逻辑代数和逻辑函数化简
逻辑代数基本原理及公式化简
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
附加公式二： 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为 x·f和
x·f的逻辑或。 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为（x+f）和
（x+f）的逻辑与。
利用附加公式一，可以改写为：
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
例题：化简函数 AB BD （A B）(A B)(B E)
2.1.2 逻辑代数的基本公式
基本公式验证方法： 真值表 利用基本定理化简公式 例：真值表验证摩根定律
A B A B A＋B A＋B A B 00 1 1 1 1 01 1 1 0 0 10 1 1 0 0 11 0 0 0 0
A______•____B______
__ __
A B
__ __
A B A • B
2.1.2 逻辑代数的基本公式
真值表 利用基本定理化简公式 例：证明包含律
AB AC BC AB AC
证明：
AB（C C） AC(B B ) BC(A A) 1律、互补律 ABC ABC ABC ABC ABC ABC 分配律 ABC ABC ABC ABC 重叠律 AB AC 分配律、互补律
比较两种方法，应用反演规则比较方便。
2.1.3 逻辑代数的基本规则
2、反演规则
例题：求下列函数的反函数 1、F AB CD 2、F A B BCD
2.1.3 逻辑代数的基本规则
3、对偶规则
如果将逻辑函数F 中所有的“”变成“+”,“+”变
成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”, 则所得到的新
A
F
A1 F
非门 （A是输入，F是输出）
电工电子技术基础知识点详解3-1-1-逻辑函数化简
逻辑代数化简主要内容：逻辑代数化简的方法；利用逻辑代数的基本运算法则和卡诺图进行化简。
重点难点：卡诺图法化简的方法。
逻辑代数化简由逻辑状态表直接写出的逻辑式及由此画出的逻辑图，一般比较复杂；若经过简化，则可使用较少的逻辑门实现同样的逻辑功能。
从而可节省器件,降低成本，提高电路工作的可靠性。
利用逻辑代数变换，可用不同的门电路实现相同的逻辑功能。
化简方法公式法卡诺图法例1： 化简 1. 应用逻辑代数运算法则化简(1) 并项法 CAB C B A C B A ABC Y+++=)()(B B C A B B AC +++=C A AC +=A=例2： 化简 CB C A AB Y++=(2) 配项法)(A A C B C A AB +++=C B A C A C AB AB +++=CA AB +=BA B A A +=+例3： 化简CB AC B A ABC Y ++=(3) 加项法 ABC C B A C B A ABC +++=ACBC +=CB C B A ++=)(CB C B A +⋅=CB A +=(4) 吸收法吸收B A AB +=C B AC B A Y++=例4： 化简例5： 化简Y =ABC +AB D +A BC +CD +BD =ABC +A B C +CD +AB +BD =AB +A B C +CD +BD =AB +B C +CD +BD=AB +CD +B (C +D )=AB +CD +BCD)(D AD B CD C B A ABC ++++=吸收吸收 吸收 B CD AB ++=CDB +=吸收2. 应用卡诺图化简卡诺图:是与变量的最小项对应的按一定规则排列的方格图，每一小方格填入一个最小项。
(1) 最小项：对于n输入变量有2n种组合, 其相应的乘积项也有2n 个，则每一个乘积项就称为一个最小项。
其特点是每个输入变量均在其中以原变量和反变量形式出现一次，且仅一次。
逻辑代数的基本定理基本规则逻辑函数简化(18)
1、化简为最简与或表达式
乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与 或表达式。
Y A B E A B A C A C E B C B C D A B A C B C A B A C
最简与或表达式
14
2、最简与非-与非表达式
非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非 -与非表达式。 ②用摩根定律去 Y A B A C A B A C A B A C 掉下面的非号 ①在最简与或表达式的基础上两次取反
A ( B C ) AB AC
( A B ) ( A B ) A
A BC ( A B )( A C )
注意：1、在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运 算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最 后非运算，否则容易出错。
2、F的对偶式F’与反函数F不同，在求F’时不要求将 原变量和反变量互换，所以一般情况下，F’ ≠ F，只有在特殊情 况下才相等。
Y A B C D E
Y ( A B )( C D E )
Y A B C D E
8
பைடு நூலகம் P21 表2.3.4
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函 数也相等。利用对偶规则 , 可以使要证明及要记忆的公式数目减 少一半。例如：
A B A B A
F与/或
与非/与
反演规则
两次求反 一次摩根定律
再用 一次摩根定律
再用 一次摩根定律
18
非 运 算 ： 1 0
0 1
3
（2）逻辑代数的基本定律
重点强调
P21 表2.3.4
逻辑代数的基本定理_基本规则_逻辑函数简化(18)
Y AB AC
①求出反函数的最简 与或表达式
Y AB AC (A B)(A C) AB AC BC AB AC
②利用反演规则写出函数的最 简或与表达式
Y ( A B)( A C )
15
4、最简或非-或非表达式
非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。
则可得到的一个新的函数表达式Y＇，Y＇称为函Y的对
偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：
Y AB CDE
Y (A B)(C D E)
Y ABC DE
Y ABC DE
8
P21 表2.3.4
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶 规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：
0
00
1 11
0
101 101源自001 011
11
0 00
A B A+B A+B A B
0
00
1 11
0
11
0 10
1
01
0 01
1
11
0 00
A+B
1 1 1 0
A·B 1 0 0 0
2
2.3.2 逻辑代数的基本定 律
（1）常量之间的关系
与运算：0 0 0 0 1 0 1 0 0 111
或运算：0 0 0 0 11 1 0 1 111
10
本节小结
逻辑代数是分析和设计数字电路的重 要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻 辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可 以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的 分析和设计问题。
与、或、非是3种基本逻辑关系，也 是3种基本逻辑运算。与非、或非、与或 非、异或则是由与、或、非3种基本逻辑 运算复合而成的4种常用逻辑运算。
第2章 逻辑代数与逻辑化简
L ABC ABC ABC ABC
反之，由函数表达式也可以转换成真值表。 例2 写出函数 L A B
A B
真值表。
解：该函数有两个变量，有4种取值的可能 组合，将他们按顺序排列起来即得真值表。
逻辑函数及其表示方法（4）
3．逻辑图——逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。 例3 画出下列函数的逻辑图： 解：可用两个非门、两个与门 和一个或门组成。
∴等式成立 同理可得
AB A C BCD AB A C
逻辑代数的运算规则（4）
基本逻辑定理 （1）对偶定理 若已知等式
F G
1 0
F
1 0
0 1
" " " " " " " "
F
D
G
0 1
F的对偶式
" " " G的对偶式 " " " " "
L A B A B
由逻辑图也可以写出其相应 的函数表达式。 例4 写出如图所示逻辑图的函数表达式。 解：可由输入至输出逐步 写出逻辑表达式：
L AB BC AC
逻辑函数及其表示方法（5）
逻辑函数的标准形式 考查逻辑函数： F f ( A, B) AB AB AB 化简，有： 最小项 A AB 0 AB 0 AB 1 AB 1 B 0 1 0 1 标准“与或” 式
0 1 0 1
A 0 1
Y 1 0
0 1 0 1
&
≥1
A A
1
Y Y
逻辑 符号
组合逻辑电路的分析和设计—逻辑函数的化简
式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按 照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。
2.卡诺图的特点
卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是 相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反 变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项） 。
约束项：函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现 的变量取值所对应的最小项称为也叫做约束项。
例如：判断一位十进制数是否为偶数。
ABCD Y
ABCD Y
说明
0000 1 1000 1
0001 0 1001 0
0 0 1 0 1 1 0 1 0 × 不会出现
0 0 1 1 0 1 0 1 1 × 不会出现
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1 ＣＤ
0
0
0
0
ＢＤ
冗余项
的将
乘代
3
积表
项每
相个
加圈
最简与或表达式 Y (A, B,C, D) BD CD AC D
两点说明
① 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的 各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的， 要经过比较、检查才能确定。
AB
CD
00 01 11 10
Y A B C ABC ABC ABC (A B C ABC) (ABC ABC) (ABC ABC) AC AB BC
4
1.4逻辑函数的图形法化简
（1）最小项
①最小项的定义
如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中 每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则 这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。
1.1 逻辑函数的代数(公式)化简法
逻辑函数的代数（公式）化简法代数化简法的实质就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以求得函数式的最简与或式。
因此化简时，没有固定的步骤可循。
现将经常使用的方法归纳如下：①吸收法：根据公式A+AB=A 可将AB 项消去，A 和B 同样也可以是任何一个复杂的逻辑式。
()F A A BC A BC D BC =+⋅⋅+++例：化简()()()()()()F A A BC A BC D BCA A BC A BC D BCA BC A BC A BC D A BC=+⋅⋅+++=+++++=+++++=+解:现将经常使用的方法归纳如下：②消因子法：利用公式A+AB=A +B 可将AB 中的因子A 消去。
A 、B 均可是任何复杂的逻辑式。
1F A AB BEA B BE A B E=++=++=++例：2()F AB AB ABCD ABCDAB AB AB AB CDAB AB AB ABCDAB AB CD=+++=+++=+++=++现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(1)：运用公式A B +AB=A 可以把两项合并为一项，并消去B 和B 这两个因子。
根据代入规则，A 和B 可以是任何复杂的逻辑式。
例：化简F BCD BCD BCD BCD=+++()()()()F BCD BCD BCD BCDBCD BCD BCD BCD BC D D BC D D BC BC B=+++=+++=+++=+=现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(2)：利用公式A+A=1可以把两项合并为一项，并消去一个变量。
例：1()1F ABC ABC BCA A BC BCBC BC =++=++=+=现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(2)：利用公式A+A=1可以把两项合并为一项，并消去一个变量。
例：2()()()()F A BC BC A BC BC ABC ABC ABC ABCAB C C AB C C AB AB A=+++=+++=+++=+=现将经常使用的方法归纳如下：例：1()()()()()(1)(1)()F AB AB BC BCAB AB C C BC A A BCAB ABC ABC BC ABC ABCAB ABC BC ABC ABC ABC AB C BC A AC B B AB BC AC=+++=+++++=+++++=+++++=+++++=++④配项法:将式中的某一项乘以A+A 或加A A ，然后拆成两项分别与其它项合并，进行化简。
6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）
6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）⼀、逻辑函数的化简将⼀个逻辑表达式变得最简单、运算量最少的形式就叫做化简。
由于运算量越少，实现逻辑关系所需要的门电路就越少，成本越低，可靠性相对较⾼，因此在设计逻辑电路时，需要求出逻辑函数的最简表达式。
由此可以看到，函数化简是为了简化电路，以便⽤最少的门实现它们，从⽽降低系统的成本，提⾼电路的可靠性。
通常来说，我们化简的结果会有以下五种形式为什么是这五种情况，这个跟我们实现的逻辑电路的元器件是有关系的。
在所有的逻辑电路中，都是通过与、或、⾮三种逻辑电路来实现的，之前说过逻辑“与或”、“或与”、“与或⾮”组合逻辑电路是具有完备性的，也就是说能够通过它们不同数量的组合能够实现任何电路。
通过不同的“与或”电路组成的电路，最后化简的表达式就是“与或”表达式，其他同理。
⼆、将使⽤“与或”表达式的化简表达式中乘积项的个数应该是最少的表达了最后要⽤到的与门是最少的，因为每⼀个乘积项都需要⼀个与门来实现。
同时也对应了或门输⼊端的个数变少，有2个与项或门就有2个输⼊端，有3个与项或门就有3个输⼊端。
所以第⼀个条件是为了我们的与门和或门最少。
每⼀个乘积项中所含的变量个数最少它是解决每⼀个与门的输⼊端最少。
逻辑函授的化简有三种⽅法三、逻辑函数的代数化简法3.1 并项法并项法就是将两个逻辑相邻（互补）的项合并成⼀个项，这⾥就⽤到了“合并律”将公因⼦A提取出来合并成⼀项，b和b⾮相或的结果就等于1，所以最后的结果就是A。
吸收法是利⽤公式“吸收律”来消去多余的项3.3 消项法消项法⼜称为吸收律消项法3.4 消因⼦法（消元法）3.4 配项法左边的例⼦⽤到了⽅法1，右边的例⼦⽤到了⽅法2。
3.5 逻辑函数的代数法化简的优缺点优点：对变量的个数没有限制。
在对定律掌控熟练的情况下，能把⽆穷多变量的函数化成最简。
缺点：需要掌握多个定律，在使⽤时需要能够灵活应⽤，才能把函数化到最简，使⽤门槛较⾼。
代数法化简逻辑函数
2.1 逻辑代数
例1：证明 AB AB A AB B AB
证明： AB AB AB AA AB BB A A B B A B
A AB B AB A AB B AB
A AB B AB
（2）用与非门实现L。
应将表达式转换成与非—与非表达式：
L AB BC AC
L AB BC AC
AB BC AC
AB BC AC
（3）用非门、或非门实现L。
L AB BC AC
ABBC AC
ABBC AC
2.1 逻辑代数
例7化简： L AB BC BC AB
2.1 逻辑代数
例3化简： L AB AC BC CB BD DB ADE(F G) L ABC BC CB BD DB ADE(F G) （利用摩根律 ）
A BC CB BD DB ADE(F G)（利用 AAB AB ）
A BC CB BD DB （利用A+AB=A）
第二章 逻辑代数
2.1 逻辑代数 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
2.1 逻辑代数
二.基本定律和恒等式
1.பைடு நூலகம்基本公式 （公理）
与运算： 0۰0=0 或运算： 0+0=0
0۰1=0 0+1=1
1۰0=0 1+0=1
非运算： 0 1 1 0
2. 定律
常量与变量 运算律：
互补律：
重叠律： A+A=A
A۰ A=A
双重否定律： A A
1۰1=1 1+1=1
2.1 逻辑代数
结合律 (A+B)+C=A+(B+C) ; (AB)·C=A·(BC)
逻辑函数的公式化简法
逻辑函数的公式化简法逻辑代数的八个基本定律01律01律交换律结合律分配律(1)A1= A (2)A0= 0 (5)AB= BA (7)A(BC)= (AB) C (3)A+0= A (4)A+1= 1 (6)A+B= B+A (8)A+(B+C)= (A+B)+C(9)A(B+C)= AB+AC (10)A+(BC)= (A+B)(A+C) 0互补律(11) A A = 重叠律(13)AA= A 反演律否定律(17 )Α =(12) A + A =(14)A+A= A1(15) AB = A + BA(16) A + B = A B逻辑代数的常用公式逻辑函数的公式化简法(1)并项法运用公式A + A = 1 ,将两项合并为一项，消去一个变量，如例. Y1 = AB + ACD + A B + A CD= ( A + A ) B + ( A + A )CD = B + CD练习1. 练习1. Y2= BC D + BCD + BC D + BCD= BC ( D + D ) + BC ( D + D )= BC + BC = B= A( BC + BC ) + A( BC + BC )= ABC + ABC + ABC + ABC = AB(C + C ) + AB(C + C )练习2. 练习2. Y3= AB + AB = A( B + B ) = A(2)吸收法吸收法将两项合并为一项，运用公式A+AB=A,将两项合并为一项，消去将两项合并为一项多余的与项。
多余的与项。
例. Y1 = ( A B + C ) ABD + AD= ( A B + C ) B AD + AD = AD[]练习1.Y2 = AB + ABC + ABD + AB (C + D ) 练习1.= AB + AB C + D + (C + D ) = AB[]练习2. 练习2. Y3 = ( A + BC ) + ( A + BC )( A + B C + D)= A + BC(3)消去法消去法运用公式A + A B = A + B,或AB + A C + BC = AB + A C增加必要的乘积项，消去多余的因子例.Y1 = A + A CD + A BC= A + CD + BC练习1. 练习1. Y2 = A + AB + BE= A + B + BE = A+ B + E练习2. 练习2.Y3 = AC + AB + B + C= AC + AB + B C= AC + B C(4)配项法配项法先通过乘以A + A = 1或加上A + A = A ,增加必要的乘积项，再用以上方法化简，如：例. Y1 = AB + A B + BC + B C= AB + A B (C + C ) + BC + B C ( A + A )= AB + A BC + A BC + BC + AB C + A B C= ( AB + AB C ) + ( A BC + BC ) + ( A BC + A B C )= AB + BC + A C练习1. 练习1.Y2 = A BC + A BC + ABC= ( A BC + A BC ) + ( A BC + ABC )= A B (C + C ) + ( A + A) BC= A B + BC练习2. 练习2.Y3 = AB + AC + BCD= AB + AC + BCD ( A + A) = AB + AC + ABCD + ABCD= AB + AC小结逻辑函数的公式化简法A 并项法：将两项合并为一项，并项法：+ A = 1 ,将两项合并为一项，消去多余的项吸收法：吸收法：+ AB = A ,将两项合并为一项，消去将两项合并为一项， A 多余的项A 消去法：消去法：+ AB = A + B , AB + AC + BC = AB + A C 将两项合并为一项，将两项合并为一项，消去多余的项A 配项法：配项法：+ A = 1或加上A + A = A ,再利用以上的方法做题作业P34页2-5,(2)(3)(4)(5)。
逻辑化简(公式)
核心
二、逻辑函数的最简表达式及相互转换 最简与或式
Y AB AC BC
最简 与非-与非式 最简或与非式 最简与或非式 最简或与式
AB AC
( A B)( A C )
AB A C
A B A C
最简或非-或式 最简或非-或非式
AB AC BC
( A B) ( A C )
ABC ABC ABC ABC
最小项
标准与或式就是最小项之和的形式
标准与 或式
1. 最小项的概念： 包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次。
Y F ( A ,B )
AB AB AB
( 2 变量共有 4 个最小项)
AB
( 3 变量共有 8 个最小项)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Y ABC ABC ABC ABC ABC
4. 最小项的编号： 把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的 编号，用 mi 表示。
对应规律：原变量 1
反变量 0
ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
000 0 m0 001 1 m1 010 2 m2 011 3 m3 100 4 m4 101 5 m5 110 6 m6 111 7 m7
E BC D AE BC D
数字电路3(函数表达式的化简)
Y = ABC + ABC + ABC = ABC + ABC + ABC + ABC = BC + C =C
广东科贸职业学院信息工程系
2. 卡诺图化简法
卡诺图是由真值表演变成的方格图,可以把逻辑 函数中的化简关系直观地表现出来.图形化简具有 直观,简便,彻底三大优点. (1)卡诺图的构成 构成:把真值表中对应各组变量组合的逻辑值排成 方格矩阵,把变量的取值分成行,列两部分,作为 方格矩阵的行,列标识,并把变量取值顺序作特殊 排列,真值表就变成了卡诺图.
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1. 代数化简法
3,消去法 , 利用公式A+AB=A+B,消去多余的因子.
Y = AB + A C + B C = AB + ( A + B ) C = AB + AB C = AB + C
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1. 代数化简法
4,配项法 利用重叠律A+A =A来配项,以获得更加简单的化简结果, 例如:
(1)Y=∑m(0,1,3,4,5,7) (2)Y= ∑m(0,2,8,10) (3) Y = ABC + A + B + C (4) Y = AB + ABD + AC + BCD (5) Y = ∑ m(0,1,2,3,6,8) + ∑ d (10,11,12,13,14,15)
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(2)卡诺图的特点
①卡诺图跟逻辑函数的标准与或表达式之间有对应关系,卡 诺图的各个方格,即对应全部变量的各个组合以及相对应 的逻辑值,以对应各个全变量乘积项. ②我们把只在一个变量互反(又称做互补)的两个乘积项互 称为"逻辑相邻项",一对相邻项相或,可消去其中的互 补变量,合并为一个新的乘积项. 卡诺图利用它的特殊结构,把所有具有逻辑相邻关系的全 变量乘积项都给以相邻 使具有可以化简关系的全变量乘 积项以特殊的位置关系直观地显示出来.
逻辑代数及逻辑函数的化简
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
2.逻辑函数的表示方法
逻辑真值表；逻辑表达式；逻辑图；卡诺图 (1) 逻辑真值表
以上面的举重裁判电路为例
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 0 0 0 1 1 1
第15页
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
四、逻辑代数的基本定理
1. 代入定理
在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若 以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则 等式仍然成立。 例: 代入定理证明德•摩根定理也适用于多变 量的情况。 解：
A ( B C) A ( B C) A B C A ( B C) A ( B C) A B C
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
2.“或”门
输入、输出端能实现或运算的电路叫做“或 门”。或门的符号也就是或运算的符号。 逻辑式： F=A+B+C 逻辑符号： A B C
1
F
注1.常见的有二输入或门，三输入或门、四输入或 门等。 注2.常把或门的一个输入端作门的控制端，当控制 端为“0”时，或门打开，为“1”时，或门功能禁 止。
第 1页
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
§2.1 逻辑代数的基本原理
数字电路要研究的是电路的输入输出之间的 逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的 研究工具是逻辑代数（布尔代数）。 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大 写字母A、B、 C、…表示，逻辑变量的取值只有两 种，即逻辑0和逻辑1。 0和1称为逻辑常量。但必 须指出，这里的逻辑0和1本身并没有数值意义， 它们并不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符 号，代表事物矛盾双方的两种对立的状态。
第3章 布尔代数与逻辑函数化简
由上面可以看出反复用摩根定律即可，当函数较 复杂时，求反过程就相当麻烦。
逻辑代数与逻辑函数
练习二
反演和对偶法则
1、求下面函数F的反函数F
F = AB+C+AD
2、求下面函数F的对偶式F’
F = A（BC+BC）+AC
3、说明对偶法则和反演法则的区别
逻辑代数与逻辑函数
3.1.3 逻辑函数的表达式的形式与转换方法
_ _ _ _ _ _
_
逻辑代数与逻辑函数
例2（2）法2
F A B C D E
F A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_
_
解：用摩根定律
________
( e) F A B A C 或非表达式
逻辑代数与逻辑函数
3.2
逻辑函数的代数法化简
3.2.1 逻辑函数与逻辑图 从实际问题总结出的逻辑函数可以用门电路组合 成逻辑图。
A B
&
≥1
1
1
F
&
图 2 – 14 AB A B 函数的逻辑图
_ _
逻辑代数与逻辑函数
从逻辑问题概括出来的逻辑函数式， 不一定是最 简式。化简电路，就是为了降低系统的成本，提高电 路的可靠性，以便用最少的门实现它们。例如函数：
_
_ ___Fra bibliotek_例4 求 F AB A C 的反函数 解： F AB AC ( A B) ( A C )
AA AB BC AC AB AC
_
逻辑代数与逻辑函数
电子技术(数电部分-第2章 逻辑代数和逻辑函数
A B C ( A B) ( A C )
证明: 右边 =(A+B)(A+C)
A B C ( A B) ( A C )
; 分配律 ; 结合律 , AA=A ; 结合律
=AA+AB+AC+BC =A +A(B+C)+BC =A(1+B+C)+BC =A • 1+BC =A+BC
33 MHz
• 以三变量的逻辑函数为例分析最小项表示及特点
变量 赋值 为1时 用该 变量 表示； 赋0时 用该 变量 的反 来表 示。
33 MHz
最小项
使最小项为1的变量取值 A B C
对应的十 进制数
编号 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
ABC ABC A BC A BC AB C AB C ABC ABC
例1： F1 A B C D 0
F1 A B C D 0
注意 括号
注意括号
F1 ( A B) (C D) 1
F1 AC BC AD BD
与或式
33 MHz
例2： F2 A B C D E
F2 A B C D E
“+” 换成 “· ”，0 换成 1，1 换成 0，
则得到一个新的逻辑式 Y´，
则 Y´ 叫做 Y 的对偶式
A AB A
33 MHz
Y AB CD
对偶式
A( A B) A
Y ( A B)(C D)
2.2 逻辑函数的变换和化简
2.2.1 逻辑函数表示方法：四种，并可相互转换 真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合 与所对应的输出变量值用列表的方式 一一对应列出的表格。 四 种 表 示 方 法
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第2章 逻辑代数和逻辑函数化简基本概念：逻辑代数是有美国数学家George Boole 在十九世纪提出,因此也称布尔代数,是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。
也叫开关代数，是研究只用0和1构成的数字系统的数学。
2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算基本逻辑运算：“与”、“或”、“非”。
复合逻辑运算：“与非”、“或非”、“与或非”、“异或”、“同或”等。
2.1.1 基本逻辑运算1.“与”运算①逻辑含义：当决定事件成立的所有条件全部具备时，事件才会发生。
②运算电路：开关A 、B 都闭合，灯F 才亮。
③表示逻辑功能的方法：表达式：F =A•B 逻辑符号：功能说明：有0出0，全1出1。
在大规模集成电路可编程逻辑器件中的表示符号：A B 国家标准A B以前的符号A B欧美符号 开关A 、B 的状态代表输入：“0”表示断开； “1”表示闭合。
灯F 的状态代表输出：“0”表示亮； “1”表示灭。
通过“•”接入到此线上的输入信号都是该与门的一个输入端。
推广：当有n 个变量时：F =A 1A 2 A 3∙∙∙A n “与”运算的几个等式： 0•0=0，0•1=0，1•1=1A •0=0（0-1律），A •1=A （自等律），A •A =A （同一律），A •A •A =A （同一律）。
2.“或”运算①逻辑含义：在决定事件成立的所有条件中，只要具备一个，事件就会发生。
②运算电路：开关A 、B 只要闭合一个，灯F 就亮。
③表示逻辑功能的方法： 逻辑功能：有1出1，全0出0。
真值表：（略） 表达式：F =A +B 逻辑符号：推广：当有n 个变量时：F =A 1+A 2+ A 3+∙∙∙+A n“或”运算的几个等式： 0+0=0，0+1=1，1+1=1A +0=A （自等律）A +1=1（0-1律），A +A =A （同一律）。
上次课小结：与、或的功能、表达式等，几个等式。
3．“非”运算①逻辑含义：当决定事件的条件具备时，事件不发生；当条件不具备时，事件反而发生了。
②运算电路：开关A 闭合，灯F 不亮。
③表示逻辑功能的方法： 逻辑功能：入0出1，入1出0。
真值表：（略） 表达式：F =A 逻辑符号：A B 国家标准 A B 以前的符号A B 欧美符号“非”运算的几个等式：A =A （还原律）；A +A =1、AA =0（互补律）。
2.1.2 复合逻辑运算1．“与非”运算“与”和“非”的组合。
有专门实现这种运算的实际器件（如TTL 与非门等）。
逻辑符号：表达式：F =AB ；真值表：（略），逻辑功能为：有0出1，全1出0。
2．“或非”运算“或”和“非”的组合。
也有专门实现这种运算的实际器件（如TTL 、CMOS 与非门等）。
逻辑符号：表达式：F =B A +；真值表：（略），逻辑功能为：有1出0，全0出1。
3．“与或非”运算 逻辑符号：表达式：F =CD AB +；真值表：（略）。
国家标准以前的符号欧美符号A B 国家标准A B以前的符号A B欧美符号国家标准 A BC D 以前的符号 A B C D 欧美符号A B C D A B 国家标准A B以前的符号A B欧美符号4．“异或”运算逻辑功能：两变量状态相异出1，相同出0。
真值表：（略）。
表达式：F =A ⊕B =A B + A B逻辑符号：“异或”运算的几个等式：A ⊕ 0 = A ；A ⊕ 1 =A ；A ⊕A =1；A ⊕ A = 0 5．“同或”运算逻辑功能：两变量状态相异出0，相同出1。
逻辑符号：与“异或”运算正好相反，也称“异或非”运算。
“异或”运算的几个等式（略）。
2.2 逻辑代数的基本定律及规则 2.2.1 逻辑代数的基本定律或者称为基本公式： 0-1律：1·A =A ； 0+A =A 。
0·A =0； 1+A =1。
交换律：AB =BA ； A +B =B +A 。
结合律：A （BC ）=（AB ）C ；A +（B +C ）=（A +B ）+C 。
分配律：A （B +C ）=AB +AC ；A+BC =（A +B ）（A +C ）。
互补律：A A =0；A +A =1。
重叠律：AA =A ；A +A =A 。
还原律：A =A ；反演律：AB =B A +；B A +=B A 吸收律1：A +AB = A ；A （A +B ）= A 。
吸收律2：A +A B = A +B ；A （A +B ）= AB 。
A B F 国家标准A B F以前的符号AB F欧美符号A B F 国家标准 A B F以前的符号 A B 欧美符号吸收律3：AB + A B = A ；（A +B ）（A +B ）= A 。
冗余定理：AB +A C+BC= AB +A C ；（A +B ）（A +C ）（B +C ）=（A +B ）（A +C ）。
证明：左边=AB +A C+BC （A +A ）= AB +A C+ABC +A BC= AB （1+C ）+A C （1+B ）= AB +A C=右边 （证毕）冗余定理指出：当某变量以互补形式出现在两个与项中时，这两个与项的其余因子组成的第三项为多余项。
推论：A B +A C +BC f (a ，b ，c ，…)= AB +A C 多余项2.2.2 逻辑代数的基本规则1．代入规则将逻辑等式中的某一变量都代之以另一个逻辑函数，此等式仍成立。
例：AB =B A +。
用BC 代替等式中的B 得)(BC A =BC A +=C B A ++反复运用代入规则可得：ΛABCD =Λ++++D C B A 。
扩大了等式的应用围。
2．对偶规则如果将任一逻辑函数式F =f (A ，B ，C ，…)中所有的·换成 + + 换成 · 0 换成 1 1 换成 0 例：求F =B D C CD B B A )(+++⋅的对偶式。
解：F '=)(])()[(B D C D C B B A +⋅+++ F 与F '互为对偶，)(''F =F 。
还要注意到：对偶关系不是相等的关系，即F '≠F 。
运用对偶规则可以使要记忆的公式减少一半。
观察P27中的基本公式可以发现，只要记住左半部分，运用对偶规则就能得到右半部分。
3．反演规则如果将任一逻辑函数式F =f (A ，B ，C ，…)中所有的所得到的新函数F ˊ就是F 的对偶式。
此即对偶规则。
运用时注意： ①原运算顺序不变（可运用扩号保证）。
②原式的长短非号保持不变！·换成 + + 换成 · 0 换成 1 1 换成 0原变量 换成 反变量 反变量 换成 原变量例：求F =E D C B A ⋅⋅⋅+)(的反函数。
解：F =E D C B A +++⋅)(公共非号也可以改变，但在消去公共非号的同时，公共非号下面的子函数保持原状。
如上例：F =+⋅B A (C ∙D E +)，与F =+⋅B A (C +DE +)相等。
（应用摩根定律） 从原函数求反函数的过程叫做反演。
摩根定律是进行反演重要工具。
例如，将F =E D C B A ⋅⋅⋅+)(两边同时取反并反复运用摩根定律的：F =E D C B A ⋅⋅⋅+)(=E D C B A +⋅⋅+)(=E D C B A +⋅⋅⋅=E D C B A +⋅+⋅)( 当函数较简单时，可以用摩根定律求反，当函数比较复杂时，用反演规则求反比较方便。
2.3 逻辑函数的表示方法及其转换除用文字描述以外，还有四种描述形式：真值表、表达式、卡诺图、逻辑图2.3.1 逻辑表达式完备函数的概念：我们已经学习过三种最基本的逻辑运算：逻辑与；逻辑或；逻辑非，用他们，可以解决所有的逻辑运算问题，因此可以称之为一个“完备逻辑集”。
一.逻辑表达式的类型每种函数对应一种逻辑电路。
同一个函数逻辑有多种表达形式：F =B A AC + =AC +BC +AA +B A =)()(B A A B A C +++（冗余定理、互补律） =))((C A B A ++=C A AC ⋅ ←B A AC + （还原律、摩根定律）所得到的新函数F 就是F 的反函数。
此即反演规则。
运用时注意：①原运算顺序不变（可运用扩号保证）。
②原式的公共非号保持不变。
=C A B A +++ ←))((C A B A ++（还原律、摩根定律） =B A AC +=C A B A + ←))((C A B A ++（反演规则再求反） =C B A BC A C B A ABC ++++ ←B A AC +=)()(C C B A B B AC +++ 用互补律配项二．逻辑函数的标准形式1．最小项（1）定义：对于N 个变量，如果P 是一个含有N 个因子的乘积项，而且在P 中每个变量都以原变量或反变量的形式作为一个因子出现，且仅出现一次，则称P 是N 个变量的一个最小项。
简单地说：最小项就是包含全部变量的与项。
例如：C B A 、C B A 、C B A 、BC A 、C B A 、C B A 、C AB 、ABC 都是三个变量的最小项。
而B A 、B A 、B A 、AB 都是两个变量的最小项，而对于三个或者三个以上的变量来说，它们就是一般乘积项。
所以：提及最小项一定要说明变量的数目。
N 个变量共有2n 个最小项。
(2) 性质取三个变量的全体最小项观察：C B A 、C B A 、C B A 、BC A 、C B A 、C B A 、C AB 、ABC对应的取值组合： 000 001 010 011 100 101 110 111①每个最小项都对应了一组变量取值。
对任一最小项，只有与之对应的那一组变量取值才是它的值为 “1”；②任意两个不同最小项之积恒为0； ③全体最小项的逻辑和恒为1；④两个逻辑相邻的最小项可以合并为一项，从而消去一个因子。
(3) 最小项标准表达式任何一个逻辑函数都能表示成最小项之和的形式，而且这种表示形式是唯一的，这就是标准与或式，也叫最小项标准表达式。
由一般式→标准与或式的变换步骤： ①用公式把一般式化为一般与或式；②若式中的某一项缺少某个变量，就用该变量的原变量和反变量之和去乘这一项，然后拆成两项，直到补齐所缺变量为止。
例：写出 F =C B AB + 的标准与或式。
（F =C B AB ⋅=C B C A B A ++）解：①化为一般与或式 F =C B B A +②补齐所缺变量 F =)()(A A C B C C B A +++=C B A BC A C B A C B A +++ 也可以由F =C B AB +列出真值表，直接写出最小项标准表达式。
最小项标准表达式的另一种表示形式：C B A 、C B A 、C B A 、BC A 、C B A 、C B A 、C AB 、ABC对应的取值组合： 000 001 010 011 100 101 110 111 二进制换十进制 0 1 2 3 4 5 6 7记为 m 0 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 F =C B A BC A C B A C B A +++还可以表示成：F = m 0+ m 4+ m 3+ m 2 或者写成 F =∑m （0，2，3，4）根据逻辑函数的特点，这种表示方法①便于转换成卡诺图；②便于写出反函数。