单项式与多项式讲义

单项式与多项式讲义
1、代数式的有关概念
代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式.
说明：代数式书写时需注意：
（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号可省略不写，数字要写在字母前面，如
12ab ；数字因数是1或－1时，“1”省略不写，如－mn ；
（2）带分数与字母相乘时要化成假分数，如：ab 211要写成
ab 23的形式； （3）除号要改写成分数线，如：a ÷b 要写成b
a ； （4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（12
ab ＋2R ）平方米. 代数式的系数：在代数式中，每一项字母前的数字因数叫做这一项的系数.
2、整式的有关概念
（1）单项式的定义：表示数与字母的积的代数式叫做单项式．
单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式
（2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
（3）单项式的系数：单项式中的数字因数即为单项式的系数．
（4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．
（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．
（6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项．每一个单项式就是一项.
（7）常数项的定义： 在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项.
（8）降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这
个字母降幂排列．
（9）升幂排列 ：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这
个字母升幂排列．
（10）整式的定义： 单项式和多项式统称整式．
例1. 用代数式表示：
（1）把温度是t ℃的水加热到100℃，水温升高了___________℃.
（2）一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，则这个两位数可表示为___________.
（3）用含字母的代数式表示两个连续奇数为_______ ____.
（4）若正方体的棱长是a －1，则正方体的表面积为___________.
（5）如图，亮亮家装饰新家，他为自己的房间选了一款窗帘（上方阴
影），请你帮他计算可以射进阳光的面积为___________米2.
例2 判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式．
(1)－3xy 2； (2)2x 3＋1； (3)2
1(x ＋y ＋1)； (4)－a 2； (5)0； (6)
y x 2； (7)32xy ； (8)x 21； (9)x 2＋x 1－1； (10)1
1+x ；
例3 指出下列各单项式的系数与次数：
（1）;832
ab （2）－mn 3; （3）3
432y x π
例4 若－3axy m 是关于x 、y 的单项式，且系数为－6，次数为3，则a ＝______，m ＝______．
练习：
1、下面各题的判断是否正确
（1）－7xy 3的系数是7； （ ） （2）－x 2y 3与x 3
没有系数； （ ）
（3）－ab 3c 6的次数是0＋3＋6； （ ） （4）－a 3的系数是－1； （ ）
（5）－32x 2y 3的次数是7； （ ） （6）2πr 2h 的系数是2 （ ） 2、若单项式-a 3b 2与-8a n b 3的次数相同，则n=_______
3、已知-9(m-2)a 3b |m|是关于a,b 的5次单项式，则m=_________
4、若-mx m y n 是关于x 、y 的一个三次单项式，且系数为-2，则m=_____,n=_______.
例5 填空：
（1）多项式2x 4-3x 5-2π4是 次 项式，最高次项的系数是
，四次项的系数是 ，常数项是 ，补足缺项后按字母x 升幂排列得 ；
（2）多项式a 3-3ab 2+3a 2b-b 3是 次
项式，它的各项的次数都是
，按字母b 降幂排列得 .
例6 用生活中的问题举例，说说下列代数式的实际意义.
（）；（）；（）；（）1323120%)49222
2
a a
b x a a +--(π
例7 说出下列各多项式分别是几次几项式．
(1)3x －23；
(2)a 2b ＋2a －3b －4； (3)2822+-x x ； (4)(a 3－b 3＋1)×
35； (5)x 6－x 5＋3x 2－12x ＋a ； (6)2(xy ＋3
1x 3－y ＋π4)．
例8 将多项式3+6x 2y －2xy －5x 3y 2－4x 4y 先按字母x 升幂排列，再按x 降幂排列。

练习 指出下列多项式是几次几项式:
(1) 2x ＋1＋3x 2; (2) 4x 3＋2x －3y 2;
(3) 2x 2－3xy ＋y 2; (4) 4x 4＋1 ．
巩固练习
1. 长方形的长为a 厘米，宽为b 厘米，该长方形的周长为____________厘米，面积为_________平方厘米.
2. 一桶汽油倒出30%还剩a 千克，则这桶汽油原有____________千克.
3. 如果用C 表示摄氏温度，f 表示华氏温度，研究表明华氏温度比摄氏温度的95
还多32，则f =__________. 4． 商场中某牌子的电视机有A ，B ，C 三种型号，售价分别为3000元，3500元，4000元，三月份商场出售的这三种型号的电视机数量分别是：A 型的a 台，B 型的b 台，C 型的c 台，则该商场三月份这三种电视的销售额是 元.
5、在x 2， 21 (x ＋y)，1x -，π1，－3，1003x
-中，单项式是_________，多项式是_________，整式是 ．
6、单项式7
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2c ab 的系数是____________，次数是____________． 7、当a____________时，整式x 2＋a －1是关于x 的单项式．
8、多项式－1是____________次____________项式．
9、多项式5x 3－xy 2＋1－y 按字母y 的降幂排列是____________．
10、系数是－3，且只含有字母x 和y 的四次单项式共有_____个，分别是 ．
11、组成多项式1－x 2＋xy －y 2－xy 3的单项式分别是___________ _．
12、下列说法正确的是（ ）.
A ．21不是单项式；
B ．a b 是单项式；
C ．x 的系数是0；
D ．2
23y x -是整式. 13、如果一个多项式是五次多项式，那么（ ）
A ．这个多项式最多有六项；
B ．这个多项式只能有一项的次数是六；
C ．这个多项式一定是五次六项式；
D ．这个多项式最少有二项，并且最高次项的次数是5 14、小红和小兰房间窗户的装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径分别相同）.
（1）窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少？（窗框面积忽略不计）
（2）你能指出其中的单项式或多项式吗？它们的次数分别是多少？
15．如果单项式3a 2b 43-m 的次数与单项式3
1x 3y 2z 2的次数相同，试求m 的值.
16、请你写出一个四次项系数为-1的四次多项式，并指出其余各项的次数和系数．
17、用生活中的问题举例说明下列代数式的实际意义.
(1) 3 x+2y （2）10-4m (3) ab （4）()2b a +。