高中数学第1章导数及其应用习题课导数的应用学案苏教版选修2_2
高中数学 第一章 导数及其应用教案 苏教版选修22
第一章导数及其应用1．1导数的概念1．1.1 平均变化率(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型．2．过程与方法理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率．3．情感、态度与价值观感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：平均变化率的概念．难点：平均变化率概念的形成过程．为了使得平均变化率概念的引入自然流畅，可创设实际问题情境，如气球吹气时的平均膨胀率、跳板跳水某段起跳后的平均速度，通过具体的实例提出问题；借助天气预报中某天气温的变化曲线，以形助数，让学生有一个直观的认识，然后从数学的角度，描述这种现象就一目了然了．(教师用书独具)●教学建议本节课是起始课，对导数概念的形成起着奠基作用．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，要注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．●教学流程创设问题情境，提出问题，根据气球的平均膨胀率得出平均变化率的概念.⇒应用平均变化率的概念，完成例1及其变式训练.⇒实际问题中的平均变化率，完成例2及其变式训练.⇒通过例3及其变式训练，进一步理解平均变化率的意义及其应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.在吹气球时，气球的半径r(单位：dm )与气球空气容量(体积)V(单位：L )之间的函数关系是r(V)＝33V4π.1．当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球的平均膨胀率是多少？ 【提示】 平均膨胀率为r （1）－r （0）1－0≈0.621＝0.62(dm /L )．2．当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？ 【提示】 平均膨胀率为r （V 2）－r （V 1）V 2－V 1.一般地，函数y ＝f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，其中Δy＝f(x 2)－f(x 1)是函数值的改变量．如图所示，函数y ＝f(x)图象上四点A ，B ，D ，E.1．由Δy ＝f(x 2)－f(x 1)能否判断曲线在A→B 段的陡峭程度？ 【提示】 不能．2．平均变化率f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1能否近似刻画曲线在A→B 段的陡峭程度？为什么？曲线段AB 与曲线段DE 哪段更陡峭？【提示】 能．因为k AB ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1表示A ，B 两点所在直线的斜率，所以可近似地刻画曲线段AB 的陡峭程度．由于k DE ＞k AB ，知曲线段DE 更加陡峭．从平均变化率的定义知，其几何意义是经过曲线y ＝f(x)上两点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)的直线PQ 的斜率．因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．已知函数f(x)＝x 2＋x ，分别计算f(x)在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.5]上的平均变化率．【思路探究】 对于给定的三个区间，分别求函数值的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比值ΔyΔx. 【自主解答】 (1)函数f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为f （3）－f （1）3－1＝32＋3－（12＋1）2＝5.(2)函数f(x)在区间[1，2]上的平均变化率为 f （2）－f （1）2－1＝22＋2－（12＋1）1＝4.(3)函数f(x)在区间[1，1.5]上的平均变化率为f （1.5）－f （1）1.5－1＝1.52＋1.5－（12＋1）0.5＝3.5.1．本题主要依据平均变化率的意义代入公式直接计算，解题的关键是弄清自变量与函数值的增量．2．求函数y ＝f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤： (1)作差：求Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)； (2)作商：求Δy Δx ，即f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1的值．求函数y ＝5x 2＋6在区间[2，3]上的平均变化率．【解】 函数在区间[2，3]上的平均变化率为f （3）－f （2）3－2＝5×32＋6－5×22－61＝45－20＝25.在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m )与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.(1)求运动员在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率；(2)求高度h 在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．【思路探究】 (1)求函数h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10在区间[0，0.5]上的平均变化率；(2)求函数h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10在区间[1，2]上的平均变化率．【自主解答】 (1)运动员在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率为h （0.5）－h （0）0.5－0＝4.05(m /s )．(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为h （2）－h （1）2－1＝－8.2(m /s )．1．结合物理知识可知，在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降．事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.2．平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．已知某物体运动位移与时间的关系为s(t)＝12gt 2，试分别计算t 从3 s 到3.1 s ，3.001s 各段的平均速度，通过计算你能发现平均速度有什么特点吗？【解】 设物体在区间[3，3.1]，[3，3.001]上的平均速度分别为V 1，V 2， 则ΔS 1＝S(3.1)－S(3)＝12g ×3.12－12g ×32＝0.305g(m )． ∴物体从3 s 到3.1 s 时平均速度V 1＝ΔS 13.1－3＝0.305g 0.1＝3.05g(m /s )，同理V 2＝ΔS 23.001－3＝0.003 000 5g 0.001＝3.000 5g(m /s )．通过计算可以发现，随着时间间隔Δt 的变小，平均速度在向3g m /s 靠近，而3g m /s 为物体做自由落体运动时，t ＝3 s 时的瞬时速度．2012年冬至2013年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图1－1－1所示，据图回答：图1－1－1(1)2012年11月至2012年12月间，小麦受旱面积变化大吗？(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？(3)从2012年11月到2013年2月，与从2013年1月到2013年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？【思路探究】利用平均变化率的计算公式及其实际意义进行分析．【自主解答】(1)在2012年11月至2012年12月间，Δs变化不大，即小麦受旱面积变化不大．(2)由图形知，在2013年1月至2013年2月间，平均变化率ΔsΔt较大，故小麦受旱面积增幅最大．(3)在2012年11月至2013年2月间，平均变化率＝s B －s A3， 在2013年1月至2013年2月间，平均变化率＝s B －s C1＝s B －s C ，显然k BC ＞k AB ，即s B －s C ＞s B －s A3，∴在2013年1月至2013年2月间，小麦受旱面积增幅较大．1．本例中的(2)(3)可数形结合，利用平均变化率进行分析，抓住平均变化率的几何意义．2．在实际问题中，平均变化率具有现实意义，应根据问题情境，理解其具体意义．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m /s 到0 m /s 花了5 s ，乙车从18 m /s 到0 m /s 花了4 s ，试比较两辆车的刹车性能．【解】 甲车速度的平均变化率为0－255＝－5(m /s 2)，乙车速度的平均变化率为0－184＝－4.5(m /s 2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．实际问题中平均变化率意义不明致误甲、乙二人跑步，路程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图1－1－2中①②所示，试问：图1－1－2(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？【错解】(1)对于图①，设甲、乙两曲线的右端点分别为A，B，显然有k OB＞k OA，故乙的平均变化率大于甲的平均变化率，所以乙比甲跑得快．(2)对于图②，在[0，t0]上，甲、乙的时间、路程相同，平均变化率相等，速度相等，所以两人跑得一样快．【错因分析】在(2)中，题意不明，误求甲、乙在[0，t0]上的平均变化率认为是终点附近的平均速度．【防范措施】(1)在实际问题中，理解平均变化率具有的现实意义；(2)弄清题目的要求，区别平均速度与瞬时速度．【正解】(1)同上面解法．(2)对于图②，在[0，t0]上，甲、乙的平均变化率是相等的，但甲的平均变化率是常数，而乙的变化率逐渐增大，快到终点时，乙的变化率大于甲的变化率，所以，快到终点时，乙跑得较快．1．准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy与自变量取值增量Δx的比值．涉及具体问题，计算Δy很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法．2．函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等．解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的．1．函数y＝2x＋2在[1，2]上的平均变化率是________．【解析】（2×2＋2）－（2×1＋2）2－1＝2.【答案】 22．圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为________． 【解析】 ∵S＝πr 2， ∴ΔS Δr ＝S （0.3）－S （0.1）0.3－0.1＝0.09π－0.01π0.2＝0.4π. 【答案】 0.4π3．如图1－1－3，函数y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率是________．图1－1－3【解析】 ∵k AB ＝y A －y B x A －x B ＝3－11－3＝－1，由平均变化率的意义知y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率为－1. 【答案】 －14．甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元)【解】 甲企业生产效益的平均变化率为100－1012×2－0＝154.乙企业生产效益的平均变化率为30－106－0＝103.∵154＞103， ∴甲企业的生产效益较好．一、填空题1．函数f(x)＝1x 在[2，6]上的平均变化率为________．【解析】 f （6）－f （2）6－2＝16－126－2＝－112.【答案】 －1122．函数f(x)＝log 2x 在区间[2，4]上的平均变化率是________． 【解析】 函数的平均变化率是f （4）－f （2）4－2＝2－12＝12.【答案】 123．已知某质点的运动规律为s(t)＝5t 2(单位：米)，则在1 s 到3 s 这段时间内，该质点的平均速度为________．【解析】 s （3）－s （1）3－1＝5×32－5×122＝20(m /s )．【答案】 20 m /s4．若函数f(x)＝x 2－c 在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m 等于________． 【解析】 由题意得（m 2－c ）－（12－c ）m －1＝3，∴m ＝2(m ＝1舍去)． 【答案】 25．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h 内发现水位从102.7m 上涨到105.1 m ，则水位涨幅的平均变化率是________m /h .【解析】105.1－102.724＝0.1(m /h )．【答案】 0.16．服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg /mL )来表示，它是时间t(单位：min )的函数，表示为c ＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值．)． 【解析】c （70）－c （30）70－30＝0.90－0.9840＝－0.002 mg /(mL ·min )． 【答案】 －0.0027．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)＝t ＋13t 3，则该物体在时间间隔[1，32]内的平均加速度为________．【解析】 平均加速度Δv Δt ＝32＋13·（32）3－（1＋13）32－1＝3112.【答案】3112图1－1－48．如图1－1－4所示，显示甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是________．①在0到t 0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t 0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t 0到t 1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t 0到t 1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度．【解析】 在[0，t 0]内甲、乙的平均速度为s 0t 0，①②错．在[t 0，t 1]上，v 甲＝s 2－s 0t 1－t 0，v乙＝s 1－s 0t 1－t 0. ∵s 2－s 0＞s 1－s 0，且t 1－t 0＞0， ∴v 甲＞v 乙，故③正确，④错误． 【答案】 ③ 二、解答题9．求函数f(x)＝x 2＋1x＋4在区间[1，2]上的平均变化率．【解】 f(x)＝x 2＋1x ＋4在区间[1，2]上的平均变化率为22＋12＋4－（12＋11＋4）2－1＝52.10．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c(x)＝x 3－6x 2＋15x(元)，而售出x 台的收入是r(x)＝x 3－3x 2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？【解】 依题意，生产并售出x 台所获得的利润是 L(x)＝r(x)－c(x)＝3x 2－3x(元)， ∴x 取值从10台至20台的平均利润为L （20）－L （10）20－10＝3×202－3×20－（3×102－3×10）10＝87(元)，故所求平均利润为87元．11．(2013·泰安高二检测)巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？图1－1－5【解】 山路从A 到B 高度的平均变化率为 h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15， 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭得多．(教师用书独具)已知气球的体积为V(单位：L )与半径r(单位：dm )之间的函数关系是V(r)＝43πr 3.(1)求半径r 关于体积V 的函数r(V)；(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？【自主解答】 ∵V＝43πr 3，∴r 3＝3V 4π，r ＝ 33V 4π，即r(V)＝ 33V4π.(2)函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率约为 r （1）－r （0）1－0＝33×14π－01≈0.62(dm /L )，函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率约为r （2）－r （1）2－1＝ 33×24π－ 33×14π≈0.16(dm /L )．显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．一块正方形的铁板在0 ℃时，边长为10 cm ，加热铁板会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm ，a 为常数，试求0～10 ℃内铁板面积S 的平均变化率．【解】 铁板面积S ＝102(1＋at)2， 在区间[0，10]上，S 的平均变化率为S （10）－S （0）10－0＝102（1＋10a ）2－10210＝200a ＋1 000a 2，即0～10 ℃内铁板面积S 的平均变化率为(200a ＋1 000a 2)cm 2/℃.1．1.2 瞬时变化率——导数(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解导数概念的实际背景；理解函数在某点处导数以及在某个区间的导函数的概念；会用定义求瞬时速度和函数在某点处的导数．2．过程与方法用函数的眼光来分析研究物理问题；经历由平均速度与瞬时速度关系类比由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会数形结合、特殊到一般、局部到整体的研究问题的方法．3．情感、态度与价值观通过导数概念的形成过程，体会导数的思想及其内涵；激发学生兴趣，在从物理到数学，再用数学解决物理问题的过程中感悟数学的价值．●重点难点重点：函数在某一点处的导数的概念及用导数概念求函数在一点处的导数．难点：从实例中归纳、概括函数瞬时变化率的定量分析过程，及函数在开区间内的导函数的理解．为了突出重点、突破难点，在导数概念的教学中，积极创设问题情境，从学生已有的认知入手，例如物理学中的瞬时速度、曲线割线的斜率等，采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，通过不断出现的一个个问题，一步步创设出使学生有兴趣探索知识的“情境”，通过反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从而更好地理解导数概念．(教师用书独具)●教学建议新课标对“导数及其应用”内容的处理有较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照“平均变化率——曲线在某一点处的切线——瞬时速度(加速度)——瞬时变化率——导数的概念”这样的顺序来安排，用“逼近”的方法来定义导数，这种概念建立的方式直观、形象、生动，又易于理解，突出导数概念的形成过程．因此，在教学中采用教师启发诱导与学生动手操作、自主探究、合作交流相结合的教学方式，引导学生动手操作、观察、分析、类比、抽象、概括，并借助excel及几何画板演示，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．●教学流程利用割线逼近切线的方法探究曲线上一点处的切线.⇒通过缩小时间间隔，由平均速度得出瞬时速度.⇒会求瞬时速度和瞬时加速度，完成例1与变式训练.⇒利用瞬时变化率得出导数的概念，会求函数在某点处的导数，完成例2及互动探究.⇒根据导数的几何意义，完成例3及其变式训练.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？曲线上在某一点处的切线的含义是什么？【提示】 切线与曲线不一定只有一个公共点，如图，曲线C 在点P 处的切线l 与曲线C 还有一个公共点Q.曲线上某一点处的切线，其含义是以该点为切点的切线．2．运动物体在某一时刻的瞬时加速度为0，那么该时刻物体是否一定停止了运动？ 【提示】 不是．瞬时加速度刻画的是速度在某一时刻的变化快慢，瞬时加速度为0，并不是速度为0.1．曲线上一点处的切线设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线，随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C.当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线．2．瞬时速度、瞬时加速度(1)如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S （t 0＋Δt ）－S （t 0）Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，即位移对于时间的瞬时变化率．(2)如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率v （t 0＋Δt ）－v （t 0）Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，即速度对于时间的瞬时变化率．1.导数设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率，切线PT 的方程是y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．求瞬时速度、瞬时加速度已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v＝3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)，(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求ΔvΔt；(2)求质点M在t＝2时的瞬时加速度．【思路探究】【自主解答】ΔvΔt＝v（t＋Δt）－v（t）Δt＝3（t＋Δt）2＋2－（3t2＋2）Δt＝6t＋3Δt.(1)当t＝2，Δt＝0.01时，ΔvΔt＝6×2＋3×0.01＝12.03(cm/s2)．(2)当Δt无限趋近于0时，6t＋3Δt无限趋近于6t，则质点M在t＝2时的瞬时加速度为12 cm/s2.1．求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别．2．求瞬时加速度：(1)求平均加速度ΔvΔt；(2)令Δt →0，求出瞬时加速度．质点M 按规律s(t)＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s )．若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m /s ，求常数a 的值．【解】 ∵Δs ＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4a Δt ＋a(Δt)2， ∴ΔsΔt＝4a ＋a Δt. 当Δt →0时，ΔsΔt→4a. ∵在t ＝2时，瞬时速度为8 m /s ，∴4a ＝8，∴a ＝2.求函数y ＝f(x)＝x －1x在x ＝1处的导数．【思路探究】求Δy ＝f （1＋Δx ）－f （1）―→求Δy Δx→令Δx →0，求ΔyΔx→A 的值 【自主解答】 ∵Δy ＝(1＋Δx)－11＋Δx －(1－11)＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx.∴ΔyΔx＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx→1＋1＝2. ∴f ′(1)＝2.1．本题是利用定义求f′(1)，解题的关键是求出ΔyΔx并化简，利用定义求解的步骤为：①求函数的增量Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)；②求平均变化率ΔyΔx；③当Δx 无限趋近于0时，确定ΔyΔx的无限趋近值． 2．求f′(x 0)也可先求出导函数f′(x)，再将x ＝x 0代入，即求出f′(x)在点x ＝x 0处的函数值．在例题中，若条件改为f′(x 0)＝54，试求x 0的值．【解】 ∵Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)＝(x 0＋Δx)－1x 0＋Δx －(x 0－1x 0)＝Δx ＋Δxx 0（x 0＋Δx ）∴Δy Δx ＝1＋1x 0（x 0＋Δx ）当Δx →0时，Δy Δx →1＋1x 20. 又f′(x 0)＝54，则1＋1x 20＝54.∴x 0＝±2.已知抛物线y ＝2x 2，求抛物线在点(1，2)处的切线方程．【思路探究】 根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用点斜式即可写出切线方程．【自主解答】 因为点(1，2)在抛物线上，所以抛物线在点(1，2)处的切线斜率为函数y ＝2x 2在x ＝1处的导数f′(1)．因为Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝2（1＋Δx ）2－2×12Δx＝4＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋2Δx 无限趋近于4，所以f ′(1)＝4. 所以切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.1．本题是“给出曲线和切点(x 0，f(x 0))求切线方程”，此时切线的斜率就是f′(x 0)，则该点处的切线方程为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)．2．若求“过点(x 0，y 0)的切线方程”，此时所给的点有可能不是切点，切线的斜率还用f′(x 0)则可能会出错．此时应先设出切点坐标P(x′0，y ′0)，由已知条件列出切点横坐标的方程，求x′0，然后再求解．曲线y ＝x 3＋11在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________．【解析】 ∵Δy Δx ＝（x 0＋Δx ）3＋11－x 30－11Δx＝3x 0Δx ＋3x 20＋(Δx)2，∴当x 0＝1，Δx →0时，k ＝f′(1)＝3.∴曲线y ＝x 3＋11在点P(1，12)处的切线为y ＝3x ＋9. ∴当x ＝0时，y ＝9.因此所求切线与y 轴交点的纵坐标为9. 【答案】 9对导数定义理解不透彻致误已知f′(1)＝－2，则当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）Δx→________．【错解】 当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）Δx →－2.【答案】 －2【错因分析】 产生错解的原因是对导数定义的理解不透彻，一味地套用公式．本题分子中自变量的增量是2Δx ，即(1＋2Δx)－1＝2Δx ，而错解中分母中的增量为Δx ，二者不是等量的．【防范措施】 在导数定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但无论如何变化，其实质是分子中的自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．【正解】f （1＋2Δx ）－f （1）Δx ＝2·f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx →f ′(1)，∴2·f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx →2f ′(1)＝2×(－2)＝－4. 【答案】 －41．不管是求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度，还是求实际问题中的瞬时变化率，它们的解题步骤都是一样的——(1)计算Δy ，(2)求Δy Δx ，(3)看Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于哪个常数．2．准确理解导数的概念，正确求y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数注意两点：(1)Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x)不能误认为Δy ＝f(Δx)；(2)求解时不给出Δx 的具体值，否则求出的是平均变化率，而不是瞬时变化率(导数)．3．求过某点曲线的切线方程的类型及求法．(1)若已知点(x 0，y 0)为切点，则先求出函数y ＝f(x)在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不是切点，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．因此求曲线的切线方程一定要明确切点的位置，分清楚是“曲线在某点处的切线”还是“过某点的曲线切线”．1．如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为________．【解析】 Δs Δt ＝3（3＋Δt ）2－3×32Δt＝18＋3Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→18＋3×0＝18. ∴质点A 在t ＝3时的瞬时速度为18. 【答案】 182．已知f(x)＝2x ＋5，则f(x)在x ＝2处的导数为________．【解析】 Δy ＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)＋5－(2×2＋5)＝2Δx ， ∴ΔyΔx＝2，∴f ′(2)＝2. 【答案】 23．抛物线y ＝14x 2在点Q(2，1)处的切线方程为______．【解析】 Δy Δx ＝14（2＋Δx ）2－14×22Δx ＝1＋14Δx.当Δx →0时，ΔyΔx→1，即f′(2)＝1， 由导数的几何意义，点Q 处切线斜率k ＝f′(2)＝1. ∴切线方程为y －1＝1(x －2)即y ＝x －1. 【答案】 y ＝x －14．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数． 【解】 法一 ∵Δy ＝1＋Δx －1，∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx ＝11＋Δx ＋1无限趋近于12， ∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.法二Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x， 当Δx →0时，Δy Δx →12x ，所以y′＝12x. 当x ＝1时，y ′＝12.∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.一、填空题1．设函数f(x)在x ＝x 0处可导，当h 无限趋近于0时，对于f （x 0＋h ）－f （x 0）h 的值，以下说法中正确的是________．①与x 0，h 都有关；②仅与x 0有关而与h 无关； ③仅与h 有关而与x 0无关；④与x 0，h 均无关．【解析】 导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f(x)在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与h 无关．【答案】 ②2．(2013·徐州高二检测)函数f(x)＝x 2在x ＝3处的导数等于________．【解析】 Δy Δx ＝（3＋Δx ）2－32Δx＝6＋Δx ，令Δx →0，得f′(3)＝6. 【答案】 63．(2013·合肥高二检测)函数y ＝f(x)的图象在点P 处的切线方程是y ＝－2x ＋9，若P 点的横坐标为4，则f(4)＋f′(4)＝________．【解析】 由导数的几何意义，f ′(4)＝－2. 又f(4)＝－2×4＋9＝1. 故f(4)＋f′(4)＝1－2＝－1. 【答案】 －14．已知物体的运动方程为s ＝－12t 2＋8t(t 是时间，s 是位移)，则物体在t ＝2时的速度为________．【解析】 Δs ＝－12(2＋Δt)2＋8(2＋Δt)－(8×2－12×22)＝6Δt －12(Δt)2，则Δs Δt ＝6－12Δt ， 当Δt →0时，ΔsΔt→6. 【答案】 65．曲线f(x)＝x 3在x ＝0处的切线方程为________．【解析】 Δy Δx ＝f （0＋Δx ）－f （0）Δx ＝（Δx ）3－0Δx＝(Δx)2.当Δx →0时，ΔyΔx→0. ∴由导数的几何意义，切线的斜率k ＝f′(0)＝0. 因此所求切线方程为y ＝0. 【答案】 y ＝06．若点(0，1)在曲线f(x)＝x 2＋ax ＋b 上，且f′(0)＝1，则a ＋b ＝________． 【解析】 ∵f(0)＝1，∴b ＝1.又Δy Δx ＝f （0＋Δx ）2－f （0）Δx＝Δx ＋a. ∴当Δx →0时，ΔyΔx→a ，则f′(0)＝a ＝1. 所以a ＋b ＝1＋1＝2. 【答案】 27．高台跳水运动员在t 秒时距水面高度h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10(单位：米)，则该运动员的初速度为________米/秒．【解析】 Δh Δt ＝－4.9（Δt ）2＋6.5·（Δt ）＋10－10Δt＝6.5－4.9Δt∵当Δt 无限趋近于0时，－4.9Δt ＋6.5无限趋近于6.5， ∴该运动员的初速度为6.5米/秒． 【答案】 6.58．(2013·泰州高二检测)已知函数f(x)在区间[0，3]上的图象如图1－1－6所示，记k 1＝f′(1)，k 2＝f′(2)，k 3＝f(2)－f(1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．图1－1－6【解析】 k 1表示曲线在x ＝1处的切线的斜率，k 2表示曲线在x ＝2处的切线的斜率， k 3表示两点(1，f(1))，(2，f(2))连线的斜率， 由图可知：k 1＞k 3＞k 2. 【答案】 k 1＞k 3＞k 2 二、解答题9．已知函数f(x)＝2x 2＋4x ，试求f′(3)． 【解】 Δy ＝f(3＋Δx)－f(3)＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－30＝2(Δx)2＋16Δx ， ∴ΔyΔx＝2Δx ＋16， 当Δx →0时，ΔyΔx→16. 因此f′(3)＝16.10．子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为s ＝12at 2，如果它的加速度是a ＝5×105m /s 2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 【解】 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a(t 0＋Δt)2－12at 20＝at 0(Δt)＋12a(Δt)2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a(Δt)．所以当Δt →0时，ΔsΔt→at 0. 由题意知，a ＝5×105m /s 2，t 0＝1.6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800(m /s )， 即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m /s . 11．已知曲线y ＝1t －x 上两点P(2，－1)，Q(－1，12)． 求：(1)曲线在点P ，Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程． 【解】 将P(2，－1)代入y ＝1t －x ，得t ＝1，∴y ＝11－x ，设f(x)＝11－x， ∵f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝11－（x ＋Δx ）－11－x Δx＝Δx[1－（x ＋Δx ）]（1－x ）Δx＝1（1－x －Δx ）（1－x ），∴当Δx →0时，1（1－x －Δx ）（1－x ）→1（1－x ）2.∴f ′(x)＝1（1－x ）2.(1)由导数的几何意义，知曲线在点P 处的切线斜率f′(2)＝1. 曲线在点Q 处的切线斜率f′(－1)＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0，曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0.(教师用书独具)已知曲线y ＝2x ＋1，问曲线上哪一点处的切线与直线y ＝－2x ＋3垂直，并求切线方程．【自主解答】 设切点坐标为(x 0，y 0)，Δy Δx ＝2x 0＋Δx ＋1－（2x 0＋1）Δx＝2x 0＋Δx －2x 0Δx ＝2[（x 0＋Δx ）2－（x 0）2]Δx （x 0＋Δx ＋x 0）＝2x 0＋Δx ＋x 0.当Δx →0时，2x 0＋Δx ＋x 0→2x 0＋x 0＝1x 0， 又直线y ＝－2x ＋3的斜率为－2， 所以所求切线的斜率为12，故1x 0＝12.所以x 0＝4，y 0＝5，所以切点坐标为(4，5)， 切线方程为y －5＝12(x －4)，即x －2y ＋6＝0.已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】 设切点为P(t ，t 2＋1)．∵Δy Δx ＝（t ＋Δx ）2＋1－（t 2＋1）Δx＝2t ＋Δx ， 当Δx →0时，ΔyΔx→2t. 由导数的几何意义，在点P(t ，t 2＋1)处切线的斜率k ＝f′(t)＝2t ， ∴切线方程为y －(t 2＋1)＝2t(x －t)， 将(1，a)代入，得a －(t 2＋1)＝2t(1－t)， 即t 2－2t ＋(a －1)＝0， 因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a －1)＞0， 解得a ＜2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．1．2导数的运算1．2.1 常见函数的导数(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题．2．过程与方法使学生掌握由定义求导数的三个步骤，推导四种常见函数的导数公式．3．情感、态度与价值观通过本节的学习进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识，注意培养学生归纳类比的能力．●重点难点重点：利用导数公式，求简单函数的导数．难点：对导数公式的理解与记忆．在初等函数的求导公式中，对数函数与指数函数的求导公式比较难记忆，要区分公式的结构特征，找出他们之间的差异去记忆．(教师用书独具)●教学建议导数的定义不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法，但是，如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的，因此，我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)，借助它们来简化导数的计算过程．因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式，使得用定义求导数比较麻烦、计算量很大的问题得以解决，为以后导数的研究带来了方便，同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来，使得导数的优越性发挥得淋漓尽致．●教学流程创设情境，回忆导数的概念与导数的求法.⇒利用导数的定义求y＝x n(n＝1，2，3，。
高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.1 常见函数的导数知识导航 苏教版选修2-2-苏教版高二选修
1.2 导数的运算1.2.1 常见函数的导数知识梳理(1)C′=_____________(C 为常数); (2)(x n )′=_____________;(3)(sinx)′=_____________;(4)(cosx)′=_____________;(5)(e x )′=_____________;(6)(a x )′=_____________;(7)(lnx)′=_____________;(8)(log a x)=_____________;(9)(x α)′=_____________.知识导学由导数定义给出了求导数的最基本方法,因为导数是由极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限运算.这显然比较麻烦,甚至困难,但是找到一些常用函数的导数将使求导工作大大简便,因此要熟记常见函数的导数.疑难突破通过几个实例归纳出y=x n 的导数的形式;熟记基本初等函数的求导公式.剖析:通过对函数y=kx+b,y=x 2,y=x 3,y=x1及y=x 几种函数导数的推导过程,总结出y=x n 的导数的形式，这是培养学生善于思考及善于归纳的好习惯.正确记忆基本初等函数的求导公式是本节课的重点和难点,只有熟练记忆才能用起来方便.常用函数的导数公式是求导的基础,高考中经常涉及,但单独考查利用导数公式求导数的题目并不多,常与其他知识联系起来考查.典题精讲【例1】 (1)求曲线y=sinx 在点P(23,3π)处切线的斜率k; (2)物体运动方程为s=3414-t ,求当t=5时瞬时物体运动的速度v. 思路分析：本题是一道导数应用题,必须从导数的公式入手.解:(1)(sinx)′=cosx,当x=3π时,k=213cos =π. (2)s′=(3414-t )′=t 3,当t=5时,v=125. 变式训练：已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x 2上的两点,求与直线PQ 平行的曲线y=x2的切线方程.思路分析：本题是已知斜率求点的坐标的问题.可先设出点的坐标，再代入方程求得切线方程.解:y′=(x 2)′=2x,设切点坐标为M(x 0,y 0)，则当x=x 0时，切线斜率k=2x 0,因为PQ 的斜率为1214+-=1.又切线平行于直线PQ,所以k=2x 0=1，即x 0=21. 所以切点M(41,21).所求切线方程为2141-=-x y ,即4x-4y-1=0. 【例2】 求曲线y=2x 2-1的斜率为4的切线方程.思路分析：导数反映了函数在某一点处的变化率,它的几何意义就是相应曲线在该点处的切线的斜率.由于切线的斜率已知,只要确定切点的坐标,先利用导数求出切点的横坐标,再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标,从而可求出切线方程.解:设切点为P(x 0,y 0)，则y′=(2x 2-1)′=4x.当x=x 0时,4=4x 0,∴x 0=1;当x 0=1时,y 0=1,∴切点P 的坐标为(1,1).故所求切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.绿色通道：联系实际，深刻理解导数的意义,在不同的区域代表的具体意义不一样,但本质上都是指事物在某过程中的变化率的极值.变式训练：求过曲线y=cosx 上点P(21,3π),且与过这点的切线垂直的直线方程. 思路分析：首先要求切线的斜率. 解:因为y=cosx,所以y′=(cosx)′=-sinx.曲线在点P(21,3π)处的切线斜率是233sin -=-π, 所以过点P 且与切线垂直的直线的斜率为33232=. 所以所求直线方程为)3(33221π-=-x y , 即233232+--πy x =0. 【例3】 已知直线x+2y-4=0与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点.O 是坐标原点,试在抛物线的上求一点P,使△ABP 面积最大.思路分析：依题意|AB|为定值,只要P 点到AB 的距离最大,S △ABP 就最大,问题转化为在抛物线的上求一点P 到直线AB 的距离最大.由导数的几何意义,知P 为抛物线上与AB 平行的切线的切点,求出P 点坐标即可,也可用解析几何知识求解.解法一:如图1-2-1所示，|AB|是定值,△PAB 的面积最大.只需P 到AB 的距离最大,即只需点P 是抛物线上平行于AB 的切线的切点.设P(x,y)，由图知点P 在x 轴下方的图象上,所以x y 2-=.所以y′=x1-.图1-2-1 因为k AB =21-,所以211-=-x ,x=4. 又y 2=4x(y ＜0)时,y=-4，所以P(4,-4). 解法二:设P(020,4y y ).因为|AB|为定值,要使△PAB 的面积最大,只需P 到直线AB:x+2y-4=0的距离最大.设距离为d,则 d=|8)4(41|515|4241|20020-+=-+y y y , y 0∈(424,244---).当y 0=-4时,d 最大.此时△PAB 的面积最大,所以P(4,-4).绿色通道：解法一是利用导数的几何意义解题,注意数形结合思想的运用;解法二是用函数的方法求P 点的坐标,注意配方法的运用.变式训练：已知抛物线c 1：y=x 2+2x 和c 2：y=-x 2+a.如果直线l 同时是c 1和c 2的切线,称l是c 1和c 2的公切线.公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.(1)a 取什么值时,c 1和c 2有且仅有一条公切线?写出此公切线方程.(2)若c 1和c 2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.(1)解:函数y=x 2+2x 的导数y′=2x+2,曲线c 1在点P(x 1,x 12+2x 1)的切线方程是y-(x 12+2x 1)=(2x 1+2) (x-x 1),即y=(2x 1+2)x-x 12.①函数y=-x 2+a 的导数为y′=-2x,曲线c 2在点Q(x 2,-x 22+a)处的切线方程是y-(-x 22+a)=-2x 2(x-x 2),即y=-2x 2x+x 22+a.②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程，所以⎩⎨⎧+=--=+.,1222121a x x x x 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a=0. 若判别式Δ=4-4×2(1+a)=0,即a=21-,解得x 1=21-.此时点P 与Q 重合，即当a=21-时，c 1和c 2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为41-=x y . (2)证明：由(1)知，当a ＜21-时，c 1和c 2有两条公切线.设一条公切线上的切点为P(x 1,y 1), Q(x 2,y 2),其中P 在c 1上，Q 在c 2上，则有x 1+x 2=-1,y 1+y 2=x 12+2x 1+(-x 22+a)=x 12+2x 1-(x 1+1)2+a=-1+a,线段PQ 的中点坐标为(21,21a +--). 同理，另一条公切线段P′Q′的中点坐标也是(21,21a +--),所以公切线段PQ 和P′Q′互相平分.问题探究问题：函数y=f(x)在x 0处的导数是如何定义的?若x 0∈(a,b),y=f(x)在x 0处可导,则y=f(x)在(a,b)内处处可导吗?导思：函数y=f(x)在x 0处可导即当x 0∈(a,b )时,y=f(x)在x 0处可导.与y=f(x)在(a,b)内处处可导是两码事.函数y=f(x)在(a,b)内处处可导,必须满足对任意的x 0∈(a,b)时,y=f(x)在x 0处可导.探究：自变量x 在x 0处有增量Δx,那么相应地函数y 也有增量Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0).若Δx 趋近于0时,xy ∆∆存在,则这个值就是y=f(x)在x=x 0处的导数,x 0∈(a,b)时,y=f(x)在x 0处可导,只能说明在(a,b)内某一点x 0处可导,而不能说明在(a,b)内处处可导.。
高中数学第1章导数及其应用阶段复习课学案苏教版选修22
高中数学第1章导数及其应用阶段复习课学案苏教版选修22第一课 导数及其应用导数的几何意义及其应用【例1】 已知曲线y ＝3x 3＋3.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[解] (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0.∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4，∴x 0＝±2. ∴切点为(2,4)或⎝⎛⎭⎪⎫－2，－43.∴斜率为4的曲线的切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x－3y ＋20＝0.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先求出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 注意：曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y ＝x 3在(1,1)处的切线l 与y ＝x 3的图象还有一个交点(－2，－8)．1．(1)曲线y ＝x ex －1在点(1,1)处切线的斜率等于________．(2)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是________．(填序号)(1)2 (2)②[(1)y′＝e x－1＋x e x－1＝(x＋1)e x－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.(2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．①中，在x＝0时变化率最小，故错误；③中，变化率是越来越大的，故错误；④中，变化率是越来越小的，故错误；②正确．]函数的单调性与导数【例2】(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)内单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．[思路探究] 研究函数的单调性可通过判断导数的符号来解决．因为涉及参数a，所以要分类讨论．[解] (1)由已知，得f′(x)＝3x2－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上单调递增，所以a≤0.故实数a的取值范围是a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)内恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)内恒成立．因为－1<x<1，所以3x2<3，所以只需a≥3.因为当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上单调递减，所以a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)内单调递减．求函数的单调区间的方法步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)计算函数f (x )的导数f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，得到函数f (x )的递增区间；解不等式f ′(x )<0，得到函数f (x )的递减区间．注意：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．2．设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1(a ≠0)，讨论函数f (x )的单调性． [解] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋ax (x ＋1)2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ， 由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)，①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12＜a ＜0时，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a.因为x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0，所以，x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得，当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a上单调递增．函数的极值、最值与导数【例3】f x x 3ax 2b P P 3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．[思路探究] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f ′(1)＝－3，求出a ，b 即可．(2)对t 分0<t ≤2与2<t <3两种情况求最值．(3)构造函数g (x )＝f (x )－c 转化为g (x )在[1,3]上有实根求解．[解] (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为：f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )最大值＝f (0)＝2，f (x )最小值＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 0 (0,2) 2 (2，t ) tf ′(x ) 0 －0 ＋f (x )2极小值－2t 3－3t 2＋2最小值最大值f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0.所以f (x )最大值＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ，g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0.要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0.解得－2<c ≤0.1．求函数的极值的方法(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )． (2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值．2．求函数的最值的方法 (1)求f (x )在(a, b )内的极值．(2)将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较得出函数f (x )在[a ，b ]上的最值．3．已知函数f (x )＝－x 3＋12x ＋m .(1)若x ∈R ，求函数f (x )的极大值与极小值之差； (2)若函数y ＝f (x )有三个零点，求m 的取值范围；(3)当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为－2，求f (x )的最大值． [解] (1)f ′(x )＝－3x 2＋12. 当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2. 当f ′(x )＞0时，－2＜x ＜2. 当f ′(x )＜0时，x ＜－2或x ＞2.∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增． ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－16＋m .f (x )极大值＝f (2)＝16＋m .∴f (x )极大值－f (x )极小值＝32.(2)由(1)知要使函数y ＝f (x )有三个零点，必须⎩⎪⎨⎪⎧f (x )极小值＜0，f (x )极大值＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－16＋m ＜0，16＋m ＞0，∴－16＜m ＜16.∴m 的取值范围为(－16,16)．(3)当x ∈[－1,3]时，由(1)知f (x )在[－1,2)上单调递增，f (x )在[2,3]上单调递减，f (x )的最大值为f (2)．又f (－1)＝－11＋m ，f (3)＝m ＋9， ∴f (－1)＜f (3)，∴在[－1,3]上f (x )的最小值为f (－1)＝－11＋m ， ∴－11＋m ＝－2，∴m ＝9.∴当x ∈[－1,3]时，f (x )的最大值为f (2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.生活中的优化问题【例4】 r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元． 又据题意知200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0， 故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性说课稿2 苏教版选修2-2
导数在研究函数中的应用—单调性一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。
它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。
通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。
事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。
教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。
师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．四、教学重点、难点我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。
其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。
教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。
五、教学方法与教学手段教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。
教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。
教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。
六、教学过程教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 导数实际生活中的应用习题 苏教版选修2-2
【创新设计】2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用 1.4 导数实际生活中的应用习题苏教版选修2-2明目标、知重点1．了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路优化问题→用函数表示的数学问题优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.[情境导学]生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．探究点一面积、体积的最值问题思考如何利用导数解决生活中的优化问题？答(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值．(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解 设版心的高为x dm ，则版心的宽为128xdm ，此时四周空白面积为S (x )＝(x ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫128x ＋2－128 ＝2x ＋512x＋8，x >0.求导数，得 S ′(x )＝2－512x2.令S ′(x )＝2－512x2＝0，解得x ＝16(x ＝－16舍去)．于是宽为128x ＝12816＝8.当x ∈(0,16)时，S ′(x )<0； 当x ∈(16，＋∞)时，S ′(x )>0.因此，x ＝16使函数S (x )取得极小值，也是最小值．所以，当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，能使海报四周空白面积最小． 答 当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，海报四周空白面积最小．反思与感悟 (1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．跟踪训练1 如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．答案 32米，16米解析 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x 米，则长为512x米，∴新墙壁总长度L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16. ∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L min ＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．探究点二 利润最大问题例 2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr 2分，其中r (单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解 由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是 y ＝f (r )＝0.2×43πr 3－0.8πr 2＝0.8π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 33－r 2，0<r ≤6.令f ′(r )＝0.8π(r 2－2r )＝0. 当r ＝2时，f ′(r )＝0. 当r ∈(0,2)时，f ′(r )<0； 当r ∈(2,6)时，f ′(r )>0.因此，当半径r >2时，f ′(r )>0，它表示f (r )单调递增，即半径越大，利润越高；半径r <2时，f ′(r )<0，它表示f (r )单调递减，即半径越大，利润越低． 所以，半径为6 cm 时，利润最大．半径为2 cm 时，利润最小，这时f (2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )和f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减由上表可得，x 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值为42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 探究点三 费用(用材)最省问题例 3 已知A 、B 两地相距200 km ，一只船从A 地逆水行驶到B 地，水速为8 km/h ，船在静水中的速度为v km/h(8<v ≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v ＝12 km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解 设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k (k >0)， 则y 1＝kv 2，当v ＝12时，y 1＝720，∴720＝k ·122，得k ＝5. 设全程燃料费为y ，由题意，得 y ＝y 1·200v －8＝1 000v 2v －8，∴y ′＝2 000v v －8－1 000v 2v －82＝1 000v 2－16 000v v －82.令y ′＝0，得v ＝16，∴当v 0≥16，即v ＝16 km/h 时全程燃料费最省，y min ＝32 000(元)； 当v 0<16，即v ∈(8，v 0]时，y ′<0， 即y 在(8，v 0]上为减函数， ∴当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 20v 0－8(元)．综上，当v 0≥16时，v ＝16 km/h 全程燃料费最省， 为32 000元；当v 0<16，即v ＝v 0时全程燃料费最省，为1 000v 20v 0－8元．反思与感悟 本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v ＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内．跟踪训练3 现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解 (1)依题意得y ＝500x(960＋0.6x 2)＝480 000x＋300x ，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，即y ＝480 000x＋300x (0<x ≤35)．(2)由(1)知，y ′＝－480 000x2＋300，令y ′＝0， 解得x ＝40或x ＝－40(舍去)． 因为函数的定义域为(0,35]， 所以函数在定义域内没有极值点． 又当0<x ≤35时，y ′<0，所以y ＝480 000x＋300x 在(0,35]上单调递减，∴当x ＝35时，函数y ＝480 000x＋300x 取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________． 答案 4解析 设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2， ∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x， ∴S ′(x )＝2x －4×256x2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8， ∴h ＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为________． 答案 0.032 4解析 依题意，存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x ∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2. 令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)． 当0<x <0.032 4时，y ′>0； 当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0. 所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．3．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时底面边长为________．答案 34V解析 设底面边长为x ， 则表面积S ＝32x 2＋43xV (x >0)．∴S ′＝3x2(x 3－4V )．令S ′＝0，得x ＝34V .4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.因为x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数，x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升)． 因为h (x )在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答 汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． [呈重点、现规律]正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.一、基础过关1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是________．答案 －1解析 原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)， 所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．从边长为10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________ cm 3. 答案 144解析 设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm. 则y ＝(10－2x )(16－2x )x (0<x <5) ＝4x 3－52x 2＋160x ， ∴y ′＝12x 2－104x ＋160.令y ′＝0，得x ＝2或x ＝203(舍去)，∴y max ＝6×12×2＝144(cm 3)．3．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ， 则4r ＋2h ＝l ， ∴h ＝l －4r2，V ＝πr 2h ＝l2πr 2－2πr 3⎝⎛⎭⎪⎫0<r <l 4.则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0， ∴r ＝l6可以使V 取得极大值，也是最大值．∴当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.4．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为________ cm 3. 答案 128 000解析 设水箱底边长为x cm(0<x <120)，则水箱高h ＝60－x2(cm)．水箱容积V ＝V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32(cm 3)，V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝80.可判断得x ＝80 (cm)时，V 取最大值为128 000 cm 3.5．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是________． 答案 300解析 由题意得，总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390，令P ′(x )＝0，得x ＝300.6．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高为________ cm. 答案2033解析 设高为h cm ，体积为V cm 3，底面半径为r cm ， 则r 2＝202－h 2＝400－h 2， ∴V ＝13πr 2h ＝π3(400h －h 3)，V ′＝π3(400－3h 2)，令V ′＝0，得h ＝2033或h ＝－2033(舍)．7.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解 设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x (18 000x －20＋25)＝18 000xx －20＋25x .∴S ′＝18 000[x －20－x ]x －202＋25＝－360 000x －202＋25.令S ′>0得x >140， 令S ′<0得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增， 在(20,140)上单调递减， ∴S (x )的最小值为S (140)． 当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值为24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．二、能力提升8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 答案 5解析 依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x(k 1>0)，每月库存货物的运费y 2＝k 2x (k 2>0)，其中x 是仓库到车站的距离，于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45.令y ′＝0，得x ＝5(x ＝－5舍去)，可使y 取得最小值． 故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．9．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________． 答案 3解析 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R2，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，得S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R，∴S ′(R )＝2πR －54πR2＝0，∴R ＝3，则当R ＝3时，S 表最小．10.为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长为a 米，高为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a ＝________，b ＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)．答案 6 3解析 设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝kab，其中k (k >0)为比例系数．依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小，根据题设，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a >0，b >0)得b ＝30－a2＋a (0<a <30)． 于是y ＝kab ＝k30a －a 22＋a＝k 2＋a30a －a 2.令y ′＝a 2k ＋4ak －60k30a －a 22＝0，得a ＝6或a ＝－10(舍去)．∵本题只有一个极值，∴此极值即为最值．当a ＝6时，b ＝3，即当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解 (1)设需新建n 个桥墩， 则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x－1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋mx(2＋x )x＝256m x＋mx ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m2x 2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝mx －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．12.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 解 设速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km. 则总费用f (x )＝(kx 3＋200)·a x＝a (kx 2＋200x)．由已知条件，得40＝k ·203，∴k ＝1200，∴f (x )＝a (1200x 2＋200x)．令f ′(x )＝a x 3－20 000100x 2＝0，得x ＝10320. 当0<x <10320时，f ′(x )<0；当10320<x <100时，f ′(x )>0. ∴当x ＝10320时，f (x )有最小值， 即速度为10320 km/h 时，总费用最少．答 火车以10320 km/h 的速度行驶，才能使从甲城开往乙城的总费用最少．三、探究与拓展13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 解 (1)设容器的容积为V ， 由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3， 故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43(20r 2－r )．由于l ≥2r ，因此0<r ≤2. 所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43(20r 2－r )×3＋4πr 2c ，因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr，0<r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr2＝8πc －2r 2(r 3－20c －2)，0<r ≤2.由于c >3，所以c －2>0.精选教案可编辑 当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2. 令 320c －2＝m ，则m >0，所以y ′＝8πc －2r2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)． ①当0<m <2，即c >92时， 令y ′＝0，得r ＝m .当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m,2]时，y ′>0，所以r ＝m 使函数y 取得极小值，也是最小值．②当m ≥2，即3<c ≤92时， 当r ∈(0,2]时，y ′≤0，函数单调递减，所以r ＝2使函数y 取得最小值．综上所述，当3<c ≤92时， 建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝ 320c －2.。
高中数学 第一章 导数及其应用章末复习课 苏教版选修2-2
【创新设计】2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用章末复习课苏教版选修2-2题型一 用导数求曲线的切线方程利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，由y 0－y 1x 0－x 1＝f ′(x 1)和y 1＝f (x 1)求出x 1，y 1的值，转化为第一种类型．例1 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x.(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x＝x －a x，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．跟踪训练 1 已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值． 解 依题意有：f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)，∴l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0， ∵l 与圆相切，∴|2－a |4a －12＋1＝12⇒a ＝118， ∴a 的值为118.题型二 用导数求函数的单调区间 求解函数y ＝f (x )单调区间的步骤： (1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为减区间．特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连结．例2 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝(x －3)e x ，x ∈(0，＋∞)； (2)f (x )＝x (x －a )2.解 (1)f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，又x ∈(0，＋∞)，∴函数的单调增区间为(2，＋∞)，函数的单调减区间为(0,2)． (2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ， 由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝a3，x 2＝a .①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a3)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(a3，a )．②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )和(a3，＋∞)，单调递减区间为(a ，a3)．③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是单调递增的．综上，a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a 3)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(a3，a )；a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )和(a 3，＋∞)，单调递减区间为(a ，a3)；a ＝0时，函数f (x )的单调递增区间是(－∞，＋∞)．跟踪训练 2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝sin x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝x ln x .解 (1)函数的定义域是[0,2π]，f ′(x )＝cos x ，令cos x >0，解得2k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z )，当x ∈[0,2π]时，0<x <π2，或3π2<x <2π，令cos x <0，解得π2<x <3π2，因此，f (x )的单调递增区间是(0，π2)和(3π2，2π)，单调递减区间是(π2，3π2)．(2)函数的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令ln x ＋1>0得x >e －1，因此，f (x )的单调递增区间是(e －1，＋∞)，单调递减区间是(0，e －1)． 题型三 数形结合思想在导数中的应用 1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号． 若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值； 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值； 否则，此根不是f (x )的极值点．2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极植与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；特别地，①当f (x )在(a ，b )上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一个点处f (x )有极大(小)值，则可以断定f (x )在该点处f (x )有极大(小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)． 例 3 设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a ，b .解 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0， 得x 1＝0，x 2＝a .f (0)＝b ，f (a )＝－a 32＋b ，f (－1)＝－1－32a ＋b ，f (1)＝1－32a ＋b .因为23<a <1，所以1－32a <0，故最大值为f (0)＝b ＝1，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，所以a ＝63.故a ＝63，b ＝1.跟踪训练 3 已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋x (a 、b ∈R 且ab ≠0)的图象如图所示，若|x 1|>|x 2|，则有a ________0，b ________0.答案< <解析由f(x)的图象易知f(x)有两个极值点x1、x2，且x＝x1时有极小值，∴f′(x)＝3ax2＋2bx ＋1的图象如图所示，∴a<0.又|x1|>|x2|，∴－x1>x2，∴x1＋x2<0，即x1＋x2＝－2b3a<0，∴b<0.题型四定积分及其应用定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，它的物理意义表示做变速直线运动物体的位移或变力所做的功，所以利用定积分可求平面图形的面积以及变速运动的路程和变力做功等问题．利用定积分解决问题时要注意确定被积函数和积分上下限．例4 如图，是由直线y ＝x －2，曲线y 2＝x 所围成的图形，试求其面积S .解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，y ＝x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，故A (1，－1)，B (4,2)，如图所示，S ＝2ʃ10x d x ＋ʃ41(x －x ＋2)d x＝2×23x 32|10＋(23x 32－12x 2＋2x )|41＝2×23＋[(23×432－12×42＋2×4)－(23－12＋2)]＝92.跟踪训练 4 在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，如图所示，试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．解 面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形的面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 围成的面积， 即S 1＝t ·t 2－ʃt 0x 2d x ＝23t 3.面积S 2等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2，(1－t )， 即S 2＝ʃ1tx 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分面积S 为S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)， 由S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t (t －12)＝0， 得t ＝0，或t ＝12.由于当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t <1时，S ′(t )>0， 所以S (t )在0<t <12上单调递减，在12<t <1上单调递增． 所以当t ＝12时，S 最小，即图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．[呈重点、现规律]1．求函数中参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围．2．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )不恒为零；(3)与函数最值有关的问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可．。
高中数学第一章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用学案苏教版选修2_2
1.4 导数在实际生活中的应用的能力.导数在实际生活中的应用导数在实际生活中有着广泛的应用．例如，用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的______问题，从而可用________来解决．预习交流1 做一做：有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为______ m 2.预习交流2做一做：做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为______．预习交流3用导数求解生活中的优化问题时应注意哪些问题？预习导引 最值 导数预习交流1：提示：设矩形长为x m ，则宽为(8－x ) m ，矩形面积S ＝x (8－x )(8＞x ＞0)，令S ′＝8－2x ＝0，得x ＝4.此时S 最大＝42＝16(m 2)．预习交流2：提示：设半径为r ，则高h ＝27r 2，∴S ＝2πr ·h ＋πr 2＝2πr ·27r 2＋πr 2＝54πr＋πr 2，令S ′＝2πr －54πr2＝0，得r ＝3，∴当r ＝3时，用料最省．预习交流3：提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．一、面积、体积最大问题如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r .计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记CD =2x ，梯形面积为S .(1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．思路分析：表示面积时，首先要建立适当的平面直角坐标系，借助椭圆的方程，可表示出等腰梯形的高．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．1．求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法来解．2．必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，有利于解决问题．二、费用最省问题如图所示，设铁路AB =50，B ，C 之间距离为10，现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？思路分析：可从AB 上任取一点M ，设MB =x ，将总费用表示为变量x 的函数，转化为函数的最值求解．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？⎝⎛注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平⎭⎪⎫均购地费用＝购地总费用建筑总面积1．求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不2．在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；3．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围，即函数的定义域．三、利润最大问题某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？(2)若年销售量关于x 的函数为y ＝3 240⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润是多少？思路分析：根据题意建立目标函数关系式，利用导数求解．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格P (元/吨)之间的关系为P ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x 元．问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤：第一步，分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )．第二步，求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0. 第三步，比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．1．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为______．2．一个箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0＜x ＜60)，则当箱子的容积最大时，x 的值为__________．3．将8分成两个非负数之和，使这两个数中一个数的立方与另一个数的平方之和最小，则这个最小值等于__________．4．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为__________． 5．某商品每件成本9元，销售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低量x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？答案：活动与探究1：解：(1)依题意，以AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y ，满足方程222214x y r r+=(y ＞0)，解得y ＝2r 2－x 2(0＜x ＜r )．S ＝12(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )·r 2－x 2， 其定义域为{x |0＜x ＜r }．(2)记f (x )＝4(x ＋r )2(r 2－x 2),0＜x ＜r ，则f ′(x )＝8(x ＋r )2(r －2x )．令f ′(x )＝0，得x ＝12r .因为当0＜x ＜12r 时，f ′(x )＞0；当12r ＜x ＜r 时，f ′(x )＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 是f (x )的最大值．因此，当x ＝12r 时，S 也取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ＝332r 2，即梯形面积S 的最大值为332r 2.迁移与应用：解：设容器底面短边的边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5) m ，高为14.8－4x －4(x ＋0.5)4＝3.2－2x (m)．由题意知x ＞0，x ＋0.5＞0， 且3.2－2x ＞0，∴0＜x ＜1.6.设容器的容积为V m 3，则有V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x (0＜x ＜1.6)．∴V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令V ′＝0，有15x 2－11x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(舍去)．∴当x ∈(0,1)时，V ′(x )＞0，V (x )为增函数， x ∈(1,1.6)时，V ′(x )＜0，V (x )为减函数． ∴V 在x ∈(0,1.6)时取极大值V (1)＝1.8，这个极大值就是V 在x ∈(0,1.6)时的最大值，即V max ＝1.8.这时容器的高为1.2 m.∴当高为1.2 m 时，容器的容积最大，最大值为1.8 m 3. 活动与探究2：解：设MB ＝x ，于是AM 上的运费为2(50－x )，MC 上的运费为4102＋x 2，则由A 到C 的总运费为p (x )＝2(50－x )＋4100＋x 2(0≤x ≤50)．p ′(x )＝－2＋4x100＋x 2，令p ′(x )＝0， 解得x 1＝103，x 2＝－103(舍去)．当x ＜103时，p ′(x )＜0；当x ＞103时，p ′(x )＞0，所以当x ＝103时，取得最小值．即在离B 点距离为1033的点M 处筑公路至C 时，货物运费最省．迁移与应用：解：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N*),f ′(x )=48－210800x令f ′(x )=0,得x =15或x =－15(舍去)， 当x ＞15时，f ′(x )＞0；当10≤x ＜15时，f ′(x )＜0，因此当x =15时，f (x )取最小值f (15)=2000.故为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层. 活动与探究3：解：(1)由题意得：上年度的年利润为(13－10)×5 000＝15 000(万元)； 本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x )； 本年度每辆车的出厂价为13×(1＋0.7x )； 本年度年销售量为5 000×(1＋0.4x )，因此本年度的年利润为y ＝[13×(1＋0.7x )－10×(1＋x )]×5 000×(1＋0.4x ) ＝(3－0.9x )×5 000×(1＋0.4x )＝－1 800x 2＋1 500x ＋15 000(0＜x ＜1)，由－1 800x 2＋1 500x ＋15 000＞15 000，解得0＜x ＜56.所以当0＜x ＜56时，本年度的年利润比上年度有所增加．(2)本年度的年利润为f (x )＝(3－0.9x )×3 240×⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53＝3 240×(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)，则f ′(x )＝3 240×(2.7x 2－9.6x ＋4.5) ＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3(舍去)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫59，1时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数． 所以当x ＝59时，f (x )取极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫59＝20 000万元． 因为f (x )在(0,1)上只有一个极大值，所以它是最大值，所以当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．迁移与应用：解：每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元． 当堂检测1．2πr 2解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则R =r cos θ，L =2r sinθ，所以侧面积S =2πr cos θ·2r sin θ=4πr 2sin θcos θ.令S′=4πr 2(cos 2θ－sin 2θ)=0，解得ππ0,42θθ⎡⎤⎛⎫=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即当π4θ=，也就是R =2r 时，侧面积S 最大，且最大值为2πr 2. 2．40 解析：V (x )＝－12x 3＋30x 2，V ′(x )＝－32x 2＋60x ，令V ′(x )＝0，得x ＝40(x ＝0舍去)，且当0＜x ＜40时V ′(x )＞0；当40＜x ＜60时V ′(x )＜0，故V (x )在x ＝40时取得最大值．3．44 解析：设其中一个数为x ，则另一个数为8－x ，且0≤x ≤8，则y ＝x 3＋(8－x )2＝x 3＋x 2－16x ＋64， y ′＝3x 2＋2x －16＝0，解得x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－83舍去，且当0≤x ≤2时，y ′≤0；当2≤x ≤8时，y ′≥0，故当x ＝2时，y 取最小值44.4．25 解析：设矩形垂直于直径的一边长为x ，则另一边长为225－x 2，于是矩形面积S (x )＝2x ·25－x 2，则S ′(x )＝50－4x 225－x2，令S ′(x )＝0得x ＝522⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－522舍去，因此当x ＝522时面积取最大值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25.5．解：(1)设商品降价x 元时，多卖出的商品数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则由题意，得f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)．又由已知条件24＝k ·22，得k ＝6.∴f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]．(2)由(1)，知f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)． 当x故x 又f (0)＝9 072，f (2)＝8 664，f (12)＝11 664，所以定价为30－12＝18元，能使一个星期的商品销售利润最大．。
高中数学 第一章 导数及其应用 02 导数的概念(二)学案(无答案)苏教版选修2-2(2021年整
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02 导数的概念（二)【目标要求】1．理解平均速度逼近瞬时速度的过程2．通过几何背景、物理背景引出导数的形式化定义3．理解导数的概念,会用定义法求简单函数在某一点处的导数 【重点难点】重点：导数的概念、导数的求法 难点：对导数的形式化定义的理解 【典例剖析】例1：质点M 按规律223s t t =+作直线运动.（s 单位厘米，t 单位秒）⑴设0,t t 已经给定，求相应的,,s s t 和当t 无限趋近于０时，st趋近于什么常数，并说明他们的物理意义;⑵求质点M 在t=2秒时的瞬时速度．变式：某物体运动时,位移S （m)与时间t （s ）之间的关系式3212S t t =+时的瞬时加速度是m/s 2．例2：已知2()2f x x =+．⑴求()f x 在1x =处的导数； ⑵求()f x 在x a =处的导数．变题：已知'0(),0f x a x =→，则00(2)()f x x f x x+-→001()()2f x x f x x+-→ 例3：已知()3f x x =求：⑴()f x '；⑵()0f '；⑶求曲线在（0，0)处的切线方程．⑷求曲线()3f x x =在点（3，27）处的切线与坐标轴所围成的面积．【学后反思】 1．瞬时速度的概念一般地，如果当△t 无限趋近于0时，运动物体位移S （t ）的平均变化率()()00S t t S t t+∆-∆无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在0t t =时的瞬时速度． 2．导数概念设函数()y f x =在区间（a ，b ）上有定义，()0,x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作()0f x '．3．求函数()y f x =在0x x =处的导数的步骤：⑴求函数的增量()()00:y y f x x f x ∆∆=+∆-；⑵求平均变化率yx ∆∆;⑶求0x ∆→时，yA x∆→∆，则()0f x A '=． 4．函数在一点处的导数与函数的导函数(即导数)的联系与区别:函数在一点处的导数是由这个点0x x =来确定的,即在点()()00,x f x 处的切线的斜率；而函数的导函数（即导数）是指当()f x 对于区间(),a b 上任意点处都可导,则()f x 在各点的导数也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数．设函数被称为()f x 的导函数，记作()f x '；导函数也可以理解为斜率是随着切点的改变而改变的．【作业反馈】 班级 姓名 1．一质点运动方程为2s t =，则质点在t=4时的瞬时速度为___________.2．设一质点在做直线运动，t s 时的位移（单位：m ）为()2132S t t =-，则从t=2s 到t=3s 这时间段的平均速度是 ．3．跳水运动员 从10m 高的跳台腾空到入水的过程中，不同的时刻有不同的速度,t s 后运动员的速度是9.8 6.5v t =-+，则t=1s 时运动员的瞬时加速度是 m/s 2．4．一个物体所做的功W 是时间t 的函数，223W t =-,当时间从３秒到（3+t ）秒变化时，物体所做功的改变量是_________，这段时间内物体所做功的平均变化率是______________． 5．一质点M 按规律23S t =+运动,则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度等于________ 6．已知()3f x =-，则()f π'=．7．函数1y x=-在2x =处的导数是． 8．在曲线2y x =上切线倾斜角为4π的点是．9．如图：直线l 是曲线()y f x =在x=4处的切线， 则()(4)______,4_______f f '==10．已知()()223f x x =+,则()1f '=．11．函数()f x 满足()12f '=,则当x 无限趋近于0时， ⑴()()112f x f x+-→⑵()()121f x f x+-→12．以初速度()000v v >做竖直上抛运动的物体,ts 时的高度为()2012s t v t gt =-，求物体在时刻0t 处的瞬时速度．o3 45 xy13．用导数定义求函数1y xx=+的导数．14．已知曲线方程11yx=-，求曲线在P（2，1)处的切线方程．。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 第一章 导数及其应用 本章复习
第16课时本章复习教学过程一、数学运用【例1】求下列函数的导数:(1)y=(2x-1)2;(2)y=x ln x+cos x;(3)y=3x e x-2x+e;(4)y=.(见学生用书P32)[处理建议]由4个学生板演.[规范板书]解(1)y'=8x-4.(2)y'=1+ln x-sin x.(3)y'=(ln 3+1)·3x e x-2x ln 2.(4)y'=.变式求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=;(3)y=(x+1)(x+2)(x+3);(4)y=+.[处理建议]由学生分组完成后汇总给出答案,讲解时侧重求导方法.[规范板书]解(1)y'=.(2)y'=-x-+3x2-2x-3sin x+x-2cos x.(3)y'=3x2+12x+11.(4)y'=.【例2】(1)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,求a,b的值.(见学生用书P32)(2)已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有公切线,求f(x),g(x)的解析式.[处理建议]学生口答,教师板书.[规范板书]解(1)由题意知点(0,b)在曲线f(x)=y=x2+ax+b上,又因为y'=2x+a,所以f'(0)=a=k=1,又(0,b)在x-y+1=0上,所以b=1,所以a=1,b=1.(2)f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.【例3】设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(1)求y=f(x)的解析式;(2)求证:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=1、直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.[1](见学生用书P32)[规范板书]解(1)f'(x)=a-,依题意知所以由②得=3-2a,代入①化为4a2-13a+9=0,所以a=1或a=.又因为a∈Z,所以a=1,所以b=-1,所以f(x)=x+.(2)设y=f(x)上任意一点为P(x0,f(x0)),则P点处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),又f(x0)=x0+,f'(x0)=1-,所以y-x0-=(x-x0).令x=1,则y=1+,故一个交点为1,1+.令y=x,则交点为(2x0-1,2x0-1),另一个交点为(1,1).所以S=×·|2x0-1-1|=2.二、课堂练习1.若曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2.提示y'=,所以=,所以a=-2.2.若f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)=-2.3.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是.4.已知f1(x)=sin x+cos x,记f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,f n(x)=f'n-1(x)(n∈N*且n≥2),则f1+f2+…+f2012=0.提示T=4,f 1+f2+f3+f4=0,则f1+f2+…+f2 012=0.三、课堂小结1.函数f(x)在点(x0,f(x0))处的导数f'(x0)即为曲线y=f(x)在(x0,f(x0))处的切线的斜率.2.导数的物理意义为:位移S(t)的导数S'(t)即为瞬时速度,速度v(t)的导数v'(t)即为瞬时加速度.3.常见函数的求导公式及导数运算法则公式在知识梳理部分已经复习,希望同学们熟记.。
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习题课 导数的应用学习目标 会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．知识点一 函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )知识点二 求函数y ＝f (解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时，(1)如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值． 知识点三 函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的求法 1．求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的极值．2．将第(1)步中求得的极值与f (a )，f (b )比较，得到f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值．类型一 函数的单调性与导数例1 (1)f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有________(填序号)． ①af (b )＜bf (a )；②bf (a )＜af (b )； ③af (a )＜bf (b )；④bf (b )＜af (a )．(2)已知函数f (x )＝x －2x＋a (2－ln x )，a >0.讨论f (x )的单调性．反思与感悟 (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间． (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价． (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集． (4)求参数的范围时常用到分离参数法． 跟踪训练1 (1)已知f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2.①若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；②若a≠0，求函数f(x)的单调区间．(2)已知f(x)＝e x－ax－1.①求f(x)的单调增区间；②若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．类型二利用导数求函数的极值例2 已知函数f(x)＝x－1＋ae(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．反思与感悟(1)已知极值点求参数的值后，要回代验证参数值是否满足极值的定义．(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负．跟踪训练2 若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(a －1，a ＋1)内存在极值，则实数a 的取值范围是________． 类型三 利用导数求函数的最值例3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值．反思与感悟 求函数的最值的方法步骤： (1)求f (x )在(a ，b )上的极值．(2)将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较得出函数f (x )在[a ，b ]上的最值．跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b ，且a ，b 为实数，1<a <2，若f (x )在区间[－1,1]上的最大值与最小值分别为1，－2，则a ＝________，b ＝________. 类型四 利用导数证明不等式例4 已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．(1)求f (x )的单调区间；(2)当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3是否恒成立，并说明理由．反思与感悟 利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．跟踪训练4 证明：当x ∈[－2,1]时，－113≤13x 3－4x ≤163.1．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________． 2．设f (x )、g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，下面关系正确的是________(填序号)． ①f (x )g (x )>f (b )g (b ); ②f (x )g (a )>f (a )g (x )； ③f (x )g (b )>f (b )g (x ); ④f (x )g (x )>f (a )g (a )．3．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为________．4．已知函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]，都有f (x )<m ，则实数m 的取值范围是________________．导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方提醒：完成作业习题课答案精析问题导学 知识点一 增 减 知识点二(1)f ′(x )>0 f ′(x )<0 (2)f ′(x )<0 f ′(x )>0 题型探究 例1 (1)① 解析 令g (x )＝f x x ，则g ′(x )＝xfx －f xx 2，∵xf ′(x )－f (x )≤0，∴g ′(x )≤0. 则g (x )在(0，＋∞)上单调递减． 若a <b ，则g (a )>g (b )，即f a a >f bb， 得bf (a )>af (b )．(2)解 由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0，此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0即a ＝22时，仅对x ＝2，有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )也是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：(a ＋a 2－82，＋∞)上单调递增．综上所述，当0＜a ≤22时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增区； 当a ＞22时，f (x )在(0，a －a 2－82)，(a ＋a 2－82，＋∞)上单调递增，在(a －a 2－82，a ＋a 2－82)上单调递减．跟踪训练1 解 (1)①∵a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x 2－x ＋2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x －1，∴k ＝f ′(1)＝4， 又f (1)＝3，∴切点坐标为(1,3)， ∴所求切线方程为y －3＝4(x －1)， 即4x －y －1＝0.②f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝(x ＋a )(3x －a )， 由f ′(x )＝0，得x ＝－a 或x ＝a3，当a >0时，由f ′(x )<0，得－a <x <a 3；由f ′(x )>0，得x <－a 或x >a3，此时f (x )的单调递减区间为(－a ，a3)，单调递增区间为(－∞，－a )和(a3，＋∞)． 当a <0时，由f ′(x )<0，得a 3<x <－a ；由f ′(x )>0，得x <a3或x >－a ， 此时f (x )的单调递减区间为(a 3，－a )，单调递增区间为(－∞，a3)和(－a ，＋∞)． 综上，当a >0时，f (x )的单调递减区间为(－a ，a 3)，单调递增区间为(－∞，－a )，(a3，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递减区间为(a 3，－a )，单调递增区间为(－∞，a3)，(－a ，＋∞)．(2)①∵f (x )＝e x －ax －1， ∴f ′(x )＝e x－a . 令f ′(x )≥0，得e x≥a ，当a ≤0时，有f ′(x )>0在R 上恒成立； 当a >0时，有x ≥ln a .综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调增区间为[ln a ，＋∞)．②∵f (x )＝e x－ax －1，∴f ′(x )＝e x－a . ∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x，x ∈R 恒成立， ∵x ∈R 时，e x∈(0，＋∞)，∴a ≤0. 例2 解 (1)由f (x )＝x －1＋ae x ，得f ′(x )＝1－aex ，又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，x ＝ln a .x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．跟踪训练2 [1，32)例3 解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ， 曲线在P (1,0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ， 即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0得，x ＝0或x ＝2.①当0<t <2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数， 所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2≤t <3时，当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：f (x )min ＝f max f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0.所以f (x )max ＝f (0)＝2.综上，当0＜t ＜2时，f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2； 当2≤t ＜3时，f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (2)＝－2. 跟踪训练3 431例4 解 (1)f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax(x ＞0)．当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (2)当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3恒成立，令g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，g ′(x )＝2x 2－x －1x ＝2x 3－x 2－1x ＝2x 3－2x 2＋x 2－1x＝x －x 2＋x ＋x，当x >1时，g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上递增， ∴g (x )>g (1)>0， ∴23x 3－12x 2－ln x >0， 即12x 2＋ln x <23x 3在x ∈(1，＋∞)上恒成立． 跟踪训练4 证明 令f (x )＝13x 3－4x ，x ∈[－2,1]，则f ′(x )＝x 2－4.因为x ∈[－2,1]，所以f ′(x )≤0， 即函数f (x )在区间[－2,1]上单调递减．故函数f (x )在区间[－2,1]上的最大值为f (－2)＝163，最小值为f (1)＝－113.所以，当x ∈[－2,1]时，－113≤f (x )≤163， 即－113≤13x 3－4x ≤163成立．达标检测1.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 2.③ 3．(－∞，0)∪(12，2) 4.(7，＋∞)。