初三数学：二次根式总复习
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结1. 二次根式的定义和性质二次根式是指具有形式√a的数，其中a是非负实数。
以下是二次根式的一些重要性质：•非负性：对于任何非负实数a，√a也是一个非负实数。
•平方性：对于任何非负实数a，(√a)2=a。
•唯一性：每个非负实数都有唯一的平方根。
2. 化简和计算二次根式化简和计算二次根式是处理二次根式的基本操作。
下面是一些常见的规则和方法：•合并同类项：如果两个或多个二次根式具有相同的根指数并且根下的值相同，则可以合并它们。
•分解因子：对于某些特定的二次根式，可以将其分解为更简单的形式，例如√ab=√a⋅√b。
•有理化分母：当一个二次根式出现在分母中时，可以通过乘以适当的形式来有理化分母，例如√2=√22。
•乘法和除法规则：二次根式可以与其他数进行乘法和除法运算，例如√a⋅√b=√ab和√a√b =√a√b⋅√b√b=√abb。
3. 二次根式的性质和定理二次根式具有许多重要的性质和定理，这些性质和定理可以帮助我们解决各种问题。
以下是一些常见的性质和定理：•无理数性质：对于大多数非完全平方数a，√a是一个无理数。
•比较大小：对于两个非负实数a和b，如果a<b，那么√a<√b。
•平方根的加法公式：√a+√b不能化简为一个更简单的形式，除非a和b 存在某种特殊关系（例如互为有理数倍）。
•平方根的乘法公式：√a⋅√b=√ab，其中a和b可以是任意非负实数。
4. 解二次根式的方程和不等式解二次根式的方程和不等式是应用二次根式知识的重要方面。
以下是一些解决这类问题的方法：•方程：将方程两边进行平方操作，然后化简为二次根式形式，最后解得方程的解。
•不等式：根据二次根式的性质，可以比较大小或使用其他方法来解决不等式。
5. 与其他数学概念的关系二次根式与其他数学概念之间存在着密切的关系。
以下是一些与二次根式相关的重要概念：•平方数：对于某个非负实数a，如果存在另一个非负实数b，使得b2=a，那么a就是一个平方数。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是数学中的一种常见的根式表达式，它可以表示为$\sqrt{a}$ 的形式，其中 $a$ 是一个非负实数。
在学习二次根式时，常常会涉及到以下几个方面的知识点。
一、二次根式的性质：1. 非负性：对于任何非负实数 $a$，二次根式 $\sqrt{a}$ 都是非负实数。
2. 平方性：相对应的，对于任何非负实数 $a$，二次根式$\sqrt{a}$ 的平方等于 $a$，即 $(\sqrt{a})^2=a$。
3. 两个二次根式可以相等：如果两个二次根式 $\sqrt{a}$ 和$\sqrt{b}$ 相等，那么 $a$ 和 $b$ 必须相等，即$\sqrt{a}=\sqrt{b}$ 可推出 $a=b$。
二、二次根式的运算：1. 加减运算：两个二次根式可以进行加减运算，只要它们的被开方数相同即可。
即 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}=\sqrt{a \pm b}$。
2. 乘法运算：两个二次根式相乘，可以将它们的被开方数相乘并开方。
即 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
3. 除法运算：两个二次根式相除，可以将它们的被开方数相除并开方。
即 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。
4. 有理化分母：当二次根式的分母不含二次根式时，可以通过有理化分母的方法将其转化为含有二次根式的形式。
有理化分母的基本方法是将分母有理化，即乘以一个适当的形式为 $\sqrt{x}$ 的分子与分母相等的有理数，从而使得分母成为没有二次根式的有理数。
三、二次根式的化简：1.合并同类项：当二次根式相加或相减时，可以合并同类项，即将其中具有相同被开方数的二次根式相加或相减，并保持其他二次根式不变。
2.分解因式：当一个二次根式的被开方数可以分解成互质因子的乘积时，可以利用分解因式的方法进行化简。
3.化简根式：当二次根式的被开方数可以开方时，可以进行化简，即将其转化为整数、分数或者更简单的二次根式的形式。
2025年中考数学考点分类专题归纳之二次根式
2025年中考数学考点分类专题归纳二次根式知识点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式. 备注：二次根式a 有意义的条件是0a ≥ ，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质；；.3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2）被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.备注：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.知识点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：备注：⋅= . （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd-⨯-≠-⨯- .（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)492.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.1．（2024•达州）二次根式中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣22．（2024•绥化）若y有意义，则x的取值范围是（）A．x且x≠0 B．x C．x D．x≠03．（2024•兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．（2024•无锡）下列等式正确的是（）A．（）2＝3 B． 3 C． 3 D．（）2＝﹣35．（2024•盘锦）若式子有意义，则x的取值范围是_______．6．（2024•绵阳）等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．7．（2024•临安区）下列各式计算正确的是（）A．a12÷a6＝a2B．（x+y）2＝x2+y2C．D．8．（2024•郴州）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a﹣2C．32D．（a+2）（a﹣2）＝a2+4 9．（2024•孝感）下列计算正确的是（）A．a﹣2÷a5B．（a+b）2＝a2+b2C．22D．（a3）2＝a510．（2024•德阳）下列计算或运算中，正确的是（）A．2B．C．623D．﹣3 11．（2024•陇南）使得代数式有意义的x的取值范围是_____．12．（2024•巴中）已知|sinA|0，那么∠A+∠B＝_____．13．（2024•广州）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a___．14．（2024•山西）计算：（31）（31）＝____．15．（2024•镇江）计算：___．16．（2024•烟台）与最简二次根式5是同类二次根式，则a＝___．17．（2024•哈尔滨）计算610的结果是__ ．18．（2024•武汉）计算的结果是__________.19．（2024•盘锦）计算：_ _．20．（2024•滨州）观察下列各式：1，1，1，……请利用你所发现的规律，计算，其结果为__ ．21．（2024•莱芜）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2和2，则图中阴影部分的面积是___．22．（2024•大连）计算：（2）22﹣223．（2024•陕西）计算：（）×（）+|1|+（5﹣2π）0。
中考数学总复习第5课 二次根式
的值为
()
A．－15
B．15
C．－125
D.125
解析：由二次根式的定义，得 2x－5≥0 且 5－2x≥0，∴x
≥5且 2
x≤52，∴x＝52，∴y＝－3，∴2xy＝2×52×(－3)＝－
15.
答案：A
【预测演练 1－3】 化简：( 3－x)2－ x2－10x＋25.
解析：∵3－x≥0，∴x≤3，原式＝3－x－|x－5|＝3－x－ (5－x)＝3－x－5＋x＝－2.
解析：(1)4 1－ 8＝4× 2－2 2＝2 2－2 2＝0.
2
2
(2)原式＝( 2＋1)( 2－1)× 2＝(2－1)× 2＝ 2.
(3)原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]
＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
(4)原式＝( 10－3)2013·( 10＋3)2013·( 10＋3)
∴a＝m 2＋2n 2，b＝2m n . 这样，小明找到了把部分 a＋b 2的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决问题： (1)当 a，b，m，n 均为正整数时，若 a＋b 3＝(m＋n 3)2，用含 m，n 的
式子分别表示 a，b 得，a＝________，b＝________； (2)利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m，n 填空： ______＋______ 3＝(______＋______ 3)2； (3)若 a＋4 3＝(m＋n 3)2 且 a，b，m，n 均为正整数，求 a 的值．
解析：x－3≥0, ∴x≥3.
答案：x ≥3
【预测演练 1－1】
等式 2k－1＝ k－3
数 k 的取值范围是
2k－1成立，则实 k－3
()
二次根式知识点总复习含答案
二次根式知识点总复习含答案一、选择题1．a 的取值范围为() A ．0a >B ．0a <C ．0a =D ．不存在 【答案】C【解析】试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：a≥0，且-a≥0． 所以a=0．故选C ．2．已知n n 的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．15D ．45【答案】B【解析】【分析】由题意可知45n 是一个完全平方数，从而可求得答案．【详解】=∵n∴n 的最小值为5．故选：B ．【点睛】此题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．3． ）A ．±3B ．-3C ．3D ．9【答案】C【解析】【分析】进行计算即可．【详解】，故选：C.【点睛】此题考查了二次根式的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键.4．若x 、y 4y =，则xy 的值为( )A ．0B ．12C ．2D ．不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得，2x −1⩾0且1−2x ⩾0，解得x ⩾12且x ⩽12， ∴x =12， y =4，∴xy =12×4=2. 故答案为C.5．若m 与18是同类二次根式，则m 的值不可以是（ ）A ．18m =B ．4m =C ．32m =D ．627m = 【答案】B【解析】【分析】 将m 与18化简，根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：18=32A. 18m =时，12==84m ，是同类二次根式，故此选项不符合题意； B. 4m =时，=2m ，此选项符合题意C. 32m =时，=32=42m ，是同类二次根式，故此选项不符合题意；D. 627m =时，62==273m ，是同类二次根式，故此选项不符合题意 故选：B【点睛】本题考查二次根式的化简和同类二次根式的定义，掌握二次根式的化简法则是本题的解题关键.6．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +b |-2()b a -，其结果是（ ）A ．2a -B ．2aC ．2bD ．2b -【答案】A【解析】【分析】，再结合绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可．【详解】解：由数轴知b ＜0＜a ，且|a|＜|b|，则a+b ＜0，b-a ＜0，∴原式=-（a+b ）+（b-a ）=-a-b+b-a=-2a ，故选A ．【点睛】．7．的结果是 A ．－2B ．2C ．－4D ．4【答案】B【解析】22=-=故选:B8．有意义，那么直角坐标系中 P(m,n)的位置在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式与分式的性质求出m,n 的取值，即可判断P 点所在的象限.【详解】依题意的-m≥0，mn ＞0，解得m ＜0，n ＜0，故P(m,n)的位置在第三象限，故选C.【点睛】此题主要考查坐标所在象限，解题的关键是熟知二次根式与分式的性质.9．已知n 是一个正整数，135n 是整数，则n 的最小值是（ ）． A ．3 B ．5 C ．15 D ．25 【答案】C 【解析】【分析】 【详解】解：135315n n =，若135n 是整数，则15n 也是整数，∴n 的最小正整数值是15，故选C ．10．50·a 的值是一个整数，则正整数a 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则计算得到52a ，再根据条件确定正整数a 的最小值即可．【详解】∵50·a =50a =52a 是一个整数，∴正整数a 是最小值是2．故选B.【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用二次根式的乘法法则化简．11．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．【详解】2x +∴被开方数x+2为非负数，∴x+2≥0，解得：x≥-2.故答案选D.本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 12．有意义时，a的取值范围是（）A．a≥2B．a＞2 C．a≠2D．a≠－2【答案】B【解析】解：根据二次根式的意义，被开方数a﹣2≥0，解得：a≥2，根据分式有意义的条件：a﹣2≠0，解得：a≠2，∴a＞2．故选B．13．a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1C．a＝1 D．a≤1【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得a﹣1≥0，再解不等式即可．【详解】由题意得：a﹣1≥0，解得：a≥1，故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．14．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A B C D【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义即可求解.【详解】=2，故不是最简二次根式；故选C.此题主要考查最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义.15．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．3x >B ．3x ≠C ．3x ≥D ．0x ≥【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件是被开方式大于等于0，列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】在实数范围内有意义，∴x-3≥0，解得x≥3．故选：C ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．16．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A B C D【答案】D【解析】【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A 、被开方数含分母，故A 不符合题意；B 、被开方数含开的尽的因数，故B 不符合题意；C 、被开方数是小数，故C 不符合题意；D 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D 符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．17．实数,a b ||a b + ）A ．2a -B ．2b -C ．2a b +D ．2a b - 【答案】A【解析】【分析】 2,a a = 再根据去绝对值的法则去掉绝对值，合并同类项即可．【详解】 解：0,,a b a b ＜＜＞0,a b ∴+＜22||a a b b a a b b ∴++=+++()a a b b =--++a ab b =---+2.a =-故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式与绝对值的化简运算，掌握化简的法则是解题关键．18．下列运算正确的是( )A 532=B 822=C 114293=D ()22525-=-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合算术平方根的概念对每个选项进行分析，然后做出选择．【详解】 A ．532≠A 错误； B ．8222-2=2=，故B 正确；C ．137374=993=，故C 错误； D ．()225255-2-=,故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的化简，熟练掌握运算和性质是解题的关键．19．有意义的条件是（ ）A ．x>3B ．x>-3C ．x≥3D ．x≥-3 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于等于0即可得出答案．【详解】根据被开方数大于等于0有意义的条件是+30≥x解得：-3≥x故选：D【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．20．下列计算正确的是( )A 6=B =C ．2=D 5=- 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．【详解】A ====C.=，此选项计算错误；5=，此选项计算错误；故选：B ．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。
下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。
一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。
其中，a是被开方数，x是二次根。
2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。
-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。
-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。
-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。
-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。
二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。
2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。
三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。
2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。
即对于a≥b≥0，有√a≥√b。
四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。
-加法：√a+√b=√(a+b)。
-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。
2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。
-乘法：√a×√b=√(a×b)。
3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。
-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。
五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。
初中数学 中考复习二次根式专题练习(含答案)
二次根式复习一、知识归纳 （一）二次根式定义1注意：（12，（2）被开方数是非负数2、二次根式在实数范围内有意义的条件是 a ≥0 。
（二）二次根式的性质1、二次根式的双重非负性≥0，a ≥0a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，≥0，2、）2=a (a ≥0)(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜（三）、最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含 ；（2）被开方数不含 的因数或因式。
满足：（1）根号内不含有分母，有分母的先通分，再将分母开出来 （2）根号内每个因式或因数的指数都小于根指数2，如果根号内含有因式或因数的指数大于根指数2，就利用，将每个因式或因数的指数都小于根指数2（3）分母内不含有根式，如果分母内含有根号，则利用分母有理化，将根号划去。
（1）判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点： ①被开方数不含分母；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2.③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.=简二次根式.=，且因式2和22()x y +的指数都是1，是最简二次根式.22a b +无法变成一个数（或因式）式.（2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式，利用分母有理化化简；二化去被开方数中的分母之后，再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则只需第二步.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.同类二次根式与同类项类似. 对同类二次根式的理解应注意以下几点：（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式时，首先将二次根式化为最简二次根式，其次看被开方数是否相同.（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关. 将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变.（1）二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数），它包含前面的符号.（2）当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数.（3）不是同类二次根式，千万不要合并.（四）二次根式的运算0)=≥，≥0a b=≥，＞00)a b≥，≥0a b0)=≥，＞00)a b二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式.4、二次根式加减的步骤：（1）先将二次根式化成。
二次根式总结归纳
二次根式总结归纳一、二次根式的定义及性质1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的根式，其中a为一个非负实数。
2. 二次根式的化简二次根式可以进行化简，满足以下规则： - √a⋅√b=√ab，其中a≥0，b≥0。
- √a√b =√ab，其中a≥0，b>0。
3. 二次根式的运算二次根式可以进行加、减、乘、除等基本运算。
- 加法：√a+√b无法化简，保留原样。
- 减法：√a−√b无法化简，保留原样。
- 乘法：(√a)(√b)=√ab。
-除法：√a√b =√ab，其中b≠0。
二、二次根式的应用1. 二次根式的几何意义二次根式在几何学中有着重要的应用，特别是在求解面积和边长时。
- 面积应用：当我们需要计算一些形状的面积时，经常会遇到二次根式。
例如，矩形的对角线长度可以表示为√a2+b2，其中a和b分别是矩形的两个边长。
- 边长应用：在某些情况下，已知一个图形的面积，需要求解该图形某一个边的长度。
二次根式的运算可以帮助我们求解这些问题。
例如，等边三角形的边长可以表示为√√3，其中S是等边三角形的面积。
2. 二次根式的化简与证明二次根式的化简和证明是数学中的重要内容，常见的方法包括有理化分母、提取公因式等。
- 有理化分母：当二次根式出现在分母中时，为了简化运算，可以通过有理化分母的方法消除分母中的二次根式。
例如，√2可以通过乘以√2√2来有理化分母得到√22。
- 提取公因式：当一个二次根式等于另一个二次根式的倍数时，可以通过提取公因式的方式进行化简。
例如，√24可以化简为2√6，因为√6是√24的公因式。
三、二次根式的解法1. 二次根式的简单求解对于形如x 2=a 的二次根式方程，可以通过平方根的性质求解，得到x =±√a 。
例如，对于方程x 2=16，其解为x =±4。
2. 二次根式的复杂求解对于形如x 2+bx +c =0的二次根式方程，可以通过求解二次根式的不同情况来得到解。
初中数学二次根式基础知识点(共6篇)
初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足以下条件：3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa0(a=0);5.二次根式的运算：a(a0)(1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式单项式和多项式统称为整式。
1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。
单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。
3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
3.多项式的排列：1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于单项式的项，包括它前面的_质符号，因此在排列时，仍需把每一项的_质符号看作是这一项的一局部，一起挪动初中数学一元二次方程常见考法1.考察一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵敏，所以一直很吸引命题者。
二次根式全章复习
二次根式全章复习一． 教学衔接二． 教学内容知识点一：二次根式的概念及意义考点１：二次根式的概念：一般地，形如a （ａ≥０）的式子叫做二次根式，其中“”叫做二次根号，ａ叫做被开方数。
考点２．二次根式的非负性：当ａ＞０时，a 表示ａ的算术平方根，因此a ＞０；当ａ＝０时，a 表示０的算术平方根，因此a ＝０，所以a （ａ≥０）总是非负数，即a ≥０。
例１．下列各式中，是二次根式的是（ ） Ａ．34 Ｂ．35）（- Ｃ．a Ｄ．21 例２．下列各式中，是二次根式的有（ ）① x ；②2；③12+x ；④兀；⑤4；⑥39；⑦35-；⑧72；⑨100-． Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个规律小结：判断一个式子是不是二次根式，要看它是否同时具备两个特征： （１）带有二次根号“”； （２）被开方数为非负数。
例3.根式3-x 中ｘ的取值范围是（ ） Ａ．ｘ≥3 Ｂ．ｘ≤3 Ｃ．ｘ＜3 Ｄ．ｘ＞3例4.若2-a ＋3-b ＝０，则ａ2－２ｂ＝．例5.已知ｙ＝52-x ＋x 25-＋３，则２ｘｙ的值为（ ）Ａ．－１５ Ｂ．１５ Ｃ．－215 Ｄ．215 规律小结：二次根式中涉及两类非负数问题： （１）二次根式a 中被开方数ａ必须是一个非负数，即ａ≥０； （２）二次根式a （ａ≥０）本身的值也是一个非负数，即a ≥０（ａ≥０）．随堂练习：1.当ｘ为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？（１）24-x ； （２）x 3-； （３）x 58-；（４）1222+x ； （５）52--x ； （６）x x 2+．2.使式子2x -有意义的未知数ｘ有（ ）Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．无数个3.下列式子122++x x ，22+x ，x ，33，5-，9，３2中，哪些是二次根式？4.1+x ＋（ｙ－２０１３）2＝０，则ｘy ＝．5.若ｘ，ｙ为实数，且ｙ＝x x 4312-+＋3412-+x x ＋１，求ｘ＋ｘｙ＋ｘ2ｙ的值。
初中数学二次根式知识点总复习含解析(1)
初中数学二次根式知识点总复习含解析(1)一、选择题 1．若1x +有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．1x >-B ．0x ≥C ．1x ≥-D ．任意实数【答案】C【解析】【分析】要是二次根式a 有意义，被开方数a 必须是非负数，即a≥0，由此可确定被开方数中字母的取值范围.【详解】若1x +有意义,则10x +≥,故1x ≥-故选:C【点睛】考核知识点:二次根式有意义条件.理解二次根式定义是关键.2．下列各式中计算正确的是（）A ．268+=B ．2323+=C ．3515⨯=D ．42= 【答案】C【解析】【分析】结合选项，分别进行二次根式的乘法运算、加法运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算，选出正确答案．【详解】解：A. 2和6不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；B.2和3不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；C. 3515⨯=，计算正确，故本选项正确；D.42=1，原式计算错误，故本选项错误． 故选：C.【点睛】本题考查二次根式的加减法和乘除法，在进行此类运算时，掌握运算法则是解题的关键．3．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |＋2(a b )-的结果是（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b【答案】B【解析】【分析】 根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简．【详解】解：由数轴可知：0a <，0b >，∴0a b -<， ∴()()22a a b a b a a b +-=-+-=-+， 故选：B ．【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键．4．下列式子为最简二次根式的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】【详解】解：选项A ，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A 符合题意； 选项B ，被开方数含能开得尽方的因数或因式，B 不符合题意；选项C ，被开方数含能开得尽方的因数或因式， C 不符合题意； 选项D ，被开方数含分母， D 不符合题意，故选A ．5．已知n 135n 是整数，则n 的最小值是（ ）．A ．3B ．5C ．15D ．25【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：135315n n =Q 135n 15n 也是整数，∴n 的最小正整数值是15，故选C ．6．下列各式计算正确的是( )A ．2＋b ＝2bB 523=C ．(2a 2)3＝8a 5D ．a 6÷ a 4＝a 2【解析】解：A ．2与b 不是同类项，不能合并，故错误；B 不是同类二次根式，不能合并，故错误；C ．（2a 2）3=8a 6，故错误；D ．正确．故选D ．7．x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．x ≥1C ．x ≤﹣1D ．x ＜﹣1【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可．【详解】解：由题意得，x ﹣1≥0，解得，x ≥1，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟悉掌握是关键.8．m 的值不可以是（ ）A ．18m =B ．4m =C ．32m =D ．627m = 【答案】B【解析】【分析】【详解】A. 18m =，是同类二次根式，故此选项不符合题意；B. 4m = ，此选项符合题意C. 32m =，是同类二次根式，故此选项不符合题意；D. 627m =3，是同类二次根式，故此选项不符合题意 故选：B本题考查二次根式的化简和同类二次根式的定义，掌握二次根式的化简法则是本题的解题关键.9．下列计算正确的是（）A．+=B．﹣=﹣1 C．×=6 D．÷=3【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【详解】解：A、B与不能合并，所以A、B选项错误；C、原式= ×=，所以C选项错误；D、原式==3，所以D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．10．如果一个三角形的三边长分别为12、k、7221236k k-+|2k﹣5|的结果是()A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k【答案】D【解析】【分析】求出k的范围，化简二次根式得出|k-6|-|2k-5|，根据绝对值性质得出6-k-（2k-5），求出即可．【详解】∵一个三角形的三边长分别为12、k、72，∴72-12＜k＜12+72，∴3＜k＜4，21236k k-+，=()26k--|2k-5|，=6-k-（2k-5），=-3k+11，=11-3k ，故选D ．【点睛】本题考查了绝对值，二次根式的性质，三角形的三边关系定理的应用，解此题的关键是去绝对值符号，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．11．若x +y ＝，x ﹣y ＝3﹣的值为（ ）A ．B ．1C ．6D ．3﹣【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质解答．【详解】解：∵x+y ＝，x ﹣y ＝3﹣，==1．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行解题．12．下列计算正确的是( )A ．3=B =C ．1=D 2= 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得．【详解】A 、=，错误；BC 、22=⨯=D 2==，正确； 故选：D ．本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则．13．下列各式中，是最简二次根式的是( )A B C D【答案】B【解析】【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答.【详解】（1）A被开方数含分母，错误.(2)B满足条件，正确.(3) C被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误.(4) D被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误.所以答案选B.【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键.14．下列计算正确的是（）A．=B=C．=D-=【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得.【详解】A、-B、，此选项正确；C、=（D、=【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则.15．计算20172019(32)(32)+-的结果是( ) A ．2+3B ．32-C ．437-D ．743- 【答案】C 【解析】【分析】先利用积的乘方得到原式= 20172[(32)(32)](32)+-⋅-，然后根据平方差公式和完全平方公式计算．【详解】 解：原式=20172[(32)(32)](32)+-⋅-=2017(34)(3434)-⋅-+1(743)=-⨯-437=-故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．16．实数,a b 在数轴上对应的点位置如图所示，则化简22||a a b b +++的结果是（ ）A ．2a -B ．2b -C ．2a b +D ．2a b -【答案】A【解析】【分析】2,a a = 再根据去绝对值的法则去掉绝对值，合并同类项即可．【详解】解：0,,a b a b Q ＜＜＞ 0,a b ∴+＜22||a a b b a a b b ∴++=+++()a a b b =--++a ab b =---+2.a =-故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式与绝对值的化简运算，掌握化简的法则是解题关键．17．当实数x 41y x =+中y 的取值范围是( ) A ．7y ≥-B ．9y ≥C ．9y <-D ．7y <-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义易得x 的取值范围，代入所给函数可得y 的取值范围．【详解】解：由题意得20x -≥，解得2x ≥， 419x ∴+≥，即9y ≥．故选：B ．【点睛】本题考查了函数值的取值的求法；根据二次根式被开方数为非负数得到x 的取值是解决本题的关键．18．有意义的条件是（ ）A ．x>3B ．x>-3C ．x≥3D ．x≥-3 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于等于0即可得出答案．【详解】根据被开方数大于等于0有意义的条件是+30≥x解得：-3≥x故选：D【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．19．如果m 2+m =0，那么代数式（221m m ++1）31m m +÷的值是（ ）AB ．C + 1D + 2【答案】A【解析】【分析】先进行分式化简，再把m 2+m =. 【详解】 解：（221m m ++1）31m m+÷ 223211m m m m m+++=÷ 232(1)1m m m m +=⋅+ ＝m 2+m ，∵m 2+m =0，∴m 2+m =∴原式=故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．20．n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．3 【答案】C【解析】【分析】如果实数n 取最大值，那么12－n22，从而得出结果．【详解】2时，n 取最大值,则n ＝8，故选：C【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解”的含义．。
二次根式的知识点汇总
二次根式的知识点汇总二次根式是指含有平方根（开方）的代数式。
学习和掌握二次根式的知识点，对于进一步理解和应用高等数学和物理学等学科内容至关重要。
以下是二次根式的知识点汇总：一、基本概念与性质：1.平方根与二次根式的概念：平方根的定义及其在代数中的性质，二次根式的定义与示例。
2.约分与化简：二次根式的约分、化简及约分规则。
3. 同类二次根式的合并与分解：同类二次根式的合并与分解法则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm\sqrt{b})^2}$。
二、四则运算：1. 加减法：同类二次根式的加减法规则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm \sqrt{b})^2}$。
2. 乘法：二次根式的乘法规则，如$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
3. 除法：二次根式的除法规则，如$\frac{a+b}{c+d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}$。
4.有理化方法：如分子、分母都有二次根式时的有理化方法，分别是乘以共轭式和有理化因式。
三、二次根式的化简与证明：1.合并同类项：在二次根式的化简中，将同类项合并为一个二次根式。
2.分解因式：在二次根式的化简中，将二次根式分解为若干个二次根式相乘的形式。
3.公因式提取：在二次根式的化简中，提取公因式使其化简为整数或其他形式。
四、二次根式的应用：1.代数方程的解：使用二次根式求解一元二次方程。
2.几何意义：二次根式在几何中的应用，例如计算三角形的边长、面积等。
3.物理问题：通过建立代数模型和运用二次根式，解决物理问题，如自由落体、速度、力等。
五、常见的二次根式：1. $\sqrt{a^2}=，a，$，其中$a$表示任意实数。
2. $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，其中$a$和$b$分别表示任意非负实数。
二次根式知识点
二次根式知识点一、二次根式的定义二次根式是指具有形式√a的数，其中a为非负实数。
在二次根式中，根号下的数a叫做被开方数。
二、二次根式的性质1. 二次根式的值始终为非负实数，即√a ≥ 0。
2. 二次根式的积仍然是一个二次根式，即√a · √b = √(a·b)。
3. 二次根式的商仍然是一个二次根式，即√a ÷ √b = √(a÷b)，其中b≠ 0。
4. 二次根式的乘方仍然是一个二次根式，即(√a)^n = √(a^n)，其中n为正整数。
5. 二次根式可以与整数运算，即√a + √b = √a + √b。
6. 同类项相加，即a·√b + c·√b = (a+c)·√b。
三、二次根式的化简1. 将二次根式改写成带有平方数因子的形式，如√(a ·b) = √a · √b。
2. 合并同类项，如√a + √a = 2√a。
3. 分解被开方数的因数，如√(a·a·b) = a√b。
4. 有理化分母，如分母有根号，可以将其乘以一个形如√b/√b的式子，使分母变为有理数。
四、二次根式的运算1. 二次根式的加法：将二次根式看作是整体进行运算，合并同类项，如√a + √b = √a + √b。
2. 二次根式的减法：使用减法的性质，将减法改写为加法，如√a -√b = √a + (-√b)。
3. 二次根式的乘法：使用分配律进行展开，合并同类项，如(√a +√b)·(√c + √d)。
4. 二次根式的除法：利用有理化分母将除法转化为乘法，然后进行乘法运算。
五、二次根式的应用1. 二次根式在几何中的应用：例如计算正方形的对角线长度，三角形中的边长等。
2. 二次根式在物理中的应用：例如求解速度、加速度等问题。
3. 二次根式在方程中的应用：例如求解二次方程的根。
六、常见的二次根式1. 2的二次根式约等于1.414，常用符号表示为√2。
九年级数学二次根式总复习练习题及答案
九年级数学二次根式总复习精选练习题 二次根式：1. 有意义的条件是 。
2. 当__________3. 11m +有意义，则m 的取值范围是 。
5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。
7. 2x =-，则x 的取值范围是 。
10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
12. 若1a b -+与()2005_____________a b -=。
14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）17. 若1a ≤ ）A.(1a - B. (1a -C. (1a -D. (1a -18.=成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x f D. 2x ≥19. 的值是（ ）A. 0B. 42a -C. 24a -D. 24a -或42a -21. 2440y y -+=，求xy 的值。
22. 当a 1取值最小，并求出这个最小值。
24. 已知2310x x -+=，求25. 已知,a b (10b -=，求20052006a b -的值。
二次根式的乘除1.最简二次根式的两个条件是：2. _____,______m n ==。
3. __________==。
4. 计算：_____________=。
6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）C. 48. 对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ）A. 2a b =+a b =+22a b =+a b =+9. --的大小关系是11. 计算：12. 化简：13. 把根号外的因式移到根号内：二次根式的加减1. 下列根式中，与 ）4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）6. 10=，则x 的值等于（ ）A. 4 B. 2± C. 2 D. 4±的整数部分为x ，小数部分为y y -的值是（ ）A.3 C. 1 10.若最简二次根式____,____a b ==。
初中数学二次根式知识点总结
初中数学二次根式知识点总结一、二次根式的定义和性质1.二次根式：形如√a（其中a≥0）的数叫做二次根式，其中a叫做被开方数。
2.平方数：一些数的平方的结果叫做平方数，如1、4、9等。
平方数的平方根是有理数。
3.二次根式化简：将二次根式中含有相同因式的项合并，并将二次根式的指数化简为最简整数。
4.二次根式的乘除法：二次根式的乘除法可以通过对被开方数和指数进行运算和化简来进行。
二、二次根式的运算1.二次根式的加减法：a)加法：将两个二次根式的被开方数相加，并将其指数化简。
b)减法：将两个二次根式的被开方数相减，并将其指数化简。
2.二次根式的乘法：a)二次根式的乘法使用分配律，将被开方数和指数分别相乘，并将结果进行化简。
b)若二次根式与实数相乘，则可将实数与二次根式的被开方数相乘，并将指数进行化简。
3.二次根式的除法：a)二次根式的除法可以通过将分子和分母的被开方数相除，并将指数进行化简来进行。
b)若二次根式除以实数，可以将实数除以二次根式的被开方数，并将指数进行化简。
三、二次根式的化简1.二次根式化简的基本方法：a)将被开方数分解成素数的乘积。
b)将二次根式的指数约分为最简整数。
c)将二次根式的含有相同因式的项合并。
2.平方根的化简：a)平方根下的分数：将分子和分母分别进行开方，然后化简。
b)分数的平方根：将分子和分母分别进行开方，然后化简。
c)同解式的平方根：可以适用平方根的基本性质将二次根式进行化简。
四、二次根式的应用1.几何意义：二次根式可以表示一些图形的边长或斜边的长度。
a)两点间的距离：利用两点间的距离公式可以将二次根式化简为实数。
b)直角三角形的斜边：利用勾股定理可以将二次根式化简为实数。
2.分数的运算：在分数运算中，往往会出现二次根式，需要将二次根式进行化简并进行运算。
3.实际问题的应用：解决实际问题时，需利用已知条件建立方程，通过方程的求解，将二次根式进行化简。
综上所述，初中数学二次根式是重要的基础知识点，掌握二次根式的运算和化简方法，了解二次根式的几何意义和实际应用，在解决问题中能熟练运用二次根式的相关知识，将有助于提高数学解题能力。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是数学中常见的一种表达式形式，它涉及到根号以及平方的运算。
在学习二次根式的过程中，需要掌握它的性质、化简方法、解题技巧等知识点。
本文将对二次根式的相关知识进行总结和介绍。
一、二次根式的定义和性质1. 定义：二次根式是指具有形如√a（其中a≥0）的表达式。
2. 性质：a) √a * √b = √(a * b)：两个二次根式相乘时，可将根号下的因子相乘并开平方。
b) √(a / b) = √a / √b：两个二次根式相除时，可将根号下的因子相除并开平方。
c) √(a + b)≠√a + √b：两个二次根式相加时，一般不能直接合并，需要进行特殊处理。
d) 当a>b时，√a±√b=√a±√(a-b)；当a<b时，√a±√b=√a±i√(b-a)（其中i为虚数单位）。
二、二次根式的化简方法化简是指将一个较为复杂的二次根式写成最简形式的过程。
常见的化简方法有以下几种：1. 合并同类项法：将根号下的因子合并，并进行运算。
例如：√3 + √12 = √3 + 2√3 = 3√32. 有理化分母法：将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号去掉。
例如：1 / (√2 + √3) = (√2 - √3) / ((√2 + √3) * (√2 - √3)) = (√2 - √3) / (-1) = -√2 +√33. 平方差公式法：利用平方差公式将二次根式的平方进行变换，使得表达式更简单。
例如：(2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -14. 有理化分子法：将二次根式的分子有理化，即将分子中的根号去掉。
例如：(1 + √3) / (√2 - 1) = ((1 + √3) * (√2 + 1)) / ((√2 - 1) * (√2 + 1)) = (√2 + √6 + √2√3 + √3) / (2 - 1) = √2 + √6 + √6 + √3三、二次根式的运算在解题过程中，经常需要进行二次根式的运算。
二次根式复习要点
二次根式复习知识点一、二次根式的概念a ≥0）的式子叫做二次根式。
a 叫做“被开方数”，为二次根号．判断二次根式的方法：①看它是否有根号；②看根指数是否是2；③看被开方数是否是非负数。
同时满足这三个条件的式子才是二次根式。
二、二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0。
▲（若二次根式在分母中，要保证分母不能0）★解题技巧：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，如果两个二次根式都有意义，则被开方数都大于等于零。
通常情况下，通过解不等式组求字母的取值范围。
例：⑴当时，有意义。
⑵函数1y x=+的自变量x 的取值范围是 。
⑶已知，求得xy的值（ ）． 三、二次根式的性质≥0) ★二次根式具有双重非负性2.=2)(a （a ≥0） 3. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>==)0___()0___()0___(____2a a a a例：⑴当5<a等于 。
⑵已知x<y,化简的结果是________。
2x =-，则x 的取值范围是________________________。
四、二次根式的乘除乘法运算法则a ≥0，b ≥0）（a ≥0，b ≥0）★积的算术平方根等于各因式算术平方根的积。
利用这个性质可以进行二次根式的化简。
（a≥0，b>0）（a≥0，b>0）★商的算术平方根等于算术平方根的商。
利用这个性质可以进行二次根式的化简五、最简二次根式：必须同时满足下列条件：★⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
六、二次根式的加减：㈠同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
▲判断同类二次根式方法：先化简二次根式，再看被开方数是否相同。
㈡合并同类二次根式：将同类二次根式的系数相加减，根指数和被开方数不变。
▲注意：合并同类二次根式时，要先将二次根式化简。
㈢二次根式的加减：①实质：合并同类二次根式。
②运算步骤：先化简每个二次根式，再识别同类二次根式，最后合并同类二次根式（不是同类二次根式的不能合并）。
(易错题精选)初中数学二次根式知识点总复习含解析
（易错题精选）初中数学二次根式知识点总复习含解析一、选择题1x 的取值范围是（ ）A ．x≥5B ．x>-5C ．x≥-5D ．x≤-5【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】 Q有意义，∴x+5≥0，解得x≥-5.故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.2．当3x =-时，二次根m 等于（ ）AB ．2CD 【答案】B【解析】解：把x =﹣3代入二次根式得，原式=，依题意得：2=．故选B ．3．已知实数a 满足2006a a -=，那么22006a -的值是（ ） A ．2005B ．2006C ．2007D ．2008【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，然后去绝对值符号化简，再两边平方求出22006a -的值．【详解】∵a-2007≥0，∴a ≥2007，∴2006a a -=可化为a 2006a -+=，2006=，∴a-2007=20062，∴22006a -=2007．故选C ．【点睛】本题考查了绝对值的意义、二次根式有意义的条件，求出a 的取值范围是解答本题的关键．4．x 的取值范围是（ ） A ．x≥76 B ．x ＞76 C ．x≤76 D ． x ＜76【答案】B【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】∵67x -是被开方数，∴670x -≥，又∵分母不能为零，∴670x ->，解得，x ＞76； 故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是熟练掌握其意义的条件.5．若x 、y 4y =，则xy 的值为( )A ．0B ．12C ．2D ．不能确定 【答案】C【解析】由题意得，2x −1⩾0且1−2x ⩾0，解得x ⩾12且x ⩽12， ∴x =12， y =4，∴xy =12×4=2. 故答案为C.6．若代数式y =有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥B ．0x ≥且1x ≠C ．0x >D ．0x >且1x ≠ 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围．【详解】根据题意得：010x x ≥⎧⎨-≠⎩ ， 解得：x≥0且x≠1．故选：B ．【点睛】此题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．7．若代数式x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≥1B ．x≥2C ．x ＞1D ．x ＞2【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数以及分式的分母不为0可得关于x 的不等式组，解不等式组即可得.【详解】由题意得 200x x -≥⎧⎨≠⎩， 解得：x≥2，故选B.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键.8．下列运算正确的是()A B．1)2＝3－1 C D5－3【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的加减及乘除的法则分别计算各选项，然后与所给结果进行比较，从而可得出结果．【详解】解：≠，故本选项错误；1)2＝3－，故本选项正确；= =4，故本选项错误．故选C.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．9．(的结果在（）之间．A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5【答案】B【解析】【分析】的范围，再求出答案即可．【详解】(==22∵45<∴223<<(的结果在2和3之间故选：B【点睛】本题考查了无理数大小的估算，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．考查了二次根式的混合运算顺序，先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的．10．有意义，那么直角坐标系中 P(m,n)的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式与分式的性质求出m,n的取值，即可判断P点所在的象限.【详解】依题意的-m≥0，mn＞0，解得m＜0，n＜0，故P(m,n)的位置在第三象限，故选C.【点睛】此题主要考查坐标所在象限，解题的关键是熟知二次根式与分式的性质.11．估计值应在（）2A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间【答案】A【解析】【分析】先根据二次根式乘法法则进行计算，得到一个二次根式后再利用夹逼法对二次根式进行估算即可得解．【详解】=解：2<<∵91216<<∴34<<值应在3到4之间．∴估计2故选：A【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．12的值是一个整数，则正整数a的最小值是()A．1 B．2 C．3 D．5【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则计算得到a 的最小值即可．【详解】∴正整数a 是最小值是2．故选B.【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用二次根式的乘法法则化简．13．一次函数y mx n =-+的结果是( )A ．mB ．m -C ．2m n -D ．2m n -【答案】D【解析】【分析】根据题意可得﹣m ＜0，n ＜0，再进行化简即可．【详解】∵一次函数y ＝﹣mx +n 的图象经过第二、三、四象限，∴﹣m ＜0，n ＜0，即m ＞0，n ＜0，＝|m ﹣n |+|n |＝m ﹣n ﹣n＝m ﹣2n ，故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键.14．9≤，则x 取值范围为（ ） A ．26x ≤≤B ．37x ≤≤C ．36x ≤≤D ．17x ≤≤【答案】A【解析】【分析】先化成绝对值，再分区间讨论，即可求解．【详解】9， 即：23579x x x x -+-+-+-≤，当2x <时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，矛盾；当23x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，符合；当35x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得79≤，符合；当57x ≤≤时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得6x ≤，符合；当7x >时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得 6.5x ≤，矛盾；综上，x 取值范围为：26x ≤≤，故选：A ．【点睛】本题考查二次根式的性质和应用，一元一次不等式的解法，解题的关键是分区间讨论，熟练运用二次根式的运算法则．15．2在哪两个整数之间( )A ．4和5B ．5和6C ．6和7D ．7和8【答案】C【解析】【分析】222== 1.414≈，即可解答．【详解】222== 1.414≈，∴2 6.242≈，即介于6和7，故选：C ．【点睛】 本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及 1.414≈．16．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A B C D【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义即可求解.【详解】A. 12，根号内含有分数，故不是最简二次根式；B. 0.8，根号内含有小数，故不是最简二次根式；C. 5，是最简二次根式；D. 4=2，故不是最简二次根式；故选C.【点睛】此题主要考查最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义.17．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4,3和2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．6C ．236223+--D ．23225+-【答案】D【解析】【分析】 将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的长和宽，计算可得答案.【详解】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示：则阴影面积((222323=222233+=23225故选：D【点睛】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．18．当实数x 2x -41y x =+中y 的取值范围是( )A ．7y ≥-B ．9y ≥C ．9y <-D ．7y <-【答案】B【解析】【分析】 根据二次根式有意义易得x 的取值范围，代入所给函数可得y 的取值范围．【详解】解：由题意得20x -≥，解得2x ≥，419x ∴+≥，即9y ≥．故选：B ．【点睛】本题考查了函数值的取值的求法；根据二次根式被开方数为非负数得到x 的取值是解决本题的关键．19．下列运算正确的是（ ）A ．235a a a +=B ．23241(2)()162a a a -÷=-C ．1133a a-=D ．2222(233)3441a a a a a -÷=-+ 【答案】D【解析】 试题分析：A ．23a a +，无法计算，故此选项错误；B ．()23262112824a a a a ⎛⎫⎛⎫-÷=-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=432a -，故此选项错误； C ．133a a-=，故此选项错误； D ．()22222333441a aa a a -÷=-+，正确．故选D ．20．如图，数轴上的点可近似表示(4630-)6÷的值是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】A【解析】【分析】先化简原式得44【详解】原式=4由于23，∴1＜42．故选：A．【点睛】本题考查实数与数轴、估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法．。
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A. B. C. D.
3.已知 是整数，则满足条件的最小正整数 为（）
A.2 B.3 C.4 D.5
二次根式的乘除
知识点一二次根式的乘法法则及逆用
【例1】计算：
（1） （2） （3）
【例2】化简：
（1） （2） （3）
注：若积中的因式或因数不是非负数，应该将其化为非负数，再运用公式化简。如 。这里隐含条件是
【例4】计算：
（1） （2）
（3） （4）
【例5】计算：
【例6】先化简，再求值： ，其中 ，
最近3年中考经典
1.计算：
2.计算：
3.先化简，再求值: ，其中
4.先化简，再求值： ，其中
【例3】计算下列各式：
（1） （2）
知识点二二次根式的除法法则及逆用
【例4】计算：
（1） （2） （3）
【例5】化简：
（1） （2） （3）
练习
习1计算：（1） （2）
知识点三最简二次根式
详解最简二次根式是二次根式化简和计算的最后结果的形式要求，它要求二次根式具备以下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。
A. B. C. D.
3.先化简，再求值： ，其中 ， .
二次根式加减
知识点一同类二次根式
【例1】下面各组里德二次根式是不是同类二次根式？
（1） ， ， （2） ， ，
知识点二二次根式的加减
【例2】计三二次根式的混合运算
【例3】计算：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
练习
习1下列式子中，哪些是二次根式。
（1） （2） （3） （4）
习2使式子 有意义的 的范围是（）
A. B. C. D.
习3计算：
（1） （2）
【例4】数 、 、 在数轴上的位置如图所示
化简
【例5】设 的三边长为 、 、 ，试化简：
【例6】实数 、 满足 .
求
最近3年中考经典
1.函数 的自变量 的取值范围为.
【例6】指出下列各根式哪些是最简二次根式？
（1） （2） （3） （4） （5）
【例7】化简：
（1） （2） （3） （4）
注：把二次根式化成最简二次根式，要注意以下几点：
（1）被开方数是带分数的药化成假分数；
（2）被开方数是小数的要化成分数；
（3）被开方数较大时要分解质因数；
（4）被开方数是多项式的要进行分解因式。
知识点四分母有理化
【例8】化掉下列各式分母中的二次根式
（1） （2） （3）
练习
习1把下列各式分母有理化（1） （2） （3）
知识点五二次根式的乘除混合运算
【例9】计算：
（1） （2） （3）
练习
习1计算：（1） （2）
最近3年的中考经典
1.若 ，则 的值等于（）
A. B. C. D. 或
2.能使 成立的 的取值范围（）
（1） （2） （3） （4） （5）
注：判定一个式子是否是二次根式，要看该式子是否同时具备两个条要素： 根指数为2（通常省略不写）； 被开方数必须是非负数。
知识点二二次根式中被开方数所含字母取值范围的确定
拓展对于综合性的问题，可以综合几个不同的条件来确定。如确定式子 中的 取值范围时，要综合考虑： ；
XXXX教育学科教师辅导讲义
讲义编号____
学员编号：年级：初三课时数及课时进度：
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
学科组长/带头人签名及日期
课题
二次根式总复习
授课时间：
备课时间：
教学目标
1.理解二次根式的意义；
2.会进行二次根式的加、减、乘、除、乘方运算；
3.掌握数的开方、二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，会简单的分母有理化及混合运算；
【例2】 取怎样的数时，下列各式有意义。
（1） （2） （3）
知识点三二次根式的性质
详解： 既是二次根式，又是非负数的算数平方根，所以它一定是非负数，即 ，我们把这个性质叫做二次根式的非负性； ，可以正用，也可以逆用； 根据算数平方根的意义有 ，可以对二次根式化简。
【例3】计算：
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
重点、难点
重点：二次根式的基本性质；
难点：规律探索及二次根式变式运算。
考点及考试要求
二次根式是中考的必考内容之一，主要考察二次根式的概念和性质，题型不会有大的变化，但根据二次根式及相关性质设计题型，却易出现。二次根式化简、同类二次根式仍是命题的重点。
教学内容
二次根式的概念和性质
知识点一二次根式定义
【例1】下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？为什么？