初二数学 频率的稳定性
6.2频率的稳定性(教案)
突破方法：指导学生学会从大量数据中寻找规律，通过画图、计算等方法，降低偶然性因素的影响。
（4）逻辑推理能力的提升：学生在推理过程中，容易忽略细节，导致推理错误。
突破方法：教师应引导学生关注细节，培养学生的逻辑推理能力，让学生学会从特殊到一般的推理方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调频率稳定性定理和利用频率稳定性估计概率这两个重点。对于难点部分，我会通过抛硬币实验和数据分析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与频率稳定性相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行抛硬币和掷骰子实验操作。这些操作将演示频率稳定性的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解频率稳定性的基本概念。频率稳定性是指在相同条件下，大量重复试验中事件发生的频率会趋于一个固定值。它是概率理论的一个重要依据，可以帮助我们估计事件发生的概率。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过抛硬币实验，观察不同次数下正面朝上的频率，分析频率稳定性在实际中的应用，以及如何帮助我们估计概率。
2.教学难点
（1）理解频率与概率的区别与联系：学生容易混淆频率和概率的概念，难以理解它们之间的关系。
突破方法：通过实例和图表，让学生直观地感受到频率是随着试验次数变化的数据，而概率是理论上的固定值。
（2）频率稳定性定理的应用：学生在运用频率稳定性定理解决实际问题时，往往不知道如何下手。
突破方法：教师需给出具体的案例，引导学生学会将实际问题抽象为数学模型，并运用定理进行求解。
6.2频率的稳定性（教案）
频率的稳定性
频率的稳定性【知识要点】1 频率的定义：在n次重复实验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率。
2 频率的稳定性：在大量重复试验的情况下，事件的频率会呈现稳定性，即频率在一个“常数”附近摆动。
随着试验次数的增加，摆动的幅度将越来越小。
3 概率：我们用常数来表示事件A发生的可能性的大小，把这个刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P(A).一般地，在大量重复的试验中，我们常用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生的概率。
4 频率与概率的区别：频率是变化的，概率是不变的，频率是概率一个近似值，不能等同于概率。
5 必然事件的概率是1；不可能事件发生的概率为0；不确定事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数。
【典型例题】例1.某地区林业局要考察一种树苗的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如下图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：1这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为2该地区已经移植这种树苗5万颗（1）估计这种树苗成活万颗；（2）如果该地区计划成活18万颗这种树苗，那么需种植这种树苗约多少万颗？变式某林业部门要考查某种幼树在一定条件的移植成活率，大量地对这种幼树进行移植，并统计成活情况，计算成活的频率．如果随着移植棵数n的越来越大，频率mn越来越稳定于某个常数，那么这个常数就可以被当作成活率的近似值．（1）下表是统计试验中的部分数据，请补充完整：（2）由下表可以发现，幼树移植成活的频率在左右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.（3）林业部门种植了该幼树1200棵,估计能成活 _______棵.（4）我们学校需种植这样的树苗500棵来绿化校园,则至少向林业部门购买约______棵. 例2有两组相同的纸牌，它们的牌面数字分别是1和2，从每组牌中各摸出一张牌称为一次试验，将两张牌的牌面数字之和的情况记入下表：请据此估计两张牌的牌面数字之和是2的概率是多少？是3的概率是多少？例3、下列事件发生的可能性为0的是（）A、掷两枚骰子，同时出现数字“6”朝上B、小明从家里到学校用了12分钟，从学校回到家里却用了15分钟C、今天是星期天，昨天必定是星期六D、小明步行的速度是每小时40千米变式口袋中有9个球，其中4个红球，3个蓝球，2个白球，在下列事件中，发生的可能性为1的是（）A、从口袋中拿一个球恰为红球B、从口袋中拿出2个球都是白球C、拿出6个球中至少有一个球是红球D、从口袋中拿出的球恰为3红2白例4儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动．有一种游戏的规则是：在一个装有8个红球和若干白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个世博会吉祥物海宝玩具，已知参加这种游戏的儿童有40000人次．公园游戏场发放海宝玩具8000个．（1）求参加此次活动得到海宝玩具的频率？（2）请你估计袋中白球的数量接近多少个？例5 做重复试验：抛掷一枚啤酒瓶盖1200次，经过统计得“凸面向上”的概率约为0.44，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为（）A 0.22B 0.44C 0.50D 0.56【经典练习】一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2012·凉山州中考)如图，有四张不透明的卡片除正面的算式不同外，其余完全相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片上算式正确的概率是( )(A)14(B)12(C)34(D)12.(2012·北京中考)班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学.这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票.小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是( )(A)16(B)13(C)12(D)233.(2012·宿迁中考)绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：则绿豆发芽的概率估计值是( )(A)0.96 (B)0.95 (C)0.94 (D)0.90二、填空题(每小题4分,共12分)4.在“抛掷正六面体”的试验中，如果正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是________.5.(2012·达州中考)如图，在某十字路口，汽车可直行、可左转、可右转.若这三种可能性相同，则两辆汽车经过该路口都向右转的概率为 .6.(2012·南充中考)如图，把一个圆形转盘按1∶2∶3∶4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B区域的概率为 .三、解答题(共26分)7. (8分)某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：(1)这种树苗成活的频率稳定在____，成活的概率估计值为____.(2)该地区已经移植这种树苗5万棵.①估计这种树苗成活____万棵；②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？8.(8分)研究“掷一枚图钉，钉尖朝上”的概率，两个小组用同一个图钉做试验进行比较，他们的统计数据如下：(1)请你估计第一小组和第二小组所得的概率分别是多少？(2)你认为哪一个小组的结果更准确？为什么？【课后作业】9.(10分)某校九年级一班的暑假活动安排中，有一项是小制作评比.作品上交时限为8月1日至30日，班委会把同学们交来的作品按时间顺序每5天组成一组，对每一组的件数进行统计，绘制成如图所示的统计图.已知从左到右各矩形的高度比为2∶3∶4∶6∶4∶1.第三组的频数是12.请你回答：(1)本次活动共有____件作品参赛；(2)上交作品最多的组有作品____件；(3)经评比，第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？(4)对参赛的每一件作品进行编号并制作成背面完全一致的卡片，背面朝上放置，随机抽出一张卡片，抽到第四组作品的概率是多少？。
6.2频率的稳定性
同意他们的说法吗？
有些事件发生的可能性是不能计算的，如：
通过试验来估计可能性的大小。
数学史实
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,
由于众多微小的偶然因素的影响,每次测
得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所
得结果却能反应客观规律.
频率稳定性定理
频率的稳定性是由瑞士数学家雅
尖朝上的频率具有稳定性
活动二：议一议
（1）通过上面的试验，你认为钉尖朝上和钉
尖朝下的可能性一样大吗？你是怎样想的？
（2）小明和小丽一起做了10次掷图钉
的试验，其中有6次钉尖朝下。据此，他们认
为钉尖朝下的可能性比钉尖朝上的可能性大。
你同意他们的说法吗？
（3）小明和小丽一起做了1000次掷图钉
的试验，其中有640次钉尖朝上。据此，他们认
掷一枚图钉，落地后会出现两种情况：
你认为钉尖朝上和钉尖朝下的可能性
一样大吗？
频率：在n次重复试验中，事件A发生了m次，
则比值 称为事件A发生的频率.
活动一：做一做
两人一组做20次掷图钉游戏，并将结果记录在
下表中（用画正子的方法统计）：
（几何画板课）
结论：
在试验次数很大时，钉尖朝上的
频率都会在一个Leabharlann 数附近摆动，即钉可比·伯努利（1654－1705）最
早阐明的，他还提出了由频率可
以估计事件发生的可能性大小。
活动三：练一练
1.某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：
(1)完成上表；
(2)根据上表，画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图；
(2)观察画出的折线统计图，击中靶心的频率的变化有什么
10.3.1频率的稳定性、10.3.2随机模拟课件数学人教A版(2019)必修第二册
A.P(A)≈
√
C.P(A)>
B.P(A)<
D.P(A)=
)
1
2
3
4
5
新知导学·素养启迪
课堂探究·素养培育
解析:对于给定的随机事件 A,事件 A 发生的频率 fn(A)随着
试验次数的增加稳定于概率 P(A),
因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A),
即
P(A)≈ .故选
练中两名运动员击中10环的次数,如表所示:
射击次数
甲击中10
环的次数
甲击中10
环的频率
乙击中10
环的次数
乙击中10
环的频率
10
20
50
100
200
500
9
17
44
92
179
450
8
19
44
93
177
453
新知导学·素养启迪
课堂探究·素养培育
(1)分别计算出甲、乙两名运动员击中10环的频率并填入表中;
8 环以上为优秀.根据以往经验某选手投掷 1 次命中 8 环以上的概率为 .现
采用计算机做模拟试验来估计该选手获得优秀的概率:用计算机产生 0 到
9 之间的随机整数,用 0,1 表示该次投掷未在 8 环以上,用 2,3,4,5,6,7,8,9
表示该次投掷在 8 环以上,经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数:
A.0.49
B.49
C.0.51
D.51
√
解析:“正面朝下”的频率为1-0.49=0.51,
《频率的稳定性》频率与概率PPT课件2
44
91
178
451
0.90 0.95 0.88 0.91 0.89 0.902
2. 这个射手射击一次，击中靶心的概率约为多少？ 答：0.9 .
练习
1. 小明做抛掷硬币实验，共抛10次，3次正面朝 上，7次反面朝上，现有下列说法： ① 正面朝上的概率为3， ② 反面朝上的概率为7， ③ 正面朝上的概率为30%， ④ 反面朝上的概率为0.7. 其中正确的说法有（ C ） （A）0个 （B）1个
想一想：
事件A发生的概率P（A）的取值范围是什么？必然事件 发生的概率是多少，不可能事件发生的概率是多少？
• 议一议 • 有上面的实验，请你估计抛掷一枚均匀的 硬币，正面朝上和正面朝下的概率分别是 多少，它们相等吗？
2. 亮亮抛两枚硬币，如何用做试验的办法来估算两枚 硬币均出现正面的概率？
分别抛两枚硬币10次，20次，30次，„， 400次，记录两枚硬币均出现正面的次数； 并算出每一次试验中该事件发生的频率， 再用频率来估算该事件的概率，如图5-1.
说一说
同学们在《数学(七年级下册)》的第9章中，已 经知道了什么是随机现象， 什么是随机现象中一个 事件的概率，你还记得吗？ 1. 什么是随机现象？
在基本条件相同的情况下，可 能出现不同的结果，究竟出现哪一 种结果，随“机遇”而定，带有偶 然性，这类现象称为随机现象．
2. 你能举出随机现象的例子吗？
掷一枚硬币，结果可 能正面向上，也可能反面 向上，这是随机现象．
小明骑车上学，路上 所花的时间可能是20分钟， 也可能是18分钟，或21分 钟„„这是随机现象.
3. 什么是随机事件？你能举例说明吗？
随机现象中可能发生的 事情叫作随机事件. 例如，在掷一枚硬币的 随机现象中，结果为正面向 上是一个随机事件，反面向 上是另一个随机事件.
新教材人教版高中数学必修第二册 10.3.1频率的稳定性(教案)
第十章概率10.3.1频率的稳定性一、教学目标1．通过实验能让学生理解当试验次数较大时，实验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率.2．通过对实际问题的分析，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.3.通过对频率的稳定性的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。
二、教学重难点1.理解频率和概率的区别和联系.2. 大量重复实验得到频率的稳定值的分析.三、教学过程：（1）创设情景阅读课本，完成下列填空：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会_________，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐_________事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．（2）新知探究问题1:小组合作探究概率与频率的区别与联系学生回答，教师点拨并提出本节课所学内容（3）新知建构概率与频率的区别：频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的；概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小概率与频率的联系：频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率（4）数学运用例1.给出下列说法：①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中的频繁程度；②每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数；③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；④频率就是概率．其中正确的是（）A．①B．①②④C．①②D．③④【答案】C【解析】对于①，根据频数和频率的定义知，频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中的频繁程度，所以①正确；对于②，每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数，所以②正确；对于③，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，所以③错误；对于④，频率是一个实验值，是随实验结果变化的，概率是稳定值，是不随实验结果变化的，所以④错误．综上知，正确的命题序号是①②．故选：C．变式训练1:（多选）下列说法正确的有（）A.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；B.一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；C.任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1；D.若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.【答案】AB【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴A正确．∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴B正确．∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，∴C错误．若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴D错误∴说法正确的有两个，故选:AB．变式训练2:（多选）给出下列四个命题,其中正确的命题有( )A．做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正直朝上的概率是51 100B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率C．抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是9 50D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率【答案】CD【解析】对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误;对于B,混淆了频率与概率的区别,故B错误;对于C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950,符合频率定义,故C正确;对于D,频率是概率的估计值,故D正确. 故选:CD.例2.有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:A．猜“是奇数”或“是偶数”B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”请回答下列问题:(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.【答案】(1) 应选方案B ,猜“不是4的整数倍数”;(2) 应当选择方案A;(3) 可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”【解析】 (1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.变式训练:某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次性购物超过8件的顾客占55%.（1）求x，y的值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.【答案】（1）x＝15，y＝20；（2）0.3.【解析】（1）由已知得2510553045yx++=⎧⎨+=⎩，，所以x＝15，y＝20.（2）设事件A为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟”，事件A1为“一位顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，事件A2为“一位顾客一次购物的结算时间为3分钟”，所以P（A）＝P（A1）+P（A2）＝20100+10100＝0.3.例3:2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表：（Ⅰ）求a 的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（Ⅱ）用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.【答案】（Ⅰ）250a =，平均数为52.2；（Ⅱ）0.38.【解析】（Ⅰ）由题意知50320300801000a ++++=，∴250a =，年龄平均数1050302505032070300908052.21000⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. （Ⅱ）1000人中年龄不小于60岁的人有380人， 所以年龄不小于60岁的频率为3800.381000=， 用频率估计概率，所以感染人群中年龄不小于60岁的概率为0.38.四、小结：1．频率的稳定性2.概率与频率的区别：频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的；概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小概率与频率的联系：频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率五、作业：习题10.3.1。
(北师大版)初中数学《频率的稳定性》说课稿
说课稿我将从教材分析，教学方法，学法指导，教学过程这四个方面对本课的设计。
一、教材分析1、教材所处的地位及前后联系在以信息技术为基础工业的社会里，人们面临着更多的机会和选择，在选择时，有时更需要了解有关数据的分布情况。
《频数与频率》的学习分为两课时，本节为第一课时，在此之前学生学习了统计表、统计图、平均数（包括加权平均数）方差、标准差，以及中位数众数等，有些知识为本课的学习起着铺垫作用。
由于平均数、方差等数不能反映数据在某一范围内分布情况，为了进一步反映数据的分布情况我们需要寻找新的特征数，顺理成章地引出了这节课学习的内容——频数。
为下节课及以后学习知识做准备。
2、教学内容和选择在具体教学素材的选取上，与实际生活紧密联系，如新生婴儿的体重及血型调查，八年级学生英语学科成绩分布，八年级男、女身高，鞋码调查及转盘游戏。
整节课的内容设计把它串穿成一个故事来完成教学内容，体现了内容选择的实践性，可操作性和趣味性的原则。
3、教学目标遵循人人学有价值的教学原则，知识来源于实践运用于实践结合本课的地位及学生的认知结构的特征，制定以下三维教学目标：（1）、知识与技能：理解频数、极差等概念。
（2）、过程与方法：通过“故事”的形式，会求频数、会计算极差及极差、组距、组数之间的关系，会将数据分组、会列频数表。
（3）、情感态度与价值观：在动脑想、动口说、动手做的过程中培养同学们的分析问题和解决问题的能力，形成数形结合的意识。
4、教学重点与难点本着课程标准，有吃透教材基础上，我确立如下的教学重点难点。
重点：频数的概念难点：将数据分组过程比较复杂，往往要考虑多方面的因素。
二、教学方法本节教学主要通过“小明的故事”采用引导，探索、合作交流在组织教学，让学生在问题解决的过程中逐步获得新知。
在素材呈现上注意呈现方式的多样化和前后知识的联系，既加强了知识之间的关系，又巩固了学生对新知识的运用而获取能力。
三、学习方法1、主要学生的活动，特别是小组合作的活动。
6.2频率的稳定性(教案)
2.逻辑推理能力：通过观察频率随实验次数的变化，引导学生发现规律，提高逻辑推理能力；
3.问题解决能力：培养学生运用频率稳定性原理解决实际问题的能力，增强数学应用意识；
4.数学思维：激发学生对数据变化趋势的好奇心，发展数学思维和探究精神；
最后，我意识到在课程的总结回顾环节，需要更加注重学生对知识点的反馈。我会鼓励学生们提出疑问，并及时解答，确保他们能够真正理解并吸收课堂内容。
我还观察到，在实践活动中的实验操作环节，一些学生动手能力较弱，对实验步骤的掌握不够熟练。这可能影响了他们对频率稳定性原理的理解。针对这个问题，我计划在下次课中增加一个简短的实验操作培训，确保每个学生都能够熟练地进行实验操作。
此外，我发现学生们在解决实际问题时，有时候会忽略频率稳定性的应用，而是直接给出一个主观的概率估计。这可能是由于他们对频率稳定性在实际中的应用还不够熟悉。为了改善这一点，我打算在接下来的课程中，引入更多贴近生活的案例，让学生们看到频率稳定性在现实世界中的具体应用。
1.频率的定义与计算；
2.实验探究：抛硬币、摸球等实验，记录数据并计算频率；
3.频率稳定性：观察实验次数增加时，频率的变化趋势；
4.频率与概率的关系：运用频率估计概率，分析数据；
5.实际问题：运用频率稳定性解决简单实际问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的数据分析观念、逻辑推理能力以及问题解决能力。通过以下方式实现：
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与频率稳定性相关的实际问题，如购物抽奖活动中奖概率的分析。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行抛硬币实验。这个操作将演示频率稳定性的基本原理。
频率的稳定性
在多次试验中，某个事件出现的次 频数 数叫 ，某个事件出现的次 数与试验总次数的比，叫做这个事件 出现的 频率 .
1、统计数据； 2、计算频率； 3、绘制折线统计图； 4、观察规律。
总结归纳
从长期的实践中，人们观察到，对一般的 随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次 数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固 定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，这 个性质叫做频率的稳定性。
归纳：
一般地,在大量重复试验中,如果事件 A
发生的频率
m n
稳定于某个常数 p ,
那么事件 A 发生的概率
P(A)= p
知识辨析
（1）抛掷硬币100次，一定有50次正面向上吗？ 抛掷2n次一定有n次正说一次投中 的概率为5分之4对吗？
总结
弄清了一种关系------频率与概率的关系
BACK
2、 口袋中有９个球，其中４个红球， ３个蓝球，２个白球，在下列事件 中，发生的可能性为1的是（ C ） A.从口袋中拿一个球恰为红球 B.从口袋中拿出2个球都是白球 C.拿出6个球中至少有一个球是红球 D.从口袋中拿出的球恰为3红2白
BACK
3、小凡做了5次抛掷均匀硬币的实验， 其中有3次正面朝上，2次正面朝下，他 3 认为正面朝上的概率大约为 5 ,朝下的 2 概率为 5 ，你同意他的观点吗？你认为 他再多做一些实验，结果还是这样吗？
• 3.在有一个10万人 • 解: 的小镇,随机调查 了2000人,其中有 • 根据概率的意义,可以 250人看中央电视 认为其概率大约等于 台的早间新闻.在 250/2000=0.125. 该镇随便问一个人, • 该镇约有 他看早间新闻的概 100000×0.125=12500 率大约是多少?该 人看中央电视台的早间 镇看中央电视台早 新闻. 间新闻的大约是多 少人?
2020人教版A数学必修第二册 第10章 10.3.1 频率的稳定性
165
42
频率
(1)将各组的频率填入表中； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 率．
500小时的概
[思路探究] 根据频率的定义计算，并利用频率估计概率．
[解] (1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223，0.193， 0.165,0.042.
(2)样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223 ＝600.
1．“某彩票的中奖概率为1100”意味着( ) A．买100张彩票就一定能中奖 B．买100张彩票能中一次奖 C．买100张彩票一次奖也不中 D．购买彩票中奖的可能性为1100
D
[某彩票的中奖率为
1 100
，意味着中奖的可能性为
1 100
，可能
中奖，也可能不中奖．]
用随机事件的频率估计其概率
【例2】 某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000
联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着 试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率 P(A)．
1．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若
用A表示“正面朝上”这一事件，则A的( )
A．概率为45
B．频率为45
C．频率为8
D．概率接近于8
B [做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为
m n
.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，
那么这个常数才是事件A的概率．故180＝45为事件A的频率．]
2．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考
试共12道选择题，某同学说：“每个选项正确的概率是14，若每题都
频率的稳定性(教学设计)
一、内容和内容解析内容：频率的稳定性．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第十章第3节第1课时的内容．事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复实验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复实验中，相应的频率一般也越小.而本节课研究的就是频率与概率之间的关系.通过探究频率与概率的关系，进一步让学生体会概率与统计的思想，发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养．二、目标和目标解析目标：（1）通过实验让学生理解当试验次数较大时，实验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率．（2）通过对实际问题的分析，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值．目标解析：（1）概率的稳定性是概率论的理论基础，用频率估计概率是获得随机事件概率的方法之一，也是一种重要的概率思想，只有深刻理解概率与频率的关系，才能更好理解概率的意义．（2）让学生经历重复试验，收集、整理试验数据，利用图表表示试验数据，通过观察、比较发现频率的特征，提升直观想象和数据分析素养．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在本节课的教学中，用前面所学的概率统计的知识解决是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：通过实验让学生理解当试验次数较大时，实验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：频率与概率的关系，学生在初中时对此已有初步认识，但理解不够深刻，如何进一步加深理解是本节课的第一个教学问题．解决方案：结合具体的随机试验，通过具体的试验来认识频率与概率的关系．2．教学问题二：对频率的稳定性的理解是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：让学生经历重复试验，收集、整理试验数据，利用图表表示试验数据，通过观察、比较发现频率的特征，提升直观想象和数据分析素养．3．教学问题三：如何用频率估计概率是第三个教学问题．解决方案：结合例题，让学生体会用试验验证概率模型的合理性，或通过试验发现规律从而建立概率理论模型的思想．基于上述情况，本节课的教学难点定为：大量重复实验得到频率的稳定值的分析．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、比较得到频率与概率的区别和联系，能用频率去估计概率，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中结合具体的随机试验，用事实说话，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视对频率稳定性规律的理解，具体的试验或计算机模拟试验其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？课堂小结升华认知[问题5]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是( )A．正面向上的概率为0.48C．正面向上的频率为0.482.设某厂产品的次品教师11：提出问题5．学生10：学生10：学生课后进行思考，并完成课后练习．【答案】1.C 2.B 3.①④⑤ 4.不公平师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．或“不公平”)．。
高中数学必修二课件：频率的稳定性
【解析】 随机事件的频率是概率的近似值，频率不是概率，故①错误； 随机事件的频率不是一个确定的数值，而概率是一个确定的数值，故②正 确； 频率是随机的，它与试验条件、次数等有关，而概率是确定的值，与试验 次数无关，故③④错误； 由频率与概率的关系可知⑤正确．
(2)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
【解析】 合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大 小，即合格的概率．故选D.
题型三 用频率估计概率
例3 (2020·北京，节选)某校为举办甲、乙两项不同的活动，分别设计了相
应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学
生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
题型二 概率的理解
例2 (1)如果某种病治愈的概率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一 定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?
【思路】 准确理解概率的意义是解决问题的关键． 【解析】 如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是30%，指随着试验 次数增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来 说，其结果是随机的，因此10个人中前7个病人没有治愈是可能的，对于后3个 人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也可能没有治愈．
A．由生物学知，生男生女的概率大约都是
1 2
，则一对夫妇生了两个孩子，
一定是一男一女
B．10张券中有1张奖券，10个人去摸，谁先摸则谁中奖的可能性大
C．昨天没有下雨，则说明昨天的天气预报“降水概率是80%”是错的
D．一次摸奖，中奖率是15，则某人连摸5张券，也不一定会中奖
【解析】 这里是男是女是随机的，只能说“可能”一男一女，不能说
抽取台数 50 100 200 300 500 1 000 优等品数 40 92 192 285 478 954
频率的稳定性（1）
频率的稳定性（1）第六章概率初步2 频率的稳定性（第1课时）设计：户县南关中学杨育青⼀、学⽣知识状况分析学⽣在⼩学已经体验过事件发⽣的等可能性及游戏规则的公平性，会求简单事件发⽣的可能性,对⼀些游戏的公平性能初步地作出⾃⼰的评判。
学⽣已接触了不确定事件，了解了不确定事件发⽣的可能性有⼤有⼩。
但可能存在⼀些“误解”。
例如：只出现两种结果的试验，那么这两种结果发⽣的可能性都是1/2；⼜如，所有事件的概率都可以通过理论计算得到等。
因此，本节课的设计和安排都是为了使学⽣能正确地认识和理解概率的相关知识。
⼆、教学任务分析课本从掷图钉试验⼊⼿，使学⽣经历“猜测——试验和收集试验数据——分析试验结果——验证猜测”的过程，初步了解在试验次数很⼤时，事件发⽣的频率具有稳定性。
通过巩固练习中⼏个活动提供的问题情境加深对前⾯结论的认识。
这部分内容的学习，可以帮助学⽣进⼀步理解试验频率和理论概率的辨证关系，同时亦为学⽣体会概率和统计之间的联系打下基础。
让学⽣经历数据收集、整理与表⽰、数据分析以及做出推断的全过程，发展学⽣的统计意识，同时也在学习中逐步达成学⽣的有关情感态度的教学⽬标。
三、教学⽬标及重难点教学⽬标：1、知识与技能:通过试验让学⽣理解当试验次数较⼤时，试验频率稳定在某⼀常数附近，并据此能估计出某⼀事件发⽣的频率。
2.过程与⽅法:在活动中进⼀步发展学⽣合作交流的意识与能⼒，发展学⽣的辩证思维能⼒，并借助计算机技术对较⼤数据进⾏整理和分析，使学⽣能更直观的得出结论。
3.情感与态度:通过对实际问题的分析,培养使⽤数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应⽤价值；进⼀步体会“数学就在我们⾝边”，发展学⽣的应⽤数学的能⼒教学重点：通过试验让学⽣理解当试验次数较⼤时，实验的频率具有稳定性，并据此能初步估计出某⼀事件发⽣的可能性⼤⼩。
教学难点：⼤量重复试验得到频率的稳定值的分析.四、教法、学法及教学准备教学⽅法：组织学⽣进⾏合作试验探究并进⾏有效的⼩组讨论。
频率的稳定性(一)教案
学习过程一、复习预习第一环节课前准备以2人合作小组为单位准备图钉。
第二环节创设情境，激发兴趣活动内容：教师首先设计一个情景对话：以小明和小丽玩抛图钉游戏为背景展开交流，引出钉尖朝上和钉尖朝下的可能性不同的猜测，进而产生通过试验验证的想法。
活动目的：培养学生猜测游戏结果的能力，并从中初步体会试验结果可能性有可能不同。
让学生体会猜测结果，这是很重要的一步，我们所学到的很多知识，都是先猜测，再经过多次的试验得出来的。
而且由此引出猜测是需通过大量的试验来验证。
这就是我们本节课要来研究的问题。
实际教学效果：学生在一个开放的环境下对生活中存在的问题进行猜测，事实上，学生对游戏的公平性进行猜测的过程，就已经开始体会事件发生的可能性有大有小，这就为下一环节用试验估算事件发生频率打好基础。
同时简短对话易于快速引入新课，利于课堂环节的衔接。
第三环节 分组试验，获取数据活动内容：参照教材提供的任意掷一枚图钉，出现钉尖朝上和钉尖朝下两种结果，让同学猜想钉尖朝上和钉尖朝下的可能性是否相同的情境，让学生来做做试验。
请同学们拿出准备好的图钉：（1） 两人一组做20次掷图钉游戏，并将数据记录在下表中：试验总次数 钉尖朝上次数 钉尖朝下次数钉尖朝上频率（钉尖朝上次数/试验总次数） 钉尖朝下频率（钉尖朝下次数/试验总次数）介绍频率定义:在n 次重复试验中，不确定事件A 发生了m 次，则比值n称为事件发生的频率。
二、知识讲解考点1：频率定义:在n 次重复试验中，不确定事件A 发生了m 次，则比值nm称为事件发生的频率。
易错点：准确找出m 与n 的值。
三、例题精析【例题1】【题干】某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：射击总次数 n1020501002005001000击中靶心次数 m 9 16 4188 168 429 861 击中靶心频率 m/n完成上表。
【答案】0.9,0.8,0.82,0.88,0.84,0.858,0.861.【解析】根据概率公式 即可求出。
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9.2频率的稳定性（2）
课型：新授课备课人：王玉杰班级：姓名：时间：
学习目标
l.经历猜测、试验、收集与分析试验结果等过程。
2.初步体验有些事件发生是确定的，有些事件发生是不确定的。
学习重点与难点
重点：经历猜测、试验、收集与分析试验结果等过程
难点：明确事件发生的可能性是有大有小的
学习过程
一、新授
投掷骰子，不可能预测出掷得的结果.
会不会在“没有规则”的背后，隐含着某种规律呢？
在反复实验中观察不确定现象，以发现它们隐含的规律.
表1 历史上抛掷硬币实验的若干结果
实验者抛掷硬币次数（n）出现正面次数（m）出现正面概率（m/n）
德莫根2048 1061 0.5181
蒲丰4040 2048 0.5069
费勒10000 4979 0.4979
皮尔逊12000 6019 0.5016
皮尔逊24000 12012 0.5005
抛掷一枚硬币
抛掷次数50 100 150 200 250 300 350 400
现正面的频数
26 53 72 94 116 142 169 193
出现正面的频率
52.0% 52.0% 52.0% 52.0% 52.0% 52.0% 52.0% 52.0% 抛掷次数
450 500 550 600 650 700 750 800 现正面的频数
218 242 269 294 321 343 369 395
出现正面的频率
48.4% 48.4% 48.9% 49.0% 49.4% 49.0% 49.2% 49.4%
思考
由图可以看到，当实验次数比较多的时候，
1.“出现正面”的频率变动明显减小，
表现为“风平浪静”，
2.“出现正面”的频率在0.5附近波动！
3.如果将实验中的硬币换成瓶盖，你觉得频率也会逐渐稳定吗？如果是，那么稳定的数值会和（1）中一致吗？
概括
无论是抛掷均匀的硬币还是抛掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（顶尖朝上）的频率，都会在一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性。
由于事件A发生的频率，表示该事件发生的频繁程度，频率越大，事件A发生越频繁，这就意味着事件A发生的可能性也越大，因而，我们就用这个常数来表示事件A发生的可能性的大小，我们把这个刻画事件A发生的可能性的大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P（A）.
一般地，大量重复的试验中，我们常用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生的概率.
课堂小结：本节课你有什么收获？
课堂检测
1. 问题提出：一枚图钉被抛起后钉尖触地的机会有多大？你能不通过实验预测出来吗？
2.必然事件发生的概率是（），不可能事件发生的概率是（），不确定事件发生的概率P(A)是0和1之间的（）。
3. 抛掷3一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是1/2,那么如果抛掷100次硬币，你能保证恰好50次正面朝上吗？为什么？
正规作业
试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 5000
发芽的粒数m 94 191 473 954 1906 4748
发芽的频率m/n
（1）完成上表；
（2）任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率；
（3）如果再重新抽取5000粒麦粒进行发芽检测，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？课后反思
9.3 等可能事件的概率（1）
课型：新授课备课人:李冬琴班级：姓名：时间：
学习目标：
（1）通过摸球游戏，帮助学生了解计算一类事件发生可能性的方法，体会概率的意义。
（2）通过活动，帮助学生更容易地感受到数学与现实生活的联系，体验到数学在解决实际问题中的能力，培养学生实事求是的态度及合作交流的能力。
学习重点：概率的意义及其计算方法
一、创设情景、引出课题
二、学习难点：概率计算方法的理解
前面我们用事件发生的频率来估计该事件发生的概率，但得到的往往只是概率的估计值。
那么，还有没有其他求概率的方法呢？
二．学习新知
一个袋中装有5个球，分别标有1,2,3,4,5这5个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一球。
（1）会出现哪些可能的结果？
（2）每个结果出现的可能性相同吗？猜一猜它们的概率分别是多少？
设一个试验的所有可能的结果有n个，每次试验有且只有其中的一个结果出现。
如果每个结果出现的可能性相同，那么我们就称这个试验的结果是等可能的。
一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P(A)=m/n。
例题1：掷一枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分标有1，2，3，4，5，6）。
（1）“6“朝上的概率是多少？
（2）掷出的点数大于4的概率是多少？
（3）掷出的点数是偶数的概率是多少?
（4）掷出的点数小于7的概率是多少？
（5）掷出的点数大于6的概率是多少？
三．课堂练习
1.练一练：
（1）全班50人，任意摸取10人，被抽到的概率是多少？
（2）一副扑克牌（去掉大、小王），任意抽取其中一张，抽到方块的概率是多少？抽到10的概率是多少？
2.讲一讲：
举出日常生活中你所见到的“概率现象”。
3.（1）甲产品合格率为98,乙产品的合格率为80，你认为买哪一种产品更可靠？
（2)阿强在一次抽奖活动中，只抽了一张，就中了一等将，能不能说这次抽奖活动的中奖率为百分之百？为什么？
B4.某小商店开展购物摸奖活动，声明：购物时每消费2元可获得一次摸奖机会，每次摸奖时，购物者从标有数字1，2，3，4，5的5个小球（小球之间只有号码不同，其他均相同）中摸出一球，若号码是2就中奖，奖品为一张精美图片．
（1）摸奖一次得到一张精美图片的概率是多少？
（2）一次，小聪购买了10元钱的物品，前4次摸奖都没有摸中，他想：“第5次摸奖我一定能摸中”，你同意他的想法吗？说说你的想法．
课堂小结：本节课你有什么收获？
课堂检测：
1.有5张数字卡片，它们的背面完全相同，正面分别标有1，2，2，3，4。
现将它们的背面朝上，
从中任意摸到一张卡片，则：
p （摸到1号卡片）= p （摸到2号卡片）=
p （摸到3号卡片）= p （摸到4号卡片）=
p （摸到大于4号的卡片）= p（摸到小于5号的卡片）=
2.任意翻一下日历，翻出1月6日的概率为。
翻出4月31日的概率为。
正规作业：
1.某同学掷一枚硬币，结果是一连9次都掷出正面朝上，请问他第10次掷出硬币时出现正面朝上的概率为（）
A．小于
1
2B．大于
1
2C．
1
2D．不能确定
2. 不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球，每个球除颜色不同外其他都相同，从中任意摸出一个球，则摸出球的可能性最大．
3.从一副扑克牌（除去大小王）中任抽一张。
P （抽到红心） = P （抽到黑桃） =
P （抽到红心3）= P （抽到5）=
课后反思。