二次函数综合较难教师用

函数及图象中考考点分析对函数的考查内容有自变量的取值范围、函数图像的性质与特征、变量之间的函数关系等。

考查的形式有选择、填空和解答。

其中函数型综合解答题的分值较大。

函数型综合题主要有：几何与函数相结合型、坐标与几何方程与函数相结合型综合问题，历来是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象及性质、方程的有关理论的综合．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x 轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力和较好的区分度，因此是中考的热点题型，压轴题的主要来源，并且长盛不衰，年年有新花样．【例题精选】：例1：∆ABC 的边AB=6，BC=4，CA=3，在AB 边上取一点M ，设AM=x ，过M 作MP//CA 交BC 于P ，作MQ//BC 交AC 于Q 。

求四边形MPCQ 的周长y 关于x 的函数关系及自变量x 的取值范围。

分析：题目的关键是将四边形PMQC 的边用含x 的代数式表示，由题意看出只有通过相似求出各边才行，因为有平行线就有相似形。

解：∵MQ//BC ，∴M QB CA M A B=，∴M Q x M Q x4623==，又∵PM//AC ，∴PMx PM x 36662=-=-，∴yx x =⨯+-⎛⎝ ⎫⎭⎪22362∴ y x =+136x 的取值范围为（06<<x ）。

说明：x 的取值范围，要考虑图形中M 点在AB 边上运动，因此AM 的长度应当大于0而小于6。

考虑自变量取值范围时，要根据实际情况具体问题具体分析。

例2．已知函数22y x x c =++的图象与x 轴的两交点的横坐标分别是12x x ，，且222122x x c c +=-，求c 及1x ，2x 的值．解：令0y =，即220x x c ++=，当方程有两个不相等的实数根时，该函数的图象与x 轴有两个交点． 此时2240c ->即1c <． 由已知12122x x x x c +=-⎧⎨=⎩ ，∵ 222122x x c c +=-， ∴ ()22121222x x x x c c +-=-，∴()22222c c c --=- ，∴ 24c =，∴122,2c c =-=(舍去)．当2c =-时，2220x x +-=，解得1211x x =-+=-综上：2c =-，1211x x =-+=-为所求．例3. 已知关于x 的一元二次方程x c bx x =++2有两个实数根21,x x ，且满足01>x ，112>-x x ．相关链接 ：若12x x ，是一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根，则1212b c x x x x aa+=-=，．（1）试证明0>c ； （2）证明)2(22c b b +>；（3）对于二次函数c bx x y ++=2，若自变量取值为0x ，其对应的函数值为0y ，则当100x x <<时，试比较0y 与1x 的大小．解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式，即0)1(2=+-+c x b x∵ 21,x x 是该方程的两个实数根∴ )1(21--=+b x x ，c x x =⋅21 而01,0121>+>>x x x ∴0>c（2）212122124)()(x x x x x x -+=-1424)1(22+--=--=c b b c b ∵ 112>-x x ∴ 1)(212>-x x于是11422>+--c b b ，即0422>--c b b ∴ )2(22c b b +> （3）当100x x <<时，有10x y >∵ c bx x y ++=0200，1121x c bx x =++∴ )(12102010c bx x c bx x x y ++-++=-))((1010b x x x x ++-=∵ 100x x << ∴ 010<-x x 又∵ 112>-x x ∴ 112+>x x ，12121+>+x x x ∵ )1(21--=+b x x ∴ 12)1(1+>--x b 于是021<+b x ∵ 100x x << ∴ 010<++b x x由于010<-x x ，010<++b x x ，∴ 0))((1010>++-b x x x x ，即010>-x y ∴ 当100x x <<时，有10x y >例4. 如图，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ． （1）求D 点的坐标．（2）求一次函数的解析式．（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的x 的取值范围．分析与解答 （1）由图可得C （0，3）．∵抛物线是轴对称图形，且抛物线与x 轴的两个交点为A （－3，0）、B （1，0）， ∴抛物线的对称轴为1x =-，D 点的坐标为（－2，3）． （2）设一次函数的解析式为y kx b =+，将点D （－2，3）、B （1，0）代入解析式，可得230k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得1,1k b =-=．∴一次函数的解析式为1y x =-+．（3）当21xx <->或时，一次函数的值大于二次函数的值．说明：本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次函的对称性、对称点坐标的求法、一次函数解析式的求法以及数形结合思想的运用等． 例5. 如图2－4－21，二次函数2(0)yax bx c a =++≠的图象与x轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（－1，0），点C （0，5）、D （1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式． （2）求△MCB 的面积．分析与解答 第（1）问，已知抛物线上三个点的坐标，利用待定系数法可求出其解析式．第（20问，△MCB 不是一个特殊三角形，我们可利用面积分割的方法转化成特殊的面积求解．（1） 设抛物线的解析式为2yax bx c=++，根据题意，得058a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解之，得145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．∴所求抛物线的解析式为245yx x =-++．（2）∵C 点的坐标为（0，5）．∴OC ＝5．令0y =，则2450x x -++=，解得121,5x x =-=．∴B 点坐标为（5，0）．∴OB ＝5． ∵2245(2)9y x x x =-++=--+，∴顶点M 坐标为（2，9）．过点M 用MN ⊥AB 于点N ，则ON ＝2，MN ＝9． ∴11(59)9(52)551522MCB BNM OBC OCMN S S S S ∆∆∆=+-=+⨯⨯--⨯⨯=梯形说明：以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见的平面几何图形而产生的函数图象与图形面积相结合型综合题是中考命题的热点．解决这类问题的关键是把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，必要时要会灵活将待求图形的面积进行分割，转化为特殊几何图形的面积求解． 例6. 已知抛物线2(4)24yx m x m =-+-++与x轴交于1(,0)A x 、2(,0)B x ，与y 轴交于点C ，且1x 、2x 满足条件1212,20x x x x <+=（1）求抛物线的解析式；（2）能否找到直线y kx b =+与抛物线交于P 、Q 两点，使y 轴恰好平分△CPQ 的面积？求出k 、b 所满足的条件． 解答（1）∵△＝22(4)4(24)320m m m -++=+>，∴对一切实数m ，抛物线与x 轴恒有两个交点，由根与系数的关系得124x x m +=-…①，12(24)x x m =-+…图2-4-21②．由已知有1220x x +=…③．③－①，得2124,228.x m x x m =-=-=- 由②得(28)(4)(24)m m m --=-+．化简，得29140m m -+=．解得121122,7.2,4,2m m m x x ====-=当时，满足12x x <．当27m =时，126,3x x ==-，不满足12x x <， ∴抛物线的解析式为228yx x =--+．（2）如图2－4－22，设存在直线y kx b =+与抛物线交于点P 、Q ，使y 轴平分△CPQ 的面积，设点P 的横坐标为Q x ，直线与y 轴交于点E ．∵1122PCE QCE P QS S CE x CE x ∆∆==∙∙=∙∙，∴P Qx x =，由y 轴平分△CPQ 的面积得点P 、Q 在y 轴的两侧，即PQx x =-，∴0PQ x x +=，由228y kx by x x =+⎧⎨=--+⎩得2(2)80x k x b +++-=．又∵P x 、Q x 是方程2(2)80x k x b +++-=的两根，∴(2)0P Q x x k +=-+=，∴2k =-．又直线与抛物线有两个交点，∴当28k b =-<且时，直线y kx b =+与抛物线的交点P 、Q ，使y 轴能平分△CPQ 的面积．故2(8)y x b b =-+<．说明 本题是一道方程与函数、几何相结合的综合题，这类题主要是以函数为主线．解题时要注意运用数形结合思想，将图象信息与方程的代信息相互转化．例如：二次函数与x 轴有交点．可转化为一元二次旗号有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一元二次方程的解．点在函数图象上，点的坐标就满足该函数解析式等．例7. 例13. 已知：抛物线y=ax2+bx+c 经过原点（0，0）和A （1，-3），B （-1，5）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线与x 轴的另一个交点为C ，以OC 为直径作⊙M ，如果过抛物线上一点P 作⊙M 的切线PD ，切点为D ，且与y 轴的正半轴交点为E ，连接MD ，已知E 点的坐标为（0，m ），求四边形EOMD 的面积（用含m 的代数式表示）；（3）延长DM 交⊙M 于点N ，连接ON ，OD ，当点P 在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得四边形EOMD 和△DON 的面积相等，请求出此时点P 的坐标．解：（1）∵抛物线过O （0，0），A （1，-3），B （-1，5）三点，图2-4-21∴{c=0a+b+c=-3a-b+c=5， 解得{a=1b=-4c=0；∴抛物线的解析式为y=x2-4x ；（2）抛物线y=x2-4x 与x 轴的另一个交点坐标为C （4，0），连接EM ；∴⊙M 的半径为2，即OM=DM=2； ∵ED 、EO 都是⊙M 的切线，∴EO=ED ，△EOM ≌△EDM ；∴S 四边形EOMD=2S △OME=2³12OM •OE=2m ； （3）设点D 的坐标为（x0，y0），∵S △DON=2S △DOM=2³12OM ³y0=2y0，当S 四边形EOMD=S △DON 时，即2m=2y0，m=y0； ∵m=y0，ED ∥x 轴， 又∵ED 为切线，∴D 点的坐标为（2，2）；∵P 在直线ED 上，故设P 点的坐标为（x ，2）， ∵P 在抛物线上， ∴2=x2-4x ， 解得x=2±6；∴P （2+6，2）或P （2-6，2）为所求．例8. 如图9，在直角坐标平面内，函数m y x=（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连结A D ，D C ，C B ．（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标；（2）求证：D C A B ∥；（3）当A D B C =时，求直线A B 的函数解析式．（1）解： 函数(0m y x x=>，m是常数）图象经过(14)A ，，4m ∴=．设B D A C ，交于点E ，据题意，可得B 点的坐标为4a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，D 点的坐标为40a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，E 点的坐标为41a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 1a > ，D B a ∴=，44A E a=-．由ABD △的面积为4，即14442a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得3a =，∴点B 的坐标为433⎛⎫ ⎪⎝⎭，．图9（2）证明：据题意，点C 的坐标为(10)，，1D E =，1a > ，易得4E Ca=，1BEa =-， 111B E a a D E-∴==-，4414AEa a C Ea-==-． BEAED E C E ∴=． D C A B ∴∥．（3）解：D C A B ∥，∴当A D B C =时，有两种情况：①当A D B C ∥时，四边形A D C B 是平行四边形， 由（2）得，1B EA E a D EC E==-，11a ∴-=，得2a =．∴点B 的坐标是（2，2）． 设直线A B 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入，得422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线A B 的函数解析式是26y x =-+．②当A D 与B C 所在直线不平行时，四边形A D C B 是等腰梯形，则B D A C =，4a ∴=，∴点B 的坐标是（4，1）． 设直线A B 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入，得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线A B 的函数解析式是5y x =-+．综上所述，所求直线A B 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+．例9．如图10，已知抛物线P ：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：（1） 求A 、B 、C 三点的坐标；（2） 若点D 的坐标为(m，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；（3） 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM ＝k ²DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围．若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述（2）、（3）小题换为下列问题解答(已知条件及第（1）小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：（2） 若点D 的坐标为(1，0)，求矩形DEFG 的面积． 解：⑴ 解法一：设2(0)y ax bx c a =++ ，图任取x ，y 的三组值代入，求出解析式2142y x x =+-，令y ＝0，求出124,2x x =-=；令x ＝0，得y ＝－4，∴ A 、B 、C 三点的坐标分别是A (2，0)，B (－4，0)，C (0，－4) ． 解法二：由抛物线P 过点(1，－52)，(－3，52-)可知，抛物线P 的对称轴方程为x ＝－1，又∵ 抛物线P 过(2，0)、(－2，－4)，则由抛物线的对称性可知， 点A 、B 、C 的坐标分别为 A (2，0)，B (－4，0)，C (0，－4) ．⑵ 由题意，AD D G AOO C=，而AO ＝2，OC ＝4，AD ＝2－m ，故DG ＝4－2m ，又BE EF BOOC=，EF ＝DG ，得BE ＝4－2m ，∴ DE ＝3m ，∴S DEFG ＝DG ²DE ＝(4－2m ) 3m ＝12m －6m 2(0＜m ＜2) ．⑶ ∵S DEFG ＝12m －6m 2(0＜m ＜2)，∴m ＝1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 ． 当矩形面积最大时，其顶点为D (1，0)，G (1，－2)，F (－2，－2)，E (－2，0)， 设直线DF 的解析式为y ＝kx ＋b ，易知，k ＝23，b ＝－23，∴2233y x =-，又可求得抛物线P 的解析式为：2142y x x =+-， 令2233x -＝2142x x +-，可求出x 1613-.设射线DF 与抛物线P 相交于点N ，则N 1613--，过N 作x 轴的垂线交x 轴于H ，有FN H E D FD E=＝161233----5619-+点M 不在抛物线P 上，即点M 不与N 重合时，此时k 的取值范围是k ≠5619-+k ＞0．若选择另一问题：⑵ ∵AD D G AOO C=，而AD ＝1，AO ＝2，OC ＝4，则DG ＝2，又∵FGCP ABO C=， 而AB ＝6，CP ＝2，OC ＝4，则FG ＝3，∴S DEFG ＝DG ²FG ＝6． 课后练习：1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上. （1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D 为直线ABDCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P2、如图2，已知二次函数24yax x c=-+的图像经过点A 和点B ．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C.（1） 求这条抛物线的函数关系式.（2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S.① 求S 与t 的函数关系式；② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状；③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.图27、（07海南中考）如图7，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设4. 图4的二次函t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）.根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润S 与时间t 之间的函数关系式； （3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元； （4）求第8个月公司所获利是多少元？5、(07年海口模拟二)如图5，已知抛物线c x b x a y ++=2的顶点坐标为E （1,0），与y 轴的交点坐标为（0,1）.月)（1）求该抛物线的函数关系式.（2）A 、B 是x 轴上两个动点，且A 、B 间的距离为AB=4，A 在B 的左边，过A 作AD ⊥x 轴交抛物线于D ，过B 作BC ⊥x 轴交抛物线于C. 设A 点的坐标为（t ,0），四边形ABCD 的面积为S. ① 求S 与t 之间的函数关系式.② 求四边形ABCD 的最小面积，此时四边形ABCD 是什么四边形？③ 当四边形ABCD 面积最小时，在对角线BD 上是否存在这样的点P ，使得△PAE 的周长最小，若存在，请求出点P6、(07浙江中考)如图6，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。