圆锥曲线的综合应用(课件)
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圆锥曲线课件1【PPT】共17页
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
圆锥曲线课件1【PPT】
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
Байду номын сангаас
谢谢你的阅读
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
圆锥曲线课件1【PPT】
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
Байду номын сангаас
谢谢你的阅读
圆锥曲线的综合课件
PPT学习交流
15
课堂互动讲练
【思路点拨】 由已知易得动点 Q的轨迹方程，然后找出P点与Q点的 坐标关系，代入即可．
【解】 法一：设 Q(x，y)，
则Q→A＝(－1－x，－y)， Q→B＝(1－x,4－y)，
→→
故 由QA·QB＝ 4⇒ (－ 1－ x)(1－ x) ＋(－y)(4－y)＝4，
PPT学习交流
D．9π
答案：B
PPT学习交流
8
三基能力强化
3．直线
y＝kx－k＋1
与椭圆x2＋y2 94
＝1 的位置关系为( )
A．相交 C．相离 答案：A
B．相切 D．不确定
PPT学习交流
9
三基能力强化
4．(2009 年高考上海卷)过点 A(1,0)
作倾斜角为π的直线，与抛物线 4
y2＝2x
交于 M、N 两点，则|MN|＝________.
PPT学习交流
4
基础知识梳理
(1)若a≠0，Δ＝b2－4ac，则 ①Δ>0，直线l与圆锥曲线有 两交点． ②Δ＝0，直线l与圆锥曲线有一 公共点． ③(2)Δ若<a0＝，0直，线当l与圆圆锥锥曲曲线线为无双曲公线共时点，．l与双 曲 与抛线物的线渐的近对线称平轴行；平当行圆．锥曲线为抛物线时，l
PPT学习交流
5
基础知识梳理
3．弦长公式
直线 l：y＝kx＋b，与圆锥曲线 C：F(x，y)＝0
交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ 1＋k2 |x1－ x2|＝ 1＋k2· (x1＋x2)2－4x1x2或 |AB|＝
1＋k12|y1－y2|＝
1＋k12 (y1＋y2)2－4y1y2.
专题50圆锥曲线的综合应用问题范围与最值问题ppt课件
第1轮 ·数学
第八章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
解 (1)设椭圆的半焦距长为c，
则由题设有ac＝ 36， a－c＝ 3－ 2，
解得a＝ 3，c＝ 2，∴b2＝1， 故椭圆C的方程为y32＋x2＝1．
第1轮 ·数学
第1轮 ·数学
第八章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
考向1：建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值
(2019·山东滨州检测)已知椭圆C：x2＋2y2＝4． (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长 度的最小值． 解 (1)由题意，椭圆C的标准方程为x42＋y22＝1， 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2． 因此a＝2，c＝ 2．
综上所述，O→E·O→F的取值范围是[－8,2].
第1轮 ·数学
第八章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
自主 完成
圆锥曲线中的最值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把不等式、 函数、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思 想、数形结合思想、分类讨论思想的考查.
第1轮 ·数学
第八章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
所以
O→E
·O→F
＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝
圆锥曲线 课件
利用线性代数知识求解圆锥曲线问题
线性方程组
线性方程组是线性代数中的基础内容， 它可以用来求解与圆锥曲线相关的问题 。例如，通过解线性方程组，可以找到 满足特定条件的点的坐标。
VS
特征值与特征向量
特征值和特征向量在解析几何中也有广泛 应用。通过计算圆锥曲线的特征值和特征 向量，可以深入了解曲线的性质，从而更 好地解决相关问题。
椭圆离心率的范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1。
圆锥曲线的光学性质
01
光线经过圆锥曲线上的点时，其 方向会发生改变，这种现象叫做 圆锥曲线的光学性质。
02
光线经过椭圆时，会沿着椭圆的 主轴方向折射；经过双曲线时， 会沿着双曲线的副轴方向折射。
圆锥曲线的对称性
圆锥曲线具有对称性，即如果将圆锥 曲线沿其对称轴旋转180度，它仍然 与原来的曲线重合。
02 圆锥曲线的性质
焦点与准线
焦点
圆锥曲线上的点到曲线的两个焦 点的距离之和等于常数，这个常 数等于椭圆的长轴长，等于双曲 线的实轴长。
准线
与圆锥的母线平行的线，在平面 内与准线相交的直线与圆锥相切 于一点，这个点叫做切点。
离心率
离心率：是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它等于圆锥顶点到曲线的距离与 圆锥的半径之比。离心率越大，圆锥曲线越扁平，反之则越接近于球形。
双曲线的极坐标 方程
$frac{rho^2}{a^2} frac{rho^2}{b^2} = 1$
圆锥曲线在极坐 标下的表…
将圆锥曲线问题转化为极 坐标形式，便于理解和求 解。
利用极坐标求解圆锥曲线问题
利用极坐标求解圆锥曲线问题的步骤
首先将问题转化为极坐标形式，然后利用极坐标的性质和公式进行求解。
圆锥曲线课件
标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)
1. 范围：双曲线在x轴上的范围是[±a, ±∞]，在y轴上 的范围是[0, b]。
3. 渐近线：双曲线有两条渐近线，斜率分别为y=±b/a 。
抛物线
定义：抛物线是指由平面内 与一个固定点F和一条直线l
的距离相等的点的轨迹。
极坐标系的基本概念
01
极坐标系是平面坐标系的一种形式，由极点、极轴和极径等构
成。
圆锥曲线在极坐标系中的表示
02
将圆锥曲线置于极坐标系中，探究其在极坐标系中的形式及其
性质。
极坐标与直角坐标的转换
03
掌握极坐标与直角坐标的转换公式，能够将极坐标方程转化为
直角坐标方程。
圆锥曲线在实际问题中的优化方案
实际问题的数学建模
折射定律
折射定律也是光学原理中的重要内容之一，它描述了 光线在不同介质之间传播时的偏转规律。在一些复杂 的光学系统中，如望远镜、显微镜等，需要对多个曲 面进行精确的设计和加工，而这些曲面常常是按照圆 锥曲线的形状进行设计和加工的。通过对这些曲面的 精确设计和加工，我们可以更好地控制光线的折射方 向和强度，从而制造出更好的光学器材和设备。
计算坐标
根据圆锥曲线的方程，计算出各个点的坐标 。
确定圆锥曲线的形状和大小
根据圆锥曲线的性质和特点，确定形状和大 小，选择合适的参数。
绘制图形
使用绘图软件或手绘，根据计算出的坐标绘 制圆锥曲线。
焦点半径法
01
02
03
确定焦点
根据圆锥曲线的类型和方 程，确定焦点位置。
计算半径
根据圆锥曲线的方程和焦 点的位置，计算出曲线的 半径。
圆锥曲线的综合应用(课件)
x2 y2 2 1 2 a a 9
x y90
P
由 x2
x y90
y 2 1 2 a a 9
2 2
2
F1
O F2
(★ )
2 2 4
得 (2a 9) x 18a x 90a a 0 2 令△ 0， 得 a 45 即 a 3 5 所以 (2a)min 6 5 此时将 a 3 5代入(★), 得 P ( 5, 4)
(2) 由(1)知 a 3 5
又c 3 故b6
F1
P
P
F1
O
F2
所以长轴最短时， x2 y2 椭圆方程为 1 45 36
fa2 ktlx
解析几何中的最值问题与高中数学的其他分科，诸如代 数、立体几何中的最值问题，无论是解题程序还是解题 方法都是一致的，其解题程序一般分五步骤: 一、明确所求最值的函数对象。 二、确定自变量，如自变量不止一个，需导出其间关系 突出确定自变量。 三、确定已知量，特别存在隐伏已知量时应将其表面化。 四、调动所学数学知识，根据已知、未知条件列 出函数解析式并化简。 五、根据所列解析式或变形后的解析式，由其特 征而选定恰当的求最值的方法进行求解。
注：F（c,0）
A F B
Smax
1 2b c bc 2
2、P是椭圆 上的点， F1，F2是焦点，设k=|PF1||PF · 2| ， 则k的最大值与最小值之差为 1
1 a 2, c 1, e , 2
x y 1 4 3
2
2
设 P( x0 , y0 )
P F1 F2
O P M
P 3 A
A,B,P同上求 x y ( x 3) ( y 3) 的最小值;
x y90
P
由 x2
x y90
y 2 1 2 a a 9
2 2
2
F1
O F2
(★ )
2 2 4
得 (2a 9) x 18a x 90a a 0 2 令△ 0， 得 a 45 即 a 3 5 所以 (2a)min 6 5 此时将 a 3 5代入(★), 得 P ( 5, 4)
(2) 由(1)知 a 3 5
又c 3 故b6
F1
P
P
F1
O
F2
所以长轴最短时， x2 y2 椭圆方程为 1 45 36
fa2 ktlx
解析几何中的最值问题与高中数学的其他分科，诸如代 数、立体几何中的最值问题，无论是解题程序还是解题 方法都是一致的，其解题程序一般分五步骤: 一、明确所求最值的函数对象。 二、确定自变量，如自变量不止一个，需导出其间关系 突出确定自变量。 三、确定已知量，特别存在隐伏已知量时应将其表面化。 四、调动所学数学知识，根据已知、未知条件列 出函数解析式并化简。 五、根据所列解析式或变形后的解析式，由其特 征而选定恰当的求最值的方法进行求解。
注：F（c,0）
A F B
Smax
1 2b c bc 2
2、P是椭圆 上的点， F1，F2是焦点，设k=|PF1||PF · 2| ， 则k的最大值与最小值之差为 1
1 a 2, c 1, e , 2
x y 1 4 3
2
2
设 P( x0 , y0 )
P F1 F2
O P M
P 3 A
A,B,P同上求 x y ( x 3) ( y 3) 的最小值;
圆锥曲线复习课课件
函数思想法
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代
圆锥曲线的综合问题(精选课件)
圆锥曲线的综合问题(§11。
6 文）（§12.6理）圆锥曲线的综合问题知识要点梳理解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合,综合了代数、三角、几何、向量等知识。
..圆锥曲线与方程是中学数学的重点和难点,它可以和中学数学中的其他章节知识进行交汇，充分体现了中学中的各种数学思想与数学技能。
无论是基础题还是难题都可以将分析问题与解决问题的能力淋漓尽致地反映出来。
因此，圆锥曲线的综合问题一直是高考的热点。
..纵观近几年高考试题，对于圆锥曲线与方程的考查主要有两大类问题:一是根据条件，求出曲线方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，（1）以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质;（2）求平面曲线的方程和轨迹;（3）圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；（4）涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的问题。
在复习圆锥曲线综合题时要注意以下几点：..（1）求指定的圆锥曲线的方程，一般涉及量较多，计算量大，要求较强的运算能力。
在计算中，首先要明确运算方向，还要注意运算的合理性、技巧性,使运算简捷。
.（2）.（3）注重对解析几何基本方法的考查，要求会建立适当的直角坐标系，把平面几何问题转化为代数问题。
（4）注意用圆锥曲线的定义解题,有关圆锥曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离、离心率的问题都可能用圆锥曲线的定义去解。
.（5）.（6）对称问题是高考的热点,注意关于原点、轴、轴、直线对称的两曲线方程的特点。
（7）解析几何与数列、极限、不等式、函数、向量综合在一起的问题，对解决数学综合问题的能力要求更高，要充分利用解析几何的特点，运用数形结合，用代数的方法解决几何问题。
.（8）.反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式,根据方程画出图形,研究几何性质。
学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的。
圆锥曲线的综合问题课件
圆锥曲线在生活中的应用和价值
展望未来研究方向
探索圆锥曲线在各个领域的应用前景
关注圆锥曲线研究的最新进展和趋势
深入研究圆锥曲线的性质和几何特征
探讨圆锥曲线与其他数学分支的联系与融合
汇报人：
感谢观看
立体与圆锥曲线的交点求解方法
典型例题的解析与讨论
立体与圆锥曲线的最值问题
定义：最值问题是指求解某个函数在一定范围内的最大值或最小值
解题方法：常用的解题方法有代数法、几何法、三角法等
注意事项：在解题过程中需要注意函数的定义域、取值范围等限制条件
分类：根据不同的分类标准，可以分为不同的类型
06
圆锥曲线在实际问题中的应用
椭圆
双曲线
抛物线
圆锥曲线的一般方程
03
圆锥曲线与直线的综合问题
直线与圆锥曲线的关系
直线与圆锥曲线的基本性质
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的交点求解
直线与圆锥曲线的综合应用
直线与圆锥曲线的交点问题
直线与圆锥曲线的基本性质
直线与圆锥曲线的交点求解方法
直线与圆锥曲线交点的应用
直线与圆锥曲线交点问题的注意事项
,a click to unlimited possibilities
圆锥曲线的综合问题课件
目录
01
添加目录标题
02
圆锥曲线的定义和性质
03
圆锥曲线与直线的综合问题
04
圆锥曲线与平面的综合问题
05
圆锥曲线与立体的综合问题06圆锥来自线在实际问题中的应用07
总结与展望
01
添加章节标题
02
圆锥曲线的定义和性质
直线与圆锥曲线的最值问题
高中数学(理)一轮复习课件：第9章 第56讲 圆锥曲线的综合应用
解析：抛物线y 2 8x的焦点为 2, 0 ，所以椭圆焦点 2 1 在x轴上且半焦距为2，所以 m 4，所以 m 2 2 2 x y 2 2 2 n 4 2 12，所以椭圆的方程为 2 2 1. 16 12
最值与范围
【例1】 在直线l：x－y＋9＝0上任取一点P，过点P x2 y 2 且以椭圆 ＋ ＝1的焦点为焦点作椭圆． 12 3 1 P点在何处时，所求椭圆的长轴最短？
1 若三角形F0 F1F2是边长为1的等边三角形，求 "果圆"
2 2 2 2 【解析】 1 因为 F c , 0 ， F (0 ， b c ) ， F (0 ，－ b c )， 1 0 2
所以 F0 F1 ＝ (b 2 c 2 ) c 2＝b＝1， F1 F2 ＝2 b 2 c 2＝1， 3 7 2 2 2 于是c ＝ ，a ＝b ＋c ＝ . 4 4 4 2 2 4 2 2 故所求“果圆”的方程为 x ＋y ＝1( x 0)，y ＋ x ＝1( x 0)． 7 3
x y 3.设椭圆C： 2 2 1 a b 0 相应于焦点 a b F 2,0 的准线方程为x 4，则椭圆C的方程 是
x2 y 2 2 1 2 8 4
2
2
.
c 2 2 2 a 8 a 解析:由题意得： ，所以 2 ， 4 b 4 c 2 2 2 a b c 2 2 x y 所以椭圆C的方程为 2 2 1 8 4
得点P的坐标．
【变式练习1】 x2 y 2 我们把由半椭圆 2 2 ＝1( x 0)与 a b y 2 x2 半椭圆 2 2 ＝1( x 0)合成的曲线 b c 称为"果圆"，其中a 2＝b 2＋c 2，a 0， b c 0.F0、F1、F2是相应椭圆的焦点，A1、A2 和B1、B2分别是“果圆”与x、y轴的交点． 的方程； b 2 若 A1 A2 B1B2 ，求 的取值范围； a
最值与范围
【例1】 在直线l：x－y＋9＝0上任取一点P，过点P x2 y 2 且以椭圆 ＋ ＝1的焦点为焦点作椭圆． 12 3 1 P点在何处时，所求椭圆的长轴最短？
1 若三角形F0 F1F2是边长为1的等边三角形，求 "果圆"
2 2 2 2 【解析】 1 因为 F c , 0 ， F (0 ， b c ) ， F (0 ，－ b c )， 1 0 2
所以 F0 F1 ＝ (b 2 c 2 ) c 2＝b＝1， F1 F2 ＝2 b 2 c 2＝1， 3 7 2 2 2 于是c ＝ ，a ＝b ＋c ＝ . 4 4 4 2 2 4 2 2 故所求“果圆”的方程为 x ＋y ＝1( x 0)，y ＋ x ＝1( x 0)． 7 3
x y 3.设椭圆C： 2 2 1 a b 0 相应于焦点 a b F 2,0 的准线方程为x 4，则椭圆C的方程 是
x2 y 2 2 1 2 8 4
2
2
.
c 2 2 2 a 8 a 解析:由题意得： ，所以 2 ， 4 b 4 c 2 2 2 a b c 2 2 x y 所以椭圆C的方程为 2 2 1 8 4
得点P的坐标．
【变式练习1】 x2 y 2 我们把由半椭圆 2 2 ＝1( x 0)与 a b y 2 x2 半椭圆 2 2 ＝1( x 0)合成的曲线 b c 称为"果圆"，其中a 2＝b 2＋c 2，a 0， b c 0.F0、F1、F2是相应椭圆的焦点，A1、A2 和B1、B2分别是“果圆”与x、y轴的交点． 的方程； b 2 若 A1 A2 B1B2 ，求 的取值范围； a
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(1) x 的y最小值;
(2) x 2 的y最2 小值;
(3) x2y2(x3)2(y3)2 的最小值;
求 x 的y最小值;
函数的思想 线段AB：y4x4(0x3)
4B 3P
3
3
OA
1
x y x4
3
线性规划
0x3
3xy4
令 axy
则 yxa
(xy)min3
求 x 2 的y 2最小值;
函数的思想 线段AB：y4x4(0x3)
12 3
的焦点为焦点作椭圆E.
(1)P在何处时，E的长轴最短？
(2)求长轴最短时的椭圆E方程.
(1)F 1(3,0),F 2(3,0)
作F1关于l的对称点F1(9, 6)
则 PF1 PF2
PF1 PF2
F
1
P
P
P, F1, F2三点共线时
F1
(P F 1P F 2)m inF 1 F 265
即 (2a)min 6 5
右准线 x 8,e 1
2
所以 MP 2MF
F
PM N
M
N
x8
MP MN
因此，当P,M,N三点共线时，
M P2M F有最小值为7.
4、已知椭圆x 2
y
2
内 有1 一点
16 12
P(1, 1)，
F为右焦点，在椭圆上求一点M，使
|MP|2|MF|的值最小，最小值为 ７
F P
M
bian
已知点A(3,0)、B(0,4)，动点 P(x ,y)在线段AB上.求:
3
4B P H 3
OA
x2y225(x48)2144 9 25 25
(x2
y2)min
144 25
数形结合
x 2 y 2 表示O、P距离的平方. 故最小值为OH2.
求 x2y2(x3 的)2 最(y小3 值)2;
数形结合 令M(3,3),O(0,0) 则 x2y2(x3)2(y3)2 表示P到O,M的距离之和.
距离的最值 角的最值 面积的最值
建立目标函数，运用函数 求最值的思想
列出目标量的不等式，解 出目标量的范围
根据问题的几何意义，运 用“数形结合的思想”求 解
1、F是椭圆的一个 Nhomakorabea x2 y2
a2 b2 1(ab0)
点，直线l经过原点与此椭圆交于A、
B两点，则△ABF面积最大值为 b c
注：F（c,0）
此时,由
xy90
y12 (x3)
得
P(5,
4)
xy90
O F2
( 1 ) P (5,4), (2a)m in65
( 2 ) 由(1)知 a 3 5
又c 3
F
1
P
P
故b 6
F1
所以长轴最短时，
椭圆方程为
x2
y2
1
45 36
xy90
O F2
fa2 ktlx
解析几何中的最值问题与高中数学的其他分科，诸如代 数、立体几何中的最值问题，无论是解题程序还是解题 方法都是一致的，其解题程序一般分五步骤: 一、明确所求最值的函数对象。 二、确定自变量，如自变量不止一个，需导出其间关系 突出确定自变量。 三、确定已知量，特别存在隐伏已知量时应将其表面化。
3、已知椭圆 x 2
16
y2 9
1
，
求 x + y 的最大值
哪里出现过求 x + y 的最值
令 axy
则 yxa
yxa
由 x2 y2
1 16 9
yxa
2 5 x 2 3 2 a x 1 6 (a 2 9 ) 0
令△ = 0，得 a 5
故 (xy)max 5
3、已知椭圆 x 2
16
y2 9
令△ 0，得a2 45 即a 3 5
所以 (2a)min 6 5
此时将 a 3 5代入(★), 得 P(5,4) ktxj
如果点(x,y)在圆 (x3)2上y24
移动，则 y 的最大值为
5
2x
5
ktxj
已知实数 x，y 满足 x 36y2 0
则 2 x 的y最大值为
6
ktxj
4
B P
M
P 3 OA
所以,当O,P,M三点共线时
原式有最小值为OM.3 2
A,B,P同上求 x2y2(x3)2(y3)2 的最小值;
作M关于AB的对称点M’ 则PO+PM=PO+PM’ 所以,当O,P,M’三点共线时
4
B P
M M’
3
OA
(P O P M )m inO M
在直线 l:xy90上任取一 点P，经过P点以椭圆C : x2 y2 1
1
，
求 x + y 的最大值 5
法二：参数法
令 则
x4ccooss2x , ysin23xsi n1
xy4cos3sin
5sin()
故 (xy)max 5
4、已知椭圆x 2
y
2
内 有1 一点
16 12
P(1, 1)，
F为右焦点，在椭圆上求一点M，使
|MP|2|MF|的值最小，最小值为
F P
M
a4,b2 3,c2
MF=2a-MF1
F
MP+MF
F1 P M
=MP-MF1+2a =-PF1+2a
Li 1
由题意知 c 3
所以可设椭圆方程为
x2 a2
y2 a2
9
1
由
xy90
x2
y2
(★)
a2 a2 9 1
xy90
P
F1 O F2
得 ( 2 a 2 9 )x 2 1 8 a 2 x 9 0 a 2 a 4 0
A
F B
1
Smax
•2b•cbc 2
2、P是椭圆
x2 4
y2 3
上 1的点，
F1，F2是焦点，设k=|PF1·||PF2|，
则k的最大值与最小值之差为 1
a
2,c
1,e
1, 2
设
P(
x0
,
y0
)
则
1
1
k (2 2 x0 ) • (2 2 x0 )
4
1 4
x02 , (2
x0
2)
F1
P F2
k m a x 4 , k m i n 3 , k m a x k m i n 1
四、调动所学数学知识，根据已知、未知条件列 出函数解析式并化简。 五、根据所列解析式或变形后的解析式，由其特 征而选定恰当的求最值的方法进行求解。
4、已知椭圆x 2
y
2
内 有1 一点
16 12
P(1, 1)，
F为右焦点，在椭圆上求一点M，使
|MP||2||M M F F||的值最小，最小值为 ７
(2) x 2 的y最2 小值;
(3) x2y2(x3)2(y3)2 的最小值;
求 x 的y最小值;
函数的思想 线段AB：y4x4(0x3)
4B 3P
3
3
OA
1
x y x4
3
线性规划
0x3
3xy4
令 axy
则 yxa
(xy)min3
求 x 2 的y 2最小值;
函数的思想 线段AB：y4x4(0x3)
12 3
的焦点为焦点作椭圆E.
(1)P在何处时，E的长轴最短？
(2)求长轴最短时的椭圆E方程.
(1)F 1(3,0),F 2(3,0)
作F1关于l的对称点F1(9, 6)
则 PF1 PF2
PF1 PF2
F
1
P
P
P, F1, F2三点共线时
F1
(P F 1P F 2)m inF 1 F 265
即 (2a)min 6 5
右准线 x 8,e 1
2
所以 MP 2MF
F
PM N
M
N
x8
MP MN
因此，当P,M,N三点共线时，
M P2M F有最小值为7.
4、已知椭圆x 2
y
2
内 有1 一点
16 12
P(1, 1)，
F为右焦点，在椭圆上求一点M，使
|MP|2|MF|的值最小，最小值为 ７
F P
M
bian
已知点A(3,0)、B(0,4)，动点 P(x ,y)在线段AB上.求:
3
4B P H 3
OA
x2y225(x48)2144 9 25 25
(x2
y2)min
144 25
数形结合
x 2 y 2 表示O、P距离的平方. 故最小值为OH2.
求 x2y2(x3 的)2 最(y小3 值)2;
数形结合 令M(3,3),O(0,0) 则 x2y2(x3)2(y3)2 表示P到O,M的距离之和.
距离的最值 角的最值 面积的最值
建立目标函数，运用函数 求最值的思想
列出目标量的不等式，解 出目标量的范围
根据问题的几何意义，运 用“数形结合的思想”求 解
1、F是椭圆的一个 Nhomakorabea x2 y2
a2 b2 1(ab0)
点，直线l经过原点与此椭圆交于A、
B两点，则△ABF面积最大值为 b c
注：F（c,0）
此时,由
xy90
y12 (x3)
得
P(5,
4)
xy90
O F2
( 1 ) P (5,4), (2a)m in65
( 2 ) 由(1)知 a 3 5
又c 3
F
1
P
P
故b 6
F1
所以长轴最短时，
椭圆方程为
x2
y2
1
45 36
xy90
O F2
fa2 ktlx
解析几何中的最值问题与高中数学的其他分科，诸如代 数、立体几何中的最值问题，无论是解题程序还是解题 方法都是一致的，其解题程序一般分五步骤: 一、明确所求最值的函数对象。 二、确定自变量，如自变量不止一个，需导出其间关系 突出确定自变量。 三、确定已知量，特别存在隐伏已知量时应将其表面化。
3、已知椭圆 x 2
16
y2 9
1
，
求 x + y 的最大值
哪里出现过求 x + y 的最值
令 axy
则 yxa
yxa
由 x2 y2
1 16 9
yxa
2 5 x 2 3 2 a x 1 6 (a 2 9 ) 0
令△ = 0，得 a 5
故 (xy)max 5
3、已知椭圆 x 2
16
y2 9
令△ 0，得a2 45 即a 3 5
所以 (2a)min 6 5
此时将 a 3 5代入(★), 得 P(5,4) ktxj
如果点(x,y)在圆 (x3)2上y24
移动，则 y 的最大值为
5
2x
5
ktxj
已知实数 x，y 满足 x 36y2 0
则 2 x 的y最大值为
6
ktxj
4
B P
M
P 3 OA
所以,当O,P,M三点共线时
原式有最小值为OM.3 2
A,B,P同上求 x2y2(x3)2(y3)2 的最小值;
作M关于AB的对称点M’ 则PO+PM=PO+PM’ 所以,当O,P,M’三点共线时
4
B P
M M’
3
OA
(P O P M )m inO M
在直线 l:xy90上任取一 点P，经过P点以椭圆C : x2 y2 1
1
，
求 x + y 的最大值 5
法二：参数法
令 则
x4ccooss2x , ysin23xsi n1
xy4cos3sin
5sin()
故 (xy)max 5
4、已知椭圆x 2
y
2
内 有1 一点
16 12
P(1, 1)，
F为右焦点，在椭圆上求一点M，使
|MP|2|MF|的值最小，最小值为
F P
M
a4,b2 3,c2
MF=2a-MF1
F
MP+MF
F1 P M
=MP-MF1+2a =-PF1+2a
Li 1
由题意知 c 3
所以可设椭圆方程为
x2 a2
y2 a2
9
1
由
xy90
x2
y2
(★)
a2 a2 9 1
xy90
P
F1 O F2
得 ( 2 a 2 9 )x 2 1 8 a 2 x 9 0 a 2 a 4 0
A
F B
1
Smax
•2b•cbc 2
2、P是椭圆
x2 4
y2 3
上 1的点，
F1，F2是焦点，设k=|PF1·||PF2|，
则k的最大值与最小值之差为 1
a
2,c
1,e
1, 2
设
P(
x0
,
y0
)
则
1
1
k (2 2 x0 ) • (2 2 x0 )
4
1 4
x02 , (2
x0
2)
F1
P F2
k m a x 4 , k m i n 3 , k m a x k m i n 1
四、调动所学数学知识，根据已知、未知条件列 出函数解析式并化简。 五、根据所列解析式或变形后的解析式，由其特 征而选定恰当的求最值的方法进行求解。
4、已知椭圆x 2
y
2
内 有1 一点
16 12
P(1, 1)，
F为右焦点，在椭圆上求一点M，使
|MP||2||M M F F||的值最小，最小值为 ７