最新人教版高中数学必修2第二章《空间中的垂直关系》自主广场
新人教版高中数学必修2(B)空间中的垂直关系(2)
空间中的垂直关系（2）教学目标：1、平面与平面垂直的概念2、平面与平面垂直的判定与性质教学重点：平面与平面垂直的判定与性质教学过程：（一）两平面垂直的概念（二）平面与平面垂直的判定：如果一平面经过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直（三）平面与平面垂直的性质：（1）平面与平面垂直，则在第一个平面内垂直与交线的直线垂直于第二个平面（2）平面与平面垂直，过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线在第一个平面内且垂直与交线（四）例子与练习例1求证：若两相交平面垂直于同一平面，那么，其交线也垂直于这个平面.已知：平面α、β、γ，γα⊥，γβ⊥且a =⋂βα 求证：γ⊥a证明：方法一：设b =⋂γα，c =⋂γβ在γ内作b MP ⊥，c MQ ⊥由平面与平面垂直的性质可得：α⊥MP 因为 α⊂a所以 a MP ⊥同理 a MQ ⊥故 γ⊥a方法二：设b =⋂γα，c =⋂γβ在α内作直线k b ⊥，在β内作直线c l ⊥由平面与平面垂直的性质得：γ⊥k ，γ⊥l故 k l //又因为 β⊂l ,β⊄k得β//k因为 a =⋂βα，α⊂k故 a k //所以 γ⊥a 例2如图，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD //CE 且CE =CA =2BD ,M 是EA 的中点.求证:（1）DE =DA（2）平面BDM ⊥平面ECA证明：（1）如图设N 为AC 的中点，连结BN 、MN .B MDCE A N因为 △ABC 为正三角形，所以 AC BN ⊥又因为 EC MN //，EC BD //所以BD MN //且BD CE MN ==21故 四边形MNBD 是平行四边形，DM BN // 由于 AC BN ⊥，EC BN ⊥所以 ⊥BN 平面AEC所以 ⊥MD 平面AEC所以 AE MD ⊥故 DE =DA（2）由（1）知⊥MD 平面AEC ，⊂MD 平面BDM 所以 平面BDM ⊥平面ECA小结：本节课学习了平面与平面垂直的判定与性质。
高中数学必修二（人教B版）：1.2.3《空间中的垂直关系》教案
高中数学必修二（人教B版）：1.2.3《空间中的垂直关系》教案《空间中的垂直关系》教案教学目标1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决.教学重难点重点：理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题.难点：空间中三种垂直关系的判定及性质综合应用.教学过程一、课前预习1、空间中三种垂直关系是哪三种？2、空间中三种垂直关系判定方法？3、列举现实生活中的垂直关系.二、定义与判定方法1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直.2、直线与平面垂直的判定常用方法有：①判定定理：,,,P b a b a =αα α⊥?⊥⊥l b l a l ,.② b ⊥α, a ∥b ?a ⊥α；（线面垂直性质定理）③α∥β,a ⊥β?a ⊥α（面面平行性质定理）④α⊥β，α∩β=l ，a ⊥l ，a ?β?a ⊥α（面面垂直性质定理）3、直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（a ⊥α，b ⊥α?a ∥b ）②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（b a b a ⊥??⊥αα,）4、点到平面的距离的定义：从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离.特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足.5、平面与平面垂直的定义及判定定理：（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直.记作：平面α⊥平面β（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（简称：线面垂直，面面垂直）6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.（简称：面面垂直，线面垂直.）思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法.三、典型例题例1、（1）对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（）A、m⊥n，m∥α，n∥βB、m⊥n，α∩β=m，n?αC、m∥n，n⊥β，m?αD、m∥n，n⊥β，m⊥α（2）设a、b是异面直线，给出下列命题：①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；③存在分别经过直线a和b的两个平行平面；④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直.其中错误的命题为（）A、①与②B、②与③C、③与④D、仅②（3）已知平面α⊥平面β，m是α内一条直线，n是β内一条直线，且m⊥n，那么，甲：m⊥β；乙：n⊥α丙：m⊥β或n⊥α；丁：m⊥β且n⊥α.这四个结论中，不正确的三个是（）解：（1）对于A，平面α与β可以平行，也可以相交，但不垂直.对B，平面α内直线n垂直于两个平面的交线m，直线n与平面β不一定垂直，平面α、β也不一定垂直.对D，m⊥α，m∥n则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β.只有C正确，m∥n，n⊥β则m⊥β又m?α，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β.故选C.（2）①正确，过a 上任一点作b 的平行线b′，则ab′确定唯一平面.②错误，假设成立则b ⊥该平面，而a ?该平面，∴a ⊥b ，但a 、b 异面却不一定垂直. ③正确，分别过a 、b 上的任一点作b 、a 的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求.④正确，换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅②错误选D（3）丙正确.举反例：在任一平面中作平行于交线的直线m （或n ），在另一平面作交线的垂线n （或m ）即可推翻甲、乙、丁三项.思维点拨：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内.例2、如图，ABCD 为直角梯形，∠DAB=∠ABC =90°，AB=BC=a ，AD=2a ，PA ⊥平面ABCD.PA=a.（1）求证：PC ⊥CD.（2）求点B 到直线PC 的距离.（1）证明：取AD 的中点E ，连AC 、CE ，则ABCE 为正方形，ΔCED 为等腰直角三角形，∴AC ⊥ CD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴AC 为PC 在平面ABCD 上的射影，∴PC ⊥CD（2）解：连BE ，交AC 于O ，则BE ⊥AC ，又BE ⊥PA ，AC∩PA= A，∴ BE ⊥平面PAC过O 作OH ⊥PC 于H ，则BH ⊥PC ，∵PA=a ，AC=2a,PC=3a ，∴ OH=a aa a 663221=??，∵BO=22a ，∴BH=a OH BO 3622=+即为所求. 例3、在斜三棱柱A1B1C1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB=AC ，侧面BB1C1C ⊥底面ABC（1）若D 是BC 的中点，求证AD ⊥CC1；（2）过侧面BB1C1C 的对角线BC1的平面交侧棱于M ，若AM=MA1，求证截面MBC1⊥侧面BB1C1C ；（3）AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由.命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质.知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质.错解分析：（3）的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙地作辅助线.（1）证明：∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC∵底面ABC ⊥侧面BB1C1C ，∴AD ⊥侧面BB1C1C∴AD ⊥CC1（2）证明：延长B1A1与BM 交于N ，连结C1N∵AM=MA1，∴NA1=A1B1∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1∴C1N ⊥C1B1∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C ，∴C1N ⊥侧面BB1C1C∴截面C1NB ⊥侧面BB1C1C∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C（3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明，下面证必要性.过M 作ME ⊥BC1于E ，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C∴ME ⊥侧面BB1C1C ，又∵AD ⊥侧面BB1C1C∴ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 共面∵AM ∥侧面BB1C1C ，∴AM ∥DE∵CC1⊥AD ，∴DE ∥CC1∵D 是BC 的中点，∴E 是BC1的中点∴AM=DE=21211=CC AA1，∴AM=MA1即1MA AM =是截面C C BB MBC 111平面⊥的充要条件例4、如图，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H（1）判定四边形EFGH 的形状，并说明理由（2）设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明（1）证明：∵AD//面EFGH,面ACD∩面EFGH ＝HG ，AD ?面ACD∴ AD//HG.同理EF ∥HG ，∴EFGH 是平行四边形∵A —BCD 是正三棱锥，∴A 在底面上的射影O 是△BCD 的中心，∴DO ⊥BC ，∴AD ⊥BC ，∴HG ⊥EH ，四边形EFGH 是矩形（2）作CP ⊥AD 于P 点，连结BP ，∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥面BCP∵HG ∥AD ，∴HG ⊥面BCP ，HG ?面EFGH 面BCP ⊥面EFGH ，在Rt △APC 中，∠CAP=30°，AC=AB=a,∴AP=23a例5、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC 是直角三角形，∠ABC=90°，2AB=BC=BB1=a ，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C 交于DE.求证：（1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）A1C⊥BC1；（3）DE⊥平面BB1C1C.证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴侧面与底面垂直，即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，又∵AB⊥BC，∴A1B1⊥B1C1从而A1B1⊥平面BB1C1C.（2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C，而A1B1⊥平面BB1C1C，∴ A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，由三垂线定理得A1C⊥BC1（3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，∴D为A1C的中点，E为B1C的中点，∴DE∥A1B1，而由（1）知A1B1⊥平面BB1C1C，∴DE⊥平面BB1C1C.思维点拨：选择恰当的方法证明线面垂直.四、小结1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用.2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化.3、距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系（平行与垂直）与解三角形的过程，值得注意的是“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少的步骤.在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用.五、课后反思在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用.六、课外作业课后练习A、B.。
人教版高中数学必修二《空间中直线、平面的垂直关系》
总结反思
操作确认
推理证明
面面垂直
性质
线面垂直
（垂直的一种转化）
复习回顾
内容探究
归纳整理
操作应用
总结反思
判定
判定
线线垂直
定义
线面垂直
性 质 性质
面面垂直
线线平行
降维 关系
空间问题平面化、平面问题直线化 平行与平行、平行与垂直、垂直与垂直 类比思想、转化思想
思想
复习回顾
内容探究
归纳整理
操作应用
求证 : AB . 证明:在平面 内作BE⊥CD, 垂足为B. 则∠ABE就是二面角 -CD- 的平面角 ∵ , ∴AB⊥BE(平面与平面垂直的定义)
CD=B 又由题意知AB⊥CD,且BE ∩
A D
∴AB⊥
B
C
E
复习回顾
直观感知
内容探究
发现猜想
归纳整理
操作应用
内容探究
归纳整理
操作应用
总结反思
问题1
线面垂直
a
定义
？
b
线面垂直
线线垂直
复习回顾
内容探究
归纳整理
ห้องสมุดไป่ตู้
操作应用
总结反思
问题2
线面垂直
？ 线线平行
复习回顾
直观感知
内容探究
发现猜想
归纳整理
操作应用
小小总结
总结反思
操作确认
推理证明
复习回顾
直观感知
内容探究
发现猜想
归纳整理
操作应用
小小总结
总结反思
操作确认
推理证明
2019-2020学年度高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-3空间中的垂直关系自主训练新人教B版必修2
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-3空间中的垂直关系自主训练新人教B版必修2______年______月______日____________________部门自主广场我夯基我达标1.若直线l不垂直于平面α，那么平面α内( )A.不存在与l垂直的直线B.只存在一条与l垂直的直线C.存在无数条直线与l垂直D.以上都不对思路解析:直线与平面不垂直也可以垂直平面内的无数条直线,不过它们都是平行直线,不能是相交直线.答案：C2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )A.平面DD1C1CB.平面A1DB1C.平面A1B1C1D1D.平面A1DB思路解析:由直线与平面垂直的判定定理可以证明与AD1垂直的平面是平面A1DB1.答案：B3.(20xx广东高考,5)给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面;③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是( )A.4B.3C.2D.1思路解析:由定义及判定定理知①②④正确，故选B.答案：B4.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是( )A.m⊥α,nβ,m⊥nα⊥βB.α∥β,m⊥α,n∥βm⊥n⊂⇒⇒C.α⊥β,m⊥α,n∥βm⊥nD.α⊥β,α∩β=m,n⊥mn⊥β⇒⇒思路解析:正确的命题是α∥β,m⊥α,n∥βm⊥n，选B.⇒答案：B5.已知正△ABC的边长为 2 cm，PA⊥平面ABC，A为垂足，且PA=2 cm,那么P到BC的距离为_____________.思路解析:取BC的中点D，连结AD、PD，由于△ABC为等边三角形，所以AD⊥BC，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，则BC⊥平面PAD，所以BC⊥PD，故PD就是所求的距离，根据正△ABC的边长为2 cm，则AD=3，在Rt△PAD中，PA=2，根据勾股定理可得PD=7.答案：76.若平面α及这个平面外的一条直线l 同时垂直于直线m,则直线l 和平面α的位置关系是___________________.思路解析:过l 作平面β，设α∩β=a.∵m⊥α，∴m⊥a.又m⊥l，l 、a 同在β内，故l∥a.∴l∥α.答案：l∥α我综合 我发展7.Rt△ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在α外,C 在α上射影为D(不在AB 上)，则△ABD 是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形思路解析:如图,AD ＜AC,DB ＜BC ，∴AD2+DB2＜AC2+BC2=AB2.∴∠ADB 为钝角.图1-2-3-7答案：C8.正方形ABCD 的边长为12,PA⊥平面ABCD ，PA=12，则点P 到对角线BD 的距离为( )A. B. C. D.3122123666思路解析:如图,连结AC 交BD 于O 点,图1-2-3-8则PA⊥BD,AO⊥BD.∴BD⊥面PAO. 故PO 为P 到BD 的距离.在Rt△AOP 中，PA=12，AO=.26 ∴PO=.66答案：D9.P是平行四边形ABCD所在平面外一点，若P到四边的距离都相等，则ABCD( )A.是正方形B.是长方形C.有一个内切圆D.有一个外接圆思路解析:根据空间射影定理，点P在面ABCD内射影为四边形的内切圆的圆心.答案：C10.求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点而垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.思路解析:反证法与同一法都是间接证法，但前者证的是原命题的逆否命题；后者证的是原命题的逆命题，但原命题必须符合同一法则.由于同一法则不易掌握，所以遇到有可能利用同一法证明的题，可改为用反证法形式证明.如题中可假设α,在平面α内作AE⊥CD，得AE⊥β，又AB⊥β，与过一点只有一条直线与平面垂直矛盾，所以假设不成立，得ABα.⊂图1-2-3-9答案:已知：α⊥β，α∩β=CD,A∈α,AB⊥β.求证：ABα.⊂证明：如图，在平面α内作AE⊥CD,则AE⊥β，而AB⊥β，∴AB与AE重合.∵AEα，∴ABα.⊂⊂11.如图1-2-3-10所示，四面体A —BCD 被平行于棱AB 、CD 的平面EFGH 所截.其中AC=AD=BC=BD ，AB=2CD,则AH∶HC 的值为多少时，四边形EFGH 的面积最大？图1-2-3-10思路分析:根据线段之间的关系判定四边形的形状,写出面积的函数关系式,再求最值,体现了函数思想.解：如图所示，设=λ，HCAH则,1+=λλAC AH 由题设可得GH∥DC，EH∥AB， ∴GH=·CD，EH=·AB.1+λλ11+λ又AC=AD=BC=BD ， 易证得AB⊥CD. ∴四边形EFGH 为矩形. ∴S 矩形EFGH=GH·EH=·CD·AB=·2·CD2=·CD2≤·CD2=CD2.2)1(1+λ122++λλλ212++λλ222+21当且仅当λ=,即λ=1时等号成立,λ1即AH∶HC 等于1时，四边形EFGH 面积取最大值.。
高中数学必修二《空间中的垂直关系》课件
(2) 由 (1) 知∠ EDC 为二面角 E－ BD － C 的平面角，又 △SAC∽△DEC ，∴∠ EDC ＝ ∠ASC，在Rt△SAB中，∠A＝90° ，设SA＝AB＝1，则SB＝. 由SA⊥BC，AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，在Rt△SBC中，SB＝BC＝， ∠ SBC ＝ 90° ， 则 SC ＝ 2 ， 在 Rt△SAC 中 ， ∠ A ＝ 90° ， SA ＝ 1 ， SC ＝ 2 ，
足，则∠AOB是α－l－β的平面角．
两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互 相垂直的平面． 7．两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这 两个平面互相垂直． 8．两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它 们的交线的直线垂直于另一个平面．
【例1】如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面正方形 的中心，M为棱DD1的中点，试证：B1O⊥平面MAC.
证明：证法一：如图(1)，连结AB1、CB1，
由AB1＝CB1，又O为AC的中点， ∴B1O⊥AC.连结OM、MB1、B1D1， 可证，∴B1O⊥OM. 根据直线与平面垂直的判定定理知：B1O⊥平面MAC.
1.平面与平面的垂直问题可转化为直线与平面的垂直问题解决． 2．利用平面与平面垂直的性质定理，可以有所选择地作出一个平面的垂 线，进而可解决空间的成角和距离等问题，因此作平面的垂线也是 立体几何中最重要的辅助线之一．
解决二面角问题的主要过程是作图、论证与计算，首先要找出二面角的平面 角，作二面角的平面角方法主要有根据定义，利用三垂线定理和逆定理等． 【例3】如右图所示，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直
人教版高中数学必修二《空间中垂直关系的判定》
PA AC
BC
平面PAC
PA AC A
构建相似活动场，有效提升活动经验
例1：如图1，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直 径，C是⊙O上一点，AE⊥PC.
（1）证明：BC⊥平面PAC； （2）证明：AE⊥平面PBC。 证明（1）：PA⊥⊙O所在平面，所以 BC ⊥ PA ，
具体来说，要证BC⊥平面PAC，可证BC⊥PA，
BC⊥AC，BC出现了两次。PA AC=A，而且PA和AC
确定的平面正好是平面PAC。
格力掌握核心科技 成为世界名牌
构建相似活动场，有效提升活动经验
例2：如图，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD， 过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G． 求证：AE⊥平面SBC，AG⊥平面SDC．
善抓问题核心
线面垂直
善抓问题核心
点 面 距 离
线 面 角
线 线 垂 直
二 面 角
体 积
线面垂直
线 线 平 行
面
面
面
面
平
垂
行
直
空 间 坐 标 系
空 间 向 量
善抓问题核心
线面垂直是立体几何知识核心中的核心：
一方面垂直是定义立体几何新概念的重要工具——如 线面角、二面角的平面角等异于平面几何的全新概念都与 “垂直”有关，另一方面，它是空间位置关系转化的立交 桥。
•
突破这一难点，成了立体几何学习中亟待解决
的问题。如何抓住解决问题的核心呢？
核心
• 宜昌，古称夷陵。地处长江三峡西陵峡口， 为鄂、渝、湘三省市交汇地。宜昌上控巴蜀， 下引荆襄，素有“川鄂咽喉”之称，历来是 兵家必争之地。
人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系教学设计
人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系教学设计一、教学目标1.了解空间中垂直关系的概念和性质，掌握相关的基本概念和定义；2.能够运用垂直关系的定义，判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直，解决与垂直相关的简单问题；3.通过垂直关系的学习，增强学生的空间想象能力和数学思维水平。
二、教学重点和难点1.垂直关系的定义和应用；2.掌握判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直的方法；3.解决与垂直相关的简单问题。
三、教学方法本课采用讲授、讨论和练习相结合的教学方法，倡导“启发式”教学，让学生在教师的引导下自主思考，发掘规律和方法，并通过课堂讨论和解决问题的过程中加深对知识的理解和记忆。
四、教学步骤1. 引入（10分钟）通过一个有趣的例子，激发学生对垂直关系的兴趣，引导学生了解垂直关系的概念和性质。
举例：小明在修建房屋时，需要确定柱子是否和地面垂直。
那么，垂直现象出现在我们生活中的哪些场合呢？2. 讲解垂直关系的基本概念和定义（20分钟）通过演示、讲解等方式，介绍垂直关系的定义和性质，如“两条直线垂直的条件是什么？两个平面垂直的条件是什么？”等等。
3. 探究垂直关系的应用（30分钟）带领学生探究判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直的方法和步骤，并通过练习，帮助学生巩固相关知识，增强应用能力。
4. 实际应用（30分钟）分组或个人作业，设计一些实际问题，让学生通过运用垂直关系的知识，解决实际问题。
举例：如何确定大型建筑物的每根柱子是否与地面垂直？5. 总结（10分钟）对本节课的重点知识、难点问题进行总结，并对学生问题进行答疑解惑，解决学生的困惑。
五、教学工具黑板、粉笔、几何模型、PPT等。
六、教学评价1.通过课堂练习，检验学生对垂直关系的掌握程度；2.通过实际应用的作业，检验学生对垂直关系的应用能力；3.通过教师观察、记录等方式，评价学生的表现和进步情况。
人教B版高中数学必修二最新资料空间中的垂直关系教案
第一章立体几何初步第1.2.3节空间中的垂直关系教学设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。
然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
并对画示表示进行说明。
Lpα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC 与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修2 1.2.3 空间中的垂直关系》
高中数学人教B版必修2
空间的垂直关系（第一课时）教学设计
线与平面垂直，
并归纳直线与
平面垂直的判
定定理。
【教师】巡视学
生的实践活动，
用
α
⊥a b a ,//.α⊥b ，n ． 根据直线与平面垂直的定义知
.,n a m a ⊥⊥又因为a b //
n m n m ,,,αα⊂⊂是两条相交
直线，
【学生】独立思考，并给出证
明，之后小组交
流， 【教师】巡视，指导，用
ααα⊥PO
1.在空间四边形ABCD 中, DA ⊥面
ABC, AC ⊥BC, 若AE ⊥ DB,
AF ⊥ DC
求证：EF ⊥DB
3.如图：已知：
A
PA 于，αβα⊥= ,B PB 于β⊥Q AQ 于 ⊥,
求证： ⊥BQ
l Q B
A
P
αβ
板书设计
直线与平面垂直
一、直线与直线垂直的定义 二、直线与平面垂直的定义 a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c 若α⊂⊥a a ，任意性)( ，则α⊥ 作用：证明线线垂直
三、直线与平面垂直的性质 四、直线与平面垂直的判定定理 m m ⊥⇒⎩⎨⎧⊂⊥ αα
ααα⊥⇒⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l P n m n m ,,,
五、直线与平面垂直的推论a∥b，b⊥α，则a⊥α。
人教B版高中数学必修2-1.2教学教案-空间中的垂直关系：平面与平面垂直
1.2.3 空间中的垂直关系平面与平面垂直一、教材分析平面与平面的垂直是两个平面的一种重要的位置关系.是继教材直线与直线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与拓展.这一节的学习对理顺学生的知识架构体系、提高学生的綜合能力起着重要的作用.二、学生分析学生通过学习直线与直线的垂直、直线与平面的垂直,已经初步掌握了线线垂直与线面垂直的判定和性质.这为学生学习平面与平面垂直的判定定理与性质定理打下了良好的基础.但是,有一部分学生的空间象想能力和逻辑思维能力较差，因此，在学习的过程仍有一定的难度,教学中必须注意这一点.三、设计理念学生是学习和发展的主体,教师是学习活动积极的组织者和引导者.立体几何的学习主要培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力,因此在学习与教学过程中应充分发挥学生在学习中的主动性和创造性, 通过探究性的学习方法,使学生在不断的探究学习的过程中积极参与、独立思考.多媒体与教具的应用是教学情景的设置、表现立体几何中丰富多彩的线面关系、加深定理与性质的理解的一个重要手段.也是教师调动学生的情感体验、关注学生的学习兴趣和诱导学生积极独立思考的重要方法，为实现学生的主体地位起着重要的作用.四、教学目标理解和掌握面面垂直的定义、判定定理及性质定理，并能应用定理解决相关问题五、教学重点、难点教学重点：两个平面垂直的定义、判定定理、性质定理。
教学难点：两个平面垂直的定义、判定定理、性质定理的推导及应用。
六、教学方法与教学手段教学方法：本节课采用“问题探究式”教学法，通过观察、归纳、启发探究，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动．．教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大教学容量，提高效率。
（1）新课引入：提出问题，激发学生的求知欲。
（2）定义的讲解：让学生自己分析定义中的两个垂直，并和以前的知识建立联系。
（3）判定定理的分析：通过两个实际的例子，让学生自己分析两个平面怎样才能垂直，归纳定理的内容。
再进一步分析定理。
最新人教版高中数学必修2第二章《空间中的垂直关系》课堂探究(第1课时)
课堂探究知能点一：线面垂直的判定定理及推论的应用利用判定定理证明线面垂直，一定要证明直线与平面内的两条相交直线垂直，运用时一定要明确指出．【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC.要证B1O⊥平面P AC，根据判定定理，只需证B1O垂直于平面P AC内的两条相交直线．证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，设其棱长为2a，因为B1B⊥平面AC，且AC平面AC，所以B1B⊥AC.又O是正方形ABCD的中心，所以AC⊥BD.又BD∩B1B＝B，所以AC⊥平面B1BO.而B1O平面B1BO，所以B1O⊥AC.又PO2＋OB12＝3a2＋6a2＝9a2，PD12＋B1D12＝a2＋8a2＝9a2，PB12＝PD12＋B1D12，所以PO2＋OB12＝PB12.所以B1O⊥PO.又PO∩AC＝O，所以B1O⊥平面P AC.本题抓住了特殊几何体——正方体及特殊点P的位置关系，运用勾股定理的逆定理，通过计算证明了直线和直线垂直，再根据直线和平面垂直的判定定理证明了直线和平面垂直．1．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2和G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF和EF把这个正方形折起，使点G1、G2、G3重合，重合后的点记为G，那么下列结论成立的是()．A．SD⊥平面EFG B．SG⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF答案：B2．S是△ABC所在平面外一点，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，H是△ABC的垂心，求证：SH⊥平面ABC.证明：∵SA⊥SB，SA⊥SC，且SB∩SC＝S，∴SA⊥平面SBC，又BC平面SBC，∴SA⊥BC.又H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，又SA∩AH＝A，∴BC⊥平面SAH.又SH平面SAH，∴BC⊥SH.同理AB⊥SH，又AB∩BC＝B，∴SH⊥平面ABC.知能点二：线面垂直的性质的应用线面垂直的性质是由线面垂直到线线垂直的转化，它是证明线线垂直的一种常用的方法，用它也可证明两直线平行(垂直于同一个平面的两直线平行)．【例2】如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.线线垂直的证明通常转化为证明线面垂直．证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.∵AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF，∴SC⊥AG.∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.线面垂直和线线垂直在推理中是经常加以转化的，证线线垂直的常用思路为：1．下列命题中正确的个数是()．①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．A．1 B．2 C．3 D．4答案：B2．如图所示，α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为点A，EB⊥β，垂足为点B.求证：CD⊥AB.证明：∵EA⊥α，CDα，根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA .同样，∵EB ⊥β，CDβ，则有EB ⊥CD .又EA ∩EB ＝E ，根据直线和平面垂直的判定定理，则有CD ⊥平面AEB .又∵AB 平面AEB ，∴CD ⊥AB . 知能点三：点到平面的距离问题求点到平面的距离的基本方法是：由点向平面作垂线，确定垂足位置，再归结到三角形中，利用勾股定理或等面积法求解．当垂足位置不好确定时，可利用等体积法求解．【例3】如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别为BD 、BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求点E 到平面ACD 的距离．本题等量较多，可以以算代证；求距离可利用等体积法．证明：(1)连接OC ，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ，在△AOC 中，AO ＝1，OC ＝3，AC ＝2，∴AO 2＋CO 2＝AC 2，∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ，∵BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BCD .解：(2)设点E 到平面ACD 的距离为h ，∵V EACD ＝V ACDE ，∴13h ·S △ACD ＝13AO ·S △CDE ，在△ACD 中，CA ＝CD ＝2，AD ＝2，∴S △ACD ＝12×2×22－(22)2＝72，而AO ＝1，S △CDE ＝12×12×2×3＝32，∴h ＝AO ·S △CDE S △ACD ＝1×3272＝217，∴点E 到平面ACD 的距离为217.(1)已知线段长证明两直线垂直时，常常利用勾股定理的逆定理；(2)求点到平面的距离常常利用等体积法，通过转换顶点与底面，转移到已知有线面垂直关系的顶点上来．。
最新人教版高中数学必修2第二章《空间中的垂直关系》预习导航(第1课时)
预习导航请沿着以下脉络预习：1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线(AB )和一个平面(α)相交于点O ，并且和这个平面内过交点(O )的任何一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．易知，如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和这个平面内的任何一条直线垂直．(2)判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．(3)推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．2．直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．3．直线与平面垂直的判定定理及其推论的符号语言怎样表述？答案：判定定理的符号表示： 推论1的符号表示：a b l a b P l a l b ααα⊂⎛⎫ ⎪⊂ ⎪⎪ ⇒⊥=⎬ ⎪⊥ ⎪ ⊥⎪⎝⎭. ⎭⎬⎫l 1∥l 2l 1⊥αl 2⊥α.推论2的符号表示：⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥αa ∥b . 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )．A ．平行B ．垂直C．相交不垂直D．不确定答案：B2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()．A．平面DD1C1C B．平面A1DCB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB答案：B3．已知两相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是()．A．b平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与α相交或b∥α答案：D4．若直线a⊥b，b⊥α，aα，则__________．答案：a∥α解析：b⊥α，设b∩α＝A，过点A与直线a作平面β，且α∩β＝c，此时a∥c，cα，aα，∴a∥α.5．下列命题：①a∥b，a⊥α，则b⊥α；②a⊥α，b⊥α，则a∥b；③a⊥α，a⊥b，则b∥α；④a∥α，a⊥b，则b⊥α，其中真命题的序号为__________．答案：①②6．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD.证明：设E为BD的中点，连接AE，EC，∵AB＝AD，∴BD⊥AE.同理BD⊥CE，又∵AE∩EC＝E.∴BD⊥平面AEC，又AC平面AEC，∴BD⊥AC.。
新人教A版必修二 空间中的垂直关系 课件(35张)
分析：在高考中，立体几何解答题常常设置两问，第 (1)问常证明线面的位置关系，第(2)常考查与体积、距离等 有关的计算．两问的条件常常是一同叙述，图形也由同一 图形给出，因此，在证明第(1)问时，要根据证明的要求， 对条件要进行适当的筛选．在处理后面所选的例题及变式 时，也要注意这一点．
证明：在三棱柱 ABC－A1B1C1 中， 因为 CC1⊥平面 ABC， 所以四边形 A1ACC1 为矩形． 又 E，F 分别为 AC，A1C1 的中点， 所以 AC⊥EF. 因为 AB＝BC，所以 AC⊥BE， EF∩BE＝E，所以 AC⊥平面 BEF.
②如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那
么这条直线垂直于这个平面；
③如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么
这条直线Байду номын сангаас直于这个平面；
④如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，
那么这条直线垂直于这个平面．
A．①② B．①③ C．②④
D．③④
解：①中两条直线一定要是两相交直线，如果是两平行 直线，结论不成立；②中的无数条直线如果是平行直线，结 论也不成立；只有③与④才成立．
点评：(1)证线面垂直的基本方法是利用判定定理，即证明 一条直线与平面内的两条相交直线垂直．
(2)证明线线垂直时，要注意如下几个方面： ①要注意充分利用平面几何的知识，挖掘题中隐含的垂直 关系，如正方形、菱形的对角线垂直；等腰三角形底边上的高、 中线和顶角平分线垂直于底边；直径所对的圆周角为 90°等． ②利用计算的方法证明垂直，如给出线段长度，计算满足 勾股定理、证明角等于 90°等． ③利用已知垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视直线 与平面垂直的性质和两平面垂直的性质定理．
高中数学人教A版必修二 2章专题研究 空间中的垂直关系 课件(30张)
(4)利用面面垂直的性质定理证明，即若α⊥β，α∩β＝l， a⊂β，a⊥l，则 a⊥α；
(5)利用面面平行的重要结论证明，即若 a⊥α，α∥β，则 a⊥β；
(6)利用面面垂直的性质：两相交平面同时垂直于第三个平 面，那么两平面的交线垂直于第三个平面.
例 1 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 BB1 的中 点，O 是底面正方形 ABCD 的中心，求证：OE⊥平面 ACD1.
例 2 在三棱锥 P－ABC 中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC ＝4，PB＝ 34.
(1)求证：PA⊥平面 ABC； (2)过 C 作 CF⊥PB 交 PB 于 F，在线段 AB 上找一点 E，使 得 PB⊥平面 CEF.
【思路分析】 证明 PA⊥平面 ABC，即证 PA⊥AC 且 PA⊥AB，可由勾股定理的逆定理通过计算证明．若 PB⊥平面 CEF，则有 PB⊥CE，进而有 CE⊥AB，转化为共面垂直问题， 在三角形 ABC 内通过计算即可．
【解析】 (1)由已知得 PC2＝PA2＋AC2＝25，PB2＝PA2＋ AB2＝34，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，又 AB∩AC＝A， ∴PA⊥平面 ABC.
(2)∵CF⊥PB，只要 PB⊥CE，则有 PB⊥平面 . ∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥CE，又 PA∩PB＝P， ∴CE⊥平面 PAB，∴CE⊥AB. 设 BE＝x，∵△ACB 是直角三角形， ∴BC2＝BE·AB，即 9＝5x. ∴x＝95，故 E 点在 AB 上且距 B 点95.
∴EF 是△SAC 的中位线，∴EF∥SC. ∵SC⊥平面 ABCD，∴EF⊥平面 ABCD. 又 EF⊂平面 BDE， ∴平面 BDE⊥平面 ABCD.
例 6 某几何体的三视图如图所示，P 是正方形 ABCD 对角 线的交点，G 是 PB 的中点．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
自主广场
我夯基我达标
1.若直线l不垂直于平面α，那么平面α内( )
A.不存在与l垂直的直线
B.只存在一条与l垂直的直线
C.存在无数条直线与l垂直
D.以上都不对
思路解析:直线与平面不垂直也可以垂直平面内的无数条直线,不过它们都是平行直线,不能是相交直线.
答案：C
2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )
A.平面DD1C1C
B.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1
D.平面A1DB
思路解析:由直线与平面垂直的判定定理可以证明与AD1垂直的平面是平面A1DB1.
答案：B
3.(2006广东高考,5)给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面;
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
思路解析:由定义及判定定理知①②④正确，故选B.
答案：B
4.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是( )
A.m⊥α,n⊂β,m⊥n⇒α⊥β
B.α∥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥n
C.α⊥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥n
D.α⊥β,α∩β=m,n⊥m⇒n⊥β
思路解析:正确的命题是α∥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥n，选B.
答案：B
5.已知正△ABC的边长为2 cm，PA⊥平面ABC，A为垂足，且PA=2 cm,那么P到BC的距离为_____________.
思路解析:取BC的中点D，连结AD、PD，由于△ABC为等边三角形，所以AD⊥BC，
又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，则BC⊥平面PAD，所以BC⊥PD，故PD就是所求的距离，
根据正△ABC的边长为2 cm，则AD=3，在Rt△PAD中，PA=2，根据勾股定理可得PD=7. 答案：7
6.若平面α及这个平面外的一条直线l同时垂直于直线m,则直线l和平面α的位置关系是___________________.
思路解析:过l作平面β，设α∩β=a.∵m⊥α，∴m⊥a.又m⊥l，l、a同在β内，故l∥a.∴l∥α.答案：l∥α
我综合我发展
7.Rt△ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在α外,C在α上射影为D(不在AB上)，则△ABD是( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.锐角或钝角三角形
思路解析:如图,AD ＜AC,DB ＜BC ，∴AD 2+DB 2＜AC 2+BC 2=AB 2.∴∠ADB 为钝角.
图1-2-3-7
答案：C
8.正方形ABCD 的边长为12,PA ⊥平面ABCD ，PA=12，则点P 到对角线BD 的距离为( ) A.312 B.212 C.36 D.66
思路解析:如图,连结AC 交BD 于O 点,
图1-2-3-8
则PA ⊥BD,AO ⊥BD.∴BD ⊥面PAO.
故PO 为P 到BD 的距离.
在Rt △AOP 中，PA=12，AO=26.
∴PO=66.
答案：D
9.P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，若P 到四边的距离都相等，则ABCD( )
A.是正方形
B.是长方形
C.有一个内切圆
D.有一个外接圆
思路解析:根据空间射影定理，点P 在面ABCD 内射影为四边形的内切圆的圆心. 答案：C
10.求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点而垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
思路解析:反证法与同一法都是间接证法，但前者证的是原命题的逆否命题；后者证的是原命题的逆命题，但原命题必须符合同一法则.由于同一法则不易掌握，所以遇到有可能利用同一法证明的题，可改为用反证法形式证明.如题中可假设AB α,在平面α内作AE ⊥CD ，得AE ⊥β，又AB ⊥β，与过一点只有一条直线与平面垂直矛盾，所以假设不成立，得AB ⊂α.
图1-2-3-9
答案:已知：α⊥β，α∩β=CD,A ∈α,AB ⊥β.
求证：AB ⊂α.
证明：如图，在平面α内作AE ⊥CD,
则AE ⊥β，而AB ⊥β，
∴AB 与AE 重合.∵AE ⊂α，∴AB ⊂α.
11.如图1-2-3-10所示，四面体A —BCD 被平行于棱AB 、CD 的平面EFGH 所截.其中AC=AD=BC=BD ，AB=2CD,则AH ∶HC 的值为多少时，四边形EFGH 的面积最大？
图1-2-3-10
思路分析:根据线段之间的关系判定四边形的形状,写出面积的函数关系式,再求最值,体现了函数思想.
解：如图所示，设
HC AH =λ， 则1
+=λλAC AH , 由题设可得GH ∥DC ，EH ∥AB ，
∴GH=1+λλ·CD ，EH=1
1+λ·AB. 又AC=AD=BC=BD ，
易证得AB ⊥CD.
∴四边形EFGH 为矩形.
∴S 矩形EFGH =GH·EH=2)1(1+λ·CD·AB=122++λλλ·2·CD 2=212++λ
λ·CD 2≤222+·CD 2 =2
1CD 2. 当且仅当λ=λ1,即λ=1时等号成立,
即AH ∶HC 等于1时，四边形EFGH 面积取最大值.。