惠州学院考试-高等数学(你懂的)

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）1）设有直线
3210:21030
x y z L x y z +++=⎧⎨
--+=⎩及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （）
A 、平行于平面π
B 、在平面π上
C 、垂直于平面π
D 、与平面π斜交
2）二元函数()()()()()
22
,0,0,0,0,0xy x y x y
f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩
在点()0,0处（
）
A 、连续、偏导数存在
B 、连续、偏导数不存在
C 、不连续、偏导数存在
D 、不连续、偏导数不存在
3）设()f x 为连续函数，()()1
t
t
y
F t dy f x dx =
⎰
⎰，则()2F '=（
）
A 、()22f
B 、()
2f C 、()
2f -D 、0
4）设∑是平面
123
x y
z ++=由0,0,0x y z ≥≥≥所确定的三角形区域，曲面积分()326x y z dS ∑
++=⎰⎰（
）A 、7
B 、
212
C 、14
D 、21
5）微分方程1x
y y e ''-=+的一个特解应具有形式（
）
A 、x
ae b
+B 、x
axe b
+C 、x
ae bx
+D 、x
axe bx
+二、填空题（每小题3分，本大题共15分）
1）设平面经过原点及点()6,3,2-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为。

2）设arctan
1x y
z xy
-=+
，则(1,
dz =。

3）设L 为2
2
1x y +=正向一周，则
2
x
L
e dy =⎰ 。

4）设圆柱面2
2
3x y +=，与曲面z xy =在点()000,,x y z 点相交，且他们的交角为
6
π
，则正数0z =。

5）设一阶线性非奇次方程()()y P x y Q x '+=有两个线性无关的解12,y y ，若
12y y αβ+（,αβ为常数）也是该方程的解，则应有αβ+=。

三、（本题7分）设由方程组cos sin u
u
x e v
y e v
⎧=⎪⎨=⎪⎩确定,u v 关于,x y 的函数，求u x ∂∂及v x ∂∂和v y ∂∂。

四、已知点()1,1,1A 及点()3,2,1B -，求函数()3
ln 32u xy z =-在点A 处沿AB
方向
的方向导数。

五、（本题8
分）计算累次积分
2
41
1
211x x
y
y x dx e dy dx e dy y y
+⎰
⎰⎰。

六、（本题8分）计算I zdxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由柱面2
21x
y +=及平面0,1z z ==围成
的区域。

七、（本题8分）计算()3
2x
y z dS ∑
++⎰⎰，其中∑是抛物面222z x y =+被平面2z =所截
下的有限部分。

八、（本题8分）计算222224cos cos L x x x x x dx dy y y y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎰，L 是点,22A ππ⎛⎫
⎪⎝⎭到点
(),2B ππ在上半平面()0y >上任意逐段光滑曲线。

九、（本题8分）计算
()()()2
2
2
x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑
+++++⎰⎰，其中∑
为半球面
z =的上侧。

十、（本题8分）设二阶连续可导函数()y f x =，s x t =适合222240y y
t s
∂∂+=∂∂，
求()y f x =。

十一、（本题4分）求方程4cos 2y y x ''+=的通解。

十二、（本题4分）在球面2222
x y z a ++=的第一卦限上求一点M ，使以M 为一个顶点，各面平行于坐标平面的球内接长方体的表面积最小。

有关级数的题目：
1）判别级数()()1
11ln 1n n n n
-∞
=-++⎡⎤⎣⎦∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
2）求幂级数20
12!n
n n n x n ∞
=+∑的收敛区间及和函数。

3）将函数()0000a x f x H x a H a x ππ
π⎧<≤<⎪
=<<⎨⎪--<<⎩
展成以2π为周期的弗里叶级数。