抽样技术-分层随机抽样概述
2-1-3分层抽样4
1 L yst = ∑ Wh yh (或 = ∑ N h yh ) 或 N h =1 h =1 ~ 的无偏估计可选为： 总体总和 Y 的无偏估计可选为：
L
(4.2)
% yst = N ⋅ yst = N ⋅ ∑ Wh yh = ∑ N h yh
h =1 h =1
L
L
(4.3)
的方差为： 估计量 y st 的方差为： L Var ( yst ) = Var ( ∑ Wh yh ) 由于各个小盒子的抽样过程是相互独立的，故各个 yh相互 由于各个小盒子的抽样过程是相互独立的， 独立，由独立随机变量之和的方差计算公式， 独立，由独立随机变量之和的方差计算公式，有
含义 的层权 抽样比 总体均值 样本均值
记号 公式
Yh
yh
2 Sh
2 sh
∑Y
i =1
Nh
hi
= N hYh
∑y
i =1
nh
hi
= nh yh
(Yhi − Yh )2 ∑
i =1
Nh
( yhi − yh )2 ∑
i =1
nh
Nh −1
nh − 1
代表的 第 h 层的 第 h 层的 第 h 层的 第 h 层的 含义 总体总量 样本总量 总体方差 样本方差
h=1 i =1 L
h =1
L
(4.5)
(4.5)式两端各除以 －1)，假如各层的单元数 N h都很大，当 式两端各除以(N－ ， 都很大， 式两端各除以 近似认为： 近似认为： N h ≈ N h − 1 ≈ N h = W (4.6) h
N −1
N −1
N
因此直接来自总体的简单随机抽样平均数的方差大约为： 因此直接来自总体的简单随机抽样平均数的方差大约为： L 1 1 L 2 2 Var ( y ) = ( − ) ∑ Wh Sh + ∑ Wh (Yh − Y ) (4.7) n N h =1 h =1 (4.7)式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和，而第二 式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和， 式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和 项则表示了各小盒子之间的差异平方和。比较(4.4)和(4.7)， 项则表示了各小盒子之间的差异平方和。比较 和 ， 那么易见(4.4)式变为 若取 nh n = Wh ，那么易见 式变为 1 1 L 2 Var ( yst ) = ( − )∑ Wh S h n N h =1
抽样技术分层随机抽样
抽样技术：分层随机抽样引言在数据分析中，抽样是一种常见的技术，用于从总体中选择一部分样本进行研究和分析。
抽样的目的是获得对总体的准确、可靠的估计，同时降低研究成本和时间。
然而，在实际应用中，总体往往是复杂多样的，包含不同属性或特征的子群体。
这时，分层随机抽样就是一种有效的抽样技术，可以提高抽样的精确性和代表性。
本文将介绍分层随机抽样的概念、步骤和应用。
什么是分层随机抽样?分层随机抽样是一种按照总体的分层结构进行抽样的方法。
总体根据某种特征或属性被划分为若干层，然后从每一层中随机选择一部分样本，构成最终的样本集。
这种抽样方法能够充分考虑总体内部的差异，保证样本对总体的代表性和准确性。
分层随机抽样的步骤分层随机抽样一般包括以下几个步骤：步骤1：总体划分层首先，需要根据某种特征或属性将总体划分为若干层。
层与层之间应具有较大的差异，而层内部的差异应尽可能小。
步骤2：确定每层的样本量和抽样比例根据抽样的目标和总体的特点，可以确定每一层的样本量。
通常情况下，样本量应当足够大，以获得准确的统计结果。
同时，需要确定每一层的抽样比例，比例应考虑到层内部的差异和样本数量。
步骤3：随机抽样在每一层内，根据抽样比例，从层内随机选择样本。
随机抽样可以保证样本的无偏性和代表性。
步骤4：组成样本集将每一层内抽取的样本进行组合，形成最终的样本集。
样本集应能够反映总体的属性和特征。
分层随机抽样的优点相比于简单随机抽样和系统抽样，分层随机抽样具有以下优点：提高估计的精确性分层随机抽样可以将总体划分为若干个层，然后分别从每一层抽取样本。
这样做有助于充分考虑总体内部的差异，提高估计的精确性。
降低误差由于分层随机抽样将样本分布在不同层中，可以降低抽样误差和估计误差，从而提高研究结论的可靠性。
保证样本的代表性分层随机抽样能够从每一层中抽取样本，使样本更具代表性。
这样可以在不损失总体属性和特征的情况下，降低样本的偏差。
分层随机抽样的应用分层随机抽样在社会调查、市场研究、医学研究等领域有着广泛的应用。
抽样调查-3分层随机抽样
V (Yˆst ) N 2V (Yˆst )
L
V (Yˆh )
h1
样
N 2 L Wh2V (Yˆh ) L N h2V (Yˆh )
h1
h1
调
2
对分层随机抽样，Yˆ st
=Ny st
是Y的无偏
估计。
查
V (Yˆst )
N 2V (Yˆst )
L h1
N h2V (Yˆh )
L h1
不漏”的L个子总体，即每个单元必属于且层（stratum）。
N N1 N2 NL
N {Y1,Y2 ,,YN }
Nh {Yh1 ,Yh2 ,,YhNi } h 1,2,, L
2020/7/27
2
定义3.2 3.3 分层随机抽样
抽
分层抽样又称为类型抽样或分类抽样，即抽样
查
三、总体比例的估计
Chap 3 分层随机抽样
抽
3.1 定义与符号
3.2 简单估计量及其性质
样
3.3 比率估计及其性质
调
3.4 回归估计及其性质
3.5 各层样本量的分配
3.6 总样本量的确定
查
3.7 其它相关问题
§3.1 定义与符号
抽 一、定义与符号
（一）定义
样
定义3.1 层（类）：
调
如果一个包含N个基本单元的总体可以分成“不重
N
2 h
1 fh nh
S
2 h
L
3分层随机抽样：v(Yˆst ) Nh2v( yh ) h1
2020/7/27
L h1
N
2 h
1 fh nh
sh2
11
抽
▪ 例3.1 调查某地区的居民奶制品年消费支出， 样 以居民户为抽样单元，根据经济及收入水
第四章分层随机抽样
第四章分层随机抽样第一节分层随机抽样概述分层抽样也叫做类型抽样，它是实际工作中最常用的抽样技术之一。
分层抽样是在抽样之前，先将总体按一定标志划分为若干个层（组），后在各层内分别独立地进行抽样。
由此所抽得的样本称之为分层样本。
各层所抽的样本也是互相独立的。
如果每层中的抽样都是简单随机的，则这种抽样就叫做分层随机抽样。
由此所得到的样本称做分层随机样本。
从以上概念可以看出，分层抽样的实质是在各层间作全面调查，而在各层内作抽样调查。
因此，分层抽样的误差只与各层内的差异有关，而同各层间的差异无关。
所以，为了能有效地降低抽样误差，提高抽样效果，在分层时应遵循“尽可能使层内差异小，而使层间差异大”的原则，同时要使分层的结果既无重复又无遗漏。
进行分层抽样时应注意：①层内抽样设计的选择；②分层变量的选择；③各层样本量的分配；④层数；⑤层的分界。
以前只重视③，近年来，④和⑤引起了越来越多的关注。
同简单随机抽样相比，分层抽样具有以下特点：①分层抽样能够充分地利用关于总体的各种已知信息进行分层，因此抽样的效果一般比简单随机抽样要好。
但当对总体缺乏较多的了解时，则无法分层或不能保证分层的效果。
②在分层抽样中，总体的方差一般可以分解为层间方差和层内方差两部分。
由于分层抽样的误差只与层内差异有关，而与层间差异无关，因此，分层抽样可以提高估计量的精度。
③由于分层抽样是在每层内独立地进行抽样，因此，使得分层样本能够比简单随机样本更加均匀地分布于总体之内，所以其代表性也更好些。
④分层抽样的随机性具体体现在层内各单元的抽取过程之中，也即在各层内部的每一个单元都有相同的机会被抽中，而在层与层之间则是相互独立的。
⑤分层抽样适合于调查标志在各单元的数量分布差异较大的总体。
因为对这样的总体进行合理的分层后可将其差异较多地转化为层间差异，从而使层内差异大大减弱。
⑥分层抽样中除了可以推断总体参数外，还可以推断各不同层的数量特征，并进一步作对比分析，从而满足不同方面的需要，也能帮助人们对总体作更全面、更深入的了解。
抽样技术第4章分层抽样
4.7 事后分层
在实际当中，有时进行事先分层会存在 一定的困难。 1.各层的抽样框无法得到。 2.几个变量都适合于分层，而要进行事先的 多重交叉分层存在一定困难。 3.总体规模太大，事先分层太费事等。 在这种情况下，就可以考虑采用事后分层 技术。
事后分层的具体实施办法是：先采用简
单随机抽样的方法从总体中抽取一个样本
第四章 分层抽样
4.1 什么是分层抽样
在例2.4中我们用简单随机抽样估计每 个郡的平均农场面积。我们提到，即使我 们认真细致地产生了一个随机样本，还是 有一些地区被过分代表，而另一些则根本 没有代表。例4.1用分层抽样保持分层变量 在样本中的均衡，从而使得总体得到全面 的估计。
使用分层抽样的理由： 1.我们要防止得到一个很差的样本。
分层抽样比例
如我们在2.3中所观察到的一样，比例是取
值为0到1之间的一个变量的均值，为了得
到比例的推断，我们用等式（4.1）—
（4.5），其中
，
，
则有
估计总体单元的总数有一个特别相似的性质：
因此，总体单元的总数估计量是每层总数估
计量之和 。类似有
。
例4.3 美国团体学习委员会（ACLS）用分层随 机抽样在七门学科中选取ACLS中的团体研究出版 物格局和属于这些团体的学者使用电脑和图书馆 的情况。数据见表4.2.
单元数。这样第h层中第j个单元入样的概率
为
。因此，抽样权重只是抽样概率
的倒数：
（4.8）
抽样权重之和等于总体容量N，每个抽样单 元代表一特定数量的总体单元。因此，整 个样本代表整个总体。这个定义可以用于 检验权重变量是否正确：如果样本权重之 和是其它的数，而不是N，那么肯定有某个 地方出错了。 总体总数的估计量可以写成以下形式：
分层抽样
分层抽样————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ分层抽样抽样技术作为现代统计学科体系的重要组成部分，被广泛运用到社会实践当中。
自从1８9５年挪威首任中央统计局局长凯尔在伯尔尼第五届国际统计学会会议上提出所谓“代表性调查”的抽样方法以来,经过1０0多年的理论探讨和时间积累,抽样理论更加科学，抽样技术日臻完善。
抽样又称取样。
其原理是从研究的全部样品中抽取一部分样品单位。
从被抽取样品单位的分析、研究结果来估计和推断全部样品特性，是科学实验、质量检验、社会调查普遍采用的一种经济有效的工作和研究方法。
基本的抽样技术包括简单随机抽样,系统抽样，分层抽样,多阶段抽样等。
在实际的抽样调查中我们常常会根据调查成本，调查规模等结合运用各种抽样方法进行实践。
分层抽样是通过对总体单位进行分类,即分成若干子总体，子总体之间比较相似,使每一个字总体的方差变小，这样只需要在子总体中抽取少量样本单位,就能很好地代表子总体的特征，从而提高对整个总体估计的精度。
分层抽样需要事先知道各层权重,但在现实情况下有些资料无法提前预知。
这时我们可以先从总体中抽取一个大的初始样本，从而获得有关的辅助信息,然后再从初始样本中抽取一个字样本,这种方法就是双重抽样。
其定义为,当简单性状与复杂性状存在关系时可用抽取简单性状来间接估计复杂性状的抽样方法。
结合分层抽样的双重抽样方法即为分层的双重抽样。
分层抽样,的主要特点就是可以提高估计精度,它不但能对总体进行估计。
同时可以对各层子总体进行估计。
如此便于实际中抽样的组织和实施。
下面我们就分层抽样方法展开讨论,运用实例分析进行比较。
一、分层抽样的原理简介在抽样之前,先将总体N 个单位划分成Ｌ个互不重复的子总体,每个子总体成为层,他们的大小分别为L N N N N ...,,,321，这L 层构成整个总体(1lh N Nh ==∑)。
04-第四章_分层随机抽样
思考：
y st =
1 L å nh y h 可以作为总体均值 Y 的无偏估计量吗？ n h =1
而总体总量 Y 的估计直接采用各层总量估计的总和：
ˆ ˆ = åY Y st h
h =1
L
ˆ = N Y h ，则 如果每个 Y h h ˆ = åY ˆ = å N Y h = N å W Y h = N Y st Y st h h h
且由于各层的抽样是相互独立的，因此
Ù L Ù L Ù
Ù
V (Y st ) = V (å Wh Y h ) = å W V (Y h )
h =1 L h =1 2 h
ˆ ) = V (å Y ˆ ) = å V (Y ˆ) V (Y st h h
h =1 h =1
L
（2）对于分层随机抽样 对于分层随机抽样，由简单随机抽样简单估计量的性质，不难得到相 应简单估计的性质。 先给出结论：
过程如下：
ˆst ) = E ( N Y st ) = NE (Y st ) = NE ( y ) = N Y = Y E (Y st
Ù
Ù
6
ˆ ) = V ( N Y st ) V (Y st = N 2V (Y st ) = N 2V (å Wh y h )
h =1 L Ù
Ù
= N 2 å Wh2V ( y h )
h =1 L
L
= N 2 å Wh2
h =1
2 Sh n (1 - h ) nh Nh
2 L ˆ ) = N 2 å W 2 sh (1 - nh ) v(Y st h nh Nh h =1
注意到
1 nh s = ( yhi - y h )2 å nh - 1 i =1
第三章分层随机抽样
第三章分层随机抽样
§3.1 引言
§3.2 估计量
§3.3 样本量在各层的分配§3.4 样本量的确定
附录一
附录二
§3.1 引言⏹定义与特点➢定义
➢特点
※分层抽样的抽样效率高(即分层抽样的估计精度高)。
①层抽样估计量的方差只与层内方差有关，与层间方
差无关。
通过分层，尽可能降低层内差异，使层间差异增大，从而提高估计精度。
②从直观的角度来看，分层抽样可以使样本在总体中
分布比较均匀。
※分层抽样不仅可以对总体指标进行推算，也可以对各层指标进行推算。
▪使用场合
符号说明
§3.2 估计量
⏹总体均值的估计➢简单估计量的定义
➢简单估计量的性质
⏹总体总量的估计➢简单估计量的定义
➢简单估计量的性质
⏹总体比例的估计➢简单估计量的定义
➢估计量的性质
§3.3 样本量在各层的分配 比例分配
➢比例分配下总体均值估计
➢比例分配下总体总值估计
➢比例分配下总体比例估计
最优分配
➢Neyman(内曼)分配
▪考虑估计总体比例P的情形
§3.4 样本量的确定 影响样本量的因素
➢估计总体均值的情形
➢总体参数为P的情形。
分层随机抽样
•
V (YˆRC ) V (YˆRS )
• •
因用如此 联 果合 各,当比 层n估 的h 计 样均量本大量时,n用h不分大Y别ˆR，比较C或好估者。计各量层YˆR的S否比则率，R
差异较小（成本考虑 R Rh 0近似成立，联
h
合比估计并非更好，而只是与分别比估计相
当，但联合比估计本身由于只需知道辅助变
L
P的简单估计为pst Whph
h1
且是pst的无偏估计。
（2）
L
pst的方差V（ps）t
Wh
2
V（p
）
h
h1
L h1
Wh 2
1 fh nh
Nh Nh
1
PhQh
L h1
Wh 2
1 fh nh
PhQh (当Nh很大时）
(3) pst的方差V(pst )的估计：
h1
h1
yst的方差为V（ys） t
L h1
Wh 2 V（y h）
L h1
Wh 2
1 fh nh
Sh2
^
Y 的方差V ( yst )的估计：
v( yst )
L
Wh 2
h1
1 fh nh
sh 2
且为V（y）的无偏估计。
Y的置信度为1 的置信区间为：
y st z s( y st ), y st z s( y st )
pst z
Vˆ ( pst ), pst z
2
2
18.33%,27.39%
Vˆ
(
pst
)
《抽样技术》第三章-分层随机抽样
V prop
L
1 f n
则它是Y 的无偏估计。可计算出 1 f 1 2 7 2 2 2 V yst S1 S2 S3 n 10 30 3
2 S12 , S2 , S32 S 2 ，故 由经验知，应有
1 f V yst n 1 f n
1 2 7 2 2 2 S S S 30 3 10 S2 V y
2 h 2 h
1 L 1 L 2 2 2 Wh Sh Wh Sh Wh Sh n h1 N h1 h 1
L 2 h L 2
L
Vopt
W S Wh S 1 1 L 2 Wh Sh Wh Sh nh N n h1 N h1 h 1 h 1 V prop Vopt
2 L L 1 2 Wh Sh Wh Sh n h1 h1 2 1 L Wh Sh S n h1
其中S Wh Sh是Sh的加权平均值。
h 1
L
这是因为
n V prop Vopt Wh S Wh Sh h 1 h1
采用分层技术的主要理由
1.需要有总体的某些分类数据，且要具有规定的精 确度； 2.为便于行政管理而要求分层； 3.总体的各个不同部分的抽样问题可能显著地不同 ，即采用各自不同的抽样方法； 4.分层可能提高整个总体指标估计值的精确度。它 可以将一个内部差异很大的总体分成一些内部比较 相似的子总体。
分层抽样
一、知识概述1、分层抽样: 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层．2、不放回抽样和放回抽样：在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样．3、三种抽样方法的比较二、例题讲解例1、某单位有老年人28 人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36的样本，适合的抽取样本的方法是（）A．简单随机抽样B．系统抽样C．先从老年人中排除一人，再用分层抽样D．分层抽样答案：C、D例2、一个单位有500名职工，其中不到35岁的有125人，35岁～49岁的有280人，50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，如何从中抽取一个容量为100的样本？解：由于职工年龄与身体状况有关，故适于用分层抽样，抽样过程如下：（1）确定样本容量与总体的个体数之比100:500=1:5；（2）利用抽样比确定各年龄段应抽取的个体数，依次为，，，即25，56，19人；（3）利用简单随机抽样或系统抽样的方法，在各年龄段分别抽取25，56，19人，然后合在一起，就是所要抽取的样本．例3、某学校有职工140人，其中教师91人，教辅行政人员28人，总务后勤人员21人．为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本．以下的抽样方法中，依简单随机抽样、系统抽样、分层抽样顺序的是（）方法1：将140人从1～140编号，然后制作出有编号1～140的140个形状、大小相同的号签，并将号签放入同一箱子里进行均匀搅拌，然后从中抽取20个号签，编号与签号相同的20个人被选出；方法2：将140人分成20组，每组7人，并将每组7人按1—7编号，在第一组采用抽签法抽出k号(1≤k≤7)，则其余各组尾号也被抽到，20个人被选出；方法3：按20∶140=1∶7的比例，从教师中抽取13人，从教辅行政人员中抽取4人，从总务后勤人员中抽取3人．从各类人员中抽取所需人员时，均采用随机数表法，可抽到20个人．A．方法2，方法1，方法3B．方法2，方法3，方法1C．方法1，方法2，方法3D．方法3，方法1，方法2答案：C例4、某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样答案：D例5、某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法答案：B例6、一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了_________件产品．解析：由题意设从甲，乙，丙三条生产线抽取的产品分别为x－a，x，x＋a件，则(x－a)＋x＋(x＋a)=16800，求得x=5600(件)．例7、某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n=___________．答案：192例8、一批产品中，有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别用系统抽样法和分层抽样法，从这批产品中抽取一容量为20的样本．解：系统抽样法：先将200个产品随机编号，再将这些产品随机地分为20组，每组10个产品，在第1组用简单随机抽样法确定起始的个体编号，如08，再每隔10个抽取1个号码，得到样本:08，18， (198)分层抽样法：因为总体中个体数与样本容量的比为200︰20=10︰1，所以需从一级品中抽取×100=10个，二组品中抽取×60=6个，三级品中抽取×40=4个．将一级品的100个产品按00，01，…，99编号，将二级品的60个产品按00，01，…，59编号，将三级品的40个产品按00，01，…，39编号，采用随机数表法，分别从中抽取10个，6个，4个，这样就得到一个容量为20的样本．。
分层抽样
某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户， 中等收入家庭 280 户，低收入家庭 95 户，为了 调查社会购买力的某项指标，要从中抽取 1 个 容量为100户的样本，则采用（ ）抽样 方法；某校大一有12名女排运动员，要从中抽 取3人调查学习负担情况，则采用（ ） 抽样方法。
为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属 的 92家销售连锁店中抽取30家了解情况。若采 用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个数 分别是（ ）（ ）。
系统抽样的效果会受个体编号的影响， 而简单随机抽样的效果不受个体编号的 影响。
二、步骤：
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本。 （1）先将总体的N个个体排序，进行连续编号； （2）确定分段间隔 k，对编号进行分段，当N/n是整数时，取 k=N/n；当N/n不是整数时，从N中剔除一些个体，使得其为整 数为止。 （3）在第1段用简单随机抽样确定第一个样本编号l（l≤k）；
三、步骤
（1）确认目标总体。 （2）决定样本数。 （3）确定分层的特征，如年龄、性别等。 （4）将总体分成若干个不可重叠的部分，即分层后， 同一层内部的单位尽可能是同质的，不同层之间的单 位尽可能是异质的。 （5）根据一定的方式确定各层应抽取的样本量。 （6）分别采用简单随机抽样或者系统抽样的方式从 各层中抽取相应的样本。
分层随机抽样、分群随 机抽样、系统随机抽样
15五年制电商
§3.2.2、分层随机抽样技术 一、概念
分层随机抽样，又称为分层抽样、 类型随 机 抽 样 ， 就是先将总体按一定标准划分为 若干层，然后在各层中随机抽取样本的一 种方式，通过对总体进行分层，可保证样 本的代表性。 分层抽样的抽样误差≤简单随机抽样的抽样 误差。
分层随机抽样
分层随机抽样一、定义在抽样之前，先将总体N 个单元划分成L 个互不重复的子总体（不重不漏），每个子总体称为层，它们的大小分别为L N N N ,,,21 ，这个层合起来就是整个总体∑==Lh h N N 1，然后在每个层中分别独立地进行抽样，这种抽样就是分层抽样，所得到的样本称为分层样本。
如果每层都是独立按照简单随机抽样进行，则称为分层随机抽样 二、作用分层抽样的抽样效率较高，也就是说分层抽样的估计精度较高。
这是因为分层抽样估计量的方差只和层内方差有关，和层间方差无关。
分层抽样不仅能对总体指标进行推算，而且能对各层指标进行推算。
层内抽样方法可以不同，而且便于抽样工作的组织。
分层随机抽样的三个必要条件：（1）每层都抽；（2）各层都独立地抽；（3）各层的抽样都是简单随机抽样。
以分层抽样代替简单随机抽样的理由具体可以总结为以下几个方面：（1）由于每层都进行抽样，这使得样本在总体中分布更加均匀、更加具有代表性。
（2）由于抽样在每一层中独立进行，所以一则允许各层选择适合本层的不同抽样方法；二则可同时对各子总体（层）进行参数估计，而不单是对整个总体的参数进行估计。
（3）由于各层的总体方差因单元之间差异小而肯定小于整个总体的方差，而抽样精度与此成正比，所以分层抽样可以提高参数估计的精度。
三、分层原则总体中的每一个单元一定属于并且只属于某一个层，而不可能同时属于两个层或不属于任何一个层。
（1）估计：层内单元具有相同性质，通常按调查对象的不同类型进行划分。
（2）精度：尽可能使层内单元的指标值相近，层间单元的差异尽可能大，从而达到提高抽样估计精度的目的。
（3）估计和精度：既按类型、又按层内单元指标值相近的原则进行多重分层，同时达到实现估计类值以及提高估计精度的目的。
（4）实施：抽样组织实施的方便，通常按行政管理机构设置进行分层。
例如，对全国范围汽车运输的抽样调查，调查目的不仅要推算全国货运汽车完成的运量，还要推算不同经济成分（国有、集体、个体）汽车完成的运量。
分层随机抽样概述
总体均值 Y 和总体总量Y的分别比率估计量:
yRs
L
Wh yRh
h1
L
Wh
h1
yh xh
X
h
已知各层的 均值和总量
YˆRs
2020/11/17
NyRs
L h1
yh xh
X
h
L
YˆRh
h1
41
▪ 对分别比估计，若各层样本量都比较大，则有:
EyRS Y
L
MSEyRS V yRs V ( Wh yRh ) h1
V pst Wh2V ( ph ) h1
2020/11/17
33
性质９ 对于分层随机抽样，
的一个无偏估计为：
2020/11/17
34
【例3.3】
▪ 了解某地区居民户拥有家庭电脑的情况如下，估计该 地区家庭拥有电脑的比例及估计的标准差。
样本户拥有家庭电脑情况
层 居民户
样本户拥有家庭电脑情况
S yh2 Rh2Sxh2 2Rh hS yhSxh
所以
L
L
EyRS Wh E( yRh ) WhYh Y
h1
h1
V Yˆst
V
L WhYˆ h
h1
L h1
Wh2V
Yˆ h
L
2
L WhWjcov Yˆ h , Yˆ j
h1 jh
L Wh2V Yˆh h1
2020/11/17
14
性质2 对于分层随机抽样 , 是 的无偏估计, 的方差为:
2020/11/17
15
性质3 对于分层随机抽样, 计为：
2020/11/17
8
如：对全国汽车货运量调查，目的是不仅要 了解全国货运量，而且推算不同经济成分 货运量。
抽样技术-分层随机抽样概述
抽样技术-分层随机抽样概述介绍在实际调查和研究中，我们往往无法对所研究的总体进行全面调查，而需要通过抽样的方式来获取一局部样本数据。
而抽样技术是统计学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们从总体中选择样本，通过对样本进行分析和研究，得出对总体的结论。
分层随机抽样是抽样技术中的一种常用方法，它将总体按照一定的特征进行分组，然后从每个组中随机选择一局部样本进行调查。
这种方法可以提高样本的代表性，使得样本更能够反映总体的情况。
分层随机抽样的步骤分层随机抽样包括以下几个步骤： 1. 第一步，确定抽样的总体。
需要明确需要研究的总体是什么，例如某个地区的人群、某家企业的员工等等。
2. 第二步，将总体进行分层。
根据需要研究的特征，将总体进行分组，例如按照性别、年龄、职业等特征进行分层。
3. 第三步，确定每层的样本大小。
根据实际情况和研究的要求，确定每个分层的样本大小，使得每个分层的样本能够充分反映该层的特征。
4. 第四步，进行随机抽样。
在每个分层中，通过随机抽样的方式选择样本。
常用的随机抽样方法有简单随机抽样、系统抽样等。
5. 第五步，收集数据并进行分析。
通过对样本进行调查和数据收集，得到研究所需的数据。
然后可以进行数据分析和统计，得出对总体的结论。
分层随机抽样的优势分层随机抽样相比于其他抽样方法，具有以下优势： 1. 提高样本的代表性。
通过将总体进行分层，可以保证每个分层中都有足够数量的样本，从而使得样本更能够代表总体的特征。
2. 控制误差。
由于每个分层中的样本都是随机选择的，因此可以在一定程度上控制抽样误差，提高调查结果的准确性和可信度。
3. 适用性广泛。
分层随机抽样可以适用于各种调查和研究场景，无论是人口统计学调查、市场调研还是医学研究等，都可以采用这种抽样方法。
分层随机抽样的局限性分层随机抽样虽然具有很多优势，但也存在一些局限性： 1. 难以应对动态总体。
如果总体的分层特征随着时间的推移发生变化，那么分层随机抽样可能无法准确反映总体的情况。
ch3--分层随机抽样
sh2
1 nh 1
nh i 1
yhi yh 2
3.2分层抽样旳简朴估计量及其性质
总体均值:
L
Yst Wh Yh
h1
L
对总体均值旳估计： Yst Wh Yh h 1
^
分层随机抽样,则Y h 的简单且无偏的估计为yh
^
1.对于分层随机抽样,Y的无偏简单估计Y st 为：
^
L
^
L
1L
2 4705 50 147 62 87 84 158 170 104 56 160 3 2558 228 262 110 230 139 178 334 0 63 220 4 14997 17 34 25 34 36 0 25 7 15 31
请估计该地域养牛总头数及其估计量旳95%旳置信区间 。
留做作业，代入公式计算，并用软件验证
v( yst )
L
Wh 2
h 1
1
f nh
h
sh
2
且为V（y）的无偏估计。
Yst的置信度为1 的置信区间近似为：
yst u v( yst ), yst u v( yst )
2
2
2.总体总和Y的估计：
L
Y NYst Yh , h 1
L
^
L
^
L
L
Yˆst NYst N Wh Y h Nh Y h Nh yh Yh
h 1
h 1
L
p
的方差
st
V（p
st）
Wh 2 V（p h）
h1
v(
ph
)
1 fh nh 1
ph
qh
pst的方差V ( pst )的估计：
《随机抽样》统计(分层随机抽样、获取数据的途径)
定义：随机抽样是指从目标总体中按照随机原则抽取一部分个体组成样本，并根据样本的调查结果对总体进行推断的一种调查方法。
特点随机性：每个个体被抽到的机会是相等的，不存在人为的干扰和主观判断。
代表性：抽样结果能够代表整个总体的特征，从而避免样本的偏差和偏向。
经济性：相对于全面调查，随机抽样可以节省大量的时间和资源。
定义与特点随机抽样的重要性030201随机抽样的历史与发展历史随机抽样最初起源于17世纪的欧洲，当时主要用于赌博和人口普查。
随着社会的发展和科学的进步，随机抽样逐渐被应用于各种社会科学和自然科学的调查研究中。
发展近年来，随着计算机技术的发展和大数据时代的到来，随机抽样在数据挖掘和分析中得到了广泛应用，成为现代统计学的重要分支之一。
同时，随着人们对调查结果准确性和可信度的要求不断提高，随机抽样技术也在不断发展和完善。
分层随机抽样是一种常用的抽样方法，它先将总体按照某种特征分成若干层，然后在每一层中独立地随机抽取一定数量的样本。
分层随机抽样通常基于人口统计学、地理、社会经济等特征进行分层，以使样本更具代表性和多样性。
分层随机抽样的定义确定研究目的和总体确定样本量确定分层特征在每个层中随机抽样将总体分成若干层合并样本分层随机抽样的实施步骤优点缺点分层随机抽样的优缺点调查问卷调查问卷是一种以书面形式向特定人群发送并收集数据的工具。
定义目的设计发放了解受众对某个产品或服务的看法、习惯、需求等。
问卷设计应简洁明了，问题精炼且有代表性，利于受访者回答且能保证信息的真实性。
通过邮件、社交媒体、电话等方式进行发放，确保覆盖到各个年龄段和职业群体。
定义目的选择分析数据库查询网络爬虫定义目的选择实施定义注意其他途径社会调查评估社会政策效果预测社会趋势确定社会问题的现状市场调研通过全面的人口普查，可以了解一个国家或地区的人口数量、性别比例、年龄结构等基本情况。
预测人口趋势根据人口普查数据，可以预测人口发展趋势，为政府制定人口政策提供依据。
抽样技术3分层抽样
L
Nh2V
h1
yh
L h1
N
2 h
1 fh nh
S
2 h
2021/1/2
16
性质6：对于分层随机抽样， V Yˆ 的一个
无偏估计为：
v Yˆ
L
N
2 h
v
yh
h1
L h1
N
2 h
1 fh nh
s
2 h
2021/1/2
17
例3.1
调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽 样单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每 层按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单 位：元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及 估计的标准差。
2021/1/2
18
W1
N1 N
200 2850
0.07018
f1
n1 N1
1
10 0.05 n1 20N0 2850
y1 n1 i1 y1i 39.5
nh 10
s12
1 n1 1
n1 i 1
y1i y1 2 1624.722
W2
N2 N
400 2850
0.14035
f2
n2 N2
2021/1/2
3
二、分层原则：
总体中的每一个单元一定属于并且只属于某一个层，而不可能同时属于两个 层或不属于任何一个层。
1.估计：层内单元具有相同性质，通常按调查对 象的不同类型进行划分。
2.精度：尽可能使层内单元的指标值相近，层间 单元的差异尽可能大，从而达到提高抽样估计精 度的目的。
3.估计和精度：既按类型、又按层内单元指标值 相近的原则进行多重分层，同时达到实现估计类 值以及提高估计精度的目的。
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19
W1
N1 N
200 2850
0.07018
f1
n1 N1
10 200
0.05
1 n1
y1 n1 i1 y1i 39.5
s12
1 n1 1
n1 i 1
y1i y1 2 1624.722
同理，求得： y2 105
s22 2166.667
y3 165
2020/3/10
17
性质3：对于分层随机抽样， 的一个无偏估计为：
V Yˆ
v Yˆ
L
N
2 h
v
yh
h1
L h1
N
2 h
1 fh nh
s
2 h
2020/3/10
18
例3.1
调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样 单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每层 按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单位： 元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及其 95%的置信区间。
Wh
Nh N 第 h 层的
层权
fh
nh Nh
第 h 层的
抽样比
Yh
1 Nh
Nh
Yhi
i 1
第 h 层的
总体均值
yh
1 nh
nh i1 yhi
第 h 层的
样本均值
6
记号
Yh
yh
S
2 h
s h2
公式
Nh
Yhi NhYh
i 1
代表的含 义
第 h 层的
总体总量
nh
yhi nh yh
i 1
第 h 层的
样本总量
Nh
(Yhi Yh )2
i 1
Nh 1
第 h 层的
总体方差
nh
( yhi yh )2
i 1
nh 1
第 h 层的
样本方差
2020/3/10
7
第二节 简单估计量及其性质
一、对总体均值的估计 分层样本，总体均值 的估计
分层随机样本，总体均值 的简单估计 Y
h1
nh
f
h
)
(S
2 yh
R2Sx2h
2RhSyhSxh )
2020/3/10
30
分别比估计与联合比估计的比较
由于 V ( yRC ) V ( yRS )
L Wh2 (1
h1
nh
fh )
(R2
Rh2 )Sx2h
2(R
Rh )hSyhSxh
\\\
2020/3/10
5
三、符号
所有总体参数的估计量都采用下标“st”以示区别
：
记号
h
i
Nh
nh
Yhi
y hi
下标 代表的含义
下标 第 h 层的 第 h 层的 第 h 层第 i 个 第 h 层第 i 个
"第 h 层" "层内单位号" 单位总数 样本数 总体单元的取值 样本单元取值
记号
公式
代表的含 义
2020/3/10
抽样技术-分层随机抽样 概述
第一节 概述
2020/3/10
2
2020/3/10
3
定 义 3.3 分 层 随 机 抽 样 （ stratified random sampling）：如果每层中的抽样都是独立地按照 简单随机抽样进行的，那么这样的分层抽样称为分 层随机抽样，所得的样本称为分层随机样本 （stratified random sample）。
h1
h1
估计量的方差
L
WhYh
h1
1 N
L
N hYh
h1
1 N
L
Yh
h1
Y N
Y
由于各V层Yˆ是st 独 V立抽L 取Wh的Yˆh， 因此L W上h2式V 第Yˆh二项2 中L 的L 协Wh方W差kC全ov Yˆh ,Yˆk
nh
E( yRS ) Y
MSE( yRS ) V ( yRS )
2020/3/10
L Wh2 (1
h1
nh
fh
)
(S
2 yh
Rh2Sx2h
2RhhSyhSxh )
27
证明
n 根据比估计量的性质，当 比较大时，有 h
E( yRh ) Yh
MSE(
yRh )
V
( yRh )
层 居民户
总数
1
2
1
200
10
40
2
400
50 130
3
750 180 260
4
1500
50
35
样本户奶制品年消费支出
3
4
5
6
7
8
9
10
0 110
15
10
40
80
90
0
60
80 100
55 160
85 160 170
110
0 140
60 200 180 300 220
15
0
20
30
25
10
30
25
2020/3/10
或
Rh R
2)当
(分R 别R比h ) 估0 计，的即精Rh度 与R 联V (，y合RC )比V估(yR计S ) 的hL1 精Wh2(度1nh 是fh ) 一(R 样 Rh的)2 S。x2h 0
分3）别当比估(R 计 R的h ) 精0度且不低h 于R联2R合h SS比xyhh 估 R计SSxy的hh 精度，。这意味着分
h1
h1
h 1
2020/3/10
V ( yRS )
L Wh2 (1
h1
nh
fh
)
(S
2 yh
Rh2Sx2h
2Rh hSyhSx2h8)
联合比估计
Y
Y
2020/3/10
29
E( yRC ) Y
MSE( yRC ) V ( yRC )
L Wh2 (1
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽样，由第二章性质3,得
的
无偏估计为：
因此， 的一个无偏估计为：
v yh
1 fh nh
Vyh
s
2 h
V yst
v yst
L
Wห้องสมุดไป่ตู้2v yh
h1
L h1
Wh2
1
f nh
h
s
2 h
2020/3/10
14
二、对总体总量的估计
L Wh2 (1
h1
nh
f
h
)
(
R
Rh
)2
S
2 xh
2(R Rh ) (hSyhSxh
Rh
S
2 xh
)
L Wh2 (1
h1
nh
f
h
)
(
R
Rh
)
(
R
Rh
)S
2 xh
2(hS yhSxh
Rh
S
2 xh
)
2020/3/10
31
1）当 (R Rh ) 0，即(R Rh )Sx2h 2(hSyhSxh RhSx2h ) 0
Yst
L WhYh
h1
1 N
L N hYh
h1
Y
L
1L
y st
Wh yh
h1
N
Nh yh
h1
2020/3/10
8
估计量的性质
性质1&2：对于一般
无偏估计h（ 1,2, , L
Yst 的方差为：
的
分层抽样
），Y则st
，Y 是如果Y的h 无是Y偏h 估计的。
S
2 h
2020/3/10
11
证明性质3：
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽样， 对每一层有
因此，由性质1，有
Eyh Yh
Eyst Y L
由第二章性质2，得
V yst Wh2V yh h1
因此
2020/3/10
Vyh
1 fh nh
S
2 h
总体总量 的估计为：
Y 如果得到的是分层随机样本，则总体总量的简单估计为：
Yˆ NYˆst
L
Yˆh
h1
Y Nyst
2020/3/10
15
2.估计量的性质
性质1：对于一般的分层抽样，如果 是 的无偏估计，则 是 的无偏估计。 的方差为：
Yst
Y
Yˆ Y
Yˆ
V Yˆ
L
V pst Wh2V ph
h1
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性质2：对于分层随机抽样， 是 的无偏估计，
V
ph
N h nh PhQh Nh 1 nh
pst P
Nh 1 Nh
因而 pst的方差为：