2014-2015年江苏省南京师大附中高一上学期期中数学试卷带答案

2014-2015学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题；每小题3分，共42分，把答案填在答题卡的相应位置．）1．（3分）设全集U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（∁∪A）∪（∁∪B）=．2．（3分）函数y=log2（3x﹣2）的定义域是．3．（3分）如图，设实数a，b，c，d＞0，且不等于1，曲线①，②，③，④分别表示函数y=a x，y=b x，y=log c x，y=log d x在同一坐标系中的图象，则a，b，c，d 的大小顺序为．4．（3分）某高级中学高一特长班有100名学生，其中学绘画的学生有67人，学音乐的学生有45人，而学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21人，那么同时学绘画和音乐的学生有人．5．（3分）已知幂函数y=xα的图象过点（8，4），则这个函数的解析式是．6．（3分）已知函数f（n）=，其中n∈N，则f（8）等于．7．（3分）设lg2=a，lg3=b，则log512=．（用a，b表示）8．（3分）函数y=lg（x2﹣2x）的单调递增区间是．9．（3分）f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，若f（x）＞f（2﹣x），则x的取值范围是．10．（3分）（log 43+log83）（log32+log92）+log=．11．（3分）函数f（x）=xlog2x﹣3的零点所在区间为（k，k+1）（k∈Z），则k的值是．12．（3分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是．13．（3分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m 的取值范围是．14．（3分）已知f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2x﹣2，则f（log6）=．二、解答题：（本大题共6小题，共计58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内.）15．（8分）集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，C={x|x＜a}，（1）求A∪B；（2）求（∁R A）∩B；（3）若A∩C≠∅，求a的取值范围．16．（8分）函数y=a2x+2a x﹣1（a＞0且a≠1）在区间[﹣1，1]上有最大值14，试求a的值．17．（10分）已知a为实数，当a分别为何值时，关于x的方程|x2﹣6x+8|﹣a=0有两个、三个、四个互不相等的实数根？18．（10分）某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）：f（t）=（a＞0且a≠1）．若上课后第5分钟末时的注意力指标为140，（1）求a的值；（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？19．（10分）已知函数f（x）=2ax+（a∈R）．（1）当0＜a≤时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性并用定义证明你的结论；（2）对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=lg．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（x）≤1，求实数x的取值范围；（3）关于x的方程10f（x）=ax有实数解，求实数a的取值范围．2014-2015学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题；每小题3分，共42分，把答案填在答题卡的相应位置．）1．（3分）设全集U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（∁∪A）∪（∁∪B）={0，1，4} ．【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，∴∁∪A={4}，∁∪B={0，1}，则（∁∪A）∪（∁∪B）={0，1，4}，故答案为：{0，1，4}2．（3分）函数y=log2（3x﹣2）的定义域是{x|x＞} ．【解答】解：因为3x﹣2＞0，得到x故答案为：{x|x＞}3．（3分）如图，设实数a，b，c，d＞0，且不等于1，曲线①，②，③，④分别表示函数y=a x，y=b x，y=log c x，y=log d x在同一坐标系中的图象，则a，b，c，d 的大小顺序为d＞c＞a＞b．【解答】解：由函数的图象可得①y=a x 是减函数，②y=b x是减函数，故底数a，b都是大于0且小于1的实数．作出直线x=1和函数①②图象的交点，可得a＞b，故0＜b＜a＜1．由函数的图象可得函数③y=log c x 和④y=log d x是增函数，故底数c，d都是大于1的实数．作出直线y=1和函数③④图象的交点，可得d＞c，故有d＞c＞1．综上可得d＞c＞a＞b故答案为：d＞c＞a＞b4．（3分）某高级中学高一特长班有100名学生，其中学绘画的学生有67人，学音乐的学生有45人，而学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21人，那么同时学绘画和音乐的学生有33人．【解答】解：∵学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21人，∴学绘画和学音乐的人数是100﹣21=79人，∵学绘画的学生有67人，学音乐的学生有45人，∴同时学绘画和音乐的学生有67+45﹣79=33人，故答案为：335．（3分）已知幂函数y=xα的图象过点（8，4），则这个函数的解析式是f（x）=．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，把点（8，4）代入可得4=8α，解得．α=∴f（x）=．故答案为：f（x）=．6．（3分）已知函数f（n）=，其中n∈N，则f（8）等于7．【解答】解：∵函数f（n）=，∴f（8）=f[f（13）]，则f（13）=13﹣3=10，∴f（8）=f[f（13）]=10﹣3=7，故答案为：7．7．（3分）设lg2=a，lg3=b，则log512=．（用a，b表示）【解答】解：log512==．故答案为：．8．（3分）函数y=lg（x2﹣2x）的单调递增区间是（2，+∞）．【解答】解：由x2﹣2x＞0，得x＜0或x＞2，u=x2﹣2x在（2，+∞）内单调递增，而y=lgu是增函数，由“同增异减”，知函数y=lg（x2﹣2x）的单调递增区间是（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．9．（3分）f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，若f（x）＞f（2﹣x），则x的取值范围是（1，2）．【解答】解：由于f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，则f（x）＞f（2﹣x），等价为，解得，即有1＜x＜2．则解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．10．（3分）（log 43+log83）（log32+log92）+log=0．【解答】解：（log 43+log83）（log32+log92）+log=（log6427+log649）（log94+log92）+=log64243•log98+=﹣=﹣=﹣=0．故答案为：0．11．（3分）函数f（x）=xlog2x﹣3的零点所在区间为（k，k+1）（k∈Z），则k的值是2．【解答】解：f′（x）=+log2x，令f′（x）=0得，x=2﹣ln2，且0＜2﹣ln2＜1；∴x∈（0，2﹣ln2）时，f′（x）＜0，x∈（2﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；∴f（x）在（0，2﹣ln2）上单调递减，在（2﹣ln2，+∞）上单调递增；又x趋向于0时，log2x＜0，x＞0，∴xlog2x＜0，即函数f（x）在（0，2﹣ln2）内不存在零点；又∵f（2）=2﹣3＜0，f（3）=3log23﹣3＞0；∴f（x）在区间（2，3）内存在一个零点，且在（2﹣ln2，+∞）内只有一个零点；由已知f（x）零点所在区间为（k，k+1），（k∈Z）；∴k=2．故答案为：2．12．（3分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是0≤m≤4．【解答】解：∵函数f（x）=的定义域是一切实数，∴mx2+mx+1≥0对一切x∈R恒成立，当m=0时，上式变为1＞0，恒成立，当m≠0时，必有，解之可得0＜m≤4，综上可得0≤m≤4故答案为0≤m≤413．（3分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m 的取值范围是[，3] ．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，故由二次函数图象可知：m的值最小为；最大为3．m的取值范围是：≤m≤3．故答案[，3]14．（3分）已知f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2x﹣2，则f（log6）=．【解答】解：∵﹣3＜log6＜﹣2，又∵f（x+2）=f（x），∴f（log6）=f（log6+2）=f（log），∵﹣1＜log＜0，∴0＜log2＜1，又∵f（x）是R上的奇函数，∴f（log）=﹣f（log 2）=﹣（﹣2）=﹣（﹣2）=，故答案为：．二、解答题：（本大题共6小题，共计58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内.）15．（8分）集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，C={x|x＜a}，（1）求A∪B；（2）求（∁R A）∩B；（3）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，∴A∪B={x|2＜x＜10}；（2）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，∴∁R A={x|x＜3或x≥10}，则（∁R A）∩B={x|2＜x＜3}；（3）∵A={x|3≤x＜10}，C={x|x＜a}，且A∩C≠∅，∴a＞3．16．（8分）函数y=a2x+2a x﹣1（a＞0且a≠1）在区间[﹣1，1]上有最大值14，试求a的值．【解答】解：令b=a x则a2x=b2∴y=b2+2b﹣1=（b+1）2﹣2 对称轴b=﹣1若0＜a＜1，则b=a x是减函数，所以a﹣1＞a所以0＜a≤b≤所以y的图象都在对称轴b=﹣1的右边，开口向上并且递增所以b=时有最大值所以y=b2+2b﹣1=14∴b2+2b﹣15=0∴（b﹣3）（b+5）=0b＞0，所以b==3，a=符合0＜a＜1若a＞1则b=a x是增函数，此时0＜≤b≤ay的图象仍在对称轴b=﹣1的右边，所以还是增函数b=a时有最大值所以y=b2+2b﹣1=14b＞0，所以b=a=3，符合a＞1所以a=或a=317．（10分）已知a为实数，当a分别为何值时，关于x的方程|x2﹣6x+8|﹣a=0有两个、三个、四个互不相等的实数根？【解答】解：方程|x2﹣6x+8|﹣a=0的解的个数可转化为函数y=|x2﹣6x+8|与y=a的交点的个数，作函数y=|x2﹣6x+8|的图象如下，故由图象可知，当a=0或a＞1时，关于x的方程|x2﹣6x+8|﹣a=0有两个互不相等的实数根，当a=1时，关于x的方程|x2﹣6x+8|﹣a=0有三个互不相等的实数根，当0＜a＜1时，关于x的方程|x2﹣6x+8|﹣a=0有四个互不相等的实数根．18．（10分）某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）：f（t）=（a＞0且a≠1）．若上课后第5分钟末时的注意力指标为140，（1）求a的值；（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？【解答】解：（1）由题意得，当t=5时，f（t）=140，即100•﹣60=140，解得，a=4；（2）f（5）=140，f（35）=﹣15×35+640=115，由于f（5）＞f（35），故上课后第5分钟末比下课前5分钟末注意力更集中；（3）①当0＜t≤10时，由（1）知，f（t）≥140的解集为[5，10]，②当10＜t≤20时，f（t）=340＞140，成立；③当20＜t≤40时，﹣15t+640≥140，故20＜t≤，综上所述，5≤t≤，故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持﹣5=分钟．19．（10分）已知函数f（x）=2ax+（a∈R）．（1）当0＜a≤时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性并用定义证明你的结论；（2）对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）在（0，1]上的单调性递减，理由如下：设x1，x2∈（0，1]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=2ax1+﹣2ax2﹣=2a（x1﹣x2）+=（1﹣2ax1x2），∵x1，x2∈（0，1]，且x1＜x2，0＜a≤，∴x2﹣x1＞0，0＜x1•x2＜1，0＜2ax1x2＜1，1﹣2ax1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）在（0，1]上的单调性递减，（2）∵f（x）=2ax+，∴f′（x）=2a﹣=，①当a≤0时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，1]单调递减，∴f（x）min=f（1）=2a≥6，解得a≤3，∴a≤0时，对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=，当f′（x）＞0，即x＞，函数f（x）单调递增，当f′（x）＜0，即0＜x＜，函数f（x）单调递减，当≥1时，即0＜a≤时，f（x）在（0，1]上的单调性递减，∴f（x）min=f（1）=2a≥6恒成立解得a≤3，当＜1时，即a＞时，∴f（x）在（0，]上的单调递减，在（，1）上单调递增，∴f（x）min=f（）=2a•+≥6恒成立，解得a≥，综上所述实数a的取值范围为（﹣∞，]∪[，+∞）20．（12分）已知函数f（x）=lg．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（x）≤1，求实数x的取值范围；（3）关于x的方程10f（x）=ax有实数解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由得，（x+1）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域是（﹣1，1），因为f（﹣x）=lg=lg=﹣lg=﹣f（x），所以函数f（x）是奇函数；（2）由f（x）≤1得，lg≤1=lg10，所以，即，解得﹣≤x＜1，则实数x的取值范围是[﹣，1）；（3）由10f（x）=ax得，=ax，且﹣1＜x＜1，当x=0时，方程不成立；当x≠0时，方程化为a=，设g（x）=，则方程10f（x）=ax有实数解化为a=在（﹣1，1）有实数解，即实数a属于函数g（x）=在（﹣1，1）上的值域，则g′（x）==，令h（x）=x2﹣2x﹣1=0，解得x==1，则x=1，所以当﹣1＜x＜1﹣时，h（x）＞0，则g′（x）＞0，当1＜x＜1时，h（x）＜0，则g′（x）＜0，所以g（x）在区间（﹣1，1﹣）单调递增，在（1﹣，0）、（0，1）上单调递减，则在区间（﹣1，1﹣）上g（x）＜g（1﹣）==，又g（1）=0，g（﹣1）无意义，所以在（0，1）上g（x）＞0，所以函数g（x）的值域是（﹣∞，）∪（0，+∞），即实数a的取值范围是：（﹣∞，）∪（0，+∞）．。