高三数学一轮复习精品学案：解三角形的综合应用

§4.7解三角形的综合应用实际测量中的常见问题知识拓展实际问题中的常用术语1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． 4．坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ )(4)方位角大小的范围是『0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎡⎭⎫0，π2.( √ ) 题组二 教材改编2.『P11例1』如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为________ m.答案 50 2解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B ，又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．3．『P13例3』如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为60°，则山高h ＝______米．答案 22a解析 由题图可得∠P AQ ＝α＝30°，∠BAQ ＝β＝15°，△P AB 中，∠P AB ＝α－β＝15°， 又∠PBC ＝γ＝60°，∴∠BP A ＝()90°－α－()90°－γ＝γ－α＝30°， ∴a sin 30°＝PBsin 15°，∴PB ＝6－22a ， ∴PQ ＝PC ＋CQ ＝PB ·sin γ＋a sin β ＝6－22a ×sin 60°＋a sin 15°＝22a .题组三 易错自纠4．在某次测量中，在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°，C 点的俯角是70°，则∠BAC 等于( ) A ．10° B ．50° C ．120°D ．130°答案 D5.如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一条直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝________.答案3 2a解析由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝3a，所以在Rt△ADB中，AB＝12AD＝3 2a.6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________ km/h. 答案60°20 3解析如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC＝203，∠COy＝30°＋30°＝60°.题型一求距离、高度问题1．(2018·吉林长春检测)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.答案10 3解析如图，OM＝AO tan 45°＝30(m)，ON＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×3 2＝300＝10 3 (m)．2.(2017·郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，则山高CD ＝________.答案h cos αsin βsin (α－β)解析 由已知得，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC sin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β).故山高CD 为h cos αsin βsin (α－β).3．(2018·日照模拟)一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°的方向上，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为________ km.答案 30 2解析 如图，由题意知，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∴B ＝45°，AC ＝60，由正弦定理得BC sin 30°＝AC sin 45°， ∴BC ＝302(km)．思维升华 求距离、高度问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．题型二 求角度问题典例 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________．答案 2114解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，得BC ＝207.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC， 即sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277. 由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 思维升华 解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用． 跟踪训练 如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°的方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°的方向上，则灯塔A 在灯塔B 的______的方向上．答案北偏西10°解析由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°的方向上．题型三三角形与三角函数的综合问题典例(2018·石家庄模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos B－b cos C＝0.(1)求角B的大小；(2)设函数f(x)＝2sin x cos x cos B－32cos 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．解(1)因为(2a－c)cos B－b cos C＝0，所以2a cos B－c cos B－b cos C＝0，由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0，即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0，又C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A .所以sin A (2cos B －1)＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)因为B ＝π3， 所以f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， 即当x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，f (x )取得最大值1. 思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．跟踪训练 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π (k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34. 所以△ABC 面积的最大值为2＋34.函数思想在解三角形中的应用典例 (12分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决． 规范解答解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则『1分』S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900⎝⎛⎭⎫t －132＋300.『3分』 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3. 即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．『6分』(2)设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，『8分』故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30， ∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23. 又当t ＝23时，v ＝30， 故当v ＝30时，t 取得最小值，且最小值为23. 此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.『11分』故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．『12分』。