6.2.1频率的稳定性
北师大版数学七年级下册6.2《频率的稳定性》说课稿2
北师大版数学七年级下册6.2《频率的稳定性》说课稿2一. 教材分析《频率的稳定性》是北师大版数学七年级下册第6.2节的内容，本节课主要让学生通过大量的实验和数据分析，了解频率的稳定性特点，培养学生运用统计方法处理数据的能力。
教材从生活实例出发，引导学生探究频率与概率之间的关系，进而引导学生认识频率的稳定性。
教材内容由浅入深，循序渐进，符合学生的认知规律。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了概率的基本概念，对随机事件有一定的认识。
但学生在运用统计方法处理数据方面还较为薄弱，因此，在教学过程中，教师需要关注学生的实际情况，引导学生通过实验、观察、分析等方法，深入理解频率的稳定性特点。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生了解频率的稳定性特点，学会运用统计方法处理数据。
2.过程与方法：培养学生动手实验、观察分析、归纳总结的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生的数据处理能力，提高学生在实际生活中的应用能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生通过实验和数据分析，理解频率的稳定性特点。
2.教学难点：如何引导学生运用统计方法处理数据，以及如何让学生理解频率与概率之间的关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用实验教学法、案例教学法、分组讨论法、引导发现法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、实验器材、统计图表等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活实例，引导学生思考频率与概率之间的关系。
2.实验探究：让学生分组进行实验，观察并记录实验结果，培养学生动手实验的能力。
3.数据分析：引导学生对实验数据进行处理和分析，归纳总结频率的稳定性特点。
4.知识拓展：通过案例分析，让学生了解频率稳定性在实际生活中的应用。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强化学生对频率稳定性的认识。
6.布置作业：让学生运用所学的统计方法处理实际问题，提高学生的应用能力。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出频率稳定性的核心概念。
北师大版初中数学七年级下册《6.2 频率的稳定性》同步练习卷(1)
北师大新版七年级下学期《6.2 频率的稳定性》同步练习卷一．解答题（共17小题）1．在一个不透明的袋子中装有20个球，其中红球6个，白球和黑球若干个，每个球除颜色外完全相同．（1）小明通过大量重复试验（每次将球搅匀后，任意摸出一个球，记下颜色后放回）发现，摸出的黑球的频率在0.4附近摆动，请你估计袋中黑球的个数．（2）若小明摸出的第一个球是白球，不放回，从袋中余下的球中再任意摸出一个球，摸出白球的概率是多少？2．在一个不透明的口袋里装有若干个质地相同的红球，为了估计袋中红球的数量，某学习小组做了摸球实验，他们将30个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，多次重复摸球．下表是多次活动汇总后统计的数据：（1）请估计：当次数S很大时，摸到白球的频率将会接近；假如你去摸一次，你摸到红球的概率是（精确到0.1）．（2）试估算口袋中红球有多少只？3．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：摸到白球的频率（1）完成上表；（2）“摸到白球”的概率的估计值是（精确到0.1）；（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？4．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，4，5，x．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．实验数据如下表：解答下列问题：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近．估计出现“和为8”的概率是0．；（2）当x＝7时，请用列表法或树状图法计算“和为8”的概率；并判断x＝7是否可能．5．一个不透明的袋子里装着6个黄球，10个黑球和14个红球，他们除了颜色外完全相同．（1）小明和小颖玩摸球游戏，规定每人摸球一次再将球放回为依次游戏，若摸到黑球则小明获胜，摸到黄球则小颖获胜，这个游戏公平吗？说说你的理由．（2）现在裁判向袋子中放入若干个红球，大量重复试验后，发现小明获胜的频率稳定在0.25附近，问裁判放入了多少个红球？6．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；（精确到0.1）（2）试估算口袋中白球有多少只？（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球；这两只球颜色不同的概率是多少？7．某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：落在“可乐”区域的频率（1）完成上述表格；（结果全部精确到0.1）（2）请估计当n很大时，频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是；（结果全部精确到0.1）（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？8．在一个不透明的盒子中有2个白球和1个黄球，每个小球除颜色外，其余的都相同，每次从该盒中摸出1个球，然后放回，搅匀再摸，在摸球实验中得到下表中部分数据：（1）将数据表补充完整；（2）根据上表中的数据在下图中绘制折线统计图；（3）观察该图表可以发现，随着实验次数的增加，摸出黄色小球的频率有何特点？（4）请你估计从该盒中摸出1个黄色球的机会是多少．9．问题情景：某学校数学学习小组在讨论“随机掷二枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说：随机掷二枚均匀的硬币，可以有“二正、一正一反、二反”三种情况，所以，P（一正一反）＝；小颖反驳道：这里的“一正一反”实际上含有“一正一反，一反一正”二种情况，所以P（一正一反）＝．（1）的说法是正确的．（2）为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次实验，得到如下数据：计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的实验中，你能得到“一正一反”的概率是多少吗？（3）对概率的研究而言小聪与小颖两位同学的实验说明了什么？10．在“首届中国西部（银川）房•车生活文化节”期间，某汽车经销商推出A、B、C、D 四种型号的小轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中．（1）参加展销的D型号轿车有多少辆？（2）请你将图2的统计图补充完整；（3）通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好？（4）若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A、B、C、D四种型号轿车的发票（一车一票）放到一起，从中随机抽取一张，求抽到A型号轿车发票的概率．11．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，好将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：（1）请估计：当实验次数为5000次时，摸到白球的频率将会接近；（精确到0.1）（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率为；（3）求不透明的盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？12．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是；（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？（4）解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了．这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法．13．某校九年级兴趣小组进行投针实验，在地面上有一组平行线，相邻两条平行线间的距离都为5cm，将一长为3cm的针任意投向这组平行线，下表是他们的实验数据．（1）计算出针与平行线相交的频率，并完成统计表；（2）估算出针与平行线相交的频率；（3）由表中的数据说明：在以上条件下相交于不相交的可能性相同吗？（4）能否利用列表或树形图法求出针与平行线相交的概率？14．某学习小组做摸球实验，在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5只，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，表是活动进行中的一组统计数据：（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；（精确到0.1）（2）你能估算出学习小组做摸球实验的口袋中白球个数吗？（3）若摸球实验是从口袋里先摸出一球，不放回，再摸出一球；请用树状图或列表分析计算，这两只球颜色相同的概率是多少？15．某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名学生，估计爱好运动的学生有人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是．16．在一个不透明的箱子中装有2个红球、n个白球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．（1）若每次摸球前先将箱子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么估计箱子里白球的个数n为；（2）如果箱子里白球的个数n为1，小亮随机从箱子里摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，请用画树状图或列表法求两次均摸到红球的概率．17．如图，两个转盘A，B都被分成了3个全等的扇形，在每一个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘A，B，两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇形的边线上，当作指向上边的扇形）（1）用列表法（或树形图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果；（2）小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如下表：如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；（3）根据（2），若0＜x＜y，试求出x与y的值．北师大新版七年级下学期《6.2 频率的稳定性》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共17小题）1．在一个不透明的袋子中装有20个球，其中红球6个，白球和黑球若干个，每个球除颜色外完全相同．（1）小明通过大量重复试验（每次将球搅匀后，任意摸出一个球，记下颜色后放回）发现，摸出的黑球的频率在0.4附近摆动，请你估计袋中黑球的个数．（2）若小明摸出的第一个球是白球，不放回，从袋中余下的球中再任意摸出一个球，摸出白球的概率是多少？【分析】（1）根据摸出的黑球的频率在0.4附近摆动可估计摸出一球是黑球的概率为0.4，据此可得；（2）根据概率公式可得．【解答】解：（1）∵摸出的黑球的频率在0.4附近摆动，∴估计袋中黑球的个数约为20×0.4＝8个；（2）由（1）知袋子中红球6个、黑球8个、白球6个，第一次摸出白球后袋子中还有白球5个，总的球数为19个，故摸出白球的概率是．【点评】本题主要考查频率估计概率和概率公式的应用，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．2．在一个不透明的口袋里装有若干个质地相同的红球，为了估计袋中红球的数量，某学习小组做了摸球实验，他们将30个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，多次重复摸球．下表是多次活动汇总后统计的数据：（1）请估计：当次数S很大时，摸到白球的频率将会接近0.3；假如你去摸一次，你摸到红球的概率是0.7（精确到0.1）．（2）试估算口袋中红球有多少只？【分析】（1）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.3左右，而摸到红球的概率为1﹣0.3＝0.7；（2）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可；【解答】解：（1）当次数S很大时，摸到白球的频率将会接近0.3；假如你去摸一次，你摸到红球的概率是1﹣0.3＝0.7；故答案为：0.3，0.7；（2）估算口袋中红球有x只，由题意得0.7＝，解之得x＝70，∴估计口袋中红球有70只；【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1．3．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：摸到白球的频率（1）完成上表；（2）“摸到白球”的概率的估计值是0.6（精确到0.1）；（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量＝频率直接求解即可；（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算白球的个数．【解答】解：（1）填表如下：摸到白球的频率（2）“摸到白球”的概率的估计值是0.60；（3）由（2）摸到白球的概率为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数＝20×0.6＝12（个），黑球20﹣12＝8（个）．答：黑球8个，白球12个．故答案为：（1）0.59，0.58；（2）0.6．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．4．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，4，5，x．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．实验数据如下表：解答下列问题：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近．估计出现“和为8”的概率是0．；（2）当x＝7时，请用列表法或树状图法计算“和为8”的概率；并判断x＝7是否可能．【分析】（1）根据实验次数越大越接近实际概率求出出现“和为8”的概率即可；（2）根据小球分别标有数字3、4、5、x，用列表法或画树状图法说明当x＝7时，得出“和为8”的概率，即可得出答案．【解答】解：（1）利用图表得出：实验次数越大越接近实际概率，所以出现“和为8”的概率是．故答案为；（2）当x＝7时，画树状图如下：则两个小球上数字之和为8的概率是：＝≠，所以x的值不可以取7．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率以及树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键．5．一个不透明的袋子里装着6个黄球，10个黑球和14个红球，他们除了颜色外完全相同．（1）小明和小颖玩摸球游戏，规定每人摸球一次再将球放回为依次游戏，若摸到黑球则小明获胜，摸到黄球则小颖获胜，这个游戏公平吗？说说你的理由．（2）现在裁判向袋子中放入若干个红球，大量重复试验后，发现小明获胜的频率稳定在0.25附近，问裁判放入了多少个红球？【分析】（1）根据概率公式分别计算小明获胜和小颖获胜的概率，比较即可得；（2）设向袋子中放入了x个红球，根据摸到黑球最终稳定的频率即为概率的估计值，列出方程求解可得．【解答】解：（1）不公平，∵袋子中共有30个小球，从中摸出一个小球，是黑球的概率为＝，从中摸出一个小球，是黄球的概率为＝，∴这个游戏不公平；（2）设裁判向袋子中放入了x个红球，根据题意可得：＝0.25，解得：x＝10，经检验：x＝10是分式方程的解，∴裁判放入了10个红球．【点评】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．6．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；（精确到0.1）（2）试估算口袋中白球有多少只？（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球；这两只球颜色不同的概率是多少？【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算白球的个数；（3）先利用列表法展示所有20种等可能的结果数，再找出两只球颜色不同所占结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）答案为：0.6；（2）由（1）摸到白球的概率为0.6，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数＝5×0.6＝3（只）；（3）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中两只球颜色不同占12种，所以两只球颜色不同的概率＝＝．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．也考查了列表法与树状图法．7．某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：落在“可乐”区域的频率（1）完成上述表格；（结果全部精确到0.1）（2）请估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是0.6；（结果全部精确到0.1）（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？【分析】（1）根据频率的定义计算n＝298时的频率和频率为0.59时的频数；（2）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率估计概率得“可乐”的概率约是0.6；（3）可根据获得“洗衣粉”的概率为1﹣0.6＝0.4，然后根据扇形统计图的意义，用360°乘以0.4即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角．【解答】解：（1）298÷500≈0.6；0.59×800＝472；（2）估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是0.6；（3）（1﹣0.6）×360°＝144°，所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是144°．故答案为0.6，0.6．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．8．在一个不透明的盒子中有2个白球和1个黄球，每个小球除颜色外，其余的都相同，每次从该盒中摸出1个球，然后放回，搅匀再摸，在摸球实验中得到下表中部分数据：（1）将数据表补充完整；（2）根据上表中的数据在下图中绘制折线统计图；（3）观察该图表可以发现，随着实验次数的增加，摸出黄色小球的频率有何特点？（4）请你估计从该盒中摸出1个黄色球的机会是多少．【分析】（1）根据频数与频率的关系，频数等于频率与样本容量的积，代入数据可得答案，（2）根据（1）的数据，进而可以制折线统计图，（3）由（2）的折线图，观察可得结论，（4）观察折线统计图可知，出现黄色小球的频率逐渐稳定在0.34附近，进而可得答案．【解答】解：（1）根据频数与频率的关系，频数等于频率与样本容量的积，第二行第7列应填的数据为240×0.36＝86.4≈86，第三行第3列应填的数据为24÷80＝0.3，故答案为：86，0.3．（2）根据（1）的数据，绘制折线统计图如图所示（3）从折线统计图可以看出，随着实验次数的增加，出现黄色小球的频率逐渐平稳；（4）观察折线统计图可知，出现黄色小球的频率逐渐稳定在0.34附近，故摸出黄球的机会约为34%．【点评】用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．部分的具体数目＝总体数目×相应频率．大量实验得到的频率接近于概率．9．问题情景：某学校数学学习小组在讨论“随机掷二枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说：随机掷二枚均匀的硬币，可以有“二正、一正一反、二反”三种情况，所以，P（一正一反）＝；小颖反驳道：这里的“一正一反”实际上含有“一正一反，一反一正”二种情况，所以P（一正一反）＝．（1）小颖的说法是正确的．（2）为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次实验，得到如下数据：计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的实验中，你能得到“一正一反”的概率是多少吗？（3）对概率的研究而言小聪与小颖两位同学的实验说明了什么？【分析】（1）要判断谁说的正确只要看他们说的情况有没有漏掉的即可．（2）根据频率＝所求情况数与总情况数之比，即可得出结果．（3）在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．【解答】解：（1）“一正一反”实际上含有“一正一反，一反一正”二种情况，共四种，所以小颖的说法是正确的（2）小明得到的“一正一反”的频率是50÷100＝0.50小颖得到的“一正一反”的频率是47÷100＝0.47据此，我得到“一正一反”的概率是（3）对概率的研究不能仅仅通过有限次实验得出结果，而是要通过大量的实验得出事物发生的频率去估计该事物发生的概率．我认为小聪与小颖的实验都是合理的，有效的．（8分）【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．10．在“首届中国西部（银川）房•车生活文化节”期间，某汽车经销商推出A、B、C、D 四种型号的小轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中．（1）参加展销的D型号轿车有多少辆？（2）请你将图2的统计图补充完整；（3）通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好？（4）若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A、B、C、D四种型号轿车的发票（一车一票）放到一起，从中随机抽取一张，求抽到A型号轿车发票的概率．【分析】（1）先求出D型号轿车所占的百分比，再利用总数1000辆即可求出答案；（2）利用C型号轿车销售的成交率为50%，求出C型号轿车的售出量，补充统计图即可；（3）分别求出各种型号轿车的成交率即可作出判断；（4）先求出已售出轿车的总数，利用售出的A型号车的数量即可求出答案．【解答】解：（1）∵1﹣35%﹣20%﹣20%＝25%，∴1000×25%＝250（辆）．答：参加销展的D型轿车有250辆；（2）如图，1000×20%×50%＝100；（3）四种型号轿车的成交率：A：×100%＝48%；B：×100%＝49%；C：50%；D：×100%＝52%∴D种型号的轿车销售情况最好．（4）∵．∴抽到A型号轿车发票的概率为．【点评】利用统计图解决问题时，要善于从图中寻找各种信息．当一个事件的频率具有稳定性时，可以用该事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．部分数目＝总体数目乘以相应概率．11．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，好将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：（1）请估计：当实验次数为5000次时，摸到白球的频率将会接近0.6；（精确到0.1）（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.60；（3）求不透明的盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？【分析】（1）求出所有试验得出来的频率的平均值即可；（2）摸一次的概率和大量实验得出来的概率相同；（3）根据频数＝总数×频率进行计算即可．【解答】解：（1）摸到白球的频率＝（0.63+0.62+0.593+0.604+0.601+0.599+0.601）÷7≈0.6，∴当实验次数为5000次时，摸到白球的频率将会接近0.6．（2）摸到白球的频率为0.6，∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）＝0.6．。
第六章 系统的稳定性
6.1 稳定性
1.稳定性的概念 只有稳定的系统才能正常工作。在设计一个系统时，首先要 保证其稳定；在分析一个已有的系统时，也首先要判定其是否 稳定。线性系统是否稳定，是系统本身的一个特性，而与系统 的输入量或扰动无关
6.1 稳定性
2.稳定的条件
6.1 稳定性
2.稳定的条件
6.1 稳定性
2.稳定的条件
a0 {( S P1 )( S P2 ) [( S 1 j1 )( S 1 j1 )][( S 2 j 2 )( S 2 j 2 )] } 0
即a 0 {( S P1 )( S P2 ) [( S 2 2 1 S 1 1 )][( S 2 2 2 S 2 2 )] } 0
例1
已知一调速系统的特征方程式为
S 3 41.5S 2 517 S 2.3 10 4 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
S3 S2 S1 S
0
1 41.5 38.5
4
517 2.3 10 4
0 0
2.3 10
结论： (1)该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的； (2) 且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半 平面。
6.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
幅角原理的简单说明 设有辅助函数为 其零、极点在S平面上的分布如下图 所示，在 S平 面上作一封闭曲线Γs ， Γs不通过上述零、极点， 在封闭曲线Γs 上任取一点F(s1) , 其对应的辅助函数 的幅角应为
当解析点S1沿封闭曲线Γs按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现，所有位于封闭曲线Γs 外面的辅助函数 的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0，而位于封闭曲 线Γs 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向 转过2π弧度（一周）。
北师大版七年级数学下册课教案附教学反思6.2 频率的稳定性
2 频率的稳定性【教学目标】1.知识与技能（1）理解概率的定义；（2）理解用统计来估计事件的概率及频率与概率的关系。
2.过程与方法通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法，渗透转化和估算的思想方法。
3.情感态度和价值观进一步体会数学就在我们身边，发展学生的应用数学能力。
【教学重点】通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率【教学难点】理解概率与频率的关系，能够正确计算概率。
【教学方法】自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】教学课件、一元硬币若干。
【课时安排】1课时【教学过程】一、情景导入【过渡】上节课的学习中，我们通过掷图钉的小活动，理解了在实验次数很大时，频率趋于稳定的特点。
大家知道频率稳定性最早是由谁提出的吗？课件展示图片。
【过渡】就是由这个人提出的，频率的稳定性是由瑞士数学家雅布·伯努利（1654－1705）最早阐明的，他还提出了由频率可以估计事件发生的可能性大小。
【过渡】那么该如何通过频率估计事件发生的可能性大小呢？今天我们就来学习一下这个问题。
首先，我们同样先进行一个小游戏。
二、新课教学1．概率【过渡】硬币是我们大家经常能看到的，大家有时候也会玩一些抛硬币的游戏，抛掷一枚均匀的硬币，硬币落下后，会出现两种情况：正面朝下和正面朝上。
那大家有没有想过，掷一枚硬币，出现两种情况的可能性谁大谁小呢？现在我们就用刚刚老师发给大家的硬币，进行一下探究吧。
（学生两辆一组进行实验）【过渡】按照课本做一做的内容。
同桌两人做20次掷硬币的游戏，并将记录记载在下表中。
（老师巡视指导）【过渡】我看大家都已经进行完了，现在，我来找两个同学帮忙，像上节课一样，将全班同学的数据统计出来，然后我们汇总入表中。
【过渡】之后，我们画出折线图。
（学生自己根据数据画出折线图）课件展示提前准备好的图。
【过渡】大家看一下，你们手中的图和老师展示的图一样吗？（学生回答）【过渡】观察上面的折线统计图，你发现了什么规律？（学生回答）【过渡】刚刚大家都总结了规律，从图中，我们能够清楚的看出，当试验次数很大时, 正面朝上的频率折线差不多稳定在0.5 水平直线上。
七年级数学北师大版下册初一数学--第六单元 6.2《频率的稳定性》第一课时-课件
知1－讲
(2)由这张次数和频率表可知，机器人抛掷完9 999次时， 得到__5_0_0_6___次正面，正面出现的频率约是__5_0_.1_%__． 那么，也就是说机器人抛掷完9 999次时，得到_4__9_9_3 次反面，反面出现的频率约是__4_9_.9_%___．
试验总次数 钉尖朝上的次数 钉尖朝下的次数
钉尖朝上的频率
钉尖朝上的次数 试验总次数
钉尖朝下的频率
钉尖朝下的次数 试验总次数
（来自《教材》）
知1－讲
定义：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，
则比值
m n
称为事件 A发生的频率.
知1－讲
例1 〈长沙〉在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们 只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先 将盒子中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再 放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红 球 的 频 率 稳 定 于 0.2 ， 那 么 可 以 推 算 出 n 大 约 是 ___1_0____．
知2－练
3 某人在做掷硬币试验时，投掷m次，正面朝上有n次
(即正面朝上的频率是P＝
n m
).
则下列说法中正确的
是( D )
1
A．P一定等于 2 B．P一定不等于
1 2
C．多投一次，P更接近
1 2
D．随投掷次数逐渐增加，P在
1
附近摆动
2
知2－练
4 在一个不透明的盒子里装着若干个白球，小明想估计其中
6.2频率的稳定性
同意他们的说法吗？
有些事件发生的可能性是不能计算的，如：
通过试验来估计可能性的大小。
数学史实
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,
由于众多微小的偶然因素的影响,每次测
得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所
得结果却能反应客观规律.
频率稳定性定理
频率的稳定性是由瑞士数学家雅
尖朝上的频率具有稳定性
活动二：议一议
（1）通过上面的试验，你认为钉尖朝上和钉
尖朝下的可能性一样大吗？你是怎样想的？
（2）小明和小丽一起做了10次掷图钉
的试验，其中有6次钉尖朝下。据此，他们认
为钉尖朝下的可能性比钉尖朝上的可能性大。
你同意他们的说法吗？
（3）小明和小丽一起做了1000次掷图钉
的试验，其中有640次钉尖朝上。据此，他们认
掷一枚图钉，落地后会出现两种情况：
你认为钉尖朝上和钉尖朝下的可能性
一样大吗？
频率：在n次重复试验中，事件A发生了m次，
则比值 称为事件A发生的频率.
活动一：做一做
两人一组做20次掷图钉游戏，并将结果记录在
下表中（用画正子的方法统计）：
（几何画板课）
结论：
在试验次数很大时，钉尖朝上的
频率都会在一个Leabharlann 数附近摆动，即钉可比·伯努利（1654－1705）最
早阐明的，他还提出了由频率可
以估计事件发生的可能性大小。
活动三：练一练
1.某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：
(1)完成上表；
(2)根据上表，画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图；
(2)观察画出的折线统计图，击中靶心的频率的变化有什么
北师大版数学七年级下册6.2《频率的稳定性》(第1课时)教案(3)
数学史实介绍
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于
众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不
尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观规
律.
频率稳定性定理是由瑞士数学家雅可比·伯努
利最早阐明的，他还提出了由频率可以估计事件发
生的可能性大小. 雅可比·贝努利( Jokob
1Bernoulli , 1654 -1705) ,十七世纪瑞士著名数
学家。
年青时根据父亲的意愿学习神学,曾获巴塞尔
大学文学硕士和神学硕士学位,同时怀着浓厚的兴趣研习数学和天文学。
1687 年起任巴塞尔大学教授,在多方面作出重要贡献。
对概率论也有深入研究,建立了描述独立试验序列的“贝努利概型”,提出并证明了“贝努利大数定律”。
历史上有许多著名学者做过频率稳定性的试验。
例如,德·摩根(De Morgan) ,蒲丰(Buffon) ,皮尔逊(Pearson) 等人都做过大量的投掷硬币的试验,发现正面出现的频率稳定在0.5 左右。
大量地观察并统计婴儿的出生,发现男孩出生的频率稳定在0.513 左右。
十八世纪,法国数学家拉普拉斯(Laplace) 对伦敦、彼得堡、柏林和整个法国的广大人口资料进行了研究,得出那些地区的男孩出生频率约等于22/43 。
又有人统计过某个国家无法投递的信件数,多年统计的结果发现,这类信件数在全部信件中的比例几乎保持不变,在百万分之五十左右。
在讲数学课的同时,介绍一些数学史是非常必要的,这既可以增加学生的知
识面,扩大学生的视野,还可以从这些史实中,了解相关的数学知识与方法产生的历史背景,体会其中的思想、方法和创立一门新学科的艰辛.。
北师大版七年级下册数学说课稿：第六章6.2.2《频率的稳定性》
北师大版七年级下册数学说课稿：第六章6.2.2《频率的稳定性》一. 教材分析《频率的稳定性》是北师大版七年级下册数学的第六章6.2.2节内容。
本节课的主要内容是让学生理解频率的稳定性概念，掌握频率稳定性的性质和应用。
教材通过具体的实例，引导学生探究频率的稳定性，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析面对的是一群七年级的学生，他们已经掌握了概率基础知识，对于频率有一定的了解。
但是，对于频率的稳定性概念和性质，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要通过具体的实例和活动，帮助学生理解和掌握频率的稳定性。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解频率的稳定性概念，掌握频率稳定性的性质和应用。
2.过程与方法目标：通过具体的实例和活动，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极探究的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：频率的稳定性概念，频率稳定性的性质和应用。
2.教学难点：频率稳定性的理解和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
2.教学手段：利用多媒体课件和实物教具进行教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个具体的实例，引导学生思考频率的稳定性问题。
2.探究：让学生分组进行动手操作，通过实际操作和观察，总结频率稳定性的性质。
3.讲解：教师根据学生的探究结果，进行讲解和总结，让学生理解频率稳定性的概念和性质。
4.应用：让学生通过具体的实例，应用频率稳定性的知识解决问题。
5.总结：教师引导学生进行总结，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出频率稳定性的概念和性质。
可以设计成以下形式：频率稳定性：1.概念：……2.性质：……3.应用：……八. 说教学评价教学评价可以从学生的学习效果和教学目标达成情况两个方面进行。
对于学生的学习效果，可以通过课堂表现、作业完成情况和课后反馈来进行评价。
模拟电子技术电子教案第六章正弦波振荡电路教案
6.信号发生电路【重点】自激振荡的条件、正弦波振荡电路组成及判断电路能否振荡方法。
【难点】判断电路能否振荡方法。
6.1正弦波振荡电路基本概念6.1.1 自激振荡的条件1.自激振荡现象振荡电路首先应是放大电路。
2.1=F A1=F AφA +φF =±26.1.2 自激振荡的建立及稳定过程在起振时电路必须满足F A＞1的条件。
电路起振后，振荡幅度也不会由于正反馈而无止境地增长下去，这是因为基本放大器中的三极管等器件本身的非线性或反馈支路本身与输入关系的非线性，放大倍数或反馈系数在振幅增大到一定程度时就会降低。
6.1.3 正弦波振荡电路组成及分析方法1.振荡电路组成 （1）放大电路。
（2）正反馈网络。
（3）选频网络。
（4）稳幅环节。
2.振荡电路分析方法（1）分析电路是否包含振荡电路四个组成部分。
（2）判断放大电路能否正常工作（是否有合适的静态工作点，动态信号能否输入、输出）。
（3）判断电路能否振荡（相位平衡条件，用瞬时极性法判断）。
（4）分析起振幅值条件（满足AF ＞1的幅值条件）。
（5）稳幅与稳频电路，稳幅是指起振、增幅、等幅的振荡建立过程。
（6）估算振荡频率。
自激振荡的产生o【重点】变压器反馈式、电感三点式、电容三点式正弦波振荡电路工作原理及特点，估算振荡频率。
【难点】石英晶体振荡电路工作原理。
6.2 LC 正弦波振荡电路6.2.1 LC 并联谐振电路的选频特性电路复阻抗Z 为L R CL R C Z ωωωωj j 1)j (j 1+++=通常L ω＞＞ R ，故上式可简化为)1j(CL R CL Z ωω-+=1.谐振频率及复阻抗LCf π=210 RC L Z =02.品质因数CL R CR RLQ 1100===ωω3.选频特性6.2.2变压器反馈式振荡电路1.电路组成2.振荡条件及振荡频率L＋V CCLC 并联谐振电路LLC Zωa.幅频特性LCf π=213.电路特点变压器反馈式振荡电路的特点是结构简单，容易起振，改变电容大小可方便地调节振荡频率，调频范围较宽，工作频率通常在几兆赫兹，但电路输出波形不理想，输出波形中含有较多高次谐波成分。
稳定性试验管理规程
稳定性试验管理规程1目的：阐述公司生产原料药成品、中间产品的稳定性试验管理，保证并规范稳定性实验的实施。
2范围：本公司生产的所有产品的稳定性试验。
3职责：质量管理部负责本规程的变更、培训。
4参考文献：4.1《药品生产质量管理规范》（2010年修订）4.2《中国药典》（2015年版四部）5定义：5.1稳定性试验：考察原料药及制剂在温度、湿度，光线等影响下随时间变化规律的试验方法。
5.2加速试验：指在保证不改变产品失效机理的前提下，通过强化试验条件，使受试产品加速失效，以使在短时间内获得必要的信息来评估产品在正常条件下的可靠性或寿命指标，为制剂设计、包装、运输、贮存提供必要的资料。
5.3长期试验：是指在接近药物的实际贮存条件下进行的，为制定药物的有效期提供数据的试验。
5.4影响因素试验：是在比加速条件更激烈的条件下进行的，为探讨药物的固有稳定性，了解影响其稳定性的因素及可能的降解途径与降解产物，为制剂生产工艺、包装，贮存条件和建立降解产物的分析方法提供科学依据的试验。
6规程：6.1稳定性试验目的6.1.1对于新投产/注册产品通过稳定性试验，考察原料药、中间产品或制剂的性质在温度、湿度、光线等条件的影响下随时间变化的规律，为药品生产、包装、贮存、运输条件和有效期的确定提供科学依据，以保证临床用药的安全有效。
得到注册所需的所有数据。
此数据用于证明环境因素对产品特性的影响，以确定复验周期（API而言）和有效期。
6.1.2在有效期内通过稳定性试验可以监控已上市药品的质量，以发现药品与生产相关的稳定性问题（如含量，有关物质等的变化），并确定药品可以或预期可以在标示的贮存条件下，符合质量标准的各项要求。
6.2稳定性试验分类及各试验适用范围6.3各试验的条件要求6.4供试品的包装处理、放置要求6.5各试验的试验周期6.6稳定性试验方案设计、稳定性试验计划6.6.1稳定性试验方案设计应当至少包括以下内容：6.6.1.1品种、考察批次6.6.1.2相关的检验方法，可考虑采用稳定性试验专属的检验方法6.6.1.3检验方法依据6.6.1.4合格标准6.6.1.5容器密封系统的描述6.6.1.6试验间隔时间（测试时间点）6.6.1.7贮存条件（应采用与药品标识贮存条件相对应的《中华人民共和国药典》规定的稳定性试验标准条件）6.6.1.8检验项目，原料药稳定性重点考察项目一般为性状、熔点、含量、有关物质、吸湿性以及根据品种性质选定的考察项目。
北师大版七年级数学下册6.2频率的稳定性1
学习目标：经历掷图钉试验和对试验数据处理的过程，通过自己探索，体会到掷图钉试验中两种结果出现的可能性都是不同的，但是每个事件出现的频率具有稳定性。
一、自主预习：
学习课本P140-144，思考下列问题：
1、什么叫概率？
2、P(A)的取值范围是什么？
3、A是必然事件，B是不可能事件，C是随机事件，请你画出数轴把三个量表示出来。
28
60
78
104
123
152
251
投中频率（m/n）
计算表中投中的频率（精确到0.01）并总结其规律。
2.某林业部门要考查某种幼树在一定条件的移植成活率，应采用什么具体做法?
在同样条件下，大量地对这种幼树进行移植，并统计成活情况，计算成活的频率．如果随着移植棵数n的越来越大，频率 越来越稳定于某个常数，那么这个常数就可以被当作成活率的近似值．
（2）频率随着实验次数的增加，稳定于数值左右
（3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是
（4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是
四、总结反思：
五、课后练习：
1.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
三、当堂检测：
1.小颖有20张大小相同的卡片，上面写有1~20这20个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下：
实验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
北师大版七年级下册第六章第2---3节期末同步练含答案不全
6.2频率的稳定性知识点一：频率的稳定性例1：某少儿活动中心在“六•-”活动中，举行了一次转盘摇奖活动，是一个可以自由转动的转盘．如图，当转动停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品（落在分界线上时重新摇奖）。
下表是活动进行中统计的有关数据。
（1）计算并完成表格：（2）当转动转盘的次数n很大时，概率将会接近多少？例2：在抛掷一枚硬币的实验中，某小组做了1000次实验，最后出现正面的频率为49.6%，此时出现正面的频数为（）A 496B 500C 516D 不确定挑战自我，勇攀高分1.对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：完成上表。
2.下列事件发生的可能性为0的是（）A.掷两枚骰子，同时出现数字“6”朝上B.小明从家里到学校用了10分钟，从学校回到家里却用了15分钟C.今天是星期天，昨天必定是星期六D.小明步行的速度是每小时40千米3.某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验。
其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6000次。
问从袋中任意摸出一个，巧好是红球的频率会稳定于多少？知识点二：概率例1：某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示根据表中数据，估计这种幼树移植成活的概率为_______（精确到0.1）。
例2：在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同。
小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，……，如此大量摸球实验后，小新发出其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%。
对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率应稳定于30%；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的球是红球。
经典控制理论主要内容
经典控制理论主要内容一、概述控制理论主要研究系统的动态性能。
在时间域和频率域内来研究系统的“稳定性、准确性、快速性”。
所谓稳定性是指系统在干扰信号作用下，偏离原来的平衡状态，当干扰取消之后，随着时间的推移，系统恢复到原来平衡状态的能力。
准确性是指在过渡过程结束后输出量与给定的输入量（或同给定输入量相应的稳态输出量）的偏差，它又称为静态偏差或稳态精度。
所谓快速性，就是指当系统的输出量与给定的输入量（或同给定输入量相应的稳态输出量）之间产生偏差时，消除这种偏差的快慢程度。
因此，要学好控制理论关键要懂得“系统”和“性能”这两个关键。
图1.4为水箱液位自动控制系统。
图 1.4 水箱液位自动控制系统示意图1.2.2 控制系统的组成上述水箱液位自动控制系统中的电机、减速器和阀门合在一起完成了一个执行元件所完成的工作，浮子和电位器可以看作是一个检测元件，同时，电位器还是一个比较元件。
从而可以将一般控制系统的框图归纳表示为图1.6所示的形式。
由图1.6可以看出，一般的控制系统包括：1）给定元件─—主要用于产生给定信号或输入信号。
2）检测元件─—测量被控量或输出量，产生反馈信号，并反馈到输入端。
3） 比较元件─—用于比较输入信号和反馈信号的大小，产生反映两者差值的偏差信号。
4） 放大元件─—对较弱的偏差信号进行放大，以推动执行元件动作。
放大元件有电气的、液压的和机械的。
5） 执行元件─—用于驱动被控对象的元件。
例如伺服电机、液压马达、液压缸以及减速器和调压器等。
6） 控制对象─—亦称被调对象。
在控制系统中，运动规律或状态需要控制的装置称为控制对象。
例如水箱液位控制系统中的水箱。
由图1.6还可以看出，系统的各作用信号和被控制信号有：1) 输入信号─—又称为控制量或调节量，它通常由给定信号电压构成，或通过检测元件将非电输入量转换成信号电压。
如给定电压1u 。
2) 输出信号─—又称为输出量、被控制量或者被调节量。
它是被控制对象的输出，表征被控对象的运动规律或状态的物理量。
频率的稳定性(第2课时)北师大数学七年级下册PPT课件
800 1000 203 251 0.25 ____
探究新知
(1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出 一个球是黑球的概率是多少？
(2)估算袋中白球的个数．
解：(1)251÷1000≈0.25.因为大量重复试验事件发生的频率 逐渐稳定到0.25附近，所以估计从袋中摸出一个球是黑球的 概率是0.25； (2)设袋中白球为x个，1＝0.25(1+x)，x＝3. 答：估计袋中有3个白球．
随机抽取的乒 乓球数n 优等品数m
优等品率m/n
10 20 7 16
0.7 0.8
50 100 200 500 1000 43 81 164 414 825
0.86 0.81 0.82 0.828 0.825
（1）完成上表；
课堂检测
（2）根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为 优等品的概率大约是多少？ 0.82
探究新知
下表列出了一些历史上的数学家所做的掷硬币实验 的数据：
试验者
布丰 德∙摩根 费勒
投掷 次数n
4040 4092 10000
正面出现 次数m
2048 2048 4979
正面出现 的频率 m/n
0.5069 0.5005 0.4979
探究新知
试验者
皮尔逊 皮尔逊 维画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的 概率，记为P(A).
一般地，大量重复的试验中，我们常用随机事件A发生的频率 来估计事件A发生的概率.
探究新知 事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？必然事件发
生的概率是多少？不可能事件发生的概率又是多少?
必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为 0；随机事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数.
七年级数学频率的稳定性(1
“频率的稳定性（1）”教学设计一、教学目标1.知识与技能: 通过掷图钉活动，经历猜测、试验和收集试验数据、分析试验结果、验证猜测等活动过程，初步了解在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性.2.过程与方法: 通过探究活动，培养动手能力和处理数据的能力，发展实事求是的探索精神和合作意识.3.情感与态度:通过对实际问题的分析，进一步提高“用数学”的意识与能力，体会数学的价值发展.二、教学重难点教学重点：通过试验让学生理解当试验次数较大时，实验的频率具有稳定性，并据此能初步估计出某一事件发生的可能性大小.教学难点：对大量重复试验得到的数据进行统计分析.三、教学过程第一环节情境引入，激发兴趣创设情景对话：小明和小军利用周末时间在家制作照片墙，但是图钉不够用，派谁去买呢？于是小明提出掷图钉的建议：掷一枚图钉，落地后会出现两种情况，如果钉尖朝上，小军去；如果钉尖朝下，小明去.引出钉尖朝上和钉尖朝下的可能性不同的猜测，小军说：“直觉告诉我，任意掷一枚图钉，钉尖朝上和钉尖朝下的可能性是不相同的.”小明说：“其实我的直觉和你一样，但我不知道对不对.”进而产生通过试验验证的想法.设计意图：从生活中的常见问题出发，让学生合理猜测游戏结果.让学生体验到并非所有事件的概率都可以通过理论计算得到.我们所学到的很多知识，都是先猜测，再经过多次的试验得出来的.由此引导学生通过大量的试验来验证.培养学生猜测结果的能力，并初步体会试验结果可能性有可能不同.第二环节新知探究，合作试验活动内容：（一）猜测让学生讨论，猜想钉尖朝上和钉尖朝下的可能性是否相同（二）试验和收集试验数据（1）拿出准备好的图钉，两人一组做20次掷图钉游戏，并将数据记录在下表中：试验总次数钉尖朝上的次数钉尖朝下的次数钉尖朝上的频率（）介绍频率定义:在n 次重复试验中，不确定事件A 发生了m 次，则比值n m 称为事件A 发生的频率.（2）累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总填入下表： 设计意图：通过分组试验让学生体验随机事件的可能性，验证猜测.当试验的次数较少时，规律不明显，甚至与有的学生的猜测有矛盾，从而让学生思考造成这种结果的原因是试验的次数不够，培养学生发现问题、解决问题的能力.进而学生有目的地把全班试验的结果都统计出来，体会试验和收集试验数据的过程，领会数学是来源于生活，培养学生的合作精神和实事求是的探索意识，激发学生探索随机事件规律的兴趣.第三环节 探索交流，验证猜测（三）分析试验数据(3)请同学们根据上表，完成折线统计图:（4）观察折线统计图，钉尖朝上的频率的变化有什么规律？钉尖朝下的频率（）试验总次数n20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 钉尖朝上次数m钉尖朝上频率钉尖朝上的频率 1.0 0.80.6 0.40.2得出结论:在试验次数很大时，钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动，即钉尖朝上的频率具有稳定性.设计意图：教师引导在学生探索的过程中，利用Excel表格协助统计，绘制折线统计图.使学生在探索的过程中感受计算机对数据的处理有巨大作用.学生通过观察形象直观的统计图，进行分析，引导学生用自己的语言进行描述，如有的学生发现“一开始的时候频率相差较大，随着试验次数越来越多，频率相差的值越来越小.”有的学生发现“试验的次数较小时，折线上下摆动的幅度可能比较大；但当试验的次数很大时，折线的波动幅度越来越小，频率越来越稳定”.进而得出结论在试验次数很大时，钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动，即钉尖朝上的频率具有稳定性.（四）验证猜测学生分组讨论议一议的两个问题，进一步加深对频率稳定性的认识，初步体会用频率可以估计事件发生的可能性的大小.通过数学史实的介绍，让学生了解数学知识产生的背景，增长见闻，培养学习数学的兴趣.第四环节随堂练习巩固新知1.某位篮球爱好者进行了三轮投篮试验，结果如下表：轮数投球数命中数命中率第一轮1080.8第二轮15100.67第三轮1290.75 A．0.8B．0.75C．0.67D．不能确定2.为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是实验总次数的40%，下列说法错误的是( )A.钉尖着地的频率是0.4B.前20次试验结束后，钉尖着地的次数一定是8次C.随着试验次数的增加，钉尖着地的频率稳定在0.4附近D.钉尖着地的可能性小于钉尖朝上的可能性3.一个不透明的袋子里有若干个小球，它们除了颜色外，其它都相同，甲同学从袋子里随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子里，摇匀后再次随机摸出一个球，记下颜色，…，甲同学反复大量实验后，根据白球出现的频率绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（）A. 袋子一定有三个白球B. 袋子中白球占小球总数的十分之三C. 再摸三次球，一定有一次是白球D. 再摸1000次，摸出白球的次数会接近330次4.某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击总次数n1020501002005001000击中靶心的次数m9164188168429861击中靶心的频率（1）完成上表；（2）根据上表，画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图；（3）观察画出的折线统计图，击中靶心的频率的变化有什么规律？5.一粒木质中国象棋棋子“車”，它的正面雕刻一个“車”字，它的反面是平的，将棋子从一定高度下抛，落地反弹后可能是“車”字面朝上，也可能是“車”字朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“車”字朝上的机会，某实验小组做了棋子下抛实验，并把实验数据整理如下：实验次数20406080100120140160“車”字朝上的频数14183847527788相应的频率0.70.450.630.590.520.550.56（1）请将表中数据补充完整，并画出折线统计图中剩余部分．（2）如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，请估计这个机会约是多少？设计意图：随堂练习第1-3题为简单基础的选择题，主要是让学生感受随机事件的可能性有大有小，不能用“一定”及“肯定”来描述随机事件.通过大量的试验，频率都会在一个常数附近摆动，具有稳定性.因此大量的试验能帮助我们推测事件的可能性大小.随堂练习第4、5题则是练习学生处理数据，绘制折线统计图的能力，其中第5题给出折线统计图的一部分进行补充，节省了学生答题的时间，提高了课堂教学的效率.本环节可以采用抢答的形式或“击鼓传花”进行，题目浅显易做，适合学生独立完成，有利于活跃课堂气氛，激发学习兴趣.第五环节课堂小结感悟升华1.在n次重复试验中，事件A发生了m 次，则比值称为事件A发生的频率.2.当试验次数很大时，钉尖朝上的频率，都会在一个常数附近摆动，即钉尖朝上的频率具有稳定性.设计意图：通过回顾本节课各项环节，师生互相交流如何通过试验的方法来确定频率的稳定性，及用频率来估计事件发生的可能性的大小.同时总结活动体验，有利于学生积累活动经验，形成良好的数学思考过程.第六环节课后作业综合提升教材142页习题6.21.对某批产品的质量进行随机抽查，结果如下表所示：随机抽取的产品数n1020501002005001000合格的产品数m9194793187467935合格率（1）完成上表；（2）根据上表，画出产品合格率变化的折线统计图；（3）观察画出的折线统计图，产品合格率的变化有什么规律？2.数学理解抛一个如图所示的瓶盖，盖口向上或盖口向下的可能性是否一样大？怎样才能验证自己结论的正确性？设计意图：让学生学以致用，通过综合题和实践运用提升学生动手能力和分析数据的能力，进一步提高“用数学”的意识与能力，体会数学的价值发展.四、教学设计反思学生通过一节课时间经历“猜测—实验和收集实验数据—分析试验结果—验证猜测”的过程，探索大量重复试验中不确定事件发生的频率会稳定在一个常数附近.领会数学来源于生活，服务于生活.整个课堂要体现学生为主体，教师重在做好引导，操作时要提醒学生注意图钉不要扎到手，可以设计学生提醒准备一个盒子，扔到盒子里，或用书本围成一块空处进行投掷.数据处理时如果班级学生人数较多，数据也较多，计算可能较为复杂，教师也做好Excel表格进行协助，微课中有具体表格操作指导，快速得到折线统计图，方便学生观察，也有利于教学过程顺利进展，促进教学目的达成.议一议环节有助于学生各抒己见，将本节课的猜测进行验证，推向内容的高潮.随堂练习可采取一些活动，激发学生兴趣，有助于推动课堂氛围.整个课堂激发了学生的竞争意识、合作意识、动手操作意识等，极大地调动学生的学习的积极性。
6.2 频率的稳定性课件(第1、2课时)
课堂检测
6.2 频率的稳定性/
基础巩固题
4.养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个塘里 养的是同一种鱼),先捕上100条做上标记，然后放回塘里，过了 一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条 ，发现其中带标记的鱼有10条，鱼塘里大约有鱼多少条？
解：设鱼塘里有鱼x条，根据题意可得
巩固练习
变式训练
6.2 频率的稳定性/
小明练习射击，共射击60次，其中有38次击中靶子，由此可估 计，小明射击一次击中靶子的频率稳定在( C )
A.38% C.约63%
B.60% D.无法确定
探究新知
6.2 频率的稳定性/
素养考点 2 频率稳定性的应用
例2 在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除
钉尖朝上频率（钉尖朝上次数/ 试验总次数） 钉尖朝下频率（钉尖朝下次数/ 试验总次数）
探究新知
6.2 频率的稳定性/
频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则
比值 m
n
称为事件A发生的频率.
（2）累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总
填入下表：
试验总次数n 20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
制了下面的折线统计图，观察图像，钉尖朝上的频率的变化
有什么规律？
结论：
钉尖朝上的频率
在试验次数很
1.0
大时，钉尖朝
0.8
上的频率都会 在一个常数附
0.6
近摆动，即钉
0.4
尖朝上的频率
0.2
具有稳定性.
20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 试验总次数
初中数学《概率初步》大单元教学设计 (1)全文
概率初步
大单元教学设计
学情分析：
七年级学生性格还处于比较活泼的阶段，对生活中的事物较敏感， 并且较易接受。在生活中已经接触到了一些与可能性有关的初步认识， 但对不确定事件的概念还比较陌生。
本章是学生在已经了解了统计的相关知识的基础上继续学习概率 的相关知识。由于学生初学概率，面对概率意义的描述，学生容易产 生困惑：概率是什么？概率是否就是频率？古典概型与几何概型到底 有什么不一样？因此，学生对这部分内容学习是一大难点。但这部分 内容在人们的生活和生产建设中有着广泛的应用，也是今后运用概率 知识解决实际问题的预备知识，所以它在教材中处于非常重要的地位。 学生已经具备了一定的学习能力，能对生活中的常见现象发生的可能 性进行一定的分析和判断，但缺乏系统的知识来规范。因此教学过程 中，创设的问题情境应生动活泼、直观形象，且贴近生活。由于学生 概括能力不强，推理能力还有待发展，所以在教学时，可以让学生分 组合作和交流，帮助他们通过直观形象的感知来理解抽象逻辑关系。
（1）能借助频率的概念或已有的知识与生活经验去理解、区分不 可能事件、必然事件和随机事件的含义；
（2）在具体情境中了解概率的意义，知道大量重复实验时频率可 作为事件发生概率的估计值；
（3）能简单进行两类事件的计算。
（二）单元内容说明：
1.教材设计： 本章内容是概率初步。教科书先以学生喜闻乐道的掷骰子游戏
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件 发生的可能性的大小有可能不同.
能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使“摸出黑球”和 “摸出白球”的可能性大小相同？
能
减少2个黑球或者增加2个白球.
练
习
1. 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3：7，如果宇宙中飞来一块陨 石落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？
6.2频率的稳定性(教案)
2.逻辑推理能力：通过观察频率随实验次数的变化，引导学生发现规律，提高逻辑推理能力；
3.问题解决能力：培养学生运用频率稳定性原理解决实际问题的能力，增强数学应用意识；
4.数学思维：激发学生对数据变化趋势的好奇心，发展数学思维和探究精神；
最后，我意识到在课程的总结回顾环节，需要更加注重学生对知识点的反馈。我会鼓励学生们提出疑问，并及时解答，确保他们能够真正理解并吸收课堂内容。
我还观察到，在实践活动中的实验操作环节，一些学生动手能力较弱，对实验步骤的掌握不够熟练。这可能影响了他们对频率稳定性原理的理解。针对这个问题，我计划在下次课中增加一个简短的实验操作培训，确保每个学生都能够熟练地进行实验操作。
此外，我发现学生们在解决实际问题时，有时候会忽略频率稳定性的应用，而是直接给出一个主观的概率估计。这可能是由于他们对频率稳定性在实际中的应用还不够熟悉。为了改善这一点，我打算在接下来的课程中，引入更多贴近生活的案例，让学生们看到频率稳定性在现实世界中的具体应用。
1.频率的定义与计算；
2.实验探究：抛硬币、摸球等实验，记录数据并计算频率；
3.频率稳定性：观察实验次数增加时，频率的变化趋势；
4.频率与概率的关系：运用频率估计概率，分析数据；
5.实际问题：运用频率稳定性解决简单实际问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的数据分析观念、逻辑推理能力以及问题解决能力。通过以下方式实现：
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与频率稳定性相关的实际问题，如购物抽奖活动中奖概率的分析。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行抛硬币实验。这个操作将演示频率稳定性的基本原理。
电网络第六章网络函数与稳定性
电网络第六章网络函数与稳定性第六章网络函数与稳定性6.1 网络函数的定义与概念在研究网络系统稳定性的过程中，网络函数是非常重要的工具。
网络函数可以描述网络系统输入输出之间的关系，是一个用来表示系统动态行为的数学函数。
网络函数通常使用传递函数（Transfer function）来表示。
传递函数是通过对网络系统进行拉氏变换得到的，可以用来描述输入和输出之间的传递关系。
传递函数通常表示为G(s)，其中s是一个复变量，表示连续时间域的频率。
对于一个线性时不变（LTI）系统，其传递函数可以表示为一个比率多项式，其中分子是输入的拉氏变换，分母是输出的拉氏变换。
例如，对于一个连续时间域的系统，传递函数可以表示为：G(s) = Y(s)/X(s)其中Y(s)是输出的拉氏变换，X(s)是输入的拉氏变换。
网络函数描述了系统的频率响应特性，也是研究系统稳定性的重要工具。
6.2 稳定性的概念与判定稳定性是指系统在输入信号有限的情况下，输出有界。
简而言之，稳定系统不会出现无限增长或无限衰减的情况。
对于连续时间域的系统，稳定性可以通过网络函数的极点位置来判定。
对于一个连续时间域的系统，如果其网络函数的所有极点实部都小于0，则系统是稳定的。
如果存在一个或多个极点实部大于0，则系统是不稳定的。
对于一个离散时间域的系统，稳定性的判定与连续时间域类似，只是极点位置的定义上稍有不同。
对于离散时间域的系统，极点位置在单位圆内的系统是稳定的，极点在单位圆外的系统是不稳定的。
稳定性的判定对于系统设计和分析非常重要，一个稳定的系统可以保证输出的可控性和可预测性。
6.3 Bode图与频率响应Bode图是一种用来表示系统传递函数频率响应的图形工具。
通过绘制传递函数的幅度和相位随频率变化的曲线，可以直观地了解系统对不同频率的输入信号的响应。
Bode图可以从网络函数中直接得到。
对于连续时间域的系统，网络函数表达式中的s变量可以替换为jω（其中j是虚数单位，ω是角频率），然后再对网络函数进行幅度和相位分析。