期信号的频谱 2.傅立叶逆变换
浙江工业大学
X
(
j
)
lim
T0
Cn
T0
lim f 0
Cn f
→
Cn
lim
T0
X ( j)
T0
lim
T0
X(
j) 0 2
x(t) Cne jn0t
n 0,1,2,
n
x(t) lim X ( j) 0 e jn0t
3 23
0 0
(a) T=3
3 23
t t
2 (a) T=3 2
WR (t)
k=3 WR (t) 1
1
0 0
-1 -1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1t0
n T0
2
✓ 当T0→∞时，ω0=2π/T0→0 ， ① ω0=dω，②离 散频率nω0→连续变量ω。③求和Σ→积分。则：
x(t) 1 X ( j) e jtd
2
x(t)为X(jω)的傅立叶逆变换（反变换）
非周期信号的频谱 3.傅立叶变换对
X ( j) x(t)e jt dt
Af0
x( f ) A
10 1 f0 f0
t
f0
0
f0 f
2
2
浙江工业大学
非周期信号的频谱
浙江工业大学
(3).尺度特性 若x(t) ↔ X(jƒ)，则
信号的时域波形分析
以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现 的概率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信 号落在不同幅值强度区域内的概率情况。
p (x)limp (x x( t) x x x) x
随△x的变化，是幅值x的函数
第二章、信号分析基础
河南科技大学
p(x)的计算方法：
p(x) lim1 x[ limT T x] x 0 T
河南科技大学
x ( t) c 1 x 1 ( t) c 2 x 2 ( t) ...... c n x n ( t)
正交函数集（三角函数、复指数函数、沃尔什函数等）
第二章、信号分析基础 d.偶分量和奇分量
河南科技大学
x(t)xe(t)xo(t)
第二章、信号分析基础
河南科技大学
e.实部分量和虚部分量
河南科技大学
2.2 信号的时域波形分析
河南科技大学
第二章、信号分析基础
2.3 信号的幅值域分析
河南科技大学
幅值域分析：在时域中，采用统计分析的方法，描述幅值 取值大小及其频率（概率密度函数、概率分布函数、联合 概率密度函数）
第二章、信号分析基础
2.3 信号的幅值域分析
河南科技大学
1 概率密度函数
（4）随机噪声信号的自相关函数将随 的增大快 速衰减。
2.4 信号的时差域相关分析
河南科技大学
（5）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周 期信号，且保留原了信号的相位信息。
（6）两个非同频率的周期信号互不相关。
2.4 信号的时差域相关分析
相关分析的工程应用
案例：机械加工表面粗糙度自相关分析
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
p (x)limp (x x( t) x x x) x
随△x的变化，是幅值x的函数
第二章、信号分析基础
河南科技大学
p(x)的计算方法：
p(x) lim1 x[ limT T x] x 0 T
河南科技大学
x ( t) c 1 x 1 ( t) c 2 x 2 ( t) ...... c n x n ( t)
正交函数集（三角函数、复指数函数、沃尔什函数等）
第二章、信号分析基础 d.偶分量和奇分量
河南科技大学
x(t)xe(t)xo(t)
第二章、信号分析基础
河南科技大学
e.实部分量和虚部分量
河南科技大学
2.2 信号的时域波形分析
河南科技大学
第二章、信号分析基础
2.3 信号的幅值域分析
河南科技大学
幅值域分析：在时域中，采用统计分析的方法，描述幅值 取值大小及其频率（概率密度函数、概率分布函数、联合 概率密度函数）
第二章、信号分析基础
2.3 信号的幅值域分析
河南科技大学
1 概率密度函数
（4）随机噪声信号的自相关函数将随 的增大快 速衰减。
2.4 信号的时差域相关分析
河南科技大学
（5）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周 期信号，且保留原了信号的相位信息。
（6）两个非同频率的周期信号互不相关。
2.4 信号的时差域相关分析
相关分析的工程应用
案例：机械加工表面粗糙度自相关分析
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
信号分析基础
准周期信号
瞬态信号：连续时间有限旳信号，如 x(t)= e-bt
瞬态信号
第一节 信号类型
2.非拟定性信号 不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知
旳信号。 用概率统计措施估计。
噪声信号(平稳)
噪声信号(非平稳)
统计特征变异
第一节 信号类型
(二) 能量信号与功率信号
1.能量信号 在所分析区间(-∞，∞)内，能量为有限值旳信号。 满足条件：
(b)正弦信号 + 随机信号
(d)宽带随机噪声
第三节 信号时域分析
五、时域有关分析 1.有关概念
变量之间旳依赖关系，统计学中用有关系数描述 变量x，y之间旳有关性。
y y y
x xy 1
x xy 1
x xy 0
第三节 信号时域分析
2.自有关函数
各态历经随机信号，自有关函数：
Rx
(
)
lim
T
1 T
T
x(t)x(t ) d t
0
性质
a. 实偶函数
b. Rx(0)= 2x
c. Rx(∞)=μ2x d. μ2x –σx2≤Rx(τ)≤μ2x +σx2 e. 周期信号x(t)， Rx(τ)是与原信号同频率旳周期信号， 但不具有原信号旳相位信息
第三节 信号时域分析
例：求正弦信号x(t)=x0sin(ωt+φ)旳自有关函数
b1
d x(t) dt
b0 x(t)
第二节 系统
时不变线性系统性质:
1)叠加原理
x1(t) x2 (t) y1(t) y2 (t)
2)百分比特
征 ax1(t) bx2 (t) ay1(t) by2 (t)
瞬态信号：连续时间有限旳信号，如 x(t)= e-bt
瞬态信号
第一节 信号类型
2.非拟定性信号 不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知
旳信号。 用概率统计措施估计。
噪声信号(平稳)
噪声信号(非平稳)
统计特征变异
第一节 信号类型
(二) 能量信号与功率信号
1.能量信号 在所分析区间(-∞，∞)内，能量为有限值旳信号。 满足条件：
(b)正弦信号 + 随机信号
(d)宽带随机噪声
第三节 信号时域分析
五、时域有关分析 1.有关概念
变量之间旳依赖关系，统计学中用有关系数描述 变量x，y之间旳有关性。
y y y
x xy 1
x xy 1
x xy 0
第三节 信号时域分析
2.自有关函数
各态历经随机信号，自有关函数：
Rx
(
)
lim
T
1 T
T
x(t)x(t ) d t
0
性质
a. 实偶函数
b. Rx(0)= 2x
c. Rx(∞)=μ2x d. μ2x –σx2≤Rx(τ)≤μ2x +σx2 e. 周期信号x(t)， Rx(τ)是与原信号同频率旳周期信号， 但不具有原信号旳相位信息
第三节 信号时域分析
例：求正弦信号x(t)=x0sin(ωt+φ)旳自有关函数
b1
d x(t) dt
b0 x(t)
第二节 系统
时不变线性系统性质:
1)叠加原理
x1(t) x2 (t) y1(t) y2 (t)
2)百分比特
征 ax1(t) bx2 (t) ay1(t) by2 (t)
信号分析基础2(频谱
2021/4/22
7
西安工业大学机电学院
an
2 T0
T0
2 T0
f (t) cos n0t.dt
2
bn
2 T0
T0
2 T0
f (t) sin n0t.dt
2
f
(t)
a0 2
(an
n1
cos nw0t
bn
sin nw0t)
A0 2
An
n1
cos(nw0t
n )
（1）
A0 a0
2021/4/22
x(t) X ( f )e j2ft df
x( f ) X (t)e j2ft dt
X (t) x( f )
2021/4/22
35
2.4 傅立叶变换的性质
已知条件： x(t)
西安工业大学机电学院
X(f)
t X(t)
可推出：
f x(f)
t
f
2021/4/22
36
2.4 傅立叶变换的性质
X(t)= sin(2πnft)
傅里叶 变换
0
t
0
f
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
2021/4/22
2
2.3信号的频域分析 时域分析与频域分析的关系
幅值
西安工业大学机电学院
信号频谱X(f)代表了信号在 不同频率分量成分的大小， 能够提供比时域信号波形 更直观，丰富的信息
An an2 bn2
n
arctg bn an
8
周期信号的频谱分析
西安工业大学机电学院
复指数形式：将三角函数形式中的正余弦用欧拉公式代换
检测技术基础知识
(2-14)
相应的有限离散数字信号序列：｛x(k)｝(k=1,2,…,N)的平
均功率(均方值)和有效值(均方根值)计算式分别为
平均功率：
xMS
1 N
N
x2 (k )
k 1
(2-15)
有效值：
xRMS
1 N x2(k) N k 1
(2-16)
第2章 检测技术的基础知识
Ⅲ.峰值和双峰值
第2章 检测技术的基础知识
2)随机误差的处理方法 (1)若无系统误差存在，当测量次数n无限增大
时，测量值的算术平均值与真值就无限接近。 (2)极限误差也称最大误差，是对随机误差取值
最大范围的概率统计。工程上常用±3σ估计随机误 差的范围。取±3σ作为极限误差，超过±3σ者作 为疏失误差处理。
第2章 检测技术的基础知识
第2章 检测技术的基础知识
2.1.2 测量误差的表示方法
1.绝对误差
测量值（即示值）x与被测量的真值x0之间的代 数差值Δx称为测量值的绝对误差，即
2.相对误差
Δ x=x-x0
（2-1）
测量值（即示值）的绝对误差Δx与被测参量真
值x0的比值，称为检测系统测量值（示值）的相对
误差δ，该值无量纲，常用百分数表示，即
当n为偶数时
k
n
M vi vi
当n为奇数时 i1
k 1
取 kn 2
（2-6）
k
n
M vi vi
i 1
k
(2)周期性系统误差的检查
取 k n 1 （2-7） 2
第2章 检测技术的基础知识
2）系统误差的消除
Ⅰ 引入修正值法 Ⅱ 零位式测量法 Ⅲ 替换法（替代法、代替法） Ⅳ 对照法（交换法） Ⅴ 交叉读书法 Ⅵ 半周期法
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(a)
~ x (t )
0
2T
T
T1
T1
T
2T
t
(b)
2.3 非周期信号及其频谱 根据周期信号的傅立叶级数展开：
~ x (t )
式中：
n
Cne
jn 0 t
0 2 / T 。
1 Cn T
T /2 T / 2
jn 0 t ~ x (t ) e dt
从傅立叶级数的角度考虑：谐波分量的叠加 1 j t f (t ) F e d F F e j 2π 实函数 1 j ( ) j t F e e d 2π 欧拉公式
1 2π
Im[ X ( f )] Re[ X ( f )]
华中科技大学机械学院
2.3 非周期信号及其频谱 其中：
A( f ) X ( f ) ,称为x( t )的幅值谱密度
( f )称为x( t )的相位谱密度
X ( f ) 称为能量谱密度 ReX ( f )称为实谱密度 ImX ( f )称为虚谱密度
n
X ( n
0
)e
jn0 t
0
2 ~ x ( t ) x( t ), 0 d , n0 , T X ( f )e j Nhomakorabeaft df
j 2 ft
于是有：
傅立叶逆变换：F-1[X(f)]
1 x( t ) 2
X( )
华中科技大学机械学院
2.3 非周期信号及其频谱 1. 引出 在时域可以看到，如果一个周期信号的周 期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周
期信号；反过来，任何非周期信号如果进行周
期性延拓，就一定能形成一个周期信号。我们
把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷
大时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在
2.3 非周期信号及其频谱
对于周期方波信号：
E
f (t )
-T
E 当T ，时，0 0， T
O T1
-T
t
幅度 T 谱线间隔 2 π 0 T
2 ET1 F ( n1 ) T 为无限小，
f t 由周期信号 非周期信号。
O
1 2 1
π T1
X ( f ) X ( f ) A( f ) ( f ) 0
1 1
( 当：
n 1 / 2 T1
f
n 1 T1
), n 0 ,1,2
X ( f ) X ( f ) A( f ) ( f )
2.3 非周期信号及其频谱 幅度频谱 时域波形
2
华中科技大学机械学院
2.3 非周期信号及其频谱
傅立叶变换存在的充分条件
（1）x(t)在 , 范围内满足狄里赫利条件 （2）绝对可积，即
f ( t ) dt
f ( t ) dt
2
（3）为能量有限信号，即
用广义函数的概念，允许奇异函数也能满 足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存 在傅立叶变换。
x( t )e jn0 t dt
f ( t ) ：周期信号 非周期信号 T 1 j n t 2 谱系数： C n T f ( t )e dt T 2
而：
0
再用 Cn 表示频谱就不合适了，虽然各 频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别。
X ( n 0 ) TC n
n n 1 / 2 0 ( f ) T1 T1 ( f ) , n 0 ,1,2 n 1 / 2 n 1 ( f ) T T 1 1
怎样得到的？!
相位谱的推导： 因：X ( f ) 2T1 Sinc( 2fT1 ), 当E 1 A( f )e j ( f ) 2T1 Sinc( 2fT1 ) e j ( f ) A( f )cos ( f ) j sin ( f ) 2T1 Sinc( 2fT1 ) cos ( f ) j sin ( f ) 所以,当：( Tn f n T1 / 2 ), n 0 ,1,2
华中科技大学机械学院
2.3 非周期信号及其频谱 如图（a）所示的时域有限信号 ，可构造 x( t ) ~ 一周期信号（周期延拓） x( t ) ，其周期 T 2T1 , 则在一个周期内，与 x( t ) 等同，如图(b)所示。 当 T 时，则在任意时刻，二者等同。 x(t )
t
T1 T1
华中科技大学机械学院
第二章、信号分析基础
2.3 非周期信号及其频谱 2.3.1 傅立叶变换与非周期信号的分解
非周期信号是时间上不会重复出现的信号， 一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能 量为有限值。在有限区间内进行傅立叶级数展开 是错误的。 这种信号的频域分析手段是傅立叶变换。由 周期信号的傅立叶级数展开导出。
x( t )e
jn 0 t
dt
频谱密度函数 简称频谱函数
X( )
x( t ) e
j t
dt lim TC n 具有频谱随频率分
T
布的物理含义.
华中科技大学机械学院
2.3 非周期信号及其频谱
从物理意义来讨论FT
(a) X(ω)是一个密度函数的概念 (b) X(ω)是一个连续谱 (c) X(ω)包含了从零到无限高频的所有频率分 量,分量的频率不成谐波关系。 (d) 周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱的 样本；而非周期信号的频谱是对应的周期信号频 谱的包络。
x(t)
E
T1 O
频谱图
2 ET1
X(f)
1 2T1 1 T1
O
f A(f)=|X(f)|
2 ET1
T 1
t
O
相位频谱
( f )
f
f
2.3 非周期信号及其频谱
Ee t t 0 0 f t t0 0
F F f ( t ) Ee t ut e j t dt
华中科技大学机械学院
2.3 非周期信号及其频谱 与周期信号相似，非周期信号也可以分解为 许多不同频率分量的谐波和，所不同的是，由于 非周期信号的周期T∞，基频fdf，它包含了 从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅 值为X(f)df，这是无穷小量，所以频谱不能再用 幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。
0
于是：
T
0
~ x( t )
1 1 jn0 t X ( n0 )e 2 n T
n
X ( n
)e
jn0 t
0
2.3 非周期信号及其频谱 1 对于： jn0 t ~
1 x ( t ) X ( n0 )e 2 n T X ( n 0 ) x (t )e jn 0t dt 因当 T 时,
F cos t d 1 j 2π
积分为0
F sin t d
1
0
0
F cos t d
F d cos t
2.3 非周期信号及其频谱 F f t d cos t 0 π 求和 振幅 正弦信号 1 无穷多个振幅为无穷小 F d 的连续余弦信号 π 之和, 频域范围: 0 F 1 j t j t f (t ) F e d d e 2π 2π 1 无穷多个幅度为无穷小 F d 的连续指数 2 信号之和，占据整个频 域 , : 。
d t e t e j t d t
0
1 1 2 2 j j 2
2 ET1 C n F n0 S inc n0T1 T
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2.3 非周期信号及其频谱 频谱演变的定性观察
2 0 T1
F ( n0 )
-T/2
T/2
F ( n0 )
0
F ( n0 )
-T/2
T/2
0
2
2
华中科技大学机械学院
X ( f ) 2T1 Sinc( 2fT1 ),当E 1
或者:
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2.3 非周期信号及其频谱
X ( f ) 2T1 Sinc( 2fT1 ),当E 1 X( f )e
j ( f )
A( f )e j 2T1 Sinc( 2fT1 ) e j ( f ) A( f ) 2T1 Sinc( 2fT1 ) 2T1 Sinc( 2fT1 )
T趋于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周
期信号的频域表示方法。
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2.3 非周期信号及其频谱 从傅立叶级数到傅立叶变换 我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期 T 增大时，频谱的幅度随 T0 的增大而下降；谱线 间隔随 T 的增大而减小；但频谱的包络不变。
0
0
再次考察周期性矩形脉冲的频谱图：
例．单边指数信号
f t
E
O
t
Ee j t d t
0
E 1 , 当E 1 j j
2.3 非周期信号及其频谱
例．双边指数信号
f t e
F
t
（ t ）
t
j t
0