pascal递归算法-noip竞赛材料

例如S＝｛1，2，3，4｝，k＝3。

细心的读者稍加分析后，不难得出S有6 种不同的划分方案，即划分数为6。

其方案为｛1，2｝∪｛3｝∪｛4｝｛1，3｝∪｛2｝∪｛4｝｛1，4｝∪｛2｝∪｛3｝｛2，3｝∪｛1｝∪｛4｝｛2，4｝∪｛1｝∪｛3｝｛3，4｝∪｛1｝∪｛2｝如果对于任意的S集合和k值，就不能凭籍直觉和经验计算划分数和枚举划分方案了。

必须总结出一个数学规律:设n个元素a1…an放入k个无标号盒的划分数为S(n，k)。

在配置过程中，有两种情况:1.设｛an｝是k个子集中的一个子集，于是把｛a1…an-1｝划分为k－1子集有S(n－1，k －1)个划分数;2.如果｛an｝不是k个子集中的一个，即an必与其它的元素构成一个子集。

首先把{a1，…，an-1｝划分成k个子集，这共有S(n－1，k)种划分方式。

然后再把an加入到k个子集中的一个子集中去，这有k种加入方式。

对于每一种加入方式，都使集合划分为k个子集，因此由乘法原理知，划分数共有k·ｓ(n－1，k)。

从上面的两种情况分析得出 S(n，k)＝S(n－1，k－1)+k·S(n－1，k) (n>1，k≥1)下面，我们来确定s(n,k)的边界条件:1.我们不可能把n个元素不放进任何一个集合中去，即ｓ(n，0)＝0;也不可能在不允许空盒的情况下把n个元素放进多于n的k个集合中去，即k＞n时S(n，k)＝0。

2.把n个元素放进一个集合或把n个元素放进n个集合，方式数显然是1。

即S(n,1)=1S(n,n)=1显然，通过上述分析可得出划分数S(n，k)的递归关系式:S(n，k)＝S(n－1，k－1)+k·S(n－1，k) (n〉k，k≥1)S(n，k)＝0 (n<k)或(k＝0)S(n，k)＝1 (k=1)或(k＝n) 按照划分数S(n，k)的递归定义,可以直接写出它的递归函数S(n,k)function S(n ,k:integer)of word;beginif(k=0)or(k>n)then s:=0else if(k=1)or(k=n)then s:=1else s:=s(n-1,k-1)+k*s(n-1,k);end;相似题：m个相同的球放进n个相同的盒子(可以一个盒子放多个)有多少种不同的放法？m个相同的球放进n个不相同的盒子(可以一个盒子放多个)有多少种不同的放法？例4、简单的背包问题。

设有一个背包，可以放入的重量为s。

现有n件物品，重量分别为t1 , t2 , t3 … ti … tn ，ti (1≤ i≤n)，均为正整数。

从n件物品中挑选若干件，使得放入背包的重量之和正好为s【输入样例】【输出样例】the number of object:5 number:1 weight:1 total weight=10 number:3 weight: 21 62 75 number:4 weight:7【分析】尝试构造函数snap(s,n)解决本题，分析情况如下：①、先取最后一个物品tn放入背包中，若tn=s，刚好放入包中，问题得到解决并输出(n,tn).②、若tn>s，则不能放入包中，还得继续挑选；若还剩物品(即n>1)，问题即为从剩余的n-1件物品中选取若干个，使得他们的重量和等于s，即snap(s,n)—>snap(s,n-1).③、若tn<s，则放入包中，但重量还不够；若还剩物品（n>1）,那么问题即可转换为从剩下的n-1件物品中选取若干件，使得他们的重量和等于包里剩下的可放入重量(s-tn),即：snap(s,n)—>snap(s,n-1)；而选中的tn还要看snap(s-tn,n-1)是否有解，无解的话说明先取tn不合适，就要放弃tn，在剩余的物品中开始挑选，即有snap(s,n)—>snap(s,n-1).【参考程序】Const m=10;var t:array[1..m] of integer;x,y,i:integer; f:boolean;function sng(x:integer):integer; {判断s-t[n]的三种情况}beginif x>0 then sng:=1else if x=0 then sng:=0else sng:=-1;end;function snap(s,n:integer):boolean;{判断是否有解}begincase sng(s-t[n]) of0:begin writeln(‘number:’n:4, ‘weight:’,t[n]:4); snap:=true; end;1:begin if n>1 then if snap(s-t[n],n-1)=true thenbeginwriteln(‘number:’n:4, ‘weight:’,t[n]:4); snap:=true; endelsesnap:=snap(s,n-1)else snap:=falseend;-1:if n>1 then snap:=snap(s,n-1) else snap:=falseend;end;beginwriteln(‘the number of object:’);readln（y）；writeln(‘total weight=’); readln(x);for i:=1 to y do read(t[i]);readln；{数据输入}f:=snap(x,y); { x:weight, y:number }if not(f) then writeln(‘not found’);end.例5、输出n个元素的无重复的全排列。

N个元素有n！种不同排列。

分析：1个元素直接输出；2个元素有两种排列，如（a b）(b a);3个元素以（a b c）为例，有： a b ca c bb a cb c ac b ac a b分析这些排列，一个简单的算法是：（1）a后随（b c）的所有排列（2）b后随（a c）的所有排列（3）c后随（b a）的所有排列上面（2）是将（1）中的a、b互换位置；上面（3）是将（1）中的a、c互换位置。

这里意味着可以用循环的方法来重复执行“交换位置，后随剩余序列的所有的排列”；而对剩余序列可以再使用这个方法，这就成了递归调用，后随的元素没有时，就到了递归的边界。

对于n个元素a=(a1a2…ak…an),设过程prem(a,k,n)是求a的第k到n个元素的全排列，设swap(a,k,I)是将a的第k个元素和第i个元素对换，i=k,…,n。

program exp1_7;var a:string;k,n:integer;procedure swap(var a:string;k,i:integer);var t:char;begin t:=a[k];a[k]:=a[i];a[i]:=t;end;procedure perm(a:string;k,n:integer);var i:integer;beginif k=n then writeln(a)else for i:=k to n do begin swap(a,k,i);perm(a,k+1,n); endend;beginreadln(a);n:=length(a);perm(a,1,n);end.例6、 2的幂次方表示任何一个正整数都可以用2的幂次方表示.例如：137=2^7+2^3+2^0。

同时约定次方用括号来表示，即a^b可表示为a(b)。

由此可知，137可表示为：2(7)+2(3)+2(0)，进一步：7=2^2+2+2^0 (2^1用2表示)；3=2+2^0；所以最后137可表示为：2(2(2)+2+2(0))+2(2+2(0))+2(0)。

又如：1315=2^10+2^8+2^5+2+1；所以1315最后可表示：2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0)输入：正整数(n≤20000)输出：符合约定的n的0，2表示(在表示中不能有空格)【分析】：递归法2的幂次方由高幂向低幂分解1. 计算最接近n（小于n）的2的次幂e2e≤n<2e+1 设x=2e。

2.从e开始按照次幂递减的方向分解（0≤i≤e）设x1—项数。

若n≥x，则分解出x=2i的2幂次方表示：⑴若x1>0(非第一项)，则输出’+’；⑵分析次幂ii=0，输出2（0）；{递归边界}i=1，输出2；i>1，输出2（i的2幂次方表示） {递归}⑶准备分解下一项x1←x1+1；n←n-x；x←x div 2；（无论n是否大于等于n）由此得出算法：procedure solve(n：word)；var e，i，x1：byte；x：word；beginx←16384；e←14；{214<20000<215}while x>ndo{计算最接近n（小于n）的x=2e}begin x←x div 2；e←e-1 end；{while}x1←0；for i←e downto 0do {逐位分解2的幂次i}beginif n≥x thenbegin{若能分解x=2i}if x1>0 thenwrite(’+’)； {若当前是中间项}case iof {根据次幂i分解x的2幂次方表示}0：write(’2(0)’)；1： write(2)；else beginwrite(’2(’)；solve( i)；write(’)’)end{else}end；{case}x1←x1+1；n←n-x {准备分解下一项x=2i-1}end；{then}x←x div 2end{for}end；{solve}例7、求数字的乘积根。

一个正整数的数字的乘积Ｎ的定义是：这个整数中非零数字的乘积。

例如，整数999的数字乘积为9*9*9，即729。

729的数字乘积为7*2*9，即126。

126的数字乘积为1*2*6，即12。

12的数字乘积为1*2，即2。

一个正整数的数字乘积根Ｎ是这样得到的：反复取该整数的数字乘积，直到得到一位数字为止。

例如，在上面的例子中数字的乘积根是2。

编写一个程序，输入一个正整数（长度不超过200位数字），输出计算其数字乘积根的每一步结果。

【分析】：每一步得到的乘积根比它的上一步的位数要小，显然存在递归过程，递归结束的条件是乘积根的位数等于１。

具体程序编码如下：program ex5_17;var st:string;procedure init;begin writeln(‘please input:’);readln(st);end;procedure make(ss:string);var a,b:array[1..200] of integer;i,j,x,code:integer; w:string;beginfillchar(a,sizeof(a),0);for i:=1 to length(ss) do {取每一位数}val(ss[i],a[i],code);fillchar(b,sizeof(b),0);x:=1;b[1]:=1;for i:=1 to length(ss) do {每一位非0的数相乘}beginfor j:=1 to x doif a[i]<>0 then b[j]:=b[j]*a[i];for j:=1 to x do {处理进位}begin b[j+1]:=b[j+1]+b[j] div 10;b[j]:=b[j] mod 10;end;if b[x+1]>0 then x:=x+1;end;ss:=‘’;for i:=x downto 1 dobeginstr(b[i],w);ss:=ss+w;end;writeln(ss);if length(ss)>1 then make(ss);end;begininit;{输入数据}writeln(st);make(st); {递归处理}readln;end.例8、输入N个字符，然后以倒序输出（用递归实现）。