八年级上学期人教版数学_竞赛
人教版 八年级数学上册 竞赛专题：直角三角形(含答案)
人教版 八年级数学上册 竞赛专题：直角三角形(含答案)【例l 】（1）直角△ABC 三边的长分别是x ，1x 和5，则△ABC 的周长＝_____________.△ABC 的面积＝_____________.（2）如图，已知Rt △ABC 的两直角边AC ＝5，BC ＝12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD ＝_____________.（太原市竞赛试题）解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt △ACD 中求出CD 吗？从角平分线性质入手.【例2】如图所示的方格纸中，点A ，B ，C ，都在方格线的交点，则∠ACB ＝（ ） A.120° B.135° C.150° D.165°（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.【例3】如图，P 为△ABC 边BC 上的一点，且PC ＝2PB ，已知∠ABC ＝45°，∠APC ＝60°，求∠ACB 的度数.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，综合运用条件PC ＝2PB 及∠APC ＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.【例4】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，分别以AB ，AC 为边在△ABC 的外侧DCBC作等边△ABE 和等边△ACD ，DE 与AB 交于F ，求证：EF ＝FD.（上海市竞赛试题）解题思路：已知FD 为Rt △FAD 的斜边，因此需作辅助线，构造以EF 为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明.【例5】如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝CD ，求证：222BD AB BC +=（北京市竞赛试题）解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中.【例6】斯特瓦尔特定理：如图，设D 为△ABC 的边BC 上任意一点，a ，b ，c 为△ABC 三边长，则222b BDc DC AD BD DC a+=-⋅.请证明结论成立.解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.能力训练A 级1.如图，D 为△ABC 的边BC 上一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，则BC ＝_____________.BACCBB2.如图，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE ＝1cm ，则AC ＝_____________cm.3.如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝90°，则∠DAB ＝_____________.（上海市竞赛试题）4.如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13，边BC 上的中线AD ＝6，则BC 的长为_____________.（湖北省预赛试题）5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30 º，那么这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D.不能确定（山东省竞赛试题）6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得△ABC ，则AC 边上的高为（ ）第1题D 第2题第3题ABC第4题DBB.C.D.（福州市中考试题）7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（ ） A. 15分米 B. 9分米 C. 8分米 D. 5分米8.如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，AD ＝5，那么BC CD等于（ ） A.1 B. 2C.D.549. 如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，AE ＝CD ，AD ，BE 相交于P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ.（北京市竞赛试题）第6题C第7题第8题AC10. 如图，△ABC 中，AB ＝AC.（1）若P 是BC 边上中点，连结AP ，求证：22BP CP AB AP ⋅=-（2）P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若P 是BC 边延长线上一点，线段AB ，AP ，BP ，CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论.11.如图，直线OB 是一次函数2y x =图象，点A 的坐标为（0，2），在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标.12.已知：如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，求△BED 的面积.（山西省中考试题）B 级1.若△ABC 的三边a,b,c 满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为_____________.2.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠A ＝90°，P 是△ABC 内的一点，PA ＝1，PB ＝3，PC，则∠CPA ＝_____________.BD3. 在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为_____________.4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G ，则CF 与GB 的大小关系是（ ） A. CF ＞GB B. CF ＝GB C. CF ＜GB D. 无法确定5. 在△ABC 中，∠B 是钝角，AB ＝6，CB ＝8，则AD 的范围是（ ） A. 8＜AC ＜10 B. 8＜AC ＜14 C. 2＜AC ＜14 D. 10＜AC ＜14（江苏省竞赛试题）6.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D.4个（浙江省竞赛试题）7.如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC边上的点，且DE ⊥DF ，若BE ＝12，CF ＝5，求△DEF 的面积.（四川省联赛试题）8.如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，D 为斜边BC 中点，DE ⊥DF ，求证：222EF BE CF =+第2题A第4题D ABDBCDB（江苏省竞赛试题）9.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个.（全国联赛试题）10.如图，在△ABC 中，∠B AC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝3，CD ＝2，求△ABC 面积.（天津市竞赛试题）11.如图，在△ABC 中，∠B AC ＝90°，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC 上两点，若∠EAF ＝45°，试推断BE ，CF ，EF 之间数量关系，并说明理由.12.已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠MCN ＝45°. （1）如图1，当M ，N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2）如图2，将∠MCN 绕点C 旋转，当M 在BA 的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）BCA C图1NAB M图2N BM参考答案例1 （1）12或30；6或30； 提示：()22125x x ++=，得3x =；由()22251x x +=+，得12x =，（2）103提示：作DE ⊥AB 于E ，设CD =x ，则BE =13-5=8，DE =x ，BD =12-x ，由()222812x x +=-，得103x =． 例2 B 提示：过B 作BD ⊥AC 延长线于D 点，设CD =x ，BD =y ，可求得：x =y ，则∠BCD =45°，故∠BCA =135°．例3 ∠ACB =75° 提示：过C 作CQ ⊥AP 于Q ，连接BQ ，则AQ =BQ =CQ ．例4 提示：过E 作EG ⊥AB 于G ，先证明Rt △EAG ≌Rt △ABC ，再证明△EFG ≌△DF A ．例5 连接AC∵AD =DC ，∠ADC =60°，∴△ADC 是等边三角形，DC =CA =AD ，以BC 为边向四边形外作等边三角形BCE ，即BC =BE =CE ， 则∠BCE =∠EBC =∠CEB =60°，∴∠ABE =∠ABC +∠EBC =90°，连接AE ，则22222AE AB BE AB BC =+=+，易证△BDC ≌△EAC ，得BD =AE ，故222BD AB BC =+． 例6 过A 作AE ⊥BC 于E ，设DE =x ，BD =u ，DC =v ，AD =t ，则()()2222222AE b v x c u x t x =--=-+=-，故2222t b v ux =-+，2222t c u ux =--，消去x 得222b u c v t uv u v +=-+，即222b BD c CDAD BD DC a+=-⋅． A 级1．14 2．3 3．135°4． 提示：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ，则△ACD ≌△EBD ，∴BE =AC =13，AE =12，又AB =5，则∠BAD =90°，5．D 6．C 7．C 8．B 9．提示：△ADC ≌△BEA ，∠BPQ =60°． 10．（1）（2）略 （3）提示：AB ，AP ，BP ，CP ，之间的关系是22AP AB BP CP -=⋅ 11．提示：满足提议的点有4个，作别分别为：8161,,,,,1552⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 12．10．B 级1．60132．135° 提示：将△P AC 绕A 点顺时针旋转90°， 3．32或42 提示：分类讨论。
人教版 八年级数学上册 竞赛专题分式方程(含答案)
人教版 八年级数学上册 竞赛专题：分式方程（含答案）【例1】 若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是______．解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．【例2】 已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A ，B ，C 为常数．求A ＋B ＋C 的值．解题思路：将右边通分，比较分子，建立A ，B ，C 的等式．【例3】解下列方程： （1）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----； （2）222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+； （3）2x ＋21x x ⎛⎫⎪+⎝⎭＝3．解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．【例4】（1）方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++的解是___________． （2）方程222111132567124x x x x x x x ++=+++++++的解是________．解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．【例5】若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解． 解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题．【例6】求方程11156x y z ++=的正整数解． 解题思路：易知,,x y z 都大于1，不妨设1＜x ≤y ≤z ，则111x y z≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．能力训练A 级1．若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a 的值为________． 2．用换元法解分式方程21221x x x x --=-时，如果设21x x-＝y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是___________． 3．方程2211340x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭的解为__________． 4．两个关于x 的方程220x x --=与132x x a=-+有一个解相同，则a ＝_______．5．已知方程11x a x a+=+的两根分别为a ，1a ，则方程1111x a x a +=+--的根是（ ）． A ．a ，11a - B ．11a -，1a - C ．1a ，1a - D ．a ，1aa -6．关于x 的方程211x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞－1 B ．m ＞－1且m ≠0C ．m ＜－1D ．m ＜－l 且m ≠－27．关于x 的方程22x c x c +=+的两个解是x 1＝c ，x 2＝2c ，则关于x 的方程2211x a x a +=+--的两个解是（ ） ． A ．a ，2a B ．a －1，21a - C ．a ，21a - D ．a ，11a a +- 8．解下列方程：（1）()2221160x x x x+++-=； （2）2216104933x x x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭．9．已知13x x+=．求x 10＋x 5＋51011x x +的值．10．若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值．11．已知关于x 的方程x2＋2x ＋221022m x x m-=+-，其中m 为实数.当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.12．若关于x 的方程()()122112x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值．B 级1．方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是__________．2．方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为__________．3．分式方程()()1112x m x x x -=--+有增根，则m 的值为_________． 4．若关于x 的分式方程22x ax +-＝－1的解是正数，则a 的取值范围是______．5．（1）若关于x 的方程2133mx x =---无解，则m ＝__________． （2）解分式方程225111mx x x +=+--会产生增根，则m ＝______． 6．方程33116x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解的个数为（ ）． A ．4个 B ．6个 C ．2个 D ．3个7．关于x 的方程11ax =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ） ． A ．a ＜l B ．a ＜1且a ≠0 C ．a ≤1 D ．a ≤1且a ≠08．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，则111111a b c +++++的值是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．49．已知关于x 的方程（a 2－1）()2271011x x a x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x 1，x 2，且121231111x x x x +=--，求a 的值.10．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降. 今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元．今年销售额只有8万元． （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元?（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?（3）如果乙种电脑每台售价为3 800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元．要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？参考答案例1 a ＜2且a ≠－4例2 原式右边＝22(1)+B(1)(1Ax x x Cx x x --+-）＝2222()()211(1)(1)A C x B A x B x x x x x x ++--+-=-- 得2111A C B A B +=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩∴1011,8.A B C =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴A ＋B ＋C ＝13．例3 （1）x ＝12314提示：1155(5)(1)(4)(2)191968x x x x -++=++-----．（2）1,2x =，x 3＝－1，x 4＝－4 提示：令223.4x xy x x +=+-（3）1,2x =提示222222()().111x x x x x x x +=++++例4 （1）原方程化为11111+111+2+9+3+8x x x x --=-+-，即1111+3+2+9+8x x x x -=-，进一步可化为(x ＋2) (x ＋3)＝(x ＋8) (x ＋9)，解得x ＝－112．（2）原方程化为1111111+1+2+2+3+3+4+4x x x x x x x -+-+-=，即12+14x x =+，解得x ＝2． 例5 原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0①，当k ＝0时，原方程有唯一解x ＝12；当k ≠0，Δ＝5k 2＋4(k －1)2＞0．由题意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x ＝0或x ＝1，显然0不是①的根，故x ＝1是方程①的根，代入的k ＝12．∴当k ＝0或12时，原方程只有一个解． 例6 11113x x y z x <++≤，即1536x x <≤，因此得x ＝2或3．当x ＝2时，111x x y <+＝511112623y y y -=≤+=，即1123y y<≤，由此可得y ＝4或5或6；同理，当x ＝3时，y ＝3或4，由此可得当1≤x ≤y ≤z 时，(x ，y ，z )共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x ，y ，z 在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：(2，4，12)，(2，12，4)， (4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4) ，(4，4，3) ，(4，3，4)．A 级1．－1 2．y 2－2y －1＝0 3．1 4．－8 5．D 6．D 7．D8．(1)12123x x ==-， (2)1226x x ==-，,3,43x =-±9．15250 提示：由x ＋13x =得2217.x x +=则2211()()21x x x x ++=，得33118x x+=． 于是221()x x+331()126x x +=，得551123x x +=．进一步得1010115127x x +=．故原式＝15250．10．k ＝0或k ＝12提示：原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0，分类讨论． 11．设x ＋2x ＝y ，则原方程可化为y 2－2my ＋m 2－1＝0，解得y 1＝m ＋1，y 2＝m －1．∵x 2＋2x －m －1＝0①，x 2＋2x －m ＋1＝0②，从而Δ1＝4m ＋8，Δ2＝4m 中应有一个等于零，一个大于零．经讨论，当Δ2＝0即m ＝0时，Δ1＞0，原方程有三个实数根．将m ＝0代入原方程，解得12321211.x x x ⎧=-⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎩12 原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)x =－3 ① , ∵原方程无解,∴a+2=0或x －1=0,x+2=0,得B 级1. 3或 － 72. x₁=8 , x₁=－1 , x₁=－8 , x₁=1 提示: 令x ²－8=y3. 3 提示:由有増根可得m=0或 m=3,但当 m=0,化为整式方程时无解4. a<2 且 a ≠－45. ⑴ －2 ⑵ －4 或 －106. A7.8. 设甲单独做需要x 天完成,乙单独做需要y 天完成,丙单独做需要z 天完成则.解 . 当a ≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]²-4﹙a ²-1﹚≥0,解得.21-5,2,21-a 5,－=a 分别别代入①2－= x 1,=x 把 2,－=a 或综上知--==a 0≠1a ∴ 0,≠11 0≠1x 1a 01-a x ∴,111x a: a a x a B 且即且由提示<+-+<⇒<=+=⇒=+1x y +=++a yz yzxz 得⑥⑤④, ⑥11yz x z x y x y ⑤,11yz x z x y x z ④.11yz x z x y yz ∴+++=+++=+++=++c b a 同理可得111111a 1=+++++c b 得,01.01)72(1)t -(a 1,≠,1⑴....9222=-=++-=-a t a t t x x当原方程可化为则设.,?=a , 41-=x 81-=x ∴, 51=1-x 91=1-x 0=1+5-0=1+9-, ?=原方程有实数解时当故或或即或则方程为时即x x t t a 且当综上可知由于解得时但当又,2853－≥,,2853－>22±1,22±1=a ,1=t 1,≠t ,2853－≥a a .,22±1≠原方程有实数解时a。
人教版 八年级上册数学 竞赛专题：多边形的边和角(含答案)
人教版 八年级数学 竞赛专题：多边形的边与角（含答案）【例1】两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿．【例2】凸边形有且只有3个钝角，那么n 的最大值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【例3】凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n 的值．【例4】如图，凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等，边AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FG 的长分为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长．【例5】如图所示，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M 时，行走了多少米？M D EF GH能力训练A 级1．如图，凸四边形有＿＿＿个；∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．2．如图，凸四边形ABCD 的四边AB ，BC ，CD 和DA 的长分别为3，4，12和13，∠ABC ＝90°，则四边形ABCD 的面积为＿＿＿．3．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．4．如图，ABCD 是凸四边形，则x 的取值范围是＿＿＿．.5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条6．—个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（ ） A ．11B ．12C ．13D ．147．如图，是一个正方形桌面，如果把桌面砍下一个角后，桌面还剩（ ）个角． A ．5个B ．5个或3个C ．5个或3个或4个D ．4个8．—个凸n 边形，除一个内角外，其余1n 个内角的和为2400°，则n 的值是（ ） A ．15B ．16C ．17D ．不能确定9．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝8，∠A ＝60°，∠D ＝150°，四边形周长为32，求BC 和DC 的长．AB CDA BDEF G第3题AB CD24x第4题第7题A B CD E FG第1题ABCD第2题10．—个凸n 边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，求n 的值．11．平面上有A ，B ，C ，D 四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC ，△ABD ，△ACD ，△BDC 中至少有—个三角形的内角不超过45°．12．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面．问：（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．B 级1．一个正m 边形恰好被正n 边形围住（无重叠、无间隙，如图所示是m ＝4，n ＝8的情况），若m ＝10，则n ＝＿＿＿＿．第1题A BCD EF 第2题1A 1B 2A 2B 3B 45B 3A 4A 5A 第3题2．如图，六边形ABCDEF 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F ，且AB ＋BC ＝11，F A -CD ＝3，则BC ＋DE ＝＿＿＿＿．3．如图，延长凸五边形A 1A 2A 3A 4A 5的各边相交得到五个角：∠B 1，∠B 2，∠B 3，∠B 4，∠B 5，它们的和等于＿＿＿．若延长凸n 边形（n ≥5）的各边相交，则得到的n 个角的和等于＿＿＿＿．4．如图，在四边形ABCD 中，AB＝4BC ＝1，CD ＝3，∠B ＝135°，∠C ＝90°，则∠D ＝（ ） A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．不能确定5．如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70°，则∠DAO ＋∠DCO 的大小是（ ）A ．70°B ．110°C ．140°D ．150°6．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（ ） A ．12B ．12或13C ．14D ．14或157．一个凸十一边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各个内角大小，并画出这样的凸十一边形的草图．8．一块地能被n 块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需n ＋76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知n 及地砖的边长都是整数，求n 的值．ABCD第4题OABCD第5题9．设有一个边长为1的正三角形，记作A 1如下左图，将A 1的每条边三等分，在中间的线段上各向形外作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记作A 2（如下中图）；将A 2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3（如下右图）；再将A 3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 4，求A 4的周长．10．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫作平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形．说明你的理由．参考答案例1 5 7 例2 B例3 n ＝17 提示：设此角为x ，则（n －2）×180°＝x ＋2570°，得2570360180x n +︒+︒=︒，x ＝130°，此时n ＝17.例4 双向延长AB ，CD ，EF ，GH 得四边形MNPQ ，如图，原八边形的内角都相等，其每一内角均为1A 2A 3A(82)1801358-⨯︒=︒，每一外角均为45°，因此MNPQ 为长方形，△BPC ，△DQE ，△FMG ，△ANH都是等腰直角三角形.设GH ＝x ，HA ＝y ，由MQ ＝NP ，得MF ＋FE ＋EQ ＝NA ＋AB ＋BP ，∴67y +=++，∴3y =∵MN ＝QP ，∴x ＝3＋7＋4＋2＋5＋6＋2＋3＋3＝32.例5 将整个图形画完，就知道是一个边长为10米的正多边形，且每个外角的大小都是20°，由多边形的外角和等于360°知这是一个18边形，所以小华第一次回到M 点时走的总路程是180米.A 级1. 7；540°2. 363. 540°4. 1＜x ＜135. D6. C7. C8.A9. BC ＝10，DC ＝6 10. n ＝611. 提示：分构成凸四边形和凹四边形两种情况讨论，并用反证法加以证明推出矛盾.12.(1)所用材料的形状不能是正五边形,因为,正五边形的每个内角都是108°,要铺成平整的,无空隙的地面, 必须使若干个正五边形拼成一个周角，但找不到符合条件的以n ×108°=360°的n 值,故不能用形状是正五边形的材料铺地面. ⑵⑶略. B 级1.52.143.180°;(n －4)180°4.B5.D 由OA=OB=OC 得∠BAO=∠ABO,∠BCO=∠OBC,所以∠DAO+∠DCO=360°－3×70°=150°6.D7.提示：因凸十一边形由正方形或正三角形拼成，故其内角的大小只能是60°,90°,120°,\ 150°四种可能,设这些角的个数分别为x ,y ,z ,w ,则116090120150(112)180x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=-⨯⎩解得x =y =0,z =1,w =10.说明这个十一边形一个内角为120°,由两个正三角形的内角拼成，其余10个角均为150°,由一个正三角形内角与一个正方形内角拼成,图略. 8.n =324 9.649提示：从A 1开始,每进行一次操作,所得到的图形的周长是原来图形周长的43倍.10.(1)108°;120°;()02180n n-⨯ (2)正三角形、正四边形(或正方形)正六边形.假定在接合处一共有k 块正边形地砖，由于正n边形的所有内角都相等，则()02180360nkn-⨯=g即24222nkn n==+--.因k为整数，故n－2|4，n—2=1，2，4，得n=3,4 或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形.(3)如:正方形和正八边形，草图如下，设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么，m，n应是方程m·90°+n·135°=360°的整数解.即2m+3n=8的整数解.∵这个方程的整数解只有12mn=⎧⎨=⎩一组∴符合条件的图形只有一种.。
八年级上数学竞赛练习题含答案
八年级上数学竞赛练习题含答案文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]八年级（上）数学竞赛题一、选择题1、设x 、y 、z 均为正实数,且满足z x+y <x y+z <yz+x ,则x 、y 、z 三个数的大小关系是（ ） A 、z<x<yB 、y<z<xC 、x<y<zD 、z<y<x2、已知a 、b 都是正整数,那么以a 、b 和8为边组成的三角形有（ ） A 、3个B 、4个C 、5个D 、无数个3、将一长方形切去一角后得一边长分别为13、19、20、25和31的五边形（顺序不一定按此）,则此五边形的面积为（ ） A 、680B 、720C 、745D 、7604、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ） 个 个 个 个5、设标有A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A 、C 、E 、G 4盏灯开着，其余3盏灯是关的，小岗从灯A 开始，顺次拉动开关，即从A到G，再顺次拉动开关，即又从A到G，…，他这样拉动了1999次开关后，则开着的灯是（）A、、 C、 D、、已知13xx-=，那么多项式3275x x x--+的值是（）A．11 B．9 C．7 D．57、线段12y x a=-+（1≤x≤3，），当a的值由-1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（）A．6 B．8 C．9 D．108、已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，用S、P分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、P1分别表示四边形EFGH的面积和周长．设K = SS1，K1 =PP1，则下面关于K、K1的说法正确的是（）．、K1均为常值为常值，K1不为常值不为常值,K1为常值、K1均不为常值二、填空题1、如图，△ABC是一个等边三角形，它绕着点P旋转，可以与等边△ABD重合，则这样的点P有_______个。
八年级数学竞赛试题及参考答案
八年级数学竞赛试题及参考答案八年级数学竞赛试题(一)一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知2220082008,2ca b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（ ）． A ．4 B ．14 C ．－4 D ．14- 2．若方程组312433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（ ）． A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 3．计算：2399100155555++++++=（ ）．A ．10151- B ．10051- C ．101514- D ．100514-4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．120°5．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（ ）． A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．a d b c >>> 6．如果把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，那么a b +的最小 值是（ ）．A ．26B ．28C ．30D ．32 二、填空题：（每小题5分，共30分）（第4题图）DCB（第15题图）EDCBA7．方程组200820092007200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是 ．8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则∠GOH= ．9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，第二次在距B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是 千米．10．在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B=5∠A ，若∠B 的最大值为m °，最小值为n °，则m °+n °= ．11．已知21()()()04b c b c a b c a a a+-=--≠=，且，则 ． 12．设p q ，均为正整数，且7111015p q <<，当q 最小时，pq 的值为 ． 以下三、四、五题要求写出解题过程． 三、（本题满分20分）13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 四、（本题满分20分）14．已知2211x x y y x y =+=+≠，，且． ⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求55x y +的值．五、（本题满分20分）15．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ．求证：∠BAD=12∠C ．G（第8题图）HOFED CBA参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 二、填空题： 7、21x y =⎧⎨=⎩ 8、72.5° 9、11 10、175° 11、2 12、68213、解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34∵A ＜B ＜C ＜D ，∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 ∴C=11，D=23，A=7答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。
八年级上学期数学竞赛试题(含答案)
分解因式：
解：原式＝
＝
＝
＝
＝
此种方法抓住了二次项和一次项的特点,然后加一项,使这三项成为完全平方式,我们把这种分解因式的方法叫配方法.请仔细体会配方法的特点,然后尝试用配方法解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）无论 取何值,代数式 总有一个最小值,请你尝试用配方法求出它的最小值.
∵ ＝ ,∴ ,………………………………………………7分
,得 ．……………………………………………………………………9分
24．(12分)解:(1)由图可知, , ；…………………………4分
（2）由（1）可知,关于直线 对称的点 ；……………………………………7分
（3）作出点E关于直线 对称点F,连接FD,则QF＝QE,故EQ＋QD＝FQ＋QD＝FD.
∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°,
∴△DEF仍为等腰直角三角形.…………………………………………………11分
26.（本题12分）解：（1） …………1分
………………………………3分
；………………………………6分
（2） …………………………7分
,………………………………8分
∴△DEF为等腰直角三角形 …………………………… 5分
（2）若E,F分别是AB,CA延长线上的点,如图所示．连结AD
∵AB＝AC,∠BAC＝90°, D为BC的中点,∴AD＝BD,AD⊥BC
∴∠DAC＝∠ABD＝45°,∴∠DAF＝∠DBE＝135°,
又AF＝BE,∴△DAF≌△DBE（SAS）,∴FD＝ED,∠FDA＝∠EDB,
3．下列运算错误的是
A． B．
八年级(上)数学竞赛试题及答案(新人教版)
一、精心填一填（本题共 10题，每题3分，共30分） 1. 函数y= JT 万中，字母a 的取值范围是 ______________ 2. 如图1, 3. 计算:4、写出一个图象经过点（-1,-1）,且不经过第一象限的函数表达式5. 已知点P 1 （a-1 , 5）和P 2 （2, b-1 ）关于x 轴对称，则（a+b ） 2005的值为6. 如图2,A ABC 中边AB 的垂直平分线分别交 BC AB 于点D 、E , AE=3cm △ ADC?勺周长为9cm 则厶ABC 的周长是 ________________7. 如图 3, AE = AF , AB = AC, / A = 60°,/ B = 24°，则/ BOC= ___________ . 8.如图4,在厶ABC 中，AB=AC / A=36°, BD CE 分别为/ ABC 与/ ACB 的角平分线，且相交于点 F ,贝U 图中的等腰三角形有 个。
9 •如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数11 12 19*31 =10•如图5所示，圆的周长为 4个单位长度，在圆的4等分点处标上0, 1, 2, 应的数与数轴上的数一1所对应的点重合， 将与圆周上的数字 __________ 重合./戴尊7 *J)八年级（上）数学竞赛试卷考试时间：100分钟总分：100分/仁/ 2,由AAS 判定△ ABD^A ACD 则需添加的条件 20072-2006 X 2008=3 •先让圆周上数字0所对 那么数轴上的数一2007 再让数轴按逆时针方向绕在该圆上, 、相信你一定能选对！ 下列各式成立的是（ a-b+c=a- a-b-c=a- 已知一次函数 （A ） x > 0 11.A C 12. (b+c ) (b+c ) （本题共 ） B 6题，每题 图 53分，共18分）.a+b-c=a- (b-c ) .a-b+c-d= (a+c ) - (b-d ) y=kx+b 的图象(如图6),当y v 0时，x 的取值范围是()(B ) x v 0(C ) x v 1( D ) x > 1图3图6图713.在厶ABC 中，/ B =Z 。
八年级上数学竞赛练习题含答案
八年级上数学竞赛练习题含答案Newly compiled on November 23, 2020八年级（上）数学竞赛题一、选择题1、设x 、y 、z 均为正实数,且满足z x+y <x y+z <yz+x ,则x 、y 、z 三个数的大小关系是（ ） A 、z<x<yB 、y<z<xC 、x<y<zD 、z<y<x2、已知a 、b 都是正整数,那么以a 、b 和8为边组成的三角形有（ ） A 、3个B 、4个C 、5个D 、无数个3、将一长方形切去一角后得一边长分别为13、19、20、25和31的五边形（顺序不一定按此）,则此五边形的面积为（ ） A 、680B 、720C 、745D 、7604、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ） 个 个 个 个5、设标有A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A 、C 、E 、G 4盏灯开着，其余3盏灯是关的，小岗从灯A 开始，顺次拉动开关，即从A到G，再顺次拉动开关，即又从A到G，…，他这样拉动了1999次开关后，则开着的灯是（）A、、 C、 D、、已知13xx-=，那么多项式3275x x x--+的值是（）A．11 B．9 C．7 D．57、线段12y x a=-+（1≤x≤3，），当a的值由-1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（）A．6 B．8 C．9 D．108、已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，用S、P分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、P1分别表示四边形EFGH的面积和周长．设K = SS1，K1 =PP1，则下面关于K、K1的说法正确的是（）．、K1均为常值为常值，K1不为常值不为常值,K1为常值、K1均不为常值二、填空题1、如图，△ABC是一个等边三角形，它绕着点P旋转，可以与等边△ABD重合，则这样的点P有_______个。
八年级数学上学期竞赛试卷含解析新人教版
2016-2017学年安徽省合肥市长丰县八年级（上）竞赛数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题4分，总分值40分）1．以下坐标平面内的各点中，在x轴上的是（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，0）C．（﹣1，2）D．（0，3）2．正比例函数如下图，那么那个函数的解析式为（）A．y=x B．y=﹣x C．y=﹣2x D．y=﹣x3．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A．B．C．D．4．假设△ABC三个内角的度数别离为m、n、p，且|m﹣n|+（n﹣p）2=0，那么那个三角形为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形5．弹簧的长度与所挂物体的质量关系为一次函数，由图可知，不挂物体时，弹簧的长度为（）A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm6．某同窗把一块三角形的玻璃打坏成了3块，此刻要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方式是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去7．如图，函数y=kx（k≠0）和y=ax+4（a≠0）的图象相交于点A（2，3），那么不等式kx＞ax+4的解集为（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞2 D．x＜28．李教师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，半途由于自行车故障，停下修车延误了几分钟，为了按时到校，李教师加速了速度，仍维持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李教师请学生画出自行车行进路程y千米与行进时刻t的函数图象的示用意，同窗们画出的示用意如下，你以为正确的选项是（）A．B．C．D．9．若是点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，那么a+b的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．510．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，此刻要从其余13个白色小方格当选出一个也涂成黑色的图形称为轴对称图形，如此的白色小方格有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（本大题共6小题，每题5分，总分值30分）11．点P（﹣2，1）向上平移2个单位后的点的坐标为．12．已知函数y=（m﹣1）+1是一次函数，那么m= ．13．一个三角形的三边长别离是3，1﹣2m，8，那么m的取值范围是．14．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左侧滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，那么∠ABC+∠DFE= 度．15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D点，BD=CD，假设BC=6，AD=5，那么图中阴影部份的面积为．16．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．那么以下结论中正确的选项是：．①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④∠BAE+∠DAC=180°．（把所有正确结论的序号都填在横线上）三．解答题（共5小题，总分值50分）17．如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角极点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点别离作直线l的垂线，垂足别离为D、E．（1）△ACD与△CBE全等吗？说明你的理由．（2）猜想线段AD、BE、DE之间的关系．（直接写出答案）18．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）求出△ABC的面积；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（3）写出点A1，B1，C1的坐标．19．已知直线y=kx+b通过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的解析式；（2）假设直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）依照图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．20．生活中的数学：（1）如图1所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB要将其固定，那个地址所运用的几何原理是：．（2）小河的隔壁有一个甲村落（如图2所示），现打算在河岸AB上建一个泵站，向甲村供水，使得所铺设的供水管道最短，请在上图中画出铺设的管道，那个地址所运用的几何原理是：．（3）如图3所示，在新修的小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE=CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一水池，不能直接抵达，要想明白M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度（用两个字母表示线段）．如此做适合吗？请说出理由．21．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探讨片段，完成所提出的问题．探讨1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过度析发觉∠BOC=90°+∠A，理由如下：∵BO和CO别离是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+∠A．（1）探讨2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A 有如何的关系？请说明理由．（2）探讨3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，那么∠BOC与∠A 有如何的关系？（直接写出结论）（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，那么∠BOC 与∠A+∠D有如何的关系？（直接写出结论）2016-2017学年安徽省合肥市长丰县城关中学八年级（上）竞赛数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题4分，总分值40分）1．以下坐标平面内的各点中，在x轴上的是（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，0）C．（﹣1，2）D．（0，3）【考点】点的坐标．【分析】依照x轴上的点的纵坐标为0解答．【解答】解：（﹣2，﹣3）（﹣3，0）（﹣1，2）（0，3）四个点中，只有（﹣3，0）纵坐标为0，因此，在x轴上的是（﹣3，0）．应选B．【点评】此题考查了点的坐标，熟练把握坐标轴上点的坐标特点是解题的关键．2．正比例函数如下图，那么那个函数的解析式为（）A．y=x B．y=﹣x C．y=﹣2x D．y=﹣x【考点】待定系数法求正比例函数解析式．【专题】数形结合；待定系数法．【分析】第一依照图象明白图象通过（1，﹣1），然后利用待定系数法即可确信函数的解析式．【解答】解：设那个函数的解析式为y=kx，∵函数图象通过（1，﹣1），∴﹣1=k，∴那个函数的解析式为y=﹣x．应选B．【点评】此题考查了用待定系数法求正比例函数的解析式和通过图象得信息的能力，是基础知识要熟练把握．3．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A．B．C．D．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】依照高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高．【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是D．应选D．【点评】三角形的高是指从三角形的一个极点向对边作垂线，连接极点与垂足之间的线段．4．假设△ABC三个内角的度数别离为m、n、p，且|m﹣n|+（n﹣p）2=0，那么那个三角形为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【分析】此题可依照非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0．”得出m、n、p的关系，再判定三角形的类型．【解答】解：∵|m﹣n|+（n﹣p）2=0，∴m﹣n=0，n﹣p=0，∴m=n，n=p，∴m=n=p，∴三角形ABC为等边三角形．应选B．【点评】此题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角形的性质，熟练把握绝对值、非负数等考点的运算．5．弹簧的长度与所挂物体的质量关系为一次函数，由图可知，不挂物体时，弹簧的长度为（）A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【考点】一次函数的应用．【分析】由两点坐标易求直线解析式，当x=0时y的值确实是不挂物体时弹簧的长度．【解答】解：设直线解析式为y=kx+b，由图象可知，直线过（5，），（20，20）两点，代入得，解之得：，即y=+10，当x=0时，y=10，即不挂物体时，弹簧的长度为10cm．应选D．【点评】此题是一次函数的简单应用，重点检查用两点式求直线解析式．6．某同窗把一块三角形的玻璃打坏成了3块，此刻要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方式是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去【考点】全等三角形的应用．【分析】此题确实是已知三角形破损部份的边角，取得原先三角形的边角，依照三角形全等的判定方式，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部份边，依照这两块中的任一块均不能配一块与原先完全一样的；第三块不仅保留了原先三角形的两个角还保留了一边，那么能够依照ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．应选：C．【点评】此题要紧考查了全等三角形的判定方式的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观看图形，依照已知选择方式．7．如图，函数y=kx（k≠0）和y=ax+4（a≠0）的图象相交于点A（2，3），那么不等式kx＞ax+4的解集为（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞2 D．x＜2【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】写出直线y=kx（k≠0）在直线y=ax+4（a≠0）上方部份的x的取值范围即可；【解答】解：由图可知，不等式kx＞ax+4的解集为x＞2；应选C．【点评】此题考查了一次函数与一元一次不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．8．李教师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，半途由于自行车故障，停下修车延误了几分钟，为了按时到校，李教师加速了速度，仍维持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李教师请学生画出自行车行进路程y千米与行进时刻t的函数图象的示用意，同窗们画出的示用意如下，你以为正确的选项是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题．【分析】此题可用排除法．依题意，自行车以匀速前进后又停车修车，故可排除A项．然后自行车又加速速度维持匀速前进，故可排除B，D．【解答】解：最初以某一速度匀速行进，这一段路程是时刻的正比例函数；半途由于自行车故障，停下修车延误了几分钟，这一段时刻变大，路程不变，因此选项A必然错误．第三时期李教师加速了速度，仍维持匀速行进，结果准时到校，这一段，路程随时刻的增大而增大，因此选项B，必然错误，这一段时刻中，速度要大于开始时的速度，即单位时刻内路程转变大，直线的倾斜角要大．故此题选C．【点评】此题考查动点问题的函数图象问题．注意分析y随x的转变而转变的趋势，而不必然要通过求解析式来解决．9．若是点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，那么a+b的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】依照关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出a、b的值，再计算a+b的值．【解答】解：∵点P（﹣2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，又∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴a=﹣2，b=3．∴a+b=1，应选B．【点评】解决此题的关键是把握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．10．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，此刻要从其余13个白色小方格当选出一个也涂成黑色的图形称为轴对称图形，如此的白色小方格有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】利用轴对称设计图案．【分析】依照轴对称图形的概念求解．【解答】解：如下图，有4个位置使之成为轴对称图形．应选C．【点评】此题考查的是利用轴对称设计图案，解答此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，能够有4种画法．二．填空题（本大题共6小题，每题5分，总分值30分）11．点P（﹣2，1）向上平移2个单位后的点的坐标为（﹣2，3）．【考点】坐标与图形转变-平移．【分析】让点的横坐标不变，纵坐标加2即可．【解答】解：平移后点P的横坐标为﹣2；纵坐标为1+2=3；∴点P（﹣2，1）向上平移2个单位后的点的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【点评】此题考查图形的平移变换，关键是要知道左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．12．已知函数y=（m﹣1）+1是一次函数，那么m= ﹣1 ．【考点】一次函数的概念．【专题】计算题．【分析】依照一次函数的概念，令m2=1，m﹣1≠0即可解答．【解答】假设两个变量x和y间的关系式能够表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）．因此有m2=1，解得：m=±1，又m﹣1≠0，∴m=﹣1．【点评】此题要紧考查了一次函数的概念，一次函数y=kx+b的概念条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．13．一个三角形的三边长别离是3，1﹣2m，8，那么m的取值范围是﹣5＜m＜﹣2 ．【考点】三角形三边关系；解一元一次不等式组．【分析】依照三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边即可取得答案．【解答】解：8﹣3＜1﹣2m＜3+8，即5＜1﹣2m＜11，解得：﹣5＜m＜﹣2．故答案为：﹣5＜m＜﹣2．【点评】此题要紧考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练把握三角形的三边关系定理．14．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左侧滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，那么∠ABC+∠DFE= 90 度．【考点】全等三角形的应用．【分析】由图可得，△ABC与△DEF均是直角三角形，由已知可依照HL判定两三角形全等，再依照全等三角形的对应角相等，不难求解．【解答】解：∵△ABC与△DEF均是直角三角形，BC=EF，AC=DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）∴∠ABC=∠DEF∵∠DEF+∠DFE=90°∴∠ABC+∠DFE=90°．故填90【点评】此题要紧考查学生对全等三角形的判定及性质的综合运用能力．15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D点，BD=CD，假设BC=6，AD=5，那么图中阴影部份的面积为．【考点】轴对称的性质．【分析】依照题意，观看可得：△ABC关于AD轴对称，且图中阴影部份的面积为△ABC面积的一半，先求出△ABC的面积，阴影部份的面积就能够够取得．【解答】解：依照题意，阴影部份的面积为三角形面积的一半，∵S△ABC=×BC•AD=×6×5=15，∴阴影部份面积=×15=．【点评】依照轴对称取得阴影部份面积是解题的关键．16．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．那么以下结论中正确的选项是：①②③④．①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④∠BAE+∠DAC=180°．（把所有正确结论的序号都填在横线上）【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】依照全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即：∠BAD=∠CAE，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE=BD，∴故①正确；∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，那么BD⊥CE，故②正确；∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE+∠DBC=45°，故③正确；故可得∠BAE+∠DAC=180°，④正确；故答案为：①②③④．【点评】此题要紧考查了全等三角形的判定及性质，和相似三角形的判定，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定和相似三角形的判定是解决问题的关键．三．解答题（共5小题，总分值50分）17．如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角极点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点别离作直线l的垂线，垂足别离为D、E．（1）△ACD与△CBE全等吗？说明你的理由．（2）猜想线段AD、BE、DE之间的关系．（直接写出答案）【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）观看图形，结合已知条件，可知全等三角形为：△ACD与△CBE．依照AAS即可证明；（2）由（1）知△ACD≌△CBE，依照全等三角形的对应边相等，得出CD=BE，AD=CE，从而求出线段AD、BE、DE之间的关系．【解答】证明：（1）∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE=90°﹣∠ECB．在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）AD=BE﹣DE，理由如下：∵△ACD≌△CBE，∴CD=BE，AD=CE，又∵CE=CD﹣DE，∴AD=BE﹣DE．【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质，关键是依照AAS证明三角形全等．18．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）求出△ABC的面积；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（3）写出点A1，B1，C1的坐标．【考点】作图-轴对称变换．【分析】（1）利用长方形的面积剪去周围多余三角形的面积即可；（2）第一找出A、B、C三点关于y轴的对称点，再按序连接即可；（3）依照坐标系写出各点坐标即可．【解答】解：（1）如下图：△ABC的面积：3×5﹣﹣﹣=6；（2）如下图：（3）A1（2，5），B1（1，0），C1（4，3）．【点评】此题要紧考查了作图﹣﹣轴对称变换，关键是找出对称点的位置，再按序连接即可．19．已知直线y=kx+b通过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的解析式；（2）假设直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）依照图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．【分析】（1）利用待定系数法把点A（5，0），B（1，4）代入y=kx+b可得关于k、b得方程组，再解方程组即可；（2）联立两个函数解析式，再解方程组即可；（3）依照C点坐标可直接取得答案．【解答】解：（1）∵直线y=kx+b通过点A（5，0），B（1，4），∴，解得，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+5；（2）∵假设直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，∴．解得，∴点C（3，2）；（3）依照图象可得x＞3．【点评】此题要紧考查了待定系数法求一次函数解析式，和一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中取得正确信息．20．生活中的数学：（1）如图1所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB要将其固定，那个地址所运用的几何原理是：三角形的稳固性．（2）小河的隔壁有一个甲村落（如图2所示），现打算在河岸AB上建一个泵站，向甲村供水，使得所铺设的供水管道最短，请在上图中画出铺设的管道，那个地址所运用的几何原理是：垂线段最短．（3）如图3所示，在新修的小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE=CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一水池，不能直接抵达，要想明白M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度（用两个字母表示线段）．如此做适合吗？请说出理由．【考点】全等三角形的应用；垂线段最短；三角形的稳固性；作图—应用与设计作图．【分析】（1）依照三角形的稳固性解答；（2）依照垂线段最短解答；（3）第一证明△MEB≌△MFC，依照全等三角形的性质可得ME=MF．【解答】解：（1）一扇窗户打开后，用窗钩AB要将其固定，那个地址所运用的几何原理是三角形的稳固性；（2）过甲向AB做垂线，运用的原理是：垂线段最短；（3）∵AB∥CD，∴∠B=∠C，∵点M是BC的中点，∴MB=MC，在△MCF和△MBE中，∴△MEB≌△MFC（SAS），∴ME=MF，∴想明白M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度．【点评】此题要紧考查了垂线段的性质，三角形的稳固性，和全等三角形的应用，关键是把握全等三角形，对应边相等．21．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探讨片段，完成所提出的问题．探讨1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过度析发觉∠BOC=90°+∠A，理由如下：∵BO和CO别离是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+∠A．（1）探讨2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A 有如何的关系？请说明理由．（2）探讨3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，那么∠BOC与∠A 有如何的关系？（直接写出结论）（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，那么∠BOC 与∠A+∠D有如何的关系？（直接写出结论）【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】（1）依照角的平分线的概念和三角形的外角的性质即可求解；（2）依照三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC和∠BCE，再依照角平分线的概念求出∠OBC+∠OCB，然后依照三角形内角和定理列式整理即可得解；（3）依照四边形内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD，再依照角平分线的概念求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）探讨2结论：∠BOC=∠A．理由如下：∵BO和CO别离是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠OCD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠ABC=∠A+∠OBC，又∵∠OCD是△BOC的一个外角，∴∠BOC=∠OCD﹣∠OBC=∠A+∠OBC﹣∠OBC=∠A；（2）探讨3：结论∠BOC=90°﹣∠A．理由是：∵BO平分∠BDC，CO平分∠ECB，∴∠BOC=∠DBC，∠OCB=∠ECB，又∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，∴∠BOC+∠OCB=（∠A+∠ABC+∠ACB+∠A）=（180°+∠A），又∵∠BOC=180°﹣（∠BOC+∠OCB）=180°﹣（180°+∠A）=90°﹣∠A；（3）拓展：结论∠BOC=（∠A+∠D）．理由是：∵BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠DCB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB），又∵∠ABC+∠DCB+∠A+∠D=360°，即∠ABC+∠DCB=360°﹣∠A﹣∠D，∴∠OBC+∠OCB=（360°﹣∠A+∠D），∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=（∠A+∠D）．【点评】此题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的概念，整体思想的利用是解题的关键．。
2023-2024学年安徽省阜阳市八年级(上)竞赛数学试卷(含解析)
2023-2024学年安徽省阜阳市八年级（上）竞赛数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，点(−2021,m2+2021)一定在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为(−1,−1)，(−1,2)，(3,−1)，则第四个顶点的坐标为( )A. (2,2)B. (3,2)C. (3,3)D. (2,3)3.在平面直角坐标系中，将点A(m−1,n+2)先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′.若点A′位于第四象限，则m、n的取值范围分别是( )A. m>0，n<0B. m>1，n<2C. m>1，n<0D. m>−2，n<−44.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是−3，若输入x的值是−8，则输出y的值是( )A. 10B. 14C. 18D. 225.记者乘汽车赴420m外的农村采访，前一段路为高速公路.后一段路为乡村公路，汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(km)与时间x(ℎ)间的关系如图所示，则该记者从出发到采访地一共需要时间为( )A. 4小时B. 4.5小时C. 5小时D. 6小时6.无论m为什么实数时，直线y=mx+m−2总经过点( )A. (0,−2)B. (−1,−2)C. (1,−2)D. (2,0)7.已知直线y=3x+1与直线y=mx+n相交于点P(a,4)，那么关于x的方程(m−3)x+n=1的解为( )A. x=4B. x=−4C. x=1D. x=28.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：①k<0；②a<0；③当x<3时，y1<y2中，正确的个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 09.如图，DE//BC，点A在DE上，∠BAC=90°，∠1=40°，则∠DAB的大小为( )A. 50°B. 40°C. 30°D. 25°10.三角形的3边长分别是xcm、(x+1)cm、(x+2)cm，它的周长不超过33cm.则x的取值范围是( )A. x≤10B. x≤11C. 1<x≤10D. 2<x≤11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
人教版八年级数学上册(三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法)竞赛培优题(含答案)
人教版八年级数学上册(三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法)竞赛培优题分数：100 考试时间：80分钟一、选择题(10=30分)1. 下列运算正确的是 （ ）A 、x 2 + x 3 = x 5B 、－2x ·x 2 =－2x 3C 、x 6÷x 2 = x 3D 、(－ x 2 )3 = x 62. 的值是（ ）A 、0B 、－2C 、2D 、 3. 下列各组图形中，是全等形的是（ ）A.两个含60°角的直角三角形B.腰对应相等的两个等腰直角三角形C.边长为3和4的两个等腰三角形D.一个钝角相等的两个等腰三角形4. 若二次三项式26x ax +-可分解成，则a ，b 的值分别为（ ）A ． 1，3B ． 1-，3C ． 1，3-D ． 1-，3-5.要使二次三项式25x x p -+在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值可以有（ ） A ． 2个 B ． 4个 C ． 6个 D ．无数个6.如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是( ) A 、3.5 B 、4.2 C 、5.8 D 、77.如图，把矩形纸片ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD ，对于下列结论，其中说法错误的是（ ）A.△EBD 是等腰三角形，EB =ED ；B .折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等；C .折叠后得到的图形是轴对称图形 ； D.△EBA 和△EDC 一定是全等三角形。
8.如图,等边三角形△ABC 的边长是6，面积是，AD 是BC 边上的高，点E 是AB 的中点，在AD 上求一点P ，则P B ＋PE 的和的最小值为( )A 、3B 、6C 、D 、9. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，已知△ABC 的 面积为28．AC ＝6，DE ＝4，则AB 的长为（ ） A ．6 B ．8 C ．4 D ．1010. 如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，点B 关于AC 的对 称点B ′恰好落在CD 上，若∠BAD ＝100°，则∠ACB 的 度数为（ ）A ．40°B ．45° C ．60° D ．80° 二、填空题(5=15分)11. 分解因式得正确结果为． 12. 满足的整数的值是 ．13. 如图：在△FHI 中，HF ＋FG=GI ，HG ⊥FI ，∠F=058，则∠FHI= 度。
人教版八年级数学竞赛题
八年级数学竞赛题班级: 姓名:一．选择题〔共8小题，每题3分，共24分〕 1．假设式子在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是〔 〕A ． x ≥3B ．x ≤3 C ． x ＞3 D ． x ＜3 2．以下式子中，属于最简二次根式的是〔 〕 A ． B ． C ．D ．3．以下运算正确的选项是〔 〕 A ． 5﹣1=B ． x 2•x 3=x 6C ． 〔a+b 〕2=a 2+b 2D ．=4．如图，∠AOC=∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．假设OD=8，OP=10，那么PE 的长为〔 〕 A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8 5．以下选项中，不能用来证明勾股定理的是〔 〕 A ． B ． C ． D ．6．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME=MC ， 以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，那么DG 的长为〔 〕 A ． B ． C ． D ． 7．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于M ，O ，N ，连接AN ，CM ，那么四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于E ，F ，连接EF ，那么四边形ABEF 是菱形． 依据两人的作法可推断〔 〕A 甲正确，乙错误B 乙正确，甲错误C 甲、乙均正确D 甲、乙均错误8．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=8，AD=4，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，连接DE ，其中AE 交DC 于P ．有下面四种说法：①AP=5；②△ APC 是等边三角形；③△ APD ≌ △ CPE ；④四边形ACED 为等腰梯形，且它的面积为25.6．其中正确的有〔 〕个． A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 A ．1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题〔共6小题，每题4分，共24分〕9．请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式 _________ ．10．如图，ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD ，请你添加一个适当的条件 _________ ，使ABCD 成为菱形〔只需添加一个即可〕11．如图，正方形ODBC 中，OC=1，OA=OB ，那么数轴上点A 表示的数是 _________ ． 12．如图，点E 在正方形ABCD 内，满意∠AEB=90°，AE=6，BE=8，那么阴影部分的面积是 _________ ． 13．按如图方式作正方形和等腰直角三角形．假设第一个正方形的边长AB=1，第一个正方形及第一个等腰直角三角形的面积和为S 1，第二个正方形及第二个等腰直角三角形的面积和为S 2，…，那么第n 个正方形及第n 个等腰直角三角形的面积和S n = _________ ．第10题 第11题 第12题第13题14如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点动身沿着圆柱体的外表爬行到点P的最短间隔是_________．15．如图，在△ABC中，∠ ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．假设AG=13，CF=6，那么四边形BDFG的周长为_________．三．解答题16．计算：〔2﹣〕2021•〔2+〕2021﹣2﹣〔〕0．17．如图，：AB∥CD，BE⊥AD ，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．18．先化简，再求值：，其中a=，b=19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．20．点〔，1〕在函数y=〔3m﹣1〕x的图象上，〔1〕求m的值，〔2〕求这个函数的解析式．21．小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼至少20层！〞小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！〞小明说：“有本事，你不用数也能明白！〞小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！〞小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，〔A、C、D、B四点在同始终线上〕问：〔1〕楼高多少米？〔2〕假设每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．〔参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24〕22．如图，矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF=BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF．求证：〔1〕△ ABF≌△ DEA；〔2〕DF是∠ EDC的平分线．23．△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点〔点D不及B、C重合〕，以AD为边作菱形ADEF〔A、D、E、F按逆时针排列〕，使∠DAF=60°，连接CF．〔1〕如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；〔2〕如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？假设不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；〔3〕如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并干脆写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．参考答案及试题解析一．选择题〔共12小题〕1．〔2021•盐城〕假设式子在实数范围内有意义，那么x的取值范围是〔〕A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3考点：二次根式有意义的条件．分析：依据被开方数大于等于0列式进展计算即可得解．解答：解：依据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．应选A．第14题第15题点评：此题考察的学问点为：二次根式的被开方数是非负数．2．〔2021•上海〕以下式子中，属于最简二次根式的是〔〕A．B．C．D．考点：最简二次根式．专题：计算题．分析：推断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是依据最简二次根式的定义进展，或直观地视察被开方数的每一个因数〔或因式〕的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再视察．解答：解：A、=3，故此选项错误；B、是最简二次根式，故此选项正确；C、=2，不是最简二次根式，故此选项错误；D、=，不是最简二次根式，故此选项错误；应选：B．点评：此题考察了最简二次根式的定义．在推断最简二次根式的过程中要留意：〔1〕在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；〔2〕在二次根式的被开方数中的每一个因式〔或因数〕，假如幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．3．〔2021•钦州〕以下运算正确的选项是〔〕A．5﹣1=B．x2•x3=x6C．〔a+b〕2=a2+b2D．=考点：二次根式的加减法；同底数幂的乘法；完全平方公式；负整数指数幂．分析：依据负整数指数幂、同底数幂的乘法、同类二次根式的合并及完全平方公式，分别进展各选项的推断即可得出答案．解答：解：A、5﹣1=，原式计算正确，故本选项正确；B、x2•x3=x5，原式计算错误，故本选项错误；C、〔a+b〕2=a2+2ab+b2，原式计算错误，故本选项错误；D、及不是同类二次根式，不能干脆合并，原式计算错误，故本选项错误；应选A．点评：此题考察了二次根式的加减运算、同底数幂的乘法及完全平方公式，驾驭各部分的运算法那么是关键．4．〔2021•梧州〕如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．假设OD=8，OP=10，那么PE的长为〔〕A．5B．6C．7D．8考点：角平分线的性质；勾股定理．分析：由PD⊥OA，OD=8，OP=10，利用勾股定理，即可求得PD的长，然后由角平分线的性质，可得PE=PD．解答：解：∵PD⊥OA，∴∠PDO=90°，∵OD=8，OP=10，∴PD==6，∵∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD=6．应选B．点评：此题考察了角平分线的性质及勾股定理．此题比较简洁，留意角的平分线上的点到角的两边的间隔相等．5．以下选项中，不能用来证明勾股定理的是〔〕A．B．C．D．考点：勾股定理的证明．分析：依据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．解答：解：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．应选：D．点评：此题主要考察了勾股定理的证明方法，依据图形面积得出是解题关键．6．〔2021•广安〕如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点动身沿着圆柱体的外表爬行到点P的最短间隔是〔〕A．B．5cm C．D．7cm考点：平面绽开-最短途径问题．分析：首先画出圆柱的侧面绽开图，依据高BC′=6cm，PC=BC，求出PC′=×6=4cm，在Rt△AC′P中，依据勾股定理求出AP的长．解答：解：侧面绽开图如下图，∵圆柱的底面周长为6cm，∴AC′=3cm，∵PC′=BC′，∴PC′=×6=4cm，在Rt△ACP中，AP2=AC′2+CP2，∴AP==5．应选B．点评：此题主要考察了平面绽开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面绽开图．7．以下说法正确的有〔〕〔1〕一组对边相等的四边形是矩形；〔2〕两条对角线相等的四边形是矩形；〔3〕四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；〔4〕四条边都相等的四边形是菱形．A．1B．2C．3D．4考点：矩形的断定；菱形的断定；正方形的断定．专证明题．题：分析：两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，假如对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形．解答：解：〔1〕两组对边相等的四边形是平行四边形，故〔1〕错误；〔2〕两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故〔2〕错误；〔3〕四条边都相等且对角线相等的四边形是正方形，故〔3〕错误；〔4〕四条边都相等的四边形是菱形，故〔4〕正确，所以正确的有1个，应选A．点评：考察平行四边形、矩形、菱形、正方形的断定方法．8．〔2021•资阳〕如图，点E在正方形ABCD内，满意∠AEB=90°，AE=6，BE=8，那么阴影部分的面积是〔〕A．48 B．60 C．76 D．80考点：勾股定理；正方形的性质．分析：由得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面积．解答：解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE=AB2﹣×AE×BE =100﹣×6×8=76．应选C．点评：此题考察了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是推断△ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解．9．〔2021•枣庄〕如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE 为边作正方形DEFG，点G在边CD上，那么DG的长为〔〕A．B．C．D．考点：正方形的性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DE=DG，所以可以求出DE，进而得到DG的长．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，M为边DA的中点，∴DM=AD=DC=1，∴CM==，∴ME=MC=，∵ED=EM﹣DM=﹣1，∵四边形EDGF是正方形，∴DG=DE=﹣1．应选D．点评：此题考察了正方形的性质和勾股定理的运用，属于根底题目．10．〔2021•玉林〕如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，那么四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，那么四边形ABEF是菱形．依据两人的作法可推断〔〕A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误考点：菱形的断定．分析：首先证明△AOM≌△CON〔ASA〕，可得MO=NO，再依据对角线互相平分的四边形是平行四边形可断定断定四边形ANCM是平行四边形，再由AC⊥MN，可依据对角线互相垂直的四边形是菱形断定出ANCM是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可依据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB=AF，所以四边形ABEF是菱形．解答：解：甲的作法正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACN，∵MN是AC的垂直平分线，∴AO=CO，在△AOM和△CON中，∴△AOM≌△CON〔ASA〕，∴MO=NO，∴四边形ANCM是平行四边形，∵AC⊥MN，∴四边形ANCM是菱形；乙的作法正确；∵AD∥BC，∴∠1=∠2，∠6=∠7，∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∴∠1=∠3，∠5=∠7，∴AB=AF，AB=BE，∴AF=BE∵AF∥BE，且AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=AF，∴平行四边形ABEF是菱形；应选：C．点评：此题主要考察了菱形形的断定，关键是驾驭菱形的断定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形〔平行四边形+一组邻边相等=菱形〕；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形〔或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形〞〕．11．〔2021•遵义〕P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕是正比例函数y=﹣x图象上的两点，以下推断中，正确的选项是〔〕A．y1＞y2B．y1＜y2C．当x1＜x2时，y1＜y2D．当x1＜x2时，y1＞y2考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析：依据正比例函数图象的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小即可求解．解答：解：∵y=﹣x，k=﹣＜0，∴y随x的增大而减小．应选D．点评：此题考察正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．12．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=4，把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，连接DE，其中AE交DC于P．有下面四种说法：①AP=5；②△APC是等边三角形；③△APD≌△CPE；④四边形ACED为等腰梯形，且它的面积为25.6．其中正确的有〔〕个．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：翻折变换〔折叠问题〕．分析：分别依据图形翻折变换前后图形对应相等，以及利用勾股定理全等三角形的断定分别分析即可．解答：解：①∵在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=4，矩形沿直线AC折叠，∴∠BAC=∠CAE，∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCA，∴∠DCA=∠PAC，∴PC=PA，假设PC=x，那么PA=x，∴DP=8﹣x，∴AD2+DP2=AP2，∴42+〔8﹣x〕2=x2，解得：x=5，∴①AP=5，故此选项正确；②∵PC=PA，∴△APC是等腰三角形，故此选项错误；③∵CE=AD，∠EPC=∠DPA，∠ADP=∠CEP，∴△APD≌△CPE；故此选项正确；④作EQ⊥AC，∵可证△EAC≌△DAC，∴两三角形面积相等，∴DE∥AC，∵AD=EC，∴四边形ACED为等腰梯形，∵PC=5，∴DP=3，∵AP=5，∴PE=3，∵EQ×AC=AE×EC，∴EQ=，∵△DPE∽△CPA，∴=，∴DE=，∴梯形面积为：××〔+〕，=25.6．∴它的面积为25.6．故此选项正确；其中正确的有3个．应选：C．此题主要考察了图形的翻折变换，依据等腰三角形的性质以及翻折变换前后对应相等状况是解题关键．点评：二．填空题〔共6小题〕13．〔2021•漳州〕如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，那么数轴上点A表示的数是﹣．考点：勾股定理；实数及数轴．专题：压轴题．分析：在直角三角形中依据勾股定理求得OB的值，即OA的值，进而求出数轴上点A表示的数解答：解：∵OB==，∴OA=OB=，∵点A在数轴上原点的左边，∴点A表示的数是﹣，故答案为：﹣．点评：此题考察了实数及数轴、勾股定理的综合运用．14．〔2021•营口〕按如图方式作正方形和等腰直角三角形．假设第一个正方形的边长AB=1，第一个正方形及第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形及第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，那么第n个正方形及第n个等腰直角三角形的面积和S n=．考点：等腰直角三角形；正方形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：视察图形，依据正方形的四条边相等和等腰直角三角形的腰长为斜边长的倍，分别求得每个正方形的边长，从而发觉规律，再依据规律解题即可．解答：解：∵第一个正方形的边长为1，第2个正方形的边长为〔〕1=，第3个正方形的边长为〔〕2=，…，第n个正方形的边长为〔〕n﹣1，∴第n个正方形的面积为：[〔〕2]n﹣1=，那么第n个等腰直角三角形的面积为：×=，故第n个正方形及第n个等腰直角三角形的面积和S n=+=．故答案为：．点评：此题主要考察了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质和直角边长是斜边长的倍及正方形的面积公式求解．找到第n个正方形的边长为〔〕n﹣1是解题的关键．15．〔2021•潍坊〕如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件OA=OC，使ABCD成为菱形〔只需添加一个即可〕考点：菱形的断定．专题：开放型．分析：可以添加条件OA=OC，依据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可断定出结论．解答：解：OA=OC，∵OB=OD，OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：OA=OC．点评：此题主要考察了菱形的断定，关键是驾驭菱形的断定定理．16．〔2021•烟台〕如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA 长为半径画，连结AF，CF，那么图中阴影部分面积为4π．考点：正方形的性质；整式的混合运算．专题：压轴题．分析：设正方形EFGB的边长为a，表示出CE、AG，然后依据阴影部分的面积=S+S正方形EFGB+S△CEF﹣扇形ABCS△AGF，列式计算即可得解．解答：解：设正方形EFGB的边长为a，那么CE=4﹣a，AG=4+a，阴影部分的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF=+a2+a〔4﹣a〕﹣a〔4+a〕=4π+a2+2a﹣a2﹣2a﹣a2=4π．故答案为：4π．点评：此题考察了正方形的性质，整式的混合运算，扇形的面积计算，引入小正方形的边长这一中间量是解题的关键．17．〔2021•钦州〕请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式y=x〔答案不唯一〕．．考点：正比例函数的性质．分析：先设出此正比例函数的解析式，再依据正比例函数的图象经过一、三象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．解答：解：设此正比例函数的解析式为y=kx〔k≠0〕，∵此正比例函数的图象经过一、三象限，∴k＞0，∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x〔答案不唯一〕．故答案为：y=x〔答案不唯一〕．点评：此题考察的是正比例函数的性质，即正比例函数y=kx〔k≠0〕中，当k＞0时函数的图象经过一、三象限．18．〔2021•宜宾〕如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD 的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．假设AG=13，CF=6，那么四边形BDFG的周长为20．考点：菱形的断定及性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．专题：压轴题．分析：首先可推断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，那么可推断四边形BGFD是菱形，设GF=x，那么AF=13﹣x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．解答：解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD=DF=AC，∴四边形BGFD是菱形，设GF=x，那么AF=13﹣x，AC=2x，在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2，即〔13﹣x〕2+62=〔2x〕2，解得：x=5，故四边形BDFG的周长=4GF=20．故答案为：20．点评：此题考察了菱形的断定及性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答此题的关键是推断出四边形BGFD是菱形．三．解答题〔共9小题〕19．〔2021•济宁〕计算：〔2﹣〕2021•〔2+〕2021﹣2﹣〔〕0．考点：二次根式的混合运算；零指数幂．分析：依据零指数幂、肯定值、整数指数幂、二次根式的混合运算，分别进展计算，再把所得的结果合并即可．解答：解：〔2﹣〕2021•〔2+〕2021﹣2﹣〔〕0=[〔2﹣〕〔2+〕]2021•〔2+〕﹣﹣1 =2+﹣﹣1=1．点评：此题考察了二次根式的混合运算，用到的学问点是零指数幂、肯定值、整数指数幂、二次根式的混合运算，关键是娴熟驾驭有关学问和公式．20．〔2021•梧州〕如图，：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．考点：平行四边形的断定；全等三角形的断定及性质．专题：证明题．分析：通过全等三角形〔△AEB≌△DFC〕的对应边相等证得BE=CF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线互相平行〞证得BE∥CF．那么四边形BECF是平行四边形．解答：证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵AB∥CD，∴∠A=∠D，在△AEB及△DFC中，，∴△AEB≌△DFC〔ASA〕，∴BE=CF．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CF．∴四边形BECF是平行四边形．点评：此题考察了平行四边形的断定、全等三角形的断定及性质．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．21．〔2021•襄阳〕先化简，再求值：，其中a=，b=．考点：分式的化简求值；二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：将原式第一项的分子利用平方差公式分解因式，分母提取a分解因式，第二项括号中的两项通分并利用同分母分式的加法运算法那么计算，分子利用完全平方公式分解因式，第三项通分并利用同分母分式的加法法那么计算，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，将a及b的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．解答：解：÷〔a+〕•〔+〕=÷•=••=﹣，当a=+，b=﹣时，原式===1．点评：此题考察了分式的化简求值，以及二次根式的化简，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．22．〔2021•天水〕如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．解答：解：过点D作DH⊥AC，∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH，∵EH2+DH2=ED2，∴EH2=1，∴EH=DH=1，又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=，∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，∴S四边形ABCD=×2×〔3+〕+×1×〔3+〕=．点评：此题主要考察理解直角三角形和三角形面积求法，依据构造直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键．23．点〔，1〕在函数y=〔3m﹣1〕x的图象上，〔1〕求m的值，〔2〕求这个函数的解析式．考点：待定系数法求正比例函数解析式．分析：〔1〕依据图象上点的坐标性质，将点〔，1〕代入正比例函数y=〔3m﹣1〕x，求得m值即可；〔2〕依据m的值，即可得出这个函数的解析式；解答：〔1〕解：∵点〔，1〕在函数y=〔3m﹣1〕x的图象上，∴将点〔，1〕代入正比例函数y=〔3m﹣1〕x，即：1=〔3m﹣1〕×，整理得：3m=3，解得：m=1；∴m的值为1；〔2〕解：∵m的值为1；∴代入y=〔3m﹣1〕x，即可求出，y=〔3×1﹣1〕x=2x，∴这个函数的解析式为：y=2x．点评：此题考察了待定系数法求正比例函数的解析式以及正比例函数图象上点的坐标都满意该函数的解析式，此题比较简洁作题时肯定要细致细致不要犯错．24．〔2021•鄂州〕小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼至少20层！〞小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！〞小明说：“有本事，你不用数也能明白！〞小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！〞小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，〔A、C、D、B四点在同始终线上〕问：〔1〕楼高多少米？〔2〕假设每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．〔参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24〕考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：〔1〕设楼高为x，那么CF=DE=x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分别用x表示AC、BD的值，然后依据AC+CD+BD=150，求出x的值即可；〔2〕依据〔1〕求出的楼高x，然后求出20层楼的高度，比较x和20层楼高的大小即可推断谁的观点正确．解答：解：〔1〕设楼高为x米，那么CF=DE=x米，∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°，∴AC=x米，BD=x米，∴x+x=150﹣10，解得x==70〔﹣1〕〔米〕，∴楼高70〔﹣1〕米．〔2〕x=70〔﹣1〕≈70〔1.73﹣1〕=70×0.73=51.1米＜3×20米，∴我支持小华的观点，这楼不到20层．点评：此题考察了勾股定理的应用，解答此题的关键是构造直角三角形，利用方程思想求解，难度一般．25．〔2021•茂名〕如图，矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF=BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF．求证：〔1〕△ABF≌△DEA；〔2〕DF是∠EDC的平分线．考点：矩形的性质；全等三角形的断定及性质；角平分线的性质．专题：证明题．分析：〔1〕依据矩形性质得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠AFB，求出AF=AD，依据AAS证出即可；〔2〕有全等推出DE=AB=DC，依据HL证△DEF≌△DCF，依据全等三角形的性质推出即可．解答：证明：〔1〕∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠DEA=∠B=90°，∵AF=BC，∴AF=AD，在△DEA和△ABF中∵，∴△DEA≌△ABF〔AAS〕；〔2〕证明：∵由〔1〕知△ABF≌△DEA，∴DE=AB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，DC=AB，∴DC=DE．∵∠C=∠DEF=90°∴在Rt△DEF和Rt△DCF中∴Rt△DEF≌Rt△DCF〔HL〕∴∠EDF=∠CDF，∴DF是∠EDC的平分线．点评：此题考察了矩形性质，全等三角形的性质和断定，平行线性质等学问点，留意：全等三角形的断定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，26．〔2021•昭通〕△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点〔点D不及B、C重合〕，以AD为边作菱形ADEF〔A、D、E、F按逆时针排列〕，使∠DAF=60°，连接CF．〔1〕如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；〔2〕如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？假设不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；〔3〕如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并干脆写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．考点：全等三角形的断定及性质；等边三角形的性质；菱形的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：〔1〕依据得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；〔2〕求出∠BAD=∠CAF，依据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；〔3〕画出图形后，依据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．解答：〔1〕证明：∵菱形AFED，∴AF=AD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，即①BD=CF，②AC=CF+CD．〔2〕解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD，理由是：由〔1〕知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，即AC=CF﹣CD．〔3〕AC=CD﹣CF．理由是：∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF〔SAS〕，∴CF=BD，∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC，即AC=CD﹣CF．点评：此题考察了全等三角形的性质和断定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考察学生的推理实力，留意：证明过程类似，题目具有肯定的代表性，难度适中．备用题：〔2021•重庆〕，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．〔1〕假设CF=2，AE=3，求BE的长；〔2〕求证：∠CEG=∠AGE．考点：平行四边形的性质；全等三角形的断定及性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．专题：压轴题．分析：〔1〕求出DC=CE=2CF=4，求出AB，依据勾股定理求出BE即可；〔2〕过G作GM⊥AE于M，证△DCF≌△ECG，推出CG=CF，求出M为AE中点，得出等腰三角形AGE，依据性质得出GM是∠AGE的角平分线，即可得出答案．解答：〔1〕解：∵CE=CD，点F为CE的中点，CF=2，∴DC=CE=2CF=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE==；〔2〕证明：过G作GM⊥AE于M，∵AE⊥BE，∴GM∥BC∥AD，∵在△DCF和△ECG中，，∴△DCF≌△ECG〔AAS〕，∴CG=CF，∵CE=CD，CE=2CF，∴CD=2CG即G为CD中点，∵AD∥GM∥BC，∴M为AE中点，∵GM⊥AE，∴AM=EM，∴∠AGE=2∠MGE，∵GM∥BC，∴∠EGM=∠CEG，∴∠CEG=∠AGE．点评：此题考察了平行四边形性质，等腰三角形的性质和断定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和断定，勾股定理等学问点的应用，主要考察学生综合运用定理进展推理的实力．。
八年级上册数学奥林匹克竞赛题
八年级上册数学奥林匹克竞赛题1.八年级奥数题精选大全1、某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需付利息5万元。
甲种贷款年利率为12%，乙种贷款年利率为14%。
该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少?2、商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。
这批钢笔的进货价每支多少元?3、某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的80%。
妈妈第一天买了2个，第二天买了3个，第三天买了5个，共花了38元。
若这10个蜜瓜都在第三天买，则能少花多少钱?4、商店以每双13元购进一批凉鞋，售价为14.8元，卖到还剩5双时，除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利88元。
问：这批凉鞋共多少双?5、体育用品商店用3000元购进50个足球和40个篮球。
零售时足球加价9%，篮球加价11%，全部卖出后获利润298元。
问：每个足球和篮球的进价是多少元?6、甲、乙两个油桶各装了15千克油，售货员卖了14千克。
后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶，使乙桶的油增加一倍；然后又从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶的油也增加一倍；这时甲桶的油恰好是乙桶油的3倍。
问售货员从两个油桶里各卖了多少千克油？2.八年级奥数题精选大全1．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5小时，6天可以完成任务。
由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。
问：每天要工作多少小时？2．妈妈买了2斤苹果，4斤菠萝，花去14元；爸爸买了3斤苹果，2斤菠萝，花去13元；那么1斤苹果，1斤菠萝各多少钱？3．修一段路计划16人20天完成，这16人工作了5天后，增加4人，如果这些人的工作效率相同，问提前几天完成修路任务？4．某饭店要安装空调240台，已知10名工程技术人员8小时能安装空调64台，现饭店要求安装公司在12小时内装完，需要增派同样工作效率的技术人员多少名？5．某工程原计划42人12天（每天按8小时工作）完成，工作7天后因支持其它紧急任务调走了12人，那么剩下的工作还要几天才能完成？若要求按原定日期完工，那么每天得工作多少小时？6．小强家住三层，从一层到三层需要走60秒钟，按此速度，从一层到六层需要多少秒钟？3.八年级奥数题精选大全1、小明放学回家,他沿一电车的路线步行,他发现每6分钟，有一辆电车迎面开来；每12分钟，有一辆电车从背后开来。
人教版八年级数学上学期竞赛试卷及答案
人教版八年级数学上学期竞赛试卷及答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） 1. △ABC 中，AC =5，中线AD =7，则AB 边的取值范围是（ ） A.1<AB <29 B.4<AB <24 C.5<AB <19 D.9<AB <19 2. 如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB =m ，PC =n ，AB =c ，AC =b ，则(m +n)与(b +c)的大小关系是（ ） A.m +n >b +c B.m +n <b +c C.m +n =b +c D.无法确定 3. 一个等腰三角形的两边长分别为1，√5，则这个三角形的周长为( ) A.2+√5 B.2√5+1 C.2+√5或2√5+1 D.以上都不对 4. 如图，已知正方形ABCD 边长为1，∠EAF ＝45∘，AE ＝AF ，则有下列结论：①∠1＝∠2＝22.5∘；②点C 到EF 的距离是√2−1；③△ECF 的周长为2；④BE +DF >EF ，其中正确的结论有（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5. 若a ，b ，c 是△ABC 的三条边，则化简√(a +b )2−√(a −b −c )2的结果是( ) A.c B.2b +c C.2a −c D.c −2a 6. 如果一个三角形的三边长分别为12、k 、72，则化简√k 2−12k +36−|2k −5|的结果是( ) A.11−3k B.k +1 C.3k −11 D.−k −1 7. 如图，已知△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90∘，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下四个结论：①△PFA ≅△PEB ，②EF =AP ，③△PEF 是等腰直角三角形，④S 四边形AEPF =12S △ABC ，当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论中始终正确有( )学校： 班级： 姓名： 准考证号：A.4个B.3个C.2个D.1个8. 若2n+2n+2n+2n=2，则n=（）A.1B.0C.−1D.−149. 若(x+2)(2x−b)=2x2+5x+2，则b的值为( )A.−1B.1C.−2D.210. 如图，在△ABC中，AB=AC，AQ=PQ，P为BC边上的中点，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则三个结论：①AS=AR；②QP//AR；③△BPR≅△QPS中( )A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D.仅①和③正确二、填空题（本题共计5 小题，每题2 分，共计10分，）11. 化简计算b2−27a3÷2b9a⋅3abb4是________.12. 一只小船顺水行驶9千米，再逆水行驶6千米，共用了3小时，又知小船顺水行驶12千米比逆水行驶12千米少用1小时，设小船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，可列方程组________.13. 若关于x的分式方程xx−3+3a3−x=2a无解，则a的值为________．14. 如图，△ABC中，∠ABC，∠EAC的角平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC，四个结论：①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180∘；③∠ACB=2∠APB；④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN=AC.正确的是________.15. 已知(x+m)(x+n)=x2+ax+6，且m，n，a都是整数，则a的值是________.三、解答题（本题共计8 小题，共计80分，）16.(10分) 解方程：x x−3−2x=13(x−1)(x+2)=xx−1−117.（10分）先化简，再求值：a2+2a+1a+2÷(a−2+3a+2)，其中a满足a2−4=0.18.(10分) 先阅读下面的内容，再解决问题．例题：若m2+2mn+2n2−6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2−6n+9=0，∴m2+2mn+n2+n2−6n+9=0，∴(m+n)2+(n−3)2=0，∴m+n=0，n−3=0，∴m=−3，n=3.(1)若x2+2y2−2xy+4y+4=0，求x−y的值．(2)若三角形三边a，b，c都是正整数，且满足a2+b2−6a−6b+18+|3−c|=0，试判断三角形的形状．19.(1)阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB=9,AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图1):①延长AD到Q，使得DQ=AD；②再连接BQ，把AB，AC，2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14，则AD的取值范围是________.感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明.(3)思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90∘.试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明.20.(10分) 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2(a，b 是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5=22+12，所以5是“完美数”．解决问题：(1)已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b是整数）的形式________.(2)若x2−4x+5可配方成(x−m)2+n(m，n为常数)，则mn的值是________.探究问题：(3)已知x2+y2−2x+4y+5=0，则x+y的值是________.(4)已知S=x2+4y2+4x−12y+k(x,y是整数，是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．拓展结论：已知实数x，y满足−x2+3x+y−5=0，求x+y的最小值．21.(10分) 把几个图形拼成一个图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，或可以求出一些不规则图形的面积．(1)如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m> n，观察图形，利用面积的不同表示方法，可以发现一个代数恒等式________.(2)将图2中边长为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b=8，ab=12，请求出阴影部分的面积．22.(10分) 探究规律：分式方程1x+1=2x+1−1的解为________；分式方程2x+1=4x+1−1的解为________；分式方程3x+1=6x+1−1的解为________；分式方程4x+1=8x+1−1的解为________；(1)请完成上面的填空；(2)根据你所发现的规律，请直接写出第5个分式方程以及它的解；(3)请你用一个含正整数n的式子表示上述的规律，并指出它的解．23.(10分) 如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=6cm，点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C 向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的哪一条边上相遇．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE，使得△ABD≅△ECD，则将AB和已知线段转化到一个三角形中，进而利用三角形的三边关系确定AB的范围即可．【解答】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．在△ABD和△ECD中，BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=ED，∴△ABD≅△ECD(SAS)．∴AB=CE．在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE−AC<CE<AE+AC，即9<CE<19．则9<AB<19．故选D．2.【答案】A【解析】在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE=PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n>b+c．【解答】解：在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，∵AD是∠A的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD，在△ACP和△AEP中，{AE=AC∠CAD=∠EADAP=AP，∴△ACP≅△AEP(SAS)，∴PE=PC，在△PBE中，PB+PE>AB+AE，∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，∴m+n>b+c．故选A．3.【答案】B【解析】题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．【解答】解：①当三边是1，1，√5时，1+1<√5，不符合三角形的三边关系，应舍去；②当三边是√5，√5，1时，符合三角形的三边关系，此时周长是2√5+1，所以这个三角形的周长是2√5+1.故选B．4.【答案】B【解析】先证明Rt△ABE≅Rt△ADF得到∠1＝∠2，易得∠1＝∠2＝∠22.5∘，于是可对①进行判断；连接EF、AC，它们相交于点H，如图，利用Rt△ABE≅Rt△ADF得到BE＝DF，则CE＝CF，接着判断AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，于是利用角平分线的性质定理得到EB＝EH，FD＝FH，则可对③④进行判断；设BE＝x，则EF＝2x，CE＝1−x，利用等腰直角三角形的性质得到2x=√2(1−x)，解方程，则可对②进行判断．【解答】∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90∘，在Rt△ABE和Rt△ADF中，{AE=AFAB=AD，∴Rt△ABE≅Rt△ADF(HL)，∴∠1＝∠2，∵∠EAF＝45∘，∴∠1＝∠2＝∠22.5∘，所以①正确；连接EF 、AC ，它们相交于点H ，如图，∵ Rt △ABE ≅Rt △ADF ，∴ BE ＝DF ，而BC ＝DC ，∴ CE ＝CF ，∵ AE ＝AF ，∴ AC 垂直平分EF ，AH 平分∠EAF ，∴ EB ＝EH ，FD ＝FH ，∴ BE +DF ＝EH +HF ＝EF ，所以④错误；∴ △ECF 的周长＝CE +CF +EF ＝CE +BE +CF +DF ＝CB +CD ＝1+1＝2，所以③正确；设BE ＝x ，则EF ＝2x ，CE ＝1−x ，∵ △CEF 为等腰直角三角形，∴ EF =√2CE ，即2x =√2(1−x)，解得x =√2−1，∴ BE =√2−1，Rt △ECF 中，EH ＝FH ，∴ CH =12EF ＝EH ＝BE =√2−1， ∵ CH ⊥EF ，∴ 点C 到EF 的距离是√2−1，所以②正确；本题正确的有：①②③；5.【答案】C【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知a +b >0，a −b −c <0，故原式可化为a +b −(b +c −a)=2a −c .故选C .6.【答案】A【解析】求出k 的范围，化简二次根式得出|k −6|−|2k −5|，根据绝对值性质得出6−k −(2k −5)，求出即可．【解答】解：∵ 一个三角形的三边长分别为12、k 、72，∴72−12<k<12+72，∴3<k<4，√k2−12k+36−|2k−5|，=√(k−6)2−|2k−5|，=6−k−(2k−5)，=−3k+11，=11−3k.故选A．7.【答案】B【解析】根据图形旋转的性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定定理，得出△APF≅△BPE，再结合全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=90∘，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，∴AP⊥BC，AP=12BC=PB，∠B=∠CAP=45∘.∵∠APE+∠BPE=90∘，∠APF+∠APE=90∘，∴∠BPE=∠APF.在△BPE和△APF中，{∠B=∠CAP，BP=AP，∠BPE=∠APF，∴△PEB≅△PFA(ASA)，即结论①正确；∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，∴AP=12BC.又∵EF不一定是△ABC的中位线，∴EF不一定等于AP，故结论②错误；∵△PFA≅△PEB，∴PE=PF.又∵∠EPF=90∘，∴△PEF是等腰直角三角形，故结论③正确；∵△PFA≅△PEB，∴S△PFA=S△PEB，∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APB=12S△ABC，故结论④正确；综上，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），始终正确的有3个结论．故选B.8.【答案】C【解析】由题意得到4×2n=2，即2n+2=2，即可得到n值.【解答】解：由2n+2n+2n+2n=2，可得4×2n=2，即22×2n=2，∴2n+2=2，∴n+2=1，解得：n=−1.故选C.9.【答案】A【解析】根据多项式与多项式相乘的法则把等式的左边展开，根据题意列出算式，求出b的值即可．【解答】解：(x+2)(2x−b)=2x2+5x+2，2x2+(4−b)x−2b=2x2+5x+2，则4−b=5，解得b=−1.故选A.10.【答案】B【解析】解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，【解答】解：∵AB=AC，P为BC边上的中点，∴AP为∠BAC的角平分线，∴PR=PS.∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠ARP=∠ASP=90∘.在Rt△APR和Rt△APS中，{PS=PR，AP=AP，∴Rt△APR≅Rt△APS(HL)，∴AR=AS，故①正确；∵AP为∠BAC的角平分线，∴∠BAP=∠CAP，又AQ=PQ，∴∠PAQ=∠APQ，∴∠BAP=∠APQ，∴QP//AR，故②正确；在△BRP和△QSP中，只能得到PR=PS，∠PSQ=∠PRB，不能判断两三角形全等，故③错误.综上所述，只有①②正确.故选B.二、填空题（本题共计5 小题，每题 2 分，共计10分）11.【答案】−12ab2【解析】此题暂无解析【解答】解：原式=b 2−27a3⋅9a2b⋅3abb4=27a2b3−54a3b5=−12ab2.故答案为：−12ab2.12.【答案】{9x+y +6x−y=3,12 x−y −12x+y=1.【解析】先根据小船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，求出顺水速度为x+y，逆水速度为x−y，再根据题意列方程组即可．【解答】解：设小船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，则顺水速度(x+y)千米/时，逆水速度(x−y)千米/时，可得：{9x+y +6x−y=3,12 x−y −12x+y=1.故答案为: {9x+y +6x−y=3,12 x−y −12x+y=1.13.【答案】1或12【解析】此题主要考查了分式方程的解．【解答】解：去分母得：x−3a=2a(x−3)，整理得：(1−2a)x=−3a，当1−2a=0时，方程无解，故a=12；当1−2a≠0时，x=−3a1−2a=3时，分式方程无解，则a=1，故关于x的分式方程xx−3+3a3−x=2a无解，则a的值为：1或12．故答案为：1或12．14.【答案】①②③④【解析】①作PD⊥AC于D，由角平分线的性质得到PM=PN=PD，即可得到①正确；②首先证明∠ABC+∠MPN=180∘，证明Rt△PAM≅Rt△PAD（HL），得出∠APM=∠APD，同理：Rt△PCD≅Rt△PCN，得出∠CPD=∠CPN，即可得出②正确；③由角平分线和三角形外角的性质得出∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM=12∠ABC+∠APB，得出∠ACB=2∠APB，即可得出③正确；④由全等三角形的性质得出AD=AM，CD=CN，即可得出④正确.【解答】解：作PD⊥AC于点D，①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，∴PM=PN，PM=PD，∴PM=PN=PD，∴点P在∠ACF的角平分线上，即CP平分∠ACF，故①正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90∘+∠MPN+90∘=360∘，∴∠ABC+∠MPN=180∘.在Rt△PAM和Rt△PAD中，{PA=PA，PM=PD，∴Rt△PAM≅Rt△PAD（HL），∴∠APM=∠APD.同理可得，Rt△PCD≅Rt△PCN(HL)，∴∠CPD=∠CPN，∴∠MPN=2∠APC，∴∠ABC+2∠APC=180∘，故②正确；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠PAM=12∠ABC+∠APB，即∠CAE=∠ABC+2∠APB.∵∠CAE=∠ABC+∠ACB，∴∠ACB=2∠APB，故③正确；④∵Rt△PAM≅Rt△PAD，∴AD=AM.∵Rt△PCD≅Rt△PCN，∴CD=CN，∴AM+CN=AD+CD=AC，故④正确.故答案为：①②③④.15.【答案】±5或±7【解析】根据已知条件可得mn=6，然后根据m，n都是整数确定m，n的值，最后根据a=m+n 即可解答.【解答】解：∵(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn =x2+ax+6，∴a=m+n，mn=6.∵m，n都是整数，∴当m=1时，n=6，m=−1时，n=−6；当m=6时，n=1，m=−6时，n=−1；当m=2时，n=3，m=−2时，n=−3；当m=3时，n=2，m=−3时，n=−2.∴a=m+n=±5或±7.故答案为：±5或±7.三、解答题（本题共计8 小题，共计80分）16.【答案】解：(1)方程两边同时乘x(x−3)，得x2−2x+6=x2−3x，解得：x=−6.检验：把x=−6代入x(x−3)≠0．所以x=−6是原分式方程的解．(2)方程两边同时乘以(x−1)(x+2)，得3=x(x+2)−(x−1)(x+2)，即3=x2+2x−x2−x+2，解得：x=1.检验：把x=1代入(x−1)(x+2)=0，所以x=1不是原分式方程的根，原分式方程无解．【解析】无无【解答】解：(1)方程两边同时乘x(x−3)，得x2−2x+6=x2−3x，解得：x=−6.检验：把x=−6代入x(x−3)≠0．所以x=−6是原分式方程的解．(2)方程两边同时乘以(x−1)(x+2)，得3=x(x+2)−(x−1)(x+2)，即3=x2+2x−x2−x+2，解得：x=1.检验：把x=1代入(x−1)(x+2)=0，所以x=1不是原分式方程的根，原分式方程无解．17.【答案】解：a 2+2a+1a+2÷(a−2+3a+2)=(a+1)2a+2÷[(a+2)(a−2)a+2+3a+2]=(a+1)2a+2÷a2−4+3a+2=(a+1)2a+2÷a2−1a+2=(a+1)2a+2÷(a+1)(a−1)a+2=(a+1)2a+2×a+2(a+1)(a−1)=a+1a−1.∵a2−4=0，即a2=4，∴a1=2，a2=−2. 又∵a+2≠0，∴a≠−2，∴a=2.将a=2代入，得a+1a−1=31=3.【解析】无【解答】解：a 2+2a+1a+2÷(a−2+3a+2)=(a+1)2a+2÷[(a+2)(a−2)a+2+3a+2]=(a+1)2a+2÷a2−4+3a+2=(a+1)2a+2÷a2−1a+2=(a +1)2a +2÷(a +1)(a −1)a +2=(a +1)2a +2×a +2(a +1)(a −1) =a+1a−1.∵ a 2−4=0，即a 2=4，∴ a 1=2，a 2=−2.又∵ a +2≠0，∴a ≠−2，∴ a =2.将a =2代入，得a+1a−1=31=3. 18.【答案】解：(1)∵ x 2+2y 2−2xy +4y +4=0， ∴ x 2−2xy +y 2+y 2+4y +4=0， ∴ (x −y)2+(y +2)2=0，∴ x −y =0 ， y +2=0，∴ x =y =−2，∴ x −y =(−2)−2=1(−2)2=14.(2)∵ a 2+b 2−6a −6b +18+|3−c|=0， ∴ (a 2−6a +9)+(b 2−6b +9)+|3−c|=0， ∴ (a −3)2+(b −3)2+|3−c|=0，∴ {a −3=0，b −3=0，3−c =0，∴ a =b =c =3，∴ △ABC 为等边三角形.【解析】【解答】解：(1)∵ x 2+2y 2−2xy +4y +4=0， ∴ x 2−2xy +y 2+y 2+4y +4=0， ∴ (x −y)2+(y +2)2=0，∴ x −y =0 ， y +2=0，∴ x =y =−2，∴ x −y =(−2)−2=1(−2)2=14. (2)∵ a 2+b 2−6a −6b +18+|3−c|=0， ∴ (a 2−6a +9)+(b 2−6b +9)+|3−c|=0， ∴ (a −3)2+(b −3)2+|3−c|=0，∴ {a −3=0，b −3=0，3−c =0，∴ a =b =c =3，∴ △ABC 为等边三角形.19.【答案】2<AD <7(2)AC//BQ ，理由：由(1)知， △QDB ≅△ADC ，∴ ∠BQD =∠CAD ，∴ AC//BQ .(3)EF =2AD ，AD ⊥EF ，理由：如图，延长AD 到Q 使得DQ =AD ，连接BQ ，由(1)知，△BDQ ≅△CDA (SAS )，∴ ∠DBQ =∠ACD ，BQ =AC .∵ AC =AF ，∴ BQ =AF .在△ABC 中，∠BAC +∠ABC +∠ACB =180∘， ∴ ∠BAC +∠ABC +∠DBQ =180∘，∴ ∠BAC +∠ABQ =180∘.∵ ∠BAE =∠FAC =90∘，∴ ∠BAC +∠EAF =180∘，∴ ∠ABQ =∠EAF ，在△ABQ 和△EAF 中，{AB =EA,∠ABQ =∠EAF,BQ =AF,∴ △ABQ ≅△EAF(SAS)，∴ AQ =EF ，∠BAQ =∠AEF ，延长DA 交EF 于P ，∵ ∠BAE =90∘，∴ ∠BAQ +∠EAP =90∘，∴ ∠AEF +∠EAP =90∘，∴ ∠APE =90∘，∴ AD ⊥EF ，∵ AD =DQ ，∴ AQ =2AD ，∵ AQ =EF ，∴ EF =2AD ，即：EF =2AD ，AD ⊥EF ．【解析】无无无【解答】解：(1)延长AD 到Q 使得DQ =AD ，连接BQ ， ∵ AD 是△ABC 的中线，∴ BD =CD .在△QDB 和△ADC 中，{BD =CD,∠BDQ =∠CDA,DQ =DA,∴ △QDB ≅△ADC (SAS )，∴ BQ =AC =5.在△ABQ 中，AB −BQ <AQ <AB +BQ ， ∴ 4<AQ <14，∴ 2<AD <7.故答案为：2<AD <7.(2)AC//BQ ，理由：由(1)知， △QDB ≅△ADC ，∴ ∠BQD =∠CAD ，∴ AC//BQ .(3)EF=2AD，AD⊥EF，理由：如图，延长AD到Q使得DQ=AD，连接BQ，由(1)知，△BDQ≅△CDA(SAS)，∴∠DBQ=∠ACD，BQ=AC.∵AC=AF，∴BQ=AF.在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180∘，∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ=180∘，∴∠BAC+∠ABQ=180∘.∵∠BAE=∠FAC=90∘，∴∠BAC+∠EAF=180∘，∴∠ABQ=∠EAF，在△ABQ和△EAF中，{AB=EA,∠ABQ=∠EAF, BQ=AF,∴△ABQ≅△EAF(SAS)，∴AQ=EF，∠BAQ=∠AEF，延长DA交EF于P，∵∠BAE=90∘，∴∠BAQ+∠EAP=90∘，∴∠AEF+∠EAP=90∘，∴∠APE=90∘，∴AD⊥EF，∵AD=DQ，∴AQ=2AD，∵AQ=EF，∴EF=2AD，即：EF=2AD，AD⊥EF．20.【答案】29=52+222−1(4)S=x2+4y2+4x−12y+k=x2+4x+4+4y2−12y+9−13+k=(x+2)2+(2y−3)2+k−13S若为完美数，k−13=0,k=13.拓展结论：−x2+3x+y−5=0，x+y=x2−2x+5，x+y=(x−1)2+4，当x=1时，x+y取最小值为4.【解析】答案未提供解析。
2012-2013学年上学期八年级数学竞赛试卷
2012-2013学年三科竞赛辅导模拟考试（三）八年级数学试卷一、精心填一填（每小题3分，共30分）1、现有四个无理数5，6，7，8，其中在2+1与3+1之间的有 个。
2、函数y=2+x +21-x 的自变量x 的取值范围是 。
3、直线y 1 =kx+b 过第一、二、四象限，则直线y 2 =bx-k 不经过第 象限。
4、已知一次函数y=2x+a 与y=-x+b 的图像都经过A(-2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，则三角形ABC 的面积为 。
5、．如图2-4 ∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA ，PD ⊥OA ，如果PC=4，则PD= 。
6、若22n+1+4n=48，则n 的值为 。
7、若x m=3，x n=6，则x3m-2n= 。
7、若 2008)(,2012)(22=-=+b a b a ，则ab b a ++22的值等于 。
9、若x 3+ax 2+ax+1被x-2除的余数为3，则a 的值等于 。
10、 在△ABC 中，AB=6，AC=8，D 为BC 的中点，则 AD 的取值范围。
二、细心选一选（每小题3分，共24分）11、下面四个命题，其中真命题的是（ ）A.两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等12、如图，在数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则C 点所表示的数是（ ）A.2-1B.1-2C.2-2D.2-213、 已知x 是实数，则πππ1-+-+-x x x 的值是（ ）A.1-π1B.1+π1C.π1-1 D.π114、已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(-4,1)，依次连接这三点，则（ ）A.构成等边三角形B.构成直角三角形C.构成锐角三角形D.三点在同一直线上15、直线y=kx+b 与坐标轴的两个交点分别为A(2,0)和B(0,-3)， 则不等式kx+b+3≥0的解集为（ ）A.x ≥0B.x ≤0C.x ≥2D.x ≤2 16、若a=350，b=440，c=530，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a17、如果x 2+x-1=0，那么代数式x 3+2x 2-7的值为（ ）A.6B.8C.-6D.-818、计算机将信息转换成二进制数来处理。
八年级上学期数学基础知识竞赛试卷
八年级数学基础知识竞赛试卷班级 姓名 考号 选择题（本题共50小题，每题2分，共100分）1、 对于数0，下列说法不正确的是（ ）A ．0是自然数 B.0是正数 C.0是整数 D,0是实数 2、下列各数0， π ，•2.0 ，4，722，39，0.121121112．．．(每两个2之间依次多一个1)中无理数的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3、9的平方根是（ ）A 、-3 B 、3 C 、± 3D 、814、中国月球探测工程的“嫦娥一号”卫星发射升空后飞向月球. 已知地球距离月球表面约为384000千米，那么这个距离用科学记数法（保留三个有效数字）表示应为 A.3.84×410千米 B.3.84×510千米 C.3.84×610千米 D.38.4×410千米5、下列式子中结果为负数的是（ ）A ．│一2│B ．一(－2)C ．－2—1D ．(一2)26、已知⎩⎨⎧==12y x 是方程x －k=y 的解,则k 的值为 ( )A. －1B. －3C. 1D. 37、已知在等腰△ABC 中，∠A=70°，AB=AC ，则∠B 为（ ） A ．70° B ．45° C ．55° D ．65° 8、点P （3，4）关于x 轴对称的点的坐标是 （ ） A ．（－3，4） B ．（ 3，－4） C ．（－3，－4） D ．（4，3） 9、要使根式3-x 有意义,则字母x 的取值范围是（ ） Ａ．3x ≥ Ｂ．3x < Ｃ．3x > Ｄ．3x ≤ 10、如图所示的图案中是轴对称图形的是（▲）11、 一次函数21y x =-的图象经过点 （ ） A ．（0，－1） B ．（2，－1） C ．（1，0）D ．（2，1）12、下列计算中正确．．的是（ ） 39)(±=A 011)(=--B 0)1)((1=--C （D ）1)1(0=-13、如图, 在平行四边形ABCD 中, ∠B=600，AB=5cm ，则下面正确的是（ ）A ．BC=5cm ，∠D=600B ． ∠A=1200, AD=5cm. C ．AD=5cm, ∠A=600D ．∠C=1200, CD=5cm 14、已知分式22x x -+的值是零，那么x 的值是( ) A ．-2B ．0C ．2D ． 2±15、一次课堂练习，小敏同学做了4道因式分解题，你认为做得不够完整的一题是（ ）（A ）)1(23-=-x x x x （B ）222)(2y x y xy x -=+- （C ）)(22y x xy xy y x -=-（D ）))((22y x y x y x +-=-16、下列图形中，不能．．经过折叠围成正方体的是（ ）17、在电影院售出的电影票上“6排5号”，简记为（6，5），那么（3，4）表示（ ）A ．3楼4号B ．4楼3号C ．3排4号D ．4排3号18、把不等式组110x x +⎧⎨-≤⎩>0,的解集表示在数轴上，如图，正确的是（ ）A. B. C . D. 19、如图，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ ）A ．45° B ．55° C ．60° D ．75° 20、方程()()11x x x +=+的根为（ ）A.121,1x x ==-B.120,1x x ==-C.0x =D.3x =- 21、 对于任意实数a 与b ，下列各式中的值一定是负数的是（ ）A.1+-bB.()2b a -- C.22b a +- D.()12+-a22、下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A 地到B 地架设电线，总是尽可能沿着线段AB 架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程. 其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）A. ①②B. ①③C. ③④D. ②④ 23、“银泰”商场于2007年1月份开业，凡持有“银泰贵宾卡”的顾客可享受打折购物，其中一条围巾标价为242元，若以9折出售，商家仍可获利10%，则这条围巾的成本为（ ） A ．178元 B ．188元 C ．198元 D ．208元ABCD第13题图第19题图（A ）（B ） （C ） （D ） -1 -1 -1 -1包装机甲乙丙方差(克2) 20.70 5.21 10.2224、下列名人中：①比尔•盖茨②高斯③刘翔④诺贝尔⑤陈景润⑥陈省身⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（）A．①④⑦ B．②④⑧ C．②⑥⑧ D．②⑤⑥25、适合()aa-=-332的正整数a的值有（）A．1个 B.2个 C.3个 D.4个26、连续两次抛掷一枚硬币，第一次正面朝上，第二次也正面朝上的概率是（）A. 1B..0.5C. 0.75D. 0.2527、温州盛产紫菜. 海欣公司购买了甲、乙、丙三台包装机，同时分装质量为150克的紫菜，从它们各自分装的紫菜中分别随机抽取10盒，测得它们的实际质量的方差如右表所示：根据表中数据，可以认为三台包装机中，包装紫菜质量最稳定的是包装机（） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 甲与丙28、某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，用1小时爬上山顶。
人教版 八年级数学上册 竞赛专题：整式的乘除(含答案)
人教版 八年级数学上册 竞赛专题：整式的乘除（含答案）【例1】（1）若n 为不等式2003006n>的解，则n 的最小正整数的值为 ．（2）已知21x x +=，那么432222019x x x x +--+= ．（3）把26(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++，则121086420a a a a a a a ++++++= ．（4）若543237629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ．解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．【例2】已知252019x=，802019y=，则11x y+等于（ ） A ．2 B ．1 C ．12D ．32解题思路：,x y 为指数，我们无法求出,x y 的值，而11x y x y xy++=，所以只需求出,x y xy +的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．【例3】设,,,a b c d 都是正整数，并且5432,,19a b c d c a ==-=，求d b -的值．（江苏省竞赛试题） 解题思路：设5420326,a b m c d n ====，这样,a b 可用m 的式子表示，,c d 可用n 的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．【例4】已知多项式2223286(2)(2)x xy y x y x y m x y n +--+-=++-+，求3211m n +-的值．解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．【例5】是否存在常数,p q 使得42x px q ++能被225x x ++整除？如果存在，求出,p q 的值，否则请说明理由．解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出,p q 的值，所谓,p q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．【例6】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，求ab的值． （北京市竞赛试题） 解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当2x =-和1x =时，原多项式的值均为0，从而求出,a b 的值．当然本题也有其他解法．能力训练A 级1．（1）24234(0.25)1⨯--= ． （2）若23n a=，则621n a -= ．2．若2530x y +-=，则432xy． 3．满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数为 ．4．,,,a b c d 都是正数，且23452,3,4,5a b c d ====，则,,,a b c d 中，最大的一个是 ． 5．探索规律：133=，个位数是3；239=，个位数是9；3327=，个位数是7；4381=，个位数是1；53243=，个位数是3；63729=，个位数是9；…那么73的个位数字是 ，303的个位数字是 ． 6．已知31416181,27,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．a b c <<D ．b c a >>7．已知554433222,3,5,6a b c d ====，那么,,,a b c d 从小到大的顺序是（ ） A ．a b c d <<< B ．a b d c <<< C ．b a c d <<< D ．a d b c <<<8．若11222,22n n n n x y +--=+=+，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（ ）A ．4x y =B ．4y x =C ．12x y =D ．12y x =9．已知23,26,212,abc===则,,a b c 的关系是（ ） A ．2b a c <+B ．2b a c =+C ．2b a c >+D ．a b c +>10．化简4322(2)2(2)n n n ++-得（ ） A ．1128n +- B ．12n +-C ．78D ．7411．已知2233447,49,133,406ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=， 试求171995()6()2x y xy a b ++-+的值．12．已知2267314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++．试确定,,a b c 的值．13．已知323x kx ++除以3x +，其余数较被1x +除所得的余数少2，求k 的值．B 级1．已知23,45,87,abc===则28a c b+-= ．2．（1）计算：2019201920192019201973153735+⎛⎫⨯ ⎪+⎝⎭= ． （2）如果5555555555555554444666666233322n ++++++++⨯=+++，那么n = ． 3．（1）1615与1333的大小关系是1615 1333（填“＞”“＜”“＝”）．（2）201920193131++与201920203131++的大小关系是：201920193131++ 201920203131++（填“＞”“＜”“＝”）．4．如果210,x x +-=则3223x x ++= ．5．已知55432(2)x ax bx cx dx ex f +=+++++，则164b d f ++= ． 6．已知,,a b c 均为不等于1的正数，且236,a b c -==则abc 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．127．若3210x x x +++=，则27261226271x x x x x x x ---+++++++++的值是（ ）A ．1B ．0C ．—1D ．28．如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（ ） A ．7B ．8C ．15D ．219．已知12320182019,,,,a a a a a 均为正数，又122018232019()()M a a a a a a =++++++，122019232020()()N a a a a a a =++++++，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M N =B ．M N <C ．M N >D ．关系不确定10．满足22(1)1n n n +--=的整数n 有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．411．设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42,ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=求55ax by +的值．12．若,,,x y z w 为整数，且x y z w >>>，52222208xyzw+++=，求2020(1)x y z w +++-的值．13．已知,,a b c 为有理数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除． （1）求4a c +的值； （2）求22a b c --的值；（3）若,,a b c 为整数，且1c a >≥．试比较,,a b c 的大小．参考答案例1(1)(n 2)100＞(63)100，n 2 ＞216，n 的最小值为15．(2)原式＝x 2(x 2＋x )＋x (x 2 ＋x )－2(x 2＋x ) ＋2019＝ x 2＋x －2＋2019＝2018 (3)令x ＝1时，a 12＋a 11＋a 10＋…＋a 2＋a 1＋a 0＝1， ① 令x ＝－1时，a 12 –a 11＋a l 0－…＋n 2－a l ＋a 0 ＝729 ② 由①＋②得：2(a 12＋a l 0＋a 8＋…＋a 2 ＋a 0)＝730． ∴a 12 ＋a 10 ＋a 8 ＋a 6＋a 4 ＋a 2＋a 0 ＝365． (4)所有式子的值为x 3项的系数，故其值为7． 例2 B 提示：25xy ＝2 019y ， ① 80xy ＝2 019x ， ②①×②，得：(25×80)xy ＝2019x ＋y ，得：x ＋ y ＝xy ．例3 设a ＝m 4，b ＝m 5，c ＝n 2，d ＝n 3，由c －a ＝19得，n 2－m 4＝19，即(n ＋m 2) (n －m 2)＝19，因19是质数，n ＋m 2，n －m 2是自然数，且n ＋m 2＞n －m 2，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＋m 2＝19n －m 2＝1，解得n ＝10，m ＝3，所以d －b ＝103－35 ＝757例4 －78提示：由题意知：2x 2＋3xy －2y 2－x ＋8y －6＝2x 2＋3xy －2y 2＋(2m ＋n )x ＋(2n －m )y ＋mn ．∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝－12n －m ＝8mn ＝－6，解得⎩⎨⎧m ＝－2n ＝3，∴m 3＋1n 2－1 ＝－78倒5提示：假设存在满足题设条件的p ，q 值，设(x 4＋px 2＋q )＝(x 2＋2x ＋5)(x 2＋mx ＋n )，即 x 4＋px 2＋q ＝x 4＋(m ＋2)x 3＋(5＋n ＋2m )x 2＋(2n ＋5m )x ＋5n ，得⎩⎨⎧m ＋2＝05＋n ＋2m ＝p 2n ＋5m ＝05n ＝q ，解得⎩⎨⎧m ＝－2n ＝5p ＝6q ＝25，故存在常数p ，q 且p ＝6，q ＝25，使得x 4＋px 2＋q 能被x 2＋2x ＋5整除．例6解法1 ∵x 2＋x －2＝(x ＋2) (x －1)，∴2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b 能被(x ＋2)(x －1)整除，设商是A ． 则2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝A (x ＋2)(x －l )，则x ＝－2和x ＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．当x ＝－2时，2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝32＋24＋4a －14＋b ＝4a ＋b ＋42＝0， ① 当x ＝1时， 2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝2－3＋a ＋7＋b ＝a ＋b ＋6＝0． ② ①－②，得3a ＋36＝0，∴ a ＝－12， ∴ b ＝－6－a ＝6． ∴a b ＝－126＝－2 解法2 列竖式演算，根据整除的意义解2243243232322225(9)22372245(4)75510(9)3(9)(9)2(9)(12)2(9)x x a x x x x ax x bx x x x a x x b x xx a x x ba x a x a a xb a -+++--++++--++++--++-++-+-+--+++∵2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b 能被x 2＋x －2整除，∴⎩⎨⎧－12－a ＝0b ＋2(a ＋9)＝0，即⎩⎨⎧a ＝－12b ＝6，∴a b ＝－2A 级1．(1) －5 (2)53 2．8 3．7 4．6 5．7 9 6．A 7．D 提示：a ＝(25)11，b －(34)11，c ＝(53)11，d ＝(62)11 8．A 9．B 10．C 11．4800 12．a ＝4．b ＝4，c ＝113． 提示：令x 3 ＋kx 2＋3＝(x ＋3) (x 2＋ax ＋6)＋r 1，x 3＋kx 2＋3＝( x ＋1) (x 2＋cx ＋d )＋r 2，令x ＝－3，得r 1＝9k －24．令x ＝－1，得r 2＝k ＋2，由9k －24＋2＝k ＋2， 得k ＝3．B 级1．1891252． (1)949(2)123．(1) ＜ 1516 ＜1615＝264，3 313 ＞3213＝265 ＞264． (2) ＞ 提示：设32 000 ＝x ．4．4 5．512 提示：令x ＝±2． 6．C 提示：由条件得a ＝c －3 ，b ＝c 2 ，abc ＝c －3·c 2·c ＝1 7．C 8．D 9．C 10．D11．由ax 2＋by 2 ＝7，得(ax 2＋by 2)(x ＋y )＝7(x ＋y )，即ax 3－ax 2y ＋bxy 2＋by 3 ＝7(x ＋y )，(ax 3＋by 3)－xy (ax ＋by )－7(x ＋y )． ∴16＋3xy ＝ 7(x ＋y )． ①由ax 3 ＋by 3＝16，得(ax 3＋by 3)(x ＋y ) ＝16(x ＋y )，即ax 4 ＋ax 3 y ＋bxy 3＋by 4 ＝16(x ＋y )，（ax 4＋by 4)＋xy (a 2x ＋b 2y )＝16(x ＋y ）． ∴42＋7xy ＝16(x ＋y ）． ② 由①②可得，x ＋y ＝－14，xy ＝－38．由a 2x ＋b 2y ＝42，得（a 4x ＋b 4y ）（x ＋y ）＝42×（－14）， （a 5x ＋b 5y ）＋xy （a 3x ＋b 3y ）＝－588，55ax by +＋16×（－38）＝－588．故55ax by +＝20． 12． ()20191x y z w +++-＝()201942131+---＝1．13．（1）∵（x －1）（x ＋4)＝2x ＋3x －4， 令x －1＝0，得x ＝1；令x ＋4＝0，得x ＝－4． 当x ＝1时，得1＋a ＋b ＋c ＝0； ① 当x ＝－4时，得－64＋16a －4b ＋c ＝0． ② ②－①，得15a －5b ＝65，即3a －b ＝13． ③ ①＋③，得4a ＋c ＝12．（2）③－①，得2a －2b －c ＝14．（3）∵c ≥a ＞1，4a ＋c ＝12，a ，b ，c 为整数， ∴1＜a ≤125，则a ＝2，c ＝4． 又a ＋b ＋c ＝－1，∴b ＝－7，．∴c ＞a ＞b ．。
人教版八年级数学培优竞赛
目录第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)第4讲等腰三角形(P25----36)第5讲等边三角形(P37----42)第6讲实数(P43----49)第7讲变量与函数(P50----54)第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68) 第10讲一次函数的应用(P69----80)第11讲幂的运算（P81----86)第12讲整式的乘除((P87----93)第13讲因式分解及其应用(P94----100)第14讲分式的概念•性质与运算(P101----108) 第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138) 第18讲反比例函数的应用(P139----146)第19讲勾股定理(P147-----157)第20讲平行四边形(P158-----166)第21讲菱形矩形(P167-----178)第22讲正方形(P179-----189)第23讲梯形(P190-----198)第24讲数据的分析(P199-----209)模拟测试一模拟测试二模拟测试三B AC D EF 第01讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等A FC ED B 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE . 【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A E第1题图A BC DE BCDO第2题图A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CFB （E ）OC F 图③DAAFECB D03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠P AD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠P AD ＝90°，∴AP ⊥AQEFB ACDG第2题图21ABCPQE FD【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC第1题图a αcca50° b72° 58°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______. 09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的DA C .Q P.BAA E FB DC 中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长. 13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F ,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么A EB F DC情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下； 已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .F第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFC D 第1题图B第2题图第3题图ABCDA 1B 1C 1D 1AE FC DB AE B DC ⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .ABE D CAB C DE⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
人教版数学八年级上册 全册全套试卷试卷(word版含答案)
人教版数学八年级上册 全册全套试卷试卷（word 版含答案） 一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，动点P 从A 点出发，先以每秒2cm 的速度沿A →C 运动，然后以1cm /s 的速度沿C →B 运动．若设点P 运动的时间是t 秒，那么当t =___________________，△APE 的面积等于6．【答案】1.5或5或9【解析】【分析】分为两种情况讨论：当点P 在AC 上时：当点P 在BC 上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可．【详解】如图1，当点P 在AC 上．∵△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，∴CE =4，AP =2t ．∵△APE 的面积等于6，∴S △APE =12AP •CE =12AP ×4=6．∵AP =3，∴t =1.5． 如图2，当点P 在BC 上．则t ＞3∵E 是DC 的中点，∴BE =CE =4． ∵PE ()43=7-PE t t =-- ，∴S =12EP •AC =12•EP ×6=6，∴EP =2，∴t =5或t =9． 总上所述，当t =1.5或5或9时，△APE 的面积会等于6．故答案为1.5或5或9．【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．2．若△ABC 三条边长为a ，b ，c ，化简：|a -b -c |-|a +c -b |=__________．【答案】2b-2a【解析】【分析】【详解】根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，∴原式=﹣(a﹣b﹣c)﹣(a+c﹣b)=﹣a+b+c﹣a﹣c+b=2b﹣2a．故答案为2b﹣2a【点睛】本题考查了绝对值得化简和三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，据此解答即可.3．直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_______．【答案】30°【解析】【分析】设较小的锐角是x,然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可.【详解】设较小的锐角是x，则另一个锐角是2x，由题意得，x＋2x＝90°，解得x＝30°，即此三角形中最小的角是30°.故答案为：30°.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.4．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________度．【答案】360 °【解析】如图所示，根据三角形外角的性质可得，∠1+∠5=∠8，∠4+∠6=∠7，根据四边形的内角和为360°，可得∠2+∠3+∠7+∠8=360°，即可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.点睛：本题考查的知识点：（1）三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和； （2）四边形内角和定理：四边形内角和为360°．5．将直角三角形（ACB ∠为直角）沿线段CD 折叠使B 落在B '处，若50ACB '︒∠=，则ACD ∠度数为________.【答案】20°.【解析】【分析】根据翻折的性质可知：∠BCD=∠B′CD ，又∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+50°=140°，继而即可求出∠BCD 的值，又∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，继而即可求出∠ACD 的度数．【详解】解：∵△B′CD 时由△BCD 翻折得到的，∴∠BCD=∠B′CD ，又∵∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+50°=140°，∴∠BCD=70°，又∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，∴∠ACD=20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查翻折变换的知识，难度适中，解题关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．∠__________．6．如图，五边形ABCDE的每一个内角都相等，则外角CBF=【答案】72︒【解析】【分析】多边形的外角和等于360度，依此列出算式计算即可求解．【详解】360°÷5=72°．故外角∠CBF等于72°．故答案为：72︒．【点睛】此题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形的外角和等于360度的知识点．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，三角形ABC中，AB=AC，D，E分别为边AB，AC上的点，DM平分∠BDE，EN平分∠DEC，若∠DMN=110°，则∠DEA=（）A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】A【解析】【分析】由等腰三角形的性质得到∠B=∠C，由角平分线的定义得到∠BDM=∠EDM，∠CEN=∠DEN，根据外角的性质得∠B=∠DMN－∠BDM，∠C=∠ENM－∠CEN，整理可得∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM，再根据四边形的内角和可得∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM=180°，则∠DEN=70°，故∠DEA=40°．【详解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵DM平分∠BDE，EN平分∠DEC，∴∠BDM=∠EDM，∠CEN=∠DEN，∵∠B=∠DMN－∠BDM=∠DMN－∠EDM，∠C=∠ENM－∠CEN=∠ENM－∠DEN，∴∠DMN－∠EDM=∠ENM－∠DEN，即∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM，∵四边形DMNE内角和为360°，∴∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM=180°，∴∠DEN=70°，则∠DEA=180°－2∠DEN=40°.故选A．的度数8．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则3等于（）A．50°B．30°C．20°D．15°【答案】C【解析】【分析】根据平行和三角形外角性质可得∠2=∠4=∠1+∠3，代入数据即可求∠3．【详解】如图所示，∵AB∥CD∴∠2=∠4=∠1+∠3=50°，∴∠3=∠4-30°=20°，故选C.9．一正多边形的内角和与外角和的和是1440°，则该正多边形是（）A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形【答案】C【解析】【分析】依题意，多边形的内角与外角和为1440°，多边形的外角和为360°，根据内角和公式求出多边形的边数．【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，（n﹣2）•180°+360°＝1440°，n﹣2＝6，n＝8．故这个多边形的边数为8．故选：C．【点睛】考查了多边形的外角和定理和内角和定理，熟练记忆多边形的内角和公式是解答本题的关键．10．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 【答案】D【解析】【详解】A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．故选D．11．如图，在△ABC中，过点A作射线AD∥BC，点D不与点A重合，且AD≠BC，连结BD 交AC于点O，连结CD，设△ABO、△ADO、△CDO和△BCO的面积分别为和,则下列说法不正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据同底等高判断△ABD 和△ACD 的面积相等，即可得到，即，同理可得△ABC 和△BCD 的面积相等，即. 【详解】 ∵△ABD 和△ACD 同底等高，,， 即△ABC 和△DBC 同底等高， ∴∴故A,B,C 正确，D 错误.故选：D.【点睛】考查三角形的面积，掌握同底等高的三角形面积相等是解题的关键.12．如图，把三角形纸片ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 外部时，则∠A 与∠1、∠2之间的数量关系是（ ）A ．212A ∠=∠-∠B ．32(12)A ∠=∠-∠C ．3212A ∠=∠-∠D ．12A ∠=∠-∠【答案】A【解析】【分析】 根据折叠的性质可得∠A′=∠A ，根据平角等于180°用∠1表示出∠ADA′，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠2与∠A′表示出∠3，然后利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【详解】如图所示：∵△A′DE 是△ADE 沿DE 折叠得到，∴∠A′=∠A ，又∵∠ADA′=180°-∠1，∠3=∠A′+∠2，∵∠A+∠ADA′+∠3=180°，即∠A+180°-∠1+∠A′+∠2=180°，整理得，2∠A=∠1-∠2．故选A.【点睛】考查了三角形的内角和定理以及折叠的性质，根据折叠的性质，平角的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，把∠1、∠2、∠A 转化到同一个三角形中是解题的关键．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cm AC ，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.【答案】235或7或8 【解析】【分析】易证∠MEC ＝∠CFN ，∠MCE ＝∠CNF ．只需MC ＝NC ，就可得到△MEC 与△CFN 全等，然后只需根据点M 和点N 不同位置进行分类讨论即可解决问题．【详解】①当0≤t ＜4时，点M 在AC 上，点N 在BC 上，如图①，此时有AM＝2t，BN＝3t，AC＝8，BC＝15．当MC＝NC即8−2t＝15−3t时全等，解得t＝7，不合题意舍去；②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②，若MC＝NC，则点M与点N重合，即2t−8＝15−3t，解得t＝235；当5≤t＜233时，点M在BC上，点N在AC上，如图③，当MC＝NC即2t−8＝3t−15时全等，解得t＝7；④当233≤t＜232时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，当MC＝NC即2t−8＝8，解得t＝8；综上所述：当t等于235或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．故答案为：235或7或8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题．14．如图，△ABE，△BCD均为等边三角形，点A，B，C在同一条直线上，连接AD，EC，AD与EB相交于点M，BD与EC相交于点N，下列说法正确的有：___________①AD=EC；②BM=BN；③MN∥AC；④EM=MB．【答案】①②③【解析】∵△ABE，△BCD均为等边三角形，∴AB=BE，BC=BD，∠ABE=∠CBD=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中AB BEABD EBCBD BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△EBC(SAS)，∴AD=EC，故①正确；∴∠DAB=∠BEC，又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，∴∠EBD=60°，在△ABM和△EBN中MAB NEBAB BEABE EBN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABM≌△EBN(ASA)，∴BM=BN，故②正确；∴△BMN为等边三角形，∴∠NMB=∠ABM=60°，∴MN∥AC，故③正确；若EM=MB，则AM平分∠EAB，则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件，故④不正确；综上可知正确的有①②③，故答案为①②③.点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、AAS 、ASA 和HL ）和性质（即全等三角形的对应边相等，对应角相等）.15．如图，52A ∠=︒，O 是ABC ∠、ACB ∠的角平分线交点，P 是ABC ∠、ACB ∠外角平分线交点，则BOC ∠=______︒，BPC ∠=_____︒，联结AP ，则PAB ∠=______︒，点O ____（选填“在”、“不在”或“不一定在”）直线AP 上．【答案】116 64 26 在【解析】【分析】∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）, ∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ），据此可求∠BOC 的度数；∠BCP= 12∠BCE= 12（∠A+∠ABC ），∠PBC= 12∠CBF= 12（∠A+∠ACB ），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC ，据此可求∠BPC 的度数；作PG ⊥AB 于G ，PH ⊥AC 于H ，PK ⊥BC 于K ，利用角平分线的性质定理可证明PG=PH ，于是可证得AP 平分∠BAC ，据此可求∠PAB 的度数；同理可证OA 平分∠BAC ，故点O 在直线AP 上．【详解】解：∵O 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ） = 12（180°-∠A ） =90°- 12∠A ， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ） =180°-90°+12∠A=90°+ 12∠A=90°+26°=116°；如图，∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，∴∠BCP= 12∠BCE=12（∠A+∠ABC），∠PBC= 12∠CBF=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC=180°- 12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]=180°- 12（∠A+180°）=90°- 12∠A=90°-26°=64°．如图，作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，连接AP，∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，PG⊥AB，PH⊥AC，PK⊥BC，∴PG=PK，PK=PH，∴PG=PH，∴AP平分∠BAC，∴PAB∠=26°同理可证OA平分∠BAC，点O在直线AP上．故答案是：(1) 116 ；(2) 64；(3) 26；(4) 在.【点睛】此题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理及三角形内角和定理，熟知定理并正确作出辅助线是解题关键．16．如图：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC边上的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：①AE=CF；②EF=AP；③2S四边形AEPF=S△ABC；④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合）有BE+CF=EF；上述结论中始终正确的序号有__________．【答案】①③【解析】【分析】根据题意，容易证明△AEP≌△CFP，然后能推理得到①③都是正确．【详解】∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，∴∠EAP=12∠BAC=45°，AP=12BC=CP．①在△AEP与△CFP中，∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，∴△AEP≌△CFP，∴AE=CF．正确；②只有当F在AC中点时EF=AP，故不能得出EF=AP，错误；③∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=12S△ABC，即2S四边形AEPF=S△ABC；正确；④根据等腰直角三角形的性质，2PE，所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，2PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故④错误；故答案为：①③．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，证得△AEP和△CFP 全等是解题的关键，也是本题的突破点．17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°， AB=AC=22，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，则DE=__________．【答案】53【解析】分析：根据等腰直角三角形的性质得45B ACB∠=∠=，把△ABD绕点A逆时针旋转90得到△ACF,连接,EF如图，根据旋转的性质得,,AD AF BAD CAF=∠=∠45,ABD ACF∠=∠=接着证明45,EAF∠=然后根据“SAS”可判断△ADE≌△AFE，得到DE=FE，由于90ECF ACB ACF∠=∠+∠=，根据勾股定理得222CE CF EF+=，设,DE EF x==则3CE x=-，则()22231,x x-+=由此即可解决问题．详解：90BAC AB AC∠==，，∴45B ACB∠=∠=，把△ABD绕点A逆时针旋转90得到△ACF,连接,EF如图,则△ABD≌△ACF,,,45,AD AF BAD CAF ABD ACF=∠=∠∠=∠=∵45DAE∠=，∴45BAD CAE∠+∠=，∴45,CAF CAE∠+∠=即45,EAF∠=∴∠EAD=∠EAF，在△ADE和△AFE中AE AEEAD EAFAD AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△AFE，∴DE=FE，∵90ECFACB ACF ∠=∠+∠=，∴222CE CF EF +=，Rt △ABC 中，∵22AB AC ==，∴224BC AB AC =+=，∵1BD =，设,DE EF x == 则3CE x =-，则有()22231,x x -+=解得：5.3x =∴5.3DE = 故答案为5.3点睛：本题属于全等三角形的综合题，涉及三角形旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大.18．如图：△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD ，CE ⊥CD ，且CE=CD ，连接BD ，DE ，BE ，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC ；③AD ⊥BE ；其中正确的是_________【答案】①②③【解析】如图，（1）∵AC=AD ，∠CAD=30°，∴∠ACD=∠ADC=18030752-=， ∵CE ⊥DC ，∴∠DCE=90°，∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=165°.故①正确；（2）由（1）可知：∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE-∠DCB=∠DCE-∠DCB ，即∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△BCE ，∴BE=AD=BC.故②正确；（3）延长AD 交BE 于点F ，∵△ACD ≌△BCE ，∴∠2=∠CAD=30°，∵AC=BC ，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠3=45°，∴∠1=∠CAB-∠CAD=15°，∴∠AFB=180°-∠1-∠2-∠3=90°，∴AD ⊥BE.故③正确；综上所述：正确的结论是①②③.四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．下列两个三角形中,一定全等的是( )A．两个等边三角形B．有一个角是40︒,腰相等的两个等腰三角形C．有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形D．有一个角是100︒,底相等的两个等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质对各个选项进行分析,从而得到答案．【详解】解：A、当两个等边三角形的对应边不相等时,这两个等边三角形也不会全等，故本选项错误；B、当该角不是对应角时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；C、当两个等腰三角形的对应边与对应角不相等时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；D、等腰三角形的100°角只能是顶角,则两个底角是40°,它们对应相等，所以由全等三角形的判定定理ASA或AAS证得它们全等，故本选项正确；故选D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角．20．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】D【解析】分析：根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．详解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）=45°，∴∠APB=135°，故①正确．∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．在△APH和△FPD中，∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，∴△APH≌△FPD，∴PH=PD，故③正确．∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，∴点P到BC、AC的距离相等，∴点P在∠ACB的平分线上，∴CP平分∠ACB，故④正确．故选D．点睛：本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．21．如图，已知 AD 为△ABC 的高线，AD=BC ，以 AB 为底边作等腰 Rt △ABE ，连接 ED ， EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①△ADE ≌△BCE ；②CE ⊥DE ；③BD=AF ；④S △BDE =S △ACE ，其中正确的有（）A ．①③B ．①②④C ．①②③④D ．②③④【答案】C【解析】【分析】 ①易证∠CBE=∠DAE ，即可求证：△ADE ≌△BCE ；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB ，即可求得∠AED=∠BEG ，即可解题；③证明△AEF ≌△BED 即可；④易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE=EF ，S △AEF =S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE =S △ACE ，所以S △BDE =S △ACE ．【详解】∵AD 为△ABC 的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE ，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE ，在△DAE 和△CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；故①正确；②∵△ADE ≌△BCE ，∴∠EDA=∠ECB ，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，∴∠BDE=∠AFE ，∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF ，在△AEF 和△BED 中，BDE AFE BED AEF AE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴BD=AF ；故③正确；④∵AD=BC ，BD=AF ，∴CD=DF ，∵AD ⊥BC ，∴△FDC 是等腰直角三角形，∵DE ⊥CE ，∴EF=CE ，∴S △AEF =S △ACE ，∵△AEF ≌△BED ，∴S △AEF =S △BED ，∴S △BDE =S △ACE ．故④正确；综上①②③④都正确，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE ≌△CDE 是解题的关键．22．如图，等腰直角△ABC 中，∠BAC=90︒，AD ⊥BC 于D ，∠ABC 的平分线分别交AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，延长AM 交BC 于点N ，连接DM ．下列结论：①AE=AF ；②AM ⊥EF ；③AF=DF ；④DF=DN ，其中正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】试题解析：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠CAD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，∴AF=AE，故①正确；∵M为EF的中点，∴AM⊥EF，故②正确；过点F作FH⊥AB于点H，∵BE平分∠ABC，且AD⊥BC，∴FD=FH＜FA，故③错误；∵AM⊥EF，∴∠AMF=∠AME=90°，∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，在△FBD和△NAD中{FBD DANBD ADBDF ADN∠∠∠∠＝＝＝∴△FBD≌△NAD，∴DF=DN，故④正确；故选C．23．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，BD AE ⊥于点D ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，连接CD ，给出四个结论:①45ADC ∠=︒;②12BD AE =;③AC CE AB +=;④2AB BC FC -=;其中正确的结论有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】试题解析：如图，过E 作EQ ⊥AB 于Q ，∵∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，∴CE=EQ ，∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵EQ ⊥AB ，∴∠EQA=∠EQB=90°，由勾股定理得：AC=AQ ，∴∠QEB=45°=∠CBA ，∴EQ=BQ ，∴AB=AQ+BQ=AC+CE ，∴③正确；作∠ACN=∠BCD ，交AD 于N ，∵∠CAD=12∠CAB=22.5°=∠BAD ，∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD ，∴∠DBC=∠CAD ，在△ACN 和△BCD 中，DBC CAD AC BCACN DCB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ACN ≌△BCD ，∴CN=CD ，AN=BD ，∵∠ACN+∠NCE=90°，∴∠NCB+∠BCD=90°，∴∠CND=∠CDA=45°，∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN ，∴AN=CN ，∴∠NCE=∠AEC=67.5°，∴CN=NE ，∴CD=AN=EN=12AE ， ∵AN=BD ，∴BD=12AE ， ∴①正确，②正确；过D 作DH ⊥AB 于H ，∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，∴∠FCD=∠DBA ，∵AE 平分∠CAB ，DF ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DF=DH ，在△DCF 和△DBH 中90F DHB FCD DBA DF DH ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∴△DCF ≌△DBH ，∴BH=CF ，由勾股定理得：AF=AH ， ∴2,2AC AB AC AH BH AC AM CM AC AF CF AF AF AF AM AF AF+++++++====， ∴AC+AB=2AF ，AC+AB=2AC+2CF ，AB-AC=2CF ，∵AC=CB，∴AB-CB=2CF，∴④正确．故选D24．如右图，在△ABC中，点Q，P分别是边AC，BC上的点，AQ=PQ，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，且PR=PS，下面四个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③BP=QP；④QP∥AB．其中一定正确的是( )A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【答案】C【解析】试题解析：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，即AP平分∠BAC，故①正确；∴∠PAR=∠PAQ，∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠APQ=∠PAR，QP AB∴，故④正确；在△APR与△APS中,AP AP PR PS=⎧⎨=⎩，(HL)APR APS∴≌，∴AR=AS，故②正确；△BPR和△QSP只能知道PR=PS,∠BRP=∠QSP=90∘，其他条件不容易得到，所以，不一定全等.故③错误.故选C.五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为_____．【答案】30°或150°或90°【解析】试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为30°或150°或90°．点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 26．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________．【答案】5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可．【详解】有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=；∴D （0，5）；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4，∴P （0，4）；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-，∴OC ＝54， ∴C （0，54）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．27．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出下列四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③EF=AB；④12ABCAEPFS S∆=四边形，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).【答案】①②④【解析】试题分析：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，∴∠APE=∠CPF，∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∴AP=CP，∴∠PAE=∠PCF，在△APE与△CPF中，{?PAE PCFAP CPEPA FPC∠=∠=∠=∠，∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=12S△ABC，①②④正确；而AP=12BC，当EF不是△ABC的中位线时，则EF不等于BC的一半，EF=AP，∴故③不成立．故始终正确的是①②④．故选D．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．28．如图，在△ABC 中，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，若∠BAC=126°，则∠EAD=_____°.【答案】72°【解析】【分析】根据AB 的中垂线可得BAD ∠，再根据AC 的中垂线可得EAC ∠，再结合∠BAC=126°即可计算出∠EAD .【详解】根据AB 的中垂线可得BAD ∠=B根据AC 的中垂线可得EAC ∠=C ∠18012654B C ︒︒︒∠+∠=-=又 126BAD DAE EAC BAC ︒∠+∠+∠=∠=+C+126B DAE ︒∴∠∠∠=72DAE ︒∴∠=【点睛】本题主要考查中垂线的性质，重点在于等量替换表示角度.29．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论：①EF BE CF =+；②点O 到ABC ∆各边的距离相等；③1902BOC A ∠=+∠；④设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn ∆=；⑤1()2AD AB AC BC =+-.其中正确的结论是.__________．【答案】①②③⑤【解析】【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③∠BOC=90°+12∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=12mn，故④错误，根据HL证明△AMO≌△ADO得到AM=AD，同理可证BM=BN，CD=CN，变形即可得到⑤正确．【详解】∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°﹣12∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A；故③正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF．∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA．∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE•OM+12AF•OD=12OD•（AE+AF）=12mn；故④错误；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；∵AO=AO，MO=DO，∴△AMO≌△ADO（HL），∴AM=AD；同理可证：BM=BN，CD=CN．∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=12（AB+AC﹣BC）故⑤正确．故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．30．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．【答案】9 2【解析】【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【详解】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD ＝DH ，∵DC ＝CA ，∴∠CDA ＝∠CAD ，∵∠CAD ＋∠H ＝90°，∠CDA ＋∠CDH ＝90°，∴∠CDH ＝∠H ，∴CD ＝CH ＝AC ，∵AE ＝EC ，∴S △ABE ＝14S △ABH ，S △CDH ＝14S △ABH ， ∵S △OBD −S △AOE ＝S △ADB −S △ABE ＝S △ADH −S △CDH ＝S △ACD ，∵AC ＝CD ＝3，∴当DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大，最大面积为12×3×3＝92． 故填：92． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】 以O 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴有两交点，这两点显然符合题意．以A 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴交与两点（O 点除外）．以OA 中点为圆心OA 长一半为半径作圆与x 轴有一交点．共4个点符合，32．如图,ABC ∆中,3AC DC ==，BD 垂直BAC ∠的角平分线于D ,E 为AC 的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )A．1.5 B．3 C．4.5 D．9【答案】C【解析】【分析】首先证明两个阴影部分面积之差=S△ADC，然后由DC⊥AC时，△ACD的面积最大求出结论即可．【详解】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB=∠ADH=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°．∵∠BAD=∠HAD，∴∠ABD=∠H，∴AB=AH．∵AD⊥BH，∴BD=DH．∵DC=CA，∴∠CDA=∠CAD．∵∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°，∴∠CDH=∠H，∴CD=CH=AC．∵BD=DH，AC=CH，∴S△CDH=12S△ADH14=S△ABH．∵AE=EC，∴S△ABE14=S△ABH，∴S△CDH=S△ABE．∵S△OBD﹣S△AOE=S△ADB﹣S△ABE=S△ADH﹣S△CDH=S△ACD．∵AC=CD=3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12⨯3×392=．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．33．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A （3，﹣52）和B （3，﹣112）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C （﹣2，﹣9），则C 点对称点的坐标是（ ）A ．（﹣2，1）B ．（﹣2，﹣32）C ．（﹣32，﹣9） D ．（﹣2，﹣1） 【答案】A【解析】【分析】 先利用点A 和点B 的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C 关于直线y=-4的对称点即可．【详解】解：∵A （3，﹣52）和B （3，﹣112）是图形上的一对对称点， ∴点A 与点B 关于直线y ＝﹣4对称， ∴点C （﹣2，﹣9）关于直线y ＝﹣4的对称点的坐标为（﹣2，1）．故选：A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m 对称，则两点的纵坐标相同，横坐标和为2m ；关于直线y=n 对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和为2n ．34．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，且∠ABC ＝60°，D 为△ABC 内一点 ，且DA ＝DB ，E 为△ABC 外一点，BE ＝AB ，且∠EBD ＝∠CBD ，连DE ，CE. 下列结论：①∠DAC ＝∠DBC ；②BE ⊥AC ；③∠DEB ＝30°. 其中正确的是（ ）A ．①...B ．①③...C ．② ...D ．①②③【答案】B【解析】【分析】 连接DC,证ACD BCD DAC DBC ∠∠≅=得出①，再证BED BCD ≅，得出BED BCD 30∠∠==︒;其它两个条件运用假设成立推出答案即可.【详解】解：证明：连接DC ，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ACB=60°，∵DB=DA，DC=DC，在△ACD与△BCD中，AB BC DB DA DC DC=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△ACD≌△BCD （SSS），由此得出结论①正确；∴∠BCD=∠ACD=130 2ACB∠=︒∵BE=AB，∴BE=BC，∵∠DBE=∠DBC，BD=BD，在△BED与△BCD中，BE BCDBE DBCBD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BED≌△BCD （SAS），∴∠DEB=∠BCD=30°．由此得出结论③正确；∵EC∥AD，∴∠DAC=∠ECA，∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1，∵BE=BA，∴BE=BC，∴∠BCE=∠BEC=60°+∠1，在△BCE中三角和为180°，∴2∠1+2（60°+∠1）=180°∴∠1=15°，∴∠CBE=30，这时BE是AC边上的中垂线，结论②才正确．因此若要结论②正确，需要添加条件EC∥AD.故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点主要是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，通过已知条件作出恰当的辅助线是解题的关键点.35．如图，四边形ABCD 中，∠C=，∠B=∠D=，E ，F 分别是BC ，DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】【详解】作点A 关于直线BC 和直线CD 的对称点G 和H ，连接GH ，交BC 、CD 于点E 、F ，连接AE 、AF ，则此时△AEF 的周长最小，由四边形的内角和为360°可知，∠BAD=360°-90°-90°-50°=130°，即∠1+∠2+∠3=130°①，由作图可知，∠1=∠G ，∠3=∠H ，△AGH 的内角和为180°，则2（∠1+∠3）+ ∠2=180°②，又①②联立方程组，解得∠2=80°．故选D ．考点：轴对称的应用；路径最短问题．36．如图，ABC △，AB AC =，56BAC ︒∠=，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与O 点恰好重合，则∠OEC 的度数为（ ）A ．132︒B ．130︒C ．112︒D ．110︒【答案】C【解析】【分析】 连接OB 、OC ，根据角平分线的定义求出∠BAO ，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB ，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO ，再求出∠OBC ，然后判断出点O 是△ABC 的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC ，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC ，根据翻折的性质可得OE=CE ，然后根据等边对等角求出∠COE ，再利用三角形内角和定理列式计算即可得出答案.【详解】如图，连接OB 、OC ，∵56BAC ︒∠=，AO 为BAC ∠的平分线∴11562822BAO BAC ︒︒∠=∠=⨯= 又∵AB AC =，∴()()11180180566222ABC BAC ︒︒︒︒∠=-∠=-= ∵DO 是AB 的垂直平分线， ∴OA OB =．∴28ABO BAO ︒∠=∠=，∴622834OBC ABC ABO ︒︒︒∠=∠-∠=-=∵DO 是AB 的垂直平分线，AO 为BAC ∠的平分线∴点О是ABC △的外心，∴OB OC =，∴34OCB OBC ︒∠=∠=，∵将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合∴OE CE =，∴34COE OCB ︒∠=∠=，在OCE △中，1801803434112OEC COE OCB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，做辅助线。
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2002年江苏省初二数学竞赛试题
第一试
一、选择题（每小题7分，共56分）以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内。
1.a 、b 、c 是正整数，a>b ，且27a ab ac bc --+=，则a c -等于（ ）
A.1-
B. 1-或7-
C.1
D.1或7
2.用数码2、4、5、7组成的四位数中，每个数码只出现一次。
将所有这些四位数从小到大排列，则排在第13个的四位数是（ ）
A.4527
B.5247
C.5742
D.7245
3.1989年我国的GDP （国民生产总值）只相当于英国的53.5%，目前已相当于英国的81%。
如果英国目前的GDP 是1989年的m 倍，那么我国目前的GDP 约为1989年的（ ）
A.1.5倍
B.1.5m 倍
C.27.5倍
D.m 倍
4.若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 值有（ ） A.3个 B.4个 C.6个 D.8个
5.已知a 为整数，关于x 的方程2
200a x -=的根是质数，且满足27ax a ->，则a 等于（ ）
A.2
B.2或5
C.±2
D.－2
6.如图，已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A ＝30°，在直线BC 或AC
上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ）
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
7.边长分别是3、5、8的三个正方体被粘合在一起，在这些用各种方式粘合在一起的立体中，表面积最小的那个立体的表面积是
（ ）
A.570
B.502
C.530
D.538
8.在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB ＞AD ，下列结论中正确的是（ ）
A.AB-AD ＞CB-CD
B.AB-AD ＝CB-CD
C. AB-AD ＜CB-CD
D. AB-AD 与CB-CD 的大小关系不确定 二、填空题（每小题7分，共84分）
9.多项式22687x y x y +-++的最小值为＿＿＿＿.
10.已知111a b -=，则2a ab b a ab b
+---的值等于＿＿＿＿＿＿. 11.如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图
所示，单位是mm ，则该主板的周长为＿＿＿＿mm.
12.某学校建了一个无盖的长方体水箱，现在用一个半径为r
的圆形砂轮打磨内壁和箱底，则砂轮磨不到的部分的面积为＿＿
＿.
13.α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，
在计算()115
αβγ++的值时，有三个同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果，其中确有一个是正确的答案，则α+β+γ＝＿＿＿＿＿.
14.设a 为常数，多项式321x ax ++除以2
1x -所得的余式为3x +，则a ＝＿＿＿.
15.在△ABC 中，高BD 和CE 所在直线相交于O 点，若△ABC 不是直角三角形，且∠A ＝60°，则∠BOC ＝＿＿＿＿度.
16.小王的学校举行了一次年级考试，考了若干门课程，后加试了一门，小王考得98分，这时小王的平均成绩比最初的平均成绩提高了1分。
后来又加试了一门，小王考得70分，这时小王的平均成绩比最初的平均成绩下降了1分，则小王共考了（含加试的两门）＿＿＿门课程，最后平均成绩为＿＿＿分. 第6题图C B A D 第8题图
C B A
17.已知0a b c ++=，a b c >>，则c a
的范围是＿＿＿＿＿＿＿. 18.计算器上有一个倒数键1/x ，能求出输入的不为零的数的倒数（注：有时需先按
shift 或2nd 键，才能实现此功能，下面不再说明）。
例如，输入2，按下键1/x ，则得0.5. 现在计算器上输入某数，再依下列顺序按键：1/x -1=1/x -1=，在显示屏上的结果是－0.75，则原来输入的某数是＿＿＿＿＿.
19.有A 、B 、C 三种不同型号的电池，它们的价格各不相同，有一笔钱可买A 型4只，B 型18只，C 型16只；或A 型2只，B 型15只，C 型24只；或A 型6只，B 型12只，C 型20只. 如果将这笔钱全部
用来购买C 型号的电池，则能买＿＿＿＿只.
20.如图，已知五边形ABCDE 中，∠ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD
＝AE ＝BC+DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为＿＿＿＿.
参考答案：
一、DBBB DCBA
二、9.-18 10.0 11.96 12.()234r π- 13.345° 14.2
15.120°或60° 16.10，88 17.122c a -<<- 18.0.2 19.48 20.4 E D 第20题图C B A。