3.1 第2课时 不等式的性质

第2课时
不等式的性质
我们知道，等式有一些基本性质，如
a = b⇒ b = a; a = b,b = c⇒ a = c; a = b⇒ a + c = b + c; a = b,c ≠ 0⇒ ac = bc.
不等式是否有类似性质呢？ 带着这个问题，我们进入本节课的学习！
探究点1： 不等式的性质
（对称性) (1)a > b ⇔ b < a;
答案：27
1.已知a,b,c满足c<b<a且ac<0，那么下列选 项中不一定成立的是（ C ）
A.ab > ac C.cb < ab
2 2
B.c(b - a)> 0 D.ac(a - c)< 0
2. 若a＞b＞0，则下列不等式总成立的是( C )
b b +1 A. > a a +1 1 1 C. a + > b + b a
若正数a，b，c，d满足ab≥4,c+d≤4,则（ C ）
B.a∧b≥2,c∨d≥2
D.a∨b≥2,c∨d≥2
a b 4. 已知a b 0, c d 0, 求证： . d c
证明：因为a > b > 0,c > d > 0, 所以ac > bd > 0. 1 又因为cd > 0,所以 > 0. cd 1 1 所以ac× > bd× > 0， cd cd a b 即 > > 0. d c a b 所以 > . d c
答案：③④
应用：求取值范围
例若0＜＜＜ ，求2 -的范围 2

答案：（0，）
a 15 < b < 36,求a - b， 的取值范围. 例3 已知12 < a < 60, b
解：因为15 < b < 36,所以 - 36 < -b < -15. 又因为12 < a < 60,所以12 - 36 < a - b < 60 - 15， 所以 - 24 < a - b < 45. 1 1 1 12 a 60 因为 < < ,所以 < < ， 36 b 15 36 b 15 1 a 所以 < < 4. 3 b
还可以利用作差法.
c c bc ac c (b a ) 证明： 因为 . a b ab ab
又
a b 0, c 0,
c (b a ) 所以 0. ab c c 所以 . a b
例对于下列结论，其中正确结论的序号是_____．
b ①若a>b，则a2>b2；②若a>b，则 a <1；
③若a2>b2且a<0，b<0，则a<b； ④a2+b2+ab≥0．
解.①错误.如-3>-5，但(-3)2＜(-5)2；
5 ②错误.如-3>-5，则 3 ＞1；
③正确.若a2>b2，则a>b，又因为a<0，b<0， 所以-a>-b，所以a<b；
b 2 3b2 ④正确. a2+b2+ab= (a 2 ) 4 0．
法二：f ( x ) ax 2 c f (1) a c f (2) 4 a c 1 a f (2) f (1) 3 4 1 c f (1) f (2) 3 3 f (3) 9 a c 5 8 f (1) f (2) 3 3
答案：1,2
解答： log a b＞log a a 1 1 log bb＞log b a＞log b1 0
【拓展】设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤ x
3 x 则 的最大值是_____. y4
2
y
≤9，
【解析】由题意知x，y均为非0的正实数，
1 1 1 由3≤xy2≤8，得 8 xy2 3， x4 x2 又4≤ ≤9，得16≤ 2 ≤81， y y 1 1 x4 1 x3 故 16 2 2 81， 得2≤ 4 ≤27， y 8 xy y 3 3 x 所以 4 的最大值是27. y
(4)正确.若b<-3，则|b|>3，所以|b|2>32，即b2>9.
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
【提升总结】
不等式的性质是证明不等式和解不等式的 理论基础，必须熟练掌握，注意不等式性质 中的条件.
c c 例 2 已知 a > b > 0,c < 0,求证 > . a b 1 证明：因为a > b > 0,所以ab > 0, > 0. ab 1 1 于是a× > b× ， ab ab 你还有其 1 1 他证明方 即 > . b a 法吗？ c c 由c < 0,得 > . a b
证明如下： 因为ac - bc =(a - b)c, 又因为a > b,所以a - b > 0. 所以当c > 0时，(a - b)c > 0,故ac > bc; 当c < 0时, (a - b)c < 0,故ac < bc.
(5) a > b,c > d ⇒ a + c > b + d;
（同向不等式的可加性）
1.不等式的基本性质； 2.不等式基本性质的应用.
a <0 a > ab; （3）对，a < b,
2
a < b, b <0 ab > b ; 故a2>ab>b2.
2
（4）对， a < b < 0 1 > 0; ab 1 1 1 1 1 1 a× < b× < ，即 . ab ab b a a b （5）错， 如 -3 < -2 <0,2 < 3 . 3 2
探究点2 例1
不等式的性质的应用
判断对错： (1)若a > b,则ac > bc;
(2)若a > b,则ac > bc ; (3)若a < b < 0,则a2 > ab > b2; 1 1 (4)若a < b < 0,则 > ; a b b a (5)若a < b < 0,则 > . a b
2
2
解： （1）错，若 c <0, 则ac < bc; （2）错，若 c = 0, 则ac2 = bc2 ;
【提升总结】
欲求a - b的取值范围，应先求出 - b的取值范围； a 1 欲求 的取值范围，应先求出 的取值范围. b b 再利用不等式的性质求解.
【拓展】已知-3<α <β <2，则α -|β |的取值范围是___.
【解析】因为-3<α<β<2， 所以-3<α<2，0<|β|<3， -3<-|β|<0，
练习：f ( x) ax 2 bx, 且1 f (-1) 2， 2 f (1) 4，求f (-2)的最值。
答案：f ( x)max 10, f ( x)m结论正确的是——— a b （1）loga b＞logba (2)(logba ) 2 ＜1 (3) loga b logba ＞ loga b logba
(6) a > b > 0,c > d > 0 ⇒ ac > bd；
(同向不等式的可乘性)
(7) a > b > 0 ⇒ a > b ,n ∈ N,n ≥ 1;
n n
(可乘方性)
(8) a > b > 0⇒ a > b,n ∈N,n ≥ 2.
n n
(可开方性)
不等式的性质 1、对称性：如果a＞b,那么b＜a 如果a＜b,那么b＞a 2、传递性：如果a＞b,b＞c那么a＞c 3、可加性：如果a＞b，那么a +c＞b+c 4、同向可加性：如果a＞b，且c＞d那么a +c＞b+d 5、可乘性：a＞b，且c＞0那么a c＞b c a＞b，且c＜0那么a c＜b c 6、乘法原则：如果a＞b＞0，且c＞d＞0那么a c＞b d 7、乘方原则：如果a＞b＞0，那么a n＞bn 8、开方原则：如果a＞b＞0，那么n a＞n b
(传递性 (2)a > b,b > c⇒ a > c； )
(可加性) (3) a > b⇒ a + c > b + c；
由性质（3）可得：
a + b > c a + b +(-b)> c +(-b) a > c - b.
一般地说，不等式中任何一项可以改变符号 后移到不等号的另一边.
(4) a > b,c > 0 ac > bc ; a > b,c < 0 ac < bc ; (可乘性)
练习:
判断：（正确的打“√”，错误的打“×”） ） ）
（1）若a＞b，b≥3，则a＞3.（ （2）若0.3＜1，则0.3a＜a.（
（3）若a+c>b+d且a＞b，则c>d. （
（4）若b＜-3，则b2＞9. （ ）
）
提示：(1)正确.根据性质2可以由a>b，b≥3推出a>3. (2)错误.当a>0时，0.3a<a；当a=0时，0.3a=a；当a<0 时，0.3a>a. (3)错误.例如10+5>5+7，10>5但5<7.
所以-6<α-|β|<2，又因为β≤|β|，所以-|β|≤-β， 所以α-|β|≤α-β<0，所以-6<α-|β|<0，