高数习题集A

（二）常微分方程
一、选择题 1．微分方程 xyy x y y 4 y 0 的阶数是（
3
）
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 2 ）
2．在下列函数中，能够是微分方程 y y 0 的解的函数是（ (A) y 1 (B) y x (C) y sin x (D) y e x
2 3
四、综合题与应用题（20 题）
1.求 c(c>0)的值 使两曲线 yx2 与 ycx3 所围成的图形的面积为
2.求由心形线 r 1 cos 与圆 r 3cos 所围成的标有阴影线部分的图形的面积．
3．求曲线 r 1 及 r 1 cos 所围成图形的公共部分的面积。
1
e
（C） (e x xe x )dx ;
1
e
（D） (ln y y ln y) dy .
0
1
6．曲线 r 2a cos (a＞ 0) 所围成图形的面积 A 为（ ）
1 2 d ; （A） 2 （2a cos 1 2 （2a cos ） d ; 2
3.曲线 y f ( x), y g ( x), ( f ( x) g ( x) 0) 与 x 轴及两直线 x a, x b (a b) 围成平面图形 绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积为 。
4.设平面图形由曲线 r f () 0 及射线 , 围成，则其面积可用定积分表 示为 5.椭圆
] 上 由曲线 ysin x 与直线 x0、y1 所围成的图形的面积 2 8.计算心形线 r a 1 cos a 0 所围成的图形的面积。
e
7.求在区间 [0,
9.求曲线 y=ln x，x=2 及 x 轴围成的平面图形的面积．
10.求抛物线 x 2 y y 2 与直线 y 2 x 围成的图形的面积． 11. 计算由抛物线 y x 2 1 与直线 y x 1 所围成的图形的面积． 12.计算阿基米德螺线 r a (a 0) 上相应于 从 0 到 2 的一段弧与极轴围成的图 形的面积．
1
（C）
2
0
1 2 （2a cos ） d ; 2
（D）
2 2
1 2 （2a cos ） d . 2
7． 曲线 y f ( x) 、y g ( x) ( f ( x) g ( x) 0) 及直线 x a, x b 所围成图形绕 x 轴旋转而成的 旋转体的体积为（ ） （A） [ f ( x) g ( x)] 2 dx ;
0 1
（B） [ f 2 ( x) g 2 ( x)]dx ;
0
1
1 1 （C） [ f ( x) g ( x)]2 dx ; 2 0
1 1 （D） [ f 2 ( x) g 2 ( x)]dx . 2 0
8．曲线 y ln(1 x ) 在 0 x 上的一段弧长为（ ）
2 3 3 17.求心形线 r a1 cos
16. 计算曲线 y x 2 上相应于 0 x 1 的一段弧的弧长．
x a sin 18.计算摆线 y a 1 cos
a 0 的弧长.
的一拱 0
2 的长度.
13. 计算由椭圆
x2 y2 1 所围成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积． a2 b2
14. 连接坐标原点 O 及点 P(h, r ) 的直线、直线 x h 及 x 轴围成一个直角三角形.求这 个直角三角形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积． 15.求由曲线 xy 4 ， y 1, y 2 ， y 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的 体积．
0

（B） | cos xdx | ;
0

（C） cos x dx ;
0

（D） 2 cos xdx + cos xdx .
0 2


4．曲线 y ln x 与直线 y ln a, y ln b, 0 a b 及 y 轴所围成的面积值为（ ） （A） （C）
2
部分的面积 A1 与 A2 之和具有最小值。
图2 图3 17.一个底半径为 R(m)， 高为 H(m)的圆柱形水桶盛满了水， 要把桶内的水全部吸出， 3 3 2 需要作多少功(水的密度为 10 kg/m ，g 取 10m/s )? 18．有一闸门，它的形状和尺寸如下图所示，水面超过门顶 2 米．求闸门上所受的 水压力．
常州大学怀德学院大学数学 A（中）试题库
（一）定积分应用
一、选择题 1．图中阴影部分的面积的总和可表示为 ( )
（A） f ( x)dx
a c1 c2 b a c1 c2
b
（B） | f ( x) dx |
a c1 c2 b a c1 c2
b
（C） f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx （D） f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 2．曲线 y x( x 1)( x 2) 与 x 轴所围成的图形面积为（ ） （A） x( x 1)( x 2)dx ;
2 2
3 2
产生的立体的体积 11.两根电线杆之间的电线，由于其本身的重量，下垂成曲线形，这样的曲线称为悬
x ea e 链线，悬链线方程为 y a ch a a 2
x a cos 3 t ,
3 y a sin t ,
x

x a
，其中 a 为常数，计算悬链线上介于 x b 与
3
4．求摆线
x a (t sin t ) ( a 0, 0 t 2 ) 的一拱与 y a (1 cos t )
x 轴围成的图形的面积．
5.求摆线 x at sin t ， y a1 cos t 的一拱 (0 t 2 ) ，和 x 轴所围成图形绕 x 轴旋转 产生的旋转体的体积． 6．求介于曲线 y e x 与它的一条通过原点的切线以及 y 轴之间的图形的面积. 3 7.计算曲线 yx 与直线 x2、y0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转产生的立体 的体积 8. y x 2 和 x 轴， x 1 所围成图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转所产生的旋转体的体积； 9. 求曲线 y x 与直线 x1、x4、y0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转产生的 立体的体积 10.求曲线 x y 1 与 y 2 x 所围成的两个图形中较小的一块分别绕 x 轴、y 轴旋转
x b 之间（对应于两根电线杆之间）的一段弧长．
12.求星形线 13.求星形线
0 t 2 , 所围成图形绕 x 轴旋转产生的立体的体积． 0 t 2 , 的弧长．
x a cos 3 t ,
3 y a sin t ,
14. 一物体按规律 x ct 3 作直线运动， 媒质的阻力与速度的平方成正比． 计算物体由 x 0 移至 x a 时，克服媒质阻力所作的功． 15* ． 过 抛 物 线 y x 2 上 一 点 P(a, a 2 ) 作 切 线 ， 问 a 为 何 值 时 所 作 切 线 与 抛 物 线 y x 2 4 x 1 所围成的图形面积最小？ 16*.设 y = x 定义在[0 , 1]上，t 为 (0,1) 内的一点，问当 t 为何值时图 2 中两阴影
x2 y2 1 所围图形的面积为 a2 b2 1 x
。 。
2
6.由曲线 y 与直线 y x 及 x 2 所围成的图形的面积是
7.曲线 r 2a cos 所围成的平面图形的面积为
。 。
8. 曲线 y x 2 、 x 1 和 x 轴所围成的图形绕 y 轴旋转产生的旋转体的体积为 9. 心形线 r a1 cos
ln b ln a ln b
e y dy ; ln xdx ;
x
（B） e y dy ;
a
b
ln a
（D） ln xdx .
a
b
5．曲线 y e 与该曲线过原点的切线及 y 轴所围成的面积值为（ ） （A） (e x ex)dx ;
0 1
（B） (ln y y ln y ) dy ;
a 0 的弧长
。 。
10．弹簧拉长 0．02m，需要 9．8N 的力，弹簧拉长 0．10m 所作的功为 三、计算题（基本题 20 题） 1.计算曲线 y e x ， y e x 与直线 x 1 所围成的图形的面积。 2. 计算曲线 y sin x ， y cos x 与直线 x 0 所围成的图形的面积。 3. 计算曲线 r 2 cos 所围成的图形的面积. 4. 计算曲线 y ln x 与直线 x 1 , x e 和 y=0 所围成的图形的面积. 5.求由曲线 yx2 与 y2x2 所围成的图形的面积 6.求由曲线 yx3 与直线 x0、y1 所围成的图形的面积
2
1 2
（A） （C）
1 2 0
1 1 dx ; 2 1 x 2 x 1 dx ; 1 x2
2
（B） 2
0
1
1 x2 dx ; 1 x2
2 1 ln 1 x dx . 2
1 2 0
（D）
1 2 0
9．矩形闸门宽 am ，高 hm ，将其垂直放入水中，上沿与水面平齐，则闸门一侧所受 压力为（ ） （A） ag xdx ;
h h 0
（B） ag xdx ;
0
a
（C） ag ( x h )dx ;
0
（D） ag xdx .