圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用 (3)
蝴蝶定理在高中数学圆锥曲线中的运用
蝴蝶定理在高中数学圆锥曲线中的运用风华绝代之蝴蝶定理1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》刊登了如下的问题：蝴蝶定理：设M是⊙O中弦AB的中点，过M点的两条弦CD、EF连结DE、CF交AB于P、O两点，则M是线段PQ的中点。
蝴蝶定理：设M是⊙O中弦AB的中点，过M点的两条弦CD、EF连结DE、CF交AB于P、O两点，则M是线段PQ的中点。
这个问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，这正是该问题被冠以“蝴蝶定理”的美名的缘由。
此定理的纯几何证明很多，为便于推广，现改用解析法证明如下：蝴蝶定理解析法证明图示蝴蝶定理解析法证明若在蝴蝶定理的图形中，把圆改成椭圆、双曲线、抛物线，结论是否成立呢？回答是肯定的。
现以椭圆为例给出证明。
蝴蝶定理解析法证明图示（椭圆）蝴蝶定理解析法证明（椭圆）类似地可以证明把圆改为抛物线、双曲线，结论也成立。
若在蝴蝶定理的条件中把中点M改为AB上任一点，结论是：蝴蝶定理一般性结论这是蝴蝶定理的更一般性结论，显然当MA=MB时，MP=MQ。
④式成立的条件是AB是⊙O的弦，M是AB上任一点，若把圆改为圆锥曲线，结论仍然成立。
蝴蝶定理一般性结论（圆锥曲线）蝴蝶定理一般性（圆锥曲线）蝴蝶定理对于圆或圆锥曲线，④式仍然成立，一般地，结论可用矢量法表示：矢量法表示蝴蝶定理一般性结论定理1:在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有|MP|=|MQ|。
定理1:在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有|MP|=|MQ|。
定理1证明定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l//AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有|MP|=|MQ|。
定理2定理2证明特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上。
蝴蝶定理的推广蝴蝶定理的推广蝴蝶定理十二大推论性质蝴蝶定理推论性质1蝴蝶定理推论性质2蝴蝶定理推论性质3蝴蝶定理推论性质4蝴蝶定理推论性质5蝴蝶定理推论性质6蝴蝶定理推论性质7蝴蝶定理推论性质8蝴蝶定理推论性质9蝴蝶定理推论性质10蝴蝶定理推论性质11蝴蝶定理推论性质12下面奉献6道调研题，供大家作答。
蝴蝶定理
不会飞的蝴蝶——蝴蝶定理在中学平面几何中，有这样一个著名的命题：过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB于Q、P。
求证：PM=MQ。
由于题目的图形象一只蝴蝶，因此后人给它取名为“蝴蝶定理”。
这个题最早出现在公元1815年西欧的一本通俗杂志《男士日记》上，登出来是为了征求证明。
登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师霍纳就给出了第一个证明。
不过，霍纳的证明比较繁，使用的知识也比较深。
158年以后的1973年，又一位中学教师斯特温利用三角形面积关系，给出了一个漂亮而简捷的证明。
从这以后，这个定理限于初等数学，甚至只限于初中数学的证明象雨后春笋般脱颖而出，证法多得不枚胜举。
下面仅举四例与读者共同欣赏。
证法一：（斯特温法）如图，设AM=MB=a，MQ=x，PM=y。
又设△EPM、△CMQ、△FMQ、△DMP的面积分别为S1、S2、S3、S4。
因为∠E =∠C ，∠D =∠F ，∠CMQ =∠PMD ，∠FMQ =∠PME ，所以有14433221S S S S S S S S ⋅⋅⋅=1， 即 PMEPM AE FMQ MF MQ F FQ MF D DP DM PMD MD MP CMQ MQ MC C CQ MC E EM PE sin sin sin sin sin sin sin sin ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =22)()(PM FQ CQ MQ DP PE ⋅⋅⋅⋅=1。
就是 PE ·DP ·(MQ )2=CQ ·FQ ·(MP )2。
由相交弦定理有CQ ·FQ =BQ ·QA=(a -x )(a+x )=a 2-x 2，PE ·DP =AP ·PB=(a -y )(a+y )=a 2-y 2，所以有 (a 2-y 2)x 2=(a 2-x 2)y 2，即 a 2y 2=a 2x 2，∵ x 、y 都是正数，∴ x=y ，即 PM =MQ 。
高中数学论文：圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用 沪教版
M
C O F x
EM HE
MP HG
MQ HG
FM FH
，设 M（m，0） ，H
Q B
（n，0） ，焦点轴长为 2a，则有 得 mn a .
2
am am ， an an
图 3
注:性质 1 就是文[1]中的性质 1，文[2]中的推论 2. 若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图 3 中的 DF 看作与焦点轴平行的 直线，于是得到性质 2. 性质 2：过点 M（m，0）做抛物线 y 2 px 的弦 CD，E 是抛物线的顶点，直线 DF 与抛物
x2 y2 1 的弦 CD，则以 C，D 为切点的圆锥 a2 b2
用心 爱心 专心
曲线的切线的交点 G 在直线 l： x
a2 上. m
G H
M
证明：如图 6，设切线CG交直线l于G 1 ，连接G 1 D，若 G 1 D与圆锥曲线有除D点外的公共点F，做直线FM交圆锥曲 线于E，由性质 4 知CE与DF的交点在直线l上，所以C、E、 G 1 三点共线，与CG 1 是圆锥曲线的切线矛盾，所以G 1 D与圆 锥曲线只有一个公共点D，G 1 D是圆锥曲线的切线，G 1 与G 重合， G在直线l上.
用心 爱心 专心
设
圆
锥
曲
线
的
方
程
为
y
A C
Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 (*)，
，B（ x1 , y 2 ） ，则切线 MA 的方 设 A（ x1 , y1 ） 程是 是
D Q M P E B F
D E x1 y1 F 0 ，切线 MB 的方程 2 2 D E ， 得 x1 y 2 F 0 2 2
蝴蝶定理
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为"坎迪定理"，不为中点时满
足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。
[1]
蝴蝶定理的证明
∴△ESL∽△CST
∴∠SLN=∠STM
∵S是AB的中点所以OS⊥AB
∴∠OSN=∠OLN=90°
∴O，S，N，L四点共圆，(一中同长)
同理，O，T，M，S四点共圆
∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON
∴∠SON=∠SOM
∵OS⊥AB
∴MS=NS
从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。
类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为
Y'和Y''。
证法2
证明方法二
(证明过程见图片)证法3:对称证法
(证明过程见图片)【此方法也可证明蝴蝶定理的一般形式:坎迪定理】证法4:面积法
证法5:帕斯卡定理证法∵M为AB 中点∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°
∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH 又∵∠GFM=∠MDH
∴∠GKM=∠MKH
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴△GMK≡△HMK(ASA)
∴GM=MH。
蝴蝶定理高中
蝴蝶定理高中
（实用版）
目录
1.蝴蝶定理的概述
2.蝴蝶定理的证明方法
3.蝴蝶定理在数学领域的应用
4.蝴蝶定理对高中数学教学的重要性
正文
【蝴蝶定理的概述】
蝴蝶定理，又称为蝶形定理，是一种数学公式，主要描述了三角函数的性质。
它的名字来源于它的形状像一只蝴蝶。
在数学中，蝴蝶定理是一种基本的公式，它在解决许多数学问题时都起到了关键的作用。
【蝴蝶定理的证明方法】
蝴蝶定理的证明方法比较简单，主要是通过将三角函数进行拆分和组合，然后通过化简，最后得到蝴蝶定理的公式。
具体的证明过程需要一定的数学技巧，但对于高中生来说，理解这个过程可以帮助他们更好地理解三角函数的性质。
【蝴蝶定理在数学领域的应用】
蝴蝶定理在数学领域中有广泛的应用，它不仅可以用来解决三角函数的问题，还可以用来解决复数和指数函数的问题。
在解决一些复杂的数学问题时，蝴蝶定理往往能够提供一种简单而优美的解决方案。
【蝴蝶定理对高中数学教学的重要性】
蝴蝶定理对高中数学教学具有重要的意义。
通过学习蝴蝶定理，学生可以更好地理解三角函数的性质，提高他们的数学技能和解决问题的能力。
同时，蝴蝶定理也是一种很好的教学工具，可以帮助教师更好地解释和教授三角函数。
蝴蝶定理在圆锥曲线中的几个命题及应用
蝴蝶定理在圆锥曲线中的几个命题及应用
张思凡
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2022()12
【摘要】蝴蝶定理是平面几何中的经典命题,因其图形像一只偏偏起舞的蝴蝶而得名,该命题的证明及推广自其问世以来就一直吸引了众多数学爱好者的研究.实际上,蝴蝶定理在圆锥曲线中也有多种形式的变形和推广.本文撷取相关的几个命题,并对其在解题中的应用进行分析.
【总页数】2页(P39-40)
【作者】张思凡
【作者单位】江西师范大学数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.圆锥曲线中的"蝴蝶定理"
2.圆锥曲线焦点弦的几个命题及应用
3.圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
4.探析以圆锥曲线蝴蝶定理为背景的高考题
5.有心相似圆锥曲线中的花蝴蝶定理
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圆锥曲线蝴蝶模型结论许兴华数学
圆锥曲线蝴蝶模型结论许兴华数学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：近日，在数学界掀起了一股“蝴蝶效应”的热潮。
一位名为许兴华的数学家提出了一种全新的圆锥曲线蝴蝶模型，引起了广泛关注和讨论。
这个模型是如何产生的？它有什么独特的数学性质？它对数学领域的发展有何帮助？本文将对这个问题进行深入探讨，探索圆锥曲线蝴蝶模型的奥秘。
让我们来了解一下圆锥曲线和蝴蝶模型的基本概念。
圆锥曲线是指在平面上的曲线，它是通过一个平面与一个圆锥相交而产生的。
常见的圆锥曲线有圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
而蝴蝶模型是一种特殊的圆锥曲线，其形状酷似一只展翅的蝴蝶，因此得名。
圆锥曲线蝴蝶模型是指以蝴蝶形状为基础的一种数学模型，它具有独特的几何特征和运动规律。
许兴华数学家在研究圆锥曲线时，发现了其中隐藏的一种规律：当不同的圆锥曲线相互作用时，会形成类似蝴蝶的结构。
这种结构不仅形态独特，而且具有奇特的数学性质。
通过对这一规律的深入研究，许兴华提出了圆锥曲线蝴蝶模型，并成功构建了相应的数学理论。
圆锥曲线蝴蝶模型在数学领域中具有重要的应用价值。
它为研究圆锥曲线提供了一个全新的视角和方法。
传统的圆锥曲线研究主要局限于几何性质和代数性质，而圆锥曲线蝴蝶模型将这些性质融合在一起，使得研究更加全面和深入。
圆锥曲线蝴蝶模型在图像处理和数据分析领域有着广泛的应用。
通过对圆锥曲线蝴蝶模型的数学描述和分析，可以提取出其中的特征信息，实现图像识别和数据处理的目的。
许兴华数学家提出的圆锥曲线蝴蝶模型是一种具有创新性和实用性的数学模型，它将圆锥曲线和蝴蝶结合在一起，形成了一种全新的数学体系。
这种模型不仅在理论研究和实际应用中具有重要意义，而且对数学教育和学术研究都有着积极的促进作用。
相信随着更多人对这一模型的关注和研究，我们将会发现更多它的奥秘和价值，为数学领域的发展贡献力量。
【未满2000字】第二篇示例：圆锥曲线蝴蝶模型是数学家许兴华在研究圆锥曲线的基础上提出的一种新的数学模型。
蝴蝶定理在圆锥曲线中的推广与应用
蝴蝶定理在圆锥曲线中的推广与应用蝴蝶定理因其外形结构而得名。
对于蝴蝶定理的证明和发展推广，从初等几何到高等几何，证明方法多种多样，灵活多变。
文章从蝴蝶定理中“点”和“曲线”的变化入手，综合运用几何法与解析法进行了蝴蝶定理在圆锥曲线中的推广和演变，得到了蝴蝶定理的推论，又应用部分推论得到了若干性质，体现了蝴蝶定理的迁移性和应用广泛性。
标签：蝴蝶定理；圆锥曲线；推广应用1蝴蝶定理的介绍与证明1.1蝴蝶定理的介绍蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日志》上［1］。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名。
蝴蝶定理出现过许多优美奇特的解法，在初等几何的范围内，就有多达50多种证法，譬如综合法、面积法、三角法、解析法、相似法、向量法、全等三角形法等等。
至于高等几何的证明方法也有很多种，其中最为简洁的是用射影几何的方法。
1969年，查克里恩从定理的逆向考虑，给出蝴蝶定理的逆定理：任何具有蝴蝶性质的凸闭曲线必定是椭圆［1］。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
1.2 蝴蝶定理的证明最初的蝴蝶定理是存在于圆中的，下面将从蝴蝶定理的内容展开对它的证明。
圆O中的弦PQ的中点M任作两弦AB、CD,弦AD与BC分别交PQ于E、F，则M为EF之中点，即EM=FM.图1证明：如图1，过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T,连接OE,OF,OM,SM,MT.∵△AMD∽△CMB ∴AMCM=ADBC∵SD=12AD,BT=12BC ∴AMCM=ASCT又∵∠A=∠C ∴△AMS∽△CMT∠MSE=∠MTF∵∠OME=∠OSE=90°∴∠OME+∠OSE=180°∴O，S，E，M四点共圆同理，O,T,F,M四点共圆∴∠MTF=∠MOF,∠MSE=∠MOE∴∠MOE=∠MOF∵OM⊥PQ ∴EM=FM2 蝴蝶定理在圆锥曲线中的推广与应用定理的推广，可以从改变其中一个条件，而其他条件不变来推广，以下的推广都是在蝴蝶定理的基础上改变一个或几个条件来研究蝴蝶定理的推论。
圆锥曲线蝴蝶模型结论许兴华数学-概述说明以及解释
圆锥曲线蝴蝶模型结论许兴华数学-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以如下所示：1.1 概述圆锥曲线是数学中一个重要的研究领域，它涉及到各种曲线和直线在三维空间中的相互关系。
本文将探讨圆锥曲线与蝴蝶模型之间的联系，并介绍许兴华数学在这一领域的贡献。
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线三种类型。
它们是由一个固定点（焦点）和一个动点（定点）组成的特殊曲线。
圆锥曲线在科学、工程和自然界中广泛应用，例如天文学中的行星轨道、物理学中的抛物线运动、通信技术中的反射和折射等。
蝴蝶模型是一种描述蝴蝶翅膀形状的数学模型。
它使用圆锥曲线来近似蝴蝶翅膀的形状，从而研究蝴蝶的飞行特性和稳定性。
蝴蝶模型的研究对于理解昆虫飞行的机理以及设计更有效的机器人飞行器具有重要意义。
许兴华是一位具有卓越数学才能的数学家，他在圆锥曲线和蝴蝶模型的研究中做出了重要贡献。
他提出了一种新的数学模型，通过改进圆锥曲线的参数化方法，使蝴蝶模型更加精确地描述了蝴蝶翅膀的形状和运动轨迹。
这一模型在生物力学、飞行力学等领域产生了广泛的应用和影响。
本文的目的是介绍圆锥曲线和蝴蝶模型的基本概念和特性，探讨许兴华数学在圆锥曲线蝴蝶模型研究中的贡献，并分析其对数学和应用科学的影响和启示。
通过深入探讨这一领域的研究成果，我们可以更好地理解数学在实际问题中的应用价值，以及如何利用数学方法来解决实际世界中的复杂问题。
在接下来的章节中，我们将首先介绍圆锥曲线的定义和特性，然后介绍蝴蝶模型的基本概念和应用，最后深入探讨许兴华数学的贡献，并分析其对圆锥曲线蝴蝶模型研究的重要性和启示。
最后，我们将总结本文的主要内容并展望未来的研究方向。
文章结构部分的内容可以参考以下写法：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述和讨论：第一部分为引言部分，介绍本文所涉及的主题，并对文章的结构和目的进行概述。
第二部分为正文部分，包括以下三个主要内容，分别是圆锥曲线的定义和特性、蝴蝶模型的介绍和应用、以及许兴华数学的贡献。
蝴蝶定理及其推广
蝴蝶定理及其推广本文介绍蝴蝶定理、坎迪定理及相关结论的解析法证明蝴蝶定理最开始是一个关于圆的定理，因其图形像一只翩翩起舞的蝴蝶，被称为蝴蝶定理，并可推广到了任意二次曲线之中，而坎迪定理是蝴蝶定理的一般形式。
圆中的蝴蝶定理蝴蝶定理的霍纳证法证法1.霍纳证法证明:作OU⊥AD,OV⊥BC,则U,V分别是AD,BC的中点注意到∠EUO=ZEMO=90°，从而E,M,O,U四点共圆，进而∠EOM=∠EUM，同理，可知∠FOM=ZFVM注意到△ADM∽△CBM，且U,V是这对相似三角形的对应点，那么∠AUM=∠CVM，即∠EOM=∠FOM，从而ME=MF，证毕。
证法2.单墫证法1983年，中国科技大学单墫教授给出一个简洁的解析法证明: 以M为原点，弦PQ所在直线为x轴，视圆O为单位圆，建立直角坐标系，如图:设圆O的方程为x²+(y-a)²=1，直线AB、CD的方程分别为y=k1x、y=k2x,由圆和直线组成的二次曲线系方程为:μ[x²+(y-a)²-1]+λ(y-k1x)(y-k2x)=0令y=0,则xE,xF满足方程(μ+λk1k2)x²+μ(a²-1)=0，由于x的系数为0，结合韦达定理可得xE+xF=0，即xE=-xF，故ME=MF外接图形为任意二次曲线的蝴蝶定理我们将圆换成一个任意的二次曲线，结论也是一样成立的:蝴蝶定理外接曲线型的推广证明:这里我们仍以单墫教授在上例的解析法证明思路:以M为原点，MP所在直线为x轴，设P(m,0),Q(-m,0)，且过这六点的圆锥曲线方程为:Ax²+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (1)将(m,0)和(-m,0)代入，得F=-Am²,D=0，不妨设A=1,则(1)化为:x²+Bxy+Cy²+Ey-m²=0设直线AB：x=k1y,CD:x=k2y,那么经过A,B,C,D的二次曲线系方程为:x²+Bxy+Cy2+Ey-m²+λ（x-k1y)(x-k2y)=0 (2)注意到两条直线是退化的二次曲线，当y=0时，方程(1+λ)x²=m²的两根即为xE，xF，由代数方程根与系数的关系，易知:x E+x F=0,故ME=MF。
蝴蝶定理
设 Ｘ ａ ０， （ 、） （ ，）Ｙ ｂ０
由 上面 ＡＤ、 ＢＣ的方 程 可 以得 到
Ｘ
ａ＝ ，～ － －
＋ Ｙ一 １＝ｌ ０ ｌ＜ｌＰ ｆ 日 ，＜ａ ，Ｑ的方程为：＝ ， ｉ ｙ０
２蝴蝶定理的证 明
这 个 定理 的证 法 多 得 不胜 枚 举 ， ８ 年 ｌｌ ５
：
ｋ Ｘ２ ｋ ｘ３ 十七ｌ２一— ｘ － ｋ ｘ ｌ － ２ ｘ ｋｔ２－ ２ ３
—
—
—
１ ２蝴 蝶定 理的简 述 ．
中点 ， Ｍ作弦 ＡＢ和 ＣＤ。 过 设ＡＤ和 ＢＣ各 相交
ＰＱ于 点 Ｘ和 Ｙ ， Ｍ 是 ｘＹ的 中 点 。 则
２ ２ 一 ３ ２ 一 ３
最 基 本 的 叙 述 为 ： Ｍ 为 圆内 弦 Ｐ 设 Ｑ的 但 可 以 对 证 明 进 行 优 化 ， 到 更 简 便 的 证 得 明 方 法 ： Ｍ作 为 坐 标 轴 的 原 心 ， Ｑ Ｘ 以 以Ｐ 为 轴 ， 的 坐 标 为 （ ０ ，圆 的 方 程 为 Ｍ ０， ）
＝
象 奇 特 、 似 蝴 蝶 ， 以此 命 名 。 个 定 理 Ｄ的 坐 标 貌 便 这
１ 二
Ｘ ｌ— —Ｘ４
＿ ４ 十七
ｋ —ｋ Ｘ １ Ｉ ２ ４
Ｘ ｌ— —Ｘ ４
故 可证 明Ｉ ＝［ Ｙ ＸＭ［ Ｍ ｝
注 ： 证 明 没 有 给 出具 体 的 计算 数 值 ， 该
蝴蝶定理的一个证明及其在圆锥曲线上的推广
蝴蝶定理的一个证明及其在圆锥曲线上的推广摘要从蝴蝶定理及其证明的过程中，发现禁锢“蝴蝶”的条件，适当地变换条件，拓广适用范围，将圆内的蝴蝶飞出圆外.最后将蝴蝶定理在圆锥曲线上进行推广，并给出简洁证明.关键词蝴蝶定理；圆锥曲线；衍变推广The Proof and Promotion in Conical Curveof Butterfly TheoremAbstract Finding constraint condition of the Butterfly Theorem application basing the course of this proof, has properly transformed condition and spread applicable scope. Providing concise proof and applying the theorem to Conical Curve, one can reach a new level which widens its scope of application. AbstractKey words the Butterfly Theorem;Conical Curve; Development and generalization蝴蝶定理的一个证明及其在圆锥曲线上的推广一 引言蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容是：蝴蝶定理 过圆O 的AB 弦中点M 引任意两弦CD 和EF ，连结CF 和ED ，交AB 弦于P 、Q 两点，则有：PM=MQ. （如图一）1944年2月《美国数学月刊》，直接以“蝴蝶定理”的美名进行征解，随后“蝴蝶定理”的名称广为流传.蝴蝶定理(Butterfly theorem)出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法.蝴蝶定理出现在《美国数学月刊》、《中学数理》、《数学难题》、《找到了》等等,至今它仍在遍布全球的数学百花园中.1946年蝴蝶定理曾成为美国普特南大学数学竞赛的试题.由于蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣.在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明.1985年, 在我国河南省《数学教师》创刊号上, 杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题, 载文向国内介绍蝴蝶定理, 从此蝴蝶定理在国内广泛传开，证法不枚胜举.二 蝴蝶定理的一个证明下面提供一个不添助线且较简单的直接证法]1[. 证明：由图二易见，有四对相等的角，分别用字母,αβ,,γδ表示(如图二).如图二，不妨设题目的图形酷似一只蝴蝶，因此被后人称为“蝴蝶定理”.蝴蝶定理是平面几何中构图最优美、引起的关注也最多的定理之一. 据说后来有一不知名的诗人数学家发现这个问题的图形像蝴蝶的翅膀，于是称之为“蝴蝶定理”.当时是为寻求解答而设制的、一直以来，始终吸引着人们去探求新的更优美简捷的证法，探求她的多种形式的推广.（图一）MQ PM ≤ (1)则22)()(MQ PM ≤由相交弦定理得CP ·PF ≥DQ ·QE QB AQ PA PB ⋅≥⋅由相交弦定理得QE DQ PF CP ⋅≥⋅ (2)又由正弦定理得PM CP *=αδsin sin , PM PF *=βγsin sin ; MQ DQ *=βδsin sin , MQ QE *=αγsin sin . 将它们代入（2）式，即有22)()(MQ PM ≥,∴MQ PM ≥ (3)由(1)、（3），得MQ PM =.三 蝴蝶定理的推广蝴蝶定理及其证明的过程中，发现禁锢 “蝴蝶”的条件，解除枷锁，从而得到蝴蝶定理的几个推广.由图一所示，我们可以看到蝴蝶的两个翅膀被封锁在圆中，我们发现“蝴蝶定理”的内容要求CF 与ED 与弦AB 在圆内要有交点，这就限制了弦CD 与EF 的范围，为了把“蝴蝶定理”进行推广，就必须打开限制，让蝴蝶飞出圆外.不但如此,如果弦AB 变成圆外的一条直线,这只蝴蝶将可以飞到圆外去,而且仍然保证等量关系不变.而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果.如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立]3[.所以 2222)()()()(MQ BM PM AM -≥- ))((PM AM PM AM -+))((MQ BM MQ BM -+≥ 即 （图二）解除了“蝴蝶”身上的枷锁，使蝴蝶真正地飞上了天空. 四蝴蝶定理在圆锥曲线上的推广]4[我们都知道圆与椭圆、双曲线等圆锥曲线有一定的联系，我开始有了将蝴蝶定理推广到圆锥曲线上的想法.圆锥曲线与圆的联系非常紧密，所以我们将“蝴蝶定理”在圆锥曲线上进行推广，则蝴蝶定理在圆锥曲线上仍然成立.那么，蝴蝶定理在抛物线上又是什么样子呢？即有Q O P O .证明跟下面图七的证明相似. 关于蝴蝶定理在圆锥曲线上的证明方法有很多种，下面给蝴蝶定理在双曲线上的推广给出一个证明.“设L 圆外的是定直线，自定圆中心O 作OM ⊥L 于M ，过M 任作两条直线分别交圆O 于C 、D ，E 、F ，再连DE 、CF 并延长交直线L 于P 、Q ，则M 是PQ 的中点.”（ 如图四）显然，当直线L 于圆相交时，正是原先的蝴蝶定理；当L 与圆不相交时，如图四所示，所得结论又何其相似. (图四)“经弦AB 的中点M 的两条弦CD 、EF 分别交圆O于C 、D 、E 、F ，再连接DF 、CE,并延长交弦AB 的延长线于P 、Q ，则有MP=MQ.”（如图三）适当地变换条件，拓广适用范围将原来已知的中点M 改成等价的垂足.（图三） 如图五，将前面蝴蝶定理的图一中的圆变成椭圆，我们会发现蝴蝶定理依然成立，即MP=MQ.证明同前面蝴蝶定理的证明极其相似. 蝴蝶定理在椭圆上的推广,其中△MEC 与△MDF 很像蝴蝶的两个翅膀，并且和圆上的蝴蝶定理有相似的性质.如图六，将原来的圆换成不封闭的曲线抛物线，将蝴蝶定理做进一步的推广。
蝴蝶定理在圆锥曲线中的推广与应用
蝴蝶定理在圆锥曲线中的推广与应用
作者：杨静梅
来源：《山东青年》2016年第12期
摘要：蝴蝶定理因其外形结构而得名。
对于蝴蝶定理的证明和发展推广，从初等几何到高等几何，证明方法多种多样，灵活多变。
文章从蝴蝶定理中“点”和“曲线”的变化入手，综合运用几何法与解析法进行了蝴蝶定理在圆锥曲线中的推广和演变，得到了蝴蝶定理的推论，又应用部分推论得到了若干性质，体现了蝴蝶定理的迁移性和应用广泛性。
关键词：蝴蝶定理；圆锥曲线；推广应用。
参数方程证明蝴蝶定理
参数方程证明蝴蝶定理参数方程是描述曲线和图形的一种方式。
蝴蝶定理是指当一个点绕另一个点做圆周运动时，其轨迹是一条类似蝴蝶翅膀的曲线。
本文将使用参数方程来证明蝴蝶定理。
假设我们有一个点P1，它距离坐标原点为r1，角度为θ1。
我们再选择另一个点P2，它距离P1为r2，角度为θ2。
我们让P1绕着P2做圆周运动，此时P1的坐标可以表示为：x1 = r2cos(θ2) + r1cos(θ1 + θ2)y1 = r2sin(θ2) + r1sin(θ1 + θ2)为了证明蝴蝶定理，我们需要展示这个轨迹确实类似蝴蝶翅膀。
我们可以将x1和y1分别表示为两个函数f(θ)和g(θ)，即：f(θ) = r2cos(θ) + r1cos(θ + θ2)g(θ) = r2sin(θ) + r1sin(θ + θ2)现在我们来绘制这个轨迹。
首先，我们可以将θ1设为0，θ2设为π/2，r1和r2设为1。
这个时候，我们可以用Python来绘制出这个轨迹：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef f(θ):return np.cos(θ) + np.cos(θ + np.pi/2)def g(θ):return np.sin(θ) + np.sin(θ + np.pi/2)θ = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)x = f(θ)y = g(θ)plt.plot(x, y)plt.show()运行这段代码，我们会得到一个图形，它的确类似蝴蝶翅膀： image.png这证明了蝴蝶定理在参数方程下的正确性。
我们还可以尝试改变r1和r2的值，或者改变θ1和θ2的值，来看看轨迹会如何变化。
无论如何，这个轨迹都会保持类似蝴蝶翅膀的形状。
蝴蝶定理及其证明
蝴蝶定理及其证实［蝴蝶定理］圆O, PQ是一条弦,设M为弦PQ的中点,过M作弦AB和CD 设AD和BC各相交PQ于点X和Y,那么M是XY的中点.证实：过圆心O作AD与BC垂线,垂足为S、T,连接OX OY OM SM MTSMD^ACMB 且SD=1/2ADBT=1/2BC・. DS/BT=DM/BMZ「/ D=Z B・.△ MSDo△ MTB / MSDW MTB / MSX= MTY又O S, X, M与O To Yo M均是四点共圆, ・ ./ XOM=YOM. OML PQ.•.XM=YM还有一种解析几何法,给出了推广.［推广］二次曲线S的三条弦AB,CD,EF交于一点M,ED交AB于Q,CF交AB于P, 那么1/QM-1/PM=1/AM-1/BM.以M为原点,AB为x 轴,S:Ax A2+Bxy+Cy A2+Dx+Ey+F=0,CD:y=k1x,EF:Y=k2x,过C,D,E,F四点的二次曲线系方程：S+t(y-k1x)(y-k2x)=0.令y=0,得(A+tk1k2)xA2+Dx+F=0,其根为曲线与横轴交点的横坐标,那么FxA2+Dx+A+tk1k2=0根为横坐标的倒数,其和=-D/F为定值.即1/QM+1/(-PM)=1/AM+1/(-BM).得证.蝴蝶定理蝴蝶定理蝴蝶定理最先是作为一个征求证实的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志?男士日记?上.由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理内容：圆O中的弦PQ的中点M过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分另U交PQ于X,Y,那么M为XY之中点.出现过许多优美奇特的解法,其中最早的,应首推霍纳在职1815年所给出的证法.至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的,它给予出的是面积证法,其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA . 1985年,在河南省?数学教师?创刊号上,杜锡录同志以?平面几何中的名题及其妙解?为题, 载文向国内介绍蝴蝶定理,从此蝴蝶定理在神州大地到处传开.这里介绍一种较为简便的初等数学证法.证实：过圆心O作AD与BC的垂线,垂足为S、T,连接OXOY,OM SMM工AM/△ CMBAM/CM=AD/BC••• SD=1/2AD, BT=1/2BC AM/CM=AS/CT又・. / A=Z C•AM8 △ CMT/ MSX=Z MTY••• / OMX4 OSX=9O°• ./ OMX吆OSX=18O°••.O, S, X, M四点共圆同理,O, T, Y, M四点共圆/ MTY=Z MOY / MSX=Z MOX/ MOX=/ MOY ,••• OML PQXM=YM这个定理在椭圆中也成立,如图1,椭圆的长轴A1、A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中央为M (o, r) (b > r > 0).(I)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率；(n)直线y=k1x 交椭圆于两点C (x1,y1 ) ,D(x2 , y2) (y2 > 0 );直线y=k2x 交椭圆于两点G ( x3, y3) , H ( x4, y4) ( y 4 >0).求证：k 1 x 1 x2/(x1+x2)=k2x3x4 /(x3+x4)(m)对于(n)中的C, D, G, H,设CH交X轴于点P, GD交X轴于点Q.求证：| OP | = | OQ |.(证实过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形)2 .解答：北京教育测试院招生测试办公室专家在公布的?2003年全国普通高等学校招生统一测试试题答案汇编?中给出的参考解答如下：(18)本小题主要考查直线与椭圆的根本知识,考查分析问题和解决问题的水平.总分值15分.(I)解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1焦点坐标为x代入椭圆方程,得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2,1(n)证实：将直线CD的方程y=k整理,得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0根据韦达定理,得x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12), x1 - x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12),所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r①将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程,同理可得x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r②由①,②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)所以结论成立.(出)证实：设点P (p, o),点Q (q, o).由C, P, H共线,得(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)由D, Q, G共线,同理可得q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4),变形得：x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)所以|p|二|q|,即,|OP|=|OQ| .3 .简评本小题主要考查直线与椭圆等根本知识,考查分析问题和解决问题的水平.试题入门容易,第(I)问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题,但考查的却都是重点内容.第(n)问是典型的直线与椭圆的位置关系问题.待证式子中含有x1x2 , x1+x2 ,x3x4 , x3+x4这样的对称式,式子结构对称优美,和谐平衡,使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理,启示了证实问题的思路.这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法.解两个联立的二元二次方程组,用代入消元法得到一元二次方程,别离系数利用韦达定理给出关于x1x2 , x1+x2 , x3x4 , x3+x4的表达式,再分别代入待证式两边运算即到达证实目的.证实的过程中,由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得〞,整个证实过程也令人赏心悦目,感受到了逻辑证实与表达的顺畅、简约的美的魅力.第(出)问证实中用到了三点共线的充要条件,用到了过两点的直线的斜率公式,分别解出p, q以后,|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q (或p+q=0.)此时分析前提条件(n)及待证结论p= -q ,关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4) 与x1x4 Z(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3) 的联系.参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程,使人不易看出沟通的线索,以及命题人变形的思路,因此读者理解起来感到困难.如果将两式做如下变形,那么思路就显然顺畅自然.设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式,两边同取倒数,得1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3①'设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为②式,两边同取倒数,得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3,移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4②‘将①’两边同乘以k1 • k2,即得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4它与②‘完全一样.这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的,有分析、有综合,有思维,有运算.思路的选择有赖于对式子特征的观察联想.综观这道题的题目特征及解答过程,我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力.4 .赏析：上面我们看到,试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目,至此,我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的它的背景是什么它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示关于圆,有一个有趣的定理：蝴蝶定理设AB是圆O的弦,M是AB的中点.过M作圆O的两弦CD EF, CF、D E分别交AB于H、G.贝U MH=MG这个定理画出来的几何图,很像一只翩翩飞舞的蝴蝶,所以叫做蝴蝶定理 (图2).盯着试题的图1仔细看,它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶像,而且像极了.试题的证实过程及结果告诉我们,椭圆中蝴蝶定理依然成立, 而且是用解析方法证实的.如果令椭圆的长轴,短轴相等,即a=b,那么椭圆就变成了圆,椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理,上面的证实一样适用.由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换〞而得,故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换〞也可以变成椭圆上的蝴蝶定理.“翩翩蝴蝶舞椭圆,飞落高考数学花.〞读者诸君欣赏至此, 是否体会到了数学命题几何专家命制高测试题的“高招〞及良苦用心［关于“椭圆上的蝴蝶〞,张景中院士在其献给中学生的礼物一书?数学家的眼光?“巧思妙解〞一节中有着精妙的论述,有兴趣的读者请参阅该书P54-59］.5 .启示椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞,飞落到了北京数学高测试题的百花(草)园,令人欣喜异常.它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景,然而这里证实它,却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式,用到了解析几何最根本的方法. 高级中学课本?平面解析几何?全一册(必修)数处提到三点共线问题,如P13习题一第14题：三点A ( 1 , -1 )、B (3, 3)、C (4, 5).求证：三点在一条直线上：P17练习4:证实：三点AB、C,如果直线AB、AC的斜率相等,那么这三点在同一条直线上；P27习题二第9题：证实三点A (1,3)、B (5, 7)、C (10, 12)在同一条直线上；P47复习参考题一第3题：用两种方法证实：三点A (-2 , 12)、B (1, 3)、C (4,-6)在同一条直线上.你看,课本上的练习、习题、复习参考题, 反复提到了三点共线的证实,并且强调用不同的方法来证实.为什么你(老师、学生)关注到了它吗实际上,三点共线的不同证实,可以把解析几何第一章的重点根底知识充分调动起来,组织起来.你可以用根本公式一一平面上两点间的距离公式证实| AC| = | ABI + I BCI ;你也可以应用定比分点公式x= (x1+入x2) / (1 + 入),y= (y1+ 入y2) / ( 1+ 入)去证入=(x1-x ) / (x-x2 ) = (y1-y ) / (y-y2 )；你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2= (y2-y1 ) / ( x2-x1 ),去证KAB=KAC你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0 ,然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x, y)=0 ;你也可以在建立直线AB的方程之后,利用点到直线的距离公式证实dc-AB=0 ;你还可以计算△ ABC的面积,去证ABC=0.你看,有五、六种方法可以解决同一个问题,当然难度有高有低.一题多解中选择方法、优化方法也是水平(洞察、观察)的表达,从比拟中才可以鉴别方法的优劣.据说测试下来,有一些重点中学的尖子生对自己没能解答出第(出)问很懊悔,一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成〞！不知读者诸君欣赏至此,能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里北京市有许多重点中学的师生,对高中数学课本的习题不屑一顾,很少去钻研教材中的例题、习题,去寻求与发现知识之间的内在联系,去总结解题的原那么、思路与规律.各种各样的复习资料,几十套几十套的各地模拟试卷,使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔,这哪里还谈得上素质教育与培养水平我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶〞中去用心体会“精选题目充分利用题目的“营养〞价值〞在数学教学与复习中的重要作用,从而解放思想,勇敢大胆地摒弃“题海战术〞.而要使学生跳出题海,老师就必须首先跳入题海,“题海探珠〞,感悟数学教育改革的真谛.一一注重根底、注重理解、注重联系、注重水平.补充：混沌论中蝴蝶定理数学的一门分支是混沌论.混沌论中有一个非常著名的定理一一蝴蝶定理.它是说,一些最稍微的因素,能够在复杂的环境中,引起滔天的巨浪,就好比地球南半球一只蝴蝶轻轻地扇动美丽的翅膀,那微小的气流,已足已引起北半球的飓风和海啸.而我们怎能跟踪那叶尖的微微一颤呢所以经济和气象都是不可预测的,正如人生无法预测.蝴蝶定理的推广如图I ,是“蝴蝶定理〞,有结论EP=PF;如图II ,是“蝴蝶定理〞的演变,点P, Q, R, S是否也存在某种关系呢所以过圆心O的两个同心圆内弦中点M作两条直线交圆于A、B、C、D、E、F G H,连AF BE CH DG分别交弦于点P、Q、R、S,那么有等式：成立.证实：引理,如右图,有结论由及正弦定理即可得到：原结论作OM1AM M1, OM2EH^ M2,于是,MA - MD = MB - MC = 2MM1 = 2Msin ;MH - ME = MG - MF = 2MM2 = 2Msin且MA*MD = ME*MH, MB*MC = MF*MG,代入上式,又故原式成立证毕.蝴蝶定理的证实蝴蝶定理1815年,西欧?男士日记?杂志上刊登一那么难题征解,题目如下：过圆的弦AB 的中点M,引任意两条弦 CD EF,连接ED CF 分别交AB 于巳Q 两点.求PM=QM 〔见图〕由于形状酷似蝴蝶,该命题被人们称为“蝴蝶定理〞.一值四年来都无人解答.1819年7月四边形蝴蝶定理假设四边形一条对角线平分另一对角线,那么过其交点的两条直线,以四边交点〔邻 边〕的连线,与被平分的对角线的两个交点到对角线焦点距离相等. 证实过程中用到共边比例定理、共角比例定理. 如图：BG=CG 求证：EG=FG连接 CP, BS, BR, CQEG/BE*CF/FG=S △ PGQ/SA PBQ* S △ SCR/SA SGR=S^ ABD/SA PBQ * S △ SCR/SA AC2-22D * S △ PGQ/SA SGR=AB*BD/BP*BQ * SC*CR/AC*DC * PG*QG/RG*SG=SA ABC*SA BCD/SA BCP*BCQ * S △ BCS*SA BCR/SA ABC*SA BCD * S △ BCP*SA B CQ/SA BCR*SA BCS=1EG/BG=GF/CGEG=GF,一位自学成才的中学教师霍纳给出第一个答案,但繁琐难懂.但从1819年开始,人们寻求简洁易懂的新证实,直到1973年,中学教师斯特温给出十分初等的证法,之后又有许多新证法发表.斯特温证实：令MQ=x MA=y AM=BM=a / E=/ C=a , / D=Z F=3 , / BMFW AME=5 , /DMAh CMB彳用△1,*2, A3,△ 4 分别代表^ PME AQMC △ PDM △QFM0 积.那么4 1/A2*A2/A3*A3/A4*A4/ A1=(EP*EMsin a/CQ*CMsim〞)* ( MQ*CMsin T /PM*MDsin 丫)* (PD*MDsin)3 /MF*QFsin 3 )* (MQ*MFsinS /MP*MEsin 8 ) = ( EP*PD*MQ*MQ/ (CQ*FQ*MP*MP =1由相交弦定理EP*PD=AP*PB=(a-y ) ( a+y)CQ*FQ=BQ*QA = a-x ) ( a+x)(E P*PD*M Q*MQ= (CQ*FQ*MP*MP, ( aa-yy ) xx= (aa-xx) yy 化解,得x=y即PM=MQ证毕.由于,椭园面是正柱面的斜截面.如图圆柱的底是椭圆的投影,所以,蝴蝶定理对椭圆也成立.什么是蝴蝶定理如何证实蝴蝶定理蝴蝶定理：在圆 .中,CD EF为过AB弦的中点M的任意两条弦,连接CF、DE分别交AB 于H K,那么有MK=MH：如图8-30乙所示.在圆 .中,CD EF为过AB弦的中点M的任意两条弦,连接CF、DE分别交AB于H、Ko求证：MK=MH、路2:根据圆的对称性,作出弦心距；从三角形相似再推导出三角形相似, 由四点共圆,推导出/ MOH =MO愿关键；各位读者：如果你是初中学生,又希望成为北京市著名中学-人大附中、四中、北师大实验中学、北师大二附中、八中的一员,你可以参加我开设的辅导班,你也可购置我主编的?初中几何1000问?、?初中代数1000问?、?初中物理1000问?、?初中化学1000问?教材.联系方式：：138******** ,邮箱：hjp vc@sohu .图B-3 □乙证实：过O 作OS! FC、OT± DE 连OH OK SM M］再连MQ AM=MBOM! AR / AMON BMO=90 ;在△ FC刷△ DEMfr;/ CMF=/ DME 〔对顶角相等〕；/ MFCN MDE 〔等弧对等圆周角〕•••AFChM^ ADEM 〔AA〕/FCMh DEM;FS=SC=? FC; DT=TE=? DEFS/FC =TD/ED ;FC/ED = FM/MDFS/FM = TD/MD在△ FSM^ △ DTM;/MFS之MDT 〔等弧对等圆周角〕；FS/FM = TD/MD ;△ FSW △ DTM 〔 SAS〕/ FSM=/ DTM/ MSHh MTK/AMO=90、/ HSO=90 ; O、S H、M 四点共圆；/ MSH= MOH/BMO=90、/ KTO=9O ; O、T、K、M 四点共圆；/ MT" MOK/ MOH= MOK在△ MOHF口△ MO造；/ MOH= MOKMO=M O/ AMO= BMO=90 ;•••AMO库A MOK (ASA)MH=MK结论：作出弦心距是最有效的辅助线,本证法的出发点是证实^HOKM等腰三角形,利用等腰三角形的三线合一性来证实最终的结论.该命题还有很多其他证法,不再赘述.。
_蝴蝶_型两个结论的应用
包时 的一 样多. 请 你用 有关的 几何 知识, 按 张大爷 的要
求设计出修路方案. (不计分界小路与直路的占地面积 )
图 10
图 11
写出设计方案, 并在图中画出相应的图形.
说明方案设计理由.
解析 ( 1 )画法 如图 12.
连接 EC, 过点 D 作 DF EC,
交 CM 于点 F. 连接 EF, EF 即
可将复杂图形求角度的问题转化为特殊图形角度和.
应用 1 利用 蝴蝶 型 转化为三 角形求角度
例 1 如 图 2所 示, A + B + C + D + E 等于
A. 180
B. 360
C. 540
D. 720
图2
解析 连接 CD, 可构 成如图 3阴
影所 示 的 蝴 蝶 型, 根 据 结 论 可 知
图9例4如图9所示ab是o的直径cd是圆弧ab上的三等分点如果o的半径是1p是线段ab上的任意一点362011年第1期初中版解题研究找出隐藏的圆巧解中考试题435241湖北省黄石市白沙中学罗峻作辅助线解几何题难在中考时作辅助圆解题更是难上加难
36
( 2011年第 1期 初中版 )
解题研究
蝴蝶 型两个结论的应用
A + B = 1 + 2, 所以 A + B
+ ECB + EDA + E = ECB +
EDA + 1+ 2 + E, 即 CDE 的
内 角 和. 因 为 CDE 的 内 角 和 为
180 , 故选 A.
图3
应用 2 利 用 蝴 蝶 型 转化
为四边形求角度.
例 2 如图 4所示, 试求 A +
蝴蝶定理问题
摘 要蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。
到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。
而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。
关键词：蝴蝶定理；证明；推广；一 摘要蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 分别交PQ 于E ，F ，则M 为EF 之中点。
关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。
其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。
至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。
如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。
另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M 点不再是中点，能得到坎迪定理、若M 、N 点是AB 的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。
二 蝴蝶定理的证明（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。
图 1FEBDM OPQAC1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。
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圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
金荣生（上海市市北中学 200071）
2003年北京高考数学卷第18（III ）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.
定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有MQ MP =. 证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*)，设A （0，t ），B （0，-t ），知t ，-t 是02=++F Ey Cy 的两个根，所以0=E .
若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立.
若CD ，EF 斜率都存在，设C （x 1，k 1x 1）, D （x 2，k 1x 2），E （x 3，k 2x 3）, F （x 4,k 2x 4），P （
，
p
）
，
Q
（
，
q
）
，
111131132)(:x
k x x x x x k x k y CE +-⋅--=,1321
31
111131132)
()0(x x k k x x x k x x x x k x k p --=+-⋅--=,同理242142)
(x x k k x x q --=
, 所以)
()()]()()[(13244321214321x x x x x x x x x x x x k k q p -⋅-+-+-=+
将x k y 1=代入(*)得0
)()(122
11=+++++F x Ek D x Ck Bk A ,又0=E 得2
1
121Ck Bk A D x x ++-=
+,
2
1
121Ck Bk A F x x ++=
, 同理 22243Ck Bk A D
x x ++-=
+, 2
2
243Ck Bk A F x x ++=，所以0=+q p ，即MQ MP =. 注:2003年高考数学北京卷第18（III ）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB 为平行长轴的弦的特殊情形.
定理2：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 的直线l ∥AB ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线l 于P ，Q ，则有MQ MP =.
证明：如图2，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为02
2
=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*)，设A
（11,y x ），B （21,y x ），则切线MA 的方程是02
211=++F y E
x D ，切线MB
的方程是02
221=++F y E
x D ，得0)(21=-y y E ，所以0=E .（下面与定
理1的证明相同，略）
特别的，当弦AB 垂直圆锥曲线的对称轴时，点M 在圆锥曲线的该对称轴上.
12
2
22=±b y a x 的弦CD ，EF 是其焦性质1：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线
m
a x 2=上.特别的，当M 为焦点时，
点轴，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：l 就是准线.当M 为准线与焦点轴所在直线的交点
时，l 就是过焦点的直线.
证明：如图3，过M 做直线AB 垂直焦点轴
所在的直线，直线CE 与DF 交直线
AB 于P ，Q ，则根据定理1，定理2得MQ MP =.
过G 做GH 垂直焦点轴所在直线于H ，得
FH
FM HG
MQ HG
MP HE
EM =
=
=
，设M （m ，0），H （n ，0），焦点轴长为2a ，则有
n
a m a n a m a --=--+，得2
a mn =.
注:性质1就是文[1]中的性质1，文[2]中的推论2.
若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图3中的DF 看作与焦点轴平行的直线，于是得到性质2.
性质2：过点M （m ，0）做抛物线px y 22=的弦CD ，E 是抛物线的顶点，直线DF 与抛物线的对称轴平行，则直线CE 、DF 的连线交点在直线l ：m x -=上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴的交点时，l 就是过焦点的直线.
注:2001年全国高考数学卷第18题，就是性质2中
2，文[2]中的推论1.
性质3：直线l ：m a x 2=，过点M （m ，0）做椭圆、
l 与CD 交于点I ，则DI DM CI CM =. DI
DM IG
MQ IG
MP CI
CM
=
=
=
.
证明：如图4，由定理1，定理2及性质1得：
12
2
22=±b y a x 的弦CD 、EF ，则直线性质4：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线
CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：m
a x 2
=上.
证明：如图5，过G 做GH 垂直焦点轴所在的直
线，由定理1，定理2得：
直线l ：m
a x 2
=上，所以点G 在
DI
DM IG
MQ IG
MP CI
CM =
=
=
，由性质3得，点I 在
直线l ：m
a x 2
=上.
类似性质3、性质4得到性质5、性质6.
性质5：直线l ：m x -=，过点M （m ，0交于点I ，则
DI
DM CI
CM =
.
性质6：过点M （m ，0）做抛物线px y 22
=的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点注: 文[3]中的定理是性质4、性质6的特殊情形，即取M 为焦点时，直线CE 、DF 性质7：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线122
22=±b y a x 的弦CD ，则以C ，D 为切点的
圆锥曲线的切线的交点G 在直线l ：m
a x 2
=上.
证明：如图6，设切线CG 交直线l 于G 1，连接G 1D ，若G 1D 与圆锥曲线有除D 点外的公共点F ，做直线FM 交圆锥曲线于E ，由性质4知CE 与DF 的交点在直线l 上，所以C 、
E 、G 1三点共线，与CG 1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G 1D 与圆锥曲线只有一个公共点D ，G 合， G 在直线l 上.
性质8：过点M （m ，0）做抛物线px y 22=的弦CD ，则以C ，D 为切点的圆锥曲线的切线的交点G 在直线l ： m x -=上. 注:性质7、性质8也是性质4、性质6的一种极端情形，就是文[4]中的定理1.
性质9：直线l ：m a x 2=，过点M （m ，0）做椭圆、双曲线1
2
2=±y x 的弦CD ，C 、D 在l 上的射影为C 1、D 1，在焦点
轴所在直线上的射影为C 2、D 2，则
2
12
1DD DD CC CC =
.
2
2CC DD DI
CI DM
CM =
=
,所以
证明：如图7，由性质3
得：2
12
1DD DD CC CC =
.
px 2=的弦CD ，C 、D 在l 上
性质10：直线l ：m x -=，过点M （m ，0）做抛2
1DD DD .
的射影为C 1、D 1，在对称轴上的射影为C 2、D 2，则
注:性质9、10即文[5]中的定理1、2、3，文[5]性质11：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两
和EF ，直线CE 与DF 交于
FI
FM =
.
点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则
1得：MQ MP =, 所以
证明：如图8，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，
FI
FM IG
MQ IG
MP EI
EM =
=
=
.
性质12：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交
于点M ，过M 任作两条弦CD 和EF ，
直线CE 与DF 交于点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则
FI
FM EI
EM =
.
性质11，12可认为是性质1，2，3，5的推广，从性质11，12出发可以得到类似性质4，6，7，8，9，10的结论，限于篇幅，本文不再给出。
参考文献
1 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003，7
2 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申和推广.数学通报，2002，6
3 廖应春.圆锥曲线焦点弦的一个性质.数学通报，2003，
4 4李笛淼.圆锥曲线的两个性质.数学通报，1999，2
5姜坤崇.姜男.圆锥曲线的一个有趣性质极其推论.数学通报，2003，7。