圆的扫描转换

可以先对圆心坐标(0 ，0 ) ，半径为r的八分 圆进行扫描转换，根据圆的对称性，得到八 个对称点，再将这八个点进行平移，即可得 到原始圆上的对应点。
对于圆心在（x0,y0)、半径为r的圆，先对圆心在原 点，半径为r的8分圆进行扫描转换，每确定一个象素，可 输出原始圆的8个点。
void Circle8Points(int x0,int y0, int x,int y,COLORREF c) { pDC->SetPixel(x0+x,y0+y,c); pDC->SetPixel(x0-x,y0+y,c); pDC->SetPixel(x0+x,y0-y,c); pDC->SetPixel(x0-x,y0-y,c); pDC->SetPixel(x0+y,y0+x,c); pDC->SetPixel(x0-y,y0+x,c); pDC->SetPixel(x0+y,y0-x,c); pDC->SetPixel(x0-y,y0-x,c); }
但仍要采用浮点运算、乘法运算、取整运算。
2）八分法画圆
利用圆的对称性：
y
y=-x (-y,x)
(y,x) y=x
(-x,y) (-x,-y)
(x,y) (x,-y)
(-y,-x) (y,-x)
结论：只需对一个八分圆进行扫描转换。
y y=x
R
x
图5-10 1/8圆弧
3）画任意圆的方法
当圆心坐标(xc ，yc ) ，半径为整数r时： (x-xc)2+(y-yc)2=r2
xi1 xi 1 x 0, R 2
yi1 round(
R2
x2 i 1
)
当x取整数时，y须取整。
缺点：浮点运算，开方，
x
取整，不均匀。
也可应用圆的参数方程画出分布比较均匀的点． x = rcos y = rsin
i1 i (为一固定角度步长) xi1 round(R cosi1) yi1 round(R sini1)
算法优化
• 为了进一步提高算法的效率，可以将上面 的算法中的浮点数改写成整数，将乘法运 算改成加法运算，即仅用整数实现中点画 圆法。
• 使用e=d-0.25代替d
• e0=1-r • 当d为整数时（d<0)(d<-0.25)
算法步骤： 1.输入圆的半径R。 2.计算初始值d=1-R、x=0、y=R。 3.绘制点(x,y)及其在八分圆中的另外七个对称点。 4.判断d的符号。若d<0，则先将d更新为d+2x+3，
再 将 (x,y) 更 新 为 (x+1,y) ； 否 则 先 将 d 更 新 为 d+2(x-y)+5，再将(x,y)更新为(x+1,y-1)。 5.当x<=y时，重复步骤3和4。否则结束。
中点画圆法程序代码
MidpointCircle(int r, int color) {
int x,y; float d; x=0; y=r; d=1-r; drawpixel(x,y,color); while(x<=y){
第三讲 圆的扫描转换
1 基础知识 2 中点画圆法 3 Bresenham画圆法
1 基础知识
1）直接利用圆的方程生成圆
下面先以圆心在原点、半径r为整数的圆 为例，讨论圆的生成算法。
假设圆的方程为：
2
2
2
x +y =r
2
2
2
x +y =r
y = sqrt(t2 - x2)
在一定范围内，每给定一
y
x值，可得一y值。
中点画圆法程序代码
MidpointCircle(int r, int color) {
int x,y; float d; x=0; y=r; d=1.25-r; drawpixel(x,y,color); while(x<=y){
if(d<0){ d=d+2*x+3; x++ } else{d= d+2*(x-y) + 5; x++;y--; } } }
若d<0, 则P1 为下一个象素，那么再下一个象素 的判别式为：
d1 = F(xp + 2, yp - 0.5)
P1
= (xp + 2)2 + (yp - 0.5) 2 - r2
= d + 2xp +3
M
M
P2
即d 的Βιβλιοθήκη Baidu量为 2xp +3.
若d>=0, 则P2 为下一个象素，那么再下一个象 素的判别式为：
if(d<0){ d+ = 2*x+3; x++ } else{d+ = 2*(x-y) + 5; x++;y--; } } }
上述算法能否再改进呢？
设M为P1、P2间的中点，M=(Xp+1,Yp-0.5)
P1
M P2
有如下结论： F（M）< 0 ->M在圆内-> 取P1 F（M）>= 0 ->M在圆外-> 取P2
为此，可采用如下判别式：
P1
M P2
d = F(M) = F(xp + 1, yp - 0.5) =(xp + 1)2 + (yp - 0.5) 2 - r2
2 中点画圆法
利用圆的对称性，只须讨论1/8圆。第二个8分圆。
P（xp ，yp ） P1 M P2
P为当前点亮象素，那么，下一个点亮的象素可能 是P1（xp+1，yp）或P2（xp +1，yp +1)。
(|dy|=|x/y|*|dx|)
构造函数：F（X，Y）=X2 + Y2 - r2 ；则 F（X，Y）= 0 （X，Y）在圆上； F（X，Y）< 0 （X，Y）在圆内； F（X，Y）> 0 （X，Y）在圆外。
d1 = F(xp + 2, yp - 1.5) = (xp + 2)2 + (yp - 1.5) 2 - r2 = d + （2xp + 3）+（-2 yp + 2）
P1
即d 的增量为 2 (xp - yp) +5.
M
P2 M
最后一个问题：判别式d的初始值
d0 F (1, r 0.5) 1 (r 0.5)2 r 2 1.25 r
算法步骤： 1.输入圆的半径R。 2.计算初始值d=1.25-R、x=0、y=R。 3.绘制点(x,y)及其在八分圆中的另外七个对称点。 4.判断d的符号。若d<0，则先将d更新为d+2x+3，再
将 (x,y) 更 新 为 (x+1,y) ； 否 则 先 将 d 更 新 为 d+2(xy)+5，再将(x,y)更新为(x+1,y-1)。 5.当x<=y时，重复步骤3和4。否则结束。