八年级数学下册第17章一元二次方程检测卷练习课件(新版)沪科版
精品试题沪科版八年级数学下册第17章 一元二次方程定向测评试题(含详细解析)
八年级数学下册第17章 一元二次方程定向测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、方程2280x x +-=的两个根为（ ）A ．124,2x x =-=-B ．122,4x x =-=C ．122,4x x ==D ．124,2=-=x x2、一元二次方程2610x x -+=配方后可化为（ ）A ．2(3)2x +=B ．2(3)8x -=C ．2(3)2x -=D ．2(6)35x -=3、某种芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由128元降为88元.若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x ，根据题意，可列方程A ．128（1 - x 2）= 88B ．88（1 + x )2 = 128C ．128（1 - 2x ）= 88D ．128（1 - x )2 = 884、探索一元二次方程x 2+3x ﹣5＝0的一个正数解的过程如表：可以看出方程的一个正数解应界于整数a 和b 之间，则整数a 、b 分别是（ ）A ．﹣1，0B ．0，1C ．1，2D ．﹣1，55、一元二次方程()20x x -=的解是（ ）A ．0x =B ．2x =C ．10x =，22x =D ．120x x ==6、一元二次方程2430x x -+=的解为（ ）A ．11x =，23x =B ．11x =-，23x =C ．11x =，23x =-D ．11x =-，23x =-7、快递作为现代服务业的重要组成部分，在国家经济社会发展和改善民生方面发挥了越来越重要的作用，其中顺丰、韵达、圆通、申通的业务量增速较快，成为我国快递的“四大龙头”企业，随着市场竞争逐渐激烈，低价竞争成为主流，快递的平均单价从2019年的12元/件连续降价至2021年的9.72元/件，设快递单价每年降价的百分率均为x ，则所列方程为（ ）A ．()21219.72x -=B ．()12129.72x -=C ．()29.72112x +=D ．()9.721212x +=8、下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（ ）A ．x 2﹣8＝0B ．x 2﹣4x +4＝0C ．2x 2+3＝0D ．x 2﹣2x ﹣1＝09、下列式子为一元二次方程的是（ ）A ．5x 2﹣1B ．4a 2＝81C．14(2)25xx+=D．（3x﹣2）（x+1）＝8y﹣310、已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为______．2、定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣2．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣2＝6．若1☆x＝0，则x＝_____．3、若关于x的一元二次方程29304kx x--=有实数根，则实数k的取值范围是__________．4、己知t是方程x2﹣x﹣2＝0的根，则式子2t2﹣2t+2021的值为_____．5、某商品由于连续两次降低成本，使成本比原来降低了36%，则平均每次降低成本_______（填百分数）．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解方程：（1）（x﹣2）2＝4（2）x（x﹣3）＋x＝32、随着人们对健康生活的追求，有机食品越来越受到人们的喜爱和追捧，某商家打算花费40000元购进一批有机绿色农产品存放于冷库．实际购买时供货商促销，可以在标价基础上打8折购进这批产品，结果实际比计划多购进400千克．（1）实际购买时，该农产品多少元每千克？（2）据预测，该农产品的市场价格在实际购买价的基础上每天每千克上涨0.5元，已知冷库存放这批农产品，每天需要支出各种费用合计为280元，同时，平均每天将有8千克损坏不能出售．则将这批农产品存放多少天后一次性全部出售，该公司可获得利润19600元？3、若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －2＝0有一个根是x ＝2，求b 的值及方程的另一个根．4、关于x 的一元二次方程22(2)20x m x +-+=有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．5、用适当的方法解下列方程：（1）22180x -=．（2）2(1)10m m --+=-参考答案-一、单选题1、D【分析】十字交叉相乘进行因式分解，各因式值为0，求解即可．【详解】解：2280x x +-=()()240x x -+=20x -=，40x +=解得1242x x =-=，故选D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的进行因式分解．2、B【分析】先将6除以2，得到b 的取值，再添加b²，为了保持式子大小不变，后面再减去b²，则等式左边变成了完全平方，剩余的常数移到等式右边即可．【详解】解：22263310x x -+-+=()2380x --=()238x -=故选B【点睛】本题考查配方法，掌握如何配方是本题关键．3、D【分析】根据该药品的原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：128（1-x ）2=88．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4、C【分析】根据表格中的数据，可以发现当1x =时，10y =-<，当2x =时，50y =>，从而可以得到整数a 、b 的值．【详解】解：由表格可得，当1x =时，10y =-<，当2x =时，50y =>，2350x x ∴+-=的一个正数解为1和2之间，2350x x +-=的一个正数解应界于整数a 和b 之间，a ∴、b 分别是1，2，故选：C ．【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是明确题意，由表格中的数据，可以估算出方程的解所在的范围．5、C【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：()20x x -=即0x =或20x -=解得10x =，22x =故选C【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．6、A【分析】根据因式分解法即可求解．2430x x -+=()()130x x --=∴x -1=0或x -3=0∴11x =，23x =故选A ．【点睛】此题主要考查解一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的运用．7、A【分析】设快递单价每年降价的百分率均为x ，则第一次降价后价格是原价的1-x ，第二次降价后价格是原价的(1-x )2，根据题意列方程解答即可．【详解】解：设快递单价每年降价的百分率均为x ，由题意得()21219.72x -=， 故选A ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．8、B【分析】由根的判别式为Δ＝b 2﹣4ac ，挨个计算四个选项中的Δ值，由此即可得出结论．解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣8）＝32＞0，∴该方程有两个不相等的实数根；B、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣4）＝0，∴该方程有两个相等的实数根；C、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×2×3＝﹣24＜0，∴该方程没有实数根；D、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据根的判别式的正负判定实数根的个数．9、B【详解】解：A、不是方程，故本选项不符合题意；B、是一元二次方程，故本选项符合题意；C、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的次数的最高次数为1的整式方程称为一元二次方程是解题的关键．10、D用根与系数的关系可用k表示出已知等式，可求得k的值．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，∵x12+x22＝5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，∴k2﹣2（k﹣3）＝5，整理得出：k2﹣2k+1＝0，解得：k1＝k2＝1，故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程根根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．二、填空题1、x2+x+1＝73【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．【详解】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意列方程得：x2+x+1＝73．故答案为x2+x+1＝73．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．2、2或﹣1【分析】根据题目中的新定于，可以将1☆x＝0转化为一元二次方程，然后求解即可．【详解】解：∵m☆n＝mn2﹣mn﹣2，1☆x＝0，∴x2﹣x﹣2＝0，∴（x﹣2）（x+1）＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1，故答案为：2或﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是列出相应的方程，会用新定义解答问题．3、19k≥-且0k≠【分析】直接利用一元二次方程的定义结合根的判别式计算得出答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣94＝0有实数根，∴=b2﹣4ac＝1﹣4k×（﹣94）＝1+9k≥0，且k≠0，解得：19k≥-且0k≠，故答案为：19k≥-且0k≠．此题考查利用一元二次方程的定义及根的判别式求系数，正确理解一元二次方程根的三种情况是解题的关键，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．4、2025【分析】根据一元二次方程的解的定义得到t 2-t -2=0，则t 2-t =2，然后把2t 2-2t +2021化成2（t 2-t ）+2021，再利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：当x =t 时，t 2-t -2=0，则t 2-t =2，所以2t 2-2t +2021=2（t 2-t ）+2021=4+2021=2025．故答案为：2025．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．用了整体代入思想．5、20%【分析】利用等量关系成本(1⨯-降低率）2136%=-，设出未知数，把相关数值代入即可求解．【详解】解：设原来的成本为1，平均每次降低x ，由题意得2(1)136%x -=-解得：10.2x =，2 1.8x =（不合题意，舍去）故答案是：20%．本题考查一元二次方程的实际运用，解题的关键是掌握平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为2±=．(1)a x b三、解答题1、（1）x1＝4，x2＝0（2）x1＝3，x2＝﹣1【分析】（1）先开平方，然后移项计算，即可得到答案；（2）先化简方程，然后利用因式分解法解方程，即可求出答案．（1）解：（x﹣2）2＝4，∴x﹣2＝±2，∴x1＝4，x2＝0；（2）解：x（x﹣3）＋x＝3∴x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x﹣3＝0或x+1＝0，∴x1＝3，x2＝﹣1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程．2、（1）实际购买时该农产品20元每千克．（2）存放70天后一次性出售可获利19600元．【分析】（1）设该农产品标价为x 元/千克，则实际为0.8x 元/千克．根据等量关系40000购买标价x 的产品数量+400=40000购买优惠的价格的产品数量，列方程40000400004000.8x x+=解方程即可； （2）设存放a 天后一次性卖出可获得19600元．根据售价×损失后的数量-a 天需要支出各种费用280a 元-进价=利润，列方程()40000200.58280400001960020a a a ⎛⎫+---=⎪⎝⎭，解方程即可． （1）解：设该农产品标价为x 元/千克，则实际为0.8x 元/千克． 依题意得：40000400004000.8x x +=， 解得25x =．经检验，25x =是原方程的解，且符合题意．0.82520⨯=元/千克．答：实际购买时该农产品20元每千克．（2）解：设存放a 天后一次性卖出可获得19600元．依题意得：()40000200.58280400001960020a a a ⎛⎫+---= ⎪⎝⎭， 化简得：214049000a a -+=，即()2700a -=，解得1270a a ==．经检验，70a =是原方程的解，且符合题意．答：存放70天后一次性出售可获利19600元．【点睛】本题考查列分式方程解销售问题应用题，以及列一元二次方程解储存增价损量问题应用题，掌握列方程的方法与步骤是解题关键．3、b=-1，方程的另一个根是x =-1．【分析】将x=2代入方程220x bx +-= 得到b 的值，然后解一元二次方程即可．【详解】解：∵x =2是220x bx +-=的一个根，∴4220b +-=解得b=-1，将b=-1代入原方程得220x x --=，∴()()120x x +-=解得x 1=-1，x 2=2，∴b=-1，方程的另一个根是x =-1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法和熟知一元二次方程根的定义．4、当16m =时，121x x ==-；当22m =-时，121x x ==【分析】根据原方程有两个相等的实数根可以得到有关m 的方程，解得m 的值，再代入得到方程的解即可．【详解】∵方程有两个相等的实数根，∴22(2)422412m m m ∆=--⨯⨯=--=0∴126,2m m ==-当16m =时，121x x ==-当22m =-时，121x x ==【点睛】考查了根的判别式的知识，解题的关键是根据根的情况得到方程．当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；5、（1）13x =，23x =-（2）10m =，21m =【分析】（1）直接利用开平方法解一元二次方程即可；（2）直接利用因式分解法解一元二次方程即可．（1）解：∵22180x -=，∴2218x =，∴29x =，∴13x =，23x =-；（2）解：∵2(1)10m m --+=，∴()()2110m m -+-=，∴()()1110m m -+-=，∴10m =，21m =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．。
沪科版数学八年级下册第17章一元二次方程测试题
沪科版数学八年级下册第17章一元二次方程测试题一、选择题（30分）1、一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）Ａ.有两个相等的实数根 Ｂ.有两个不相等的实数根 Ｃ.只有一个实数根 Ｄ.没有实数根2、若关于z 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A.m<lB.m>-1C.m>lD.m<-13、一元二次方程x 2＋x ＋2＝0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的正根B.有两个不相等的负根C.没有实数根D.有两个相等的实数根4、用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ）A.2(2)2x -=B.2(2)2x +=C.2(2)2x -=-D.2(2)6x -= 5、如果2是一元二次方程x 2＝c 的一个根，那么常数c 是（ ）。
A 、2B 、－2C 、4D 、－46、关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）A.0p >且q >0B.0p >且q <0;C.0p <且q >0;D.0p <且q <07、若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x +=.则k 的值为（ ）（A ）－1或34 （B ）－1 （C ）34（D ）不存在 8、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）（A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0 （C ）x 2＋x ＋3＝0 （D ）x 2＋2x －1＝09、某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ） A ：200(1+a%)2=148 B ：200(1－a%)2=148 C ：200(1－2a%)=148 D ：200(1－a 2%)=148 10已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两不相等的实数根，则m 取值范围是( )A. m ＞－1B. m ＜－2C.m ≥0D.m ＜0二、填空题（30分）1、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x2、方程()412=-x 的解为 。
第17章 一元二次方程单元测试卷-沪科版八年级数学下册(原卷版+解析版)
第17章一元二次方程单元测试卷（原卷版）【沪科版】考试时间：120分钟；满分：150分题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2021·湖北·武汉市第四中学九年级阶段练习）将方程2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（）A．－5、1 B．5、1 C．5、－1 D．－5、－12．(本题4分)（2022·福建泉州·九年级期末）已知实数a是一元二次方程x2＋x＋8＝0的根，则a4＋a3-8a﹣1的值为（）A．62 B．63 C．64 D．653．(本题4分)（2021·广东南海·九年级阶段练习）根据下列表格的对应值，由此可判断方程2x+12x﹣15=0必有一个解x满足（）x ﹣1 1 1.1 1.2x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84A．﹣1<x<1 B．1<x<1.1 C．1.1<x<1.2 D．﹣0.59<x<0.84 4．(本题4分)（2022·重庆潼南·九年级期末）关于x的一元二次方程22+-+--=有一个根为0，则k的值是（）(1)230k x x k kA．3 B．1 C．1或3-D．1-或35．(本题4分)（2020·广东·深圳市宝安区和平中英文实验学校九年级阶段练习）对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有下列说法：①当a ＜0，且b ＞a ＋c 时，方程一定有实数根；②若ac ＜0，则方程有两个不相等的实数根；③若a －b ＋c ＝0，则方程一定有一个根为－1；④若方程有两个不相等的实数根，则方程bx 2＋ax ＋c ＝0一定有两个不相等的实数根． 其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③D ．①②③④ 6．(本题4分)（2020·福建省泉州第一中学九年级阶段练习）已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ） A ．74n ≥- B ．74n >- C ．2n ≥- D ．2n >-7．(本题4分)（2022·重庆黔江·九年级期末）若1x 、2x 是230x bx b +-=的两个根，且22127x x +=，则b 的值是（ ）A ．7-B ．1C ．1或7-D ．7或1-8．(本题4分)（2021·河北赵县·九年级阶段练习）已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2﹣3）＝5，则x 2+y 2的值为（ ）A ．0B ．4C ．4或﹣2D ．﹣29．(本题4分)（2021·山西·九年级期中）2021年是中国共产党成立100周年，山西某中学发起了“热爱祖国，感恩共产党”说句心里话征集活动，学校学生会主席要求征集活动在微信朋友圈里进行传递，规则为：将征集活动发在自己的朋友圈，再邀请n 个好友转发征集活动，每个好友转发朋友圈，又分别邀请n 个互不相同的好友转发征集活动，以此类推，已知经过两轮传递后，共有1641人参与了传递活动，则方程列为（ ）A ．()211641n +=B ．()()21111641n n ++++= C ．21641n n +=D ．211641n n ++=10．(本题4分)（2021·陕西·西安市中铁中学八年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将线段AB 绕着点A 逆时针旋转45°后其延长线交BC 的延长线于点D ，已知AC ＝3，BC ＝1，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．10B ．4C 3104D 4105第II 卷（非选择题）二、填空题(共20分)11．(本题5分)（2021·吉林朝阳·九年级期末）若关于x 的一元二次方程22350x x +-=的一个根是m ，则2462021m m +-的值为______．12．(本题5分)（2021·四川·成都新津为明学校九年级阶段练习）代数式2524x x -+的最小值是_______．13．(本题5分)（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0（a ≠0）有两个相等的实数根，那么222(2)4ab a b -+-的值是______． 14．(本题5分)（2021·辽宁沈阳·模拟预测）某公司今年7月的营业额为2500万元，按计划第三季度的总营业额要达到9100万元．设该公司8、9两月的营业额的月平均增长率为x ，根据题意可列方程为_______．三、解答题(共90分)15．(本题8分)（2021·河南·濮阳市华龙区高级中学九年级阶段练习）解下列方程：(1)22470x x --=（公式法）(2)2420x x ++=（配方法）(3)()()23430x x x -+-=(4)()()315x x +-=．16．(本题8分)（2022·广西博白·九年级期末）已知关于x 的方程mx 2－（m ＋2）x ＋2＝0（m ≠0）．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个根都是正整数，求整数m 的值．17．(本题8分)（2018·山东峄城·九年级期中）化简，再求值：22222232m n m m n m nm n m n mn ++⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，其中m ，n 是方程22210x x -+=的两根.18．(本题8分)（2021·江苏东台·九年级阶段练习）某品牌童装进价每件120元、售价160元，平均每天可售出50件，为了迎接“国庆”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出5件．（1）商场原来平均每天盈利 元；（2）要想平均每天销售这种童装盈利3000元，那么每件童装应降价多少元？19．(本题10分)（2022·江苏溧水·九年级期末）某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m 和16m ，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m 2．(1)求小路的宽度．(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．20．(本题10分)（2022·山西襄汾·八年级期末）阅读与思考配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：()()()()()2222245422529232351x x x x x x x x x +-=++--=+-=+++-=+- （1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解①234x x+-；②289x x--（2）深入研究：说明多项式2612x x-+的值总是一个正数?（3）拓展运用：已知a、b、c分别是ABC的三边，且2222220a ab b bc c-+-+=，试判断ABC的形状，并说明理由．21．(本题12分)（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）2019年我校附近某楼盘推出一种面积为100平方米的三室两厅的户型，以每平方米12000元的均价对外销售．我校张老师打算买一套自住，由于购房资金不足，张老师只好“望楼兴叹”，决定等两年再考虑买房．自2019年底出现疫情以来，商品房价格稳中略有下降，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，自2019年经过连续两年下调后，2021年的均价为每平方米10830元．(1)求这一户型房价平均每年下调的百分率；(2)进入2022年，近日张老师得知该楼盘自己两年前想买的这一户型仍有少量剩余房在售，单价较2021年的均价再次下调10%．张老师认真计算了一下，过去两年，每月固定存入相同数量的资金（存入的资金是100的整数倍），刚好存满2年（24个月），加上原有积蓄40万元，还可以根据个人征信情况向银行贷款50万元，可以凑齐房款，决定马上购买．请问张老师这两年每月至少固定存入多少元？22．(本题12分)（2016·河北·九年级专题练习）李老师布置了两道解方程的作业题：(1)选用合适的方法解方程：（x+1）（x+2）=6；(2)用配方法解方程：2x2＋4x－5＝0.以下是小明同学的作业：(1)解：由（x+1）（x+2）=6，(2)解：由2x2＋4x－5＝0，得x＋1＝2，x＋2＝3，得2x2＋4x＝5，所以x1＝1，x2＝1.x2＋2x＝5 2，x 2＋2x ＋1＝52－1，(x+1)2＝32，x ＋1＝±62x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62.请你帮小明检查他的作业是否正确，把不正确的改正过来．23．(本题14分)（2021·福建省莆田市中山中学八年级期中）同学们上学期学习分式，整式还有这个学期的二次根式．小明发现像22,m n mnp m n ++如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式． 他还发现像22,(1)(1)m n m n +--等神奇对称式都可以用,mn m n +表示．例如：222()2m n m n mn +=+-，(1)(1)()1m n mn m n --=-++．于是小明把mn 和m n +称为基本神奇对称式．请根据以上材料解决下列问题：(1)代数式mn ②22m n -，③n m ，(0,0,0)xy yz xz x y z ≥≥≥中，属于神奇对称式的是________（填序号）；(2)已知2()()x m x n x px q --=-+．①若3,2p q ==-，则神奇对称式11m n+=_________； ②20p q =，求神奇对称式3311m n m n +++的最小值．第17章一元二次方程单元测试卷（解析版）【沪科版】考试时间：120分钟；满分：150分题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2021·湖北·武汉市第四中学九年级阶段练习）将方程2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（）A．－5、1 B．5、1 C．5、－1 D．－5、－1【答案】A【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【详解】解：2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式2x2-5x+1=0，一次项系数、常数项分别是-5，1，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．(本题4分)（2022·福建泉州·九年级期末）已知实数a是一元二次方程x2＋x＋8＝0的根，则a4＋a3-8a﹣1的值为（）A．62 B．63 C．64 D．65【答案】B【解析】【分析】把方程的解代入方程得到关于a的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值．【详解】解：∵a是一元二次方程x2+x+8=0的一个根，∴a2+a+8=0∴a2+a=-8，∴a4+a3+8a-1=a2（a2+a）-8a-1=-8a2-8a-1=64-1=63，故选：B．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的等式，利用等式对代数式进行化简并求出代数式的值．3．(本题4分)（2021·广东南海·九年级阶段练习）根据下列表格的对应值，由此可判断方程2x+12x﹣15=0必有一个解x满足（）x ﹣1 1 1.1 1.2x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84A．﹣1<x<1 B．1<x<1.1 C．1.1<x<1.2 D．﹣0.59<x<0.84【答案】C【分析】利用表中数据得到x=1.1时，x 2 +12x ﹣15=-0.59<0，x=1.2时，x 2 +12x ﹣15=0.84>0，则可以判断方程x 2 +12x ﹣15=0时，有一个解x 满足1.1<x <1.2．【详解】∵x=1.1时，x 2 +12x ﹣15=-0.59<0，x=1.2时，x 2 +12x ﹣15=0.84>0，∴ 1.1<x <1.2时，x 2 +12x ﹣15=0即方程x 2 +12x ﹣15=0必有一个解x 满足1.1<x <1.2，故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4．(本题4分)（2022·重庆潼南·九年级期末）关于x 的一元二次方程22(1)230k x x k k +-+--=有一个根为0，则k 的值是（ ）A ．3B ．1C ．1或3-D ．1-或3【答案】A【解析】【分析】 把x =0代入原方程得到转化关于k 的方程，然后结合二次项系数不等于0求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22(1)230k x x k k +-+--=的一个根是0，∴2k -2k -3=0，且k +1≠0,∴k =3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，一元二次方程的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．5．(本题4分)（2020·广东·深圳市宝安区和平中英文实验学校九年级阶段练习）对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有下列说法：①当a ＜0，且b ＞a ＋c 时，方程一定有实数根；②若ac ＜0，则方程有两个不相等的实数根；③若a －b ＋c ＝0，则方程一定有一个根为－1；④若方程有两个不相等的实数根，则方程bx 2＋ax ＋c ＝0一定有两个不相等的实数根． 其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③D ．①②③④ 【答案】C【解析】【分析】①令3a =-，1b =-，1c =-，由判别式即可判断；②若0ac <，则a 、c 异号，由判别式即可判断；③令1x =-得0a b c -+=，即可判断；④取1a =，0b =，1c =-来进行判断即可．【详解】①由当3a =-，1b =-，1c =-，2(1)4(3)(1)110∆=--⨯-⨯-=-<，方程此时没有实数根，故①错误；②若0ac <，a 、c 异号，则240b ac ∆=->，方程20ax bx c ++=一定有两个不相等的实数根，所以②正确；③令1x =-得0a b c -+=，则方程一定有一个根为1-；③正确；④当1a =，0b =，1c =-时，20ax bx c ++=有两个不相等的根为±1，但方程20bx ax c ++=只有一个根为1，故④错误．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的解以及判别式，掌握用判别式判断根的情况是解题的关键． 6．(本题4分)（2020·福建省泉州第一中学九年级阶段练习）已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ） A ．74n ≥- B ．74n >- C ．2n ≥- D ．2n >-【答案】A【解析】【分析】 由2104m m c -+=变形得214m m c -=-，代入22112124n m m c =-++中得到2134n c c =-+，再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案．【详解】2104m m c -+= ∴ 214m m c -=- ∴22111()244m m m -=--≥- 1c ∴≤22222211111121212()12()344444n m m c m m c c c c c ∴=-++=-++=⨯-++=-+ 23()22n c ∴=-- 231()24c -≥74n ∴≥- 故选：A ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键．7．(本题4分)（2022·重庆黔江·九年级期末）若1x 、2x 是230x bx b +-=的两个根，且22127x x +=，则b 的值是（ ）A ．7-B ．1C ．1或7-D ．7或1-【答案】B【解析】【分析】 根据根与系数关系得出12123x x b x x b +=-⋅=-，，由22127x x +=配方得()22212121227x x x x x x +=+-=，得出方程()()2237b b --⨯-=，解方程即可． 【详解】解：∵1x 、2x 是230x bx b +-=的两个根，∴12123x x b x x b +=-⋅=-，，∵22127x x +=， ∴()22212121227x x x x x x +=+-=， ∴()()2237b b --⨯-=， 2670b b +-=，解得1217b b ==-，，但b =-7时，方程为27210x x -+=，此时()274210∆=--⨯<，所以原方程无实数根，故选B．【点睛】本题考查根与系数关系，完全平方公式变形，解一元二次方程，掌握根与系数关系，完全平方公式变形，解一元二次方程是解题关键．8．(本题4分)（2021·河北赵县·九年级阶段练习）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（）A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣2【答案】B【解析】【分析】设x2+y2＝z，则原方程换元为z2﹣2z﹣8＝0，可得z1＝4，z2＝﹣2，由此即可求解．【详解】解：设x2+y2＝z，则原方程换元为（z+1）（z﹣3）＝5，整理得：z2﹣2z﹣8＝0，∴（z﹣4）（z+2）＝0，解得：z1＝4，z2＝﹣2，即x2+y2＝4或x2+y2＝﹣2，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝﹣2不合题意，舍去，∴x2+y2＝4．故选：B．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键，注意代数式x2+y2本身的取值范围不能忘．9．(本题4分)（2021·山西·九年级期中）2021年是中国共产党成立100周年，山西某中学发起了“热爱祖国，感恩共产党”说句心里话征集活动，学校学生会主席要求征集活动在微信朋友圈里进行传递，规则为：将征集活动发在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发征集活动，每个好友转发朋友圈，又分别邀请n个互不相同的好友转发征集活动，以此类推，已知经过两轮传递后，共有1641人参与了传递活动，则方程列为（）A．()211641n+=B．()()21111641n n++++=C．21641n n+=D．211641n n++=【答案】D【解析】【分析】设邀请了n个好友转发朋友圈，第一轮转发了n个人，第二轮转发了n2个人，根据两轮转发后，共有1641人参与列出方程即可．【详解】解：由题意，得n2+n+1=1641，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为1641人建立方程是关键．10．(本题4分)（2021·陕西·西安市中铁中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将线段AB绕着点A逆时针旋转45°后其延长线交BC的延长线于点D，已知AC＝3，BC＝1，则点D到AB的距离是（）A．10B．4 C 3104D4105【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理求得AB 的长，设DE =x ，用x 表示出CD ，在Rt △ACD 中，利用勾股定理构造方程，求解即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝1，∴AB=22223110AC BC +=+=，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵∠BAD =45°，∴AE =DE ， 设DE =x ，则AE =DE =x ，AD 2x ，BE 10x ，在Rt △BDE 中，222BE DE BD +=,∴BD ()2210x x -+，则CD ()22101x x -+，在Rt △ACD 中，222CD AC AD +=,即()()2222210132x x x ⎫-++=⎪⎭,()2222210*********x x x x x x -++--++=， ()22101010x x x =-+ 222100************ x x x x -+=-++，281810900x x -+=，即24910450x x -+=，(2249104445900b ac =-=--⨯⨯=>，∴x 91090910310±±= ∴x 1910310310+=(舍去)，x 2910310310-= ∴点D 到AB 310， 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．第II 卷（非选择题）二、填空题(共20分)11．(本题5分)（2021·吉林朝阳·九年级期末）若关于x 的一元二次方程22350x x +-=的一个根是m ，则2462021m m +-的值为______．【答案】-2011【解析】【分析】由关于x 的一元二次方程22350x x +-=的一个根是m ，可得2235m m +=，再由()224202122320216m m m m -=+-+求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22350x x +-=的一个根是m ，∴22350m m -=+，∴2235m m +=，∴()2242021223202110202126011m m m m -=+-=-=-+．故答案为：-2011．【点睛】本题考查一元二次方程的解和代数式求值，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．12．(本题5分)（2021·四川·成都新津为明学校九年级阶段练习）代数式2524x x -+的最小值是_______． 【答案】14##0.25 【解析】【分析】 利用配方法得到：22512(1)44x x x -+=-+．利用非负数的性质作答． 【详解】 解：因为22512(1)44x x x -+=-+≥0， 所以当x =1时，代数式2524x x -+的最小值是14， 故答案是：14． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质．配方法的理论依据是公式a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2．13．(本题5分)（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0（a ≠0）有两个相等的实数根，那么222(2)4ab a b -+-的值是______． 【答案】4【解析】【分析】根据一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式的意义得到a ≠0且Δ=0，即b 2-4a =0，即b 2=4a ，最后代入b 2=4a 计算即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +1=0有两个相等的实数根，∴a ≠0且Δ=0，∴b 2-4a =0，∴b 2=4a ，∴原式=222224444(2)444444a a a a a a a a a a ⋅===-+--++-． 故答案为4．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式Δ=b 2-4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 14．(本题5分)（2021·辽宁沈阳·模拟预测）某公司今年7月的营业额为2500万元，按计划第三季度的总营业额要达到9100万元．设该公司8、9两月的营业额的月平均增长率为x ，根据题意可列方程为_______．【答案】225002500(1)2500(1)9100x x ++++=【解析】【分析】分别表示出8月，9月的营业额进而得出等式即可．【详解】解：设该公司8、9两月的营业额的月平均增长率为x ．根据题意列方程得：225002500(1)2500(1)9100x x ++++=．故答案是：225002500(1)2500(1)9100x x ++++=．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，得到等量关系．三、解答题(共90分)15．(本题8分)（2021·河南·濮阳市华龙区高级中学九年级阶段练习）解下列方程：(1)22470x x --=（公式法）(2)2420x x ++=（配方法）(3)()()23430x x x -+-=(4)()()315x x +-=．【答案】(1)1232321122x x =+=- (2)1222,22x x =-=-(3)1233,5x x == (4)124,2=-=x x【解析】【分析】（1）利用公式法，即可求解；（2）利用配方法，即可求解； （3）利用因式分解法，即可求解； （4）利用因式分解法，即可求解．(1)解：∵2,4,7a b c ==-=-， ∴()()2244427720b ac ∆=-=--⨯⨯-=>， ∴472232222x ， 即1232321122x x =+=-；(2)解：2420x x ++=，移项得：242x x +=-，配方得：2442x x ++=，即()222x +=， 开方得：22x +=∴1222,22x x =-=-(3)解：()()23430x x x -+-=，分解因式得：()()3340x x x --+=， ∴30x -=或340x x -+=， 解得：1233,5x x ==；(4)()()315x x +-=，整理得：2280x x +-=， ∴()()420x x +-=， 解得：124,2=-=x x ． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并会灵活选用合适的方法解答是解题的关键．16．(本题8分)（2022·广西博白·九年级期末）已知关于x 的方程mx 2－（m ＋2）x ＋2＝0（m ≠0）． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个根都是正整数，求整数m 的值． 【答案】(1)见解析 (2)1或2 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式解答即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x 1＝1，x 2＝2m ，由已知可得出2m为不等于1的整数，结合m 为整数即可求出m 值． (1)由题意可知：m ≠0， ∵Δ＝（m +2）2﹣8m ＝m 2+4m +4﹣8m ＝m 2﹣4m +4 ＝（m ﹣2）2， ∴Δ≥0，故不论m 为何值时，方程总有两个实数根； (2)解：由已知，得（x -1）（mx -2）=0， ∴x -1=0或mx -2=0， ∴11x =，22x m=， 当m 为整数1或2时，x 2为正整数， 即方程的两个实数根都是正整数， ∴整数m 的值为1或2 【点睛】本题考查一元二次方程的根与其判别式的关系、解一元二次方程，熟知一元二次方程的根与其判别式的关系是解答的关键．17．(本题8分)（2018·山东峄城·九年级期中）化简，再求值：22222232m nm m n m nm n m n mn ++⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，其中m ，n 是方程22210x x -+=的两根.【答案】mn m n +2【解析】 【详解】【分析】括号内根据同分母分式加减法法则进行加减运算，然后再与括号外的分式进行乘除法运算，由于m ，n 是方程22210x x -+=的两根，根据一元二次方程根与系数的关系得到m+n 、mn 的值代入分式化简后的结果进行计算即可得.【详解】原式=()()()32mn m n m n m m n m n m n -+-⋅+-+=mnm n+，因为m ，n 是方程22210x x -+=的两根， 所以22m n +=mn=1，所以，原式2 22=.【点睛】本题考查了分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系，准确进行分式的混合运算是解题的关键.18．(本题8分)（2021·江苏东台·九年级阶段练习）某品牌童装进价每件120元、售价160元，平均每天可售出50件，为了迎接“国庆”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出5件．（1）商场原来平均每天盈利元；（2）要想平均每天销售这种童装盈利3000元，那么每件童装应降价多少元？（3）用配方法说明：要想盈利最多，每件童装销售价应定为多少元？【答案】（1）2000；（2）20元；【解析】【分析】（1）根据利润等于售价减进行加乘以销售量，即可求得每天盈利；（2）设每件童装应降价x元，根据每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出5件，分别表示出降价后的利润与销量，列出方程，求出方程的解即可得到结果；【详解】（1）依题意，()160120502000-⨯=（元），故答案为：2000（2）设每件童装应降价x元，根据题意得：（160-120﹣x）（50+5x）=3000，整理得：x2﹣30x+200=0，即（x﹣20）（x﹣10）=0，解得：x=20或x=10（不合题意，舍去），答：每件童装应降价20元；【点睛】本题考查了配方法的应用，以及一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程方程是解答本题的关键．19．(本题10分)（2022·江苏溧水·九年级期末）某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．(1)求小路的宽度．(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．【答案】(1)小路的宽度是2m；(2)每次降价的百分率为20%【解析】【分析】（1）设小路的宽度为x m，根据总面积为480列方程求解即可；（2）设每次降价的百分率为y，根据等量关系列方程50（1－y）2=32解方程即可求解．(1)解：设小路的宽度为x m，根据题意，得：（20+2x）（16+2x）=480，整理得：x2+18x－40＝0，解得：x1=2，x2=－20（舍去），答：小路的宽度为2m ； (2)解：设每次降价的百分率为y ，根据题意， 得：50（1－y ）2=32，解得：y 1＝0.2，y 2＝1.8（舍去）， 答：每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解答的关键． 20．(本题10分)（2022·山西襄汾·八年级期末）阅读与思考配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：()()()()()2222245422529232351x x x x x x x x x +-=++--=+-=+++-=+- （1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解 ①234x x +-； ②289x x --（2）深入研究：说明多项式2612x x -+的值总是一个正数（3）拓展运用：已知a 、b 、c 分别是ABC 的三边，且2222220a ab b bc c -+-+=，试判断ABC 的形状，并说明理由．【答案】（1）①()()41x x +-；②()()19x x +-；（2）见解析；（3）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和非负数的性质进行说明即可；（3）展开后利用分组分解法因式分解后利用非负数的性质确定三角形的三边的关系即可． 【详解】解：（1）①222223332534342224x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎭-⎝⎭⎝⎭⎝()()3535412222x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．②2222898449x x x x --=-+--()()()()()2425454519x x x x x =--=-+--=+-（2）()22261269333x x x x x -+=-++=-+ ∵()230x -≥ ∴()2330x -+>∴多项式2612x x -+的值总是一个正数． （3）ABC 为等边三角形．理由如下：∵2222220a ab b bc c -+-+=∴()()222220a ab b b bc c -++-+=∴()()220a b b c -+-= ∴0a b -=，0b c -= ∴a b c ==∴ABC 为等边三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细阅读材料理解配方的方法．21．(本题12分)（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）2019年我校附近某楼盘推出一种面积为100平方米的三室两厅的户型，以每平方米12000元的均价对外销售．我校张老师打算买一套自住，由于购房资金不足，张老师只好“望楼兴叹”，决定等两年再考虑买房．自2019年底出现疫情以来，商品房价格稳中略有下降，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，自2019年经过连续两年下调后，2021年的均价为每平方米10830元． (1)求这一户型房价平均每年下调的百分率；(2)进入2022年，近日张老师得知该楼盘自己两年前想买的这一户型仍有少量剩余房在售，单价较2021年的均价再次下调10%．张老师认真计算了一下，过去两年，每月固定存入相同数量的资金（存入的资金是100的整数倍），刚好存满2年（24个月），加上原有积蓄40万元，还可以根据个人征信情况向银行贷款50万元，可以凑齐房款，决定马上购买．请问张老师这两年每月至少固定存入多少元？ 【答案】(1)5% (2)3200元 【解析】 【分析】（1）设这一户型房价平均每年下调的百分率为x ，根据“自2019年经过连续两年下调后，2021年的均价为每平方米10830元”，列出方程，即可求解；（2）设张老师这两年每月固定存入y 元，则2年存款为24y 元，根据题意，列出不等式，即可求解． (1)解：设这一户型房价平均每年下调的百分率为x ，根据题意得：()212000110830x -=，解得：10.05x =，2 1.95x =（舍去）， ∵0.055%=答：这一户型房价平均每年下调的百分率为5%； (2)解：设张老师这两年每月固定存入y 元，则2年存款为24y 元，2022年的房价为每平方米()10830110%9747⨯-=元，则一套100平方米的总房价为9747100974700⨯=元，根据题意得：24400000500000974700y++≥，解得：3112.5y=，又∵存入的资金是100的整数倍，∴y的最小值为3200，答：张老师这两年每月至少固定存入3200元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．22．(本题12分)（2016·河北·九年级专题练习）李老师布置了两道解方程的作业题：(1)选用合适的方法解方程：（x+1）（x+2）=6；(2)用配方法解方程：2x2＋4x－5＝0.以下是小明同学的作业：(1)解：由（x+1）（x+2）=6，(2)解：由2x2＋4x－5＝0，得x＋1＝2，x＋2＝3，得2x2＋4x＝5，所以x1＝1，x2＝1.x2＋2x＝5 2，x2＋2x＋1＝52－1，(x+1)2＝3 2，x＋1＝±6 2x1＝－1＋62，x2＝－1－62.请你帮小明检查他的作业是否正确，把不正确的改正过来．【答案】(1) x1＝1，x2＝－4.(2) x1＝－114，x2＝－114.【解析】【详解】试题分析：（1）先整理方程，然后进行因式分解，再求解即可；（2）首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．试题解析：（1）（x+1）（x+2）=6，x2+3x+2-6=0，即x2+3x-4=0，∴（x+4）（x-1）=0，∴x1=-4，x2=1；（2）由原方程，得2x2+4x=5，x2+2x=52，（x+1）2=1+52，即（x+1）2=72．x＋1＝±14∴x1＝－114，x2＝－114.23．(本题14分)（2021·福建省莆田市中山中学八年级期中）同学们上学期学习分式，整式还有这个学期的二次根式．小明发现像22,m n mnp m n ++如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式． 他还发现像22,(1)(1)m n m n +--等神奇对称式都可以用,mn m n +表示．例如：222()2m n m n mn +=+-，(1)(1)()1m n mn m n --=-++．于是小明把mn 和m n +称为基本神奇对称式．请根据以上材料解决下列问题：(1)代数式mn ②22m n -，③nm，(0,0,0)xy yz xz x y z ≥≥≥中，属于神奇对称式的是________（填序号）； (2)已知2()()x m x n x px q --=-+． ①若3,2p q ==-，则神奇对称式11m n+=_________； ②20p q =，求神奇对称式3311m n m n+++的最小值．【答案】(1)①，④；(2)①32-；②3311m n m n+++的最小值为-2．【解析】 【分析】（1）根据题意新定义的神奇对称式任意交换两个字母的位置，式子的值不变来判断 （2）①把11m n+ 通分用mn 与m +n 的形式表示，然后转换成用p 、q 表示的代数式代入即可求出值；②把神奇对称式33+1+1m n m n+转换成用p 、q 表示的代数式，再利用配方利用非负数性质求出最值．(1)解：mn nm= ∴①是神奇对称式，∵()2222m n n m =---，交换字母的位置，式子的值变相反数， ∴②不是神奇对称式， ∵1m n m n=，交换字母的位置，式子的值变倒数，∴③不是神奇对称式， (0,0,0)zx xy yz xy yz zx x y z ≥≥≥交换字母的位置，式子的值不变， ∴④是神奇对称式；①④符合神奇对称式的定义，②③交换字母的位置，式子的值会变故不符合神奇对称式的定义．故答案为①，④；(2)解：①∵()()()22x m x n x m n x mn x px q --=-++=-+，∴p m n q mn =+=，，∵3,2p q ==-，∴32m n mn +=⎧⎨=-⎩， 111132n m n m m n mm +⎛⎫+=+==- ⎪⎝⎭， 故答案应为：32-； ②∵()()()22x m x n x m n x mn x px q --=-++=-+，。
沪科版数学八年级下册第17章一元二次方程测试题含答案
沪科版八年级数学下册第17章测试卷一、单选题1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．﹣3（x+1）2=2（x+1）C．x2﹣x（x﹣3）=0 D．12 xx+=2．方程x2－5x＝0的解为( )A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝0，x2＝1C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝15，x2＝53．一元二次方程2x2-x+1=0的根的情况是（）A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断4．用配方法解一元二次方程x2－6x＋3＝0时，配方得( ) A．(x＋3)2＝6 B．(x－3)2＝6C．(x＋3)2＝3 D．(x－3)2＝35．若关于x的方程x2＋(m＋1)x＋12＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是( )A．－52B．12C．－52或12D．16．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100 7．关于的方程220x ax a-+=的两根的平方和是5，则a的值是( )A．-1或5 B．1 C．5 D．-18．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6 B．5 C．4 D．39．有两个一元二次方程M ：ax 2＋bx ＋c ＝0；N ：cx 2＋bx ＋a ＝0，其中a·c≠0，a≠c ，下列四个结论中，错误的是( )A ．如果方程M 有两个相等的实数根，那么方程N 也有两个相等的实数根B ．如果方程M 的两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同C ．如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根 D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x ＝110．对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），下列说法：①b=a+c 时，方程ax 2+bx+c=0一定有实数根；②若a 、c 异号，则方程ax 2+bx+c=0一定有实数根；③b 2﹣5ac ＞0时方程ax 2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；④若方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则方程cx 2+bx+a=0也一定有两个不相等实数根．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．只有①②③C ．只有①②④D ．只有②④二、填空题11．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的一个解是x ＝1，则2 017－a －b 的值是________．12．若关于x 的一元二次方程2310ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 ．13．已知关于x 的方程26+0x x k +=的两个根分别是1x 、2x ，且12113x x +=，则k 的值为___________．14．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d ，定义a b c d＝ad －bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+＝6，则x ＝________．三、解答题15．解下列方程：(1)8x2－6＝2x2－5x；(2)(2x＋1)(2x＋3)＝15.16．已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．17．先化简，再求值：（11x-+1）÷21xx-，其中x是方程x2+3x=0的根．18．已知关于x的方程x2－2mx=－m2＋2x的两个实数根x1，x2满足|x1|=x2，求实数m的值.19．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？20．如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．21．“4·20” 雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次．两天恰好运完．（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m 顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑1m 2次，小货车每天比原计划多跑m 次，一天恰好运送了14400顶，求m 的值．22．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程；()2请写出第n 个方程和它的根．23．请阅读下列材料：问题：已知方程x 2＋x －1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y ，则y ＝2x ，所以x ＝y 2. 把x ＝y 2代入已知方程，得2()2y ＋y 2－1＝0. 化简，得y 2＋2y －4＝0.故所求方程为y 2＋2y －4＝0.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)：(1)已知方程x 2＋x －2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_________；(2)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．参考答案1．B【解析】分析：根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．详解：A．当a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误；B．是一元二次方程，故此选项正确；C．不是一元二次方程，故此选项错误；D．不是一元二次方程，故此选项错误．故选B．点睛：本题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．C【解析】【分析】因式分解法即可求解一元二次方程.【详解】解：x2－5x＝0x(x-5)=0,解得：x1＝0，x2＝5故选C.【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,属于简单题,熟悉一元二次方程的求解方法是解题关键.3．C【解析】【分析】先计算△=b2-4ac的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可．【详解】∵△=b 2 -4ac=1-8=-7＜0，∴一元二次方程2x 2 -x+1=0没有实数根．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．4．B【解析】【分析】先将常数项移到等号右边,再等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可解题.【详解】解：x2－6x＋3＝0x2－6x＝－3x2－6x＋9＝－3+9(x－3)2＝6故选B.【点睛】本题考查了用配方法求解一元二次方程的解,属于简单题,熟悉配方的步骤是解题关键. 5．C【解析】倒数是本身的数只有两个＋1，－1，而方程的一个实数根的倒数恰是它本身，故方程的根为1或-1，所以当x＝1时，将x＝1代入原方程得：1＋m＋1+12＝0，解得m＝－52，同理当x＝－1时，m＝12，所以m的值是－52或12，故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是要根据题意确定出方程的解，然后分情况讨论即可.6．A【解析】【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即： 80（1+x ）2=100，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．7．D【解析】【分析】设方程的两根为1x 、2x ，根据根与系数的关系得到12x x a +=，122x x a ⋅=，由于22125x x =+，变形得到()2121225x x x x +-⋅=，则2450a a --=，然后解方程，满足0≥的a 的值为所求.【详解】设方程的两根为1x 、2x ，则12x x a +=，122x x a ⋅=，22215x x +=，∴()2121225x x x x +-⋅=，∴2450a a --=，∴15a =，21a =-， 280a a =-≥，∴1a =-.故选：D .【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的根与系数的关系：若方程的两根为1x 、2x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅=，也考查了一元二次方程的根的判别式. 8．B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法结合已知条件进行分析解答即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+m ﹣2=0有两个实数根，∴△=()224120m =⨯⨯-≥，解得：3m ≤， 又∵m 为正整数，∴m=1或2或3，（1）当m=1时，原方程为x 2+2x-1=0，此时方程的两根均不为整数，故m=1不符合要求； （2）当m=2时，原方程为x 2+2x=0，此时方程的两根分别为0和-2，符合题中要求； （3）当m=3时，原方程为x 2+2x+1=0，此时方程的两根都为1，符合题中要求； ∴ m=2或m=3符合题意，∴m 的所有符合题意的正整数取值的和为：2+3=5.故选B.【点睛】读懂题意，熟知“在一元二次方程()200ax bx c a ++=≠中，若方程有两个实数根，则△=240b ac -≥”是解答本题的关键.9．D【解析】试题分析：A 、∵M 有两个不相等的实数根∴△＞0即240b ac ->而此时N 的判别式△＝240b ac ->，故它也有两个不相等的实数根；B 、M 的两根符号相同：即120c x x a ⋅=>，而N 的两根之积＝a c＞0也大于0，故N 的两个根也是同号的．C 、如果5是M 的一个根，则有：2550a b c ++=①，我们只需要考虑将15代入N 方程看是否成立，代入得：110255c b a ++=②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立．D 、比较方程M 与N 可得：22()()11a c x a c x x -=-==± 故可知，它们如果有根相同的根可是1或-1考点：二元一次方程的判别式，及根与系数的关系10．B【解析】【分析】根据根的判别式逐条分析即可，当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.【详解】①∵b =a +c ，∴∆=b 2﹣4ac=(a-c)2≥0,∴方程ax 2+bx +c =0一定有实数根，故①正确；②∵a 、c 异号，∴ac<0,∴∆=b 2﹣4ac>0,∴方程ax 2+bx +c =0一定有实数根，故②正确；③当a 、c 异号,方程有两个不相等的实数根;当a 、c 同号,若b 2﹣5ac ＞0,则∆=b 2﹣4ac >ac >0,所以方程ax 2+bx +c =一定有两个不相等的实数根,故③正确;④若a ≠0,b ≠0,c =0,方程ax 2+bx +c =有两个不相等的实数根，但方程cx 2+bx +a =0没有两个不相等实数根,故④错误.故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.11．2 022【解析】【分析】将x ＝1代入原方程得5=-a-b,整体代入代数式即可求值.【详解】解：将x ＝1代入ax 2＋bx ＋5＝0得,a+b+5=0,即5=-a-b,∴2017－a －b=2017+5=2022.【点睛】本题考查了代数式的求值,一元二次方程的根,属于简单题,熟悉整体代入思想是解题关键.. 12．94a >-且0a ≠． 【解析】试题分析：∵关于x 的一元二次方程2310ax x +-=有两个不相等的实数根，∴0a ≠且△=234(1)940a a -⨯⨯-=+>，解得：94a >-且0a ≠．故答案为94a >-且0a ≠． 考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．13．﹣2．【解析】试题分析：∵关于x 的方程x 2+6x+k=0的两个根分别是x 1、x 2，∴x 1+x 2=﹣6，x 1x 2=k ， ∵121212113x x x x x x ++==，∴6k-=3， ∴k=﹣2．故答案是﹣2．考点：根与系数的关系．14．【解析】【分析】根据定义将二阶行列式表示成一元二次方程,求解即可.【详解】 解：由题可知x 1x 11x x 1+--+=（x+1）2-(x-1)(1-x)=6,整理得：2x2+2=6x2=2解得：【点睛】本题考查了二阶行列式与一元二次方程的关系,是一道新定义题,中等难度, 将二阶行列式表示成一元二次方程是解题关键.15．（1）x1＝23，x2＝－32.（2）x1＝－3，x2＝1.【解析】【分析】（1）因式分解法求解即可,（2）重新化成一般式,再进行因式分解求解即可. 【详解】解：(1)8x2－6＝2x2－5x，整理为6x2＋5x－6＝0，∴(3x－2)(2x＋3)＝0，即3x－2＝0或2x＋3＝0，∴原方程的解为x1＝23，x2＝－32.(2)(2x＋1)(2x＋3)＝15，整理得4x2＋6x＋2x＋3＝15，即4x2＋8x－12＝0，即x2＋2x－3＝0，∴(x＋3)(x－1)＝0，∴x＋3＝0或x－1＝0，∴原方程的解为x1＝－3，x2＝1.【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,属于简单题,会因式分解是解题关键.16．详见解析【解析】【分析】表示出△,将△配方,进而判断△的正负性即可解题.【详解】证明：∵Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4，无论m取何值时，(m＋1)2＋4的值恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根的判别式对一元二次方程的影响,属于简单题,熟练掌握配方是解题关键. 17．-2【解析】分析：根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x 2+3x=0可以求得x 的值，注意代入的x 的值必须使得原分式有意义．详解：（11x -+1）÷21x x - =()()1111•1x x x x x+-+-- =()()11•1x x x x x +-- =x+1，由x 2+3x=0可得，x=0或x=-3，当x=0时，原来的分式无意义，∴当x=-3时，原式=-3+1=-2．点睛：本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．18．12- 【解析】试题分析：首先由关于x 的方程x 2－2mx=－m 2＋2x 的两个实数根可得：根的判别式△0≥，由此可求出“m”的取值范围；再由12x x =可得：①12x x =；②12x x =-，即120x x +=，结合“一元二次方程根的判别式”和“一元二次方程根与系数的关系”分两种情况讨论即可求得“m ”的值. 试题解析：原方程可化为：x 2－2(m ＋1)x ＋m 2=0，∵x 1，x 2是方程的两个根，∴Δ≥0，即：4(m ＋1)2－4m 2≥0，∴8m ＋4≥0，解得：m≥－12.∵x 1，x 2满足|x 1|=x 2，∴x 1=x 2或x 1=－x 2，即Δ=0或x 1＋x 2=0，①由Δ=0，即8m ＋4=0，解得m=－12. ②由x 1＋x 2=0，即：2(m ＋1)=0，解得m=－1∵m≥－12， ∴m=－12. 点睛：本题解题的关键是能够把12x x =这一条件转化为两种情况：（1）12x x =；（2）12x x =-即120x x +=；这样结合“一元二次根的判别式”和“一元二次方程根与系数的关系”就能求得“m ”的值了.19．（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.【解析】分析：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．详解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x 元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得 （40-x ）（20+2x ）=1200，整理，得x 2-30x+200=0，解得：x 1=10，x 2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x 2=20应舍去，∴x=10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．点睛：此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．20．截去的小正方形的边长为2cm ．【分析】由等量关系：矩形面积﹣四个全等的小正方形面积=矩形面积×80%，列方程即可求解 【详解】设小正方形的边长为xcm ，由题意得10×8﹣4x 2=80%×10×8，80﹣4x 2=64，4x 2=16，x 2=4．解得：x 1=2，x 2=﹣2，经检验x 1=2符合题意，x 2=﹣2不符合题意，舍去；所以x=2．答：截去的小正方形的边长为2cm ．21．（1）详见解析（2）m 2=【解析】【分析】（1）根据“大、小货车每天均运送一次.两天恰好运完”列方程求解.（2）根据“一天恰好运送了14400顶”列方程求解.【详解】解：（1）设大货车原计划每辆每次运送帐篷x 顶，则小货车原计划每辆每次运送帐篷x －200顶，根据题意，得()2x 28x 200216800⋅+-⋅=，解得x 1000x 200800=-=，.答：大货车原计划每辆每次运送帐篷1840顶，小货车原计划每辆每次运送帐篷1640顶. （2）根据题意，得()()()121000200m 1m 88003001m 144002⎛⎫-++-+= ⎪⎝⎭， 即2m 23m+420-=，解得：12m 2m 21==，（不合题意，舍去）.∴m 2=.考核知识点：一元二次方程的应用.理解题意列出方程是关键.22．（1）x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n.【解析】【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k＝－15，则原方程为x2－15x＋56＝0，则(x－7)·(x－8)＝0，解得x1＝7，x2＝8.(2)第n个方程为x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得x1＝n－1，x2＝n. 【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.23．（1）y2-y-2=0；（2）cy2+by+a=0（c≠0）.【解析】【分析】（1）设所求方程的根为y，则y+x=0，所以x＝-y，把所以x＝-y代入原方程整理即可；（2）设所求方程的根为y，则xy=1，所以x＝1y，把x＝1y代入原方程整理即可；【详解】（1）设所求方程的根为y，则y+x=0，所以x＝-y，把所以x＝-y代入原方程，得(-y)2＋(-y)－2＝0，∴y2-y-2=0；（2）设所求方程的根为y，则xy=1，所以x＝1y，把x＝1y代入原方程，得a×(1y)2＋b×1y＋c＝0，∴cy2+by+a=0.若c=0，则原方程变为ax2＋bx＝0，此时方程有一个根为0，不符合题意，∴所求方程为：cy2+by+a=0（c≠0）.【点睛】本题考查了一元二次方程的知识，仔细阅读所给材料，明确“换根法”的含义是解答本题的关键.。
2022春八年级数学下册第17章一元二次方程达标检测卷新版沪科版(含答案)
八年级数学下册新版沪科版：第十七章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．一元二次方程2x2－5x－7＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A．5，2，7 B．2，－5，－7C．2，5，－7 D．－2，5，－72．如果2是方程x2－3x＋k＝0的一个根，则常数k的值为( )A．1 B．2 C．－1 D．－23．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方结果正确的是( )A．(x－2)2＝5 B．(x－2)2＝3C．(x＋2)2＝5 D．(x＋2)2＝34．已知关于x的一元二次方程mx2－2x－1＝0有实数根，则m的取值范围是( ) A．m≥－1 B．m≤－1C．m≥－1且m≠0 D．m＜－15．等腰三角形的两边长为方程x2－7x＋10＝0的两根，则它的周长为( ) A．12 B．12或9 C．9 D．76．某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为x，则下列方程中正确的是( )A．100(1－x)2＝121 B．121(1＋x)2＝100C．121(1－x)2＝100 D．100(1＋x)2＝1217．关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则( )A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜08．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx＋b的大致图象可能是( )9．若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a 2－ab ＋b 2＝18，则a b ＋b a的值是( )A ．3B ．－3C ．5D ．－510．如图，某小区规划在一个长为40 m ，宽为26 m 的长方形场地ABCD 上修建三条同样宽的路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种植草坪，若使每块草坪(阴影部分)的面积都为144 m 2，则路的宽为( )A ．3 mB ．4 mC ．2 mD ．5 m二、填空题(每题3分，共18分)11．已知方程(m －2)x |m |－bx －1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为__________．12．已知三角形两边长是方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则三角形的第三边长c 的取值范围是________．13．若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第________象限．14．定义新运算：A ⊕B ＝A (1－B )．若a ，b 是方程x 2－x ＋23k ＝0(k ＜0)的两根，则b ⊕b －a ⊕a 的值为________．15．下面有3种说法：①若x 2＝a 2，则x ＝a ；②方程2x (x －2)＝x －2的解为x ＝0；③已知x 1，x 2是方程2x 2＋3x －4＝0的两根，则x 1＋x 2＝32， x 1x 2＝－2.其中错误的是__________．(填序号)16．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若关于x 的方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋a －c ＝0的两根之积为0，则△ABC 是________三角形．三、解答题(17～19题每题7分，20，21题每题9分，22题13分，共52分)17．用适当的方法解下列方程：(1)x 2－2x ＝5；(2)(7x ＋3)2＝2(7x ＋3)；(3)x 2－3x －94＝0; (4)(y ＋1)(y －1)＝2y －1.18．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2m －1)x ＋3＝0.(1)当m ＝2时，判断方程根的情况；(2)当m ＝－2时，求出方程的根．19．已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋(2m ＋1)＝0有实数根．(1)求m 的取值范围．(2)如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，求m 的取值范围．20．中秋节前夕，旺客隆超市采购了一批土特产，根据以往销售经验，每天的售价x (元/千克)与销售量y (千克)之间有如下表的关系：(1) 根据上述表格中提供的数据，通过在直角坐标系中描点、连线等方法， 猜测并求出y 与x 之间的函数表达式；(2)如果这种土特产的成本价是20元/千克，为使某一天的利润为780元，那么这一天的售价应为每千克多少元？(利润＝销售总金额－成本)21．已知关于x 的方程(k －1)x 2＋2kx ＋2＝0.(1)求证：无论k 为何值，方程总有实数根．(2)设x 1，x 2是方程(k －1)x 2＋2kx ＋2＝0的两个根，记S ＝x 2x 1＋x 1x 2＋x 1＋x 2， S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值；若不能，请说明理由．22．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%.去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15 000吨．(1)请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？(2)今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m %，漫灌试验田的面积减少了2m %.同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了m %.经测算，今年的灌溉用水量比去年减少95m %，求m 的值． (3)节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元，在(2)的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？答案一、1．B 2．B 3．D 4．C 5．A 6．D 7．A 8．B 9．D 10．C二、11．－212．1＜c ＜5 点拨：方程x 2－5x ＋6＝0的两根分别为2和3，即三角形的两边长分别是2和3，根据三角形三边关系可得，第三边长c 的取值范围是1＜c ＜5.13．一 14．0 15．①②③ 16．等腰三、 17．解：(1)配方，得x 2－2x ＋1＝6，即(x －1)2＝6.由此可得x －1＝± 6.∴x 1＝1＋6，x 2＝1－ 6.(2)原方程可变形为(7x ＋3)2－2(7x ＋3)＝0.因式分解得(7x ＋3)(7x ＋3－2)＝0.∴x 1＝－37，x 2＝－17. (3)∵a ＝1，b ＝－3，c ＝－94， ∴Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＝12＞0. ∴x ＝3±122＝3±232. ∴x 1＝323，x 2＝－123. (4)原方程化为一般形式为y 2－2y ＝0.∴y 1＝2，y 2＝0.18．解：(1)当m ＝2时，方程为x 2－3x ＋3＝0，Δ＝(－3)2－4×1×3＝－3＜0，∴此方程没有实数根．(2)当m ＝－2时，方程为x 2＋5x ＋3＝0，Δ＝25－12＝13>0，∴x ＝－5±132，∴方程的根为x 1＝－5＋132，x 2＝－5－132. 19．解：(1)∵方程x 2－6x ＋(2m ＋1)＝0有实数根，∴Δ＝(－6)2－4(2m ＋1) ≥0.化简，得32－8m ≥0，解不等式，得m ≤4.(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1.∵2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，∴2(2m ＋1)＋6≥20.解不等式，得m ≥3.由(1)得m ≤4，∴m 的取值范围是3≤m ≤4.20．解：(1)在直角坐标系中描点、连线略．猜测y 与x 是一次函数关系．设y 与x 之间的函数表达式是y ＝kx ＋b (k ≠0)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝86，35k ＋b ＝56.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝126. 所以y ＝－2x ＋126，将其余各对数据代入验证可知符合．所以所求的函数表达式是y ＝－2x ＋126.(2)设这一天的售价为每千克a 元.根据题意，得(a －20)(－2a ＋126)＝780.整理，得a 2－83a ＋1650＝0.解得a 1＝33，a 2＝50.答：这一天的售价应为每千克33元或50元．21．(1)证明：当k ＝1时，原方程可化为2x ＋2＝0，解得x ＝－1，此时该方程有实数根；当k ≠1时，方程是一元二次方程，∵Δ＝(2k )2－4(k －1)×2＝4k 2－8k ＋8＝4(k －1)2＋4＞0，∴一元二次方程有两个不相等的实数根．综上所述，无论k 为何值，方程总有实数根．(2)解：能．∵x 1，x 2是方程(k －1)x 2＋2kx ＋2＝0的两个根，∴k ≠1.由根与系数的关系可知，x 1＋x 2＝－2k k －1，x 1x 2＝2k －1.若S ＝2，则x 2x 1＋x 1x 2＋x 1＋x 2＝2，即（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＝2.将x 1＋x 2＝－2k k －1，x 1x 2＝2k －1代入，整理得k 2－3k ＋2＝0，解得k ＝1(舍去)或k ＝2，∴S 的值能为2，此时k ＝2.22．解：(1)设漫灌方式每亩用水x 吨，则喷灌方式每亩用水30%x 吨，滴灌方式每亩用水20%x 吨．根据题意，得100x ＋100×30%x ＋100×20%x ＝15 000，解得x ＝100，∴漫灌试验田用水：100×100＝10 000(吨)，喷灌试验田用水：30%×10 000＝3 000(吨)，滴灌试验田用水：20%×10 000＝2 000(吨)．∴漫灌方式每亩用水100吨，去年漫灌试验田用水10 000吨，喷灌试验田用水3 000吨，滴灌试验田用水2 000吨．(2) 由题意可得100×(1－2m %)×100×(1－m %)＋100×(1＋m %)×30×(1－m %)＋100×(1＋m %)×20×(1－m %)＝15 000×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－95m %， 解得m 1＝0(舍)，m 2＝20，∴m 的值是20.(3)节省水费：15 000×95m %×2.5＝13 500(元)， 维修投入：300×30＝9 000(元)，新增设备：100×(20%＋20%)×100＝4 000(元)，∵13 500＞9 000＋4 000，∴去年因用水量减少所节省水费大于今年两项投入之和．。
精品试卷沪科版八年级数学下册第17章 一元二次方程定向测评练习题(含详解)
八年级数学下册第17章 一元二次方程定向测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、关于x 的一元二次方程2420kx x +-=有实数根，则k 的取值范围是（ ）．A ．2k ≥-B ．2k ≤-且0k ≠C ．2k ≥-且0k ≠D ．2k ≤-2、下列是对方程2x 2﹣x +1＝0实根情况的判断，正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根3、一元二次方程2234x x +=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根4、由于新冠疫情影响，某口罩加工厂改进技术，扩大生产，从今年10月份开始，平均每个月生产量的增长率为x ．已知今年10月份的生产量为800万个，12月的生产量为1152万个，则可列方程（ ）A ．800+800x 2＝1152B ．800（1+x ）2＝1152C ．800+800（1+x ）+800（1+x ）2＝1152D ．800+800（1+x ）＝11525、用配方法解一元二次方程2870x x -+=时，方程可变形为（ ）A ．2(4)7x -=B ．2(8)57-=xC ．2(4)9x -=D ．2(4)25x -=6、下列方程中，是关于x 的一元二次方程的为（ ）A ．2210x x +=B ．x 2-x -1=0C ．2320x xy -=D ．24-0y =7、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ．08、若a 是方程2310x x +-=的一个根，则2262020a a ++的值为（ ）A ．2020B ．2021-C ．2022D ．2021-9、用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 10、若1x =-是关于x 的一元二次方程20x mx m +-=的一个根，则m 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．1第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、把2216x x -=化一般形式为________，二次项系数为________，一次项系数为______，常数项为_______．2、若k 为整数，关于x 的一元二次方程2(1)2(1)50k x k x k --+++=有实数根，则整数k 的最大值为__________．3、方程x (x ﹣5)＝7(x ﹣5)的解是_________．4、若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有一个根为1，则m 的值为_______．5、有3人患了流感，经过两轮传染后共有192人患流感，设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则可列方程为____________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解方程与化简：（1）解方程：2109x x -=-（2）化简：2221121a a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭ 2、2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．（1）求三、四这两个月销售风的月平均增长率；（2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？3、某服装厂批发应季T 恤衫，其单价y （元）与批发数量x （件）（x 为正整数）之间的函数关系如图所示．（1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）若每件T 恤衫的成本价是45元，当100500x <≤件（x 为正整数）时，服装厂如果想获得8000元利润，求一次批发多少件时所获利润为8000元？4、（问题提出）如果在一个平面内画出n 条直线，最多可以把这个平面分成几部分？（问题探究）为解决问题，我们经常采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进到复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用．探究一：如图1，当在平面内不画（0条）直线时，显然该平面只有1部分，可记为()01f =．探究二：如图2，当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可f=+=．记为()1112探究三：当在平面内画2条直线，若两条直线平行（如图3），该平面被分成3部分；若两条直线相交（如图4），交点将第2条直线分成2段，每一段将平面多分出1部分，因此比前一次多2部分，该平面被分成4部分．因此当在平面内画2条直线时，该平面最多被分成4部分，可记为()21124f=++=．我们获得的直接经验是：直线相交时，平面被分成的部分多．探究四：当在平面内画3条直线，若3条直线相交于一点（如图5），该平面被分成6部分；若3条直线的交点都不相同时（如图6），第3条直线与前两条直线有2个交点，该直线被2个交点分成了3段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出3部分，该平面被分成7部分．因此当在平面内画f=+++=．我们获得的经验是：直线相交3条直线时，该平面最多被分成7部分，可记为()311237的交点个数越多，平面被分成的部分就越多，所以直接探索直线交点个数最多的情况即可．探究五：当在平面内画1条直线（如图7），第4条直线与前3条直线有3个交点，该直线被3个交点分成了4段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出4部分，该平面被分成11部分．因此f=++++=．当在平面内画4条直线时，该平面最多被分成11部分，可记为()41123411（1）探究六：在平面内画5条直线，最多可以把这个平面分成几部分？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图）．（2）（问题解决）如果在一个平面内画出n条直线，最多可以把这个平面分成______部分．（应用拓展）（3）如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加3条直线，则该平面至多被分成______个部分．（4）如果一个平面被直线分成了466部分，那么直线的条数至少有______条．（5）一个正方体蛋糕切7刀（不移动蛋糕的位置，切只能竖着切），被分成的块数至多为______块．5、解方程：（1）x2＋8x－2＝0；（2）2(2x＋3)2－(2x＋3)－1＝0．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到Δ＝42+8k≥0且k≠0，然后求出两不等式的公共部分即可；【详解】解：∵一元二次方程有实数根，∴Δ＝42﹣4×（-2）k≥0且k≠0，∴k≥-2且k≠0；故选：C【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．2、C先求出根的判别式24b ac =-△的值，根据△>0有两个不相等实数根，△=0有两个相等实数根，△<0没有实数根作出判断即可．【详解】∵根的判别式224(4210b ac =-=--⨯⨯=，∴方程有两个相等的实数根．故选C ．【点睛】此题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，掌握根的判别公式为24b ac =-△是解答本题的关键．3、A【分析】根据根的判别式即可求出答案．【详解】解：原方程化为：22340x x +-=，∴()23424410∆=-⨯⨯-=＞，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式，本题属于基础题型．4、B【分析】根据增长率公式即可得出答案．∵10月份的生产量为800万个，12月的生产量为1152万个，，经过了两个月，∴方程可为：2800(1)1152x +=．故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，经过n 次变化，增长率公式为(1)n a x b +=，其中x 为增长率，a 为起始值，b 为终值，掌握增长率公式是解题的关键．5、C【分析】先把常数项7移到方程右边，然后把方程两边加上42即可．【详解】方程变形为：x 2-8x =-7，方程两边加上42，得x 2-8x +42=-7+42，∴（x -4）2=9．故选C ．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程()200++=≠ax bx c a ：先把二次系数变为1，即方程两边除以a ，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半，这样把方程变形为：（x -2b a ）2=244b ac a-． 6、B【详解】解：A 、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B 、是一元二次方程，故本选项符合题意；C 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D 、不含有未知数x ，不是x 的一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的次数最高次数为2的整式方程称为一元二次方程是解题的关键．7、B【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a -1≠0，a 2-1=0，求出a 的值即可．【详解】解：根据题意将x ＝0代入方程可得：a 2－1＝0，解得：a ＝1或a ＝－1，∵a －1≠0，即a ≠1，∴a ＝－1，故选：B ．【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，注意根据已知得出a -1≠0且a 2-1=0，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．8、C【分析】先根据一元二次方程根的定义得到231a a +=，再把2262020a a ++变形为22(3)2020a a ++，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：a是关于x的方程2310+-=的一个根，x x231a a∴+=，22∴++=++，a a a a2620202(3)2020=⨯+，212020=．2022故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，利用整体代入的方法计算可简化计算．9、B【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式．【详解】解：2250--=x x移项得：225-=x x方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：22151-+=+x x配方得：()216x-=．故选：B．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤．配方法的步骤：配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．10、C【分析】将1x =-代入方程20x mx m +-=得到关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】解：将1x =-代入方程20x mx m +-=得：10m m --=，解得：m =12．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，将已知方程的一个根代入方程得到新的方程是解答本题关键．二、填空题1、2x 2-6x -1=0 2 -6 -1【分析】先将方程移项化为一般形式()200++=≠ax bx c a ，即可求解． 【详解】解：将方程2216x x -=化成一般形式为22610x x --=，∴二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为-1．故答案为：①22610x x --=，②2，③-6，④-1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 2、3【分析】根据一元二次方程的二次项的系数不等于0、根的判别式求出k 的取值范围，由此即可得出答案．【详解】解：由题意得：[]2102(1)4(1)(5)0k k k k -≠⎧⎪⎨-+--+≥⎪⎩， 解得3k ≤，且1k ≠， k 为整数，∴整数k 的最大值为3，故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．3、故答案为：【点睛】本题考查方程的解，解一元一次方程、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7．15=x ，27x =【分析】先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x 的一元一次方程，分别求解即可得出答案．【详解】解：(5)7(5)x x x -=-，(5)7(5)0x x x ∴---=，则(5)(7)0x x --=，50x ∴-=或70x -=，解得15=x ，27x =，故答案为：15=x ，27x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．4、1【分析】根据关于x 的方程x 2-2x +m =0的一个根是1，将x =1代入可以得到m 的值，本题得以解决．【详解】解：∵关于x 的方程x 2-2x +m =0的一个根是1，∴1-2+m =0，解得m =1，故答案为：1．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．5、()3333192x x x +++=【分析】根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了x 个人，经过一轮传染之后有33x +人感染流感，两轮感染之后的人数为192人，依此列出二次方程即可.【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，依题可得：()3333192x x x +++=，故答案为：()3333192x x x +++=．【点睛】本题考查了由实际问题与一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．三、解答题1、（1）19x =，21x =（2）1a a - 【分析】（1）配方法解一元二次方程即可；（2）先根据分式的加减通分计算括号内的，同时将除法转化为乘法，进而根据分式的性质化简即可（1）解：配方，得21025925x x -+=-+()2516x -=开方，得54x -=±∴1459x =+=，2451x =-+=，（2） 解：原式()()()2111111a a a a +-⎛⎫=-÷ ⎪+⎝⎭+ 111a a a a -=÷++111a a a a +=⋅+- 1a a =- 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，分式的化简，正确的计算是解题的关键．2、（1）25%（2）当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x ，根据题目已知条件列出方程即可求解；（2）设口罩每袋降价y 元，则五月份的销售量为()40040y +袋，根据题目已知条件得出()()148400401920y y --+=，解方程即可得出结果．（1）解：设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x ，依题意，得：()22561400x +=，解得：10.2525%x ==，2 2.25x =-（不合题意，舍去）．答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%；（2）解：设口罩每袋降价y 元，则五月份的销售量为()40040y +袋， 依题意，得：()()148400401920y y --+=，化简，得：24120y y +-=，解得：12y =，26y =-（不合题意，舍去）．答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，根据题目意思正确的列出方程是解题的关键．3、（1）80y =（0100x ≤＜）；18520y x =-+（100500x ≤＜）；60y =（500x ＞）；（2）一次批发400件时,获得利润是8000元．【分析】（1）根据题意：分三段当0100x ≤＜且x 为整数时，当100500x ≤＜且x 为整数时，当500x ＞且x 为整数时，分别求函数关系式，即可求解；（2）利用每件利润乘以批发数量，列出方程，即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：当0100x ≤＜且x 为整数时，80y =；当100500x ≤＜且x 为整数时，函数图象过点()()100,80,500,60 ， 设该段函数关系式为()0y kx b k =+≠∴1008050060k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：12085k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ， ∴该段函数关系式为18520y x =-+； 当500x ＞且x 为整数时，60y =；（2）当100500x ≤＜且x 为整数时，18520y x =-+∴()1458545800020y x x x ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭解得：12400x x ==，答：一次批发400件时,获得利润是8000元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 4、（1）16（2）222n n ++ （3）86（4）30（5）29【分析】（1）根据题目给出的材料，仿照前面的探究方法，写出解答过程即可；（2）根据上面得出的结论，找到规律即可；（3）运用上面的规律，求出最多分成多少部分即可；（4）根据上面规律列出方程即可；（5）运用上面规律计算即可．（1）解：1条直线时，平面最多被分为1+1＝2部分；2条直线时，平面最多被分为1+1+2＝4部分；3条直线时，平面最多被分为1+1+2+3＝7部分；4条直线时，平面最多被分为1+1+2+3+4＝11部分；5条直线时，平面最多被分为1+1+2+3+4+5＝16部分故答案为：16（2）解：n条直线时：平面最多可分为：1+1+2+3+4+…+n＝1+（1+2+3+4+…+n）＝1+(1)2n n+＝222n n++（部分），故答案为：222n n++．（3）解：如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加3条直线，该该平面至多被分成50+11+12+13=86（部分），故答案为：86（4）解：根据题意，224662n n++=，解得，130n=，231n=-（舍去），故答案为：30 （5）解：一个正方体蛋糕切7刀，分成的块数至多为2772292++=（块），故答案为：29【点睛】本题考查了直线、射线、线段，每两条直线都相交且三条直线不交于同一点，可得最多平面，一元二次方程的应用，通过计算、观察、发现规律是解题关键．5、（1）x1＝－4＋x2＝－4－；（2）x1＝－1，x2＝74 -．【分析】（1）通过移项配方，求出方程的解即可；（2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；【详解】解：（1）x2＋8x－2＝0，移项得：x2＋8x＝2，配方得：x2＋8x+16＝2+16，即（x+4）2＝18，∴x1＝－4＋x2＝－4－；（2）2(2x＋3)2－(2x＋3)－1＝0因式分解得：[(2x＋3)-1][2(2x＋3)+1]=0，即：（2x+2）（4x+7）=0，∴x1＝－1，x2＝74 ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法以及配方法解方程是解题的关键．。
沪科版八年级数学下册《第17章 一元二次方程》单元测试卷(一)及解析
八年级数学下册《第17章一元二次方程》单元测试卷（一）及解析一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.关于x的方程ax2−3x+2=0是一元二次方程，则a满足的条件是()A. a>0B. a≠0C. a=1D. a≥02.下列方程是一元二次方程的是()A. 2xy−7=0B. x2−7=0C. −7x=0D. 5(x+1)=723.用配方法解方程2x2+3x−1=0，则方程可变形为()A. (x+3)2=13B. (x+34)2=12C. (3x+1)2=1D. (x+34)2=17164.已知x=2是关于x的一元二次方程(m+2)x2+2x−m2=0的一个根，则m的值为()A. 0B. 0或−2C. −2或6D. 65.已知关于x的方程x2−kx−6=0的一个根为−2，则实数k的值为()A. 1B. −1C. 2D. −26.关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+a2−1=0的一个根是0，则a的值为()A. 1B. −1C. 1或−1D. 127.关于x的一元二次方程2x2−3x−a2+1=0的一个根为2，则a的值是()A. 1B. √3C. −√3D. ±√38.已知1是关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+1=0的一个根，则m的值是()A. 1B. −1C. 0D. 无法确定9.若t是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式△=b2−4ac和完全平方式M=(2at+b)2的关系是()A. △=MB. △>MC. △<MD. 大小关系不能确定10.一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售．那么每台实际售价为()A. (1+25%)(1+70%)a元B. 70%(1+25%)a元C. (1+25%)(1−70%)a元D. (1+25%+70%)a元二、填空题（本大题共4小题，共20分）11.关于x的一元二次方程x2−2kx+1+k2=0的根的情况是______．12.关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0的两个根同号，则a的取值范围是______ ．13.已知m，n是方程x2−x−2016=0的两个实数根，则m2+n的值为______．14.甲乙同时解方程x2+px+q=0，甲抄错了一次项系数，得两根为2﹑7，乙抄错了常数项，得两根为3﹑−10.则p=______，q=______．三、计算题（本大题共1小题，共10分）15.已知方程5x2+kx−6=0的一根是2，求它的另一根及k的值．四、解答题（本大题共6小题，共70分）16.解方程：(1)x2−4x=0；(2)4x2−25=0；(3)2x(x−3)+x=3．17.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？18.在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年5月份的每平方米10000元下降到7月份的每平方米8100元．(1)求6、7两月平均每月降价的百分率；(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米6500元？请说明理由．19.如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m、宽20m的矩形草坪上修筑两横两纵四条小路，横、纵路的宽度之比为3：2，若要使余下的草坪面积是原来草坪面积的34，则路宽分别为多少？20.如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．(1)点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．(2)若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？21.阅读下面的材料，回答问题：解方程x4−5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2−5y+4=0①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=−1，x3=2，x4=−2．(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到______的目的，体现了数学的转化思想．(2)解方程(x2+x)2−4(x2+x)−12=0．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键.利用一元二次方程的定义判断即可求出a的值．【解答】解：由关于x的方程ax2−3x+2=0是一元二次方程，得到a≠0．故选B．2.【答案】B【解析】解：A、方程2xy−7=0是二元二次方程，故本选项错误；B、方程x2−7=0是一元二次方程，故本选项正确；C、方程−7x=0是一元一次方程，故本选项错误；D、方程5(x+1)=72是一元一次方程，故本选项错误．故选：B．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：方程2x2+3x−1=0，变形得：x2+32x=12，配方得：x2+32x+916=1716，即(x+34)2=1716，故选：D．方程变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵x=2是关于x的一元二次方程(m+2)x2+2x−m2=0的一个根，∴4(m+2)+4−m2=0，∴m2−4m−12=0，∴(m−6)(m+2)=0，∴m=6或−2，m=−2时不合题意舍弃，∴m=6，故选：D．把x=2代入一元二次方程(m+2)x2+2x−m2=0求出m的值，再检验上方符合题意即可．本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于基础题，中考常考题型．5.【答案】A【解析】解：∵x=−2是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得(−2)2+2k−6=0，解此方程得到k=1．故选A．根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．本题考查的是一元二次方程的解的定义，属于基础题型．6.【答案】B【解析】解：根据题意得：a2−1=0且a−1≠0，解得：a=−1．故选：B．根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．7.【答案】D【解析】解：把x=2代入方程2x2−3x−a2+1=0，得8−6−a2+1=0，解得a=±√3．故选D一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题．8.【答案】B【解析】解：根据题意得：(m−1)+1+1=0，解得：m=−1．故选：B．把x=1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．9.【答案】A【解析】解：t是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根则有at2+bt+c=04a2t2+4abt+4ac=04a2t2+4abt=−4ac4a2t2+b2+4abt=b2−4ac(2at)2+4abt+b2=b2−4ac(2at+b)2=b2−4ac=△故选：A．把t代入原方程得到at2+bt+c=0两边同乘以4a，移项，再两边同加上b2，就得到了(2at+b)2=b2−4ac．本题主要应用了对方程转化，配方的方法，向已知条件进行转化的思想．10.【答案】B【解析】解：可先求销售价(1+25%)a元，再求实际售价70%(1+25%)a元．故选B．每台实际售价=销售价×70%．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．用字母表示数时，要注意写法：①在代数式中出现的乘号，通常简写做“⋅”或者省略不写，数字与数字相乘一般仍用“×”号；②在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写；③数字通常写在字母的前面；④带分数的要写成假分数的形式．11.【答案】无实数根【解析】解：∵△=(−2k)2−4(1+k2)=−4<0，∴原方程x2−2kx+1+k2=0没有实数根．故答案为：无实数根根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=−4<0，进而即可得出原方程无实数根．本题考查了根的判别式，牢记“当△<0时，方程无实数根”是解题的关键．12.【答案】0<a≤1【解析】解：∵关于x的方程ax2+2x+1=0是一元二次方程，∴a≠0①又∵该方程有两个实数根，∴△=b2−4ac=4−4a≥0，即a≤1②∵该方程的两个根是同号，∴x1⋅x2=1a>0，∴a>0③综合①②③知，0<a≤1；故答案是：0<a≤1．根据已知条件知，①该方程有两个实数根，故根的判别式△=b2−4ac≥0；②该方程的两个根之积是正数；③二次项系数不为零．本题考查了根与系数的关系、根的判别式．解答该题时一定要注意：二次项系数a不为零．13.【答案】2017【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．利用一元二次方程解的定义，将x=m代入已知方程求得m2=m+2016；然后根据根与系数的关系知m+n=1；最后将m2、m+n的值代入所求的代数式求值即可．【解答】解：∵m，n是方程x2−x−2016=0的两个实数根，∴m2−m−2016=0，即m2=m+2016；∵m+n=1，∴m2+n=m+n+2016=1+2016=2017．故答案为2017．14.【答案】7 14【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．根据根与系数的关系得到2×7=q，3+(−10)=−p，然后解两个方程即可得到p和q的值．【解答】解：根据题意得2×7=q，3+(−10)=−p，所以p=7，q=14．故答案为7，14．15.【答案】解：设它的另一根为x1，根据题意得x1+2=−k5，x1×2=−65，解得x1=−35，k=−7．【解析】设它的另一根为x1，先根据两根之积计算出x1，然后根据两根之和求k．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．16.【答案】解：(1)x(x−4)=0；x=0或x−4=0；所以x1=0，x2=4；(2)(2x+5)(2x−5)=0，2x+5=0或2x−5=0，所以x1=−2.5，x2=2.5；(3)将方程整理得2x(x−3)+(x−3)=0；(x−3)⋅(2x+1)=0；x−3=0或2x+1=0；所以x1=3，x2=−12．【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．(1)利用因式分解法解方程；(2)利用因式分解法解方程；(3)先变形为2x(x−3)+(x−3)=0，然后利用因式分解法解方程．17.【答案】解：设该玩具销售单价应定为x元，则售出玩具[600−10(x−40)]件，根据题意得：(x−30)[600−10(x−40)]=10000，整理得：x2−130x+4000=0，解得：x1=50，x2=80．当x=50时，600−10(x−40)=500；当x=80时，600−10(x−40)=200．答：该玩具销售单价应定为50元或80元，售出玩具为500件或200件．【解析】设该玩具销售单价应定为x元，则售出玩具[600−10(x−40)]件，根据单件利润×销售数量=总利润即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，根据单件利润×销售数量=总利润列出关于x的一元二次方程是解题的关键．18.【答案】(1)设6、7两月平均每月降价的百分率为x，根据题意得10000(1−x)2=8100，即(1−x)2=0.81，解得x=10%或1.9(舍去).(2)∵8100(1−0.1)2=6561>6500(元)．∴不会跌破6500元．【解析】(1)根据每次的均价等于上一次的价格乘以(1−x)(x为平均每次下调的百分率)，可列出一个一元二次方程，解此方程可得平均每次下调的百分率；(2)求出9月份该市的商品房成交均价，即可判断．本题主要考查一元二次方程在实际中的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．19.【答案】解：设平均每份为x米，则横路的宽为3x米，纵路的宽为2x米，由题意，得(30−4x)(20−6x)=30×20×34，解得：x1=65+5√13312(舍去)，x2=65−5√13312．故横路的宽为：(65−5√1334)米，纵路的宽为(65−5√1336)米．答：横路的宽为：(65−5√1334)米，纵路的宽为(65−5√1336)米．【解析】设平均每份为x米，则横路的宽为3x米，纵路的宽为2x米，根据余下的草坪面积是原来草坪面积的34建立方程求出其解即可．本题考查了矩形的面积公式的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据余下的草坪面积是原来草坪面积的34建立方程是关键．20.【答案】解：(1)设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6−x，∴12(6−x)⋅2x=12×12×6×8，∴x2−6x+12=0，∵b2−4ac<0，此方程无解，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；(2)设t秒后，△PBQ的面积为1．①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0<t≤4，由题意知：12(6−t)(8−2t)=1，整理得：t2−10t+23=0，解得：t1=5+√2(不合题意，应舍去)，t2=5−√2；②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时，此时4<t≤6，由题意知：12(6−t)(2t−8)=1，整理得：t2−10t+25=0，解得：t1=t2=5；③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时，此时x>6，由题意知：12(t−6)(2t−8)=1，整理得：t2−10t+23=0，解得：t1=5+√2，t2=5−√2，(不合题意，应舍去)．综上所述，经过5−√2秒、5秒或5+√2秒后，△PBQ的面积为1．【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．(1)设经过x秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；(2)分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上(0<x≤4)；②点P在线段AB上，点Q在线段CB上(4<x≤6)；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上(x>6)；进行讨论即可求解．21.【答案】解：(1)换元，降次；(2)设x2+x=y，原方程可化为y2−4y−12=0，解得y1=6，y2=−2，由x2+x=6，得x1=−3，x2=2，由x2+x=−2，得方程x2+x+2=0，b2−4ac=1−4×2=−7<0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=−3，x2=2．【解析】【分析】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．(1)本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程；(2)利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．【解答】解：(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，故答案为换元，降次；(2)见答案．。
八年级数学下册第17章一元二次方程检测卷作业课件新版沪科版
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