非线性方程求跟—不动点迭代法(新)
第6章 非线性方程求根(1、二分法、迭代法)
(2) 如果将原方程化为等价方程 x = 仍取初值
x0 = 0
3
3
x+1 2
x1 =
x0 + 1 = 2
3
3
1 ≈ 0 .7937 2
1 .7937 ≈ 0 .9644 2
x2 =
依此类推,得 依此类推, x3 = 0.9940 同样的方程 x4 = 0.9990 不同的迭代格式 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 有不同的结果 x7 = 1.0000 已经收敛, 已经收敛,故原方程的解为 x = 1.0000
用一般迭代法求方程x lnx＝ 在区间（ 例：用一般迭代法求方程x-lnx＝2在区间（2，∞） 内的根，要求|x 内的根，要求|xk-xk-1|/|xk|<=10-8 f(x)=x-lnx解：令f(x)=x-lnx-2 f(2)<0,f(4)>0,故方程在 2,4） 故方程在（ f(2)<0,f(4)>0,故方程在（2,4）内至少有一个根
y p1 p0
y=x y=g(x)
y p0
y=x
p1 x x0 y y=g(x) x1 x* y=x y y=g(x) p0 x0 x* x1
y=g(x)
x
y=x
p0 p1 x x1 x0 x* x0 x* x1 p1 x
f(x)=0化为等价方程x=g(x)的方式是不唯 f(x)=0化为等价方程x=g(x)的方式是不唯 化为等价方程x=g(x) 一的,有的收敛,有的发散. 一的,有的收敛,有的发散. example： For example：2x3-x-1=0
1 3 ( x + 1 ) = g ( x ) 进行迭代，则在 进行迭代，则在(1, 3
第7章.非线性方程迭代法
f
的重根
=
的单根。
➢ 正割法 / Secant Method / ：
Newton’s Method 一步要计算 f 和 f ’，相当于2个函数值， 比较费时。现用 f 的值近似 f ’，可少算一个函数值。
割线
/ secant line /
收敛比Newton’s Method 慢， 且对初值要求同样高。
牛顿迭代法的改进与推广
➢ 重根 / multiple root / 加速收敛法：
Q1: 若 f (x*) ，0 Newton’s Method 是否仍收敛？ 设 x* 是 f 的 n 重根，则：f ( x) ( x x*)n q( x) 且 q( x*) 0。
因为 Newton’s Method 事实上是一种特殊的不动点迭代，
④
|
x
*
xk
|
1
1
L
|
xk 1
xk
|
?
✓ | xk1 xk | | x * xk | | x * xk1 | | x * xk | L | x * xk |
⑤
|
x*
xk
|
Lk 1 L
|
x1
x0
|
?
可用 | xk1 xk |来 控制收敛精度
| xk1 xk | | g( xk ) g( xk1 ) | | g(ξk )(xk xk1 ) |
3
| g( x) | | x2 | 1
现令 ( x) (1 K )x Kg( x) (1 K )x K ( x3 1)
3
希望 | ( x) | | 1 K Kx2 | 1，即
2 K 0 x2 1
在 (1, 2) 上可取任意 2 K，例0如K = 0.5，则对应
第4章 非线性方程求根的迭代法
精选版课件ppt
18
若{ x k }收敛，即lkimxk x 称迭代法收敛，否则称迭代法发散
精选版课件ppt
19
迭代法的几何意义
x (x)yy(xx)交点的横坐标
y=x
x* x2
x1
x0
精选版课件ppt
20
例题
例 试用迭代法求方程
f(x)x3x10
在区间(1，2)内的实根。 解：由x3 x1 建立迭代关系
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30
例题
若取迭代函数 (x)x3 1 ， 因为|'(x)||3x2|3 x[1,2] 不满足压缩映像原理，故不能肯定 xn1 (xn) n0,1,....收敛到方程的根。
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31
简单迭代收敛情况的几何解释
精选版课件ppt
32
是否取到合适的初值，是否构造合适的 迭代格式，对于是否收敛是关键的。
x2 0.739085178
x3 0.739085133 x4 0.739085133
故取 x* x4 0.739085133
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48
例题
例 用Newton法计算 。 2
解： f(x)x2a0 其 中 a2
由 f (x) 2x及Newton迭代公式得
xn 1xnx2 n 2x n21 2(xnx 2 n) n0,1 ,......
迭代法及收敛性
考察方程 x(x)。不能直接求出它的
根，但如果给出根的某个猜测值 x 0， 代
入 x(x)中的右端得到x1 (x0) ，再以 x 1
为一个猜测值，代入x(x) 的右端
得 x2 (x1)
非线性方程求根
几何含义：求曲线 y = (x) 与直线 y = x 的交点
18:28:03
Numerical Analysis
9
y p0 x0 y
18:28:03
y=x
p1
y= (x)
✓
y p0
y=x
✓
p1 y= (x)
x x1 x2 x*
x0
(x) ( y) L x y
则(x) 在 [a,b] 上存在唯一的不动点 x*
证明：P216
18:28:03
Numerical Analysis
12
收敛性分析
不动点迭代的收敛性
定理：设 (x) C[a,b] 且满足
(1) 对任意的 x[a,b] 有 (x)[a,b]
(2) 存在常数 0<L<1，使得任意的 x, y[a,b] 有
for k = 1 : n x = g(x); fprintf('k=%2d, x=%.7f\n',k,x); if abs(x-xt)<tol, break, end
end xt = fzero(f,[3,4]);
fprintf('True solution: x = %.7f\n', xt)
% Steffenson 加速
性质：若
lim
k
xk
x *，则不动点迭代收敛，且 x*
是 f(x)=0 的解；否则迭代法发散。
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Numerical Analysis
11
解的存在唯一性
解的存在唯一性
定理：设 (x) C[a,b] 且满足
浅谈用不动点迭代法求解非线性方程解的教学方法
浅谈用不动点迭代法求解非线性方程解的教学方法
不动点迭代法是求解非线性方程的一种有效的解法，它的核心思想是：通过迭代，使得方程的某个特定解变得更加接近，最终达到收敛的程度，从而得到最终的解。
一、教学目标
1、让学生了解不动点迭代法的基本原理；
2、让学生能够熟练使用不动点迭代法求解非线性方程；
3、让学生能够分析不动点迭代法的收敛性，并能够给出合理的迭代步骤。
二、教学步骤
1、讲解不动点迭代法的基本原理：
首先，教师应给学生讲解不动点迭代法的基本原理，包括它的定义、其基本思想、应用场景等。
2、提供实例：
然后，教师可以提供一些简单的实例，让学生熟悉不动点迭代法的使用，并能够熟练求解。
3、分析收敛性：
最后，教师可以让学生分析不动点迭代法的收敛性，并给出合理的迭代步骤，以便更好地求解非线性方程。
三、教学评价
教学评价主要是通过实例检验学生对不动点迭代法的掌握情况，以及分析收敛性的能力，以便更好地指导学生掌握不动点迭代法。
数值分析实验报告——非线性方程求根
数值分析实验报告——非线性方程求根二分法一、题目用二分法求方程=的所有根x.13要求每个根的误差小于-x+0.001..21二、方法二分法三、程序1、Jiangerfen.M的程序function[c,yc]=jiangerfen(f,a,b,tol1,tol2)if nargin<4 tol1=1e-3;tol2=1e-3;end%nargin<4表示若赋的值个数小于4，则tol1和tol2取默认值。
ya=feval('f',a);%令x=a代入到方程f中，ya即f(a)。
yb=feval('f',b);if ya*yb>0,disp('(a,b)不是有根区间');return,endmax=1+round((log(b -a)-log(tol2))/log(2));%round函数是将数据取整，使数据等于其最接近的整数。
for k=1:maxc=(a+b)/2;yc=feval('f',c);if((b-a)/2<tol2)|(abs(yc)<tol1),break,endif yb*yc<0a=c;ya=yc;elseb=c;yb=yc;endendk,c=(a+b)/2,yc=feval('f',c)2、f.M的程序function y=f(x);y=x^3-2*x-1;四、结果>> format compact>> fplot('[x^3-2*x-1,0]',[-1.5,2]);>> jiangerfen('f',-1.5,-0.8);k =8c =-0.9996yc =3.9017e-004>> jiangerfen('f',-0.8,-0.3);k =8c =-0.6184yc =2.7772e-004>> jiangerfen('f',1.3,2);k =10c =1.6179yc =-9.5348e-004>> jiangerfen('f',2,3);(a,b)不是有根区间方程f(x)=x^3-2*x-1的所有根为-0.9996，-0.6184 ，1.6179 。
第7章 非线性方程求根
k 且区间长度逐次减半， bk ak (b a) 2 .
非线性方程求根的二分法
二分法基本步骤： 随着k的增大，有根区间长度趋于零，区间端点向 * lim a lim b lim x x . 一点收缩， k k k k k k 显然x*即为f(x)=0的根。而x0, x1, …,xk,…为近似根 * 序列。设要求精度为ε ,即 x xk ,
x1 x* ( )(x0 x* ) M ( x0 x* ), x2 ( x1 ), x2 x M ( x1 x ).
* *
加速迭代法
消去M得
x1 x* x0 x* , * * x2 x x1 x
2
2 x x x ( x x ) 1 0 x* x1 0 2 1 x0 , x2 2 x1 x0 x0 2 x1 x2
斯蒂芬森迭代法
结合埃特金加速法和不动点迭代法形成斯 蒂芬森迭代法：
yk ( xk ), z k ( yk ), ( y k xk ) xk 1 xk z k 2 y k xk
2
(k 0,1, ).
斯蒂芬森迭代法几何意义
定义x点关于方程 x ( x) 的误差为： ( x) ( x) x. * * * * ( x ) ( x ) x 0. 则该方程的根x 的误差
非线性方程的迭代法求根
基本概念 非线性方程f(x)=0的根(解) x*,也称为非线性 函数f(x)的零点，f(x*)=0。 f(x)=0的m重根定义：f(x)=(x-x*)mg(x), g(x*)≠0，则称x*为f(x)=0的m重根，或f(x)的 m重零点。 m重根的判定条件： x*为f(x)=0的m重根当 且仅当 * * ( m1) * ( m) * f (x ) f (x ) f ( x ) 0; f ( x ) 0.
第2章非线性方程求根
解：设最多需要迭代n次。
∵要求精确到小数点后3位，
∴误差限≤ 12×10-3，
∴由定理2.1得：
n=
lg(1
0)
lg( lg 2
1 2
103 )
1
=
0
( lg 2 lg 2
3)
1
=
0.301 0.301
3
1= 10 .97
1
=10，即最多需要迭代10次。
用对分法求f(x)=0在某区间的单根，最多迭代次数与函数f(x)曲线形状无 关。一般情况下，对分法的最多迭代次数比其他的变步长逐步搜索法要 少，因此对分法是用得最多的变步长逐步搜索法。
if(f(b)==0) x=b;
else for(begin=a,end=a+h;begin<b;begin=end,end+=h)
{
if(end>b)end=b;
if(f(begin)==0)
{x=begin;break; }
if(f(begin)*f(end)<0)
{x=(begin+end)/2;break; }}
Y
N
x=begin;
break;
f(begin)*f(end)<0
Y
N
(end－begin)/2<=ε
Y
N
x=(begin+end)/2;
h/=hnumber;
break;
end=begin;
输出方程f(x)=0的根x。
8
2.3 根的搜索
变步长逐步搜索法对应的程序
#include <stdio.h> double f(double x);
不动点迭代法非线性方程求解
例 7-6 不动点迭代法求解非线性方程应用时实例。采用不动点ATLAB 窗口命令中输入： >>[r,n]=StablePoint(‘1/sqrt(x)+x-2’,0.5) R=
0.3820
从计算结果中可以看出，经过四步碟算得出方程 1 x 2 0的一个根 为 x
不动点迭代法非线性方程求解 求方程 f(x)=0 的根，可以先把方程组改写成如下形式：
x=f(x)+x 于是得到不动点迭代法的一种迭代公式：
Xn=f(Xn-1)+Xn-1 此种不动点迭代法很可能不收敛，因为它的本质是求函数 y=f(x)+x 与直线 y=x 的交点， 而他们不一定存在交点。即使收敛，其速度也十分慢，因此有了艾肯特加速迭代与斯蒂芬 森加速迭代。 在 MATLAB 中编程时显得不动点迭代法的函数为：StablePoint。 功能：用不动点迭代法求函数的一个零点。 调用格式：[root，n]=StablePoint（f,xo,eps）。 其中，f 为函数名：
x0 为初始迭代向量： eps 为根的精度： root 为求出的函数零点： n 为迭代步数。 不动点迭代法的 MATLAB 程序代码如下： Function [root,n]=StablePoint(f,x0,eps) %用不动点迭代法求函数的一个零点 %初始迭代向量：x0 %根的精度：eps %求出的函数零点：root %迭代步数：n If(nargin==2) eps=1.0e-4; end tol=1; root=x0; n=o; while(tol>eps) r1=root; n=n+1; root=subs(sym(f),findsym(sym(f)),r1)+r1; tol=abs(root-r1); end
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法非线性方程在数学和工程中都有广泛的应用，对非线性方程进行求解是数学分析中的一项重要任务。
在数值分析中，求解非线性方程的方法可以分为直接法和迭代法两种，而迭代法又是非常常用的方法之一。
本文将介绍三种新的非线性方程迭代法，分别是Newton 法、Secant法和Broyden法。
Newton法是最经典的非线性方程迭代法之一，它是通过不断迭代来逼近方程的根。
Newton法的基本思想是在给定初始值的情况下，通过计算方程的导数来获得更接近根的逼近值，然后不断迭代直到满足精度要求为止。
具体的迭代公式为：\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]\(x_n\)是第n次迭代的逼近值，\(f(x)\)是要求解的非线性方程，\(f'(x)\)是\(f(x)\)的导数。
在实际应用中，Newton法通常要求方程的一阶导数存在且连续，同时初始值的选取也对迭代的收敛性有很大的影响。
Secant法是Newton法的一种改进方法，它是通过直线的斜率来近似代替导数的方法来进行迭代。
Secant法的迭代公式为：Secant法相比于Newton法来说更加灵活，因为它不需要求解方程的导数，而直接利用两个相邻点的函数值来进行迭代。
然而Secant法的收敛速度相对较慢，而且在一些特殊情况下可能会出现迭代发散的情况。
Broyden法是一种迭代算法，它是通过不断更新雅各比矩阵的逆来逼近方程的根。
Broyden法的迭代公式为：\(x_n\)是第n次迭代的逼近值，\(J_n\)是第n次迭代的雅各比矩阵。
Broyden法适用于一些特殊情况下，比如方程的雅各比矩阵难以求解的情况，或者求解方程的雅各比矩阵耗时较长的情况。
Newton法、Secant法和Broyden法都是针对非线性方程迭代求解的常用方法，它们各自有着不同的特点和适用范围。
在实际应用中，我们需要根据具体的情况来选择合适的迭代方法，并且在迭代过程中需要考虑其收敛性、稳定性和计算效率等因素。
不动点迭代法求方程的根
实验报告
专业班级：学号：姓名：
实验名称：用不动点迭代法解非线性方程
1.实验目的：
(1)掌握不动点迭代法求根的方法
（2）学会运用C语言编写出相应的循环程序，得出方程的解。
2.随着不断的迭代，迭代数值会越来越接近不动点值x0。程序中变量的类型小数点后的位数是一定的，所以，随着不断的迭代，会出现相等的两数，那么，此时的xk可以近似看做方程根x*。
程序流程图
N
Y
4.实验步骤或程序（经调试后正确的源程序）
主要步骤与程序代码,见附件A
附件A实验报告
（适用计算机程序设计类）
专业班级：学号：姓名：
实验步骤或程序：
程序代码：
5．程序运行结果
2.实验内容：
问题：求方程f(x)=x3-x-1=0在x0=1.5附近的根x*。
算法描述：
1）把方程改写成 的形式
2）代入x0=1.5,并反复利用迭代公式 计算
3）对上式得到的序列{xk}求极限lim xk=x*,所求得的x*即为非线性方程的根
3.实验方案（程序设计说明）
算法设计思路：
将x0代入迭代公式，作为第一次迭代结果x1。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法求解非线性方程是数学中一个重要且复杂的问题，对于很多实际问题的建模和计算都离不开对非线性方程的求解。
在数值计算中，我们通常使用迭代法来解决非线性方程，其中牛顿迭代法、割线法和试位法是常用的迭代方法。
除了这些传统的迭代法，近年来也出现了一些新的迭代方法，本文将介绍三种新的迭代法来求解非线性方程。
1. 定点迭代法定点迭代法是一种简单而又常用的迭代方法，它的基本思想是将原方程转化为一个等价的形式 x=g(x)，其中函数 g(x) 称为迭代函数。
通过不断迭代计算，可以逐步逼近方程的根。
定点迭代法的关键在于选择合适的迭代函数 g(x)，以保证收敛性和收敛速度。
近年来，有学者提出了一种基于自适应迭代函数的新的定点迭代法。
传统的定点迭代法通常需要提前选定一个迭代函数 g(x)，而这个函数可能不是最优的。
自适应迭代函数的优势在于可以根据当前迭代点的情况自动调整迭代函数，以提高迭代的效率和收敛性。
加速迭代法是一种可以提高收敛速度的迭代方法，它的核心思想是通过一些技巧和技术手段来加快迭代的收敛速度。
传统的迭代法通常需要进行多次迭代才能到达精度要求，而加速迭代法可以在更少的迭代次数内达到相同的精度要求，从而提高了计算效率。
3. 自适应步长迭代法自适应步长迭代法是一种动态调整迭代步长的迭代方法，它可以根据当前迭代点的情况来自动调整迭代步长，以提高收敛速度和准确性。
传统的迭代方法通常使用固定的迭代步长，这可能导致迭代过程中出现震荡或者收敛速度过慢的情况。
而自适应步长迭代法可以根据迭代点的梯度信息来智能地调整步长，从而有效地克服了传统迭代方法的局限性。
总结在数值计算中，求解非线性方程是一个重要且复杂的问题。
传统的迭代方法如牛顿迭代法、割线法和试位法等在实际应用中已经得到了广泛的应用，但是它们也存在一些局限性，比如收敛速度慢、收敛性差等问题。
近年来，一些新的迭代方法如自适应迭代函数、基于神经网络的加速迭代法和基于深度学习的自适应步长迭代法等不断涌现，这些方法克服了传统迭代方法的一些局限性，具有更高的收敛速度和更好的收敛性能。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法迭代法是一种数值计算方法，用来解非线性方程组或方程的近似解。
在实际运用中，我们经常遇到非线性方程的求解问题，这时迭代法是一种常用的方法。
迭代法的基本思想是通过不断地迭代计算，逐步逼近方程的解。
在本文中，我们将介绍三种新的迭代法来求解非线性方程。
1. 不动点迭代法不动点迭代法是一种简单而有效的迭代法，它的基本思想是将原始方程变形成 x=g(x) 的形式，其中 g(x) 称为不动点迭代函数。
具体的迭代过程如下：给定初始值 x0，计算 x1=g(x0)计算 x2=g(x1)不断地重复上述步骤，直到收敛于方程的解不动点迭代法的收敛性取决于 g(x) 的性质，一般来说，如果 g(x) 在解的附近有连续的一阶导数，并且 |g'(x)|<1 则迭代法收敛。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种高效的迭代法，它的基本思想是通过不断地使用方程的切线来逼近方程的解。
具体的迭代过程如下：3. 龙贝格迭代法给定初始值 x0，计算 x1通过 Richardson 拟差法计算 x2不断地重复上述步骤，直到收敛于方程的解龙贝格迭代法的收敛速度非常快，尤其对于级数收敛速度较慢的情况下，可以加速收敛。
在实际应用中，以上三种新的迭代法可以根据具体问题的特点来选择合适的方法。
不动点迭代法适用于一般的非线性方程，牛顿迭代法适用于具有一阶导数的方程，而龙贝格迭代法适用于级数收敛速度较慢的情况下。
在使用迭代法求解非线性方程时，应根据实际问题的特点合理选择迭代方法，并注意迭代的收敛性和初始值的选取。
NonNullNonDenseDetNogle_preStoppedSe vi i Danmark har haft danskhosvistes, somblev fundet i marts i år, og som vi ikke vidste hvad var.Efter at have undersøgt dem i flere måneder, hedder det nu en prælunar.」Praeslunar betyder før-månen, og det henviser til det faktum, at det ikke er en asteroid eller en komet, men snarere en klippe, der holder fast på Jorden, inden den falder ind i den.TextSe vi i Danmark har haft sanskosmiske partikler, som blev fundet i marts i år, og som vi ikke vidste hvad var.Efter at have undersøgt dem i flere måneder, hedder det nu en prælunar.」Praeslunar betyder før-månen, og det henviser til det faktum, at det faktum, at det ikke er en asteroid eller en komet, men snarere en klippe, der holder fast på Jorden, inden den f alder ind i den.Vores forskning har vist, at den er dannet, da asteroidebælteren var meget tættere på Solen, end den er nu.。
第4章_非线性方程求根 计算方法
解: 从[-4,4]区间以步长为1计算f(x)=x3-3x+1的函数值， 列如下表
4 结束
表2-1
x
计 算 方 法 课 件
-4
-3
-2
-1 3
0 1
1 -1
2 3
3 19
4 53
f(x) -51 -17 -1
可见，在[-2,-1]区间、[0,1]区间、[1,2]区间各有一实根，
下面求[0,1]区间上的实根，列表略： 可见x∊[0.347167968,0.347412109] 若取=0.005,由表可知,当k=13时, bk-ak=0.000244141<0.005,此时过程结束,取 xk=(0.347167968+0.347412109)/2=0.3472900380.347 5 结束
y x y g ( x)
它的解(x*,y *)中的x *就是x=g(x)的根.如图： 图2-3 图2-4 图2-5 10 图2-6 结束
计 算 方 法 课 件
不动点迭代算法: %input:初始解x0;最大迭代次数N；精度tol. %output:近似根x，迭代次数k. 1. k=1; 2. While k<N 2.1 x= g(x0) ; %函数g需要事先定义; 2.2 if abs(x-x0)<tol break end 2.3 k=k+1; x0=x; end 3. disp(x); disp(k)
此方程还可以有另外的迭代形式：
xk 1
计 算 方 法 课 件
1 , 2 3 xk
k 0,1,2,3,
xk 1 3 3xk 1,
4.2.2 迭代法的几何解释
k 0,1,2,3,
非线性方程的迭代算法
非线性方程的迭代算法在数学中，非线性方程是指对于未知数 x 和常数 a，b，c，d，... 等的某些函数 f(x) 中，包含了 x 的幂次项（例如 x^2、x^3 等），或者包含了 x 的带有次数的函数（例如 sin(x)、cos(x) 等）。
与线性方程不同的是，非线性方程一般没有解析解，只能通过数值计算的方式求解。
其中，迭代算法是一种经典的求解非线性方程的方法。
一、迭代算法的基础1.1 定义迭代算法是指通过一系列的计算过程，逐步逼近方程的解。
其基本思想是将原方程进行变形，使其成为迭代式，从而通过不断迭代计算，求解出方程的解。
具体地说，在求解方程 f(x) = 0 时，可以将其转化为 x = g(x) 的形式，然后从一个初始值 x0 开始，通过迭代计算 x(n+1) = g(x(n))，不断逼近解 x*，其中 x* 为方程的根。
1.2 原理迭代算法的实现基于牛顿-拉弗森迭代法（Newton-Raphson method），即对于连续可导的函数 f(x)，在 x(n) 处进行泰勒展开（Taylor expansion），并将展开式中的一、二阶导数用 f(x(n)) 表示，可以得到以下迭代式：x(n+1) = x(n) - f(x(n)) / f'(x(n))其中，f'(x(n)) 表示函数 f(x) 在 x(n) 处的一阶导数，而 x(n+1) 是通过迭代计算得到的下一个值。
这个迭代式会不断逼近方程的解，直至满足某个精度要求为止。
1.3 优缺点迭代算法具有精度高、收敛速度快等优点，可以求解大多数数学问题，包括非线性方程的求解、最优化问题等。
但是，迭代算法的效率受到 x0 的初值选取、迭代次数的选取、函数 g(x) 的平滑性等因素的影响，因此在实际应用中需要慎重考虑。
二、迭代算法的实现2.1 常见的迭代算法除了牛顿-拉弗森迭代法以外，还有其他经典的迭代算法，例如二分法、不动点迭代法、弦截法等，它们基本的实现方式和原理大致相同，只是迭代式的具体形式会有所不同。
非线性方程求根的迭代法
y = f ( xn ) + f ' ( xn ) ( x − xn )
与 y = 0 求交点，解出 求交点，
x = xn+1
x n+1
=
, 则
xn −
f ( xn ) f ' ( xn )
Newton迭代法收敛定理 迭代法收敛定理（ 2.6） 3. Newton迭代法收敛定理（定理 2.6）
有根α 设 f ( x ) = 0 在 [a, b] 有根α，且 f ( x ) 在 [a, b] （1） f ' ( x ), f " ( x ) 连续，且分别不变号； 连续，且分别不变号； （2） 取初值 x0 ∈
[a, b] ,使 f ( x ) f " ( x ) > 0
0 0
迭代法（2.1） 则 Newton 迭代法（2.1）产生的数列 {xn+1 } 的收敛到根α 的收敛到根α。 证： 以 f ' ( x ) > 0 , f " ( x ) > 0 , f ( x 0 ) > 0 为例证明（其它情况类似） 为例证明（其它情况类似）
若取近似根
*
则 x * = x 8 = 1 . 364 ，则
1 1 | x − x |≤ (1.368 − 1.360) = 0.004 < × 10 − 2 事后估计） （事后估计 事后估计 2 2
b−a 1 先验估计： | 先验估计： x − x |≤ n + 1 ≤ × 10 − 2 , 解出对分次数 n + 1 ≥ 8 2 2
注：L越小，收敛越快。 越小，收敛越快。
3．编程停机判断
数值分析课件 非线性方程的迭代解法方程求根
k
解: 改写为以下两种等价方程 0
方法1 1.5
方法2 1.5
(1)x x3 1, (2)x 3 x 1 1 2.375 1.35721
建立迭代公式:(1)xk 1
x
3 k
1;
2
(2)xk 1 3 xk 1
3
4
各步迭代结果如下：
5
12.39
1.33086 1.32588 1.32494 1.32476
定义：迭代公式 xk+1= g(xk) (k= 0,1, …) 被称为求
解方程 f(x)=0 的简单迭代法（不动点迭代法）， 其中g(x)称为迭代函数。
注：上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是 将隐式方程归结为一组显示的计算公式，就是说， 迭代过程是一个逐步显示化过程。
例:
求方程 f (x) x3 x 1 0 在x0 1.5 附近的根。
求 g(x) 不动点的过程
找s,使得s = g(s).
从一个初值 x0 出发，计算
x1= g(x0), x2= g(x1), … , xk+1= g(xk), …
若
{
xk
}
收敛,即存在实数
s
使得
lim
k
xk
s且
g(x)
连续，
则由
lim
k
xk
1
lim g k
xk
可知 s=g(s), 即 s是 g 的不动点, 它也是 f 的零点.
二分法求根思想
找有根区间序列(ak , bk); 用(ak , bk)的中点近似根.
二分法：
设一元非线性函数 f (x) 在 (a, b) 内只有一个 零点s , 用二分法求f (x)=0实根的过程如下:
matlab不动点迭代法求方程的根
不动点迭代法是求解非线性方程的一种常用方法，其原理是通过将原方程转化为不动点方程，并通过迭代来逼近方程的根。
在MATLAB中，我们可以利用不动点迭代法来求解方程的根，下面我将详细介绍该方法的原理和使用步骤。
1. 不动点迭代法的原理不动点迭代法的基本思想是将原方程化为不动点方程，即将方程f(x)=0 转化成g(x)=x 的形式，其中g(x) 是一个满足一定条件的函数。
然后通过迭代计算不动点序列 {x_k}，当序列收敛时，即可得到方程的根。
2. 使用不动点迭代法求解方程的步骤我们需要将原方程 f(x)=0 转化成 g(x)=x 的形式，确定函数 g(x)。
然后选择一个初始值 x_0，并进行迭代计算，直到满足精度要求或者迭代次数达到上限为止。
3. MATLAB中的实现在MATLAB中，可以使用函数形式来表示不动点迭代法。
定义一个函数 f(x) 和一个不动点迭代函数 g(x)，然后通过循环迭代计算来逼近方程的根。
在迭代过程中，可以设置一个收敛判据，当满足条件时即可停止迭代。
4. 个人观点和理解不动点迭代法是一种简单而有效的求解非线性方程的方法，其原理清晰、实现简单。
在MATLAB中，通过编写相应的函数和循环来实现该方法，可以更快速地求解方程的根。
不过需要注意的是，不动点迭代法的收敛性和收敛速度受到选择的初始值和迭代函数的影响，需要谨慎选择才能得到准确的结果。
利用不动点迭代法在MATLAB中求解方程的根是一种实用而重要的技能，可以帮助我们更好地解决实际问题。
希望我的文章能够帮助你更深入地理解这一方法，并在实践中灵活运用。
不动点迭代法是一种常用的求解非线性方程的方法，其原理和使用步骤在上文中已经有了详细介绍。
在本节中，我们将进一步探讨不动点迭代法的收敛性、迭代函数的选择和初始值的影响，以及在实际使用中需要注意的问题。
我们来讨论不动点迭代法的收敛性。
在使用不动点迭代法求解方程的过程中，我们需要考虑迭代函数 g(x) 是否满足一定的条件使得不动点序列 {x_k} 收敛到方程的根。
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非线性方程求根——不动点迭代法
一、迭代法的基本思想
迭代法是一种逐次逼近的方法，用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。
例：求方程x 3-x -1=0 在x =1.5 附近的一个根。
解：将所给方程改写成3
1x x =+假设初值x 0=1.5是其根，代入得
3
3101 1.51 1.35721x x =+=+=
x 1≠x 0，再将x 1代入得
3
3211 1.357211 1.33086x x =+=+=x 2≠x 1，再将x 2代入得
3
3321 1.330861 1.32588x x =+=+=如此继续下去，结果如下：
k x k
k x k 01234 1.5
1.35721
1.33086
1.32588
1.324945678 1.324761.324731.324721.32472仅取六位数字，x 7与x 8相同，即认为x 8是方程的根。
x *≈x 8=1.32472
这种逐步校正的过程称为迭代过程。
这里用的公式称为迭代公式，即
311k k x x +=+k =0,1,2,……
若x *满足f (x*)=0，称x *为ϕ(x )的一个不动点。
将连续函数方程f (x )＝0改写为等价形式：x=ϕ(x )，其中ϕ(x )也是连续函数。
1()k k x x ϕ+=(k =0,1,……)
不动点迭代法就是指以迭代格式
二、不动点迭代法
进行迭代求解的方法。
其中ϕ(x )称为迭代函数。
三、不动点迭代法的实现
——MATLAB程序function[root,n]=stablepoint_solver(phai,x0,tol) if(nargin==2)
tol=1.0e-5;
end
err=1;
root=x0;
n=0;
while(err>tol)
n=n+1; %迭代次数
r1=root;
root=feval(phai,r1); %计算函数值
err=abs(root-r1);
end
程序应用示例：
function testmain
% x^3-x-1=0
% =>x^3=1+x
% =>x=(1+x)^(1/3)
ph=inline(‘(1+x)^(1/3)’,’x’);
[root,n]=stablepoint_solver(ph,1)
运行结果：
root=1.3247
n=8
若对任意x 0∈[a , b ]，由不动点迭代格式
lim *k k x x →∞
=则称迭代过程收敛，且x *=ϕ(x *)即f (x*)=0，x *为不动点。
四、不动点迭代法的收敛性
1()k k x x ϕ+=(k =0,1,……)
得迭代序列{x k }，该序列有极限
迭代法并不总令人满意，如将前述方程x 3-x -1=0改写为另一等价
形式：1
3-=x x 13
1-=+k k x x 此时称迭代过程发散。
则有x 1=2.375，x 2=12.396，x 3=1904,
结果越来越大。
仍取初值x 0=1.5，
建迭代公式：
收敛阶定义：
设迭代过程x k+1=ϕ(x k ) 收敛于方程x =ϕ(x )的根x *，若迭代误差e k =x k –x*当k →∞时成立下列渐近关系式：
c e e r k k k =+∞→1lim （c 为常数，且c ≠0）
则称迭代过程是r 阶收敛的。
特别地，r =1时称线性收敛；
r =2时称平方收敛；r >1时称超线性收敛。
且r 越大，收敛越快。
定理2：设x *为x =ϕ(x )的不动点，若ϕ(x )满足：
–（1）ϕ(x )在x *附近是p 次连续可微的(p >1)；
–（2）则迭代过程x k +1=ϕ(x k )在点x *邻近是p 阶收敛的。
0*)(,0*)(*)(*)()()1(≠===''='-x x x x p p ϕϕϕϕ 定理1：设x *为x =ϕ(x )的不动点，ϕ`(x )在x *的某邻域连续，且|ϕ`(x *)|<1，则不动点迭代法x k +1=ϕ(x k )局部收敛。
321-+=+k k k x x x k
k x x 31=+)3(4121--=+k k k x x x )3(211k
k k x x x +=+例032=-x 用不同方法求在x =2附近的根。
解：格式（1）
格式（2）格式（3）
格式（4）
取x
=2，对上述四种方法，计算三步所得结果如下：0
k x k(1) (2)(3)(4)
0x0 2 222
1 x13 1.5 1.75 1.75
2x292 1.73475 1.732143
3x3 87 1.5 1.732361 1.732051 注：x*=1.7320508……。