2018届人教英语九年级全册导学案：Unit 7 -Section B(2a-2e)
七上语文 导学案答案
第1章基本的几何图形1.1我们身边的图形世界基础巩固：1.B 2.C 3. D 4.C能力提升：1. 6, 12,8 , 2 2.略1.2 几何图形基础巩固：1.点动成线 2.A 3.D 4.B 5.A 6.A 1.3 线段、射线和直线基础巩固:目标1：1.6条 2.两个，两点确定一条直线3.略目标2：1.C 目标3：1.C 2.C 3.1,3,6,10,21-(）nn1.4线段的比较与作法1.A 1.C2.0.5cm或3.5cm 1.B 2.A 3.D4.2:15.1cm第1章《基本的几何图形》检测题一、选择：1.C 2.A 3.D 4.C. 5.D 6.D 7.C 8.B 9.C二、填空：10.两点确定一条直线 11.7或3 12. AC CD 13.4cm或8cm14.略 15.略 16.6或10cm 17.10 20第二章有理数2.1 有理数基础巩固：1.D 2.C3.A .4.C5.B2.2 数轴第一课时 1.B 2.C.3.C4.C5.2或-46.-0.57.B:+8 C:-2第二课时 1.A 3.＜＞＞ 6.＜＜＞7. （1）（2）存在符合题意的点，此时或 .（3）设运动分钟时，点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是．（1）当点和点在点同侧时，因为，所以点和点重合，所以，解得，符合题意．（2）当点和点在点两侧时，有两种情况．情况：如果点在点左侧，．．因为，所以，解得．此时点对应的数是对应的数是在点右侧，不符合题意，舍去．情况：如果点在点右侧，．．因为 ， 所以 ，解得 ．此时点对应的数是，点 对应的数是在点 右侧，符合题意．分钟或 分钟时点 到点，点 的距离相等.2.3 相反数与绝对值基础巩固：1.C 2.B .3.＜＞ ＞ 4.±5 5.±3 6.2,9 7.D 8.＜ 9.√× 10.A 11.C第二章 《有理数》的复习与检测达标测试：1.82.-10,63.±714.＜＞5.-5,26.A,7.B8.D9.D 10.B 11.C 12.9.4升 13.±5 14.＞＜ ＜＞第3章有理数的运算3.1有理数的加法与减法 第一课时1. （1）+10 （2）61（3）-16 （4）7 2.（1）9 （2）-11.8 （3）0 （4）31-3.1225元 第二课时1. （1）2 （2）0 （3）-9.4 1.（1）回到原点 （2）12厘米2. 25第三课时1（1）.-7 （2）31- 2. 8 3. 0 3.2第一课时1. — + + + + 02.（1）36 (2)201- (3)0 (4)-1 3.-2008或2010第二课时1. -210（2）02.(1)11 (2)-110第三课时1.A2.C3.C4.B5.36.57.＜ ＜ ＞=8.（1）7 (2)21-(3)0(4)2516(5)95- (6)-16 3.3有理数的乘方第一课时：基础巩固：1.343-）（2.2,4，-163.D4.A.5.D.6.64，625，27，316_1.D2.1，-1第二课时：1.C 2.C 3.C 4.3.0 5.(1)1.2×1014 6.9 ×105 （2）4×108秒3.4 基础巩固 ：目标1.(1)916- (2)36 (3)33 (4)-1 目标2计算：（1） 532- （2） -3.3（3） -27（4）85目标3 -50基础巩固：1.-1,1 2.0，0 3.-20 4.645 5.6×1066. D7.D8.-26 ,311_,0 9.-25,0 第三章 《有理数的运算》检测题1. B2.B3.B4.C5.C6.B7.B8.B9.C 10.B 11.A 12.C 13.D 14.-4 15.1 16.-10 17.a-b 18.-2a-2c `19.-1006 20.0.0036 ,566 21.21 ,-2,41, 22.-27 23.1 24. -2x 25.6.5×10726.1,0 27.-0.73,-1.5,-14,181-,-2.9 28.0 29.112017m--m 30.43 31.13或-11 32.51-1178-青岛版七年级上册导学案答案第4章《数据的收集、整理与描述》§4.1 普查与抽样调查基础巩固：1、D 2、C 3、③ 4、（1）普查（2）抽样调查（3）普查 §4.2 简单随机抽样简单随机抽样的主要特点有 （1）总体的个体数有限；（2）样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体；（3）抽取的样本不放回，样本中无重复个体；（4）每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性.（三）导学例1、解：（1）缺乏代表性；（2）缺乏代表性；（3）有代表性．例2、解：根据题意得：100÷（20÷200×100%）=1000（条）．答：鱼池里大约有1000条鱼；基础巩固：1、C 2、③目标二：1、C2、解：由题意可知三次共捕鱼40+25+35=100（条），捕得鱼的总质量为40×2.5+25×2.2+35×2.8=253（千克），所以可以估计每条鱼的质量约为253÷100=2.53（千克），池塘中鱼的总质量为10 000×95%×2.53=24 035（千克）．4.3 数据的整理自测1、C2、A基础巩固：1、(1)随机抽取学生的人数为8÷16%=50.(2)因为统计表中a=50×24%=12，c=50×10%=5，所以统计表中b=50-8-12-15-5=10.(3)因为28分以上(含28分)为优秀，所以九年级学生体育成绩的优秀率为(15+10+5)÷50×100%=60%，该校九年级学生体育成绩达到优秀的总人数=500×60%=300人.§4.4 《扇形统计图》2.自测（1）D （2）诺基亚 35 126 360（四）基础巩固（1）10目标2：（1）A （2）B （3）C第四章《数据的收集、整理与描述》复习基础巩固(一) 1、B 2、C 3、A 4、B 5、A 6、C7、解：（1）该年报名参加丙组的人数为25。
浅析先学后教在小学语文教学中的应用
浅析先学后教在小学语文教学中的应用发表时间：2018-06-15T10:31:58.860Z 来源：《中小学教育》2018年7月作者：叶莉[导读] 新课标中明确要求，教师在组织语文教学活动时，应注重更新教学观念，将先学后教思想，有效贯彻并落实到小学语文课堂上。
让学生对课程内容进行自主探究，之后，教师进行一定指导和教学，通过师生合作，完成语文教学。
鉴于此，笔者主要围绕先学后教在小学语文教学中的具体应用，展开有效分析。
叶莉浙江省义乌市义亭镇义亭小学 322000【摘要】新课标中明确要求，教师在组织语文教学活动时，应注重更新教学观念，将先学后教思想，有效贯彻并落实到小学语文课堂上。
让学生对课程内容进行自主探究，之后，教师进行一定指导和教学，通过师生合作，完成语文教学。
鉴于此，笔者主要围绕先学后教在小学语文教学中的具体应用，展开有效分析。
【关键词】先学后教；小学语文；课堂教学中图分类号：G635.6 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2018）07-155-01前言：语文是小学时期重点学科，同时也是实现小学生智力开发、能力培养的关键性学科。
在新时期语文教学背景下，教师需要对课堂形态进行有效创新，充分发挥学生在语文课堂上的主体地位。
鼓励学生先进行自主学习，再由教师进行统一指导教学，从而全面提高语文教学质量。
一、先学后教在小学语文教学的重要性分析先学后教，作为素质教育背景下一种全新教学模式，具体指教师在教学活动中，先鼓励学生自主预习、探究，掌握一些简单的课程知识，之后，再由教师统一讲解。
先学后教教学模式，相较于传统灌输法，所呈现的课堂效果更加显著。
利用先学后教模式，能够转变语文课堂形态。
让学生在语文课堂上，主体地位逐渐显现，让学生主动地参与到语文学习当中[1]。
通过自主预习、学习，实现语文知识内化与吸收，提高小学生语文学习效率。
可见，先学后教在小学语文教学中发挥的作用有多显著，教师对此应加强重视。
九年级数学中考复习课题一次函数含参问题专题导学案课后训练分层练习AB组含答案与解析
课题一次函数“含参”问题【课前练习】1.（2014•南通）已知一次函数y=kx﹣1，若y随x的增大而增大，则它的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限2.已知正比例函数y＝(m﹣1)x的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1<x2时，有y1>y2，那么m的取值范围是_______．3.直线y=kx﹣2k+3过定点_______．4.（2015•南通，改编）直线y1=mx+n与双曲线y2= kx相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C．（1）求m，n的值；（2）若y1>y2，求x的取值范围.【典例讲评】例1如图,直线y1=x+2与直线y2=ax+c相交于点P(m,3)，则关于x的不等式x+2⩽ax+c的解集为_______．练习：（2013•南通）如图，经过点B（﹣2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则不等式4x+2＜kx+b＜0的解集为．例2（2019•南京）已知一次函数y1=kx+2(k为常数,k≠0)和y2=x−3.(1)当k=−2时,若y1>y2，求x的取值范围.(2)当x<1时,y1>y2.结合图象，直接写出k的取值范围.例3无论a取什么实数，点P（a，a）都在直线l上．Q（m，n）是直线l上的点，则2n ﹣2m 的值等于 ．练习：（2012•南通）无论a 取什么实数，点P （a ﹣1，2a ﹣3）都在直线l 上．Q （m ，n ）是直线l 上的点，则（2m ﹣n +3）2的值等于 ．例4（2017•海安一模）平面直角坐标系中，已知点P 的坐标（x ，y ），且满足(2m +1)x +(m ﹣3)y +14=0（m 是常数），当m 的值是_____时，线段PO ≥2 5.练习：平面直角坐标系中，已知点P 的坐标（x ，y ），且满足(m +2)x +(3m ﹣1)y +7=0（m 是常数），当m 的值是_____时，线段PO ≥10.【课后训练】A 组1.若一次函数y =kx +b (k ,b 为常数,且k ≠0)的图象经过点A (0,−1),B (1,1),则不等式kx +b >1的解为( )A. x <0B. x >0C. x <1D. x >1 2．若点（a ，y 1）、（a +1，y 2）在直线y ＝kx +2上，且y 1＞y 2，则该直线所经过的象限是（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限3.（2018•海安八下期中）若式子k ﹣1+（k ﹣1）0有意义，则一次函数y ＝（k ﹣1）x +1﹣k 的图象可能是（ ）A. B. C. D.4.已知一次函数y ＝(1﹣2m )x ＋m ﹣1，若函数y 随x 的增大而减小，并且函数的图象经过第二、三、四象限，则m 的取值范围为 .5.（2019•海安八下期末）如图，已知一次函数y ＝ax +b 和y ＝kx 的图象交于点P （﹣4，﹣2）则关于x 的不等式ax +b ≤kx ＜1的解集为 .6.（2017•海安一模）如图，直线y 1＝kx （k ≠0）与双曲线y 2＝2x（x ＞0）交于点A （1，a ），则y 1＞y 2的解集为 .7.（2016•海安一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线y ＝4x（x ＞0）与直线y ＝kx ﹣k 的交点为A （m ，2）． （1）求k 的值；（2）当x ＞0时，直接写出不等式kx ﹣k ＞4x的解集： .（3）设直线y ＝kx ﹣k 与y 轴交于点B ，若C 是x 轴上一点，且满足△ABC 的面积是4，求点C 的坐标．8.（2013•南通）直线y=kx+b （b ＞0）与抛物线y = 18x 2相交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，与x 轴正半轴相交于点D ，与y 轴相交于点C ，设△OCD 的面积为S ，且kS +32=0．求b 的值.B 组1.（2017•如东一模）若一次函数y ＝kx +b ，当x 的值减小1，y 的值就减小2，则当x 的值增加2时，y 的值（ ） A ．增加4 B ．减小4 C ．增加2 D ．减小22.已知一次函数y ＝(2a −1)x ＋a −3，若函数y 随x 的增大而增大，并且函数的图象不经过第二象限，则a 的取值范围为____________.3.方程（m +2)x +(m ﹣3)y +4=0所表示的直线过定点4.无论a 取什么实数，点P （a +1，a ﹣1）都在直线l 上．Q （m ，n ）是直线l 上的点，则2m ﹣2n +3的值等于 ．5.（2016•南通）平面直角坐标系xOy 中，已知点（a ，b ）在直线y =2mx +m 2+2（m ＞0）上，且满足a 2+b 2﹣2（1+2bm ）+4m 2+b =0，则m = ．6（2019•海安一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx +2028与抛物线y =19x 2+2019相交于A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点（1）当x 1＝﹣1，求k 的值；（2）求证：点（y 1﹣2019，y 2﹣2019）在反比例函数y ＝81x的图象上；（3）小安提出问题：若等式x 1•BC +y 2•AC ＝m •AC 恒成立，则实数m 的值为2019．请通过演算分析“小安问题”是否正确．【课后训练】答案A 组1．如图所示：不等式kx +b >1的解为：x >1. 故选：D.2．解：∵a <a +1,且y 1>y 2，∴一次函数y 随x 的增大而减小，k <0 又图象过点(0,1)，∴直线y =kx +1经过第一、二、四象限。
第4讲 平方根与立方根--提高班(教案教学设计导学案)
第4讲 平方根、立方根知识点1 算术平方根1.如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根.的算术平方根记为,读作“根号a ”，a 叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0 ，即.2.规律小结算术平方根具有双重非负数：（1）被开方数具有非负性，即 ；（2）本身具有非负性：即注：具有非负数才有算术平方根，而负数没有算术平方根.【典例】1.若√10201=101，则√102.01=______【答案】10.1解：∵若√10201=101，∴√102.01=10.1．2.求下列各式的值：（1）√1.44； （2）√964； （3）√1+2425．【答案】解：（1）√1.44=1.2；（2）√964=38；（3）√1+2425=√25+2425=√4925=75．3.已知2a﹣1的算术平方根是5，3a+b﹣1的算术平方根是4，求a+2b的值．【答案】解：∵2a﹣1的算术平方根是5，∴2a﹣1=25，解得：a=13，∵3a+b﹣1的算术平方根是4，∴3a+b﹣1=16，解得：b=﹣22，则a+2b=13﹣44=﹣31．【方法总结】开平方运算和平方运算互为逆运算，被开方数小数点向左（向右）移动两位，计算结果向左（向右）移动一位；带分数开平方时，首先将带分数化为假分数，再进行开平方运算；已知一个数字的算术平方根求原数时进行平方运算即可.【随堂练习】1．（2018春•仓山区期中）已知一个数的算术平方根是7，则这个数是（）A．B．±C．49D．±49【解答】解：∵一个数的算术平方根是7，∴这个数是72=49．故选：C．2．（2018春•义安区期末）下列说法正确的是（）A．因为（﹣3）2=9所以9的平方根为﹣3B．的算术平方根是2C．=±5D．±36的平方根是±6【解答】解：A、因为（﹣3）2=9，所以9的平方根为±3，故此选项错误；B 、=4，则4的算术平方根是2，故此选项正确；C 、=5，故此选项错误；D 、36的平方根是±6，﹣36没有平方根．故选：B ．3．（2018春•上虞区期末）将化简，正确的结果是（ ）A ．3B ．±3C ．3D ．±3【解答】解：=3，故选：C ．知识点2 平方根 开平方1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，即如果，那么x 叫做a 的平方根.正数a 的平方根表示为“”，读作“正、负根号a ”2.平方根与算术平方根的区别与联系3.开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.开平方是一种运算，它与平方运算是互逆运算，开平方运算的结果就是平方根，我们就是利用开平方与平方的互逆运算关系求平方根.【典例】1.求下列各数的平方根和算术平方根：（1）49； （2）1625； （3）279； （4）0.36； （5）（﹣38）2．【答案】解：（1）49的平方根是±7，算术平方根是7；（2）1625的平方根是±45；算术平方根是45；（3）279的平方根是±53；算术平方根是53；（4）0.36的平方根是±0.6；算术平方根是0.6；（5）（﹣38）2的平方根是±38；算术平方根是38．2.已知一个正数的两个平方根是m+3和2m ﹣15．（1）求这个正数是多少？（2）√m +5的平方根又是多少？【答案】解：（1）∵m+3和2m ﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数． 即：（m+3）+（2m ﹣15）=0解得m=4．则这个正数是（m+3）2=49．（2）由（1）得m=4∴√m +5=√4+5=3，∴√m +5的平方根是±√3．3.求x 的值：（1）（2x ﹣1）2=25； （2）9x 2﹣16=0．【答案】解：（1）（2x ﹣1）2=252x ﹣1=±5x=3或x=﹣2．（2）9x 2﹣16=0．9x 2=16x 2=169x=±4．3【方法总结】1.求分数的平方根的运算需要将带分数化成假分数，运算结果是正、负两个；2.两个代数式表示某一个数的平方根时，通过求两个代数式的和，并令和为0，求得两个平方根，进而求出原数；3.通过开平方解含有最高次为二次的方程时，先将含二次方项的系数化为1，然后左右两边同时开平方，直接得出结果或解方程得出结果．【随堂练习】1．（2018春•南沙区校级月考）若一个数的平方根等于它本身，则这个数是（）A．0B．1C．0 或1D．0 或±1【解答】解：0的平方根是它本身0，1的平方根是±1，﹣1没有平方根，故选：A．2．（2018春•厦门期末）实数1﹣2a有平方根，则a可以取的值为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由题意得：1﹣2a＞0，解得：a≤∴a可以取的值为0．故选：A．3.（2018春•青县期末）下列判断正确的是（）A．0.25的平方根是0.5B．﹣7是﹣49的平方根C．只有正数才有平方根D．a2的平方根为±a【解答】解：A、0.25的平方根是±0.5，故此选项错误；B、﹣7是49的平方根，故此选项错误；C、正数和0都有平方根，故此选项错误；D、a2的平方根为±a，正确．故选：D．知识点3 立方根开立方1.一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数x叫做的立方根或三次方根，这就是说，如果，那么叫做的立方根.2.一个数a的立方根，用符号表示，读作：“三次根号a”，其中a叫被开方数，3叫根指数，此处的3不能省略.3.理解立方根的概念需注意两点：（1）任意数a的立方根可表示为“”；（2）判断一个数x是不是某数a的立方根，就看是不是等于a.4. 立方根的性质（1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 .（2）（3）5.开立方：求一个数立方根的运算，叫做开立方.说明：开立方和立方互为逆运算，借助立方运算，我们可以求任意数的立方根. 【典例】1.已知：（x+1）3=﹣8，求x的值．【答案】解：∵（x+1）3=﹣8，3=﹣2，∴x+1=√−8∴x=﹣3．2.已知2a﹣1的平方根是±3，3a﹣b+2的算术平方根是4，求a+3b的立方根．【答案】解：∵2a﹣1的平方根是±3∴2a﹣1=9，解得，a=5，∵3a﹣b+2的算术平方根是4，a=5，∴3a﹣b+2=16，∴15﹣b+2=16，解得，b=1，∴a+3b=8，∴a+3b的立方根是2．【方法总结】1.解三次方程时，将三次方的项系数化为1，左右两边同时开立方，化简求出结果；2.平方根与立方根综合试题中，须同时区分正数的平方根是正负两个，算术平方根只有一个正数；立方根只有一个，跟被开方数的符号一致．【随堂练习】1．（2018秋•太原期中）将一块体积为1000cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【解答】解：根据题意知，每个小正方体木块的棱长为==5（cm），故选：A．2．（2018春•定陶区期中）下列说法，其中正确说法的个数是（）①﹣64的立方根是4，②49的算术平方根是±7，③的立方根是④的平方根是A．1B．2C．3D．4【解答】解：①﹣64的立方根是﹣4，故此选项错误；②49的算术平方根是7，故此选项错误；③的立方根是，正确；④的平方根是：±，故此选项错误；故选：C．3.（2018秋•盖州市校级月考）下列说法正确的是（）A．﹣0.064的立方根是0.4B．﹣9的平方根是±3C．16的立方根是D．0.01的立方根是0.000001【解答】解：A、﹣0.064的立方根是﹣0.4，不符合题意；B、﹣9没有平方根，不符合题意；C、16的立方根是，符合题意；D、0.01的立方根是，不符合题意，故选：C．综合运用1．（2018春•黄梅县期末）的算术平方根为（）A．±4B．±C．D．﹣a 【解答】解：的算术平方根是，故选：C．2．（2018春•南开区期末）的平方根是，用式子表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：的平方根是，用式子表示为±=±．故选：B．3．（2018•建平县模拟）的平方根是（）A．3B．﹣3C．±3D．±9【解答】解：∵=9，∴的平方根是±3，故选：C．4．（2017秋•万州区期末）若一个数的平方根等于它本身，则这个数是（）A．0B．1C．0或1D．0或±1【解答】解：若一个数的平方根等于它本身，则这个数是：0．故选：A．5．（2018春•上饶县期末）求下列各式中的x．（1）16x2=25（2）（x﹣3）2=4【解答】解：（1）16x2=25，x2=，x=±；（2）（x﹣3）2=4，则x﹣3=2或x﹣3=﹣2，故x=5或1．6．（2018秋•德惠市校级月考）一个数的立方根是4，这个数的平方根是（）A．8B．﹣8C．±8D．±4【解答】解：一个数的立方根是4，这个数是64，64的平方根是±8，故选：C．7．（2017秋•淅川县期末）下列说法正确的是（）A．144的平方根等于12B．25的算术平方根等于5C．的平方根等于±4D．的等于±3【解答】解：A、144的平方根是12和﹣12，不符合题意；B、25的算术平方根是5，符合题意；C、=4，4的平方根是2和﹣2，不符合题意；D、为9的立方根，不符合题意，故选：B．。
人教版八年级数学上册课件：14章 整式的乘法与因式分解--知识点复习 (共53张PPT)
A.(6a3+3a2)÷
1 2
a=12a2+6a
B.(6a3-4a2+2a)÷2a=3a2-2a
C.(9a7-3a3)÷(﹣
1 3
a3)=﹣27a4+9
C.( 14a2+a)÷(﹣12a)=﹣12 a-2
5.一个多项式与﹣2x2的积为﹣2x5+4x3﹣x2，则这个多项式
为
.
6.计算：⑴
(9x2y-6xy2)÷3xy;
2.已知M＝ a-1，N＝a2- a(a为任意实数)，则M，N的
大小关系为( A ) A. M＜N B. M=N C. M＞N D.不能确定
3.若x2+y2+ =2x+y，则y-x= .
3、am﹣n=am ÷ an(a≠0,m,n都
是正整数，并且m＞n).
10
知识点一：幂的运算性质
巩固练习
1.(易错题)若(1-x)1-3x＝1，则x的取值有（ C ）个.
A.0 B.1 C.2 D.3 4
2.若3x＝4，9y＝7，则3x-2y的值为 7 . 3.已知am＝3，an＝2，则a2m-n的值为 4.5 .
为( B ) A M<N
B M＞N
C M=N D.不能确定
10.计算：(1)(x+1)(x+4)； (2)(y-5)(y-6)； (3)(m-3)(m+4)
(x+p)(x+q)
18
知识点二：整式的运算
知识回顾
单项式的除法法则： 系数、同底数幂分别相除 只在被除式里含有的字母
19Βιβλιοθήκη 知识点二：整式的运算2
重点难点
重点:运用整式的乘法法则和除法法则进行运算;因式分 解. 难点:应用整式的乘法和因式分解决问题.
导数大题10种主要题型导学案含详解
导数大题10种主要题型（一）预习案题型一：构造函数1.1 “比较法”构造函数例1．已知函数f（x）＝e x﹣ax（e为自然对数的底数，a为常数）的图象在点（0，1）处的切线斜率为﹣1.（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）求证：当x＞0时，x2＜e x．1.2 “拆分法”构造函数例2．设函数f（x）＝ae x lnx+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为y＝e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．1.3 “换元法”构造函数例3．已知函数f（x）＝ax2+xlnx（a∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y＝0垂直．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求证：当n＞m＞0时，lnn﹣lnm＞﹣；（Ⅲ）若存在k∈Z，使得f（x）＞k恒成立，求实数k的最大值．1.4 “二次（甚至多次）”构造函数例4．已知函数f（x）＝e x+m﹣x3，g（x）＝ln（x+1）+2．（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；（2）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）﹣x3．题型二：隐零点问题例1．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）．（Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．例2．（Ⅰ）讨论函数f（x）＝e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）＝（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．导数大题10种主要题型（一）预习案答案例1． 解：（1）f ′（x ）＝e x ﹣a ，∵f ′（0）＝﹣1＝1﹣a ，∴a ＝2．∴f （x ）＝e x ﹣2x ，f ′（x ）＝e x ﹣2．令f ′（x ）＝0，解得x ＝ln 2．当x ＜ln 2时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减；当x ＞ln 2时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增．∴当x ＝ln 2时，函数f （x ）取得极小值，为f （ln 2）＝2﹣2ln 2，无极大值．（2）证明：方法一（作差法）令g （x ）＝e x ﹣x 2，则g ′（x ）＝e x ﹣2x ，由（1）可得：g ′（x ）＝f （x ）≥f （ln 2）＞0，∴g （x ）在R 上单调递增，因此：x ＞0时，g （x ）＞g （0）＝1＞0，∴x 2＜e x ．方法二（作商法）：即可只需证1)(,2)(<=x h e x x h x例2． 解：（Ⅰ） 函数f （x ）的定义域为（0，+∞），， 由题意可得f （1）＝2，f '（1）＝e ，故a ＝1，b ＝2.（Ⅱ）证明：方法一（凹凸反转法）由（Ⅰ）知，，从而f （x ）＞1等价于，设函数g （x ）＝xlnx ，则g '（x ）＝1+lnx ，所以当时，g '（x ）＜0， 当时，g '（x ）＞0，故g （x ）在单调递减，在单调递增，从而g （x ）在（0，+∞）的最小值为．设函数，则h '（x ）＝e ﹣x （1﹣x ），所以当x ∈（0，1）时，h '（x ）＞0，当x ∈（1，+∞）时，h '（x ）＜0，故h （x ）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，从而h （x ）在（0，+∞）的最大值为．综上：当x ＞0时，g （x ）＞h （x ），即f （x ）＞1．方法二（放缩法）例3． 解：（Ⅰ）∵f （x ）＝ax 2+xlnx ，∴f ′（x ）＝2ax +lnx +1，∵切线与直线x +3y ＝0垂直，∴切线的斜率为3，∴f ′（1）＝3，即2a +1＝3，故a ＝1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）＝x 2+xlnx ，x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞）， ∵f ′（x ）在（0，+∞）上单调递增，∴当x ＞1时，有f ′（x ）＞f ′（1）＝3＞0，∴函数f （x ）在区间（1，+∞）上单调递增，∵n ＞m ＞0，∴，∴f （）＞f （1）＝1即，∴lnn ﹣lnm ＞； （Ⅲ）由（Ⅰ）知f （x ）＝x 2+xlnx ，x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞）， 令g （x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞），则，x ∈（0，+∞），由g ′（x ）＞0对x ∈（0，+∞），恒成立，故g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 又∵011121)1(222<-=+-=e e e g ，而＞0， ∴存在x 0∈，使g （x 0）＝0 ∵g （x ）在（0，+∞）上单调递增，∴当x ∈（0，x 0）时，g （x ）＝f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，x 0）上单调递减；当x ∈（x 0，+∞）时，g （x ）＝f ′（x ）＞0，f （x ）在（x 0，+∞）上单调递增；∴f （x ）在x ＝x 0处取得最小值f （x 0）∵f （x ）＞k 恒成立，所以k ＜f （x 0）由g （x 0）＝0得，2x 0+lnx 0+1＝0，所以lnx 0＝﹣1﹣2x 0，∴f （x 0）＝＝＝﹣＝﹣，又，∴f （x 0）∈， ∵k ∈Z ，∴k 的最大值为﹣1．例4． 解：（1）函数f （x ）＝e x +m ﹣x 3的导数为f ′（x ）＝e x +m ﹣3x 2，在点（0，f （0））处的切线斜率为k ＝e m ＝1，解得m ＝0；（2）证明：f （x ）＞g （x ）﹣x 3即为e x +m ＞ln （x +1）+2．由y ＝e x ﹣x ﹣1的导数为y ′＝e x ﹣1，当x ＞0时，y ′＞0，函数递增；当x ＜0时，y ′＜0，函数递减．即有x ＝0处取得极小值，也为最小值0．即有e x ≥x +1，则e x +m ≥x +m +1，由h（x）＝x+m+1﹣ln（x+1）﹣2＝x+m﹣ln（x+1）﹣1，h′（x）＝1﹣，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）递增；﹣1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减．即有x＝0处取得最小值，且为m﹣1，当m≥1时，即有h（x）≥m﹣1≥0，即x+m+1≥ln（x+1）+2，则有f（x）＞g（x）﹣x3成立．例5．（Ⅰ）解：∵，x＝0是f（x）的极值点，∴，解得m＝1．所以函数f（x）＝e x﹣ln（x+1），其定义域为（﹣1，+∞）．∵．设g（x）＝e x（x+1）﹣1，则g′（x）＝e x（x+1）+e x＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，又∵g（0）＝0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（﹣m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m＝2时f（x）＞0．当m＝2时，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x）＝0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0）．当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而当x＝x0时，f（x）取得最小值．由f′（x0）＝0，得，ln（x0+2）＝﹣x0．故f（x）≥＝＞0．综上，当m≤2时，f（x）＞0．例6．解：（1）证明：f（x）＝f'（x）＝e x（）＝∵当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上单调递增∴x＞0时，＞f（0）＝﹣1即（x﹣2）e x+x+2＞0（2）g'（x）＝＝＝＝，a∈[0，1），由（1）知，f（x）+a单调递增，对任意的a∈[0，1），f（0）+a＝a﹣1＜0，f（2）+a＝a≥0，因此存在唯一的t∈（0，2]，使得f（t）+a＝0，当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；h（t）＝＝＝记k（t）＝，在t∈（0，2]时，k'（t）＝＞0，故k（t）单调递增，所以h（a）＝k（t）∈（，]．导数大题10种主要题型（二）预习案题型三：恒成立、存在性问题3.1 单变量恒成立、存在性问题例1．已知函数f （x ）＝xlnx ，g （x ）＝﹣x 2+ax ﹣3．（1）求函数f （x ）在[t ，t +2]（t ＞0）上的最小值；（2）若存在x 0∈[，e ]（e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…），使不等式2f （x 0）≥g （x 0）成立，求实数a 的取值范围．3.2 双变量恒成立、存在性问题极值点偏移问题：由于函数左右增减速率不同导致函数图像失去对称性。
高三一轮复习 微专题 水溶液中的图像题优质导学案
高三化学微专题《水溶液中的图像题》导学案（1）【重要的基础知识】 1．三大守恒关系写出Na 2CO 3溶液中的荷守恒、物料守恒和质子守恒、 NaHCO 3溶液的质子守恒同浓度的醋酸钠和醋酸混合液中的质子守恒： 2．Na 2CO 3溶液中离子浓度大小关系：同浓度的醋酸钠和醋酸混合液中粒子浓度大小顺序为 3．醋酸的电离常数与醋酸钠的水解常数的关系是4．写出弱酸H 2A 的电离常数表达式，找出Ka1×Ka2= ，Ka1/Ka2= 其盐Na 2A 的水解常数与Ka1、Ka2之间有什么关系？5．判断酸式盐的酸碱性：NaHSO 4 NaHSO 3 NaHC 2O 4 NaH 2PO 4 NaHCO 3 Na 2HPO 4 NaHS 6．酸碱 水的电离，可水解的盐 水的电离（填“促进”or “抑制”） 7．Ka 的求算方法：①利用起始点的pH 计算Ka在20.00 mL 0.10 mol/L HA 溶液中滴入0.10 mol/LNaOH 溶液，溶液pH 与NaOH 溶液体积的关系如图所示， HA 的电离常数K a 值为______。
②利用交点的pH 计算Ka次氯酸为一元弱酸，具有漂白和杀菌作用，其电离平衡体系中各成分的组成分数δ[δ(X)=-c X c HClO +c ClO （）（）（），X 为HClO 或ClO −]与pH 的关系如图(b)所示,HClO 的电离常数K a 值为______，K a 的数量级为 。
一．酸碱中和滴定图像【例题1】已知25 ℃时向20 mL 0.01 mol/L CH 3COOH 溶液中逐滴加入0.01 mol/L KOH 溶液，其pH 变化曲线如图所示(忽略温度变化)。
请回答下列有关问题：(1) 若a 点溶液pH=4，则CH 3COOH 的电离常数K ＝ (2)b 点溶液中离子浓度大小顺序为(3) c 点溶液中的离子浓度大小顺序为 ，此时V 20 mL 。
(4) d 点溶液中的离子浓度大小顺序为 (5)a 、b 、c 、d 四点中水的电离程度最大的是 (6)溶液中c(H +)的数值最接近醋酸的电离常数的点是【跟踪练习1】（省12月模考）14．25°C 时，向10mL0.10mol·L -1的一元弱酸HA(K a =1.0×10-3)中逐滴加入0.10mol·L -1NaOH 溶液，溶液pH 随加入NaOH 溶液体积的变化关系如图所示。
新人教版新高考高中数学必修第二册全套导学案课后练习题
平面向量的概念【学习过程】一、问题导学预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？3．两个向量（向量的模）能否比较大小？4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA →是相等向量吗？二、合作探究探究点1： 向量的相关概念例1：给出下列命题：①若AB→＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．解析：AB→＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC→|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．答案：②③ 探究点2： 向量的表示例2：在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：（1）OA→，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； （2）AB→，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； （3）BC→，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上． 解：（1）由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA→，如图所示．（2）由于点B 在点A 正东方向上，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB→，如图所示．（3）由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示．探究点3：共线向量与相等向量例3：如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ （2）与a 共线的向量有哪些？解：（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC →，AO →，FE →．（2）与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →． 互动探究1．变条件、变问法：本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量．解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO→，ED →，AB →． 2．变问法：本例条件不变，与AD→共线的向量有哪些？解：与AD →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →．三、学习小结1．向量的概念及表示（1）概念：既有大小又有方向的量． （2）有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB→． ④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|．（3）向量的表示■名师点拨（1）判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．（2）用有向线段表示向量时，要注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．2．向量的有关概念（1）向量的模（长度）：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度（或称模），记作|AB →|．（2）零向量：长度为0的向量，记作0． （3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b ．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b ． ■名师点拨（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． （2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． （3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 四、精炼反馈1．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.图中与AE→平行的向量为BE →，FD →，FC →共3个．2．下列结论中正确的是（ ） ①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ； ④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |． A ．①③ B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B ．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与BC→相等的向量；（2）与OB→长度相等的向量；（3）与DA→共线的向量．解：画出图形，如图所示．（1）易知BC ∥AD ，BC ＝AD ，所以与BC→相等的向量为AD →．（2）由O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB ＝OD ＝OA ＝OC ，所以与OB→长度相等的向量为BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →．（3）与DA→共线的向量为AD →，BC →，CB →．平面向量的应用【第一学时】学习重难点学习目标核心素养向量在平面几何中的应用会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题数学建模、逻辑推理向量在物理中的应用会用向量方法解决物理中的速度、力学问题数学建模、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？2．如何用向量方法解决物理问题？ 二、合作探究探究点1：向量在几何中的应用角度一：平面几何中的垂直问题如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE ．证明：法一：设AD→＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0， 又DE→＝DA →＋AE →＝－a ＋12b ，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋12a ， 所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0．故AF→⊥DE →，即AF ⊥DE ． 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A （0，0），D （0，2），E （1，0），F （2，1），AF →＝（2，1），DE →＝（1，－2）．因为AF→·DE →＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0， 所以AF→⊥DE →，即AF ⊥DE ． 角度二：平面几何中的平行（或共线）问题如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AFFB＝12．求证：点E ，O ，F 在同一直线上．证明：设AB→＝m ，AD →＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， 所以FO →＝F A →＋AO→＝13BA →＋12AC → ＝－13m ＋12（m ＋n ）＝16m ＋12n ， OE→＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD → ＝12（m ＋n ）－13m ＝16m ＋12n ．所以FO→＝OE →． 又O 为FO→和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．角度三：平面几何中的长度问题如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC的长．解：设AD→＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD→|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2， 所以5－2a ·b ＝4，所以a ·b ＝12，又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝6．探究点2：向量在物理中的应用（1）在长江南岸某渡口处，江水以12．5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25km/h ．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？（2）已知两恒力F 1＝（3，4），F 2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0），求F 1，F 2分别对质点所做的功．解：（1）如图，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB→＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形． 在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC→|＝|AB →|＝12．5．|AD→|＝25，所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°． （2）设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F ·s ．因为AB →＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）． 所以W 1＝F 1·AB→＝（3，4）·（－13，－15） ＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦），W 2＝F 2·AB→＝（6，－5）·（－13，－15）＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）． 三、学习小结1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2．向量在物理学中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．（2）物理学中的功是一个标量，即为力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F ||s |cos θ（θ为F 与s 的夹角）． 四、精炼反馈1．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）A ．10 m/sB ．226 m/sC ．4 6 m/sD ．12 m/s解析：选B ．由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图． 所以小船在静水中的速度大小 |v |＝102＋22＝226（m/s ）．2．已知三个力f 1＝（－2，－1），f 2＝（－3，2），f 3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝（ ）A ．（－1，－2）B ．（1，－2）C ．（－1，2）D ．（1，2）解析：选D ．由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－（f 1＋f 2＋f 3）＝（1，2）． 3．设P ，Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，AB ∥DC ，试用向量证明：PQ ∥AB ．证明：设DC →＝λAB →（λ＞0且λ≠1），因为PQ →＝AQ →－AP →＝AB →＋BQ →－AP →＝AB →＋12（BD→－AC →） ＝AB→＋12[（AD →－AB →）－（AD →＋DC →）] ＝AB→＋12（CD →－AB →） ＝12（CD →＋AB →）＝12（－λ＋1）AB→， 所以PQ →∥AB →，又P ，Q ，A ，B 四点不共线，所以PQ ∥AB ．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？2．余弦定理有哪些推论？二、合作探究探究点1：已知两边及一角解三角形（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（ ） A ．42 B ．30 C ．29D ．25（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 解析：（1）因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A ．（2）由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去．故选D ．答案：（1）A （2）D 互动探究：变条件：将本例（2）中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A ＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋（23）2－2×b ×23×32， 即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4． 探究点2：已知三边（三边关系）解三角形（1）在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为（ ） A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°（2）在△ABC 中，若（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），则A 等于（ ） A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°解析：（1）在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19，所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC 中的最大角与最小角的和为120°．故选B ．（2）因为（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．因为A ∈（0°，180°），所以A ＝60°．答案：（1）B （2）B 探究点3： 判断三角形的形状在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．解：将已知等式变形为b 2（1－cos 2C ）＋c 2（1－cos 2B ）＝2bc cos B cos C ． 由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2 ＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c22ab ，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a 2＝a 2．所以A ＝90°．所以△ABC 是直角三角形． 三、学习小结2．余弦定理的推论cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝a2＋c2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab．3．三角形的元素与解三角形（1）三角形的元素三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．（2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．四、精炼反馈1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝（）A．90°B．120°C．135°D．150°解析：选B．cos B＝a2＋c2－b22ac＝25＋64－492×5×8＝12．所以B＝60°，所以A＋C＝120°．2．在△ABC中，已知（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，则角A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选B．因为（b＋c）2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，所以A＝60°．3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab ＝________．解析：因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2ab cos 60°，即c2＝a2＋b2－ab．①又因为（a ＋b ）2－c 2＝4， 所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4．②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43． 答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2（b 2＋c 2－a 2）＋b 2（a 2＋c 2－b 2）＋c 2（c 2－a 2－b 2）＝0， 展开整理得（a 2－b 2）2＝c 4．所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2． 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？2．正弦定理的内容是什么？二、合作探究探究点1：已知两角及一边解三角形在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．解：因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－（A＋C）＝105°．由asin A＝csin C得a＝c sin Asin C＝10×sin 45°sin 30°＝102．因为sin 75°＝sin（30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b＝c sin Bsin C＝10×sin（A＋C）sin 30°＝20×2＋64＝52＋56．探究点2：已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC中的下列条件，解三角形：（1）a＝10，b＝20，A＝60°；（2）a＝2，c＝6，C＝π3．解：（1）因为bsin B＝asin A，所以sin B＝b sin Aa＝20sin 60°10＝3>1，所以三角形无解．（2）因为asin A＝csin C，所以sin A＝a sin Cc＝22．因为c＞a，所以C＞A．所以A＝π4．所以B＝5π12，b＝c sin Bsin C＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1．互动探究：变条件：若本例（2）中C＝π3改为A＝π4，其他条件不变，求C，B，b．解：因为asin A＝csin C，所以sin C＝c sin Aa＝32．所以C＝π3或2π3．当C＝π3时，B＝5π12，b＝a sin Bsin A＝3＋1．当C＝2π3时，B＝π12，b＝a sin Bsin A＝3－1．探究点3：判断三角形的形状已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理得：a cos B＝b cos A⇒sin A cos B＝sin B cos A⇒sin（A－B）＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．答案：A变条件：若把本例条件变为“b sin B＝c sin C”，试判断△ABC的形状．解：由b sin B＝c sin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，所以sin B＝sin C．所以B＝C．故△ABC为等腰三角形．三、学习小结1．正弦定理2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；（2）sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；（3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；（4）a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R．四、精炼反馈1．（2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝（）A．33B．63C．32D．62解析：选B．由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B，即2sin C＝3sin 60°，解得sin C＝33．因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝1－sin2C＝6 3．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c ＝（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．2∶3∶1D．1∶3∶2解析：选D．在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C ＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D．已知c－a cos B＝（2a－b）cos A，由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin（A＋B）－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，化简得cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．什么是基线？2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？二、合作探究探究点1：测量距离问题海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________．解析：如图，在△ABC中，∠C＝180°－（∠B＋∠A）＝45°，由正弦定理，可得BCsin 60°＝ABsin 45°，所以BC＝32×10＝56（海里）．答案：56海里互动探究：变条件：在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？解：由已知在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝102＋202－2×10×20×12＝300．故BC＝103．即B，C间的距离为103海里．探究点2测量高度问题如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m．解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．又AB＝600 m，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC＝300 2 m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×33＝1006（m）．答案：1006互动探究：变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为α，求tan α的值．解：如图，过点C，作CE⊥AB，垂足为E，则∠DEC＝α，由例题可知，∠CBE＝75°，BC＝3002，所以CE＝BC·sin∠CBE＝3002sin 75°＝3002×2＋6 4＝150＋1503．所以tan α＝DCCE＝1006150＋1503＝32－63．探究点3：测量角度问题岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时103海里的速度前往拦截．（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？（2）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．解：（1）根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，在△ABC中，由ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，得AB＝BC sin∠ACBsin∠BAC＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝56．所以海监船接到通知时，在距离岛A 5 6 海里处．（2）设海监船航行时间为t小时，则BD＝103t，CD＝10t，又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos 120°，所以300t 2＝100＋100t 2－2×10×10t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12（舍去）． 所以CD ＝10，所以BC ＝CD ，所以∠CBD ＝12（180°－120°）＝30°， 所以∠ABD ＝75°＋30°＝105°．所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时． （或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时） 三、学习小结1．基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线． 2．基线与测量精确度的关系一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 图示南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）四、精炼反馈1．若P 在Q 的北偏东44°50′方向上，则Q 在P 的（ ） A ．东偏北45°10′方向上 B ．东偏北45°50′方向上 C ．南偏西44°50′方向上D ．西偏南45°50′方向上解析：选C．如图所示．2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．1002米B．50（3＋1）米C．100（3＋1）米D．200米解析：选C．设AB＝x米，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x．在Rt△ABD中，∠D＝30°，则BD＝3AB＝3x．因为BD－BC＝CD，所以3x－x＝200，解得x＝100（3＋1）．故选C．3．已知台风中心位于城市A东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2．5小时后到达距城市A西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若cos α＝34cos β，则v＝（）A．60B．80C．100D．125解析：选C．画出图象如图所示，由余弦定理得（2．5v）2＝2002＋1502＋2×200×150cos（α＋β）①，由正弦定理得150sin β＝200sin α，所以sin α＝43sin β．又cos α＝34cos β，sin2α＋cos2α＝1，解得sin β＝35，故cos β＝45，sin α＝45，cos α＝35，故cos（α＋β）＝1225－1225＝0，代入①解得v＝100．4．某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．解：设经过t 小时在点C 处刚好追上走私船，依题意：AC ＝123t ，BC ＝12t ，∠ABC ＝120°，在△ABC 中，由正弦定理得123tsin 120°＝12tsin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝30°，所以AB ＝BC ＝8＝12t ，解得t ＝23，航行的方向为北偏东75°．即巡逻艇最少经过23小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．平面向量的运算【第一课时】向量的加法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则 和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 会用它们解决实际问题 数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律 掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c ．解：法一：可先作a ＋c ，再作（a ＋c ）＋b ，即a ＋b ＋c ．如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA→＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB→＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC→＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；（2）作平行四边形AOBC ，则OC→＝a ＋b ；（3）再作向量OD→＝c ；（4）作平行四边形CODE ， 则OE→＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c ．OE →即为所求．探究点2：平面向量的加法运算 例2：化简：（1）BC→＋AB →； （2）DB→＋CD →＋BC →； （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →．解：（1）BC→＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →．（2）DB→＋CD →＋BC → ＝BC→＋CD →＋DB → ＝（BC→＋CD →）＋DB → ＝BD→＋DB →＝0． （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0． 探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为OB→，水流的速度为OA →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA→＋OB →＝OC →．由勾股定理知|OC→|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． 三、学习小结即a ＋b ＝AB＋BC ＝AC对角线OC就是a 与b 的和2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立． 四、精炼反馈1．化简OP→＋PQ →＋PS →＋SP →的结果等于（ ）A ．QP →B ．OQ →C ．SP →D ．SQ→ 解析：选B ．OP→＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →．2．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D ．由AC→＝AB →＋AD →得AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______． 解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13． 答案：134．已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点（靠近D 点），求作：（1）AO→＋AC →； （2）DE→＋BA →．解：（1）延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF→为所求．（2）在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ， 则向量BG→为所求．【第二课时】【学习过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．a 的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？ 二、新知探究探究点1： 向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（AB →＋MB →）＋（－OB →－MO →）； （2）AB →－AD →－DC →．解：（1）法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝（AB →＋BO →）＋（OM →＋MB →）＝AO →＋OB →＝AB→． 法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋（MB →＋BO →）＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0 ＝AB→． （2）法一：原式＝DB→－DC →＝CB →．法二：原式＝AB →－（AD →＋DC →）＝AB →－AC →＝CB →． 探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c ．解：法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB→＝b －c ． 过点A 作AD 綊BC ，连接OD ， 则AD→＝b －c ， 所以OD→＝OA →＋AD →＝a ＋b －c ． 法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c ．法三：如图③，在平面内任取一点O ， 作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ， 则OB→＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ， 则OC→＝a ＋b －c ．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC→＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →．解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD→＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， 故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ． 三、学习小结1．相反向量（1）定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．（2）结论①－（－a ）＝a ，a ＋（－a ）＝（－a ）＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0． 2．向量的减法（1）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋（－b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）作法：在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．（3）几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． 四、精炼反馈1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD→－AC →等于（ ）A ．CB → B ．BC → C ．CD→ D ．DC→ 解析：选C ．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC→＝CD →． 2．化简：AB→－AC →＋BD →－CD →＋AD →＝________．解析：原式＝CB →＋BD →＋DC →＋AD →＝CD →＋DC →＋AD →＝0＋AD →＝AD →．答案：AD→3．已知错误!＝10，|错误!|＝7，则|错误!|的取值范围为______．解析：因为CB →＝AB →－AC →，所以|CB→|＝|AB →－AC →|． 又错误!≤|错误!－错误!|≤|错误!|＋|错误!|， 3≤|AB→－AC →|≤17， 所以3≤|CB →|≤17．答案：[3，17]4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB→－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，试判断△ABC 的形状．解：因为OB→－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →．又|OB→－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|， 所以|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．【第三课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？ 二、新知探究探究1： 向量的线性运算 例1：（1）计算：①4（a ＋b ）－3（a －b ）－8a ；②（5a －4b ＋c ）－2（3a －2b ＋c ）；③23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）． （2）设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋（2b －a ）．解：（1）①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b ．②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c ．③原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b ．（2）原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53（3i ＋2j ）＋53（2i －j ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j ． 探究点2：向量共线定理及其应用例2：已知非零向量e 1，e 2不共线．（1）如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3（e 1－e 2），求证：A 、B 、D 三点共线； （2）欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：（1）证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5（e 1＋e 2）＝5AB→． 所以AB→，BD →共线，且有公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线． （2）因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2）， 则（k －λ）e 1＝（λk －1）e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎨⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1． 探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图，ABCD 是一个梯形，AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB→＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．（1）AC→＝________； （2）MN→＝________．解析：因为AB→∥CD →，|AB →|＝2|CD →|，所以AB→＝2DC →，DC →＝12AB →． （1）AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1． （2）MN→＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2．答案：（1）e 2＋12e 1（2）14e 1－e 2 互动探究变条件：在本例中，若条件改为BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →．解：因为MN→＝MD →＋DA →＋AN →，MN→＝MC →＋CB →＋BN →， 所以2MN →＝（MD →＋MC →）＋DA →＋CB →＋（AN →＋BN →）． 又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD→＋MC →＝0，AN →＋BN →＝0． 所以2MN→＝DA →＋CB →， 所以MN →＝12（－AD →－BC →）＝－12e 2－12e 1． 三、学习小结1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |＝|λ||a |．（2）当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： （1）λ（μa ）＝（λμ）a ．（2）（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ． （3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ． 3．向量的线性运算及向量共线定理（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝λμ1a ±λμ2b ．（2）向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ． 四、精炼反馈 1．13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于（ ）A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B ．原式＝16（2a ＋8b ）－13（4a －2b ）＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ． 2．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝（ ） A ．BO→ B ．AO→ C ．CO→ D ．DO→ 解析：选A ．BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝3e 2－2e 1，BO →＝12BD →＝32e 2－e 1．3．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证A ，B ，D 三点共线．证明：因为CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，所以BD→＝CD →－CB →＝e 1－4e 2． 又AB →＝2e 1－8e 2＝2（e 1－4e 2），所以AB →＝2BD →，所以AB →与BD →共线． 因为AB 与BD 有交点B ，所以A ，B ，D 三点共线．【第四课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题： 1．什么是向量的夹角？ 2．数量积的定义是什么？ 3．投影向量的定义是什么？ 4．向量数量积有哪些性质？ 5．向量数量积的运算有哪些运算律？ 二、新知探究探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求（a ＋2b ）·（a ＋3b ）．（2）如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD →·BC →；②AB →·DA →．解：（1）（a ＋2b ）·（a ＋3b ） ＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2 ＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．（2）①因为AD→∥BC →，且方向相同，所以AD→与BC →的夹角是0°， 所以AD→·BC →＝|AD →||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9． ②因为AB→与AD →的夹角为60°，所以AB→与DA →的夹角为120°， 所以AB→·DA →＝|AB →||DA →|·cos 120°＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6．互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求AC→·BD →．解：因为AC→＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，所以AC →·BD →＝（AB →＋AD →）·（AD →－AB →） ＝AD →2－AB →2＝9－16＝－7． 探究点2： 向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝（ ） A ．3 B ．23C ．4D ．12（2）向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝（ ）A ．13B ．12C ．15D ．14 解析：（1）|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a·b ＋4b 2 ＝|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2＝ 4＋4×2×1×12＋4＝23．（2）由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝12． 答案：（1）B （2）B 探究点3： 向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例3：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝－72，则a 与b 的夹角为________；（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且（a －b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为______．解析：（1）设a 与b 的夹角为θ，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝a ·a －3a ·b ＋2b ·a －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72， 所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝12．又因为θ∈[]0，π，所以θ＝π3．（2）设a 与b 的夹角为θ，由（a －b ）⊥b ，得（a －b ）·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |．又因为|a |＝2|b |，所以cos θ＝|b |22|b |2＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．答案：（1）π3（2）π3命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b （t ∈R ）的模取最小值时，求证：b ⊥（a ＋t b ）．证明：因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值．此时b ·（a ＋t b ）＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a·b |b |2·|b |2＝a·b －a·b ＝0．所以b ⊥（a ＋t b ）． 命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k 的值为（ ）A ．－32 B ．32 C ．±32D ．1（2）已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：（1）因为3a ＋2b 与k a －b 互相垂直， 所以（3a ＋2b ）·（k a －b ）＝0， 所以3k a 2＋（2k －3）a·b －2b 2＝0． 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 又|a |＝2，|b |＝3， 所以12k －18＝0，k ＝32．（2）由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ）， 即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ， 而a ，b ，c 为单位向量， 则a 2＝b 2＝c 2＝1， 则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5． 答案：（1）B （2）－8或5 三、学习小结1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角．（2）特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ； ③当θ＝π时，向量a 与b 反向． 2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．规定零向量与任一向量的数量积为0． 3．投影向量如图（1），设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为。
七年级上册数学学案设计4.1.1第2课时从不同的方向看立体图形和立体图形的展开图(附模拟试卷含答案)
第四章几何图形初步4.1 几何图形4.1.1 几何图形与平面图形第2课时从不同的方向看立体图形和立体图形的展开图学习目标：1．从不同方向观察一个物体，体会其观察结果的不一样性．2．能画出从不同方向看一些基本几何体或其简单组合得到的平面图形．3．初步建立空间观念．学习重点：识别并会画出从不同方向看简单几何体所得到的平面图形．学习难点：识别并会画出从不同方向看简单组合体所得到的平面图形．使用要求：1．阅读课本P1192．尝试完成教材P120练习第1题；3．限时15分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）；4．课前在小组内交流展示．一、自主学习：1．观察你身边的一个物体，试着从不同的角度去看它，你看到的形状是一样的吗？2．下面这几个几何体，试着从不同角度去看看，你得到了怎样的几何图形？【老师提示】：我们从不同的方向观察同一个物体时,可能看到不同的图形.为了能完整确切地表达物体的形状和大小,必须从多方面观察物体.在几何中,我们通常选择从正面、从左面、从上面三个方向来观察物体．通过这样的观察，就能把一个立体图形用几个平面图形来描述．3．分别正面、左面、上面再来观察上面的三个几何体，把观察的结果与同学交流．二、合作探究：1．分别从正面、左面、上面三个方向观察下面的几何体，把观察到的图形画出来．（1）从正面看从左面看从上面看（2）从正面看从左面看从上面看（3）从正面看从左面看从上面看2．先阅读P119的教材再完成P119的探究．（1）小组合作，可用正立体积木摆出书上的立体图形，再观察．（2）改变正立体积木的摆放位置，你摆我答，合作学习．（3）观察身边的几何体，如文具盒、同学的水杯等物品，与同学交流分别从正面、左面、上面所看到的几何图形．【老师提示】对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理． 3．P120练习第1题．3．苏东坡有一首诗《题西林壁》“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．”为什么横看成岭侧成峰？这有怎样的数学道理？三、学习小结：四、作业：P123习题4.1第4、9、10、13题．（准备长方体形状的包装盒至少一个）2019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．下列各组图形中都是平面图形的是（ ）A ．三角形、圆、球、圆锥B ．点、线段、棱锥、棱柱C ．角、三角形、正方形、圆D ．点、角、线段、长方体2．如图，甲从A 点出发向北偏东70°走到点B ，乙从点A 出发向南偏西15°方向走到点C ，则∠BAC 的度数是（ ）A.125°B.160°C.85°D.105°3．把图1所示的正方体的展开图围成正方体(文字露在外面)，再将这个正方体按照图2，依次翻滚到第1格，第2格，第3格，第4格，此时正方体朝上一面的文字为( )A.富B.强C.文D.民4．解方程()4.50.79x x +=，最简便的方法应该首先( )A.去括号B.移项C.方程两边同时乘10D.方程两边同时除以4.55．若方程3x －5＝1与方程2102a x --=有相同的解，则a 的值为( ) A.2B.0C.32D.12- 6．方程2395123x x x +--=+去分母得（ ） A.3（2x+3）-x=2（9x-5）+6 B.3（2x+3）-6x=2（9x-5）+1C.3（2x+3）-x=2（9x-5）+1D.3（2x+3）-6x=2（9x-5）+6 7．下面合并同类项正确的是（ ）A.23325x x x +=B.2221a b a b -=C.0ab ab --=D.220xy xy -+= 8．下列各式中，与xy 2是同类项的是（ ）A ．－2xy 2B ．2x 2yC ．xyD ．x 2y 29．已知整数a 0，a 1，a 2，a 3，a 4，…，满足下列条件：a 0＝0，a 1＝﹣|a 0+1|，a 2＝﹣|a 1+2|，a 3＝﹣|a 2+3|，…，以此类推，a 2019的值是（ ）A.﹣1009B.﹣1010C.﹣2018D.﹣2020 10．小明做了以下4道计算题：①（-1）2010=2010；②0-（-1）=-l ；③-+=-；④÷（-）=-1. 其中做对的共有 A ．1道 B ．2道 C ．3道 D ．4道11．在下列各数： ()2-+， 23-， 413⎛⎫- ⎪⎝⎭， 325⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()01-， 3-中，负有理数的个数是（ ）A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．512．﹣1+3的结果是（ ）A ．﹣4B ．4C ．﹣2D ．2二、填空题13．将一副三角板如图放置，若∠AOD=30°，则∠BOC=______．14．已知AOB 100∠=，BOC 60∠=，OM 平分AOB ∠，ON 平分BOC ∠，那么MON ∠等于______度.15．一件上衣按成本价提高50%后标价为105元，这件上衣的成本价为_____元．16．已知关于x 的一元一次方程1x-3=4x+3b 2017的解为x=4，那么关于y 的一元一次方程1y-1-3=4y-1+3b 2017（）（）的解y=____． 17．小明在做解方程的作业时，不小心将方程中的一个常数污染得看不清楚，方程是：122y y +=--¤ ．小明翻看了书后的答案，此方程的解是y= 12- ，则这个常数是_______． 18．将多项式xy 3-x 2y+2x 3-5y 2按字母x 降幂排列是：______．19．－4的倒数是________,相反数是_______.绝对值是_________.20．﹣（﹣82）=_____；﹣（+3.73）=_____；﹣（﹣27）=_____．三、解答题21．已知：AOD 160∠=，OB ，OM ，ON 是AOD ∠内的射线．()1如图1，若OM 平分AOB ∠，ON 平分BOD.∠当射线OB 绕点O 在AOD ∠内旋转时，MON ∠=______度.()2OC 也是AOD ∠内的射线，如图2，若BOC 20∠=，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，当BOC ∠绕点O 在AOD ∠内旋转时，求MON ∠的大小． ()3在()2的条件下，若AOB 10∠=，当BOC ∠在AOD ∠绕O 点以每秒2的速度逆时针旋转t 秒，如图3，若AOM ∠：DON 2∠=：3，求t 的值．22．如图，某景区内的环形路是边长为1200米的正方形ABCD ，现有1号、2号两辆游览车分别从出口A 和景点C 同时出发，1号车沿A→B→C→D→A 路线、2号车沿C→B→A→D→C 路线连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为300米/分．（1）如图1，设行驶时间为t 分（0≤t≤8）①1号车、2号车离出口A 的路程分别为_____米，_____米；（用含t 的代数式表示）②当两车相距的路程是600米时，求t 的值；（2）如图2，游客甲在BC 上的一点K （不与点B 、C 重合）处候车，准备乘车到出口A ，设CK=x 米． 情况一：若他刚好错过2号车，则他等候并搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，则他等候并搭乘即将到来的2号车．请判断游客甲在哪种情况下乘车到出口A 用时较多？（含候车时间）23．在某市一项城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标.经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙一起做24天可完成.(1)乙队单独完成这项工程需要多少天？(2)已知甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙两队全程一起做完成该工程省钱？24．某中学七年级一班有44人，某次活动中分为四个组，第一组有a人，第二组比第一组的一半多5人，第三组人数等于前两组人数的和．（1）求第四组的人数（用含a的代数式表示）．（2）试判断a＝12时，是否满足题意．25．以直线AB上点O为端点作射线OC，使∠BOC=60°，将直角△DOE的直角顶点放在点O处．（1）如图1，若直角△DOE的边OD放在射线OB上，则∠COE= ；（2）如图2，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分∠AOC，说明OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）如图3，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得∠COD=15∠AOE．求∠BOD的度数．26．先化简，再求值（1）求代数式14（4a2-2a-8）-（12a-1），其中a=1；（2）求代数式12x-2（x-13y2）+（-32x+13y2）的值，其中x=23，y=-2．27．已知|x+1|+（y+2）2=0，求x+y的值．28．计算：-3- 2 +（-4）-（-1）．【参考答案】***一、选择题1．C2．A3．A4．D5．A6．D7．D8．A9．B10．B11．C12．D二、填空题13．150°14． SKIPIF 1 < 0 或80解析：20或8015．70元16．517．118．2x3-x2y+xy3-5y219．- SKIPIF 1 < 0 , 4, 4;解析：-14, 4, 4;20．﹣3.73 SKIPIF 1 < 0解析：﹣3.73 2 7三、解答题21．(1) 80；(2) 70°；（3）t为21秒．22．2400﹣300t23．（1）90天.（2）由甲乙两队全程合作完成该工程省钱.24．（1）(34－3a)（2）a＝12时，第四组的人数为－2，不符合题意25．（1）30；（2）答案见解析；（3）65°或52.5°．26．（1）-1（2）227．﹣3．28．-82019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．如图，C ，D 是线段 AB 上两点，若 CB=4cm ，DB=7cm ，且 D 是 AC 的中点，则 AB 的长等于（ ）A.6cmB.7cmC.10cmD.11cm2．题目文件丢失！3．如图，点C 、D 是线段AB 上的两点，点D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则线段DB 的长等于（ ）A.2cmB.3cmC.6cmD.7cm4．某车间有34名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大小齿轮，才能刚好配套？若设加工大齿轮的工人有x 名，则可列方程为( )A ．3×10x＝2×16(34﹣x)B ．3×16x＝2×10(34﹣x)C ．2×16x＝3×10(34﹣x)D ．2×10x＝3×16(34﹣x)5．将一个周长为42cm 的长方形的长减少3cm ，宽增加2cm ，能得到一个正方形．若设长方形的长为xcm ，根据题意可列方程为（ ）A ．x+2＝（21﹣x ）﹣3B ．x ﹣3＝（21﹣x ）﹣2C ．x ﹣2＝（21﹣x ）+3D ．x ﹣3＝（21﹣x ）+26．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打9折；③一次性购书超过200元，一律打8折．如果小明同学一次性购书付款162元，那么他所购书的原价为( )A ．180元B ．202.5元C ．180元或202.5元D ．180元或200元7．某天数学课上老师讲了整式的加减运算，小颖回到家后拿出自己的课堂笔记，认真地复习老师在课堂上所讲的内容，她突然发现一道题目：()()2222223355a ab ba ab b a +---++= 26b -，空格的地方被墨水弄脏了，请问空格中的一项是（ ）A.+2abB.+3abC.+4abD.-ab 8．已知a+b ＝4，c ﹣d ＝3，则（b+c ）﹣（d ﹣a ）的值等（ ）A ．1B ．﹣1C ．7D ．﹣79．单项式4223ab c -的系数与次数分别是（ ） A ．2,5- B ．2,5 C ．2,63- D ．2,73- 10．下列各式从左到右的变形错误的是（ ）A ．（y ﹣x ）2=（x ﹣y ）2B ．﹣a ﹣b=﹣（a+b ）C ．（a ﹣b ）3=﹣（b ﹣a ）3D ．﹣m+n=﹣（m+n ）11．﹣（﹣2）等于（ ）A.﹣2B.2C.12D.±212．下列运算结果为正数的是（）A．-22 B．（-2）2 C．-23 D．（-2）3二、填空题13．将一副三角板如图放置，若∠AOD=30°，则∠BOC=______．14．已知x﹣2y+3=8，则整式x﹣2y的值为_____．15．某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分.某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对________道题，成绩才能在60分以上.16．请写出一个系数含π,次数为3的单项式,它可以是________.17．在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的小长方形后得图①和图②，已知大长方形的长为a，两个大长方形未被覆盖部分，分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是______.(用含a的代数式表示)18．若||2a=，则a=__________．19．比较大小：23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭___34--.（选用＞、＜、＝号填写）20．已知∠A=35°10′48″，则∠A的余角是__________．三、解答题21．已知：如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD于O．（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数；（3）在（2）的条件下，请你过点O画直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出∠EOF的度数．22．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°20′，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）求∠DOB的度数；（2）请你通过计算说明OE是否平分∠COB．23．如图，AB=12cm，点C是线段AB上的一点，BC=2AC．动点P从点A出发，以3cm/s的速度向右运动，到达点B后立即返回，以3cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动．设它们同时出发，运动时间为ts．当点P与点Q第二次重合时，P、Q两点停止运动．（1）AC=__cm，BC=__cm；（2）当t为何值时，AP=PQ；（3）当t为何值时，PQ=1cm．24．小明家使用的是分时电表，按平时段（6：00﹣22：00）和谷时段（22：00一次日6：00）分别计费，平时段每度电价为0.61元，谷时段每度电价为0.30元，小明将家里2005年1月至5月的平时段和谷时段的用电量分别用折线图表示（如图），同时将前4个月的用电量和相应电费制成表格（如表）根据上述信息，解答下列问题：（1）计算5月份的用电量和相应电费，将所得结果填入表1中；（2）小明家这5个月的月平均用电量为度；（3）小明家这5个月的月平均用电量呈 趋势（选择“上升”或“下降”）；这5个月每月电费呈 趋势（选择“上升”或“下降”）；（4）小明预计7月份家中用电量很大，估计7月份用电量可达500度，相应电费将达243元，请你根据小明的估计，计算出7月份小明家平时段用电量和谷时段用电量．25．先化简，再求值：[（x ﹣y ）2+（x+y ）（x ﹣y ）]÷2x，其中x ＝﹣1，y ＝2．26．先化简，再求值：2(﹣3xy+52x 2)+5(2xy ﹣x 2)，其中x ＝﹣2，y ＝12． 27．计算：28．（1）计算1114125522-+---（）；（2）计算()()32112321133⎛⎫-+⨯-⨯-÷- ⎪⎝⎭．【参考答案】***一、选择题1．C2．B3．D4．B5．D6．C7．A8．C9．D10．D11．B12．B二、填空题13．150°14．15．1216．πx3或πr2h 或 SKIPIF 1 < 0πr2h(答案不唯一)解析：πx 3或πr 2h 或13πr 2h(答案不唯一)17． SKIPIF 1 < 0解析：1 a 218． SKIPIF 1 < 0解析：219．＞．20．54°49′12″三、解答题21．（1）54°；（2）120°；（3）∠EOF的度数为30°或150°．22．(1) 154°50′；(2)见解析23．824．（1）65+45=110，46.95；（2）99；（3）上升；下降；（4）平时段300度，谷时用200度．25．x-y,-3.26．4xy，-4.27．-128．（1）－2；（2）－14．。
第12章 第64讲 曲线的极坐标方程
第十二章 坐标系与参数方程
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第十二章 坐标系与参数方程
激活思维
1. (选修 4－4P12 练习 5 改编)如果点 P 的直角坐标为(－ 2， 2)，那么它的极坐
标可表示为( B )
A. 2，π4 C. 2，54π
B. 2，34π D. 2，74π
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第十二章 坐标系与参数方程
(2) 若 P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上，且满足 OQ·OP ＝OR2，当点 P 在 l 上移动时，求点 Q 的轨迹的极坐标方程．
【解答】 设 P，Q，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|·|OP|
是圆心为(3,1)，半径为 2 的圆，可计算得|AB|＝2 22－12＝2 3.
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第十二章 坐标系与参数方程
4. (选修 4－4P15 习题 2(3)改编)在极坐标系中，以a2，π2为圆心，a2为半径的圆的 方程是__ρ_＝__a_s_i_n_θ__．
研题型 ·技法通关
第十二章 坐标系与参数方程
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第十二章 坐标系与参数方程
极坐标与直角坐标的互化 已知平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴． (1) 若点 A 的极坐标为2，76π，则其直角坐标是__(_－___3_，__－__1_)__． 【思维引导】 依据极坐标与直角坐标互化的公式求解． 【解析】 x＝2cos76π＝－ 3，y＝2sin76π＝－1， 故点 A 的直角坐标为(－ 3，－1)．
第五章 第30课 余弦定理与解三角形
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第五章 解三角形
4. 在△ABC 中，已知 D 为边 AB 上一点，若 BC⊥CD，AC＝3 2，AD＝ 3，sin
∠ABC＝ 33，则△ABC 的面积是___6__2___．
【解析】如图，cos∠ADC＝cos∠ABC＋π2＝－sin∠ABC＝－ 33，且 AC＝3 2， AD＝ 3.在△ACD 中，由余弦定理得(3 2)2＝3＋CD2－2 3×CD×－ 33，解得 CD ＝3.在 Rt△BCD 中，因为 sin∠ABC＝ 33，CD＝3，所以 BD＝3 3，BC＝3 2，所以 S△ABC＝12×4 3×3 2× 33＝6 2.
利用余弦定理判断三角形的形状 在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且 sinAsinB＝34，试判断△ABC 的形状． 【思维引导】已知条件等式中既有边又有角，因此考虑将边与角的混合关系转化 为只含有边或者只含有角的关系，再作判断．
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第五章 解三角形
在△ABC 中，已知内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sinπ3－C＋
cosC－π6＝
3 2.
(1) 求角 C 的大小；
【解答】 因为 sinπ3－C＋cosC－π6＝ 23，所以 cosC＝12.
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第五章 解三角形
(2) 若 B＝π6，BC 边上的中线 AM＝ 7，求△ABC 的面积． 【解答】 因为 B＝π6，所以 C＝π－A－B＝23π，易知△ABC 为等腰三角形，且 a ＝b.在△AMC 中，由余弦定理得，AM2＝AC2＋MC2－2AC·MCcosC，即 7＝b2＋b22－ 2·b·b2·－12，解得 b＝2，故△ABC 的面积为 S＝12b2sinC＝ 3.
2018-2019-创新导学案,数学,光盘-优秀word范文 (11页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==创新导学案,数学,光盘篇一：创新导学案(必修一)03 随堂消化吸收1.下列对象能构成集合的是( )A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼[解析] A、B、D不满足确定性，只有C中对象满足确定性，能构成集合．[答案] C2．设集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是( )A．0∈AC．a∈A确．[答案] C3．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．[解析] 方程x2－5x＋6＝0的解是2,3，方程x2－x－2＝0的解为－1,2.故以两方程的解为元素的集合中共有3个元素．[答案] 3m4．[201X·湖北荆州高一期中]m，n∈R，由两个数n1组成的集合P与由两个元素n,0组成的集合Q相等，则m＋n的值等于________．[解析] 由集合P与集合Q相等得n＝1，m＝0，所以 m＋n＝1.[答案] 15．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.(1)若－3∈A，试求实数a的值； B．a?A D．a＝A [解析] 元素与集合之间只存在“∈”和“?”关系，故a∈A正(2)若a∈A，试求实数a的值．[解] (1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－(来自: : 创新导学案,数学 ,光盘 )4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1. 篇二：创新导学案(必修一) (24)03 随堂消化吸收－1.若(1－2x)34有意义，则x的取值范围是( )B．x∈R且x≠21D．x2A．x∈R1C．x2－[解析] (1－2x)34 ＝14?1－2x?，1∴1－2x>0，得x2[答案] D25－332．计算(2a－3b )·(－3a－1b)÷(4a－4b )得( )32A．－23C2b7332B.2b 3D.2b1373－6a－4b 32[解析] 5＝－2.－3－44ab [答案] A32－43 ·n )6＝________.(m，n>0)32946362 )·(n ＝m ·n－4(m，n>0)．3．(m[解析] 原式＝(m[答案] m92 ·n－434．[201X·江西三校高一联考]计算a92a－33a－a(a>0)＝________.3[解析] 原式＝3＝9322 ÷923－27－3·a13。
【2018最新】金太阳导学案化学b-word范文 (7页)
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核心思想以学带教，归还学生自主权。
编写理念渗透高校课堂思想，引领学案导学模式引导学生实现自主学习、合作学习、探究学习、反馈学习达成目标学生学习自主化、掌握技能系统化、解题能力具体化、课程安排科学化、课程评价体系化丛书特点：1、围绕课程目标，紧扣教材，按课时设计学案；2、科学设计，“问题导学”；（1）紧密结合与学生学习、生活紧密相关的生活环境出发，紧扣世代脉搏设计问题；（2）在问题设计上依据学生认知特点，实现问题设计的层次化。
3、知识和习题设计面向全体学生（1）在知识设计上面向全体学生，但层次分明；（2）在评估检测的问题设计上，有深入浅，层次多样，面向全体学生提出不同要求。
4、重视学法，注重能力培养5、根据教学实际，合理设置图书结构，易于操作，方便师生学习（1）学案与教案分离；（2）学案与练案分离；（3）教师用书与学生用书页码相同。
篇二：选修4 化学全套导学案(带答案)第一章化学反应与能量第一节化学反应与能量的变化-----第1课时焓变反应热[学习目标] 1.了解反应热的概念，知道化学反应、热效应与反应的焓变之间的关系。
2.知道反应热与化学键的关系。
3.知道反应热与反应物、生成物总能量的关系。
一、焓变反应热：定义：在化学反应过程中，不仅有物质的变化，同时还伴有能量变化。
1．焓和焓变焓变是_______________________________。
单位：______________，符号：__________。
初中数学《一元二次方程》导学案
21.1一元二次方程一、本节知识点讲解【知识点1】一元二次方程1.一元二次方程的定义：方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a++=≠其中2ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
【题型1】一元二次方程的定义【例1】（2022春•香坊区期末）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2−2x=0B．3x+1＝7x C．a2﹣2a＝0D．2x﹣5＝y【变式1】（2022春•惠山区期末）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x﹣1＝0B．3x+x2=7C．x2﹣2x﹣3＝0D．x+y＝6【变式2】（2022春•滨江区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．﹣3x＝0B．1x2+1x−2=0C．x3+x2＝1D．x2+2x＝2x2﹣1【变式3】（2022春•宁波期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣2y+4＝0D．x2+3=2 x【例2】（2022春•通州区期末）若关于x的方程（a﹣1）x2+x＝0是一元二次方程，则a的范围是（）A．a＝1B．a＞1C．a≠1D．a＜1【变式1】（2022春•琅琊区校级月考）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．3B．﹣3C．±3D．±2【变式2】（2021秋•文山市期末）已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，则（）A．m≠±2B．m＝﹣2C．m＝2D．m＝±2【变式3】（2021秋•望城区期末）若关于x的方程(m−2)x m2−2+4x−7=0是一元二次方程，则m的值为（）A．m≠2B．m＝±2C．m＝﹣2D．m＝2【小结】【题型2】一元二次方程的一般形式【例1】（2022春•乐清市期末）把一元二次方程x（2x﹣1）＝x﹣3化为一般形式，正确的是（）A．2x2+3＝0B．2x2﹣2x﹣3＝0C．2x2﹣x+2＝0D．2x2﹣2x+3＝0【变式1】（2022春•琅琊区校级月考）将一元二次方程（x+3）（2x﹣1）＝﹣4化为一般形式，结果是（）A．2x2+5x﹣7＝0B．2x2+5x+1＝0C．2x2﹣5x+1＝0D．x2﹣7x﹣1＝0【变式2】（2021秋•兰山区期末）把方程x2﹣3（x+1）＝2x化成一般形式正确的是（）A．x2﹣x﹣3＝0B．x2+x+3＝0C．x2﹣5x﹣3＝0D．x2﹣x+3＝0【变式3】（2022春•蜀山区期末）方程x（2x﹣5）＝4x﹣10化为一元二次方程的一般形式是（）A．2x2﹣9x+10＝0B．2x2﹣x+10＝0C．2x2+14x﹣10＝0D．2x2+3x﹣10＝0【例2】（2022春•通州区期末）一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，3，﹣4B．0，3，4C．0，﹣3，4D．1，﹣3，﹣4【变式1】（2021秋•临邑县期末）方程x2﹣5x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．1，﹣5，﹣2B．1，5，2C．1，5，﹣2D．0，﹣5，﹣2【变式2】（2022春•金华月考）一元二次方程x2+4x＝3的二次项系数、一次项系数及常数项之和为（）A．8B．﹣1C．0D．2【变式3】（2021秋•双牌县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（）A．0B．3C．﹣3D．﹣3或3【小结】【题型3】一元二次方程的解（2022春•荣昌区校级期末）若x＝1是关于x的一元二次方程mx2﹣nx﹣2＝0的一个根，则m﹣n+2021【例1】的值为（）A．2020B．2022C．2023D．2026【变式1】（2022春•连江县期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2b﹣2a 的值是（）A．﹣1B．﹣2C．1D．2【变式2】（2021秋•莆田期末）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是x＝2，则m的值为（）A．﹣10B．﹣2C．2D．10【变式3】（2021秋•覃塘区期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+2mx+m＝0的一个实数根，则m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【小结】二、当堂检测1．（2022春•岳麓区校级期末）下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．x2＝0C．x2+2x=1x D．x2+y2＝02．（2022春•道外区期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．πx＝6B．x−3x=2C．xy＝1D．x2+5x＝63．（2022春•泰兴市期末）若关于x的方程（a﹣1）x2＝2为一元二次方程，则a满足（）A．a＝1B．a≠1C．a＝0D．a≠04．（2021秋•江油市期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（）A．﹣1B．2C．﹣1或3D．35．（2022春•道外区期末）将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A．3x2﹣6x+1＝0B．3x2+6x+1＝0C．3x2+6x﹣1＝0D．3x2﹣6x﹣1＝06．（2022春•嘉兴期末）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（）A．x2﹣3x﹣1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+3x﹣1＝0D．x2+3x+1＝07．（2022春•泗阳县期末）一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数、二次项系数、常数项的和是（）A．1B．8C．7D．28．（2022•凤山县模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项是0，则m的值（）A．1B．1或2C．2D．±19．（2022•白银模拟）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2018的值为（）A．2020B．2021C．2022D．202310．（2022春•琅琊区校级月考）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx﹣2m﹣4＝0的一个解，则m的值是（）A．﹣3B．3C．﹣1D．−5 3三、家庭作业1．（2022春•铁岭月考）下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．3x ﹣2＝0B ．x 2﹣3＝5C ．x +y 2＝4D ．1x +x 2＝12．（2021秋•文山市期末）已知关于x 的方程（m ﹣2）x |m |﹣3x ﹣4＝0是一元二次方程，则（ ）A ．m ≠±2B ．m ＝﹣2C ．m ＝2D ．m ＝±23．（2021春•全椒县期中）关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣5x +m 2﹣4＝0的常数项为0，则m 的值是（ ）A ．0B ．±2C ．2D ．﹣24．（2021秋•新洲区期中）将方程3x （x ﹣1）＝5（x +2）化成一元二次方程的一般形式后，一次项系数是（ ）A ．3B ．﹣8xC ．﹣8D ．﹣105．（2022•新化县模拟）若a 是x 2﹣3x ﹣2022＝0的一个根，则a 2﹣3a +1的值是（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20236．（2021秋•武夷山市期末）已知x ＝2是方程x 2﹣2x +c ＝0的一个根，则实数c 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．27．（2021秋•丰台区期末）若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0有一个解为x ＝0，那么m 的值是（ ）A．﹣1B．0C．1D．1或﹣1二．填空题（共5小题）8．（2022春•碑林区校级期末）若关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为．9．（2021秋•祁阳县期末）若（2﹣a）x a2−2−5＝0是一元二次方程，则a＝．10．（2022春•台江区校级期末）将方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3化成一元二次方程的一般形式为．11．（2022春•沙坪坝区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0的一个根是2，则m2＝．12．（2022•长沙县一模）如果m是方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，那么代数式3m2﹣9m的值为．21.1一元二次方程一、本节知识点讲解【知识点1】一元二次方程4.一元二次方程的定义：方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
极值点偏移(一)课件-2023届高三数学一轮复习
(1)求实数a的取值范围;
2设h( x)
x x2
f ( x)
, 试探讨h ' ( x0 )的符号， 并证明.
, x0 1
2
g ( x)
对称构造
解法 1：由（1） F ( x) ln x 1 ax ，不妨设 0 x1
a
a
a
1
1
2
所以 G( x) 在 (0, ) 为增函数，又 0 x1 ，则 G ( x1 ) G (1) 0 ，即 F ( x1 ) F ( x1 )
a
a
a
2
又 F ( x1 ) F ( x2 ) ，故 F ( x2 ) F ( x1 ) ，
a
2
1
1
1
2
2
又 x1 ， x2 ， F ( x) 在 ( , ) 上递减，所以 x2 x1 ，即 x2 x1 ，故 x0 1
2
求证: x1 x2 2 。
解：不妨设 0 x1 1 x2 ，要证 x1 x2 2 x2 2 x1 1 f x2 f 2 x1
4 f x1 f 2 x1 4 f x1 f 2 x1
a
a
a
a
a
a
因为 h( x)
ln x0
ln x 1
ln x
h
(
x
)
0
h
(
x
)
，
，所以
0
2
2
ax
二次函数图象及性质 复习课
作业布置 1.完善思维导图； 2.订正导学案上错题，完成课后检测； 3.《试题研究》33页：过程详细，书写规范.
同 学 们 再 见！
综合应用
如图抛物线 y x2 bx c 的图象过原点，并与x轴交于点
A（2，0） （1）求次抛物线的表达式. （2）写出顶点坐标及对称轴.
分类讨论思 想
（3）若抛物线上有一点B,且三角形OAB的面积是3,求点B的
坐标.
y
0
x
A
课堂小结
谈 谈 你 的 收 获
（1）二次函数图象及性质. （2）二次函数中的符号问题. （3）二次函数解析式的求法.
增大而增大，则x的取值范围是( A )
A. x<1
B. x>1
C. x<－1
D. x>－1
3. (2015河南12题3分)已知点A(4，y1)，B( 2 ，y2)，C(－2，y3)都在二 次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系__y_2<_y_1_<_y_3_．
全国真题
(2018·成都)关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法 正确的是( D ) A．图象与y轴的交点坐标为(0,1) B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为－3
热身运动
二次函数的定义
一般地如果 y＝ax2＋bx＋c (abc是常数,且a≠0) , 那么 y叫
做x的二次函数.
1.二次函数y=3x²+2x中 a= ___3, b=___2, c=__0_
2.二次函数y=4x²-7中 a= _4_ , b= _0_ , c= _-_7_
典例解析
例：已知二次函数 y 2(x 3)2 1 下列说法：
5.2.2 导数的运算法则(解析版)
5.2.2导数的运算法则导学案【学习目标】1.理解函数的和、差、积、商的求导法则2.掌握求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导【自主学习】知识点1导数的运算法则知识点2复合函数的导数【合作探究】探究一 导数运算法则的应用例1求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋23x 3；(2)y ＝lg x －e x ；(3)y ＝1x ·cos x ；(4)y ＝x －sin x 2·cos x2.解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋23x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫23x 3′＝x 4＋2x 2.(2)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x .(3)方法一 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′cos x ＋1x (cos x )′＝12()x -'cos x －1x sin x ＝－1232x -cos x －1x sin x ＝－cos x2x 3－1x sin x ＝－cos x2x x －1x sin x ＝－cos x ＋2x sin x2x x . 方法二 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫cos xx ′＝(cos x )′x －cos x (x )′(x )2＝121sin cos 2x x x x --⋅＝－x sin x ＋cos x2x x ＝－cos x ＋2x sin x2x x .(4)∵y ＝x －sin x2·cos x2＝x －12sin x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝1－12cos x .归纳总结：可以先化简，再求导练习1求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1. 解 (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2 x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2 x cos 2 x＝sin x cos x ＋x cos 2 x. (3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11.方法二 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法一 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.方法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.探究二 复合函数求导法则的应用例2求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋cos 2x )3；(2)y ＝sin 2 1x ；(3)y ＝11－2x 2；(4)y ＝(2x 2－3)1＋x 2.解 (1)y ＝(1＋cos 2x )3＝(2cos 2x )3＝8cos 6xy ′＝48cos 5x ·(cos x )′＝48cos 5x ·(－sin x )，＝－48sin x cos 5x .(2)令y ＝u 2，u ＝sin 1x ，再令u ＝sin v ，v ＝1x ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝(u 2)′·(sin v )′·⎝⎛⎭⎫1x ′＝2u ·cos v ·0－1x 2＝2sin 1x ·cos 1x ·－1x 2＝－1x 2·sin 2x .(3)设y ＝12u -，u ＝1－2x 2，则y ′＝12()u -' (1－2x 2)′＝321()2u--·(－4x)＝3221(12)2x---(－4x)＝322 2(12)x x--.(4)令y＝u v，u＝2x2－3，v＝1＋x2，令v＝w，w＝1＋x2.v′x＝v′w·w′x＝(w)′(1＋x2)′＝1212 2x-⋅w＝2x21＋x2＝x1＋x2，∴y′＝(u v)′＝u′v＋u v′＝(2x2－3)′·1＋x2＋(2x2－3)·x1＋x2＝4x1＋x2＋2x3－3x1＋x2＝6x3＋x1＋x2.归纳总结：1.分层2.分别求导3.相乘4.带回变量练习2求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋1)5；(2)y＝1(1－3x)4；(3)y ＝31－3x ；(4)y ＝x ·2x －1；(5)y ＝lg(2x 2＋3x ＋1)；(6)y ＝)32(sin 2π+x .解 (1)设u ＝2x ＋1，则y ＝u 5，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 5)′·(2x ＋1)′＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x ＋1)4.(2)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5.(3)设u ＝1－3x ，则y ＝13u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝13·23u -·(1－3x )′＝13·13(1－3x )2·(－3)＝－13(1－3x )2.(4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.设t ＝2x －1，u ＝2x －1，则t ＝12u ，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·12u -·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1.∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1.(5)设u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ＝lg u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ln 10×(2x 2＋3x ＋1)′ ＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln 10. (6)设u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，v ＝2x ＋π3， 则y ＝u 2，u ＝sin v ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3.探究三 导数几何意义的应用例3 (1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程是 .(2)已知函数f (x )＝k ＋ln x e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 .答案 (1)4x －y －3＝0 (2)1解析 (1)利用求导法则与求导公式可得y ′＝(3ln x ＋1)＋x ×3x＝3ln x ＋4. ∴k 切＝y ′|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.(2)由f (x )＝ln x ＋k e x，得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞). 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.归纳总结：涉及导数几何意义的问题，可根据导数公式和运算法则，快速求得函数的导数，代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率，这样比利用导数定义要快捷得多.练习3(1)若曲线y ＝x 3＋ax 在(0,0)处的切线方程为2x －y ＝0，则实数a 的值为 .(2)若函数f (x )＝e x x在x ＝a 处的导数值与函数值互为相反数，则a 的值为 . 答案 (1)2 (2)12解析 (1)曲线y ＝x 3＋ax 的切线斜率k ＝y ′＝3x 2＋a ，又曲线在坐标原点处的切线方程为2x －y ＝0，∴3×02＋a ＝2，故a ＝2.(2)∵f (x )＝e x x ，∴f (a )＝e a a. 又∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝e x ·x －e x x 2，∴f ′(a )＝e a ·a －e aa 2. 由题意知f (a )＋f ′(a )＝0，∴e a a ＋e a ·a －e a a 2＝0，∴2a －1＝0，∴a ＝12.课后作业A 组 基础题一、选择题1.曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A.2eB.eC.2D.1答案 C解析 y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2. 2.当函数y ＝x 2＋a 2x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0等于( )A.aB.±aC.－aD.a 2 答案 B解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3.设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于() A.2 B.12C.－12D.－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4.已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )A.193B.103C.133D.163答案 B解析 因f ′(x )＝3ax 2＋6x ，且f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103，故选B. 5.函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C.e x －e －xD.e x ＋e －x 答案 A解析 y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )，故选A. 6.设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，则a ＋b 的值为( )A.－1B.1C.0D.2答案 A解析 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32，∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32， ∴a ＝0，故a ＋b ＝－1，选A.二、填空题7.下列各函数的导数：①(x )′＝12x －12；②(a x )′＝a x ln x ；③(sin 2x )′＝cos 2x ；④(x x ＋1)′＝1(x ＋1)2.其中正确的有 . 答案 ①④解析 (x )′＝12()x '＝1212x -，①正确；(a x )′＝a x ln a ，②错误；(sin 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＝2cos 2x ，③错误；(x x ＋1)′＝x ′·(x ＋1)－x ·(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－x (x ＋1)2＝1(x ＋1)2，④正确. 8.若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是 . 答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ，∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2，∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2).9.曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为 .答案 5x ＋y －3＝0解析 因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.10.已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ .答案 8解析 因y ＝x ＋ln x ，故y ′＝1＋1x ，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时，曲线变为直线y ＝2x ＋1，与已知直线平行).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.三、解答题11.求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4； (2)y ＝11－2x ； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)； (4)y ＝102x ＋3.解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝12(12)x --可看作y ＝12u -，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)32u -·(－2)＝32(12)x --＝1(1－2x )1－2x . (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3)＝－2cos(2x －π3).(4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.12.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x2，∴f ′(2)＝74，② 由①②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0). 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.B 组 能力提升一、选择题1．已知函数2ln ()x f x ax x =-，若曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与直线2x -y +1＝0平行，则a ＝（ ）A ．12-B ．12C ．1D ．2【答案】A 【解析】函数2ln ()x f x ax x =-的导数为21ln ()2x f x ax x '-=-， 可得曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为()112k f a '==-，由切线与直线2x -y +1＝0平行，可得1-2a ＝2，解得12a =-．2．记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()()()g x x f x '=+在[0,]x π∈内的单调递增区间是（ ）A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】()cos2f x x =，()'2sin 2f x x ∴=-，2()2sin 24sin 23g x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，令2222232k x k πππππ-+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ-+≤≤-+， ()g x ∴在[]0,π内的递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 3．已知函数22(1)sin ()1x x f x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则(2018)(2018)(2019)(2019)f f f f ''+-+--=（ ）A ．2B ．2019C ．2018D ．0【答案】A 【解析】22222(1)sin 21sin 2sin ()1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++ 令()22sin 1x x g x x +=+，则有()()()1,()f x g x f x g x ''=+= 因为()g x 的定义域是R ，()()22sin 1x x g x g x x ---==-+ 所以()g x 是奇函数，所以()g x '是偶函数所以(2018)(2018)0g g +-=，()()201920190g g ''--=所以(2018)(2018)(2019)(2019)f f f f ''+-+--()()()()2018120182019201921g g g g =++-++''--=4．曲线()axy x a e =+在点()0,a 处的切线与直线230x y ++=垂直，则a =（ ） A ．1-B ．±1C ．1D ．1-或2 【答案】B【解析】因为()21'=++ax y ax a e ，所以201x y a ==+'，因为曲线()e =+ax y x a 在点(0,)a 处的切线与直线230x y ++=垂直， 所以()21112⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭a ，即21a =，解得1a =±. 5．如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)g =（ ）．A ．－1B ．0C ．2D ．4【答案】B 【解析】将点()3,1代入直线2y kx =+的方程得321k +=，得13k =-，所以，()133f k '==-， 由于点()3,1在函数()y f x =的图象上，则()31f =，对函数()()g x xf x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，()()()133331303g f f ⎛⎫''∴=+=+⨯-= ⎪⎝⎭，故选B ． 6.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.[0，π4) B.[π4，π2)C.(π2，3π4] D.[3π4，π) 答案 D 解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π). 7．()f x 与()g x 是定义在R 上的可导函数，若()f x ，()g x 满足()()f x g x ''=，(()'f x 为()f x 的导函数，()'g x 为()g x 的导函数)，则()f x 与()g x 满足（ ）A ．()()f x g x =B ．()()f x g x =C ．()()f x g x -为常函数D ．()()f x g x +为常函数【答案】C 【解析】由()()f x g x ''=，即()()0f x g x ''-=所以[]()()0f x g x '-=，所以()()y f x g x =-为常数函数因为()()y f x g x =-为常数函数，设()()f x g x c -=（c 为常数）所以C 正确由于c 不一定为0，所以A 不正确. 则()()f x g x ，不一定相等，所以B 不正确. 显然()()f x g x +为常数的判定不正确，所以D 不正确.8.（多选）给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x '''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是凸函数的是（ ） A ．() sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =- C ．()321f x x x =-+- D ．()x f x xe =【答案】ABC【解析】对于A 选项，()sin cos ,()cos sin f x x x f x x x =+'=-， 则()sin cos f x x x ''=--， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()0f x ''<，是凸函数；对于B 选项，()1ln 2,()2f x x x f x x =-'=-，则()21f x x ''=-，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<，是凸函数；对于C 选项，若()3221,()32f x x x f x x =-+-'=-+，则()60f x x ''=-<在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，是凸函数；对于D 选项，若(),()(1)x x f x xe f x x e ='=+，则()()2x f x x e ''=+，则()0f x ''>在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，故不是凸函数.故选：ABC.二、填空题9．若函数2()'(1)x f x x e f x =⋅+⋅，则'(1)f =__________． 【答案】2e -【解析】∵函数()()2'1xf x x e f x =⋅+⋅∴()2(1)x xf x e x e f x =+⋅'+'∴(1)2(1)f e e f +''=+，即(1)2f e '=-. 故答案为2e -.10．设曲线ax y e =在点()0,1处的切线与直线210x y ++=垂直，则cos 3a π的值为__________． 【答案】12-【解析】直线210x y ++=的斜率为12-，所以曲线axy e =在点()0,1处的切线的斜率为2.'ax y ae =，'0|x y a ==，所以'0|2x y a ===，所以cos3a π=21cos 32π=-. 故答案为：12-11．己知a ，b 为正实数，直线y =x －a 与曲线y =ln(x +b )相切于点(x 0，y 0)，则11a b+的最小值是_______________. 【答案】4【解析】对()ln y x b =+求导得1y x b'=+， 因为直线y =x －a 与曲线y =ln(x +b )相切于点(x 0，y 0)，所以011x b=+即01x b =-， 所以()()00ln ln 10y x b b b =+=-+=，所以切点为()1,0b -， 由切点()1,0b -在切线y =x －a 上可得10b a --=即1b a +=，所以()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭， 当且仅当12b a ==时，等号成立. 所以11a b+的最小值是4. 12．已知()()()()12f x x x x n =+++（n N ∈，2n ≥），其导函数为()f x '，设()()20n f a f -'=，则10a =_____________.【答案】190-【解析】∵函数f （x ）=（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n ），（n≥2，n∈N），则 其导函数f′（x ）=（x+2）（x+3）…（x+n）+）x+1））x+3）…）x+n）+…+）x+1））x+2）…）x+n）1）） ）f′））2）=0+））1）×1×…×）n）2）+0+…+0=））n）2）!）f）0）=n!）当a n =()()'20f f -时，有a 10=8!10!-=）190） 故答案为﹣190） 13．若函数32()(0)h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为00(,())M x h x ，记函数()h x的导函数为()g x ，则有0'()0g x =，设函数32()32f x x x =-+,则1240324033...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________． 【答案】 0【解析】由题意得，()()2'360g x f x x x ==-=，()'660g x x =-=解得1x =，且()10f =，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称，因为()()110f x f x ++-=，则114032403314033...201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()2403220162018...102017201720172017f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故答案为0． 14.已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ∈R ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)的值为 . 答案 8解析 f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2，∴f ′(－x )＝a cos (－x )＋3b (－x )2＝f ′(x ). ∴f ′(x )为偶函数.∴f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝0.f (2 014)＋f (－2 014)＝a sin 2 014＋b ·2 0143＋4＋a sin(－2 014)＋b ·(－2 014)3＋4＝8. ∴f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝8. 三、解答题15．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠）()()()()f x g x f x g x ''>，且()()x f x a g x =(0a >，且1)a ≠）(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．若数列(){}()f ng n 的前n 项和大于62，求n 的最小值. 【答案】6【解析】）()()xf x ag x =））()()x f x a g x =））()()()()f x g x f x g x >''））()()()()()()()()''2ln 0x x f x f x g x f x g x a a a g x g x ''⎛⎫-===> ⎪ ⎪⎝⎭，即ln 0x a a >））1a >） ）()()()()115112f f g g -+=-））152a a -+=））2a =））()()2x f x g x =））()()2n f n g n =） ∴数列()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭为等比数列，∴()1212226212nn n S +-==->-））16n +>）即5n >，所以n 的最小值为6.16．设函数f （x ）=ae xlnx+1x be x-，（1）求导函数f′（x ）（2）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=e （x ﹣1）+2,求a ，b ． 【答案】(1)见解析（2）a=1,b=2【解析】（1）由f （x ）=ae xlnx+1x be x-，）()()111''2ln ()ln x x x x xxbe ae be x be f x ae x ae x x x x ----=+=++'; （2）由于切点既在函数曲线上，又在切线上， 将x=1代入切线方程得：y=2． 将x=1代入函数f （x ）得：f （1）=b ．∴b=2．将x=1代入导函数，则f'（1）=ae=e．∴a=1．C 组 挑战压轴题一、选择题1．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x ∈R ，都有()()()21xf x f x e x '=+-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-【答案】D【解析】令()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()()21xf x f x ex '=+-，所以()21g x x '=-，设2g xx x c ，因为()01f =，所以001f g c e ，()21g x x x =-+，因为()3xf x e <，所以()3xf x e<， 即213g x x x ，()()210x x -+<，解得12x -<<，故选：D.2．已知函数()f x 满足()()1'x f x f x e+=，且()01f =，则函数()()()2132g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦零点的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．0个【答案】B【解析】()()()()1''1x xx f x f x e f x e f x e+=⇔+=()'1x e f x ⎡⎤⇔=⎣⎦，∴()x e f x x c =+，()x x c f x e +=，∵()01f =代入，得1c =，∴()1xx f x e+=. ()()()()213002g x f x f x f x =-=⇒=⎡⎤⎣⎦或()16f x =， ()1001x x f x x e +=⇒=⇒=-；()()1116166x x x f x e x e +=⇒=⇒=+， 如图所示，函数xy e =与函数()61y x =+的图像交点个数为2个，所以()16f x =的解得个数为2个；综上，零点个数为3个，3．函数()f x 满足：1()'()x f x f x e+=，且(0)1f =，则关于x 的方程2[()]()0f x mf x n ++=的以下叙述中，正确的个数为（ ）①12m =-，0n =时，方程有三个不等的实根； ②1m n +=-时，方程必有一根为0；③0n <且1m n +>-时，方程有三个不等实根. A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D 【解析】分析：()()1'x f x f x e+=，得()()'xe f x =1，然后把()f x 看成整体转化二次方程根的问题即()xe f x x c =+详解：()()1'xf x f x e+=，得()()'xe f x =1 即()xe f x x c =+()xx cf x e += ，由()01f =，，得c=1 ()'xx f x e -=， ()f x 在（-∞，0）上单增，在（0，+∞）上单减，且()10f -=，大致草图为12m =-，0n =，有3个不等实根；1m n +=-时，()1f x =，即x=0恒满足方程；0n <且1m n +>-时，方程有三个不等实根.二、填空题4．函数()y f x =图象上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定2||(,)||A B k k A B AB ϕ-=叫做曲线()y f x =在点A 、B 之间的“平方弯曲度”．设曲线x y e x =+上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且121x x -=，则(,)A B ϕ的取值范围是____．【答案】 【解析】因为1xy e '=+，所以121,1x x A B k e k e =+=+，由题意可得12xx A B k k e e-=-，AB =121x x -=，所以AB =，故2(,)0||A B k k A B AB ϕ-==>，令1212x x x x u e ee e =-=-，则21(,)2222u A B u u u uϕ==++++，因为2u u+≥，所以1(,)22A B u uϕ=≤=++． 5．已知()tan f x x =，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，n 0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且13a π=，()n 1f a +=，则使得121sin sin sin 10k a a a ⋅<成立的最小正整数k 为 ________. 【答案】298【解析】()21cos f x x='，由()1n f a +=111tan cos cos n n na a a +===2121tan cos n n a a +∴= 222sin cos cos n n n a a a += 21tan n a =+，又13a π=，21tan 3a ∴=. {}2tan n a ∴是以3为首项，1为公差的等差数列，()2tan 312n a n n ∴=+-=+，又tan 0n a >，tan n a ∴=sin n a =12sin sin sin k a a a ∴⋅253k k +=+=110<得297k >，又*k N ∈，故k 的最小值为298.6．设三次函数3211()32f x ax bx cx =++，（a ,b ,c 为实数且0a ≠）的导数为()'f x ，记()()g x f x ''=，若对任意x ∈R ，不等式()()f x g x '恒成立，则222b a c+的最大值为____________ 【答案】2【解析】因为3211()32f x ax bx cx =++，所以2(),()2f x ax bx c f x ax b '''=++=+，即()2g x ax b =+.因为对任意x ∈R ，不等式()()f x g x '恒成立，所以22ax bx c ax b +++恒成立，即2(2)0ax b a x c b +-+-恒成立，所以2(2)4()0b a a c b ∆=---且0a >，即2244b ac a -，所以2440ac a -，所以0c a >，所以1c a，令ct a =，则1t .①当1t =时，222,0,0b a c b a c ===+；②当1t >时，22222222244444(1)4(1)422221(1)2(1)2222(1)21(1)c b ac a t t a a c a c t t t c t t a ----====-+++-+-++⎛⎫-+++ ⎪-⎝⎭当且仅当1t =时，取得最大值为2.故答案为2三、解答题7．已知函数()sin x f x e x =.设函数()()cos x F x f x e x =+） 20152017,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭作函数()F x 的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和的值.【答案】1008S π=【解析】把()f x 的解析式代入()()cos xF x f x e x =+ ,求出函数()F x 的导函数,设出切点坐标,求出函数在切点处的导数,由点斜式写出切线方程,把M 的坐标代入切线方程,得到关于切点横坐标的三角方程,利用函数图象交点分析得到切点的横坐标关于2π对称成对出现,最后由给出的自变量的范围得到数列{}n x 的所有项之和S 的值. ()()()cos sin cos x x F x f x e x e x x =+=+()2cos x F x e x ∴='设切点坐标为()()0000,sin cos x x e x x +，则切线斜率为()0002cos x F x e x '= 从而切线方程为()()000000sin cos 2cos x x y e x x e x x x -+=- ()0000001sin cos 2cos 2x x e x x e x x π-⎛⎫∴-+=- ⎪⎝⎭ 00tan 22x x π⎛⎫⇔=- ⎪⎝⎭ 令1tan y x =，222y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，这两个函数的图象均关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标也关于2x π=对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于2x π=成对出现，又在20152017,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦共有1008对，每对和为π.1008S π∴=.。
数学新导学案人教B讲义：第二章 数列 2.3.1 第2课时 Word版含答案
第2课时 等比数列的性质学习目标 1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算.知识点一 等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{a n }的公比为q ，则 a n ＝a 1·q n -1 ① ＝a m ·q n -m ② ＝a 1q·q n ③其中当②中m ＝1时，即化为①.当③中q ＞0且q ≠1时，y ＝a 1q ·q x为指数型函数．知识点二 等比数列常见性质(1)对称性：a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝…＝a m ·a n -m +1(n >m 且n ，m ∈N ＋)； (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n ； (3)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列；(4)在等比数列{a n }中，连续取相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或2k q )的等比数列；(5)若{a n }是等比数列，公比为q ，则数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q，q 2.(6)若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和q ，那么{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也都是等比数列，公比分别为pq 和pq.1．a n ＝a m q n -m (n ，m ∈N ＋)，当m ＝1时，就是a n ＝a 1q n -1.( √ ) 2．等比数列{a n }中，若公比q <0，则{a n }一定不是单调数列．( √ )3．若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n ＋b n }是等比数列．( × )4．若数列{a n }的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{a n }是等比数列．( × )题型一 等比数列通项公式的推广应用 例1 已知等比数列{a n }中． (1)若a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n . 解 (1)∵a 7a 4＝q 7-4＝82，即q 3＝4，∴q ＝34，∴225444333422(2)2n n n n n a a q----=⋅=⋅=⋅=(n ∈N ＋)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10-5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5， 又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ， ∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ， 解得q ＝12或q ＝2.∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2.∴a n ＝2·2n -1＝2n (n ∈N ＋)．反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1. (2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练1 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21B ．42C ．63D ．84 答案 B解析设等比数列{a n}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.题型二等比数列的性质及其应用例2已知{a n}为等比数列．(1)若a n>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若a n>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．解(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝25，∵a n>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.反思感悟抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．跟踪训练2设各项均为正数的等比数列{a n}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于() A．38B．39C．9D．7答案 C解析∵a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，∴a5＝3，∴log3(a1a2…a9)＝log3a95＝log339＝9.题型三由等比数列衍生的新数列例3已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于() A．42B．6C．7D．5 2答案 D解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9也成等比数列， ∴(a 4a 5a 6)2＝(a 1a 2a 3)(a 7a 8a 9) ＝5×10，又{a n }各项均为正数， ∴a 4a 5a 6＝5 2.反思感悟 借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量． 跟踪训练3 等比数列{a n }中，若a 12＝4，a 18＝8，则a 36为( ) A ．32B ．64C ．128D ．256 答案 B解析 由等比数列的性质可知，a 12，a 18，a 24，a 30，a 36成等比数列，且a 18a 12＝2，故a 36＝4×24＝64.等比数列的实际应用典例 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n (n ∈N ＋)年后这辆车的价值．(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解 (1)n 年后车的价值(万元)依次设为：a 1，a 2，a 3，…，a n ， 由题意，得a 1＝13.5(1－10%)，a 2＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{a n }是等比数列， ∴n 年后车的价值为a n ＝13.5×(0.9)n 万元． (2)由(1)得a 4＝a 1·q 4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．[素养评析] (1)等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．(2)发现和提出问题，建立和求解模型，是数学建模的核心素养的体现.1．在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为( ) A ．2B ．3C ．4D ．8 答案 A解析 由a 5＝a 2q 3，得q 3＝8，所以q ＝2.2．等比数列{a n }中，若a 2a 6＋a 24＝π，则a 3a 5等于( ) A.π4B.π3C.π2D.4π3 答案 C解析 a 2a 6＝a 24＝a 3a 5，∴a 3a 5＝π2. 3．已知等比数列{a n }共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( ) A.32B.2C ．2D ．2 2 答案 C解析 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a 1a 3a 5a 7a 9＝2，a 2a 4a 6a 8a 10＝64，则a 2a 4a 6a 8a 10a 1a 3a 5a 7a 9＝q 5＝32，则q ＝2，故选C.4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案 8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2. 插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7 ＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5) ＝(a 1a 8)3＝23＝8.5．已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是不是等比数列？解 不是等比数列．∵a 1＝21＋31＝5，a 2＝22＋32＝13，a 3＝23＋33＝35， ∴a 1a 3≠a 22，∴数列{a n }不是等比数列．1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.一、选择题1．在等比数列{a n }中，若a 2019＝8a 2016，则公比q 的值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．8 答案 A解析 ∵a 2019＝8a 2016＝a 2016·q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10000 D ．－10000答案 C解析 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6，∴a 38＝106，∴a 8＝102＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10000.3．(2018·大连模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1等于( )A ．2B ．4C.2D ．2 2 答案 B解析 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为单调递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12(舍负)，a 1＝a 2q ＝4.4．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6.则a 8等于( ) A ．64B ．128C ．256D ．512 答案 B解析 a 2＋a 3＝q (a 1＋a 2)＝3q ＝6， ∴q ＝2，∴a 1＋a 2＝a 1＋2a 1＝3a 1＝3， ∴a 1＝1.∴a 8＝27＝128.5．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13B ．3C ．±13D ．±3 答案 B解析 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0. 则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )， 化简得d 2＝－2a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.6．(2018·长春模拟)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∵a 1a m ＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6，∴m ＝10，故选C. 7．(2018·济南模拟)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15 答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n -3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C. 二、填空题8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 答案 18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18. 9．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4， ∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1， 解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.10．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 答案 8解析 由等比数列的性质，得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4. 再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.11．在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 答案 1024解析 设等比数列{a n }的公比为q ， a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①得q 48＝8，q 16＝2，∴a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)(q 16)10＝210＝1024.三、解答题12．已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值． 解 ∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4.①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64.②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝⎛⎭⎫142＝1. 13．在等比数列{a n }(n ∈N ＋)中，a 1＞1，公比q ＞0.设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n ； (3)试比较a n 与S n 的大小． (1)证明 因为b n ＝log 2a n ，所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q (q ＞0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)解 因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2. 又因为a 1＞1， 所以b 1＝log 2a 1＞0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝2，b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1，因此S n ＝4n ＋n (n －1)2·(－1)＝9n －n 22.又因为d ＝log 2q ＝－1， 所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4，即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N ＋)． (3)解 由(2)知，a n ＝25－n ＞0， 当n ≥9时，S n ＝n (9－n )2≤0，所以当n ≥9时，a n ＞S n .又因为a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12，a 7＝14，a 8＝18，S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7，S 8＝4， 所以当n ＝3,4,5,6,7,8时，a n <S n ； 当n ＝1,2或n ≥9，n ∈N ＋时，a n ＞S n .14．已知等比数列{a n }的公比为q (q ≠－1)，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( ) A ．数列{b n }为等差数列，公差为q m B ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2m C ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2 D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案 C解析 b n ＝a m (n －1)＋1·(1＋q ＋q 2＋…＋q m -1)，由q ≠－1易知b n ≠0，b n ＋1b n ＝a mn ＋1a m (n －1)＋1＝q m ，故数列{b n }为等比数列，公比为q m ，选项A ，B 均错误；c n ＝a m m (n －1)＋1·q 1＋2＋…＋(m -1)，c n ＋1c n ＝a mmn ＋1a m m (n －1)＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a mn ＋1a m (n －1)＋1m ＝(q m )m ＝2m q ，故数列{c n }为等比数列，公比为2m q ，D 错误．故选C.15．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列，已知数列a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…也成等比数列，求数列{k n }的通项公式．高中数学必修课程解 由题意得a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，得d (d －a 1)＝0， 又d ≠0，∴a 1＝d . 又a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…成等比数列，∴该数列的公比q ＝a 3a 1＝3d d＝3， ∴n k a ＝a 1·3n +1.又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1， ∴数列{k n }的通项公式为k n ＝3n +1(n ∈N ＋)．。
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Unit 7 Teenagers should be allowed to choose their own clothes.Section B (2a-2e) 【学习目标】1、学习的任务和目标：1) 熟练掌握以下词汇和短语：get in the way of ,support, enter, choice.2）熟练掌握以下句型：①He needs to spend more time on his homework because it is difficult tobecome a professional sports star.②I think I should be allowed to make this choice myself.③Only then will I have a chance to achieve my dream.3）学习课文Should I Be Allowed to Make My Own Decisions? 正确看待“家规”“班规”“校规”等，并能认真遵守;明白父母、教师的合理建议对自己成长的重要性；巩固含有情态动词的被动语态。
2、学习的重点: 1）掌握本课时词汇和句型。
2）学习课文Should I Be Allowed to Make My Own Decisions?3、学习的难点: 通过学习课文明白父母、教师的合理建议对自己成长的重要性；巩固含有情态动词的被动语态。
【学习过程】Step 1: 自主学习----明确目标自学文本1. 请同学们课前上平台阅读思考本节导学案，明确本节课的学习任务和目标。
2. 对照课本后面第一单元的单词表（163页P54）跟读单词录音。
要求：根据录音及单词音标，首先会读单词接着边读边写记单词，注意中英文的转换，最后默写单词。
3. 独立认真地预习（第54-55页）面的课文。
要求：阅读课文，把不理解的短语，句子用红笔做上记号。
4. 在线上对照导学案本课时完成探究归纳部分的预习。
5. 请大家带着问题自学本课时的两个微课视频。
Step 2: 自学检测----在线测学质疑思学1. 学生独立完成导学案上的自学检测。
2. 学生在线上提交客观题的答案。
3. 对照正确的答案对错题进行反思，质疑。
1. 通过自学完成下列任务：自学检测题：I. 翻译单词1.支持_________________2.进来；进去__________________3.选择；挑选____________4. 职业的；专业的_______________II. 认真预习2b阅读课文，找出下列短语和句子。
短语1.妨碍__________2.担心_________3.练习做某事________4.一名专业运动员_________________5.做一个决定______________6.不赞成_________________7.对……认真________8.最终成为____________9.实现梦想_____________ 10.花费时间在某事上_______________11.关心 _____________句子1. 青少年经常认为他们应被允许尽可能多地训练他们的爱好。
______________________________________________2. 他需要在功课上花更多的时间，因为成为一名职业的运动明星是很困难的。
______________________________________________3. 我认为我应被允许自己做出选择。
_______________________________________________4. 我们不反对跑步。
___________________________________________5. 只有那样我才会有机会实现我的梦想。
___________________________________________2. 通过平台核对答案并纠正错误的答案和浏览解析。
Step3: 自展提升----合作探究展示交流通过老师和同学的一起合作交流，解决学生自学中的疑问【知识探究】知识点一But sometimes these can get in the way of their schoolwork …get in the way of 挡……的路；妨碍e.g. Computer games will get in the way of his study.电脑游戏会影响他的学习。
【拓展】知识点二My wife and I have supported every one of his races.support v. 支持e.g. I hope you will support me in my efforts to discover the truth.在我努力寻求揭发真相时，希望你能支持我。
拓展：support 还可作名词，意为“支持”。
Your support has meant a lot to me during this difficult time.在困难时期，你的支持给了我很大的帮助。
【要点思维导图】知识点三We have nothing against running!我们全然不反对跑步！have nothing against (doing) ... 意为“___________”。
其中against作介词，意为“反对；违背”，其反义词为for，意为“支持”，后面接名词、代词或动名词作宾语。
e.g.I have nothing against getting your ears pierced. 你要穿耳洞，我没意见。
He has nothing against your ideas. 他不反对你的意见。
【拓展】against作介词时，还可以表示“紧靠；与……对抗；撞击”的意思。
Put your bicycle against the tree. 把你的自行车靠在树上。
Which team did you play against last week? 上星期你们跟哪一队比赛?知识点四I understand this, but I’m serious about running.be serious about 意为“对……是认真的”。
e.g. You should be serious about your job.你应该认真对待你的工作。
知识点五Only then will I have a chance to achieve my dream.这是一个倒装句，正常语序是I will have a chance to achieve my dream only then. 但由于与前文的连贯性及强调的需要，only then被置于句首。
英文的句子大多主语在前，谓语在后。
但在一些句子中，由于修辞或句子结构上的需要，谓语被部分或完全置于主语之前，构成“倒装语序”。
only用于句子的开头，后接副词、介词短语或状语从句时，句子应倒装。
例如：Only yesterday did he find out that his watch was lost.直到昨天他才发现他的手表丢了。
Only after a year did I begin to see the results of my work.直到一年后，我才开始看到我工作的成果。
Step 4: 自评巩固----自主测评当堂巩固1. 独立认真完成自评巩固训练。
（纸质学案上完成）2. 线上提交当堂测评客观题答案。
3. 对照上传的解析，弄清错题原因，掌握正确的解题思路及方法。
4. 在线下在纸质学案上订正。
5. 下课后将纸质学案交给老师进行批阅。
【随堂检测】一、根据句意及首字母或汉语提示完成单词1. Peter is a p___________ basketball player. He plays basketball very well.2. Lily crossed the street and e___________ the supermarket.3. This is a good plan. All of us s___________ you.4. Everybody should be given the chance to ___________(实现) their aims.5. My mother says that it is my only _______(选择).二、根据汉语提示完成句子1. Too many outdoor activities may________ _________ _________ _________ _________ (妨碍)your schoolwork.2. Parents ________ ________ ________(不反对) children’s playing with their friends.3. He didn’ t use to ________ ________(关心) his family, but he has greatly changed now.4. If you keep trying, you will __________ __________ __________(最终成为) a violinist.5. Lucy __________ __________ __________(对……是认真的) swimming. She trains hard for the competition every day.6. I hope you can __________ __________ __________ (实现你的梦想) soon.三、单项填空。
()1. They should_____ practice their hobbies.A. allowed toB. be allowed toC. are allowed()2.In fac t, Liu Yu’s parents have nothing against _____.A. runB. runsC. running()3. Liu Yu should spend time_____ his homework.A. inB. withC. on()4.Liu Yu is serious _____running.A. aboutB. inC. with()5. They have taught me ______ to work hard.A. how important is itB. how important it isC. what important it is()6. Most students know their parents care ________ their lives.A. forB. aboutC. for参考答案一、1. professional 2. entered 3. support 4. achieve 5. choice二、1.get in the way of 2. have nothing against 3. care about 4. end up as 5. is serious about 6. achieve your dream三、BCCABB。