福建福州中考数学试题及答案(含答案)
福建省福州市屏东、延安、十六中联考2024-2025学年上学期九年级期中考数学试卷(含答案)
2024-2025学年第一学期期中考试九年级数学试题（满分150分，完卷时间120分钟）班级______姓名______成绩______一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.2.用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ）A. B. C. D.3.如图，在中，，则等于（ ）A. B. C. D.4.抛物线与轴的交点是（ ）A. B. C. D.5.正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ）A.4B.6C.8D.126.如图，将绕点逆时针旋转，得到.若点在线段的延长线上，则的度数为（ ）A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标为（ ）A. B.或C.或 D.2450x x --=()221x +=()221x -=()229x +=()229x -=O e 60ABC ∠=︒AOC ∠30︒60︒120︒150︒223y x =+y ()0,5()0,3()0,2()2,145︒ABC △A 100︒ADE △D BC B ∠30︒40︒50︒60︒ABC △()4,2A ()2,0B ()0,0C O 12A B C '''△A '()2,1()1,2()1,2--()2,1()2,1--()1,2--8.如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（ ）A. B. C. D.9.已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误是（ ）01230343A.开口向下 B.顶点坐标为C.当时，随的增大而减小D.10.如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最小值是（ ）.A. B.1D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则______.12.已知关于的一元二次方程有一个根为，则______.13.如图，在中，分别交、于点、；若，，，则的长为______.14.如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为______.ABCD □E CD AE BD AE BD F :4:25DEF ABF S S =△△:DF BF 2:52:33:53:22y ax bx c =++y x x1-y m()1,41x <y x 0m =ABCD 8AB =6AD =C C e BD P C e AP BD T AT PT3512()1,A a (),2B b -a b +=x 20x x m -+=2-m =ABC △MN BC ∥AB AC M N 1AM =2MB =9BC =MN ABCD O e 100A ∠=︒DCE ∠15.若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是______.（结果保留）16.关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②③；④，其中正确结论的结论是______.三、解答题（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题8分）用适当的方法解下列方程：（1）（2）18.（本小题8分）已知是关于的一元二次方程，求证：方程总有两个不相等的实数根.19.（本小题8分）为了测量水平地面上一棵直立大树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端相距8米的点处，然后沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得米，观察者目高米，求树的高度.20.（本小题8分）如图1、图2，，均是等腰直角三角形，，（1）在图1中，求证：；（2）若绕点顺时针旋转一定角度后如图2所示，请问与还相等吗？为什么？图1 图221.（本小题8分）如图，是的直径，过点作的切线，点是射线上的一点，连接，过点作，交于点，连接.8cm 10cm cm πx 2220x mx n ++=y 2220y ny m ++=22m n <()()22112m n -+-≥1221m n -≤-≤2240x x +-=()3284x x x -=-()2310x a x a ++++=x B E BE D A 1.6DE = 1.5CD =AB AOB △COD △90AOB COD ︒∠=∠=AC BD =COD △O AC BD AB O e A O e AC P AC OP B BD OP ∥O e D PD（1）请补全图形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）证明：是的切线.22.（本小题10分）如图，四边形内接于，为的直径，平分，，点在的延长线上，连接.（1）求直径的长；（2）若.23.（本小题10分）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为8米，宽度为16米.现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）.（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；24.（本小题12分）问题背景：如图1，已知，求证：；尝试运用：如图2，在中，点是边上一动点，，且，，，与相交于点，在点运动的过程中，连接，当时，求的长度；拓展创新：如图3，是内一点，，，，，求的长.PD O e ABCD O e BD O e AC BAD ∠CD =E BC DE BD BE =P OM O OM x x ABC ADE ∽△△ABD ACE ∽△△ABC △D BC 90BAC DAE ︒∠=∠=ABC ADE ∠=∠4AB =3AC =AC DE F D CE 12CE CD =DE D ABC △BAD CBD ∠=∠12CD BD =90BDC ∠=︒3AB =AC =AD图1 图2图325.（本小题14分）已知抛物线过点和，与轴交于另一点，顶点为.（1）求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标；（2）如图1，为线段上方的抛物线上一点，，垂足为，轴，垂足为，交于点.当时，求的面积；（3）如图2，与的延长线交于点，在轴上方的抛物线上是否存在点，使若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.图1 图22024-2025学年第一学期期中考试九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）题号12345678910答案A D C B C B C A CD二、填空题（本大题共24分，每小题4分）11.112.13.314.15.16.①③④三、解答题（共8小题，满分86分）17.（1）解：.，，，22y ax ax c =-+()1,0A -()0,3C x B D D E BC EF BC ⊥F EM x ⊥M BC G BG CF =EFG △AC BD H x P OPB AHB ∠=∠P 6-100︒12π2240x x --=1a = 2b =-4c =-.，即，（2）解：或，.18.证明：，故方程总有两个不相等的实数根；19.解：根据题意，易得，则，则，即，解得：，答：树的高度为.20.解：（1）证明：，均是等腰直角三角形，，，，，；（2）答：相等.在图2中，，，，在和中，，，.21.解：（1）答：补全图形如图所示：()()2242414200b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=>1x ∴===11x =+21x =()()3242x x x -=--()()32420x x x -+-=()()3420x x +-=340x +=20x -=12x ∴=243x =-()()()22223411694425140a a a a a a a a ∆=+-⨯⨯+=++--=++=++>90CDE ABE ∠=∠=︒CED AEB∠=∠ABE CDE ∽△△BE AB DE CD =81.6 1.5AB =7.5AB =AB 7.5m AOB △COD △90AOB COD ︒∠=∠=OA OB ∴=OC OD =OA OC OB OD ∴-=-AC BD ∴=90AOB COD ︒∠=∠=DOB COD COB ∠=∠-∠ COA AOB COB ∠=∠-∠DOB COA∴∠=∠DOB △COA △OD OC DOB COA OB OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS DOB COA ∴≌△△BD AC ∴=（2）解：证明：连接，切于，，即，，，，，，在和中，，，，，即，是的半径，是的切线.22.（1）解：如图所示，连接，为的直径，平分，OD PA O e A PA AB ∴⊥90PAO ∠=︒OP BD ∥DBO AOP ∴∠=∠BDO DOP∠=∠OD OB = BDO DBO ∴∠=∠DOP AOP ∴∠=∠AOP △DOP △,AO DO AOP DOP PO PO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS AOP DOP ∴≌△△PDO PAO ∴∠=∠90PAO ︒∠= 90PDO ︒∴∠=OD PD ⊥OD O e PD ∴O e OC BD O e AC BAD ∠，，..，，，即...（2）解：如图所示，设其中小阴影面积为，大阴影面积为，弦与劣弧所形成的面积为，由（1）已知，，，，.，弦弦，劣弧劣弧..为的直径，，，，...23.（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度为16米，现在点为原点，点，顶点，设抛物线的解析式为，把点，点代入得：，90BAD ︒∴∠=11904522BAC DAC BAD ∠=∠=∠=⨯︒=︒OB OD=90COD ︒∴∠=CD = OC OD =222OD CD ∴=228OD =2OD ∴=224BD OD OB ∴=+=+=1S 3S CD CD 2S 90COD ∠=︒45DAC ∠=︒OC OD =4BD =()11180904522BDC COD ︒︒︒∴∠=-∠=⨯=DAC BDC ∠=∠ ∴BC =CD BC =CD 12S S ∴=BD O e CD =90BCD ECD ∴∠=∠=︒BC CD ==BE = CE BE BC ∴=-=-=11622ECD S CE CD ∴=⋅=⨯=△13236ECD S S S S S S ∴=+=+==阴影部分△OM O ∴()16,0M ()8,8P 2y ax bx =+()16,0M ()8,8P 6488256160a b a b +=⎧⎨+=⎩解得抛物线的解析式为，，自变量的取值范围为：.（2）解：当时，，故能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆.24.证明：问题背景：，，，，，，.尝试应用：如图（2），连接，，，，，，，，，，，，，，，182a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴2128y x x =-+16OM = ()16,0M ∴x 016x ≤≤98 2.512x =--=21992072582232y ⎛⎫=-⨯+⨯=> ⎪⎝⎭ABC ADE ∽△△AB AC AD AE∴=BAC DAE ∠=∠BAD DAC DAC CAE ∴∠+∠=∠+∠BAD CAE ∴∠=∠AB AD AC AE=ABD ACE ∴∽△△CE 4AB = 3AC =90BAC ∠=︒5BC ∴===90BAC DAE ∠=∠=︒ ABC ADE ∠=∠ABC ADE ∴∽△△AB AC AD AE∴=43AB AD AC AE ∴==90BAC DAE ︒∠=∠= 90BAD CAE DAC ∴∠=∠=︒-∠BAD CAE ∴∽△△B ACE ∴∠=∠43AB BD AC CE ==设，，，，，，，，，，拓展创新：过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，图3，，，又，，，又，，即，，，，，，∴4BD x =3CE x =54CDx ∴=-90B ACB ︒∠+∠= 90ACE ACB ︒∴∠+∠=90DCE ︒∴∠=12EC DC = 31542x x ∴=-12x ∴=32EC ∴=3CD =DE ∴===A AB D AD M BM 90BAM ADM BDC ︒∴∠=∠=∠=BAD DBC ∠=∠ DAM BCD ∴∠=∠90ADM BDC ︒∠=∠= BDC MDA ∴∽△△BD DC MD DA∴=BDC ADM ∠=∠BDC CDM ADM CDM ∴∠+∠=∠+∠BDM CDA ∠=∠BDM CDA ∴∽△△BM DM BD AC AD DC∴==12CD BD = 2BD CD ∴=2BM AC ∴==2DM AD =，，，（舍去）.25.解：（1）把点，代入中，，解得，，顶点；（2）方法一：如图1，抛物线，令，，或，.设的解析式为，将点，代入，得，解得，..设直线的解析式为，设点的坐标为，将点坐标代入中，得，，联立得.AM ∴===222AD DM AM += 22423AD AD ∴+=AD ∴=()1,0A -()0,3C 22y ax ax c =-+203a a c c ++=⎧⎨=⎩13a c =-⎧⎨=⎩223y x x ∴=-++∴()1,4D 223y x x =-++0y =1x ∴=-3x =()3,0B ∴BC ()0y kx b k =+≠()0,3C ()3,0B 330b k b =⎧⎨+=⎩13k b =-⎧⎨=⎩3y x ∴=-+EF CB ⊥ EF y x b =+E ()2,23m m m -++E y x b =+23b m m =-++23y x m m ∴=-++233y x y x m m =-+⎧⎨=-++⎩.把代入，得，..，即.解得或.点是上方抛物线上的点，（舍去）.点，，，，，；方法二：图1如图所示，过点作、分别垂直，轴，分别交于，点设，由可知，则，则代入二次函数解析式化简的解得，（舍去）则22262m m x m m y ⎧-=⎪⎪∴⎨-++⎪=⎪⎩226,22m m m m F ⎛⎫--++∴ ⎪⎝⎭x m =3y x =-+3y m =-+(),3G m m ∴-+BG CF = 22BG CF ∴=()()2222223322m m m m m m ⎛⎫⎛⎫---+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2m =3m =- E BC 3,m ∴=-∴()2,3E ()1,2F ()2,1G EF ==FG ==112EFG S ∴==△F FR FH y x R H RF m =CF BG =CRF GMB ≌△△RF MB m ==32HM m ∴=-()232EG m =-()23263EM m m m ∴=-+=-()3,63E m m --2760m m -+=11m =26m =1121122EFG S EG FK ∴=⨯⨯=⨯⨯=△（3）如图2，过点作于，点，，.点，点，，联立得，.设，把代入，得，，联立得，，，..设点.过点作轴于点，在轴上作点使得，且点的坐标为.若在和中，，，.A AN HB ⊥N ()1,4D ()3,0B 26BD y x ∴=-+ ()1,0A -()0,3C 33AC y x ∴=+326y x y x =+⎧⎨=-+⎩35245x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩324,55H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭12AN y x b =+()1,0-12b =1122y x ∴=+112226y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩11585x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩118,55N ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭2222211816815555AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22281655HN ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AN HN ∴=45H ∴∠=︒()2,23P n n n -++P PR x ⊥R x S RS PR =45RSP ︒∴∠=S ()233,0n n -++45OPB AHB ︒∠=∠=OPS △OPB △POS POB ∠=∠OSP OPB ∠=∠OPS OBP ∴∽△△...或或（舍去）.，，.OP OS OB OP∴=2OP OB OS ∴=⋅()()()222213333n n n n n ∴++-=⋅-++0n ∴=n =3n =()10,3P∴2P3P。
2022年福建福州中考数学试题及答案
2022年福建福州中考数学试题及答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. －11的相反数是（）A. －11B.111- C.111D. 11【答案】D2. 如图所示的圆柱，其俯视图是（）A. B.C. D.【答案】A3. 5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变，截止2021年底，全省5G终端用户达1397.6万户，数据13 976 000用科学记数法表示为（）A. 31397610⨯ B. 41397.610⨯ C. 71.397610⨯ D.80.1397610⨯【答案】C4. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】A5. 如图，数轴上的点P 表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）A. 2-B. 2C. 5D. π【答案】B 6. 不等式组1030x x ->⎧⎨-≤⎩的解集是（ ）A. 1x >B. 13x <<C. 13x <≤D. 3x ≤【答案】C 7. 化简()223a 的结果是（ ）A. 29aB. 26aC. 49aD. 43a【答案】C8. 2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列，下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图．综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是（ ） A. 1F B. F 6C. 7FD. 10F【答案】D9. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC ，其中AB ＝AC ，27ABC ∠=︒，BC ＝44cm ，则高AD 约为（ ）（参考数据：sin 270.45︒≈，cos270.89︒≈，tan 270.51︒≈）A. 9.90cmB. 11.22cmC. 19.58cmD.22.44cm 【答案】B10. 如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中90ABC ∠=︒，60CAB ∠=︒，AB ＝8，点A 对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC 移动到A B C '''，点A '对应直尺的刻度为0，则四边形ACC A ''的面积是（ ）A. 96B. 963C. 192D.1603【答案】B二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 四边形的外角和等于_______. 【答案】360°．12. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若BC ＝12，则DE 的长为______．【答案】613. 一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是______．【答案】3514. 已知反比例函数ky x=的图象分别位于第二、第四象限，则实数k 的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数） 【答案】-5（答案不唯一 负数即可）15. 推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下： 设任意一个实数为x ，令x m =， 等式两边都乘以x ，得2x mx =．①等式两边都减2m ，得222x m mx m -=-．②等式两边分别分解因式，得()()()x m x m m x m +-=-．③ 等式两边都除以x m -，得x m m +=．④ 等式两边都减m ，得x ＝0.⑤ 所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______． 【答案】④16. 已知抛物线22y x x n =+-与x 轴交于A ，B 两点，抛物线22y x x n =--与x 轴交于C ，D 两点，其中n ＞0，若AD ＝2BC ，则n 的值为______．【答案】8三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：04312022+--．【答案】3【详解】解：原式23113=+--=．18. 如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF ＝EC ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ．求证：∠A ＝∠D ．【答案】见解析【详解】证明：∵BF ＝EC ，∴BF CF EC CF +=+，即BC ＝EF ． 在△ABC 和△DEF 中，AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABC DEF ≌△△， ∴∠A ＝∠D ．19. 先化简，再求值：2111a a a -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭，其中21a =+．【答案】11a -，22． 【详解】解：原式()()111a a a aa+-+=÷()()111a aa a a +=⋅+- 11a =-． 当21a =+时，原式122211==+-． 20. 学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t （单位：h ），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t （单位：h ），按同样的分组方法制成如下扇形统计图，其中A 组为01t ≤<，B 组为12t ≤<，C 组为23t ≤<，D 组为34t ≤<，E 组为45t ≤<，F 组为5t ≥．（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h 的人数．【答案】（1）活动前调查数据的中位数落在C 组；活动后调查数据的中位数落在D 组 （2）1400人 【小问1详解】活动前，一共调查了50名同学，中位数是第25和26个数据的平均数， ∴活动前调查数据的中位数落在C 组；活动后，A 、B 、C 三组的人数为50(6%8%16%)15⨯++=（名），D 组人数为：5030%15⨯=（名），15+15=30（名）活动后一共调查了50名同学，中位数是第25和26个数据的平均数， ∴活动后调查数据的中位数落在D 组； 【小问2详解】一周的课外劳动时间不小于3h 的比例为30%24%16%70%++=，200070%1400⨯=（人）；答：根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h 的人数为1400人．21. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AD BC ∥交⊙O 于点D ，DF AB ∥交BC 于点E ，交⊙O 于点F ，连接AF ，CF ．（1）求证：AC ＝AF ；（2）若⊙O 的半径为3，∠CAF ＝30°，求AC 的长（结果保留π）． 【答案】（1）见解析（2）52π【小问1详解】∵AD BC ∥，DF AB ∥， ∴四边形ABED 是平行四边形， ∴∠B ＝∠D ．又∠AFC ＝∠B ，∠ACF ＝∠D ，∴AFC ACF ∠=∠， ∴AC ＝AF ． 【小问2详解】 连接AO ，CO ．由（1）得∠AFC ＝∠ACF ， 又∵∠CAF ＝30°，∴18030752AFC ︒-︒∠==︒，∴2150AOC AFC ∠=∠=︒．∴AC 的长150351802l ππ⨯⨯==．22. 在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值． 【答案】（1）购买绿萝38盆，吊兰8盆 （2）369元 【小问1详解】设购买绿萝x 盆，购买吊兰y 盆 ∵计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆 ∴46x y +=∵采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，绿萝每盆9元，吊兰每盆6元 ∴96390x y +=得方程组4696390x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程组得388x y =⎧⎨=⎩∵38>2×8，符合题意 ∴购买绿萝38盆，吊兰8盆； 【小问2详解】设购买绿萝x 盆，购买吊兰吊y 盆，总费用为z ∴46x y +=，96z x y =+ ∴4143z y =-∵总费用要低于过390元，绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍 ∴41433902y x y-<⎧⎨≥⎩将46x y =-代入不等式组得4143390462y y y-<⎧⎨-≥⎩∴4683y <≤∴y 的最大值为15∵3414z y =-+为一次函数，随y 值增大而减小 ∴15y =时，z 最小 ∴4631x y =-= ∴96369z x y =+=元故购买两种绿植最少花费为369元． 23. 如图，BD 是矩形ABCD 的对角线．（1）求作⊙A ，使得⊙A 与BD 相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，设BD 与⊙A 相切于点E ，CF ⊥BD ，垂足为F ．若直线CF 与⊙A 相切于点G ，求tan ADB ∠的值．【答案】（1）作图见解析 （2）512- 【小问1详解】解：如图所示，⊙A 即为所求作：【小问2详解】解：根据题意，作出图形如下：设ADB α∠=，⊙A 的半径为r ，∵BD 与⊙A 相切于点E ，CF 与⊙A 相切于点G ， ∴AE ⊥BD ，AG ⊥CG ，即∠AEF ＝∠AGF ＝90°， ∵CF ⊥BD ， ∴∠EFG ＝90°， ∴四边形AEFG 是矩形， 又AE AG r ==， ∴四边形AEFG 是正方形， ∴EF AE r ==，在Rt △AEB 和Rt △DAB 中，90BAE ABD ∠+∠=︒，90ADB ABD ∠+∠=︒， ∴BAE ADB α∠=∠=， 在Rt △ABE 中，tan BAE BEAE∠=，∴tan BE r α=， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB CD ∥，AB ＝CD ，∴ABE CDF ∠=∠，又90AEB CFD ∠=∠=︒， ∴C ABE DF ≌△△， ∴tan BE DF r α==，∴tan DE DF EF r r α=+=+， 在Rt △ADE 中，tan AEADE DE∠=，即tan DE AE α⋅=， ∴()tan tan r r r αα+=，即2tan tan 10αα+-=， ∵tan 0α>， ∴51tan 2α-=，即tan ∠ADB 的值为512-． 24. 已知ABC DEC ≌△△，AB ＝AC ，AB ＞BC ．（1）如图1，CB 平分∠ACD ，求证：四边形ABDC 是菱形；（2）如图2，将（1）中的△CDE 绕点C 逆时针旋转（旋转角小于∠BAC ），BC ，DE 的延长线相交于点F ，用等式表示∠ACE 与∠EFC 之间的数量关系，并证明；（3）如图3，将（1）中的△CDE 绕点C 顺时针旋转（旋转角小于∠ABC ），若BAD BCD ∠=∠，求∠ADB 的度数．【答案】（1）见解析（2）180ACE EFC ∠+∠=︒，见解析 （3）30° 【小问1详解】 ∵ABC DEC ≌△△， ∴AC ＝DC ， ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝DC ， ∵CB 平分∠ACD ，∴ACB DCB ∠=∠，∴ABC DCB ∠=∠，∴AB CD ∥，∴四边形ABDC 是平行四边形，又∵AB ＝AC ，∴四边形ABDC 是菱形；【小问2详解】结论：180ACE EFC ∠+∠=︒．证明：∵ABC DEC ≌△△，∴ABC DEC ∠=∠，∵AB ＝AC ，∴A ABC CB =∠∠，∴ACB DEC ∠=∠，∵180ACB ACF DEC CEF ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACF CEF ∠=∠，∵180CEF ECF EFC ∠+∠+∠=︒，∴180ACF ECF EFC ∠+∠+∠=︒，∴180ACE EFC ∠+∠=︒；【小问3详解】在AD 上取一点M ，使得AM ＝CB ，连接BM ，∵AB ＝CD ，BAD BCD ∠=∠，∴ABM CDB △△≌，∴BM ＝BD ，MBA BDC ∠=∠，∴ADB BMD ∠=∠，∵BMD BAD MBA ∠=∠+∠，∴ADB BCD BDC ∠=∠+∠，设BCD BAD α∠=∠=，BDC β∠=，则ADB αβ∠=+，∵CA ＝CD ，∴2CAD CDA αβ∠=∠=+，∴2BAC CAD BAD β∠=∠-∠=， ∴()1180902ACB BAC β∠=︒-∠=︒-， ∴()90ACD βα∠=︒-+，∵180ACD CAD CDA ∠+∠+∠=︒，∴()()9022180βααβ︒-+++=︒，∴30αβ+=︒，即∠ADB ＝30°．25. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx =+经过A （4，0），B （1，4）两点．P 是抛物线上一点，且在直线AB 的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB 面积是△PAB 面积的2倍，求点P 的坐标；（3）如图，OP 交AB 于点C ，PD BO ∥交AB 于点D ．记△CDP ，△CPB ，△CBO 的面积分别为1S ，2S ，3S ．判断1223S S S S +是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）241633y x x =-+ （2）存在，162,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或（3，4） （3）存在，98【小问1详解】解：（1）将A （4，0），B （1，4）代入2y ax bx =+，得16404a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43163a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以抛物线的解析式为241633y x x =-+．【小问2详解】 设直线AB 的解析式为()0y kx t k =+≠，将A （4，0），B （1，4）代入y kx t =+，得404k t k t +=⎧⎨+=⎩， 解得43163k t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以直线AB 的解析式为41633y x =-+．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，PM 交AB 于点N ．过点B 作BE ⊥PM ，垂足为E ．所以PAB PNB PNA S S S =+△△△1122PN BE PN AM =⨯+⨯()12PN BE AM =⨯+32PN =．因为A （4，0），B （1，4），所以14482OAB S =⨯⨯=△．因为△OAB 的面积是△PAB 面积的2倍， 所以3282PN ⨯=，83PN =． 设()()2416,1433P m m m m -+<<，则()416,33N m m -+． 所以()()2416416833333PN m m m =-+--+=， 即24201683333m m -+-=， 解得12m =，23m =．所以点P 的坐标为162,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或（3，4）． 【小问3详解】PD BO ∥OBC PDC ∴∽CD PD PC BC OB OC∴== 记△CDP ，△CPB ，△CBO 的面积分别为1S ，2S ，3S ．则1223S S CD PC S S BC OC +=+2PD OB = 如图，过点,B P 分别作x 轴的垂线，垂足分别,F E ，PE 交AB 于点Q ，过D 作x 的平行线，交PE 于点G()1,4B ，()1,0F ∴1OF ∴=,PD OB DG OF ∥∥ DPG OBF ∴∽ PDPG DGOB BF OF ∴==， 设()()2416,1433P m m m m -+<< 直线AB 的解析式为41633y x =-+． 设()416,33D n n -+，则416,33G m n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭24164163333PG m m n =-++- ()24443m m n =--+ DG m n =-24(44)341m m n m n+∴---=整理得244n m m =-+ ∴1223S S CD PC S S BCOC +=+2PDOB =2DGOF =()2m n =-2424m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭ ()21542m m =--+ 2159228m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 52m ∴=时，1223S S S S +取得最大值，最大值为98。
2023年福建省中考数学试卷(含答案)
2023年福建省中考数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.下列实数中，最大的数是()A.-1B.0C.1D.22.下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是()A. B.C. D.3.若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是()A.1B.5C.7D.94.党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据1,040,000,000用科学记数法表示为()A.104×107B.10.4×108C.1.04×109D.0.104×10105.下列计算正确的是()A.a2 3=a6B.a6÷a2=a3C.a3⋅a4=a12D.a2-a=a6.根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43,903.89亿元，2022年的地区生产总值为53,109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程()A.43,903.891+x=53,109.85B.43,903.89(1+x)2=53,109.85C.43,903.89x2=53,109.85D.43,903.891+x2=53,109.857.阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC,OD，使OC=OD；②分别以C,D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；③作射线OM，连接CM,DM，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是()A.∠1=∠2且CM=DMB.∠1=∠3且CM=DMC.∠1=∠2且OD=DMD.∠2=∠3且OD=DM8.为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间(单位：分钟)，并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是() A.平均数为70分钟 B.众数为67分钟C.中位数为67分钟D.方差为09.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=3x和y=nx的图象的四个分支上，则实数n的值为()A.-3B.-13C.13D.310.我国魏晋时期数学家刘微在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为()A.3B.22C.3D.23二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作_________．12.如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB,CD于点E,F．若AE=10，则CF的长为_________．13.如图，在菱形ABCD中，AB=10,∠B=60°，则AC的长为_________．14.某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：项目应聘者综合知识工作经验语言表达甲758080乙858070丙707870如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5:2:3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是_________．15.已知1a +2b =1，且a ≠-b ，则ab -aa +b的值为_________．16.已知抛物线y =ax 2-2ax +b (a >0)经过A 2n +3,y 1 ,B n -1,y 2 两点，若A ,B 分别位于抛物线对称轴的两侧，且y 1<y 2，则n 的取值范围是_______．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(8分)算：9-20+-1 ．18.(8分)解不等式组：2x +1<3,①x2+1-3x 4≤1.②19.(8分)如图，OA =OC ,OB =OD ,∠AOD =∠COB ．求证：AB =CD ．20.(8分)先化简，再求值：1-x +1x ÷x 2-1x 2-x ，其中x =2-1．21.(8分)如图，已知△ABC 内接于⊙O ,CO 的延长线交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，交⊙O 的切线AF 于点F ，且AF ∥BC ．(1)求证：AO ∥BE ；(2)求证：AO 平分∠BAC ．22.(10分)为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小质地与袋中的4个球完全相同)，然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由23.(10分)阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P,Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3．小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB，其测量及求解过程如下：测量过程：(ⅰ)在小水池外选点C，如图4，测得AC=am,BC=bm；(ⅱ)分别在AC,BC上测得CM=a3m,CN=b3m；测得MN=cm．求解过程：由测量知，AC=a,BC=b,CM=a3,CN=b3，∴CMCA =CNCB=13，又∵①_________，∴△CMN∽△CAB,∴MNAB =13．又∵MN=c,∴AB=②_________(m)．故小水池的最大宽度为_________m．(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得AB用到的几何知识是_________；(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母a,b,c⋯表示，角度用α,β,γ⋯表示；测量次数不超过4次(测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分)．24.(12分)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A1,0,B3,0两点，M为抛物线的顶点，C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD,BC的交点为P．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若C4,3,D m,-3 4，且m<2，求证：C,D,E三点共线；(3)小明研究发现：无论C,D在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．25.(14分)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD,CA的延长线相交于点M．(1)求证：△ADE∽△FMC；(2)求∠ABF的度数；(3)若N是AF的中点，如图2．求证：ND=NO．2023年福建省中考数学参考答案1．D 2．D 3．B 4．C 5．A 6．B 7．A 8．B 9．A 10．C 11．-512．1013．1014．乙15．116．-1<n <017．解：原式=3-1+1=3．18．解：解不等式①，得x <1．解不等式②，得x ≥-3．所以原不等式组的解集为-3≤x <1．19．证明：∵∠AOD =∠COB ，∴∠AOD -∠BOD =∠COB -∠BOD,即∠AOB =∠COD ．在△AOB 和△COD 中，OA =OC,∠AOB =∠COD,OB =OD,∴△AOB ≌△COD ∴AB =CD ．20．解：原式=1-x +1x ⋅x 2-xx 2-1=x -x +1 x ⋅x x -1 x +1 x -1 =-1x ⋅x x +1=-1x +1．当x =2-1时，原式=-12-1+1=-22．21．解：(1)∵AF 是⊙O 的切线，∴AF ⊥OA ，即∠OAF =90°．∵CE 是⊙O 的直径，∴∠CBE =90°．∴∠OAF =∠CBE ．∵AF ∥BC ，∴∠BAF =∠ABC ，∴∠OAF -∠BAF =∠CBE -∠ABC ，即∠OAB =∠ABE ，∴AO ∥BE ．(2)∵∠ABE 与∠ACE 都是AE所对的圆周角，∴∠ABE =∠ACE ．∵OA =OC ，∴∠ACE =∠OAC ，∴∠ABE =∠OAC ．由(1)知∠OAB =∠ABE ，∴∠OAB =∠OAC ，∴AO 平分∠BAC ．22．解：(1)顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．记“首次摸得红球”为事件A ，则事件A 发生的结果只有1种，所以P A =14，所以顾客首次摸球中奖的概率为14．(2)他应往袋中加入黄球．理由如下：记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：第二球第一球红黄①黄②黄③新红红，黄①红，黄②红，黄③红，新黄①黄①，红黄①，黄②黄①，黄③黄①，新黄②黄②，红黄②，黄①黄②，黄③黄②，新黄③黄③，红黄③，黄①黄③，黄②黄③，新新新，红新，黄①新，黄②新，黄③共有20种等可能结果．(ⅰ)若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率P 1=820=25；(ⅱ)若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率P 2=1220=35；因为25<35，所以P 1<P 2，所作他应往袋中加入黄球．23．解：(1)①∠C =∠C ；②3c ；(2)相似角形的判定与性质；(3)测量过程：(ⅰ)在小水池外选点C ，如图，用测角仪在点B 处测得∠ABC =α，在点A 处测得∠BAC=β；(ⅱ)用皮尺测得BC=am．求解过程：由测量知，在△ABC中，∠ABC=α,∠BAC=β,BC=a．过点C作CD⊥AB，垂足为D．在Rt△CBD中，cos∠CBD=BD BC，即cosα=BDa，所以BD=acosα．同理，CD=asinα．在Rt△ACD中，tan∠CAD=CD AD，即tanβ=asinαAD，所以AD=asinαtanβ．所以AB=BD+AD=acosα+asinαtanβm．故小水池的最大宽度为acosα+asinαtanβm．24．解：(1)因为抛物线y=ax2+bx+3经过点A1,0,B3,0，所以a+b+3=0, 9a+3b+3=0.解得a=1, b=-4.所以抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3．(2)设直线CE对应的函数表达式为y=kx+n k≠0，因为EC为AB中点，所以E2,0．又因为C4,3，所以4k+n=3,2k+n=0,解得k=32,n=-3.所以直线CE对应的函数表达式为y=32x-3．因为点D m,-3 4在抛物线上，所以m2-4m+3=-34．解得，m=32或m=52．又因为m<2，所以m=32．所以D32,-34．因为32×32-3=-34，即D32,-34满足直线CE对应的函数表达式，所以点D在直线CE上，即C,D,E三点共线．(3)△ABP的面积为定值，其面积为2．理由如下：(考生不必写出下列理由)如图1，当C,D分别运动到点C ,D 的位置时，C,D 与D,C 分别关于直线EM 对称，此时仍有C ,D ,E三点共线．设AD 与BC 的交点为P ，则P,P 关于直线EM对称，即PP ∥x轴．此时，PP 与AM不平行，且AM不平分线段PP ，故P，P 到直线AM的距离不相等，即在此情形下△AMP与△AMP 的面积不相等，所以△AMP的面积不为定值．如图2，当C,D分别运动到点C1,D1的位置，且保持C1,D1,E三点共线．此时AD1与BC1的交点P1到直线EM的距离小于P到直线EM的距离，所以△MEP1的面积小于△MEP的面积，故△MEP的面积不为定值．又因为△AMP,△MEP,△ABP中存在面积为定值的三角形，故△ABP的面积为定值．在(2)的条件下，直线BC对应的函数表达式为y=3x-9；直线AD对应的函数表达式为y=-32x+32，求得P73,-2，此时△ABP的面积为2．25．解：(1)∵DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，∴∠DFC=45°，∵AB=AC,AO⊥BC，∴∠BAO=12∠BAC．∵∠BAC=90°，∴∠BAO=∠ABC=45°．∴∠BAO=∠DFC．∵∠EDA+∠ADM=90°,∠M+∠ADM=90°，∴∠EDA =∠M ．∴△ADE ∽△FMC ．(2)设BC 与DF 的交点为I ，如图1．∵∠DBI =∠CFI =45°,∠BID =∠FIC ，∴△BID ∽△FIC ，∴BIFI =DICI ，∴BI DI =FICI ．∵∠BIF =∠DIC ，∴△BIF ∽△DIC ，∴∠IBF =∠IDC ．又∵∠IDC =90°，∴∠IBF =90°．∵∠ABC =45°,∠ABF =∠ABC +∠IBF ，∴∠ABF =135°．(3)延长ON 交BF 于点T ，连接DT ,DO ，如图2．∵∠FBI =∠BOA =90°，∴BF ∥AO ，∴∠FTN =∠AON ．∵N 是AF 的中点，∴AN =NF ．又∵∠TNF =∠ONA ，∴△TNF ≌△ONA ，∴NT =NO ,FT =AO ．∵∠BAC =90°,AB =AC ,AO ⊥BC ，∴AO =CO ，∴FT =CO ．由(2)知，△BIF ∽△DIC ，∴∠DFT =∠DCO ．∵DF =DC ，∴△DFT ≌△DCO ，∴DT =DO ,∠FDT =∠CDO ，∴∠FDT +∠FDO =∠CDO +∠FDO ，即∠ODT =∠CDF ．∵∠CDF =90°，∴∠ODT =∠CDF =90°，∴ND =12TO =NO ．·11·。
2024年福建中考数学试卷及答案
2024年福建中考数学试卷及答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．下列实数中，无理数是（ ）A ．3-B ．0C ．23 D 2．据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT （《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ）A ．696110⨯B ．2696.110⨯C ．46.96110⨯D ．50.696110⨯3．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在同一平面内，将直尺、含30︒角的三角尺和木工角尺（CD ⊥DE ）按如图方式摆放，若AB CD ，则1∠的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒5．下列运算正确的是（ ）A ．339a a a ⋅=B ．422a a a ÷=C ．()235a a =D ．2222a a -=6．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．237．如图，已知点,A B 在O 上72AOB ∠=︒，直线MN 与O 相切，切点为C ，且C 为AB 的中点，则ACM ∠等于（ ）A ．18︒B ．30︒C ．36︒D ．72︒8．今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x 亿元，则符合题意的方程是（ ）A ．()1 4.7%120327x +=B ．()1 4.7%120327x -=C ．1203271 4.7%x =+D ．1203271 4.7%x =- 9．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中OAB 与ODC 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，OE OF ⊥．下列推断错误的是（ ）A ．OB OD ⊥B ．BOC AOB ∠=∠ C ．OE OF =D ．180BOC AOD ∠+∠=︒10．已知二次函数()220y x ax a a =-+≠的图象经过1,2a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()23,B a y 两点，则下列判断正确的是（ ）A ．可以找到一个实数a ，使得1y a >B ．无论实数a 取什么值，都有1y a >C ．可以找到一个实数a ，使得20y <D ．无论实数a 取什么值，都有20y <二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．因式分解：x 2+x = ．12．不等式321x -<的解集是 ．13．学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是 ．（单位：分）14．如图，正方形ABCD 的面积为4，点E ，F ，G ，H 别为边AB ，BC ，CD ，AD 的中点，则四边形EFGH 的面积为 ．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数k y x=的图象与O 交于,A B 两点，且点,A B 都在第一象限．若()1,2A ，则点B 的坐标为 ．16．无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角PDA ∠为70︒，帆与航行方向的夹角PDQ ∠为30︒，风对帆的作用力F 为400N ．根据物理知识，F 可以分解为两个力1F 与2F ，其中与帆平行的力1F 不起作用，与帆垂直的力2F 仪可以分解为两个力1f 与21,f f 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；2f 与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：400F AD ==，则2f CD == ．（单位：N ）（参考数据：sin400.64,cos400.77︒=︒=）三、解答题：本题共9小题，共86分。
福建省福州市中考数学真题试题(带解析)
数学试卷答案解析一、选择题(共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂) 1．3的相反数是A ．－3B ．13C ．3D ．－13考点：相反数．专题：存在型．分析：根据相反数的定义进行解答．解答：解：由相反数的定义可知，3的相反数是－3．故选A ．点评：本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2．今年参观“5·18”海交会的总人数约为489000人，将489000用科学记数法表示为A ．48.9×104B ．4.89×105C ．4.89×104D ．0.489×106考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．解答：解：489000＝4.89×105．故选B ．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 3．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是考点：简单组合体的三视图．分析：从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可．解答：解：从正面看，下面一行是横放3个正方体，上面一行中间是一个正方体．故选C ．点评：本题考查了三种视图中的主视图，比较简单． 4．如图，直线a ∥b ，∠1＝70°，那么∠2的度数是A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°考点：平行线的性质．分析：根据两角的位置关系可知两角是同位角，利用两直线平行同位角相等即可求得结果． 解答：解：∵ a ∥b ，∴ ∠1＝∠2， ∵ ∠1＝70°， ∴ ∠2＝70°．第3题图A B C D a 第4题图 1 2 b点评：本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等即可得到答案，比较简单，属于基础题．5．下列计算正确的是A ．a ＋a ＝2aB ．b 3·b 3＝2b 3C ．a 3÷a ＝a 3D ．(a 5)2＝a 7考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 专题：计算题．分析：分别根据合并同类项、同底数幂的除法与乘法、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．解答：解：A 、a ＋a ＝2a ，故本选项正确；B 、b 3•b 3＝b 6，故本选项错误；C 、a 3÷a ＝a 2，故本选项错误；D 、(a 5)2＝a 10，故本选项错误． 故选A ．点评：本题考查的是合并同类项、同底数幂的除法与乘法、幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解答此题的关键．6．式子x －1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是A ．x ＜1B ．x ≤1C ．x ＞1D ．x ≥1 考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可． 解答：解：∵ 式子x －1在实数范围内有意义，∴ x －1≥0，解得x ≥1． 故选D ．点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．7．某射击运动员在一次射击练习中，成绩(单位：环)记录如下：8，9，8，7，10．这组数据的平均数和中位数分别是A ．8，8B ．8.4，8C ．8.4，8.4D ．8，8.4 考点：中位数；算术平均数．分析：根据平均数公式求解即可，即用所有数据的和除以5即可；5个数据的中位数是排序后的第三个数．解答：解：8，9，8，7，10的平均数为：15×(8＋9＋8＋7＋10)＝8.4．8，9，8，7，10排序后为7，8，8，9，10，故中位数为8． 故选B ．点评：本题考查了中位数及算术平均数的求法，特别是中位数，首先应该排序，然后再根据数据的个数确定中位数．8．⊙O 1和⊙O 2的半径分别是3cm 和4cm ，如果O 1O 2＝7cm ，则这两圆的位置关系是 A ．内含 B ．相交 C ．外切 D ．外离 考点：圆与圆的位置关系．分析：由⊙O 1、⊙O 2的半径分别是3cm 、4cm ，若O 1O 2＝7cm ，根据两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系即可得出⊙O 1和⊙O 2的位置关系． 解答：解：∵ ⊙O 1、⊙O 2的半径分别是3cm 、4cm ，O 1O 2＝7cm ，又∵ 3＋4＝7，∴⊙O 1和⊙O 2的位置关系是外切．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系．圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：① 两圆外离⇔d ＞R ＋r ；② 两圆外切⇔d ＝R ＋r ；③ 两圆相交⇔R －r ＜d ＜R ＋r (R ≥r )；④ 两圆内切⇔d ＝R －r (R ＞r )；⑤ 两圆内含⇔d ＜R －r (R ＞r )．9．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点煌距离是 A ．200米 B ．2003米 C ．2203米 D ．100(3＋1)米考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．分析：图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．解答：解：由已知，得∠A ＝30°，∠B ＝45°，CD ＝100，∵ CD ⊥AB 于点D ．∴ 在Rt △ACD 中，∠CDA ＝90°，tan A ＝CD AD， ∴ AD ＝CDtan A ＝10033＝100 3在Rt △BCD 中，∠CDB ＝90°，∠B ＝45°， ∴ DB ＝CD ＝100米，∴ AB ＝AD ＋DB ＝1003＋100＝100(3＋1)米． 故选D ．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD 为直角△ABC 斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD 与BD 的长． 10．如图，过点C (1，2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于A 、B 两点，若反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是A ．2≤k ≤9B ．2≤k ≤8C ．2≤k ≤5D ．5≤k ≤8 考点：反比例函数综合题． 专题：综合题．分析：先求出点A 、B 的坐标，根据反比例函数系数的几何意义可知，当反比例函数图象与△ABC 相交于点C 时k 的取值最小，当与线段AB 相交时，k 能取到最大值，根据直线y ＝－x ＋6，设交点为(x ，－x ＋6)时k 值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解．解答：解：∵ 点C (1，2)，BC ∥y 轴，AC ∥x 轴，∴ 当x ＝1时，y ＝－1＋6＝5，当y ＝2时，－x ＋6＝2，解得x ＝4，∴ 点A 、B 的坐标分别为A (4，2)，B (1，5)，根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C 相交时，k ＝1×2＝2最小，设与线段AB 相交于点(x ，－x ＋6)时k 值最大，则k ＝x (－x ＋6)＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9，第9题图AB CD 30° 45°第10题图∵ 1≤x ≤4，∴ 当x ＝3时，k 值最大， 此时交点坐标为(3，3)，因此，k 的取值范围是2≤k ≤9． 故选A ．点评：本题考查了反比例函数系数的几何意义，二次函数的最值问题，本题看似简单但不容易入手解答，判断出最大最小值的取值情况并考虑到用二次函数的最值问题解答是解题的关键．二、填空题(共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置)11．分解因式：x 2－16＝_________________． 考点：因式分解——运用公式法．分析：运用平方差公式分解因式的式子特点：两项平方项，符号相反．直接运用平方差公式分解即可．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．解答：解：x 2－16＝(x ＋4)(x －4)．点评：本题考查因式分解．当被分解的式子只有两项平方项；符号相反，且没有公因式时，应首要考虑用平方差公式进行分解．12．一个袋子中装有3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为__________________． 考点：概率公式．分析：根据概率的求法，找准两点：① 全部情况的总数；② 符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：解；布袋中球的总数为：2＋3＝5，取到黄球的概率为：35．故答案为：35．点评：此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P (A )＝mn．13．若20n 是整数，则正整数n 的最小值为________________． 考点：二次根式的定义． 专题：存在型．分析：20n 是正整数，则20n 一定是一个完全平方数，首先把20n 分解因数，确定20n 是完全平方数时，n 的最小值即可．解答：解：∵ 20n ＝22×5n ．∴ 整数n 的最小值为5． 故答案是：5．点评：本题考查了二次根式的定义，理解20n 是正整数的条件是解题的关键．14．计算：x －1x ＋1x＝______________．考点：分式的加减法． 专题：计算题．分析：直接根据同分母的分数相加减进行计算即可．解答：解：原式＝x －1＋1x＝1． 故答案为：1．点评：本题考查的是分式的加减法，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 15．如图，已知△ABC ，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是______，cos A 的值是______________．(结果保留根号) 考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．分析：可以证明△ABC ∽△BDC ，设AD ＝x ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x 的值；过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则E 为AB 中点，由余弦定义可求出cos A 的值．解答：解：∵ △ABC ，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，∴ ∠ABC ＝∠ACB ＝180°－∠A2＝72°．∵ BD 是∠ABC 的平分线，∴ ∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝36°．∴ ∠A ＝∠DBC ＝36°， 又∵ ∠C ＝∠C ， ∴ △ABC ∽△BDC ， ∴ AC BC ＝BCCD， 设AD ＝x ，则BD ＝BC ＝x ．则1x ＝x1－x ，解得：x ＝5＋12(舍去)或5－12． 故x ＝5－12． 如右图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ， ∵ AD ＝BD ，∴E 为AB 中点，即AE ＝12AB ＝12．在Rt △AED 中，cos A ＝AE AD＝125－12＝5＋14． 故答案是：5－12；5＋14． 点评：△ABC 、△BCD 均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cos A 时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解．三、解答题(满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置．作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑) 16．(每小题7分，共14分)(1) 计算：|－3|＋(π＋1)0－4．(2) 化简：a (1－a )＋(a ＋1)2－1．ABCD 第15题图ABCD E考点：整式的混合运算；实数的运算；零指数幂． 专题：计算题．分析：(1) 原式第一项根据绝对值的代数意义：负数的绝对值等于它的相反数进行化简，第二项利用零指数公式化简，第三项利用a 2＝|a |化简，合并后即可得到结果； (2) 利用乘法分配律将原式第一项括号外边的a 乘到括号里边，第二项利用完全平方数展开，合并同类项后即可得到结果．解答：解：(1) 解：|－3|＋(π＋1)0－4＝3＋1－2＝2．(2) 解：a (1－a )＋(a ＋1)2－1＝a －a 2＋a 2＋2a ＋1－1＝3a ．点评：此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，涉及的知识有：绝对值的代数意义，零指数公式，二次根式的化简，完全平方公式，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 17．(每小题7分，共14分)(1) 如图，点E 、F 在AC 上，AB ∥CD ，AB ＝CD ，AE ＝CF ．求证：△ABF ≌△CDE ． (2) 如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形． ① 画出将Rt △ABC 向右平移5个单位长度后的Rt △A 1B 1C 1；② 再将Rt △A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt △A 2B 2C 1，并求出旋转过程中线段A 1C 1所扫过的面积(结果保留π)．考点：作图——旋转变换；全等三角形的判定；扇形面积的计算；作图——平移变换． 分析：(1) 由AB ∥CD 可知∠A ＝∠C ，再根据AE ＝CF 可得出AF ＝CE ，由AB ＝CD 即可判断出△ABF ≌CDE ；(2) 根据图形平移的性质画出平移后的图形，再根据在旋转过程中，线段A 1C 1所扫过的面积等于以点C 1为圆心，以A 1C 1为半径，圆心角为90度的扇形的面积，再根据扇形的面积公式进行解答即可． 解答：证明：∵ AB ∥CD ，∴ ∠A ＝∠C ． ∵ AE ＝CF ，∴ AE ＋EF ＝CF ＋EF ， 即 AF ＝CE ． 又∵ AB ＝CD ， ∴ △ABF ≌△CDE ．(2) 解：① 如图所示； ② 如图所示；在旋转过程中，线段A 1C 1所扫过的面积等于90·π·42360＝4π．点评：本题考查的是作图－旋转变换、全等三角形的判定及扇形面积的计算，熟知图形平移及旋转不变性的性质是解答此题的关键．18．(满分12分)省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动．某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部A B C D E F第17(1)题图 第17(2)题图A B C分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图(如图所示)，请根据图中提供的信息，解答下列问题．(1) m ＝_______%，这次共抽取__________名学生进行调查；并补全条形图； (2) 在这次抽样调查中，采用哪种上学方式的人最多？(3) 如果该校共有1500名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生约有多少名？ 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 分析：(1) 用1减去其他各种情况所占的百分比即可求m 的值，用乘公交的人数除以其所占的百分比即可求得抽查的人数； (2) 从扇形统计图或条形统计图中直接可以得到结果；(3) 用学生总数乘以骑自行车所占的百分比即可．解答：解：(1) 1－14%－20%－40%＝26%；20÷40%＝50； 条形图如图所示；(2) 采用乘公交车上学的人数最多；(3) 该校骑自行车上学的人数约为： 150×20%＝300(人)．点评：本题考查了条形统计图、扇形统计图及用样本估计总数的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息．19．(满分11分)某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．(1) 小明考了68分，那么小明答对了多少道题？(2) 小亮获得二等奖(70～90分)，请你算算小亮答对了几道题？ 考点：一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用．分析：(1) 设小明答对了x 道题，则有20－x 道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分是68分，即可得到一个关于x 的方程，解方程即可求解； (2) 小明答对了x 道题，则有20－x 道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分，就是最后的得分，得分满足大于或等于70小于或等于90，据此即可得到关于x 的不等式组，从而求得x 的范围，再根据x 是非负整数即可求解． 解答：解：(1) 设小明答对了x 道题，依题意得：5x －3(20－x )＝68． 解得：x ＝16．答：小明答对了16道题．(2) 设小亮答对了y 道题，学生上学方式扇形统计图步行 其他乘公交车 骑自行车 上学方式步行 其他乘公交车 骑自行车 上学方式依题意得：⎩⎨⎧5y －3(20－y )≥705y －3(20－y )≤90．因此不等式组的解集为1614≤y ≤1834．∵ y 是正整数，∴ y ＝17或18．答：小亮答对了17道题或18道题．点评：本题考查了列方程解应用题，以及列一元一次不等式解决问题，正确列式表示出最后的得分是关键．20．(满分12分)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ． (1) 求证：AC 平分∠DAB ；(2) 若∠B ＝60º，CD ＝23，求AE 的长．考点：切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 专题：几何综合题．分析：(1) 连接OC ，由CD 为⊙O 的切线，根据切线的性质得到OC 垂直于CD ，由AD 垂直于CD ，可得出OC 平行于AD ，根据两直线平行内错角相等可得出∠1＝∠2，再由OA ＝OC ，利用等边对等角得到∠2＝∠3，等量代换可得出∠1＝∠3，即AC 为角平分线；(2) 法1：由AB 为圆O 的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB 为直角，在直角三角形ABC 中，由∠B 的度数求出∠3的度数为30°，可得出∠1的度数为30°，在直角三角形ACD 中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由CD 的长求出AC 的长，在直角三角形ABC 中，根据cos30°及AC 的长，利用锐角三角函数定义求出AB 的长，进而得出半径OE 的长，由∠EAO 为60°，及OE ＝OA ，得到三角形AEO 为等边三角形，可得出AE ＝OA ＝OE ，即可确定出AE 的长；法2：连接EC ，由AB 为圆O 的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB 为直角，在直角三角形ABC 中，由∠B 的度数求出∠3的度数为30°，可得出∠1的度数为30°，在直角三角形ADC 中，由CD 及tan30°，利用锐角三角函数定义求出AD 的长，由∠DEC 为圆内接四边形ABCE 的外角，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角，得到∠DEC ＝∠B ，由∠B 的度数求出∠DEC 的度数为60°，在直角三角形DEC 中，由tan60°及DC 的长，求出DE 的长，最后由AD －ED 即可求出AE 的长． 解答：(1) 证明：如图1，连接OC ，∵ CD 为⊙O 的切线， ∴ OC ⊥CD ，∴ ∠OCD ＝90°． ∵ AD ⊥CD ，∴ ∠ADC ＝90°．∴ ∠OCD ＋∠ADC ＝180°， ∴ AD ∥OC ， ∴ ∠1＝∠2， ∵ OA ＝OC ， ∴ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3， 即AC 平分∠DAB ．(2) 解法一：如图2，∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ ∠ACB ＝90°． 又∵ ∠B ＝60°， ∴ ∠1＝∠3＝30°．在Rt △ACD 中，CD ＝23， ∴ AC ＝2CD ＝43．在Rt △ABC 中，AC ＝43，∴ AB ＝ACcos ∠CAB ＝43cos30°＝8．连接OE ，∵ ∠EAO ＝2∠3＝60°，OA ＝OE ， ∴ △AOE 是等边三角形，∴ AE ＝OA ＝12AB ＝4．解法二：如图3，连接CE ∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ ∠ACB ＝90°． 又∵ ∠B ＝60°， ∴ ∠1＝∠3＝30°．在Rt △ADC 中，CD ＝23， ∴ AD ＝CDtan ∠DAC ＝23tan30°＝6．∵ 四边形ABCE 是⊙O 的内接四边形， ∴ ∠B ＋∠AEC ＝180°． 又∵ ∠AEC ＋∠DEC ＝180°， ∴ ∠DEC ＝∠B ＝60°． 在Rt △CDE 中，CD ＝23，∴ DE ＝CD tan ∠DEC ＝23tan60°＝2．∴ AE ＝AD －DE ＝4．点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，利用了转化及数形结合的思想，遇到直线与圆相切，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．21．(满分13分)如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，连接PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(t ≥0)．(1) 直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝______，PD ＝______．(2) 是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长．图2图3考点：相似三角形的判定与性质；一次函数综合题；勾股定理；菱形的判定与性质． 专题：代数几何综合题． 分析：(1) 根据题意得：CQ ＝2t ，PA ＝t ，由Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，PD ∥BC ，即可得tan A ＝ PD PA ＝BC AC ＝43，则可求得QB 与PD 的值；(2) 易得△APD ∽△ACB ，即可求得AD 与BD 的长，由BQ ∥DP ，可得当BQ ＝DP 时，四边形PDBQ 是平行四边形，即可求得此时DP 与BD 的长，由DP ≠BD ，可判定▱PDBQ 不能为菱形；然后设点Q 的速度为每秒v 个单位长度，由要使四边形PDBQ 为菱形，则PD ＝BD ＝BQ ，列方程即可求得答案；(3) 设E 是AC 的中点，连接ME ．当t ＝4时，点Q 与点B 重合，运动停止．设此时PQ 的中点为F ，连接EF ，由△PMN ∽△PQC ．利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解答：解：(1) QB ＝8－2t ，PD ＝43t ．(2) 不存在．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8， ∴ AB ＝10． ∵ PD ∥BC ，∴ △APD ∽△ACB ，∴ AD AB ＝AP AC ，即：AD 10＝t6， ∴ AD ＝53t ，∴ BD ＝AB －AD ＝10－53t ．∵ BQ ∥DP ，∴ 当BQ ＝DP 时，四边形PDBQ 是平行四边形，即8－2t ＝43t ，解得：t ＝125．当t ＝125时，PD ＝43×125＝165，BD ＝10－53×125＝6，∴ DP ≠BD ，∴ □PDBQ 不能为菱形．第21题图①第21题图②图1设点Q 的速度为每秒v 个单位长度，则BQ ＝8－vt ，PD ＝43t ，BD ＝10－53t ．要使四边形PDBQ 为菱形，则PD ＝BD ＝BQ ， 当PD ＝BD 时，即43t ＝10－53t ，解得：t ＝103．当PD ＝BQ 时，t ＝103时，即43×103＝8－103v ，解得：v ＝1615．(3) 解法一：如图2，以C 为原点，以AC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t ≤4，当t ＝0时，点M 1的坐标为(3，0)； 当t ＝4时，点M 2的坐标为(1，4)．设直线M 1M 2的解析式为y ＝kx ＋b ，∴ ⎩⎨⎧3k ＋b ＝0k ＋b ＝4，解得：⎩⎨⎧k ＝－2b ＝6． ∴ 直线M 1M 2的解析式为y ＝－2x ＋6． ∵ 点Q (0，2t )，P (6－t ，0)，∴ 在运动过程中，线段PQ 中点M 3的坐标为(6－t2，t )．把x ＝6－t 2，代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×6－t 2＋6＝t ．∴ 点M 3在直线M 1M 2上．过点M 2作M 2N ⊥x 轴于点N ，则M 2N ＝4，M 1N ＝2． ∴ M 1M 2＝25．∴ 线段PQ 中点M 所经过的路径长为25单位长度． 解法二：如图3，设E 是AC 的中点，连接ME ． 当t ＝4时，点Q 与点B 重合，运动停止． 设此时PQ 的中点为F ，连接EF ．过点M 作MN ⊥AC ，垂足为N ，则MN ∥BC ． ∴ △PMN ∽△PDC ． ∴ MN QC ＝PN PC ＝PM PQ ，即：MN 2t ＝PN 6－t ＝12． ∴ MN ＝t ，PN ＝3－12t ，∴ CN ＝PC －PN ＝(6－t )－(3－12t )＝3－12t ．∴ EN ＝CE －CN ＝3－(3－12t )＝ 12t ．∴ tan ∠MEN ＝MN EN＝2．∵ tan ∠MEN 的值不变，∴ 点M 在直线EF 上．过F 作FH ⊥AC ，垂足为H ．则EH ＝2，FH ＝4． ∴ EF ＝25．∵ 当t ＝0时，点M 与点E 重合；当t ＝4时，点M 与点F 重合， ∴ 线段PQ 中点M 所经过的路径长为25单位长度．图2AC PN 图3E H点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．22．(满分14分)如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过A (3，0)、B (4，4)两点．(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；(3) 如图②，若点N 在抛物线上，且∠NBO ＝∠ABO ，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标(点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应)．考点：二次函数综合题．分析：(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可；(2) 根据已知条件可求出OB 的解析式为y ＝x ，则向下平移m 个单位长度后的解析式为：y ＝x －m ．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m 的值和D 点坐标； (3) 综合利用几何变换和相似关系求解． 方法一：翻折变换，将△NOB 沿x 轴翻折；方法二：旋转变换，将△NOB 绕原点顺时针旋转90°．特别注意求出P 点坐标之后，该点关于直线y ＝－x 的对称点也满足题意，即满足题意的P解答：解：(1) ∵ 抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过点A (3，0)、B (4，4)．∴ ⎩⎨⎧9a ＋3b ＝016a ＋4b ＝4，解得：⎩⎨⎧a ＝1b ＝－3． ∴ 抛物线的解析式是y ＝x 2－3x ．(2) 设直线OB 的解析式为y ＝k 1x ，由点B (4，4)，得：4＝4k 1，解得k 1＝1． ∴ 直线OB 的解析式为y ＝x ．∴ 直线OB 向下平移m 个单位长度后的解析式为：y ＝x －m ．∵ 点D 在抛物线y ＝x 2－3x 上．∴ 可设D (x ，x 2－3x )． 又点D 在直线y ＝x －m 上，∴ x 2－3x ＝x －m ，即x 2－4x ＋m ＝0．第22题图① 第22题图②∵ 抛物线与直线只有一个公共点， ∴ △＝16－4m ＝0，解得：m ＝4．此时x 1＝x 2＝2，y ＝x 2－3x ＝－2， ∴ D 点坐标为(2，－2)．(3) ∵ 直线OB 的解析式为y ＝x ，且A (3，0)，∴ 点A 关于直线OB 的对称点A'的坐标是(0，3)． 设直线A'B 的解析式为y ＝k 2x ＋3，过点B (4，4)，∴ 4k 2＋3＝4，解得：k 2＝14．∴ 直线A'B 的解析式是y ＝14x ＋3．∵ ∠NBO ＝∠ABO ， ∴ 点N 在直线A'B 上，∴ 设点N (n ，14n ＋3)，又点N 在抛物线y ＝x 2－3x 上，∴ 14n ＋3＝n 2－3n ， 解得：n 1＝－34，n 2＝4(不合题意，会去)，∴ 点N 的坐标为(－34，4516)．方法一：如图1，将△NOB 沿x 轴翻折，得到△N 1OB 1，则N 1(－34，－4516)，B 1(4，－4)，∴ O 、D 、B 1都在直线y ＝－x 上．∵ △P 1OD ∽△NOB ， ∴ △P 1OD ∽△N 1OB 1， ∴ OP 1ON 1＝OD OB 1＝12， ∴ 点P 1的坐标为(－38，－4532)．将△OP 1D 沿直线y ＝－x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2(4532，38)．综上所述，点P 的坐标是(－38，－4532)或(4532，38)．方法二：如图2，将△NOB 绕原点顺时针旋转90°，得到△N 2OB 2则N 2(4516，34)，B 2(4，－4)，∴ O 、D 、B 2都在直线y ＝－x 上． ∵ △P 1OD ∽△NOB ， ∴ △P 1OD ∽△N 2OB 2， ∴ OP 1ON 2＝OD OB 2＝12， 图1∴ 点P 1的坐标为(4532，38)．将△OP 1D 沿直线y ＝－x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2(－38，－4532)．综上所述，点P 的坐标是(－38，－4532)或(4532，38)．点评：本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数(直线)的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点．本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题．本模板说明1、页眉21世纪教育网 21世纪教育网 黑体 小三号字 加粗 鲜红色 居中 2、背景专注初中教育，服务一线教师 隶书 鲜红色 3、页脚21世纪教育网期待您的投稿！zkzyw@ 宋体（正文） 小五号字 右对齐 鲜红色 4、页码 -1-数字，两遍加横 居中。
2020年福州市中考数学试卷含答案
2020年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试卷（全卷共4页，三大题，共22小题，满分150分，考试时间120分钟）友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡相应的位置上，答在本卷上一律无效。
毕业学校姓名考生号一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．2的倒数是A. 12B. 12- C. 2 D.－22. 今年我省规划重建校舍约3890000平方米，3890000用科学记数法表示为A. 70.38910⨯ B. 63.8910⨯ C. 43.8910⨯ D.438910⨯3.下面四个图形中，能判断∠1 > ∠2的是4.下面四个中文艺术字中，不是．．轴对称图形的是5.若二次根式1x -有意义，则x 的取值范围为A.1x ≠ B.1x ≥ C.1x < D.全体实数6.下面四个立体图形中，主视图是三角形的是7.已知反比例函数k y x=的图像过点P （1，3），则反比例函数图像位于A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限 D.第三、四象限8. 有人预测2010年南非世界杯足球赛巴西国家队夺冠的概率是70%他们的理解正确的是A.巴西国家队一定夺冠B.巴西国家队一定不会夺冠C.巴西国家队夺冠的可能性比较大D.巴西国家队夺冠的可能性比较小 9.分式方程312x =-的解是 A.5x = B. 1x = C. 1x =- D. 2x =10.已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则下列结论正确的是A.0a >B. 0c <C.240b ac -<D.0a b c ++>二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分。
请将答案填入答题卡相应的位置）11.实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，则a b（填“>”、“<”或“=”）。
12.因式分解：21x -= 。
13.某校七年（2班）6位女生的体重（单位：千克）是：36，38，40，42，42，45，这组数据的众数为 。
福州市中考数学试卷含答案解析
福建省福州市中考数学试卷一、（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个正确选项）1．下列实数中的无理数是（）A．0.7 B．C．πD．﹣82．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）A．B． C．D．3．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角 D．对顶角4．下列算式中，结果等于a6的是（）A．a4+a2B．a2+a2+a2C．a2•a3 D．a2•a2•a25．不等式组的解集是（）A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜36．下列说法中，正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次7．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A．B．C．D．8．平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）9．如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）10．下表是某校合唱团成员的年龄分布年龄/岁13 14 15 16频数 5 15 x 10﹣x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差 D．中位数、方差11．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．12．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．分解因式：x2﹣4=．14．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．15．已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数y=图象上的概率是．16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上r下．（填“＜”“=”“＜”）17．若x+y=10，xy=1，则x3y+xy3的值是．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．三、解答题（共9小题，满分90分）19．计算：|﹣1|﹣+（﹣）0．20．化简：a﹣b﹣．21．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．22．列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？23．福州市﹣常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，比增加了万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是；（3）预测福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．25．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．26．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．27．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．福建省福州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个正确选项）1．下列实数中的无理数是（）A．0.7 B．C．πD．﹣8【考点】无理数．【专题】计算题．【分析】无理数就是无限不循环小数，最典型就是π，选出答案即可．【解答】解：∵无理数就是无限不循环小数，且0.7为有限小数，为有限小数，﹣8为正数，都属于有理数，π为无限不循环小数，∴π为无理数．故选：C．【点评】题目考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题．2．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）A．B． C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为2，1，故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角 D．对顶角【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．【分析】根据内错角的定义求解．【解答】解：直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是内错角．故选B．【点评】本题考查了同位角、内错角、同位角：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．4．下列算式中，结果等于a6的是（）A．a4+a2B．a2+a2+a2C．a2•a3 D．a2•a2•a2【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【专题】计算题；推理填空题．【分析】A：a4+a2≠a6，据此判断即可．B：根据合并同类项的方法，可得a2+a2+a2=3a2．C：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a3=a5．D：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a2•a2=a6．【解答】解：∵a4+a2≠a6，∴选项A的结果不等于a6；∵a2+a2+a2=3a2，∴选项B的结果不等于a6；∵a2•a3=a5，∴选项C的结果不等于a6；∵a2•a2•a2=a6，∴选项D的结果等于a6．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（2）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．5．不等式组的解集是（）A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜3【考点】解一元一次不等式组．【专题】方程与不等式．【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x＞3，由①②可得，x＞3，故原不等式组的解集是x＞3．故选B．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．6．下列说法中，正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义和必然发生的事件的概率P（A）=1、不可能发生事件的概率P（A）=0对A、B、C进行判定；根据频率与概率的区别对D进行判定．【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确；B、随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误．故选A．【点评】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．7．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A．B．C．D．【考点】相反数；数轴．【专题】数形结合．【分析】数轴上互为相反数的点到原点的距离相等，通过观察线段AB上的点与原点的距离就可以做出判断．【解答】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点0的左右两侧，从四个答案观察发现，只有B选项的线段AB符合，其余答案的线段都在原点0的同一侧，所以可以得出答案为B．故选：B【点评】本题考查了互为相反数的概念，解题关键是要熟悉互为相反数概念，数形结合观察线段AB 上的点与原点的距离．8．平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．【解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D和B关于原点对称，∵B（2，﹣1），∴点D的坐标是（﹣2，1）．故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，得出D和B关于原点对称是解决问题的关键．9．如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【专题】计算题；三角形．【分析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，则P的坐标为（cosα，sinα），故选C．【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．10．下表是某校合唱团成员的年龄分布年龄/岁13 14 15 16频数 5 15 x 10﹣x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差 D．中位数、方差【考点】统计量的选择；频数（率）分布表．【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x=10，则总人数为：5+15+10=30，故该组数据的众数为14岁，中位数为：=14岁，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：B．【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．11．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．【考点】坐标确定位置；函数的图象．【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y 轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．【解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m），∴A与B关于y轴对称，故A，B错误；∵B（1，m），C（2，m+1），∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误．故选C．【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．12．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根可得ac≤4，且a≠0，对每个选项逐一判断即可．【解答】解：∵一元二次方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，∴ac≤4，且a≠0；A、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误；C、若c＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；D、若c=0，则ac=0≤4，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．分解因式：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．【考点】因式分解-运用公式法．【专题】因式分解．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．14．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣1．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】常规题型．【分析】根据二次根式的性质可求出x的取值范围．【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．15．已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数y=图象上的概率是．【考点】概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先判断四个点的坐标是否在反比例函数y=图象上，再让在反比例函数y=图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数y=图象上的概率，依此即可求解．【解答】解：∵﹣1×1=﹣1，2×2=4，×=1，（﹣5）×（﹣）=1，∴2个点的坐标在反比例函数y=图象上，∴在反比例函数y=图象上的概率是2÷4=． 故答案为：．【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r 上，下方的弧半径为r 下，则r 上 = r 下．（填“＜”“=”“＜”）【考点】弧长的计算．【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．【解答】解：如图，r 上=r 下．故答案为=．【点评】本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l=（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．17．若x+y=10，xy=1，则x 3y+xy 3的值是 98 ．【考点】代数式求值．【分析】可将该多项式分解为xy （x 2+y 2），又因为x 2+y 2=（x+y ）2﹣2xy ，然后将x+y 与xy 的值代入即可．【解答】解：x 3y+xy 3=xy （x 2+y 2）=xy[（x+y）2﹣2xy]=1×（102﹣2×1）=98．故答案为：98．【点评】本题考查了因式分解和代数式变形．解决本类问题的一般方法：若已知x+y与xy的值，则x2+y2=（x+y）2﹣2xy，再将x+y与xy的值代入即可．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【专题】网格型．【分析】如图，连接EA、EB，先证明∠AEB=90°，根据tan∠ABC=，求出AE、EB即可解决问题．【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a∴∠AEB=90°，∴tan∠ABC===．故答案为．【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共9小题，满分90分）19．计算：|﹣1|﹣+（﹣）0．【考点】有理数的混合运算；立方根；零指数幂．【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的定义和零指数幂的性质化简求出答案．【解答】解：|﹣1|﹣+（﹣）0=1﹣2+1=0．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．20．化简：a﹣b﹣．【考点】分式的加减法．【分析】先约分，再去括号，最后合并同类项即可．【解答】解：原式=a﹣b﹣（a+b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．【考点】全等三角形的性质．【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，有，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．22．列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张．然后根据购票总张数为35张，总费用为750元列方程求解即可．【解答】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张．根据题意得：．解得：．答：甲种票买了20张，乙种票买了15张．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．23．福州市﹣常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，比增加了7万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是；（3）预测福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．【考点】折线统计图．【分析】（1）将人数减去人数即可；（2）计算出每年与上一年相比，增加的百分率即可得知；（3）可从每年人口增加的数量加以预测．【解答】解：（1）福州市常住人口数，比增加了750﹣743=7（万人）；（2）由图可知增加：×100%≈0.98%，增加：×100%≈0.97%，增加：×100%≈1.2%，增加：×100%≈0.94%，故与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是；（3）预测福州市常住人口数大约为757万人，理由：从统计图可知，福州市常住人口每年增加的数量的众数是7万人，由此可以预测福州市常住人口数大约为757万人．故答案为：（1）7；（2）．【点评】本题主要考查条形统计图，从条形图中读出每年人口的数量及增加的幅度是解题的关键．24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．【考点】圆内接四边形的性质；正方形的性质．【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2）根据弧长公式计算．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴=，∵M为中点，∴=，∴+=+，即=，∴BM=CM；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴⊙O的周长为4π，∴的长=×4π=π．【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．25．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD 的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AB=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BD，AD2=AC•CD，∴BD2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠D．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．26．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．【考点】矩形的性质；角平分线的性质．【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD•tan∠DAM=即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例=，得出当点N、H 重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××3×4=；（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴=，∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：BH===，∴CF=，∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．27．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，原点代入即可．（2）设抛物线为y=ax2+bx，则h=﹣，b=﹣2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h表示），又抛物线y=tx2也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．（3）根据条件列出关于a的不等式即可解决问题．【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，∵抛物线经过原点，∴0=a（0﹣1）2+2，∴a=﹣2，∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x．（2）∵抛物线经过原点，∴设抛物线为y=ax2+bx，∵h=﹣，∴b=﹣2ah，∴y=ax2﹣2ahx，∵顶点A（h，k），∴k=ah2﹣2ah，抛物线y=tx2也经过A（h，k），∴k=th2，∴th2=ah2﹣2ah2，∴t=﹣a，（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上，∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，∴h=，∵﹣2≤h＜1，∴﹣2≤＜1，①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0，②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣．【点评】本题考查二次函数综合题、不等式等知识，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个问题解不等式要注意讨论，属于中考压轴题．。
2020年福建省福州市中考数学试题(word版)(含答案)
2020年福建省福州市中考数学试题（word 版）（含答案）数学试卷〔全卷共4页，三大题，共22小题，总分值150分，考试时刻120分钟〕 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡相应的位置上，答在本卷上一律无效。
毕业学校 姓名 考生号一、选择题〔共10小题，每题4分，总分值40分；每题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂〕1．2的倒数是A. 12B. 12- C. 2 D.－2 2. 今年我省规划重建校舍约3890000平方米，3890000用科学记数法表示为 A. 70.38910⨯ B. 63.8910⨯ C. 43.8910⨯ D. 438910⨯3.下面四个图形中，能判定∠1 > ∠2的是4.下面四个中文艺术字中，不是．．轴对称图形的是5.假设二次根式1x -有意义，那么x 的取值范畴为A. 1x ≠B.1x ≥C.1x <D.全体实数6.下面四个立体图形中，主视图是三角形的是7.反比例函数k y x=的图像过点P 〔1，3〕，那么反比例函数图像位于 A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限8. 有人推测2018年南非世界杯足球赛巴西国家队夺冠的概率是70%他们的明白得正确的选项是A.巴西国家队一定夺冠B.巴西国家队一定可不能夺冠C.巴西国家队夺冠的可能性比较大D.巴西国家队夺冠的可能性比较小9.分式方程312x =-的解是 A. 5x = B. 1x = C. 1x =- D. 2x =10.二次函数2y ax bx c =++的图像如下图，那么以下结论正确的选项是A.0a >B. 0c <C.240b ac -< D.0a b c ++>F E D C B A 二、填空题〔共5小题，每题4分，总分值20分。
请将答案填入答题卡相应的位置〕11.实数a 、b 在数轴上对应点的位置如下图，那么a b 〔填〝>〞、〝<〞或〝=〞〕。
福建省福州市中考数学试卷及答案
福建省福州市中考数学试卷及答案一、填空题：每小题3分，满分36分.1、－6的绝对值是__________.2、分解因式：252-a =__________.3、函数12-=x y 自变量x 的取值范围是__________.4、如图，两条直线a 、b 被第三条直线c 所截，如果a ∥b ，∠1＝70°，那么2∠=__________.5、你知道废电池是一种危害严重的污染源吗？一粒纽扣电池可以污染600000升水.用科学记数法表示为__________升.6、如图，数轴上表示的一个不等式组的解集，这个不等式组的整数解是__________.7、已知⊙O 1的半径为6cm ，⊙O 2的半径为2cm ，O 1O 2＝8cm ，那么这两圆的位置关系是__________.8、如果反比例函数图象过点A （1，2），那么这个反比例函数的图象在__________象限.9、某班学生为希望工程共捐款131元，比每人平均2元还多35元.设这个班的学生有x 人，根据题意列方程为__________.10、校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米.一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________米.11、如图，一把纸折扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为17cm ，则贴纸部分的面积为__________cm 2（结果用π表示）.12、图中是幅“苹果图”，第一行有一个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，….你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有__________个苹果.A BC D！宁静致远0 bac 1 2二、选择题：每小题4分，满分24分，每小题都有A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号，写在题末的括号内.13、下列计算正确的是（ ）A 、2222x x x =-B 、632x x x =•C 、33x x x =÷D 、()49223y x y x =14、等腰三角形的一个角是120°，那么另外两个角分别是（ ）A 、15°、45°B 、30°、30°C 、40°、40°D 、60°、60°15、下列图形中能够用来作平面镶嵌的是（ ）A 、正八边形B 、正七边形C 、正六边形D 、正五边形16、已知正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象过第二、四象限，则（ ）A 、y 随x 的增大而减小B 、y 随x 的增大而增大C 、当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小D 、不论x 如何变化，y 不变17、下列命题错误的是（ ）A 、平行四边形的对角相等B 、等腰梯形的对角线相等C 、两条对角线相等的平行四边形是矩形D 、对角线互相垂直的四边形是菱形18、如图，AB 是⊙O 的直径，M 是⊙O 上一点，MN ⊥AB ，垂足为N.P 、Q 分别是AM 、BM 上一点（不与端点重合），如果∠MNP ＝∠MNQ ，下面结论：①∠1＝∠2；②∠P ＋∠Q ＝180°；③∠Q ＝∠PMN ；④PM ＝QM ；⑤MN 2＝PN ·QN.其中正确的是（ ）A 、①②③B 、①③⑤C 、④⑤D 、①②⑤三、解答题：每小题7分，满分28分.19、三月三，放风筝.图中是小明制作的风筝，他根据DF DE =，FH EH =，不用度量，就知道DFH DEH ∠=∠.请你用所学知识给予证明.20、计算：1303)2(2514-÷-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+- HDE FA BO · PMN Q 1 221、解方程：111=--x x22、如图是一个在19×16的点阵图上画出的“中国结”，点阵的每行及每列之间的距离都是1，请你画出“中国结”的对称轴，并直接写出图中阴影部分的面积.四、每小题8分，满分16分.23、为了了解学校开展“孝敬父母，从家务事做起”活动的实话情况，该校抽取初二年段50名学生，调查他们一周（按七天计算）做家务所用时间（单位：小时），得到一组数据，并绘制成右表，请根据该表完成下列各题：⑴填写频率分布表中未完成的部分；频率分布表⑵ 这组数据的中位数落在__________范围内；⑶ 由以上信息判断，每周做家务的时间不超过 1.5小时的学生所占百分比是__________；⑷ 针对以上情况，写一个20字以内倡导“孝敬父母，热爱劳动”的句子.24、已知一元二次方程0122=-+-m x x .⑴ 当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？⑵ 设1x ，2x 是方程的两个实数根，且满足12121=+x x x ，求m 的值.五、（满分10分）25、已知：如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 为AB 的中点，CD 是⊙O 的直径，过C 点的直线l 交AB 所在直线于点E ，交⊙O 于点F.⑴ 判定图中CEB ∠与FDC ∠的数量关系，并写出结论；⑵ 将直线l 绕C 点旋转（与CD 不重合），在旋转过程中，E 点、F 点的位置也随之变化，请你在下面两个备用图中分别画出在不同位置时，使（1）的结论仍然成立的图形，标上相应字母，选其中一个图形给予证明.六、（满分10分）26、如图，1l 、2l 分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y （费用=灯的售价+电费，单位：元）与照明时间x （小时）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样.⑴ 根据图象分别求出1l 、2l 的函数关系式；⑵ 当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？⑶ 小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法（直接给出答案，不必写出解答过程）.AB C lE FO · O · O ·七、（满分13分）27、如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是DC 中点，点F 在BC 边上，且1=CF ，在AEF∆中作正方形1111D C B A ，使边11B A 在AF 上，其余两个顶点1C 、1D 分别在EF 和AE 上. ⑴ 请直接写出图中两直角边之比等于1∶2的三个直角三角形（不另添加字母及辅助线）；⑵ 求AF 的长及正方形1111D C B A 的边长；⑶ 在⑵的条件下，取出AEF ∆，将11D EC ∆沿直线11D C 、11FB C ∆沿直线分别向正方形1111D C B A 内折叠，求小正方形1111D C B A 未被两个折叠三角覆盖的四边形面积.八、（满分13分）28、如图所示，抛物线2)(m x y --=的顶点为A ，直线l ：m x y 33-=与y 轴的交点为B ，其中0>m .⑴ 写出抛物线对称轴及顶点A 的坐标（用含m 的代数式表示）；⑵ 证明点A 在直线l 上，并求出OAB ∠的度数；⑶ 动点Q 在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P ，使以P 、Q 、A 为顶点的三角形与OAB ∆全等？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，说明理由.AB C DE F A B 1E F A 1C 1D 1A 1B 1C 1D 1。
2020福建福州中考数学试题及答案(含答案)
2020年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）﹣的相反数是（）A．5B．C．﹣D．﹣52．（4分）如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A．B．C．D．3．（4分）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（）A．1B．C．D．4．（4分）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（4分）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10B．5C．4D．36．（4分）如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（）A．﹣1B．1C．2D．37．（4分）下列运算正确的是（）A．3a2﹣a2＝3B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4D．a•a﹣1＝1（a≠0）8．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）＝B．＝3C．3x﹣1＝D．＝39．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）|﹣8|＝．12．（4分）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．13．（4分）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为．（结果保留π）14．（4分）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为米．15．（4分）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝度．16．（4分）设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组：18．（8分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sin A＝．（1）求∠BED的大小；（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23．（10分）如图，C为线段AB外一点．（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．24．（12分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．（1）求∠BDE的度数；（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：＝．25．（14分）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．2020年福建省中考数学试卷试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．解：﹣的相反数是，故选：B．2．解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆．故选：B．3．解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴＝，∴△DEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵等边三角形ABC的面积为1，∴△DEF的面积是，故选：D．4．解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形；D．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C．5．解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．6．解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，∴﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1，∴m﹣n的结果可能是2．故选：C．7．解：A、原式＝2a2，故本选项不符合题意；B、原式＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；C、原式＝9a2b4，故本选项不符合题意；D、原式＝a＝1，故本选项符合题意；故选：D．8．解：依题意，得：3（x﹣1）＝．故选：A．9．解：∵A为中点，∴═，∵AB＝CD，∴＝，∴＝＝，∵圆周角∠BDC＝60°，∴∠BDC对的的度数是2×60°＝120°，∴的度数是（360°﹣120°）＝80°，∴对的圆周角∠ADB的度数是，故选：A．10．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|＝﹣（﹣8）＝8．故答案为：8．12．解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，∴甲被选到的概率为，故答案为：．13．解：S扇形＝＝4π，故答案为4π．14．解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，∴低于海平面的高度记为负数，∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，∴该处的高度可记为﹣10907米．故答案为：﹣10907．15．解：正六边形的每个内角的度数为：＝120°，所以∠ABC＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30．16．解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA＝OC＝OB＝OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．18．证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．19．解：原式＝•＝，当时，原式＝＝．20．解：（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，10x+（100﹣x）×1＝235，解得，x＝15，∴100﹣x＝85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；（2）设利润为w元，销售甲种特产a吨，w＝（10.5﹣10）a+（1.2﹣1）×（100﹣a）＝0.3a+20，∵0≤a≤20，∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．21．解：（1）连接OB，如图1，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∵sin A＝，∴∠A＝30°，∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，∴∠BED＝∠BOD＝60°；（2）连接OF，OB，如图2，∵AB是切线，∴∠OBF＝90°，∵BF＝3，OB＝3，∴，∴∠BOF＝60°，∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°，在△BOF和△DOF中，，∴△BOF≌△DOF（SAS），∴∠OBF＝∠ODF＝90°，∴DF与⊙O相切．22．解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为：1000×＝120；（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：×（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5）＝2.4（千元）；（3）根据题意，得，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470＞960+1130+1300+1470＞4000．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．23．解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；（2）如图，∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠CDP，∠BAP＝∠DCP，∴△ABP∽△CDP，∴＝，∵AB，CD的中点分别为M，N，∴AB＝2AM，CD＝2CN，∴＝，连接MP，NP，∵∠BAP＝∠DCP，∴△APM∽△CPN，∴∠APM＝∠CPN，∵点P在AC上，∴∠APM+∠CPM＝180°，∴∠CPN+∠CPM＝180°，∴M，P，N三点在同一条直线上．24．解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，∴∠ADE＝∠B＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．（2）①DF＝PF．证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，即∠FPD＝∠FDP，∴DF＝PF．②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，∴∠HPF＝∠DEP，，∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，∴∠DEP＝∠DAC，又∵∠CDF＝∠DAC，∴∠DEP＝∠CDF，∴∠HPF＝∠CDF，又∵FD＝FP，∠F＝∠F，∴△HPF≌△CDF（ASA），∴HF＝CF，∴DH＝PC，又∵，∴．25．解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A（0，10），点B（5，0），∵BC＝4，∴点C（9，0）或点C（1，0），∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．∴当x≥5时，y随x的增大而增大，当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10），∴10＝5a，∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10；（2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10），∴直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10）与直线l1：y＝﹣2x+10不重合，假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P（x P，y P），∴解得：n＝10，∵n＝10与已知n≠10矛盾，∴l1与l2不相交，∴l2∥l1；（3）如图，、∵直线l3：y＝﹣2x+q过点C，∴0＝﹣2×1+q，∴q＝2，∴直线l3，解析式为L：y＝﹣2x+2，∴l3∥l1，∴CF∥AB，∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，∴△CEF∽△BEA，∴＝（）2，设BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，∴S△ABE＝×t×10＝5t，∴S△CEF＝（）2×S△ABE＝（）2×5t＝，∴S△ABE+S△CEF＝5t+＝10t+﹣40＝10（﹣）2+40﹣40，∴当t＝2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40﹣40．。
福州市中考数学试卷及答案解析
2020年福建省福州市中考数学试卷一、（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个正确选项）1．下列实数中的无理数是（）A．0.7 B．C．πD．﹣82．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角4．下列算式中，结果等于a6的是（）A．a4+a2B．a2+a2+a2 C．a2•a3D．a2•a2•a25．不等式组的解集是（）A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜36．下列说法中，正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次7．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A．B．C．D．8．平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）9．如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）10．下表是某校合唱团成员的年龄分布年龄/岁13 14 15 16频数 5 15 x 10﹣x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差D．中位数、方差11．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．12．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．分解因式：x2﹣4= ．14．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．15．已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数y=图象上的概率是．16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上r下．（填“＜”“=”“＜”）17．若x+y=10，xy=1，则x3y+xy3的值是．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．三、解答题（共9小题，满分90分）19．计算：|﹣1|﹣+（﹣2020）0．20．化简：a﹣b﹣．21．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．22．列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？23．福州市2020﹣2020年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，2020年比2020年增加了万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是；（3）预测2020年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．25．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．26．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．27．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．2020年福建省福州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个正确选项）1．下列实数中的无理数是（）A．0.7 B．C．πD．﹣8【考点】无理数．【专题】计算题．【分析】无理数就是无限不循环小数，最典型就是π，选出答案即可．【解答】解：∵无理数就是无限不循环小数，且0.7为有限小数，为有限小数，﹣8为正数，都属于有理数，π为无限不循环小数，∴π为无理数．故选：C．【点评】题目考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题．2．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为2，1，故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．【分析】根据内错角的定义求解．【解答】解：直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是内错角．故选B．【点评】本题考查了同位角、内错角、同位角：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．4．下列算式中，结果等于a6的是（）A．a4+a2B．a2+a2+a2 C．a2•a3D．a2•a2•a2【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【专题】计算题；推理填空题．【分析】A：a4+a2≠a6，据此判断即可．B：根据合并同类项的方法，可得a2+a2+a2=3a2．C：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a3=a5．D：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a2•a2=a6．【解答】解：∵a4+a2≠a6，∴选项A的结果不等于a6；∵a2+a2+a2=3a2，∴选项B的结果不等于a6；∵a2•a3=a5，∴选项C的结果不等于a6；∵a2•a2•a2=a6，∴选项D的结果等于a6．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（2）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．5．不等式组的解集是（）A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜3【考点】解一元一次不等式组．【专题】方程与不等式．【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x＞3，由①②可得，x＞3，故原不等式组的解集是x＞3．故选B．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．6．下列说法中，正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义和必然发生的事件的概率P（A）=1、不可能发生事件的概率P（A）=0对A、B、C进行判定；根据频率与概率的区别对D进行判定．【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确；B、随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误．故选A．【点评】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．7．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A．B．C．D．【考点】相反数；数轴．【专题】数形结合．【分析】数轴上互为相反数的点到原点的距离相等，通过观察线段AB上的点与原点的距离就可以做出判断．【解答】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点0的左右两侧，从四个答案观察发现，只有B选项的线段AB符合，其余答案的线段都在原点0的同一侧，所以可以得出答案为B．故选：B【点评】本题考查了互为相反数的概念，解题关键是要熟悉互为相反数概念，数形结合观察线段AB上的点与原点的距离．8．平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．【解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D和B关于原点对称，∵B（2，﹣1），∴点D的坐标是（﹣2，1）．故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，得出D和B关于原点对称是解决问题的关键．9．如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【专题】计算题；三角形．【分析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，则P的坐标为（c osα，sinα），故选C．【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．10．下表是某校合唱团成员的年龄分布年龄/岁13 14 15 16频数 5 15 x 10﹣x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差D．中位数、方差【考点】统计量的选择；频数（率）分布表．【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x=10，则总人数为：5+15+10=30，故该组数据的众数为14岁，中位数为： =14岁，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：B．【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．11．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．【考点】坐标确定位置；函数的图象．【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．【解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m），∴A与B关于y轴对称，故A，B错误；∵B（1，m），C（2，m+1），∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误．故选C．【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．12．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根可得ac≤4，且a≠0，对每个选项逐一判断即可．【解答】解：∵一元二次方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，∴ac≤4，且a≠0；A、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误；C、若c＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；D、若c=0，则ac=0≤4，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．分解因式：x2﹣4= （x+2）（x﹣2）．【考点】因式分解-运用公式法．【专题】因式分解．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．14．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣1 ．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】常规题型．【分析】根据二次根式的性质可求出x的取值范围．【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．15．已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数y=图象上的概率是．【考点】概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先判断四个点的坐标是否在反比例函数y=图象上，再让在反比例函数y=图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数y=图象上的概率，依此即可求解．【解答】解：∵﹣1×1=﹣1，2×2=4，×=1，（﹣5）×（﹣）=1，∴2个点的坐标在反比例函数y=图象上，∴在反比例函数y=图象上的概率是2÷4=．故答案为：．【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上= r下．（填“＜”“=”“＜”）【考点】弧长的计算．【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．【解答】解：如图，r上=r下．故答案为=．【点评】本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．17．若x+y=10，xy=1，则x3y+xy3的值是98 ．【考点】代数式求值．【分析】可将该多项式分解为xy（x2+y2），又因为x2+y2=（x+y）2﹣2xy，然后将x+y与xy的值代入即可．【解答】解：x3y+xy3=xy（x2+y2）=xy[（x+y）2﹣2xy]=1×（102﹣2×1）=98．故答案为：98．【点评】本题考查了因式分解和代数式变形．解决本类问题的一般方法：若已知x+y与xy的值，则x2+y2=（x+y）2﹣2xy，再将x+y与xy的值代入即可．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【专题】网格型．【分析】如图，连接EA、EB，先证明∠AEB=90°，根据tan∠ABC=，求出AE、EB即可解决问题．【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a∴∠AEB=90°，∴tan∠ABC===．故答案为．【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共9小题，满分90分）19．计算：|﹣1|﹣+（﹣2020）0．【考点】有理数的混合运算；立方根；零指数幂．【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的定义和零指数幂的性质化简求出答案．【解答】解：|﹣1|﹣+（﹣2020）0=1﹣2+1=0．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．20．化简：a﹣b﹣．【考点】分式的加减法．【分析】先约分，再去括号，最后合并同类项即可．【解答】解：原式=a﹣b﹣（a+b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．【考点】全等三角形的性质．【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，有，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．22．列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张．然后根据购票总张数为35张，总费用为750元列方程求解即可．【解答】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张．根据题意得：．解得：．答：甲种票买了20张，乙种票买了15张．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．23．福州市2020﹣2020年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，2020年比2020年增加了7 万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是2020 ；（3）预测2020年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．【考点】折线统计图．【分析】（1）将2020年人数减去2020年人数即可；（2）计算出每年与上一年相比，增加的百分率即可得知；（3）可从每年人口增加的数量加以预测．【解答】解：（1）福州市常住人口数，2020年比2020年增加了750﹣743=7（万人）；（2）由图可知2020年增加：×100%≈0.98%，2020年增加：×100%≈0.97%，2020年增加：×100%≈1.2%，2020年增加：×100%≈0.94%，故与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是2020年；（3）预测2020年福州市常住人口数大约为757万人，理由：从统计图可知，福州市常住人口每年增加的数量的众数是7万人，由此可以预测2020年福州市常住人口数大约为757万人．故答案为：（1）7；（2）2020．【点评】本题主要考查条形统计图，从条形图中读出每年人口的数量及增加的幅度是解题的关键．24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．【考点】圆内接四边形的性质；正方形的性质．【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2）根据弧长公式计算．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴=，∵M为中点，∴=，∴+=+，即=，∴BM=CM；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴⊙O的周长为4π，∴的长=×4π=π．【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．25．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•C D的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AB=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BD，AD2=AC•CD，∴BD2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠D．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．26．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．【考点】矩形的性质；角平分线的性质．【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD•tan∠DAM=即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例=，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴S△NAB =S△NAQ=×AN•NQ=××3×4=；（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴=，∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：BH===，∴CF=，∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．27．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，原点代入即可．（2）设抛物线为y=ax2+bx，则h=﹣，b=﹣2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h表示），又抛物线y=tx2也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．（3）根据条件列出关于a的不等式即可解决问题．【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，∵抛物线经过原点，∴0=a（0﹣1）2+2，∴a=﹣2，∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x．（2）∵抛物线经过原点，∴设抛物线为y=ax2+bx，∵h=﹣，∴b=﹣2ah，∴y=ax2﹣2ahx，∵顶点A（h，k），∴k=ah2﹣2ah，抛物线y=tx2也经过A（h，k），∴k=th2，∴th2=ah2﹣2ah2，∴t=﹣a，（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上，∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，∴h=，∵﹣2≤h＜1，∴﹣2≤＜1，①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0，②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣．【点评】本题考查二次函数综合题、不等式等知识，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个问题解不等式要注意讨论，属于中考压轴题．。
2022年福建省中考数学试卷(含解析)
2022年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）﹣11的相反数是（）A．﹣11B．−111C．111D．112．（4分）如图所示的圆柱，其俯视图是（）A．B．C．D．3．（4分）5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变．截止2021年底，全省5G终端用户达1397.6万户．数据13976000用科学记数法表示为（）A．13976×103B．1397.6×104C．1.3976×107D．0.13976×1084．（4分）美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（4分）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（）A．−√2B．√2C．√5D．π6．（4分）不等式组{x−1＞0，的解集是（）x−3≤0A．x＞1B．1＜x＜3C．1＜x≤3D．x≤37．（4分）化简（3a2）2的结果是（）A．9a2B．6a2C．9a4D．3a48．（4分）2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列．如图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图．综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是（）A．F1B．F6C．F7D．F109．（4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm10．（4分）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（）A．96B．96√3C．192D．160√3二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
2019-2020福州市中考数学试题(含答案)
AC
(2)
AliE
25.已知关于x的方程x2ax a20.
(1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根;
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根
【参考答案】
一、选择题
1.. D
解析：D
【解析】
根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项
去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x
尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（
x y5x y5
A. {1厂B- {1 l
x y 5x y+5
22
3.如图，在矩形ABCD中，AD=J2AB,
H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论：①/AED=/CED;
(1)原来每小时处理污水量是多少m2?
(2)若用新设备处理污水960m3,需要多长时间？
22.如图，AD是ABC的中线，AE//BC,BE交AD于点F,F是AD的中点，连 接EC.
(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；
(2)若四边形ABCE的面积为S,请直接写出图中所有面积是1s的三角形.
m (X 0)经过点B . X
2019-2020福州市中考数学试题（含答案）
一、选择题
1.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）
A. x2+x+1B. x2+2x-1C. x2—1D. x2-6x+9
2.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载 “绳索量竿”问题：、条竿子一条索，索比竿 子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索
解析判断后利用排除法求解：
[学子教育]福建省福州市中考数学真题及答案word带详细解析
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二○○九年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数 学 试 卷〔全卷共4页，三大题，共22小题；总分值150分；考试时间120分钟〕友谊提示：所有答案都必须填涂在答题卡上，答在本试卷上无效．毕业学校 姓名 考生号一、选择题〔共10小题，每题4分，总分值40分；每题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂〕1．2021的相反数是〔 〕A ．-2021B ．2009C ．12009-D ．12009【解析】此题考察的是相反数的概念。
2．用科学记数法表示660 000的结果是〔 〕 A ．66×104 B ．×105 C ．×106 D ．×1062． B 【解析】此题考察的是科学记数法。
任意一个绝对值大于10或绝对值小于1的数都可写成a ×10n 的形式。
其中1≤|a |<10.对于绝对值大于10的数,指数n 等于原数的整数位数减去1;对于绝对值小于1的数,指数n 等于原数第一位有效数字前的零的个数〔包括小数点前面那个零〕.所以660 000＝×105 3．∠1＝30°，那么∠1的余角度数是〔 〕 A ．160° B ．150° C ．70° D ．60°3． D 【解析】此题考察互余的概念.根据定义,和为90度的两个角互为余角,故答案为D . 4．二元一次方程组2,x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是〔 〕A ．0,2.x y =⎧⎨=⎩B ．2,0.x y =⎧⎨=⎩C ．1,1.x y =⎧⎨=⎩D ．1,1.x y =-⎧⎨=-⎩4． C 【解析】此题考察的是二元一次方程组的解法.根据此题特征,采用加法消元法先求出y ,得到关于x 的一元一次方程即可求得x ,y .5． 图1所示的几何体的主视图是〔 〕【解析】此题考察的是三视图.6．以下运算中，正确的选项是 〔 〕A ．2x x x +=B ．21x x -=C ．336()x x = D ．824x x x ÷=【解析】此题考察的是整式的运算,其中合并同类项法那么是:同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变；幂的乘方法那么是：底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；故答案为AA ．B ．C ．D ．7．假设分式21x -有意义，那么x 的取值范围是〔 〕全品 中考网 A ．1x ≠ B ．1x > C ．1x = D ． 1 x <7． A 【解析】此题考察的是分式有意义的条件.要使分式有意义,必须保证分母的值不等于0.8．如图2，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，假设AB ∶FG ＝2∶3，那么以下结论正确的选项是〔〕 A ．2DE ＝3MN B ．3DE ＝2MNC ．3∠A ＝2∠FD ．2∠A ＝3∠F8． BDE :MN ＝2:3.9．将1、2、3三个数字随机生成的点的坐标，列成表1．假如每个点出现的可能性相等，那么从中任意取一点，这个点在函数y x =图象上的概率是〔 〕 全品 中考网表1：A ．B ．0.5C ．3 D ．2310．如图3，AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周， P 为AD 上任意一点，假设5AC =，那么四边形ACBP 周长的最大值是〔 〕 A ．15 B ．20 C ．15＋ D ．15＋二、填空题〔共5小题，每题4分，总分值20分．请将答案填入答题卡的相应位置〕 11．分解因式：22x x -＝ ．全品中考网 全品 中考网11． x 〔x －2〕【解析】此题考察的是因式分解中的提取公因式法分解因式。
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二○○八年福州市初中毕业招生考试
数 学 试 卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1．5-的相反数是（ ）
A ．5
B ．5-
C ．15
D ．1
5
-
2．如图所示的物体是一个几何体，其主视图是（ ）
3．2008北京奥运会主会场“鸟巢”的座席数是91000个，这个数用科学记数法表示为（ ） A ．50.9110⨯
B ．49.110⨯
C ．39110⨯
D ．39.110⨯
4．实数a b ，在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
A ．0a >
B ．0b <
C ．a b >
D ．a b <
5．下列计算正确的是（ ） A ．246x x x += B ．235x y xy +=
C ．326()x x =
D ．632x x x ÷=
6．下列调查中，适合用全面调查方式的是（ ）
A ．了解某班学生“50米跑”的成绩
B ．了解一批灯泡的使用寿命
C ．了解一批炮弹的杀伤半径
D ．了解一批袋装食品是否含有防腐剂
7．已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A ．13cm
B ．6cm
C ．5cm
D ．4cm 8．一次函数21y x =-的图象大致是（ ）
9．如图，已知直线AB CD ，相交于点O ，OA 平分EOC ∠，
100EOC ∠=，则BOD ∠的度数是（ ）
A ．20
B ．40
C ．50
D ．80
A
E D
O B
10．已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，， 则代数式22008m m -+的值为（ ）
A ．2006
B ．2007
C ．2008
D ．2009
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11．因式分解：244x x ++= ．
12．如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的中点，若5DE =，则BC 的长是 ．
13．在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，
则摸到红球的概率是 ．
14．如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥于点C ，若8cm AB =，3cm OC =，则O 的半径为
cm ．
15．如图，在反比例函数2
y x
=（0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123S S S ，，，则123S S S ++= ．
三、解答题（满分90分．请将解答过程填入答题卡的相应位置．作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑） 16．（每小题7分，满分14分） （1
）计算：01
(π4)sin 302
---；
（2）化简：22
41
222a a a a
a ⎛⎫- ⎪--+⎝⎭．
（第14题） 2
y x
=
x
y
O
P 1
P 2
P 3
P 4 1
2 3 4
（第15题）
（第12题）
A B
C
E D
17．（每小题7分，满分14分）
（1）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，M 是AD 的中点，求证：MB MC =．
（2）如图，在Rt OAB △中，90OAB ∠=，且点B 的坐标为（4，2）． ①画出OAB △向下平移3个单位后的111O A B △；
②画出OAB △绕点O 逆时针旋转90后的22OA B △，并求点A 旋转到点2A 所经过的路线长（结果保留π）．
18．（本题满分12分）
某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A B C D ，，，四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（说明：A 级：90分~100分；B 级：75分~89分；C 级：60分~74分；D 级：60分以下） （1）求出D 级学生的人数占全班总人数的百分比； （2）求出扇形统计图中C 级所在的扇形圆心角的度数； （3）该班学生体育测试成绩的中位数落在哪个等级内； （4）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A 级和B 级的学生共有多少人？ 19．（本题满分11分） 如图，AB 是O 的直径，AD 是弦，22.5DAB ∠=，延长AB 到点C ，使得45ACD ∠=． （1）求证：CD 是O 的切线；
（2）若AB =BC 的长．
20．（本题满分12分）
今年5月12日，四川汶川发生了里氏8.0级大地震，给当地人民造成了巨大的损失．“一方有难，八方支援”，我市锦华中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表：
息：
信息一：这三个班的捐款总金额是7700元； 信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元； 信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于．．48元，小于．．51元． 请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题：
（1）求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元； （2）求出（1）班的学生人数．
21．（本题满分13分）
如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；
（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？
22．（本题满分14分）
如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点
F 处． （1）直接写出点
E 、
F 的坐标；
（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．
于点P ，且以点E 、F 、P 为（第21题）
顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．。