分层随机抽样概论(PPT 50张)
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9.1.2分层随机抽样课件(人教版)
新知探索
在实际抽样调查中，由于实际问题的复杂性，除了要考虑获得的样本的代表性
，还要考虑调查实施中人力、物力、时间等因素，因此通常会把多种抽样方法组合
起来使用.例如，在分层抽样中，不同的层内除了用简单随机抽样外，还可以用其他
的抽样方法，有时层内还需要再进行分层，等等.
思考2：如果想要了解某电视节目在你所在的地区(城市、乡镇或村庄)的收视率，
例3.随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层
的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为_____.
答案：6.
20
30
ഥ=
×3+
× 8 = 6.
20 + 30
20 + 30
练习
方法技巧：
进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的3个关系
(1)
样本容量
该层抽取的个体数
答案：×，×，×.
)
新知探索
辨析2：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层随机抽样的
方法从两个班抽取16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是(
A.9,7
答案：A.
B.10,6
C.8,8
D.12,4
).
练习
题型一：分层随机抽样的概念
例1.下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(
可以计算出男生、女生中分别应抽取的人数为：
326
386
男 =
× 50 ≈ 23，女 =
× 50 ≈ 27.
712
712
我们按上述方法抽取了一个容量为50的样本，其观测数据(单位：)如下：
男生
173.0
第4章分层随机抽样-精品文档
L
ˆ ˆ ˆ ˆ Yu sY ( ), Yu sY ( ) 1 1 2 2
9
例4.2 调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为 抽样单元，根据经济及收入水平将居民户分为4层，每层 按简单随机抽样抽取 10 户，调查数据如下，估计该地区 居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。 样本户奶制品年消费支出
5
例4.1 总体由1000人组成，按以往的收入情况将总体分成两 层：第一层（高收入层），20人；第二层（低收入层）， 980人。从第一层随机抽取2人，调查上月收入，得数据 （单位：元）1200及1600；从第二层随机抽取8人，调查上 月收入，得数据（单位：元）220、230、180、320、400、 340、280、360。估计这1000人上月平均收入。 解： ˆ ˆ Ny Ny Y ˆ 1 Y 2 2 2 Y 11 W Wy 1y 1 2 2 N N 2 0 9 8 0 1 4 0 0 2 9 1 .2 53 1 3 .4 3 1 0 0 0 1 0 0 0
Y 的 置 信 度 为 1 的 置 信 区 间 为 ： u s (y , y u s (y y s t s t) s t s t) 1 1 2 2
2 . 总 体 总 和的 Y 估 计 ： ˆ Ny ˆ Y ˆ NY Y h h h h st
h 1 h 1 h 1 L L L
f 21 h 2 ˆ ˆ 方 差 V ( Y ) V ( Y ) N V ( y ) N S h s t h h n h 1 h 1 h 1 h
L L 2 h L
1 f 2 2 h ˆ ˆ 方 差 V ( Y ) 的 无 偏 估 计 ： v ( Y ) N s h h n h 1 h Y 的 置 信 度 为 1 的 置 信 区 间 为 ：
ˆ ˆ ˆ ˆ Yu sY ( ), Yu sY ( ) 1 1 2 2
9
例4.2 调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为 抽样单元，根据经济及收入水平将居民户分为4层，每层 按简单随机抽样抽取 10 户，调查数据如下，估计该地区 居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。 样本户奶制品年消费支出
5
例4.1 总体由1000人组成，按以往的收入情况将总体分成两 层：第一层（高收入层），20人；第二层（低收入层）， 980人。从第一层随机抽取2人，调查上月收入，得数据 （单位：元）1200及1600；从第二层随机抽取8人，调查上 月收入，得数据（单位：元）220、230、180、320、400、 340、280、360。估计这1000人上月平均收入。 解： ˆ ˆ Ny Ny Y ˆ 1 Y 2 2 2 Y 11 W Wy 1y 1 2 2 N N 2 0 9 8 0 1 4 0 0 2 9 1 .2 53 1 3 .4 3 1 0 0 0 1 0 0 0
Y 的 置 信 度 为 1 的 置 信 区 间 为 ： u s (y , y u s (y y s t s t) s t s t) 1 1 2 2
2 . 总 体 总 和的 Y 估 计 ： ˆ Ny ˆ Y ˆ NY Y h h h h st
h 1 h 1 h 1 L L L
f 21 h 2 ˆ ˆ 方 差 V ( Y ) V ( Y ) N V ( y ) N S h s t h h n h 1 h 1 h 1 h
L L 2 h L
1 f 2 2 h ˆ ˆ 方 差 V ( Y ) 的 无 偏 估 计 ： v ( Y ) N s h h n h 1 h Y 的 置 信 度 为 1 的 置 信 区 间 为 ：
数学人教A版必修第二册9.1.2分层随机抽样课件
层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8 cm.
(1)如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女
生中分别抽取了多少名?在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身
高.
(2)如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况
下，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ何估计高二年级全体学生的平均身高更合理?
随机抽样方法抽取容量为100的样本，则A，B，C三层的样本的平均数分别
为15，30，20.
(1)求样本的平均数；
解析：(1)样本平均数
ഥ=
(2)总体平均数约为20.5.
(2)估计总体平均数.
5
5+3+2
× 15 +
3
5+3+2
× 30 +
2
5+3+2
× 20 = 20.5.
小试牛刀
教材P184
1、高二年级有男生490人，女生510人，张华按男、女生进行分层，通过分
与层的大小成比例，那么称这种样本量的分
配方式为比例分配.
新知探究
分层随机抽样的步骤：
分层
计算
抽样比
定数
抽样
汇总
按某种特征将总体分成若干部分(层)
抽样比=
样本容量
总体容量
样本容量
按抽样比确定每层抽取的个体数=每层数量×
总体容量
各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本
综合各层抽样，组成样本
小试牛刀
练 习 ： 某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人，为了调查
小试牛刀
100
解：(1)男生应抽取
9.1.2分层随机抽样课件(人教版)(1)
骤是什么？
分层——计算抽样比——定数——抽样——成样
分层：按照某一种或多种特征将总体分层；
样本容量
计算抽样比：抽样比=
；
总体容量
定数：按抽样比确定每层抽取个体数；
抽样：各层按简单随机抽样的方法抽取样本；
成样：综合各层样本，组成总样本.
二、探究本质得新知
问题5：为什么分层随机抽样能用样本平均数估计总体平均数？
在分层随机抽样中，不妨设层数为两层，第一层和第二层包含个体数
分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，我们用X1，X2，…，XM表示
第一层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第一层样本的各个个
体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第一层各个个体的变量值，用y1，
y2，…，yn表示第一层样本的各个个体的变量值，
第九章 统计
9.1.2 分层随机抽样
一、创设情境 引入新课
树人中学高一年级有学生1 800人，高二年级1 600人，高
三年级1 400人，为了了解该校学生的某项心理状况（此项
状况与学生所处年级有关），打算从树人中学学生中抽取
2%进行调查.该如何进行抽样呢？
二、探究本质得新知
探究一：分层抽样的有关概念
年级抽取人数为600×0.05=30.
四、学生练习，加深理解
3.某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人，
为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为
分层抽样
36的样本，则合适的抽样方法是____________.
解析：由于老年人、中年人和青年人的身体情
况会有明显的差异，所以要用分层抽样．
收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购
买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本；
分层——计算抽样比——定数——抽样——成样
分层：按照某一种或多种特征将总体分层；
样本容量
计算抽样比：抽样比=
；
总体容量
定数：按抽样比确定每层抽取个体数；
抽样：各层按简单随机抽样的方法抽取样本；
成样：综合各层样本，组成总样本.
二、探究本质得新知
问题5：为什么分层随机抽样能用样本平均数估计总体平均数？
在分层随机抽样中，不妨设层数为两层，第一层和第二层包含个体数
分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，我们用X1，X2，…，XM表示
第一层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第一层样本的各个个
体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第一层各个个体的变量值，用y1，
y2，…，yn表示第一层样本的各个个体的变量值，
第九章 统计
9.1.2 分层随机抽样
一、创设情境 引入新课
树人中学高一年级有学生1 800人，高二年级1 600人，高
三年级1 400人，为了了解该校学生的某项心理状况（此项
状况与学生所处年级有关），打算从树人中学学生中抽取
2%进行调查.该如何进行抽样呢？
二、探究本质得新知
探究一：分层抽样的有关概念
年级抽取人数为600×0.05=30.
四、学生练习，加深理解
3.某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人，
为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为
分层抽样
36的样本，则合适的抽样方法是____________.
解析：由于老年人、中年人和青年人的身体情
况会有明显的差异，所以要用分层抽样．
收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购
买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本；
分层随机抽样(课件)
i1 ；w i1
i1 .
M N
mn
• 探究 与考察简单随机抽样估计效果类似, 小明也想通过多次抽样考察一
•下分层随机抽样的估计效果. 他用比例分配的分层随机抽样, 从高一年级的学生中抽取 了10个样本量为50的样本, 计算出样本平均数如下表所示. 与上一节“探究”中相同样本量 的简单随机抽样的结果比较，小明有了一个重要的发现. 你是否也有所发现？
100
100
1.分层抽样
当已知总体由差异明显的几部分组 成时，为了使样本更充分地反映总体的 情况，常将总体分成几个部分，然后按 照各部分所占的比例进行抽样，这种抽 样叫做“分层抽样”，其中所分成的各 部分叫作“层”.
解：(1)男生应抽取 100 490 49人,女生应抽取 100 510 51人.
490 510
490 510
∴样本平均数为 49 70.2 51 160.8 165.4(cm).
100
100
(2) 应按(1)的方法进行改进更合理，即高二年级全体学生的平均身高估计为
49 170.2 51 160.8 165.4(cm).
9.1.2分层随机抽样
温故知新
1、简单随机抽样
简单随机抽样 ：
设一个总体的个体数为 N。如果通过逐个抽取的方 法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到 的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。
［注］简单随机抽样有以下特点： （1）它要求被抽取样本的总体的个体数是有限的； （2）它是从总体中逐个地进行抽取； （3）它是一种不放回的抽样； （4）它是一种等概率抽样。（为什么？）
抽样序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
必修第二册9.1.2分层随机抽样课件(人教版)
1.分层随机抽样的定义.
2.分层随机抽样的步骤.
3.用分层随机抽样样本的平均数估计总体的平均数.
4.方法归纳：数据分析.
THANKS！
i 1
mn
i
新知讲授
如果总体分为 2 层，两层包含的个体数分别为 M，N，两层抽取的样
本量分别为 m，n，两层的样本平均数分别为 x ，y ，两层的总体平均数分
别为 X ，Y ，则
M
N
X＋
Y
M＋N
总体平均数为 W ＝ M＋N
样本平均数为 w ＝
m
n
x＋
y
m＋n
m＋n
，
.
新知讲授
用分层随机抽样样本的平均数估计总体的平均数
9
10
新知讲授
从实验结果看，分层随机抽样的样本平均数环绕总体平均数波
动，与简单随机抽样的结果比较，分层随机抽样并没有明显优于简单
随机抽样。但相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均
匀，简单随机抽样中出现了一个偏离总体平均数的幅度比较大的样本
平均数，即出现了比较“极端”的样本，而分层随机抽样没有出现。
求总体平均数的方法有：
M
N
M
N
m
n
X＋
Y ；(2)
x＋
y ；(3)
x＋
y.
(1)
M＋N
M＋N
M＋N
M＋N
m＋n
m＋n
例题讲授
例2：某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生
650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行分层随机抽样，
得到初中生、高中生平均视力分别为1.0,0.8，其中样本量为60，则在初
2.分层随机抽样的步骤.
3.用分层随机抽样样本的平均数估计总体的平均数.
4.方法归纳：数据分析.
THANKS！
i 1
mn
i
新知讲授
如果总体分为 2 层，两层包含的个体数分别为 M，N，两层抽取的样
本量分别为 m，n，两层的样本平均数分别为 x ，y ，两层的总体平均数分
别为 X ，Y ，则
M
N
X＋
Y
M＋N
总体平均数为 W ＝ M＋N
样本平均数为 w ＝
m
n
x＋
y
m＋n
m＋n
，
.
新知讲授
用分层随机抽样样本的平均数估计总体的平均数
9
10
新知讲授
从实验结果看，分层随机抽样的样本平均数环绕总体平均数波
动，与简单随机抽样的结果比较，分层随机抽样并没有明显优于简单
随机抽样。但相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均
匀，简单随机抽样中出现了一个偏离总体平均数的幅度比较大的样本
平均数，即出现了比较“极端”的样本，而分层随机抽样没有出现。
求总体平均数的方法有：
M
N
M
N
m
n
X＋
Y ；(2)
x＋
y ；(3)
x＋
y.
(1)
M＋N
M＋N
M＋N
M＋N
m＋n
m＋n
例题讲授
例2：某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生
650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行分层随机抽样，
得到初中生、高中生平均视力分别为1.0,0.8，其中样本量为60，则在初
分层抽样 完整版课件PPT
知识探究（一）：分层抽样的操作步骤
某单位有职工500人，其中35岁以下的 有125人，35岁～49岁的有280人，50岁 以上的有95人.为了调查职工的身体状 况，要从中抽取一个容量为100的样本.
思考1：该项调查应采用哪种抽样方法 进行？
思考2：按比例，三个年龄层次的职 工分别抽取多少人？ 35岁以下25人，35岁～49岁56人， 50岁以上19人.
思考1：从5件产品中任意抽取一件，则 每一件产品被抽到的概率是多少？一般
地，从N个个体中任意抽取一个，则每一
个个体被抽到的概率是多少？
思考2：从6件产品中随机抽取一个容量 为3的样本，可以分三次进行，每次从中 随机抽取一件，抽取的产品不放回，这 叫做逐个不放回抽取.在这个抽样中，某 一件产品被抽到的概率是多少？
用简单随机抽样 抽取起始号码
总体中的个 体数较多
分层 抽样
将总体分成几层 ，按比例分层抽 取
用简单随机抽 样或系统抽样 对各层抽样
总体由差异 明显的几部 分组成
理论迁移
例1 某公司共有1000名员工，下设 若干部门，现用分层抽样法，从全体员 工中抽取一个容量为80的样本，已知策 划部被抽取4个员工，求策划部的员工人 数是多少？
思考3：在各年龄段具体如何抽样？怎 样获得所需样本？
思考4：一般地，分层抽样的操作步骤 如何？ 分成互不交叉的层，按 比例确定各层要抽取的个体数.
第三步，用简单随机抽样或系统抽样在 各层中抽取相应数量的个体.
第四步，将各层抽取的个体合在一起 ，就得到所取样本.
第四步，按照一定的规则抽取样本.
2.设计科学、合理的抽样方法，其 核心问题是保证抽样公平，并且样本具 有好的代表性.如果要调查我校高一学 生的平均身高，由于男生一般比女生高 ，故用简单随机抽样或系统抽样，都可 能使样本不具有好的代表性.对于此类 抽样问题，我们需要一个更好的抽样方 法来解决.
分层随机抽样 PPT
[例 1] 一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120 人，超过 45 岁的有 80 人．为了调查职工的健康状况，用分层抽 样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本，应抽取超过 45 岁的职工________人．
[思路点拨] 由分层抽样的概念，按比例抽取．
[解析] 抽样比为 25∶200＝1∶8，而超过 45 岁的职工有 80 人，则从中应抽取的个体数为 80×18＝10.
的层，然后按照所占比例，从各层独立地抽取 一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起
作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。
【说明】分层抽样应遵循以下要求： （1）分层：将相似的个体归为一类，即分为一层，分
层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗 漏的原则。
（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在 各层中进行简单随机抽样或系统抽样，每层样本数量与 每层个体数量的比与样本容量与总体容量的 比相等。
[练习 1] 某工厂生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产品 数量之比依次为 2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号产品有 16 件，那么此样本的容量 n＝ ______.
答案：80 解析：因为 A 种产品在总体中占了2＋23＋5＝15， 又因为每个个体被抽到的可能性都相等，故样本容量为 16÷15＝ 80.
思考：（4）三个年级同学有较大差别，应如何提 高样本的代表性？ 应考虑他们在样本中所占的比例。
（5）如何确定各年级所要抽取的人数？ 计算每一部分占总体个体数的比例，
在各年级中按比例分配样本，得各年级所
要抽取的个体数。
某校小学六年级、初中三年级和高中三年级分别
有1000，800和700名同学，为了了解全校毕业班学生 的视力情况，从以上三个年级中抽取容量为100的样本， 你认为应当怎样抽取样本较为合理？
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4
2019/2/15
例题
例如，对全国范围汽车运输的抽样调查，调查目的不 仅要推算全国货运汽车完成的运量，还要推算不同经 济成分（国有、集体、个体）汽车完成的运量。 为组织的方便，首先将货运汽车总体按省分层，由 各省运输管理部门负责省内的调查工作。 各省再将省内拥有的汽车按经济成分分层。 为提高抽样效率，再对汽车按吨位分层。 例如，某高校对学生在宿舍使用电脑的情况进行调查， 根据经验，本科生和研究生拥有电脑的状况差异较大。 因此，在抽样前对学生按本科生和研究生进行分层 是有必要的。
st
W 2 VY VY h h s t
h 1
L
只要对各层估计无偏，则总体估计也无偏。
各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计量 是无偏的，则对总体的推算也是无偏的。
8
2019/2/15
证明性质1
由于对每一层有 L L ˆ ˆ ˆ E Y E W Y W E Y st hh h h 因此， h 1 1 h L L L 1 1 Y W Y N Y Y Y h h h h h N N N h 1 h 1 h 1 估计量的方差 L L L L ˆ ˆ ˆ ˆ 2ˆ V Y V W Y W V Y 2 W W Cov Y , Y st h h h h h k hk h 1 h 1 h 1 k h 由于各层是独立抽取的，因此上式第二项中的协方差全 L 为0，从而有
二、分层原则：
总体中的每一个单元一定属于并且只属于某一个层，而不可能同时属于两个 层或不属于任何一个层。
1.估计：层内单元具有相同性质，通常按调查对 象的不同类型进行划分。 2.精度：尽可能使层内单元的指标值相近，层间 单元的差异尽可能大，从而达到提高抽样估计精 度的目的。 3.估计和精度：既按类型、又按层内单元指标值 相近的原则进行多重分层，同时达到实现估计类 值以及提高估计精度的目的。 4.实施：抽样组织实施的方便，通常按行政管理 机构设置进行分层。
L h h 1
2019/2/15
2
作用
分层抽样的抽样效率较高，也就是说分 层抽样的估计精度较高。这是因为分层 抽样估计量的方差只和层内方差有关， 和层间方差无关。 分层抽样不仅能对总体指标进行推算， 而且能对各层指标进行推算。 层内抽样方法可以不同，而且便于抽样 工作的组织。
2019/2/15 3
分层随机样本，总体均值 Y 的简单估计
1L y W y N y s t h h h h N h 1 h 1
L
2019/2/15
7
估计量的性质
性质1：对于一般的分层抽样，如果 Y h 是 Y h 的
无偏估计（ h ），则 Y 是 Y 的无偏 1 ,, 2 , L st 估计。 Y 的方差为：
L 2 h L 2 h
2019/2/15
10
证明性质2：
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽 样，对每一层有
y Y 因此，由性质1，有 E st L
h 1
y E Y h h
2 yst yh V W hV
1 fh 2 Sh 由第二章性质2，得 Vyh nh L L 1 f 2 2 h 2 y W V y W S 因此 V s t h h h h n h 1 h 1 h
2019/2/15
11Βιβλιοθήκη 1 f h 2 v y W v y W s s t h h n h 1 h 1 h
L 2 h L 2 h
性质3：对于分层随机抽样， V yst 的一个 无偏估计为：
2019/2/15
12
证明性质3：
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随 V y 的无偏 机抽样，由第二章性质3，得 1 fh 2 估计为：
h
vyh
2 h
1 f h 2 v y W v y W s st h h n h 1 h 1 h
1 yh nh
y
i1
nh
hi
总体方差
样本方差
n h 1 2 2 s y y h h i h n 1 i 1 h
2019/2/15
6
第二节
估 计 量
一、对总体均值的估计 分层样本，总体均值 Y 的估计
L 1 W Y Y N Y s t hh hh N h 1 h 1 L
5
2019/2/15
三、符号说明 (关于第h层的记号 )
层号
h 1 ,, 2 , L
单元总数
Nh
nh y hi
Wh Nh N
样本单元数
第 i个单元的值
层权
抽样比
fh
1 Yh Nh
2 h N h
y
i1
Nh
hi
总体均值
样本均值
nh Nh
2 1 S y Y hi h N 1 i 1 h
ˆ E Y Y h h
9
ˆ W ˆ 2 V Y V Y h h st
h 1
2019/2/15
性质2：对于分层随机抽样， y st 是 Y y st 的方差为： 的无偏估计，
1 f h 2 V y W V y W S s t h h n h 1 h 1 h
第三章 分层随机抽样
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 分层随机抽样的定义、使用场合以及符号 估计量及其性质 样本量的分配原则 样本量的确定 分层抽样的若干问题
2019/2/15
1
第一节
一、定义
引
言
不重 不漏
在抽样之前，先将总体 N 个单元划分成 L 个互不 重复的子总体，每个子总体称为层，它们的大 , N , , N 小分别为 N 1 2 L ，这个层合起来就是 N N 整个总体 ，然后，在每个层中分别 独立地 进行抽样，这种抽样就是分层抽样，所 得到的样本称为分层样本。 如果每层都是独立按照简单随机抽样进行，则 称为分层随机抽样
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例题
例如，对全国范围汽车运输的抽样调查，调查目的不 仅要推算全国货运汽车完成的运量，还要推算不同经 济成分（国有、集体、个体）汽车完成的运量。 为组织的方便，首先将货运汽车总体按省分层，由 各省运输管理部门负责省内的调查工作。 各省再将省内拥有的汽车按经济成分分层。 为提高抽样效率，再对汽车按吨位分层。 例如，某高校对学生在宿舍使用电脑的情况进行调查， 根据经验，本科生和研究生拥有电脑的状况差异较大。 因此，在抽样前对学生按本科生和研究生进行分层 是有必要的。
st
W 2 VY VY h h s t
h 1
L
只要对各层估计无偏，则总体估计也无偏。
各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计量 是无偏的，则对总体的推算也是无偏的。
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证明性质1
由于对每一层有 L L ˆ ˆ ˆ E Y E W Y W E Y st hh h h 因此， h 1 1 h L L L 1 1 Y W Y N Y Y Y h h h h h N N N h 1 h 1 h 1 估计量的方差 L L L L ˆ ˆ ˆ ˆ 2ˆ V Y V W Y W V Y 2 W W Cov Y , Y st h h h h h k hk h 1 h 1 h 1 k h 由于各层是独立抽取的，因此上式第二项中的协方差全 L 为0，从而有
二、分层原则：
总体中的每一个单元一定属于并且只属于某一个层，而不可能同时属于两个 层或不属于任何一个层。
1.估计：层内单元具有相同性质，通常按调查对 象的不同类型进行划分。 2.精度：尽可能使层内单元的指标值相近，层间 单元的差异尽可能大，从而达到提高抽样估计精 度的目的。 3.估计和精度：既按类型、又按层内单元指标值 相近的原则进行多重分层，同时达到实现估计类 值以及提高估计精度的目的。 4.实施：抽样组织实施的方便，通常按行政管理 机构设置进行分层。
L h h 1
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作用
分层抽样的抽样效率较高，也就是说分 层抽样的估计精度较高。这是因为分层 抽样估计量的方差只和层内方差有关， 和层间方差无关。 分层抽样不仅能对总体指标进行推算， 而且能对各层指标进行推算。 层内抽样方法可以不同，而且便于抽样 工作的组织。
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分层随机样本，总体均值 Y 的简单估计
1L y W y N y s t h h h h N h 1 h 1
L
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估计量的性质
性质1：对于一般的分层抽样，如果 Y h 是 Y h 的
无偏估计（ h ），则 Y 是 Y 的无偏 1 ,, 2 , L st 估计。 Y 的方差为：
L 2 h L 2 h
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证明性质2：
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽 样，对每一层有
y Y 因此，由性质1，有 E st L
h 1
y E Y h h
2 yst yh V W hV
1 fh 2 Sh 由第二章性质2，得 Vyh nh L L 1 f 2 2 h 2 y W V y W S 因此 V s t h h h h n h 1 h 1 h
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11Βιβλιοθήκη 1 f h 2 v y W v y W s s t h h n h 1 h 1 h
L 2 h L 2 h
性质3：对于分层随机抽样， V yst 的一个 无偏估计为：
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证明性质3：
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随 V y 的无偏 机抽样，由第二章性质3，得 1 fh 2 估计为：
h
vyh
2 h
1 f h 2 v y W v y W s st h h n h 1 h 1 h
1 yh nh
y
i1
nh
hi
总体方差
样本方差
n h 1 2 2 s y y h h i h n 1 i 1 h
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第二节
估 计 量
一、对总体均值的估计 分层样本，总体均值 Y 的估计
L 1 W Y Y N Y s t hh hh N h 1 h 1 L
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三、符号说明 (关于第h层的记号 )
层号
h 1 ,, 2 , L
单元总数
Nh
nh y hi
Wh Nh N
样本单元数
第 i个单元的值
层权
抽样比
fh
1 Yh Nh
2 h N h
y
i1
Nh
hi
总体均值
样本均值
nh Nh
2 1 S y Y hi h N 1 i 1 h
ˆ E Y Y h h
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ˆ W ˆ 2 V Y V Y h h st
h 1
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性质2：对于分层随机抽样， y st 是 Y y st 的方差为： 的无偏估计，
1 f h 2 V y W V y W S s t h h n h 1 h 1 h
第三章 分层随机抽样
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 分层随机抽样的定义、使用场合以及符号 估计量及其性质 样本量的分配原则 样本量的确定 分层抽样的若干问题
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第一节
一、定义
引
言
不重 不漏
在抽样之前，先将总体 N 个单元划分成 L 个互不 重复的子总体，每个子总体称为层，它们的大 , N , , N 小分别为 N 1 2 L ，这个层合起来就是 N N 整个总体 ，然后，在每个层中分别 独立地 进行抽样，这种抽样就是分层抽样，所 得到的样本称为分层样本。 如果每层都是独立按照简单随机抽样进行，则 称为分层随机抽样