圆锥曲线的综合应用
直线与圆锥曲线的位置关系综合应用(附详细答案)【打印讲义】
二轮专题——直线与圆锥曲线的位置关系综合应用【目标】掌握直线与圆锥曲线的位置关系，并会综合应用知识处理相关问题。
【重点】直线与圆锥曲线中的最值、值域、参数范围问题，定点、定值以及探究性问题。
【难点】圆锥曲线与三角、函数与方程、不等式、数列、平面向量等知识的的综合应用. 【知识与方法】圆锥曲线中的定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题，解决此类问题需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的。
如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效。
2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。
3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值或值域. 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解. 【基础训练】1、若实数x 、y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是（ ）A 、5B 、10C 、9D 、5+25 2、若关于x 的方程)2(12-=-x k x有两个不等实根，则实数k 的取值范围是（ ）A 、)33,33(-B 、)3,3(-C 、⎥⎦⎤⎝⎛-0,33D 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--33,2121,33 3、已知P 、Q 分别在射线y=x(x>0)和y=-x(x>0)上，且△POQ 的面积为1，（0为原点），则线段PQ 中点M 的轨迹为（ ）A 、双曲线x 2-y 2=1 B 、双曲线x 2-y 2=1的右支 C 、半圆x 2+y 2=1(x<0) D 、一段圆弧x 2+y 2=1(x>22)4、一个等边三角形有两个顶点在抛物线y 2=20x 上，第三个顶点在原点，则这个三角形的面积为5、椭圆191622=+yx在第一象限上一动点P ，若A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则APBOS 四边形的最大值为题型一、最值及值域问题例1.【广东省梅州市2013届高三总复习质检】已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22221(0)y x a b ab+=>>的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 1：24x y =的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且15||3MF =。
圆锥曲线的综合应用一
点评：运用几何法要注意数形结合，运用曲线的定义和 几何性质及平面几何中的有关重要结论．本例中，要使长轴 最短，由椭圆的定义可知，即要使|MF1|＋|MF2|最短，再由 平面几何的知识知，M点为F1关于l的对称点F1′与F2的连线 和l的交点．
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【变式探究】
2．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，求AB的 中点到x轴的最短距离．
2 k2＋1.
所以△OPQ的面积S△OPQ＝12d·|PQ|＝4
4k2－3 4k2＋1 .
设 4k2－3＝t，则t>0，S△OPQ＝t2＋4t 4＝t＋4 4t .
因为t＋4t ≥4，当且仅当t＝2，即k＝± 27时等号成立，
且满足Δ>0.
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝
7 2
x－2或
y＝－ 27x－2.
y1)，Q(x2，y2)． 将y＝kx－2代入x42＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>43时，x1,2＝8k±42k2＋4k12－3.
从而|PQ|＝
k2＋1|x1－x2|＝4
k2＋1· 4k2－3
4k2＋1
.
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又点O到直线PQ的距离d＝
所以F1′F2的方程为x＋2y－3＝0. 所以xx＋ －2y＋y－93＝＝00，， 得交点M(－5,4)， 即过M(－5,4)的椭圆，长轴最短． 由|MF1|＋|MF2|＝2a，则2a＝6 5，所以a2＝45， 又c2＝9，所以b2＝36. 故所求椭圆的方程为4x52 ＋3y62 ＝1.
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解：(1)设椭圆C的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，则
圆锥曲线的综合应用及其求解策略
圆锥曲线的综合应用及其求解策略有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。
解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。
解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。
一、定点、定值问题：这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。
★【例题1】（2007年高考〃湖南文科〃19题〃13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A 、B 两点，又已知点C 的坐标是(10)，．（I ）证明CA 〃CB 为常数；（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程．◆解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可求得点A 、B的坐标分别为(2，(2，，此时则有(12)(11CA CB =⨯=-，．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，则有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-．∴ 综上所述，CA CB 为常数1-．（II ）设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由CM CA CB CO =++得：121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，．当AB 不与x 轴垂直时，12122222yy y y x x x -==---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A 、B 两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是224x y -=． ▲ 点拨：本题中“CA 〃CB 为常数”的证明，采用特殊位置“当AB 与x 轴垂直时”可轻易得出CA 〃CB = -1；接下来再从一般情况“当AB 不与x 轴垂直时”去加以论证，有了明确的目标，推理计算就要容易得多了！★【例题2】已知A,B 为椭圆22221x y a b +=(a>b>0)和双曲线22221x y a b-=的公共顶点,P,Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A,B 的动点,且有→AP+→BP=λ(→AQ+→BQ)(λ∈R,|λ|>1),设AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4,求证:k 1+k 2+k 3+k 4为一个定值.◆解、点A(-a,0)；B(a,0)；∵由→AP+→BP=λ(→AQ+→BQ),依据向量加法的平行四边形法则,则有O 、Q 、P 三点共线；设P(x 1,y 1)、Q （x 2，y 2）,则x 12a 2 - y 12b 2 =1,则x 12-a 2= a 2b 2〃y 12；∴ k 1+k 2 = y 1x 1+a + y 1x 1-a = 2x 1y 1x 12-a 2 = 2b 2a 2〃x 1y 1；同样有k 3+k 4= -2b 2a 2〃x 2y 2；由于x 1y 1 = x 2y 2，∴ 所求的定值为0。
专题50圆锥曲线的综合应用问题范围与最值问题ppt课件
第1轮 ·数学
第八章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
解 (1)设椭圆的半焦距长为c，
则由题设有ac＝ 36， a－c＝ 3－ 2，
解得a＝ 3，c＝ 2，∴b2＝1， 故椭圆C的方程为y32＋x2＝1．
第1轮 ·数学
第1轮 ·数学
第八章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
考向1：建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值
(2019·山东滨州检测)已知椭圆C：x2＋2y2＝4． (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长 度的最小值． 解 (1)由题意，椭圆C的标准方程为x42＋y22＝1， 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2． 因此a＝2，c＝ 2．
综上所述，O→E·O→F的取值范围是[－8,2].
第1轮 ·数学
第八章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
自主 完成
圆锥曲线中的最值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把不等式、 函数、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思 想、数形结合思想、分类讨论思想的考查.
第1轮 ·数学
第八章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
所以
O→E
·O→F
＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案2 圆锥曲线的综合应用
第二课时 圆锥曲线的综合应用考点一 最值范围问题|(2015·高考浙江卷)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．[解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2bmx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0，①设M 为AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2，代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22， 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.(1)最值问题的求解方法：①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值． ②建立不等式模型，利用基本不等式求最值． ③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值． (2)求参数范围的常用方法：①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． ②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围． ③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围． ④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．1.(2016·宁波模拟)如图，抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点在y 轴上，抛物线上的点(x 0,1)到焦点的距离为2.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过直线l ：y ＝x －2上的动点P (除(2,0))作抛物线C 的两条切线，切抛物线于A ，B 两点．①求证：直线AB 过定点Q ，并求出点Q 的坐标；②若直线OA ，OB 分别交直线l 于M ，N 两点，求△QMN 的面积S 的取值范围． 解：(1)由已知条件得1－⎝⎛⎭⎫－p 2＝1＋p2＝2， ∴p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y . (2)①证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y ′＝x2，A 处切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，又∵4y 1＝x 21，∴y ＝x 12x －x 214，a同理B 处切线方程为y ＝x 22x －x 224，bab 联立可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝x 1x 24，即P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 24.直线AB 的斜率显然存在，设直线AB ：y ＝kx ＋m ，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4m ＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，即P (2k ，－m )， ∵P 在直线l ：y ＝x －2上， ∴m ＝－2k ＋2，即AB 直线为y ＝k (x －2)＋2， ∴直线AB 过定点Q (2,2)． ②∵O 不会与A ，B 重合．定点Q (2,2)到直线l ：y ＝x －2的距离h ＝ 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，⇒x M ＝2x 1x 1－y 1＝84－x 1，同理得x N ＝2x 2x 2－y 2＝84－x 2.∴|MN |＝2|x M －x N |＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－x 1－14－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2(4－x 1)(4－x 2)＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 216－4(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪16k 2＋16m －4m －16k ＋16. ∵m ＝－2k ＋2，∴|MN |＝42·(k －1)2＋1|k －1|＝4 21＋1(k －1)2.∴S △QMN ＝12|MN |·h ＝41＋1(k －1)2∈(4，＋∞)． 考点二 定点最值问题|已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．[解] (1)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时， 设A ⎝⎛⎭⎫t 24，t ，B ⎝⎛⎭⎫t24，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0. 根据根与系数的关系得y A y B ＝4b k ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y Bx B＝－12， 即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32. 所以y A y B ＝4bk ＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．(1)解决定点问题的关键就是建立直线系或者曲线系方程，要注意选用合适的参数表达直线系或者曲线系方程，如果是双参数，要注意这两个参数之间的相互关系．(2)解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确，即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，其不受变化的量所影响的一个值就是要求的定值．解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m ⊥n ，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a ∶2b ＝2∶3，c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由已知F 1(－1,0)，当直线m 不垂直于坐标轴时， 可设直线m 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 由于Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 2 ＝12(1＋k 2)3＋4k 2.同理|CD |＝12(1＋k 2)3k 2＋4.所以1|AB |＋1|CD |＝3＋4k 212(1＋k 2)＋3k 2＋412(1＋k 2)＝7(1＋k 2)12(1＋k 2)＝712.当直线m 垂直于坐标轴时， 此时|AB |＝3，|CD |＝4； 或|AB |＝4，|CD |＝3，1|AB |＋1|CD |＝13＋14＝712. 综上，1|AB |＋1|CD |为定值712. 考点三 探索存在性与证明问题|(2015·高考北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线P A 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m1－n，即M ⎝⎛⎭⎫m 1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )．设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ .且点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．解决存在性问题注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．3．(2015·高考安徽卷)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . 解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是线段AC 的中点知， 点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b2， 可得NM →＝⎝⎛⎭⎫a 6，5b 6.又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .A 组 考点能力演练1.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2py 1＋y 3， 直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4，∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2. 2．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知|MN |＝8，且|PM |＝2|MF |.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A ，B ，求证：∠AFM ＝∠BFN ； (3)求三角形ABF 面积的最大值． 解：(1)∵|MN |＝8，∴a ＝4，又∵|PM |＝2|MF |得a 2c －a ＝2(a －c )，即2e 2－3e ＋1＝0⇒e ＝12或e ＝1(舍去)．∴c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12， ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.(2)当AB 的斜率为0时，显然∠AFM ＝∠BFN ＝0.满足题意． 当AB 的斜率不为0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 方程为x ＝my －8，代入椭圆方程整理得： (3m 2＋4)y 2－48my ＋144＝0，则Δ＝(48m )2－4×144(3m 2＋4)，y 1＋y 2＝48m 3m 2＋4，y 1·y 2＝1443m 2＋4. ∴k AF ＋k BF ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1－6＋y 2my 2－6＝2my 1y 2－6(y 1＋y 2)(my 1－6)(my 2－6)＝0，∴k AF ＋k BF ＝0，从而∠AFM ＝∠BFN . 综上可知：恒有∠AFM ＝∠BFN .(3)S△ABF ＝S△PBF －S△P AF＝12|PF |·|y 2－y 1|＝72m 2－43m 2＋4＝72m 2－43(m 2－4)＋16＝723m 2－4＋16m 2－4≤7223·16＝3 3. 当且仅当3m 2－4＝16m 2－4即m 2＝283(此时适合Δ>0的条件)取得等号．三角形ABF 面积的最大值是3 3.3．已知点A ，B ，C 是抛物线L ：y 2＝2px (p >0)上的不同的三点，O 为坐标原点，直线OA ∥BC ，且抛物线L 的准线方程为x ＝－1.(1)求抛物线L 的方程；(2)若三角形ABC 的重心在直线x ＝2上，求三角形ABC 的面积的取值范围．解：(1)抛物线L 的方程为y 2＝4x .(2)设直线OA ，BC 的方程分别为y ＝kx 和y ＝kx ＋b (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x联立消去y 得k 2x 2＝4x ， 解得点A 的坐标为A ⎝⎛⎭⎫4k 2，4k . 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0.Δ＝(2kb －4)2－4k 2b 2＝16－16kb >0，即kb <1. 又由韦达定理可得x 1＋x 2＝4－2kb k 2，∴三角形ABC 的重心的横坐标为4k 2＋4－2kb k 23＝8－2kb 3k 2＝2，化简得b ＝4－3k 2k ，代入kb <1可得k 2>1.又三角形ABC 的面积为 S ＝12×k 2＋1×16－16kbk 2×|b |1＋k 2＝|2b |1－kb k 2＝2|4－3k 2|k 2|k |×3k 2－3＝2⎪⎪⎪⎪4k 2－3 3－3k2. 令t ＝1k2，则S ＝23×(4t －3)2(1－t )，t ∈(0,1)．考虑函数f (t )＝(4t －3)2(1－t )，t ∈(0,1)， 则易得函数f (t )在⎝⎛⎭⎫0，34和⎝⎛⎭⎫1112，1上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫34，1112上单调递增，且f (0)＝9，f ⎝⎛⎭⎫34＝0，f ⎝⎛⎭⎫1112＝127， ∴△ABC 的面积的取值范围是(0,63)．B 组 高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b 2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k， 即k OM ·k ＝－12. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．2．(2015·高考山东卷)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .a ．求|OQ ||OP |的值；b ．求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由题意知3a 2＋14b 2＝1， 又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1. a ．设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ， 由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1， 又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. b ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2. 所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0<t≤1，因此S＝2(4－t)t＝2－t2＋4t，故S≤23，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时，S取得最大值23，由a知，△ABQ的面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为6 3.。
【高中数学】圆锥曲线的综合应用(附解析)
专题15 圆锥曲线的综合应用基础巩固一、选择题1．“35m -<<”是“方程22153x y m m -=-+表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p的一个焦点，则p =（）A ．2B ．4C ．8D ．163．过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于,A B 两点，若AB 4=，则这样的直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．0条4．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ，若曲线C 上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线C 的离心率等于（ ）A ．12或32 B ． 12或23 C ． 12 D ．235．已知双曲线2222x y a b-＝1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线与抛物线y 2＝8x 的准线分别交于M ，N 两点，A为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且△AMN 为正三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．221824x y -=B ．2211648x y -=C ．2212472x y -=D ．22164192x y -=二、填空题6．已知椭圆221x y m n +=与双曲线()221,,,x y m n p q R p q+-=∈有共同的焦点12,F F ，P 是椭圆和双曲线的一个交点，则12=PF PF ________．7．已知圆221x y +=与抛物线2y x h =+有公共点，则实数h 的取值范围是8．已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN BN += .三、解答题9．已知双曲线1C，且与椭圆2C ：22194x y+=有公共焦点，（1）求双曲线1C 的方程；（2）若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆2C 的焦距，求该抛物线方程. 10．已知C 过点(0,1)A ，圆心C 在抛物线22x y =上运动，若MN 为C 在x 轴上截得的弦，设1||=AM t ，2||=AN t .（1）当C 运动时，||MN 是否变化？证明你的结论.（2）求1212+t t t t 的最大值，并求出此时C 方程.知能提升一、选择题11．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF →→⋅=，则221211e e +的值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．412．抛物线28y x =的焦点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，()(),0A m n n >为抛物线上一点，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，若||8AF =，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D 二、填空题13．抛物线22y x =的一条弦被()4,2A平分，那么这条弦所在的直线方程是__________.14．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则22124e e +的最小值为__________．三、解答题15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且其离心率为12，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别相交于M ，N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在圆心在原点的定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.专题15 圆锥曲线的综合应用基础巩固一、选择题1．“35m -<<”是“方程22153x y m m -=-+表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】可以直接求出方程22153x y m m -=-+表示双曲线的充要条件，即为(5)(3)035m m m -+>⇔-<<，因此可知条件和结论之间的关系是充要条件，故选C.2．若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p的一个焦点，则p =（）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】D【解析】抛物线()220y px p =>的焦点是02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，双曲线2213-=x y p p的一个焦点是()，由条件得2p=解得16p =. 故选D.3．过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于,A B 两点，若AB 4=，则这样的直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．0条【答案】C【解析】由题可知：双曲线的方程为2212y x -=所以可知：1,a b c ==)F当过焦点F 直线斜率不存在时，AB 4=，有1条 当过焦点F 直线斜率存在时，双曲线的定点距离为224a =<，有2条 故选C4．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ，若曲线C 上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线C 的离心率等于（ ）A ．12或32 B ． 12或23 C ． 12 D ．23【答案】A【解析】设1||4PF m =，则依题有122||3,||2F F m PF m ==，当该圆锥曲线为椭圆时，椭圆的离心率1212||2312||||422F F c m e a PF PF m m ====++；当该圆锥曲线为双曲线时，双曲线的离心率为1212||2332||||422F F c m e a PF PF m m ====--；综上可知， 故选A.5．已知双曲线2222x y a b-＝1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线与抛物线y 2＝8x 的准线分别交于M ，N 两点，A为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且△AMN 为正三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．221824x y -=B ．2211648x y -=C ．2212472x y -=D ．22164192x y -=【答案】B【解析】由双曲线的离心率为2可得：2c e a ==，所以b a == 所以双曲线2222x y a b-＝1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为：b y x a =±=，又抛物线y 2＝8x 的准线方程为：2x =-，由2y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：2y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩(M -,(2,N -- A 为双曲线的右顶点，且△AMN为正三角形，则：2a +4a =所以b =所以双曲线的方程为2211648x y -=。
第八章 第六节 圆锥曲线的综合应用
同步检测训练一、选择题1．(2009·北京海淀4月)已知实数x ，y 满足x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则下列不等式中恒成立的是( )A ．|y |<b a xB ．y >－b2a |x |C ．|y |>－b a xD ．y <2ba|x |答案：D解析：实数x ，y 满足x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其图象为双曲线，当x >0时，y <bax ；当x <0时，y <－b a x ，则y <b a |x |，也有y <2ba|x |，故选D.2．(2008·湖南)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上横坐标为3a2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1,5)D ．(5，＋∞) 答案：B解析：由双曲线性质知e (3a 2－a 2c )>3a 2－(－a 2c)， 即32c －a >32a ＋a 2c， ∴3c 2－5ac －2a 2>0,3(c a 2－5·ca－2>0，∴c a >2或c a <－13(舍去)． 故选B.3．(2009·湖南十二校二模)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，在双曲线上存在点P ，满足|PF 1|＝5|PF 2|.则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.32C.53D ．2 答案：B解析：由题意知P 在右支上，|PF 1|＝5|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝52a ，|PF 2|＝12a ，在三角形PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，当P 在x 轴上时，|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，则|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，52a ＋12a ≥2c ，e ≤32，故选B.4．(2009·江西五校4月)如下图，直线MN 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的左右两支分别交于M 、N 两点，与双曲线C 的右准线相交于P 点，F 为右焦点，若|FM |＝2|FN |，又NP →＝λPM →(λ∈R )，则实数λ的取值为( )A ．12B ．1C ．2 D.13答案：A解析：设N 和M 的右准线的距离分别为d 1，d 2，由椭圆的第二定义得d 1d 2＝|NF ||MF |＝12，则实数λ的取值为12，故选A.5．(2009·山东实验中学3月)若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1、F 2分别是它们的左右焦点，设椭圆离心率为e 1，双曲线离心率为e 2，若PF 1→·PF 2→＝0，则1e 21＋1e 22＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：1e 21＋1e 22＝a 21c 2＋a 22c 2＝4a 214c 2＋4a 224c2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2＋(|PF 1|－|PF 2|)2|F 1F 2|2＝2，故选B.6．(2008·浙江)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两个焦点到一条准线的距离之比为3∶2，则双曲线的离心率是( )A ．3B ．5 C. 3 D. 5 答案：D解析：由已知得c ＋a 2c c －a 2c＝32，c 2＋a 2c 2－a 2＝325a 2＝c 2，e ＝c a ＝5，故选D.7．(2008·天津十二区县一模)设a >0为常数，动点M (x ，y )(y ≠0)分别与两定点F 1(－a,0)，F 2(a,0)的连线的斜率之积为定值λ，若点M 的轨迹是离心率为3的双曲线，则λ的值为( )A ．2B ．－2C ．3 D. 3 答案：A解析：轨迹方程为y x ＋a ·y x －a ＝λ，整理得x 2a 2－y 2λa 2＝1(λ>0)，c 2＝a 2(1＋λ),1＋λ＝c 2a2＝3，λ＝2，故选A.8．(2008·辽宁东北育才中学)已知实系数方程x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则ba的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，－12)C ．(－2，－12) D ．(－2，＋∞)答案：C二、填空题9．(2009·辽宁)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．答案：9解析：设右焦点为F 1，依题意，|PF |＝|PF 1|＋4，∴|PF |＋|PA |＝|PF 1|＋4＋|P A |＝|PF 1|＋|PA |＋4≥|AF 1|＋4＝5＋4＝9.10．(2008·北京崇文)在平面直角坐标系中，过点M (－2,0)的直线与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1、P 2两点，点P 是线段P 1P 2的中点．设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2＝________.答案：－12解析：设P (x 0，y 0)，则k 2＝y0x 0，又由经验公式得k 1＝－b 2x 0a 2y 0＝－x02y 0，则k 1k 2＝－12，故填－12.11．已知圆C 过双曲线x 29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为________________．答案：163解析：由题可知：圆C 的圆心横坐标为4.代入双曲线方程可得圆心坐标为(4，±437)易求它到双曲线中心的距离为163，故填163.三、解答题12．(2009·北京海淀4月)已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，短轴两个端点为A 、B ，且四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形．(1)求椭圆的方程；(2)若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连结CM ，交椭圆于点P .证明：OM →·OP →为定值；(3)在(2)的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)如下图，由题意得2b ＝2c ＝2 2. ∴b ＝c ＝2，a ＝2，∴所求的椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由(1)知，C (－2,0)，D (2,0)．由题意可设CM ：y ＝k (x ＋2)，P (x 1，y 1)． ∵MD ⊥CD ，∴M (2,4k )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k (x ＋2)整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0.(3)设Q (x 0,0)则x 0≠－2.若以MP 为直径的圆恒过DP 、MQ 的交点，则MQ ⊥DP ，∴MQ →·DP →＝0恒成立．由(2)可知QM →＝(2－x 0,4k )．DP →＝⎝⎛⎭⎫－8k21＋2k 2，4k 1＋2k 2. ∴QM →·DP →＝(2－x 0)·－8k 21＋2k 2＋4k ·4k 1＋2k 2＝0. 即8k 21＋2k 2x 0＝0恒成立． ∴x 0＝0.∴存在Q (0,0)使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点．13．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(Ⅰ)求k 的取值范围；(Ⅱ)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(Ⅰ)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得(12＋k 2)x 2＋22kx ＋1＝0.①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4(12k 2)＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22.即k 的取值范围为(－∞，－22)∪(22，＋∞)．(Ⅱ)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①，x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22③而A (2，0)，B (0,1)，AB →＝(－2，1)．所以OP →＋OQ →与AB →共线等价于 x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝22.由(Ⅰ)知k <－22或k >22，故没有符合题意的常数k .14．如下图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点C (0，c )任作一直线，与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线l ：y ＝－c 交于点P 、Q .(1)若OA →·OB →＝2，求c 的值；(2)若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线； (3)试问(2)的逆命题是否成立？说明理由． 解：(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋c ，将该方程代入y ＝x 2得 x 2－kx －c ＝0.令A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，则ab ＝－c .因为OA →·OB →＝ab ＋a 2b 2＝－c ＋c 2＝2， 解得c ＝2，或c ＝－1(舍去)． 故c ＝2.(2)由题意知Q (a ＋b2，－c )，直线AQ 的斜率为k AQ ＝a 2＋c a －a ＋b 2＝a 2－ab a －b 22a .又y ＝x 2的导数为y ′＝2x ，所以点A 处切线的斜率为2a . 因此，AQ 为该抛物线的切线． (3)(2)的逆命题成立．证明如下： 设Q (x 0，－c )．若AQ 为该抛物线的切线，则k AQ ＝2a .又直线AQ 的斜率为k AQ ＝a 2＋c a －x 0＝a 2－aba －x 0，所以a 2－ab a －x 0＝2a ，得2ax 0＝a 2＋ab ，因a ≠0，有x 0＝a ＋b 2.故点P 的横坐标为a ＋b2，即P 点是线段AB 的中点．15．(2008·广东)设b >0，椭圆方程为x 22b 2＋y2b2＝1，抛物线方程为x 2＝8(y －b )．如右图所示，过点F (0，b ＋2)作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G .已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点F 1.(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； (2)设A 、B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得△ABP 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)．分析：考查椭圆、抛物线、圆、直线、函数导数、直角三角形等知识和数学探究，考查数形结合、分类与整合、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算能力和创新意识．解：(1)解法一：设椭圆的右焦点F 1的坐标为(c,0)， 则c ＝2b 2－b 2＝b .由题设点F 的坐标为(0，b ＋2)，则点G 的坐标为(4，b ＋2)．于是抛物线x 2＝8(y －b )在点G 的切线l 的斜率k ＝x 4| x ＝4＝1，切线l 的方程为y ＝x ＋b －2.∵切线l 经过椭圆的右焦点F 1(b,0)， ∴由0＝b ＋b －2解得b ＝1.故满足条件的椭圆方程为x22＋y 2＝1，抛物线方程为x 2＝8(y －1)．解法二：设椭圆的右焦点F1的坐标为(c,0)，则c==b.由题设点F 的坐标为(0，b ＋2)，则点G 的坐标为(4，b ＋2)． 因为抛物线x 2＝8(y －b )在点G 的切线l 的斜率 k ＝x4| x ＝4＝1， 于是过点F 1和点G 的直线的斜率k ＝b ＋24－b＝1.所以b ＝1.故满足条件的椭圆方程为x22＋y 2＝1，抛物线方程为x 2＝8(y －1)．(2)抛物线上存在点P ，使得△ABP 为直角三角形，这样的点共有四个．(ⅰ)分别过A 、B 作x 轴的垂线，与抛物线分别交于两点P 1(－2，54)和P 2(2，54)，则△ABP 1和△ABP 2都是直角三角形．(ⅱ)以原点为中心，12|AB |＝2为半径作圆周，由于圆周半径2大于椭圆的半短轴长为1，且椭圆与抛物线仅交于一点，所以上述圆周必与抛物线相交于两点P 3和P 4.则△ABP 3和△ABP 4都是直角三角形．因为P 1A 与圆相切于点A ，而P 3在圆周上，所以P 3与P 1不重合，同理P 4与P 2不重合． 故P 1、P 2、P 3和P 4是两两互不相同的点．。
高二数学《圆锥曲线的综合应用》解析几何教案
高二数学《圆锥曲线的综合应用》解析几何教案一、引言在高中数学中，解析几何是一个重要的分支，而圆锥曲线是解析几何中的重要内容之一。
本教案旨在通过几个实例和应用问题，帮助学生深入理解圆锥曲线的概念、性质和应用，提升他们的解析几何解题能力。
二、教学目标1. 熟练掌握椭圆、双曲线和抛物线的定义和标准方程；2. 理解椭圆、双曲线和抛物线的性质和特点；3. 学会利用圆锥曲线解决实际问题。
三、教学内容与方法1. 椭圆的定义和性质根据椭圆的定义，并结合图形示例，引导学生理解椭圆的定义和性质。
通过绘制平面直角坐标系，演示如何确定椭圆的标准方程，并讨论椭圆的离心率与形状的关系。
2. 双曲线的定义和性质引导学生通过观察双曲线的图形，根据焦点和准线的位置关系，理解双曲线的定义和性质。
通过演示如何确定双曲线的标准方程，让学生掌握双曲线的判别条件和参数对图形的影响。
3. 抛物线的定义和性质以实例引导学生理解抛物线的定义和性质，关注其对称性和焦点的位置。
通过绘制平面直角坐标系，让学生学会确定抛物线的标准方程，重点掌握参数对抛物线形状的影响。
4. 圆锥曲线的应用问题通过一些实际问题，让学生运用所学知识解决与圆锥曲线相关的问题。
包括但不限于：抛物线的反射性质、椭圆/双曲线的焦点问题等。
引导学生运用所学知识分析问题，建立方程，并用图像或计算验证解的合理性。
四、教学过程1. 理论讲解与示例分析引入椭圆的定义和性质，通过示例分析演示如何确定椭圆的标准方程。
带领学生一起讨论离心率的影响，并解答学生提出的问题。
同样的方式，介绍双曲线和抛物线的定义和性质，并通过示例讲解标准方程的确定方法。
2. 练习与巩固让学生自主完成一些练习题，检验他们对所学内容的掌握情况。
可分组进行解题竞赛，激发学生的学习兴趣，提高解题速度和准确率。
3. 应用问题解析给学生提供一些实际问题，引导他们运用所学知识解决问题。
可以采用小组合作形式，让学生通过讨论、推理，找到解决问题的方法和策略。
直线与圆锥曲线的综合应用
直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。
解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换 （7）x,y ，k(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等1：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)23,1(，且离心率21=e 。
（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,81(G ，求k 的取值范围。
解：（Ⅰ）Q 离心率21=e ，2213144b a ∴=-=，即2243b a =（1）；又椭圆过点)23,1(，则221914a b +=，（1）式代入上式，解得24a =，23b =，椭圆方程为22143x y +=。
（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，弦MN 的中点A 00(,)x y由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：222(34)84120k x mkx m +++-=， Q 直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点，2222644(34)(412)0m k k m ∴∆=-+->，即2243m k <+ (1)由韦达定理得：21212228412,3434mk m x x x x k k -+=-=++， 则2000222443,343434mk mk mx y kx m m k k k =-=+=-+=+++，直线AG 的斜率为：22232434413234348AGmm k K mk mk k k +==-----+， 由直线AG 和直线MN 垂直可得：22413234m k mk k=----g ，即2348k m k +=-，代入（1）式，可得22234()438k k k +<+，即2120k >，则1010k k ><-。
25圆锥曲线的综合应用
的一条切线，则实数k的值等于 _____________
48
x2 y2 1 的一条准线恰好是圆 变式：若双曲线 16 48
( x a) 2 y 2 1 的一条切线，则实数 a 的值等于________
诊断练习
题3.抛物线 y 4x 上一点到直线
2
的距离最短,则该点的坐标是
2 2
x y 1 2 消去 y 2 ax by 1
得
(a b) x 2bx b 1 0
2
OA 问题3：结论“ OB”等价于什么？
得到
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1 x2 y1 y 2 0
问题4：点M为AB的中点，直线OM（O为原 2 点）的斜率为 怎么用？ 2
y1 y 2 2 x1 x 2 2
k x (2k 4) x k 1
2 2 2 2
范例导析
例2 若椭圆 ax 2 by 2 1 与直线x
y 1交于点A,B，
2 点M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为 2
又
OA
OB，求椭圆的方程。
分析： 问题1：椭圆的焦点能确定在何坐标轴上吗？ 问题2：条件“椭圆与直线相交”如何处理？
问题1：用什么形式设出此弦所在直线的方程？ 需注意什么？ 问题2：如何利用弦中点这个条件？
范例导析
例1 已知直线l过抛物线
y 4x
2
的焦点，与抛物线交与A,B两点，且线段 AB中点的横坐标为2，求线段AB的长。
分析：
（1）当斜率不存在时，不符合题意； （2）当斜率存在时，设L的斜率为k,
写出直线的方程，与抛物线方程联立，消去Y，得到：
y 4x 5 1 ( ,1) 2
例谈圆锥曲线知识在高考中的综合应用
“ 一列 一 解 ” 设 的程 序 化 运 算 的基 础 上 ， 现 解 析 体 几何 设 而不 求 的求 简意识 ；
（ ） 一 步 融合 圆 锥 曲线 与其 他 知 识 板 块 的 ２进 交叉 ， 用 向量几 何 与代 数 的 “ 重 身 份 ” 导 数 几 利 双 、 何 意义 的 “ 线 问题 ” 装 圆 锥 曲线 的 几 何 性 质 ， 切 包 体 现 向 量法 和导 数法 的应 用 ； （ ） 值 、 值 问题 依 然 为 高 考 的 热 点 之 一 ， ３最 定 将 函数 思 想 、 方程 思想 、 分类 讨 论思 想 、 数运 算 能 代 力 、 理论 证 能力 、 象概 括 能 力 等 贯 穿 于一 道试 推 抽
通 了形与数 的关 系 ， 过形 的代 数 化找到 韦 达定理 通 的结 构 ， 是解 决 此类 问题 的通 行 之路． 这 例 １ 如 图 １ 已 知 ｍ ＞１ 直 线 ￡ 一ｍ ， ， ： ｙ一
２ ２
掌 握 椭 圆与抛 物 线 的定 义 、 何 图形 、 准 方 几 标 程； 了解 双 曲线 的 定 义 ； 握 双 曲 线 的几 何 图形 和 掌
（ ） 出解 析几 何 知识 的横 向联 系 （ 如 直 线 １突 譬
与 圆锥 曲线 的位 置 关 系 ， 圆 、 物 线 与 圆 的相 互 椭 抛
结合 等 ） 提 高 运 用 函 数 和 方 程 的 思 想 ， 遵 循 ， 在
点 评 明 确 求 解 目标 ， 立 关 于 参 数 ｍ 的 方 建
Ｇ 为直径 的 圆 内 ， Ｈ 求实 数 ｍ 的取值 范 围． （ ０ ０年 浙 江省数 学高考理 科试 题 ） ２１ 考 点分 析 本 题 主 要考查 椭 圆 的几 何性 质 、 直 线 与椭 圆 、 与 圆 的 位置 关 系 等基 础 知 识硐 时 考 点 查解 析几 何 的基本 思 想方 法 和综合 解题 能 力． （ 解题 过 程 请 参 见 本 刊 ２ １ ００年 第 ８期 第 ２ ８
【高考精品复习】第九篇 解析几何 方法技巧2 圆锥曲线的综合应用
方法技巧2圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的最值问题【考情快递】最值问题是高考的热点，可能出选择题、填空题和解答题．方法1：定义转化法解题步骤①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．适用情况此法为求解最值问题的常用方法，多数题可以用.【例1】►已知点F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|P A|的最小值为________．解析如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4，即|PF|－4＝|PF′|.又|P A|＋|PF′|≥|AF′|＝5，将|PF|－4＝|PF′|代入，得|P A|＋|PF|－4≥5，即|P A|＋|PF|≥9，等号当且仅当A，P，F′三点共线，即P为图中的点P0时成立，故|PF|＋|P A|的最小值为9.故填9. 答案9方法2：切线法解题步骤①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．适用情况当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时用此法.【例2】►求椭圆x22＋y2＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．解设椭圆的切线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程，得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0. 由Δ＝(4b )2－4×3×(2b 2－2)＝0，得b ＝±3.当b ＝3时，直线y ＝x ＋3与y ＝x ＋23的距离d 1＝62，将b ＝3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0，解得x ＝－233，此时y ＝33，即椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，33到直线y ＝x ＋23的距离最小，最小值是62； 当b ＝－3时，直线y ＝x －3到直线y ＝x ＋23的距离d 2＝362，将b ＝－3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0， 解得x ＝233，此时y ＝－33，即椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫233，－33到直线y ＝x ＋23的距离最大，最大值是362. 方法3：参数法解题步骤① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值．适用情况可以用参数表示某个曲线并求得最值的问题.【例3】►在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的最大值为________． 解析 因为椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝sin φ，(φ为参数)． 故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)， 其中0≤φ＜2π.因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，所以，当φ＝π6时，S 取最大值2.故填2.答案 2方法4：基本不等式法解题步骤①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．适用情况最值问题中的多数问题可用此法.【例4】►设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆相交于E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值． 解 依题设得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)． 设E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2， 且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.① 根据点到直线的距离公式和①式， 得点E ，F 到AB 的距离分别为 h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)， h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2)，又|AB |＝22＋1＝5，所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12·5·4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2≤22，当2k ＝1，即k ＝12时，取等号． 所以四边形AEBF 面积的最大值为2 2. 二、圆锥曲线的范围问题【考情快递】 圆锥曲线中的范围问题是高考中的常见考点，一般出选择题、填空题．方法1：曲线几何性质法解题步骤 ①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．适用情况利用定义求解圆锥曲线的问题.【例1】►已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析 根据双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 2|＝r ， 则|PF 1|＝4r ，故3r ＝2a ，即r ＝2a 3，|PF 2|＝2a3. 根据双曲线的几何性质，|PF 2|≥c －a ，即2a3≥c －a ， 即c a ≤53，即e ≤53.又e ＞1，故双曲线的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.故填⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53方法2：判别式法解题步骤① 联立曲线方程，消元后求判别式；②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．适用情况当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零．此类问题可用判别式法求解.【例2】►(2011·浏阳一中月考)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数m ，使得向量OP→＋OQ →与AB →共线？如果存在，求m 值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知条件，知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程，得x 22＋(kx ＋2)2＝1， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.①由直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ， 得Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由方程①，知x 1＋x 2＝－42k 1＋2k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k 2.③由A (2，0)，B (0,1)，得AB→＝(－2，1)．所以OP →＋OQ →与AB →共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)， 将②③代入，解得k ＝22. 由(1)知k ＜－22或k ＞22， 故不存在符合题意的常数k . 三、圆锥曲线的定值、定点问题【考情快递】 此类问题也是高考的热点，圆锥曲线中的定值问题是指某些几何量不受运动变化的点的影响而有固定取值的一类问题，定点问题一般是指运动变化中的直线或曲线恒过平面内的某个或某几个定点而不受直线和曲线的变化影响的一类问题． 方法1：特殊到一般法解题步骤① 根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行证明．适用情况根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题.【例1】►已知双曲线C ：x 2－y 22＝1，过圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点作圆的切线l ，若l 交双曲线于A ，B 两点，证明：∠AOB 的大小为定值． 证明 当切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝±2. 当x ＝2时，代入双曲线方程，得y ＝±2， 即A (2，2)，B (2，－2)，此时∠AOB ＝90°， 同理，当x ＝－2时，∠AOB ＝90°.当切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋b ， 则|b |1＋k2＝2，即b 2＝2(1＋k 2)． 由直线方程和双曲线方程消掉y ， 得(2－k 2)x 2－2kbx －(b 2＋2)＝0， 由直线l 与双曲线交于A ，B 两点． 故2－k 2≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－(b 2＋2)2－k 2，y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2 ＝－k 2b 2－2k 22－k 2＋2k 2b 22－k 2＋2b 2－k 2b 22－k 2＝2b 2－2k 22－k 2，故x 1x 2＋y 1y 2＝－b 2－22－k 2＋2b 2－2k 22－k 2＝b 2－2(1＋k 2)2－k 2，由于b 2＝2(1＋k 2)，故x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA →·OB →＝0，∠AOB ＝90°. 综上可知，若l 交双曲线于A ，B 两点， 则∠AOB 的大小为定值90°. 方法2：引进参数法解题步骤① 引进参数表示变化量；②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点．适用情况定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值).【例2】►如图所示，曲线C 1：x 29＋y 28＝1，曲线C 2：y 2＝4x ，过曲线C 1的右焦点F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1，C 2依次交于B ，C ，D ，E 四点．若G 为CD 的中点、H 为BE 的中点，证明|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|为定值．证明 由题意，知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线y ＝k (x －1)，代入x 29＋y 28＝1，得8⎝ ⎛⎭⎪⎫y k ＋12＋9y 2－72＝0，即(8＋9k 2)y 2＋16ky －64k 2＝0，则y 1＋y 2＝－16k 8＋9k 2，y 1y 2＝－64k 28＋9k 2.同理，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， 则y 3＋y 4＝4k ，y 3y 4＝－4， 所以|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|＝|y 1－y 2||y 3－y 4|·12|y 3＋y 4|12|y 1＋y 2|＝(y 1－y 2)2(y 1＋y 2)2·(y 3＋y 4)2(y 3－y 4)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(y 1＋y 2)2·(y 3＋y 4)2(y 3＋y 4)2－4y 3y 4＝(－16k )2(8＋9k 2)2＋4×64k 28＋9k 2(－16k )2(8＋9k 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16＝3为定值．方法运用训练21．设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到x ＝－1直线的距离之和的最小值为( )． A. 2 B. 3 C. 5 D. 6解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)， 准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离； 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小；显然，连AF 交曲线于P 点．故最小值为22＋1，即为 5. 答案 C2．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆离心率e 的范围为( )． A.55＜e ＜35 B ．0＜e ＜25 C.25＜e ＜35D.35＜e ＜55解析 此题的本质是椭圆的两个顶点(a,0)与(0，b )一个在圆外、一个在圆内即： ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2b 2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b2＋cb ＜b 2＋c⇒⎩⎪⎨⎪⎧(a －c )2＞14(a 2－c 2)a 2－c 2＜2c⇒55＜e ＜35. 答案 A3．(2011·长郡中学1次月考)设F 是椭圆x 27＋y 26＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1,2,3，…)，使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为________．解析 若公差d ＞0，则|FP 1|最小，|FP 1|＝7－1； 数列中的最大项为7＋1，并设为第n 项， 则7＋1＝7－1＋(n －1)d ⇒n ＝2d ＋1≥21⇒d ≤110， 注意到d ＞0，得0＜d ≤110；若d ＜0，易得－110≤d ＜0. 那么，d 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－110，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，110.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－110，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，110 4．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一定点P (x 0，y 0)(y 0＞0)作两直线分别交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则y 1＋y 2y 0的值为________．解析 设直线P A 的斜率为k P A ，PB 的斜率为k PB ， 由y 21＝2px 1，y 20＝2px 0，得k P A＝y 1－y 0x 1－x 0＝2p y 1＋y 0， 同理k PB ＝2py 2＋y 0， 由于P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 因此2p y 1＋y 0＝－2p y 2＋y 0，即y 1＋y 2＝－2y 0(y 0＞0)，那么y 1＋y 2y 0＝－2.答案 －25．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，过F 点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，当△PFO 的面积最大时，求直线l 的方程． 解 求直线方程，由于F (－c,0)为已知，仅需求斜率k ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22，由于S △PFO ＝12|OF |·|y 0|＝c2|y 0|只需保证|y 0|最大即可，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋c )b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b2⇒(b 2＋a 2k 2)y 2－2b 2cky －b 4k 2＝0， |y 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2ck b 2＋a 2k 2＝b 2c b 2|k |＋a 2|k |≤bc 2a得：S △PFO ≤bc 24a ，此时b 2|k |＝a 2|k |⇒k ＝±ba ， 故直线方程为：y ＝±ba (x ＋c )．6．(长沙雅礼中学最新月考)已知⊙O ′过定点A (0，p )(p ＞0)，圆心O ′在抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上运动，MN 为圆O ′在轴上所截得的弦． (1)当O ′点运动时，|MN |是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时，试判断抛物线C 的准线与圆O ′的位置关系，并说明理由．解 (1)设O ′(x 0，y 0)，则x 20＝2py 0(y 0≥0)， 则⊙O ′的半径|O ′A |＝x 20＋(y 0－p )2， ⊙O ′的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋(y 0－p )2， 令y ＝0，并把x 20＝2py 0，代入得x 2－2x 0x ＋x 20－p 2＝0，解得x 1＝x 0－p ，x 2＝x 0＋p ，所以|MN |＝|x 1－x 2|＝2p ， 这说明|MN |是不变化，其为定值2p . (2)不妨设M (x 0－p,0)，N (x 0＋p,0)．由题2|OA |＝|OM |＋|ON |，得2p ＝|x 0－p |＋|x 0＋p |， 所以－p ≤x 0≤p .O ′到抛物线准线y ＝－p 2的距离d ＝y 0＋p 2＝x 20＋p22p ，⊙O ′的半径|O ′A |＝x 20＋(y 0－p )2＝x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22p －p 2＝12p x 40＋4p 4.因为r ＞d ⇔x 40＋4p 4＞()x 20＋p 22⇔x 20＜32p 2， 又x 20≤p 2＜32p 2(p ＞0)，所以r ＞d ， 即⊙O ′与抛物线的准线总相交．。
直线和圆锥曲线的综合应用教案
教学过程复习引入一、设计理念著名教育学家布鲁纳说过:“知识的获得是一个主动过程. 学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者.”《数学课程标准》又提出数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点. 本节课的设计正是以此为理念，在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力.二、教材分析<<直线与椭圆的位置关系>>解析几何中的重要内容之一,又是代数和几何衔接的枢纽,揭示了客观世界中相互依存又相互制约的关系.因而直线与圆锥曲线(椭圆)渗透了数形结合的思想。
在新课程数学教学有着不可代替的作用。
本节要求学生通过数形结合能够判断直线和椭圆的位置的关系：（代数和几何）①公共点的个数：联立方程组消元（消还是y）→一元方程②截得弦长、中点、垂直、向量等问题（用韦达定理或点叉法来解决）三、学情分析高二（8）班学生通过高二的学习和前面的复习，已初步掌握了圆锥曲线定义、方程、性质以及对直线和圆的位置关系，掌握了一定的分析问题和解决问题的能力。
本节课借助多媒体的强大功能，运用运动变化的观念，让学生在自主探究的过程中，直接观察、运动变化，在轻松的学习环境中激发潜能、体验成功，领会到数形结合解决问题的美妙。
二、知识讲解考点/易错点1圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的轨迹．当0<e<1时，它表示椭圆；当e>1时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线C上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)．平面解析几何研究的两个主要问题(1) 根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2) 通过曲线的方程研究曲线的性质．求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2) 写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3) 用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4) 化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5) 说明已化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.三、例题精析 【例题1】 最值问题【题干】 如图，椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1) 求椭圆C 的方程； (2) 求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程． 【解析】解：(1) 设椭圆左焦点为F(－c ，0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（2＋c ）2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB 的中点为M.当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m(m≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x2＋4y2＝12消去y ，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx ＋4m2－12＝0，① 则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝－8km3＋4k2，x1x2＝4m2－123＋4k2，所以线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫－4km 3＋4k2，3m 3＋4k2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k2＝－2km 3＋4k2，得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x2－3mx ＋m2－3＝0，则Δ＝3(12－m2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝m ，x1x2＝m2－33.所以AB ＝1＋k2²|x1－x2|＝396²12－m2，设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|8－2m|32＋22＝2|m －4|13.设△ABP 的面积为S ，则S ＝12AB ²d ＝36²（m －4）2＋12－m2.其中m ∈(－23，0)∪(0，23)．令u(m)＝(12－m2)(m －4)2，m ∈[－23，23]，u ′(m)＝－4(m －4)(m2－2m －6)＝【题干】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A 、B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1) 求证：A 、C 、T 三点共线；(2) 如果BF →＝3FC →，四边形APCB 的面积最大值为6＋23，求此时椭圆的方程和P 点坐标． 【解析】(1) 证明：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0) ①，则A(0，b)，B(0，－b)，T ⎝⎛⎭⎫a2c ，0.AT ：x a2c＋y b ＝1 ②，BF ：x c ＋y －b ＝1 ③，解得交点C(2a2c a2＋c2，b3a2＋c2)，代入①得⎝⎛⎭⎫2a2c a2＋c22a2＋⎝⎛⎭⎫b3a2＋c22b2＝4a2c2（a2－c2）2（a2＋c2）2＝1，满足①式，则C 点在椭圆上，即A 、C 、T 三点共线．(2) 解：过C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ， 则△OBF ∽△ECF.∵ BF →＝3FC →，CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝⎛⎭⎫4c 3，b 3，代入①得⎝⎛⎭⎫43c 2a2＋⎝⎛⎭⎫b 32b2＝1，∴ a2＝2c2，b2＝c2.设P(x0，y0)，则x0＋2y20＝2c2.此时C ⎝⎛⎭⎫4c 3，c 3，AC ＝235c ，S △ABC ＝12²2c ²4c 3＝43c2，直线AC 的方程为x ＋2y －2c ＝0，P 到直线AC 的距离为d ＝|x0＋2y0－2c|5＝x0＋2y0－2c5，S △APC ＝12d ²AC ＝12²x0＋2y0－2c 5²23 5c ＝x0＋2y0－2c 3²c.只须求x0＋2y0的最大值， (解法1)∵ (x0＋2y0)2＝x20＋4y20＋2·2x0y0≤x20＋4y20＋2(x20＋y20)＝3(x20＋2y20)＝6c2，∴ x0＋2y0≤6c.当且仅当x0＝y0＝63c 时，(x0＋2y0)max ＝6c.(解法2)令x0＋2y0＝t ，代入x20＋2y20＝2c2得(t －2y0)2＋2y20－2c2＝0，即6y20－4ty0＋t2－2c2＝0.Δ＝(－4t)2－24(t2－2c2)≥0，得t≤6c.当t ＝6c ，代入原方程解得x0＝y0＝63c. ∴ 四边形的面积最大值为6－23c2＋43c2＝6＋23c2＝6＋23，∴ c2＝1，a2＝2，b2＝1，此时椭圆方程为x22＋y2＝1.P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63.【例题2】定值问题【题干】如图，椭圆C0：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0，a 、b 为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t21，b<t1<a.点A1、A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A 、B 、C 、D 四点．(1) 求直线AA1与直线A2B 交点M 的轨迹方程； (2) 设动圆C2：x2＋y2＝t22与C0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b<t2<a ，t1≠t2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t21＋t22为定值． 【解析】(1) 解：设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a ，0)，A2(a ，0)，则直线A1A 的方程为y ＝y1x1＋a (x ＋a)，①直线A2B 的方程为y ＝－y1x1－a (x －a)．②由①②得y2＝－y21x21－a2(x2－a2)．③ 由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故x21a2＋y21b2＝1.从而y21＝b2⎝⎛⎭⎫1－x21a2，代入③得x2a2－y2b2＝1(x<－a ，y<0)． (2) 证明：设A ′(x2，y2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，故x21y21＝x22y22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b2x21⎝⎛⎭⎫1－x21a2＝b2x22⎝⎛⎭⎫1－x22a2.由t1≠t2，知x1≠x2，所以x21＋x22＝a2，从而y21＋y22＝b2，因此t21＋t22＝a2＋b2为定值．【题干】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(4m ，0)(m ＞0，m 为常数)，离心率等于0.8，过焦点F 、倾斜角为θ的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若θ＝90°，1MF ＋1NF ＝5 29，求实数m ；(3) 试问1MF ＋1NF 的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．【解析】解：(1) ∵ c ＝4m ，椭圆离心率e ＝c a ＝45，∴ a ＝5m.∴ b ＝3m.∴ 椭圆C 的标准方程为x225m2＋y29m2＝1.(2) 在椭圆方程x225m2＋y29m2＝1中，令x ＝4m ，解得y ＝±9m 5.∵ 当θ＝90°时，直线MN ⊥x 轴，此时FM ＝FN ＝9m 5，∴ 1MF ＋1NF ＝109m .∵ 1MF ＋1NF ＝5 29，∴ 109m ＝5 29，解得m ＝ 2.(3) 1MF ＋1NF 的值与θ的大小无关．证明如下：(证法1)设点M 、N 到右准线的距离分别为d1、d2.∵ MF d1＝45，NF d2＝45，∴ 1MF ＋1NF ＝54⎝⎛⎭⎫1d1＋1d2. 又由图可知，MFcos θ＋d1＝a2c －c ＝9m 4，∴ d1⎝⎛⎭⎫45cosθ＋1＝9m 4，即1d1＝49m ⎝⎛⎭⎫45cosθ＋1. 同理，1d2＝49m ⎣⎡⎦⎤45cos （π－θ）＋1＝49m (－45cos θ＋1)． ∴ 1d1＋1d2＝49m ⎝⎛⎭⎫45cosθ＋1＋49m (－45cos θ＋1)＝89m . ∴ 1MF ＋1NF ＝54²89m ＝109m .显然该值与θ的大小无关．(证法2)当直线MN 的斜率不存在时，由(2)知，1MF ＋1NF 的值与θ的大小无关．当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝k(x －4m)，代入椭圆方程x225m2＋y29m2＝1，得(25k2＋9)m2x2－200m3k2x ＋25m4(16k2－9)＝0.设点M(x1，y1)、N(x2，y2)，∵Δ＞0恒成立，∴ x1＋x2＝200mk225k2＋9，x1²x2＝25m2（16k2－9）25k2＋9.∵MF 25m 4－x1＝45，NF 25m 4－x2＝45，∴ MF ＝5m －45x1，NF ＝5m －45x2.∴1MF ＋1NF ＝15m －45x1＋15m －45x2＝10m －45（x1＋x2）1625x1x2－4m （x1＋x2）＋25m2＝90k2＋9081mk2＋81m ＝109m . 显然该值与θ的大小无关．【例题3】 定点问题【题干】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1) 若直线l 过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2) 设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．【解析】解：(1) 设直线l 的方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0.由垂径定理，得圆心C1到直线l 的距离d ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2 322＝1，结合点到直线距离公式，得|－3k －1－4k|k2＋1＝1，化简得24k2＋7k ＝0，解得k ＝0或k ＝－724.所求直线l 的方程为y ＝0或y ＝－724(x －4)，即y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2) 设点P 坐标为(m ，n)，直线l1、l2的方程分别为y －n ＝k(x －m)，y －n ＝－1k (x －m)，即kx －y ＋n －km ＝0，－1k x －y ＋n ＋1k m ＝0.因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等．故有|－3k －1＋n －km|k2＋1＝⎪⎪⎪⎪－4k－5＋n ＋1k m 1k2＋1，化简得(2－m －n)k ＝m －n －3或(m －n ＋8)k ＝m ＋n －5.因为关于k 的方程有无穷多解，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2－m －n ＝0，m －n －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＋8＝0，m ＋n －5＝0，解得点P 坐标为⎝⎛⎭⎫－32，132或⎝⎛⎭⎫52，－12. 【题干】已知椭圆x24＋y2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．(1) 当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2) 当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．【解析】解：(1) 直线AM 的斜率为1时，直线AM 为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x ＋12＝0，解之得x1＝－2，x2＝－65，∴ 点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－65，45. (2) 设直线AM 的斜率为k ，则AM 为y ＝k(x ＋2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x24＋y2＝1，化简得(1＋4k2)x2＋16k2x ＋16k2－4＝0.∵ 此方程有一根为－2，∴ xM ＝2－8k21＋4k2， 同理可得xN ＝2k2－8k2＋4. 由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. ∵ kMP ＝yM xM ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k21＋4k2＋22－8k21＋4k2＋65＝5k 4－4k2， 同理可计算得kPN ＝5k 4－4k2. ∴直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0.【例题4】 轨迹问题【题干】 如图，已知梯形ABCD 中|AB|＝2|CD|，点E 满足AE →＝λEC →，双曲线过C 、D 、E三点，且以A 、B 为焦点．当23≤λ≤34时，求双曲线离心率e 的取值范围．【解析】解：如题图，以直线AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y轴对称．根据已知，设A(－c ，0)，C ⎝⎛⎭⎫c 2，h ，E(x0，y0)，其中c ＝12|AB|为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由AE →＝λEC →，即(x0＋c ，y0)＝λ⎝⎛⎭⎫c 2－x0，h －y0，得x0＝（λ－2）c 2（1＋λ），y0＝λh 1＋λ.不妨设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，则离心率e ＝c a .由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和e ＝c a 代入双曲线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧e24－h2b2＝1，①e24⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－2λ＋12－⎝⎛⎭⎫λλ＋12h2b2＝1，② 由①式得h2b2＝e24－1， ③将③式代入②式，整理得 e24(4－4λ)＝1＋2λ，所以λ＝1－3e2＋2.由已知23≤λ≤34，所以23≤1－3e2＋2≤34，解之得 7≤e ≤10，所以双曲线的离心率的取值范围为[7，10]． 【题干】在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(－4，0)、B(4，0)，动点P 与A 、B 连线的斜率之积为－14.(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r.(ⅰ) 求圆M 的方程；(ⅱ) 当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，说明理由．【解析】解：(1) 设P(x ，y)，则直线PA 、PB 的斜率分别为k1＝y x ＋4、k2＝y x －4. 由题意知y x ＋4²y x －4＝－14，即x216＋y24＝1(x≠±4)． 所以动点P 的轨迹方程是x216＋y24＝1(x≠±4)．(2) (ⅰ)由题意C(0，－2)，A(－4，0)，所以线段AC 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3.设M(a ，2a ＋3)(a ＞0)，则圆M 的方程为(x －a)2＋(y －2a －3)2＝r2.圆心M 到y 轴的距离d ＝a ，由r2＝d2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 22，得a ＝r 2. 所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －r 22＋(y －r －3)2＝r2.(ⅱ)假设存在定直线l 与动圆M 均相切．当定直线的斜率不存在时，不合题意．设直线l ：y ＝kx ＋b ， 则⎪⎪⎪⎪k×r 2－r －3＋b 1＋k2＝r 对任意r ＞0恒成立． 由⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫k 2－1r ＋（b －3）＝r 1＋k2， 得⎝⎛⎭⎫k 2－12r2＋(k －2)(b －3)r ＋(b －3)2＝(1＋k2)r2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫k 2－12＝1＋k2，（k －2）（b －3）＝0，（b －3）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝3.所以存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与动圆M 均相切．四、课堂运用【基础】1.【题干】 (选修11P44习题4改编)以双曲线x24－y25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是__________．【答案】 y2＝12x【解析】 双曲线x24－y25＝1的中心为O(0，0)，该双曲线的右焦点为F(3，0)，则拋物线的顶点为(0，0)，焦点为(3，0)，所以p ＝6，所以拋物线方程是y2＝12x.2.【题干】 以双曲线－3x2＋y2＝12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是________．【答案】 x24＋y216＝1【解析】 双曲线方程可化为y212－x24＝1，焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．∴ 椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝4，c ＝23，此时b ＝2，∴ 椭圆方程为x24＋y216＝1.3.【题干】 若抛物线y2＝2px 的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p ＝________．【答案】 4椭圆x26＋y22＝1的右焦点(2，0)是抛物线y2＝2px 的焦点，所以p 2＝2，p ＝4.4.【题干】已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P 为双曲线右支上一点，则PA1→²PF2→的最小值为________．【答案】－2【解析】设点P(x ，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1，0)，F2(2，0)，由双曲线方程得y2＝3(x2－1).PA1→²PF2→＝(－1－x ，－y)·(2－x ，－y)＝(x ＋1)(x －2)＋y2＝x2＋y2－x －2＝x2＋3(x2－1)－x －2＝4x2－x －5＝4⎝⎛⎭⎫x －182－8116，其中x≥1.因此，当x ＝1时，PA1→²PF2→取得最小值－2.5. 【题干】已知椭圆C ：x22＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足x202＋y20≤1，则PF1＋PF2的取值范围为________．【题干】[2，22]【题干】当P 在原点处时，PF1＋PF2取得最小值2；当P 在椭圆上时，PF1＋PF2取得最大值22，故PF1＋PF2的取值范围为[2，22]．课程小结1. 圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．(1) 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；(2) 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．2. 求定值问题常见的方法有两种(1) 从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．3. 定点的探索与证明问题(1) 探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2) 从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．课后作业【基础】1. 已知抛物线y2＝2px(p≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为________．答案：⎝⎛⎭⎫0，23 解析：设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M(x1，y1)、N(x2，y2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b.将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x2＋(2b －2p)x ＋b2＝0，则x1＋x2＝2p －2b ，y1＋y2＝(x1＋x2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p)．因为点P 在直线x ＋y ＝1上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p)2－4b2＝4p2－8bp ＞0，将b ＝2p －1代入得4p2－8p(2p －1)＞0，即3p2－2p ＜0，解得0＜p ＜23.2. 已知抛物线y2＝2px(p≠0)及定点A(a ，b)，B(－a ，0)，ab ≠0，b2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM 、BM 与抛物线的另一个交点分别为M1、M2，当M 变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫a ，2pa b 解析：设M ⎝⎛⎭⎫y202p ，y0，M1⎝⎛⎭⎫y212p ，y1，M2⎝⎛⎭⎫y222p ，y2，由点A 、M 、M1共线可知y0－b y202p －a ＝y1－y0y212p －y202p ，得y1＝by0－2pay0－b，同理由点B 、M 、M2共线得y2＝2pay0. 设(x ，y)是直线M1M2上的点， 则y2－y1y222p －y212p ＝y2－y y222p －x ， 即y1y2＝y(y1＋y2)－2px ， 又y1＝by0－2pa y0－b，y2＝2pay0，则(2px －by)y20＋2pb·(a －x)y0＋2pa·(by －2pa)＝0. 当x ＝a ，y ＝2pab 时上式恒成立， 即定点为⎝⎛⎭⎫a ，2pa b . 3. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，焦点F 的坐标为(1，0)．(1) 求抛物线C 的标准方程；(2) 设M 、N 是抛物线C 的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为－4，直线MO 、NO 与抛物线的交点分别为点A 、B ，求证：动直线AB 恒过一个定点．解：(1) 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝1，p ＝2，所以抛物线方程为y2＝4x. (2) 抛物线C 的准线方程为x ＝－1，设M(－1，y1)，N(－1，y2)，其中y1y2＝－4，直线MO的方程：y ＝－y1x ，将y ＝－y1x 与y2＝4x 联立解得A 点坐标⎝⎛⎭⎫4y21，－4y1.同理可得B 点坐标⎝⎛⎭⎫4y22，－4y2，则直线AB 的方程为：y ＋4y1－4y2＋4y1＝x －4y214y22－4y21，整理得(y1＋y2)y －4x ＋4＝0，故直线AB 恒过定点(1，0)．【巩固】4. 已知椭圆E ：x2a2＋y2＝1(a ＞1)的上顶点为M(0，1)，两条过M 的动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB. (1) 当坐标原点到椭圆E 的准线距离最短时，求椭圆E 的方程； (2) 若Rt △MAB 面积的最大值为278，求a ；(3) 对于给定的实数a(a ＞1)，动直线AB 是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a 表示)；反之，说明理由．解：(1) 由题，a2＝c2＋1，d ＝a2c ＝c2＋1c ＝c ＋1c ≥2，当c ＝1时取等号，此时a2＝1＋1＝2，故椭圆E 的方程为x22＋y2＝1.(2) 不妨设直线MA 的斜率k>0，直线MA 方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，①x2a2＋y21＝1，②① 代入②整理得(a2k2＋1)x2＋2a2kx ＝0，解得xA ＝－2a2ka2k2＋1，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a2k a2k2＋1，1－a2k2a2k2＋1，由MA ⊥MB 知直线MB 的斜率为－1k ， 可得B(2a2k a2＋k2，k2－a2a2＋k2)，则MA ＝1＋k2²2a2ka2k2＋1，MB ＝1＋1k22a2k a2＋k2＝k2＋12a2a2＋k2.则S △MAB ＝12MA ²MB＝12(1＋k2)4a4k （a2k2＋1）（a2＋k2）＝⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2a4a2⎝⎛⎭⎫k2＋1k2＋（a4＋1） ＝⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2a4a2⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2＋（a4－2a2＋1）. 令k ＋1k ＝t(t≥2)，则S △MAB ＝2a4t a2t2＋（a2－1）2＝2a4a2t ＋（a2－1）2t≤2a42a （a2－1）＝a3a2－1.当t ＝a2－1a 时取“＝”，∵ t ＝a2－1a ≥2，得a>2＋1.而(S △MAB)max ＝a3a2－1＝278，故a ＝3或a ＝3±29716(舍)．综上a ＝3.(3) 由对称性，若存在定点，则必在y 轴上．当k ＝1时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a2a2＋1，1－a2a2＋1，直线AB 过定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a2a2＋1.下面证明A 、Q 、B 三点共线：∵ kAQ ＝1－a2k21＋a2k2－1－a21＋a2－2a2k1＋a2k2＝（1－a2k2）（1＋a2）－（1－a2）（1＋a2k2）－2a2k （1＋a2）＝k2－1k （1＋a2），kBQ ＝k2－a2a2＋k2－1－a21＋a22a2kk2＋a2＝（k2－a2）（1＋a2）－（1－a2）（a2＋k2）2a2k （1＋a2）＝k2－1k （1＋a2）.由kAQ ＝kBQ 知A 、Q 、B 三点共线，即直线AB 过定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a2a2＋1.5. 设A1、A2与B 分别是椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B 与圆C ：x2＋y2＝1相切． (1) 求证：1a2＋1b2＝1；(2) P 是椭圆E 上异于A1、A2的一点，若直线PA1、PA2的斜率之积为－13，求椭圆E 的方程；(3) 直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，且OM →²ON →＝0，试判断直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由．(1) 证明：已知椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)， A1、A2与B 分别为椭圆E 的左、右顶点与上顶点， 所以A1(－a ，0)，A2(a ，0)，B(0，b)， 直线A2B 的方程是x a ＋yb ＝1. 因为A2B 与圆C ：x2＋y2＝1相切， 所以11a2＋1b2＝1， 即1a2＋1b2＝1.(2) 解：设P(x0，y0)，则直线PA1、PA2的斜率之积为kPA1²kPA2＝y0x0＋a ²y0x0－a ＝y20x20－a2＝－13，x20a2＋3y20a2＝1，而x20a2＋y20b2＝1，所以b2＝13a2.结合1a2＋1b2＝1，得a2＝4，b2＝43.所以椭圆E 的方程为x24＋3y24＝1.(3) 解：设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．① 若直线l 的斜率存在，设直线l 为y ＝kx ＋m ，由y ＝kx ＋m 代入x2a2＋y2b2＝1，得x2a2＋（kx ＋m ）2b2＝1.化简得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx ＋a2m2－a2b2＝0(Δ>0)．∴ x1x2＝a2m2－a2b2b2＋a2k2，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝a2k2m2－a2b2k2b2＋a2k2＋km ⎝⎛⎭⎫－2a2km b2＋a2k2＋m2＝b2m2－a2b2k2b2＋a2k2.因为OM →²ON →＝0，所以x1x2＋y1y2＝0.代入得(a2＋b2)m2－a2b2(1＋k2)＝0.结合(1)的1a2＋1b2＝1，得m2＝1＋k2.圆心到直线l 的距离为d ＝|m|1＋k2＝1，所以直线l 与圆C 相切． ② 若直线l 的斜率不存在，设直线l 为x ＝n.代入x2a2＋y2b2＝1，得y ＝±b 1－n2a2.∴ |n|＝b·1－n2a2，∴ a2n2＝b2(a2－n2)．解得n ＝±1，所以直线l 与圆C 相切．6. 已知曲线C 上动点P(x ，y)到定点F1(3，0)与定直线l1∶x ＝433的距离之比为常数32. (1) 求曲线C 的轨迹方程；(2) 以曲线C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y2＝r2(r>0)，设圆T 与曲线C 交于点M 与点N ，求TM →²TN →的最小值，并求此时圆T 的方程． 解：(1) 过点P 作直线的垂线，垂足为D. |PF1||PM|＝32，（x －3）2＋y2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －433＝32， 所以该曲线的方程为x24＋y2＝1.(2) 点M 与点N 关于x 轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨设y1>0.由于点M 在椭圆C 上，所以y21＝1－x214.由已知T(－2，0)，则TM →＝(x1＋2，y1)，TN →＝(x1＋2，－y1)，∴ TM →²TN →＝(x1＋2，y1)·(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y21＝(x1＋2)2－⎝⎛⎭⎫1－x214＝54x21＋4x1＋3＝54²⎝⎛⎭⎫x1＋852－15.由于－2<x1<2，故当x1＝－85时，TM →²TN →取得最小值为－15.计算得，y1＝35，故M ⎝⎛⎭⎫－85，35.又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r2＝1325. 故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y2＝1325.【拔高】6. 已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e ＝63，一条准线方程为x ＝362(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设G 、H 为椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，且OG ⊥OH. ① 当直线OG 的倾斜角为60°时，求△GOH 的面积；② 是否存在以原点O 为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH 相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．解：( 1) 因为c a ＝63，a2c ＝362，a2＝b2＋c2, 解得a ＝3，b ＝3，所以椭圆方程为x29＋y23＝1. (2) ① 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x29＋y23＝1，解得⎩⎨⎧x2＝910，y2＝2710，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ，x29＋y23＝1， 得⎩⎨⎧x2＝92，y2＝32，所以OG ＝3105，OH ＝6，所以S △GOH ＝3155.② 假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R ，则OG·OH ＝R·GH ，因为OG2＋OH2＝GH2，故1OG2＋1OH2＝1R2，当OG 与OH 的斜率均存在时，不妨设直线OG 方程为y ＝kx,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x29＋y23＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x2G ＝91＋3k2，y2G ＝9k21＋3k2，所以OG2＝9＋9k21＋3k2，同理可得OH2＝9k2＋93＋k2，(将OG2中的k 换成－1k 可得)1OG2＋1OH2＝49＝1R2，R ＝32，当OG 与OH 的斜率有一个不存在时，可得1OG2＋1OH2＝49＝1R2， 故满足条件的定圆方程为：x2＋y2＝94.7. 已知椭圆C 的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l ⊥l1.又l 与l2交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B(如图)．(1) 当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程； (2) 当FA →＝λAP →，求λ的最大值． 解：(1) ∵双曲线的渐近线为y ＝±ba x ， 两渐近线夹角为60°，又ba <1， ∴∠POx ＝30°， 即b a ＝tan30°＝33.∴a ＝3b.又a2＋b2＝4，∴a2＝3，b2＝1. 故椭圆C 的方程为x23＋y2＝1.(2) 由已知l ：y ＝a b (x －c)，与y ＝b a x 解得P ⎝⎛⎭⎫a2c ，ab c .由FA →＝λAP →，得A⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ＋λ·a2c 1＋λ，λ²ab c 1＋λ. 将A 点坐标代入椭圆方程，得(c2＋λa 2)2＋λ2a4＝(1＋λ)2a2c2. ∴(e2＋λ)2＋λ2＝e2(1＋λ)2.∴λ2＝e4－e2e2－2＝－⎣⎡⎦⎤（2－e2）＋22－e2＋3≤3－2 2. ∴λ的最大值为2－1.8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，1)，P 是动点，且△POA 的三边所在直线的斜率满足kOP ＋kOA ＝kPA.(1) 求点P 的轨迹C 的方程；(2) 若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ →＝λOA →，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P ，使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA ＝2S △PAM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1) 设点P(x ，y)为所求轨迹上的任意一点，则由kOP ＋kOA ＝kPA 得y x ＋1－1＝y －1x ＋1，整理得轨迹C 的方程为y ＝x2(x≠0且x≠－1)．(2) 设P(x1，x21)，Q(x2，x22)，M(x0，y0)， 由PQ →＝λOA →可知直线PQ ∥OA ，则kPQ ＝kOA ， 故x22－x21x2－x1＝1－0－1－0，即x2＋x1＝－1， 由O 、M 、P 三点共线可知， OM →＝(x0，y0)与OP →＝(x1，x21)共线， ∴ x0x21－x1y0＝0，由(1)知x1≠0，故y0＝x0x1，同理，由AM →＝(x0＋1，y0－1)与AQ →＝(x2＋1，x22－1)共线可知(x0＋1)(x22－1)－(x2＋1)(y0－1)＝0，即(x2＋1)[(x0＋1)·(x2－1)－(y0－1)]＝0，由(1)知x2≠－1，故(x0＋1)(x2－1)－(y0－1)＝0，将y0＝x0x1，x2＝－1－x1代入上式得(x0＋1)(－2－x1)－(x0x1－1)＝0， 整理得－2x0(x1＋1)＝x1＋1，由x1≠－1得x0＝－12，由S △PQA ＝2S △PAM ，得到QA ＝2AM ， ∵ PQ ∥OA ， ∴ OP ＝2OM ， ∴ PO →＝2OM →， ∴ x1＝1，∴ P 的坐标为(1，1)．。
透视高中圆锥曲线的综合应用
点的坐标 。
分 析 ： Ａ 在 椭 圆 内部 ， 用 圆锥点 Ａ （，２代人抛物线 Ｃ：Ｚ２ ｘ ＞ ）解得 ｐ ２ １一 ） ｙ ｐ（ ０， ＝ ｐ ＝，
．所 求 抛 物 线 Ｃ的 方 程 为 ｙ＝ ｘ 准 线 方 程 为 Ｘ － 。 ’ ． Ｚ４ ， ＝ Ｉ
关键词 ： 圆锥 曲线 应 用
中图分类号 ：Ｇ ３ ． ６ ３６
文献标识码 ：Ｃ
文章编号 ：６ ２ １ ７ （０ ２０ — １ ０ ０ １ ７ — ５ ８ ２ １ ）３ ０ ３ — ２
． Ｚ２ — ＝ ６ 。 ＝５９ １， ．＿ ｂ
． ． ．
圆锥 曲线 是 平 面内 到 一 定 点 Ｆ和 到一 条 定 直 线 ｌ 点 Ｆ不 （ 定
第 ９卷 第 ３ 期 Ｖ １ ９ Ｎ ． ｏ． ｏ３
读
与
写
杂
志
２１ ０ ２年 ３月
Ｒｅ ｄ ａ ｄⅥ， ｔ ｅ ｉ ｄ ｃ ｌ ａ ｎ ｒ ｅ Ｐ ｒｏ ｉ ａ ｉ
Ｍａｃ ２ １ ｒｈ ０２
透视 高 中圆锥 曲线 的综 合应用
朱
（ 州 市城 东 中学 徐
兵
江苏 徐州 ２ １３ ） ２ １１
圆 轨 方 为ｘ＋ ：，迹 椭 。 心Ｃ 迹 程 ． 喜 １ 是 圆 ２ 轨
１ 该圆 线与 是 锥曲 焦点Ｆ 侧的 条 线。 果曲 ＿ 同 一 准 如 线Ｃ 点的 上
坐标（，） ｙ 都是方程 ｆ ，）０的解 ， （ ｙ： ｘ 并且以方程 ｆ ，）０的解（，） （ ｙ： ｘ ｙ
为坐标的点 都在 曲线 ｃ上 ， 那么 ， 方程 ｆ ，）ｏ 叫做 曲线 ｃ的 （ ｖ： ｘ 方程 ， 曲线 Ｃ叫做方程 ｆ ，１０ 的 曲线 。对 于圆锥 曲线方程组 （ ｖ： ｘ
圆锥曲线的综合应用及其求解策略prt
圆锥曲线的综合应用及其求解策略有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。
解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。
解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。
一、定点、定值问题：这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。
★【例题1】（2007年高考〃湖南文科〃19题〃13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A 、B 两点，又已知点C 的坐标是(10)，．（I ）证明CA 〃CB为常数；（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程．◆解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可求得点A 、B的坐标分别为(2，(2，，此时则有(11CA CB =⨯=-．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，则有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-． ∴ 综上所述，CA CB为常数1-． （II ）设()M x y ，，则(1)CM x y =- ，，11(1)CA x y =- ，，22(1)CB x y =- ，，(10)CO =-，，由CM CA CB CO =++ 得：121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，．当AB 不与x 轴垂直时，12122222yy y y x x x -==---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A 、B 两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是224x y -=． ▲ 点拨：本题中“CA 〃CB为常数”的证明，采用特殊位置“当AB 与x 轴垂直时”可轻易得出CA 〃CB= -1；接下来再从一般情况“当AB 不与x 轴垂直时”去加以论证，有了明确的目标，推理计算就要容易得多了！★【例题2】已知A,B 为椭圆22221x y a b +=(a>b>0)和双曲线22221x y a b-=的公共顶点,P,Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A,B 的动点,且有→AP+→BP=λ(→AQ+→BQ)(λ∈R,|λ|>1),设AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4,求证:k 1+k 2+k 3+k 4为一个定值.◆解、点A(-a,0)；B(a,0)；∵由→AP+→BP=λ(→AQ+→BQ),依据向量加法的平行四边形法则,则有O 、Q 、P 三点共线；设P(x 1,y 1)、Q （x 2，y 2）,则x 12a 2 - y 12b 2 =1,则x 12-a 2= a 2b 2〃y 12；∴ k 1+k 2 = y 1x 1+a + y 1x 1-a = 2x 1y 1x 12-a 2 = 2b 2a 2〃x 1y 1；同样有k 3+k 4= -2b 2a 2〃x 2y 2；由于x 1y 1 = x 2y 2，∴ 所求的定值为0。
高中数学(理)一轮复习课件：第9章 第56讲 圆锥曲线的综合应用
最值与范围
【例1】 在直线l：x－y＋9＝0上任取一点P，过点P x2 y 2 且以椭圆 ＋ ＝1的焦点为焦点作椭圆． 12 3 1 P点在何处时，所求椭圆的长轴最短？
1 若三角形F0 F1F2是边长为1的等边三角形，求 "果圆"
2 2 2 2 【解析】 1 因为 F c , 0 ， F (0 ， b c ) ， F (0 ，－ b c )， 1 0 2
所以 F0 F1 ＝ (b 2 c 2 ) c 2＝b＝1， F1 F2 ＝2 b 2 c 2＝1， 3 7 2 2 2 于是c ＝ ，a ＝b ＋c ＝ . 4 4 4 2 2 4 2 2 故所求“果圆”的方程为 x ＋y ＝1( x 0)，y ＋ x ＝1( x 0)． 7 3
x y 3.设椭圆C： 2 2 1 a b 0 相应于焦点 a b F 2,0 的准线方程为x 4，则椭圆C的方程 是
x2 y 2 2 1 2 8 4
2
2
.
c 2 2 2 a 8 a 解析:由题意得： ，所以 2 ， 4 b 4 c 2 2 2 a b c 2 2 x y 所以椭圆C的方程为 2 2 1 8 4
得点P的坐标．
【变式练习1】 x2 y 2 我们把由半椭圆 2 2 ＝1( x 0)与 a b y 2 x2 半椭圆 2 2 ＝1( x 0)合成的曲线 b c 称为"果圆"，其中a 2＝b 2＋c 2，a 0， b c 0.F0、F1、F2是相应椭圆的焦点，A1、A2 和B1、B2分别是“果圆”与x、y轴的交点． 的方程； b 2 若 A1 A2 B1B2 ，求 的取值范围； a
2015届高三数学(文)第一轮总复习课件 第61讲 圆锥曲线的综合应用
可知不论 λ 取何值，曲线 C 过定点(1,1)．
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2．若点 A 的坐标为(3,2)，F 为抛物线 y2＝2x 的焦点， 点 P 在抛物线上移动，为使|PA|＋|PF|取最小值，P 点的坐标 为(
B
) B．(2,2) D．(0,0)
A．(3,3) 1 C．( ，1) 2
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Hale Waihona Puke 文数解析：如图，根据抛物线的定义可知|PF|等于点 P 到准线 l 的距离|PQ|.则当 A、P′、Q′三点共线时|PA|＋|PF|最小，此 时，可求得 P′(2,2)．
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3． 抛物线 y2＝12x 与直线 3x－y＋5＝0 的最近距离为( B ) 10 A. 5 5 C. 5 2 10 B. 5 7 5 D. 5
2 |x2 1 0－y0| 所以 S△POQ ＝ |PQ||PR|＝ ＝1. 2 4
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一
定点、定值问题
x2 y2 【例1】已知椭圆C： a2 ＋ b2 ＝1(a>b>0)的右焦点为
2 F(1,0)，且点(－1， 2 )在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； 5 (2)已知点Q( 4 ，0)，动直线l过点F，且直线l与椭圆C交 →· → 为定值． 于A，B两点，证明：QA QB
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第61讲
圆锥曲线的综合应用
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1．已知λ∈R，则不论λ取何值，曲线C：λx2－x－λy＋1 ＝0恒过定点( D ) A．(0,1) C．(1,0) B．(－1,1) D．(1,1)
高三数学-圆锥曲线的定义及应用-圆锥曲线的综合应用
高三数学圆锥曲线的定义及应用圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的定义1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。
即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。
即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
二、圆锥曲线的方程。
1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+=1（a>b>0）（1）范围：|x|≤a，|y|≤b（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±2.双曲线：-=1（a>0, b>0）（1）范围：|x|≥a, y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞) （5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x3.抛物线：y2=2px(p>0)（1）范围：x≥0, y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-四、例题选讲：例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。