高考数学总复习课件4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数

3 3
题型四
同角三角函数的基本关系式
【例4】 （12分）已知 是三角形的内角，且 sin
（1）求tan 的值； （2） 把
1 用tan 表示出来，并求其值. 2 2 cos sin 1 思维启迪 （1）由 sin cos 及 sin 2 cos 2 1, 5
由定义cos
3.已知角 的终边经过点(
小正值是（ B ）
A. 2 3 B. 11 6
3 ，-1),则角
的最
3 4
C.
5 6
D.
解析
r ( 3 ) 2 (1) 2 2,
x 3 则 cos . r 2 又由题意知是第四象限角 , 11 的最小正值是 . 6
解 (1) 因为点P(sin cos ,2 cos )位于第三象限,
sin 0 所以sin cos 0,2 cos 0,即 , cos 0 所以为第二象限角 .
2 1 cos 0,4k 2 4k 2 ,1 sin 2 0, sin(cos ) 0, cos(sin 2 ) 0. sin(cos ) 0. cos(sin 2 ) sin(cos ) 的符号是负号 . cos(sin 2 )
4.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形
的圆心角的弧度数是（ C ） A.1 解析 B.4 C.1或4 D.2或4 设此扇形的半径为r，弧长为l，
2r l 6, r 1, r 2, 则 1 解得 或 l 4 l 2. 2 rl 2, l 4 l 2 从而 4或 1. r 1 r 2
第四编 三角函数、解三角形
§4.1 任意角和弧度制及任意角的三 角函数 基础知识
要点梳理
1.任意角
自主学习
（1）角的概念的推广
①按旋转方向不同分为 正角、 负角 、 零角 . ②按终边位置不同分为 象限角 和 轴线角 （2）终边相同的角 终边与角 相同的角可写成 k 360(k∈Z) . .
3分
6分
方法二 sin cos , (sin cos ) 2 ( ) 2 ,
1 24 , 2 sin cos , 25 25 24 49 (sin cos ) 2 1 2 sin cos 1 . 25 25 12 sin cos 0且0 , 25 sin 0, cos 0, sin cos 0, 即1 2 sin cos 7 sin cos , 5 1 4 sin cos sin 5 5 由 , 得 , sin cos 7 cos 3 5 5 4 tan . 3
l 与所取的r的大小无关 ,仅与角的大小有关 . r
④弧度与角度的换算：360°= 2 弧度；180°=
弧度.
⑤弧长公式：
l | | r ,
扇形面积公式：S扇形=
1 lr 2
=
1 | | r2 2
.
2.任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，角 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为r (r>0）,那么角 的正弦、余弦、正切分别是： sin
5.已知 为第四象限角，且 cos ,
1 求1 tan 的值. 2 tan
2
1 2
解
∵ 为第四象限角，且 cos ,
1 2
1 3 sin 1 cos2 1 ( ) 2 , 2 2 sin tan 3, cos 1 1 2 1 tan 1 ( 3 ) 2 tan ( 3 ) 2
3 解 角的终边在直线 x 4 y 0上,
在角的终边上任取一点 (4t ,3t )(t 0), P 则x 4t , y 3t , r x 2 y 2 (4t ) 2 (3t ) 2 5 | t |, 当t 0时, r 5t ,
y 3t 3 x 4t 4 sin , cos , r 5t 5 r 5t 5 y 3t 3 tan ; x 4t 4 y 3t 3 当t 0时, r 5t , sin , r 5t 5 x 4t 4 cos , r 5t 5 y 3t 3 tan . x 4t 4 3 4 3 综上可知, t 0时, sin , cos , tan ; 5 5 4 3 4 3 t 0时, sin , cos , tan . 5 5 4
第三象限角；当k=2m (m∈Z)时，
=m·360°+45°,故 为第一象限角.
2.角 终边过点(-1,2),则cos 等于（ C）
A. 5 5 B. 2 5 5 C. 5 5 D. 2 5 5
解析
r (1) 2 2 2 5 ,
x 1 5 . r 5 5
(1) sin 3 1 ; (2) cos . 2 2
作出满足 sin 3 , cos 1 思维启迪 2 2 角的终边,然后根据已知条件确定角 终边的 范围.
解 (1)作直线
y
3 交单位圆于A、B 2
两点,连结OA、OB，则OA与OB围 成的区域即为角 的终边的范围, 故满足条件的角 的集合为
(2)若 是第二象限角，试判断 sin (cos ) 的符 cos(sin 2 ) 号.
思维启迪 (1)由点P所在的象限可知 sin 、cos 的符号，进而判断 所在的象限.
(2)由 可判断 cos、sin 2 的范围,把 cos , sin 2
看作一个角，再判断 sin(cos ), cos(sin 2 ) 的符号.
（3）弧度制
①1弧度的角：_______________________________ 把长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做1弧度的角.
②规定：正角的弧度数为正数 ,负角的弧度数为 l 负数 ，零角的弧度数为 零 ,| | r ,l是以角
作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比 值
2
1 13 1 3 . 3 3
题型分类 深度剖析
题型一 三角函数的定义 【例1】 已知角 的终边在直线3x+4y=0上,求 sin , cos , tan 的值. 思维启迪 本题求 的三角函数值.依据三角函 数的定义,可在角 的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),求出r,由定义得出结论.
由三角函数线画出x满足条件的终边 范围(如图阴影所示). x 2k ,2k (k Z).
3 3
3 (2) 3 4 sin 2 x 0, sin 2 x , 4 3 3 sin x . 2 2
利用三角函数线画出x满足条件的终边 范围(如右图阴影), x k , k (k Z).
cos
x r y , tan x y r ,
,
它们都是以角为自
变量 ，以比值为 函数值 的函数.
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全
正、二正弦、三正切、四余弦 .
3.三角函数线
设角 的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重 合,终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x 轴于M,则点M是点P在x轴上的 正射影 .由三角 函数的定义知，点P的坐标为 (cos , sin ) ,
1 cos . 5
可求sin , cos的值;
(2) sin 2 cos2 ,分子、分母同除以 cos2 即可. 1
解
(1)方法一
1 sin cos 联立方程 5 sin 2 cos2 1
①
2分
②
1 由①得 cos sin , 将其代入②, 5 整理得25 sin 2 5 sin 12 0. 4 sin 5 是三角形内角, , cos 3 5 4 tan . 3
2 | 2k 2k , k Z. 3 3 1 (2)作直线 x 交单位圆于C、D两点, 2
连结OC、OD,则OC与OD围成的区域
(图中阴影部分)即为角 终边的范围.
故满足条件的角 的集合为
2 4 | 2k 2k , k Z. 3 3
解 ∵ 为第四象限角，∴x>0，且 r x 2 5 ,
2 x, 解得 : x 3 , 2 4 x 5 10 15 , tan . 4 3 x
则 cos
r 8 , 故 sin
题型二
三角函数值的符号及判定
【例2】 (1)如果点P(sin ·cos ，2cos )位 于第三象限，试判断角 所在的象限.
(2) 2k

2k (k Z),
探究提高 (1)熟练掌握三角函数的符号法则是 解决此类问题的关键.
(2)由三角函数符号判断角所在象限,在写角的 集合时,注意终边相同的角. 知能迁移2 若 sin cos 0, 则 且 tan cos 0,
角 的终边落在
A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
（C ）
解析 tan cos sin 0,
又 sin cos 0, cos 0, 角的终边落在第三象限 .
题型三
三角函数线及其应用
【例3】 在单位圆中画出适合下列条件的角 的 终边的范围,并由此写出角 的集合: