江苏省高邮市阳光双语初中八年级数学第1章《全等三角形》复习教案

八年级数学第1章《全等三角形》复习教案
知识梳理：
1.全等三角形的由来：全等三角形是从__________分离出来的一个常用模型，从________
到全等三角形是一种从_________到___________的关系，这是我们在数学学习当中常用的一
种思维方法。

2.全等三角形的定义
定义：_____________的两个三角形叫做全等三角形。

1.全等三角形中，对应边_______，对应角______； 对应边上的________；
3.全等三角形的性质 2．全等三角形的对应线段 对应边上的________；
对应___的______________；
3．全等三角形的周长 ，面积 。

4.全等三角形的判定(4+1)
1._________相等的两个三角形全等,简称“_______”（_S_）：
2._____和___________对应相等的两个三角形全等,简称“______”（_A_）：
斜三角形
3._____和___________对应相等的两个三角形全等,简称“_______”（A__）；
4._____和___________对应相等的两个三角形全等,简称“_______”（__S ）；
直角三角形：____________________的两个直角三角形全等,简称“________”（___）：
5．全等三角形的证明思路:
（1）已知两边：①找夹角→ ②找直角→ ③找第三边→ ___
（2）已知一边一角：①边角相对→找另外任一角→ ___
②边角相邻→⎪⎩
⎪⎨⎧→→→AAS ASA SAS 找边的对角找边的另一邻角找角的另一邻边
6.全等三角形的简单应用
利用全等三角形可以测出不能（或不易）直接测量长度的线段长，例如，河宽，或利用全等
测量小口瓶的内径等。

同步题型复习
（一）全等的定义和性质
例1.已知如图（1），
ABC ∆≌DCB ∆,其中的对应边:____与____,____与____,____与____,
对应角:______与_______,______与_______,______与_______。

（图1） （图2）
变式1：如图（2）所示，回答下列问题（直接写出答案即可）
①若BOD ∆≌C B COE ∠=∠∆,，指出这两个全等三角形的对应边；
②若ADO ∆≌AEO ∆,指出这两个三角形的对应角。

（二）全等三角形的判定方法
两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ）
例1.如图,AD 与BC 相交于O,OC=OD,OA=OB,求证：DBA CAB ∠=∠。

变式：如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( ASA )
例2.如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，E 是BC 的中点，直线AE 交DC 的延长线于F
求证：ABE ∆≌FCE ∆。

变式：如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。

求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 ( AAS )
例3.如图，在ABC ∆中，AB=AC ，D.E 分别在BC.AC 边上。

且B ADE ∠=∠,AD=DE
求证：ADB ∆≌DEC ∆。

变式：已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS )
例4.如图，在ABC ∆中,M 在BC 上，D 在AM 上，AB=AC , DB=DC 。

求证：MB=MC 。

变式：如图，已知：AC ，BD 相交于O 点，且CD AB BD AC ==,。

求证：∠B=∠C 。

一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 ( HL )
例5.如图，△ABC 中，点D.E 分别是AB.AC 边上的点，BD=CE ，DF ⊥BC 于点F,EG ⊥BC,于点
G ，且DF=EG.求证：BE=CD 。

变式：如图：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过点C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN 于
M ，BN ⊥MN 于N.求证：MN ＝AM+BN.
（三）全等三角形综合问题
例6．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C=90°, BD 平分∠ABC, 交AC 于D.
(1) 若∠BAC=30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明你的理由;
(2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P, 求∠BPA 的度数。

B
F G C
D E A
A D
B
C O
例7.如图：在△ABC中，BE.CF分别是AC.AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD.AG。

求证：（1）AD=AG；
（2）AD与AG的位置关系如何。

变式:△DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N.
求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN为等边三角形（4）MN∥BC。

C B
课堂小结：
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边常是对应边．
(4)有公共角的，公共角常是对应角．
(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．
全等三角形的判定方法：
(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．
(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
课后作业：
1.如图，AD平分∠BAC，AB=AC，则此图中全等三角形有 ( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5 对
2．下列说法：①有两个角和一个角的对边对应相等的两个三角形全等；②有一边和一个角对应相等的两个等腰三角形全等；③有一边对应相等的两个等边三角形全等；④有一个锐角和这个锐角所对直角边对应相等的两个直角三角形全等．其中，正确的是( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3.如图，AB∥CF，E为DF的中点．若AB=9 cm，CF=5 cm，则BD= cm。

4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，那么AE= Cm。

5. 已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E。

求证：BC=ED。

6. 如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G
点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG.EF。

（1）求证：BG＝CF。

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。

课后作业答案：
1.C
2.D
3.4
4.3
5.∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，即：∠EAD＝∠BAC，
在△EAD和△BAC中
∴△ABC≌△AED（ASA），∴BC＝ED.
6. （1）∵BG∥AC，∴∠DBG=∠DCF．∵D为BC的中点，∴BD=CD
又∵∠BDG=∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵∠DBG＝∠DCFBD＝CD∠BDG＝∠CDF
∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG=CF．
（2）BE+CF＞EF
理由：∵ΔBDG≌ΔCDF∴DF=DG CF=BG又∵DE⊥GF∴EF=EG
在ΔBEG中∵BE+BG＞EG∴BE+CF＞EF。